北师大版八年级勾股定理电子版教案
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习(教案)
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。
北师大版初中数学八年级(上)第一章勾股定理1-3勾股定理的应用教学详案
第一章勾股定理3 勾股定理的应用教学目标1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.教学重难点重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程导入新课游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?探究新知一、合作探究【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.变式训练：如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.答案：13【探究2】应用勾股定理解决实际问题【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即(x-1)2+32 = x2，解得x = 5.故滑道AC的长度为5 m.变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.(1)这架云梯的顶端距地面有多高?(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.根据题意252-72 = 242，所以云梯顶端距地面有24米.(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，所以云梯底部应水平滑动8米.课堂练习1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.m=0.33m)的正方形.在水池正中央3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=13有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？参考答案1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，∴AB = 2.5米.∵油桶外的部分是0.5米，∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.2.253.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.根据题意得x²+5² =（x+1）².解得x =12.x+1=12+1=13（尺）.答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得x2+82 = (16-x)2,解得x = 6米.答：旗杆在离底部6米的位置断裂.课堂小结确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.布置作业习题1.4第1，2，3，4题板书设计3 勾股定理的应用1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2.应用勾股定理解决实际问题例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。
北师大《勾股定理》教案（通用5篇）
北师大《勾股定理》教案（通用5篇）作为一名教师，通常会被要求编写教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么问题来了，教案应该怎么写？下面是小编为大家整理的北师大《勾股定理》教案（通用5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
北师大《勾股定理》教案1一、教材分析：（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。
根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
二、教学与学法分析教学方法叶圣陶说过"教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。
"因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
三、教学过程我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。
让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了怎么样三角形，反映在三边上，又蕴含着怎么样数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。
北师大版八年级勾股定理电子版教案
是让学生再次体 1 2 ab+c . 并得到 2 会数形结合的思 想并体会成功的 快乐。
a 2 b2 c2
学生先独立探究，再小组交 流，最后请一个小组同学上
回顾 反思 提炼
台讲解验证方法二
（1）归纳出
升华
本节课的知识要 这个环节完全由学生来组 织开展，教师可在两天前布 置任务，让部分同学收集勾 股定理的资料，并在上课前 拷贝到教师用的课件中便 于展示，内容可灵活安排。 总结； （ 3） 培养学 生的归纳概括能 力。 勾股定理 3 一勾股定理的证明 二世界著名勾股定理的证明方法 例题 1 点， 数形结合的思 想方法； （2） 教师 了解学生对本节 课的感受并进行
教学 重、 难点
学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除 学情 分析 运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量 和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一 般的直角三角形进行验证。
课前 准备
多媒体
教学 过程 复习 设 疑， 激趣 引入
100 225
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x
17 15
鼓励学生积极大 胆发言，可增进师生
2、生活中的应用： 小明妈妈买了一部 29 英寸（74 厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后， 发现屏幕只有 58 厘米长和 46 厘米宽， 他觉得一定是售 货员搞错了．你同意他的想 法吗？你能解释这是为什 么吗？ 1 ．这一节课我们一起 学习了哪些知识和思想方 法？ 2．对这些内容你有什么体
从观察实际 生活中常见的 地板砖入手，让学 生感受到数学就在 我们身边．通过对 特殊情形的探究得 到结论 1， 为探究活 动二作铺垫。
1 定理 SC 4 2 3 1 13 。 探究活动一：1.内容： （1） 2
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理(教案)
（3）解决与勾股定理相关的综合应用题，如：勾股数与完全平方数的关系等；
（4）在几何图形证明中，灵活运用勾股定理。
举例：
-在证明勾股定理过程中，解释几何图形拼接与转换的原理，如：将四个相同的直角三角形拼成一个正方形；
-分析实际问题，如：测量旗杆高度，引导学生识别并运用勾股定理及其逆定理求解；
五、教学反思
在今天的勾股定理教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这个数学概念。首先，通过提问导入新课，让学生从日常生活中发现勾股定理的实际意义，这样可以激发他们的学习兴趣。在实际讲授过程中，我注重理论联系实际，用生动的案例和实验操作来演示勾股定理的应用，使学生在直观感受中理解抽象的数学原理。
5.熟练运用勾股定理进行几何图形的证明。
本章内容将围绕勾股定理展开，通过实例分析、练习题、小组讨论等多种形式，帮助学生深入理解勾股定理的内涵，提高解题能力，并培养他们的几何思维。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过勾股定理的发现与证明过程，让学生体会数学的严谨性和逻辑性；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。它是解决直角三角形相关问题的重要工具，广泛应用于工程、建筑等领域。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》(大单元教学设计)
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，梳理勾股定理及其逆定理的知识体系。
2.学生分享自己在学习勾股定理过程中的收获和感悟，提高学生的归纳总结能力。
3.教师强调勾股定理在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.课堂小结，巩固提高
通过对本节课所学知识的回顾和总结，帮助学生梳理知识体系，巩固重点，突破难点。
7.作业布置，分层设计
根据学生的学习程度，分层布置作业，使学生在课后能够有针对性地巩固所学知识。
8.教学评价，多元反馈
采用课堂提问、作业批改、小组评价等多种方式，全面了解学生的学习情况，给予及时、有效的反馈，促进学生全面发展。
注意事项：
1.请同学们认真完成作业，保持字迹工整，便于教师批改和反馈。
2.遇到问题时，可先与同学讨论，如仍有疑问，可向教师请教。
3.作业完成后，及时检查，确保解答过程正确，避免因粗心大意而出现错误。
4.家长在辅导孩子完成作业时，注意引导孩子独立思考，切勿直接给出答案。
3.小组合作，共同探讨勾股定理在几何图形证明中的应用。选取一个或多个几何图形，运用勾股定理进行证明，并将证明过程和结果整理成文档，以便在课堂上分享。
4.完成课后拓展题（见附件），挑战更高难度的勾股定理相关问题。此部分作业旨在提高学生的逻辑思维能力和创新意识。
5.家长参与作业：请同学们向家长介绍勾股定理及其在实际生活中的应用，并邀请家长参与一起解决一道勾股定理相关问题，增进家校互动，提高学生学习兴趣。
9.教学反思，持续改进
教师在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时进行教学反思，调整教学方法，提高教学效果。
北师大版八年级上册数学1.1第1课时认识勾股定理教案1
1． 1研究勾股定理第 1 课时认识勾股定理1．研究勾股定理，进一步发展学生的推理能力；2．理解并掌握直角三角形三边之间的数目关系． ( 要点、难点 )一、情境导入如下图的图形像一棵枝叶旺盛、姿态优美的树，这就是有名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形构成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说此中的神秘吗？二、合作研究研究点一：勾股定理的初步认识【种类一】直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°， AB＝5cm， BC＝ 3cm， CD⊥ AB 于点D，求 CD的长．分析：先运用勾股定理求出AC 的长，11再依据 S△ABC＝2AB·CD＝2AC·BC，求出 CD的长．解：∵△ ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°， AB＝ 5cm， BC＝3cm，∴由勾股定理得222222AC ＝ AB － BC＝ 5 － 3 ＝ 4 ，∴ AC＝ 4cm. 又11AC·BC∵S ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴CD＝△22AB4×3 12(cm) ，故 CD的长是12＝＝cm.555方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【种类二】勾股定理与其余几何知识的综合运用如图，已知 AD是△ ABC的中线．求2222证： AB ＋AC＝ 2(AD ＋ CD) ．分析：结论中波及线段的平方，所以可以考虑作AE⊥ BC于点 E，在△ ABC中结构直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.在 Rt △ACE、 Rt△ ABE和 Rt△ ADE中， AB2＝22222222AE ＋ BE，AC＝ AE＋ CE，AE＝ AD－ ED，∴2222222 AB ＋ AC＝ (AE ＋ BE) ＋ (AE ＋ CE) ＝ 2(AD－ ED2) ＋ (DB － DE)2＋ (DC＋ DE)2＝ 2AD2－22222ED＋ DB－2DB·DE＋ DE＋ DC＋2DC·DE＋2222DE＝ 2AD＋DB＋ DC＋ 2DE(DC－ DB)．又∵ AD22是△ ABC 的中线，∴ BD＝ CD，∴ AB ＋ AC＝22222AD＋ 2DC＝ 2(AD ＋ CD) ．方法总结：结构直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，波及线段之间的平方关系问题时，往常沿着这个思路去剖析问题．【种类三】分类议论思想在勾股定理中的应用在△ ABC中， AB＝ 20，AC＝ 15，AD 为 BC边上的高，且 AD＝ 12，求△ ABC 的周长．分析：应试虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情况．解：当高 AD在△ ABC内部时，如图①.在 Rt △ ABD中，由勾股定理，得22 BD＝ AB－222＝162，∴ BD＝ 16；在 Rt △ ACDAD＝20 －12中，由勾股定理，得2222－CD＝ AC－ AD＝ 15122＝ 81，∴ CD＝9. ∴BC＝ BD＋ CD＝ 25，∴△ABC的周长为25＋20＋ 15＝ 60.当高 AD在△ ABC外面时，如图② . 同理可得 BD＝ 16，CD＝9. ∴BC＝ BD－CD＝ 7，∴△ABC的周长为 7＋20＋ 15＝ 42. 综上所述，△ABC的周长为 42 或 60.方法总结：题中未给出图形，作高结构直角三角形时，易遗漏钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情况，忽略高AD在△ ABC外的情况．研究点二：利用勾股定理求面积如图，以Rt△ ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ ABE 的面积为 ________，暗影部分的面积为 ________．1分析：由于 AE＝ BE，所以 S△ABE＝2AE·BE 122222＝ AE. 又由于AE＋ BE ＝ AB，所以 2AE ＝2212129AB ，所以 S△＝4AB＝4× 3＝4；同理可得ABES△AHC＋121222 S△BCF＝4A C＋4BC. 又由于AC＋BC＝212121 AB ，所以暗影部分的面积为4AB ＋AB ＝24212999AB＝×3＝2.故填、.242方法总结：求解与直角三角形三边相关的图形面积时，要联合图形想方法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．三、板书设计勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．假如用 a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝ c2.让学生领会数形联合和由特别到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步领会数学与现实生活的密切联系．在研究勾股定理的过程中，体验获取成功的快乐；经过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠长文化历史，激励学生奋发学习．。
勾股定理全章教案北师大版
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解勾股定理知识点，结合实例帮助学生理解。
突出勾股定理重点，强调勾股定理难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕勾股定理问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
教学内容与学生已有知识的联系：
1. 学生已掌握相似三角形的性质，能理解勾股定理中三角形相似的概念。
2. 学生已学习过一元二次方程，能理解并运用勾股定理解决实际问题。
3. 学生通过日常生活和前面的学习，已接触到一些勾股定理的应用，如测量身高、计算距离等，为深入学习勾股定理奠定了基础。
核心素养目标
本章节旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。通过学习勾股定理，学生能够：
1. 教学方法
（1）情境教学法：通过引入生活中的实际问题，创设情境，引导学生发现问题、提出问题，激发学生的学习兴趣和主动性。
（2）探究教学法：引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，自主探究勾股定理的证明方法，培养学生的逻辑推理能力和合作精神。
（3）案例教学法：选取具有代表性的例题，分析解答过程，让学生体会勾股定理在实际问题中的应用，提高学生的数学建模能力。
2. 过程与方法：
学生能够在小组讨论中，培养合作精神和沟通能力，学会倾听和尊重他人的意见。
学生能够通过自主学习、合作学习和探究学习，提高学习勾股定理的积极性和主动性。
学生能够在解决实际问题的过程中，运用数学建模思想，将勾股定理知识应用于实际情境。
3. 情感态度与价值观：
学生能够体验到数学与实际生活的密切联系，增强对数学学科的兴趣和好奇心。
初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理探索勾股定理教案
第一章勾股定理第一节探索勾股定理：一、教学目标（一）知识与技能：.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程..掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。
（二）能力训练要求.通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。
（三）情感与态度：.通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
.在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
二、教学重难点重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边长。
难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角三角形另一边长。
三、教学方法引导—探究—发现法．四、教学过程（一）自学指导请同学们认真看可课本至页内容，并解决下列问题：、“做一做”中的问题，你能完成吗?你能发现什么规律呢？、什么是勾股定理？、解答“想一想”中的问题（二）合作交流对于自学中的困惑请提出来，看你的同桌是否能帮助你，必要时请教老师，力争解决自己在学习过程中的疑惑。
如果你感觉还行，请不要保留地传授给你的同桌你的经验和收获。
（三）检查自学效果．观察下面两幅图，对做一做中的问题，通过讨论动手操作，总结规律。
结论： 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么 222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）. 利用勾股定理解出折断处与旗杆顶间的长为米，所以旗杆折断前米高。
（四）当堂训练.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：弦股勾225100x 1517.在△中∠＝度，若,则..如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？.小明妈妈买了一部英寸（厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有厘米长和厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？.某工人拿一个2.5m 的梯子，一头放在离墙1.5m 处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图）。
北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》示范课教学设计
第一章勾股定理3 勾股定理的应用一、教学目标1.会灵活运用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.体会勾股定理在代数问题和几何问题中的应用.2.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.3.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题，熟练运用勾股定理进行计算，增强数学知识的应用意识.4.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.二、教学重难点重点：会用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.难点：能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师引导学生回顾勾股定理，并通过简单的提问，回顾勾股定理逆定理以及勾股数的内容，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c².如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是.预设答案：直角三角形.满足a²+b²=c²的三个正整数，称为.预设答案：勾股数.观察思考：小明要去野外郊游，走哪条路最近呢？为什么呢？教师活动：教师提出问题，观察学生如何思考，再让学生说明理由.关注学生能否都认真看题积极思考，能否立刻利用两点之间线段最短确定最短路径.答案：线路③.【问题探究】有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面蚂蚁怎么爬行的路程最短呢？做一做自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？教师活动：让学生说出自己规划的蚂蚁的路线，然后用课件展示.③A→B的路线长为：AA′+A′B ；③A→B的路线长为：AA′+曲线A′B；③A→B的路线长为：曲线AP +曲线PB；③A→B的路线长：曲线AB．将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？教师活动：对照圆柱上的线路，用课件展示侧面剪开图，让学生观察并说出哪条线路最近.教师活动：将圆柱的侧面展开，把曲线分别转化为对应线段，然后结合两点之间线段最短，得出结论：第（4）种方案路程最短．追问：蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？该如何计算呢？答案：在Rt③A′AB中，利用勾股定理，得AB²=AA′²+A′B²．其中AA′是圆柱体的高，A′B是底面圆周长的一半(πr) ．已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则AB=15cm.做一做如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？教师活动：先由学生独立完成，教师及时给予指导，在此活动中，教师应重点关注学生能否进一步理解蚂蚁最近线路该如何走.多媒体展示答题过程解：将正方体展开得到如下图形，由勾股定理得，22AB2.=10+20=50020×1=20(cm).③202<500．③蚂蚁不能在20 s内从A爬到B．【思考探究】教师活动：多媒体演示课件，引导学生观察并思考：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂于底边AB，但他随身只带了卷尺.你能替他想办法完成任务吗？提示：连接BD,如果能算出AD2+AB2=BD2 ,就可以说明边AD和边BC分别垂于底边AB.提示：连接AC,如果能算出AB2+BC2=AC2 ,就可以说明边BC垂于底边AB.问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，边BD长是50 cm.边AD垂直于边AB 吗？教师活动：引导学生通过勾股定理证得BC垂直于AB得出结论.巡视同学做题过程，对于有困难的学生给予指导，然后用多媒体展示答题过程.解:连接BD③AD=30,AB=40,BD=50又③AD2+AB2=302+402=502=BD2③ΔABD为直角三角形,③A=90°③AD⊥AB同理可证得：BC⊥AB.问题：小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N，使AN=12,92+122=152【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.典型例题【例1】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=3 m，CD=1 m，试求滑道AC的长．分析：根据题意可的AC=AB，可设AC为x m,从而AE是（x-1）m,而③AEC是直角三角形，由勾股定理可得AC的值.解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为(x－1)m．在Rt③AEC中，③AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32= x 2，解得x =5．故滑道AC的长度为5 m．【例2】在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？教师根据题干分析题中提供的已知条件，并画出图形.解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt③ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得AB=10米.③这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）A.锐角弯B.钝角弯C.直角弯D.不能确定教师画示意图：222⨯+⨯=⨯(650)(850)(1050)∴所以小刚上学走了个直角弯.答案：C2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长是.教师提示：因为DE是折痕，所以E为AB的中点，AE=BE=12AB，只要根据勾股定理求出Rt△ABC斜边AB的长，就可求出BE的长.答案：5 cm.3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A、B两组相距30km.此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：2小时后，A组行驶的路程为：12×2=24（km）；B组行驶的路程为：9×2=18（km）；又因为A，B两组相距30 km，且有242+182=302所以A，B两组行进的方向成直角.。
八年级数学上册(1.1 勾股定理)教学设计(2) 北师大版 教案
勾股定理一、内容及其分析本节课要学的内容是验证勾股定理，指的是通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想，其核心是通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想，理解它关键就是要通过拼图验证勾股定理。
学生已经在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，本节课的内容验证勾股定理就是在此基础上的发展的。
由于它还与方程及无理数的形成有直接的联系，所以在本学科有数形结合的重要地位，是本学科的核心内容。
教学的重点是验证勾股定理，解决重点的关键是勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、目标及其解析1、了解通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题；2、理解拼图验证勾股定理，就是指通过拼图然后利用代数中的方程得到结论。
三、问题诊断与分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是难以理解用面积来证明勾股定理，产生这一障碍的原因是代数与几何的联系难以把握。
要解决这一障碍，就要知道用代数式表示四边形的面积，其中关键是把握面积的不同表示方法。
四、教学支持条件分析在本节课青朱出入图的教学中，准备使用幻灯片。
因为使用幻灯片，有利于学生从动画中理解‘无字证明’。
五、教学过程设计：本节课设计了五个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）追溯历史，激发情感；（四）例题讲解，初步应用；（五）拓展练习，能力提升；问题一：复习设疑，激趣引入内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理. 设计意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.问题二：小组活动，拼图验证.活动1：教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c2.并得到222cba=+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ：自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）设计意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐. 第三环节： 追溯历史 激发情感活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 .2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.第四环节： 例题讲解 初步应用例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？设计意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.第五环节 ： 拓展练习 能力提升内容：一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题 （1）教材 P10练习题.（2）一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？ 说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.设计意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深. 六、课堂小结：通过这节课的学习，你有什么样的收获？设计目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等. 七、目标检测1．若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒a b bc c加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（）．A．30 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2八、配餐作业A组：基础巩固1．Rt△ABC中，∠C＝90º, ∠A＝49º31′，则∠B＝_________。
最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》教学设计(精品教案)
第一章勾股定理§1.1 探索勾股定理（一）教学目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
重点难点：重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1 （章前的图文p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答：1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3图1—4）提问：1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
三、议一议1、图1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c那么22c2+ba=我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》教案
第一章勾股定理1 探索勾股定理第1课时勾股定理（1）1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.4.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.5.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.6.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.7.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索勾股定理.【教学难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1（章前的图文P1），介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号.【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知勾股定理做一做：1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流.【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.2.观察教材图1—2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位.正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位.正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理.归纳得出结论：S A+S B=S C.3.教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解.4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来.三、运用新知，深化理解1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5,b=12，则c= .2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3∶4，斜边长是20，则两直角边长分别是.【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.【答案】1.13；2.12，16四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对知识的梳理.完成练习册中本课时相应练习.本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.第2课时勾股定理（2）1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.3.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.4.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.5.在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.2 一定是直角三角形吗1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.3.敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】探索并掌握直角三角形的判别条件.【教学难点】运用直角三角形判别条件解题.一、创设情境，导入新课展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作.甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.乙：握住第四个结.丙：握住第八个结.拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角.发现这个角是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容.【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力.二、思考探究，获取新知直角三角形的判别做一做：下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.5、12、137、24、258、15、171.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结论的乐趣，增强了他们勇于探索的精神.【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法.三、运用新知，深化理解1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.（1）9,12,15;（2）15,36,39;（3）12,35,36;（4）12,18,22.2.已知△ABC中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角.3.四边形ABCD中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，且∠DAB=90°，求这个四边形的面积.【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三角形的条件的理解，帮助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学生完成《创优作业》中本课时的“课堂自主演练”部分.【答案】1.（1）（2）两组能作为直角三角形的三边长.∵92+122=152，152+362=392.∴这两个三角形都是直角三角形.2.直角，∠A3.解：连结BD，在△ABD中，∠DBA=90°，BD2=AB2+AD2=32+42，BD=5.在△DBC中，∵52+122=132，即DB2+BC2=DC2，∴△DBC为直角三角形，∠DBC=90°，∴S四边形ABCD=S△DAB+S△DBC=12×3×4+12×5×12=36.四、师生互动，课堂小结1.判断一个三角形是直角三角形的条件.2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流.【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统整理知识的好习惯.1.教材P10-11习题1.3第2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解.当然勾股定理的理解是关键.3勾股定理的应用1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.4.在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学生达到熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提高学生建立数学模型的能力.5.通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.【教学重点】探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决生活中的实际问题.【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题.一、创设情境，导入新课勾股定理的应用前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础.二、思考探究，获取新知蚂蚁怎么走最近？出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的取值3）.（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用.【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）.我们不难发现，刚才几位同学的走法：哪条路线是最短呢？你画对了吗？第（4）条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）；乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.（1）x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3（米）.（2）x=1.5，最短是1.5+0.5=2（米）.答：这根铁棒的长应在2～3米之间（包含2米、3米）.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效果.1.教材P14~15第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加强这方面的训练.本章归纳总结1.掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实际问题.2.通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思维思考问题，以便能熟练灵活运用.3.让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.4.用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题.【教学难点】能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.二、释疑解惑，加深理解1.勾股定理的证明勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、三角函数等知识的学习提供了方法和依据.说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.2.勾股定理中的分类讨论在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.3.曲面两点间的距离问题在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点之间的距离，这是解决问题的关键.三、典例精析，复习新知例1 一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE（如图所示），求CD的长.【分析】设CD为x，∵AD=BD，∴AD=8-x. ∴在△ACD中，根据勾股定理列出关于x的方程即可求解.解：由折叠知，DA=DB.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，若设CD=xcm，则AD=DB=（8-x）cm，代入上式得62+x2=（8-x）2，解得x=7/4=1.75(cm)，即CD的长为1.75cm.例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C′处有一只蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.解：（1）若把礼盒上的底面A′B′C′D′竖起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB′A′）在同一平面内，然后连接AC′，根据“两点间线段最短”知线段AC′就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.（2）由（1）得，△ABC′是直角三角形，且AB=20，BC′=40.根据勾股定理，得AC′2=AB2+BC′2=202+402,AC′≈44.7（cm）,44.7÷0.5≈90（cm/min）.所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米（只入不舍）.【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师可以适当点评，便于学生熟练加以运用.四、复习训练，巩固提高1.已知在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一条直角边c满足c2= .2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，c-b=8，则b= ，c= .3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD的长；（4）斜边被分成的两部分AD和BD的长.【答案】1.b2-a2；2.5，13；3.解：（1）S△ABC=12AC×BC=12×2.1×2.8=2.94.（2）AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,∴AB=3.5.（3）由三角形的面积公式得12AC×BC=12AB×CD，所以12×2.1×2.8=12×3.5×CD，解得CD=1.68.（4）在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682=（2.1+1.68）(2.1-1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.214×0.21.∴AD=2×3×0.21=1.26.∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.五、师生互动，课堂小结本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的解决问题吗？还有哪些不足？【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的地方，教师应及时补充和点拨.1.复习题4.5第11、12题.2.完成练习册中本课时相应练习.勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.。
勾股定理教案-完整版公开课教学设计
北师大版八年级数学（上）第一章：§勾股定理景德镇十六中：汤瑛一、教学背景勾股定理是人类数学最伟大的发现之一，也是几何学中几个最重要、最基本的定理之一。
它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，又是后续学习解直角三角形的基础，它紧密联系了数学中最基本的两个量—数与形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足的关系），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想。
勾股定理导致了无理数的发现以及第一次数学危机，有人把它提为人类科学史上的十大发现之一，天文学家开普勒亦把它称为几何定理中的"黄金"。
二、教学目标1、知识目标：1经历探索发现并验证勾股定理的过程，进一步发展学生的推理能力；2）理解并掌握勾股定理，会初步运用勾股定理解决一些简单的数学问题和实际问题．2、能力目标：1让学生经历“探索—发现—猜想—验证—应用—检测—拓展”的学习过程，并体会“特殊—一般—特殊”的数学思想方法；2通过定理的证明过程体会数学的数形结合思想。
3、情感目标：1在探索勾股定理的过程中，让学生体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心2使学生在定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣3通过了解我国古代辉煌的数学成就，体会勾股定理的文化价值，激发学生的爱国热情，激励学生发奋学习教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求三角形的另一边长。
教学难点：运用欧氏几何的基本定理进行证明及拼图法验证勾股定理。
三、教学过程一情景导入（1）如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处旗杆折断之前有多高（2）邮票欣赏：猜想直角三角形三边的平方关系二做一做1如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足前面所猜想的数量关系吗你是如何计算的与同伴交流2如图，对下图中的直角三角形，是否还满足这样的关系你又如何计算的呢三勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方我国古代把直角三角形中较短直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦四定理证明用四张全等的直角三角形通过拼摆，得到一大正方形与一个小正方形你能用两种方法表示大正方形的面积吗大正方形面积表示为：①______②______对比两种表示方法你得到勾股定理了吗五定理应用1、比比谁算的快2如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处旗杆折断之前有多高3小明的妈妈买了一部29英寸74厘米的电视机小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了你同意他的想法吗你能解释这是为什么吗（六）小结：通过这节课我们学会了什么（七）课后作业：习题。
新北师版八年级上册第一章《勾股定理》教学案完整版
****中学数学教案设计上课时间：年月日学期总第 1 课时授课教师：审核：课题探索勾股定理（1）课型新授课时 1 班级八年级学习目标1、会用数格子的办法探索勾股定理；2、探索并应用直角三角形的三边之间的数量关系。
学习难点了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
课前准备学案过程及内容学法指导【知识回顾】1、在△ABC中，∠C=90°，则斜边是：直角边是：2、任意一个三角形的三条边，满足的关系：3、背：1~25，整数的平方数。
【自主预学】1、教材预习提示，阅读2P引例，在直角三角形中，任意两条边已确定，能否确定第三条边？完成2P中的做一做；说一说你探究勾股定理的方法：2、直角三角形的两条直角边的长度分别为a=3㎝，b=4㎝和a=6㎝，b=8㎝①请你量出斜边c的长度。
②、进行有关的计算。
(1)a2+b2= c2=(2) a2+b2= c2=③、得出结论：3、如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题：(1)a2＝__________，b2＝__________，c2＝__________；(2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示) 看课本独立完成预习学案。
3cm4cm6cm8cm4、 勾股定理的内容是：【典型例题】例1．已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边长在△ABC 外做正方形，S 1，S 2，S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3=225，则S 2=跟踪练习：1．如图，阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积是100cm 2，则a 的长是 cm 。
【即时性检测】2． 如图直角三角形的两边长分别为6和8，带阴影的正方形面积与三角形的面积之差是总结：例2：如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条缆绳，这条缆绳在地面上的固定点距离电线杆底部15米，则这条缆绳的长为多少米？跟踪练习：1．如图，则x= ，y=【即时性检测】2．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则AC= 【基础练习】1、在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)若a ＝3，b ＝4，则c ＝__________； (2)若a ＝6，c ＝10，则b ＝__________；(3)若a ∶b ＝3∶4，c ＝5，则a ＝__________，b ＝__________.2、一直角三角形的斜边比一条直角边大2，另一直角边为6，则斜边长为3、.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是S 3S 2S 1CBA24a158x 54y+8y12正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是5,3,3,2,则最大正方形E的面积是().A.13B.26C.47D.944、由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则其余两个正方形的面积之和为cm2．【进阶练习】5、如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别是1和2,则此正方形的面积是.6、两人同时从A地出发，甲向正北方向步行，每小时走3.5千米，乙向正东方向骑车而行，每小时走12千米，2小时后两人相距千米7．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1 m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）（A）8m （B）10m （C）12m （D）14m8、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图4所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．【梳理小结】作业布置l321S4S3S2S1【当堂检测】1、练习1(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。
北师大版八年级数学上册第1章勾股定理大单元教学设计
（一）教学重难点
1.重点：勾股定理的理解与应用，以及勾股定理的推导过程。
2.难点：勾股定理在实际问题中的灵活运用，以及运用勾股定理进行几何作图和推理证明。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过生活中的实际例子，如建筑设计、测量等，引出直角三角形斜边长度的问题，激发学生探究兴趣。
-利用多媒体展示勾股定理的历史背景，让学生了解其产生与发展过程，增强学生的学习动机。
2.自主探究，发现定理
-设计一系列具有启发性的问题，引导学生观察、思考和讨论，让学生在自主探究中逐步发现勾股定理。
-鼓励学生尝试用不同的方法推导勾股定理，培养学生的发散思维和创新能力。
3.知识讲解，巩固提高
-对勾股定理进行详细讲解，让学生理解其内涵和外延。
4.布置课后作业，要求学生在课后进一步巩固勾股定理的知识。
五、作业布置
1.基础巩固题：完成课本第1章第3节后的练习题1、2、3，要求学生在理解勾股定理的基础上，熟练运用定理解决直角三角形相关问题。
2.提高拓展题：选取课本第1章第3节后的练习题4、5，引导学生运用勾股定理解决实际生活中的问题，提高学生的应用能力。
（二）讲授新知
1.通过动画演示，让学生观察直角三角形的三条边，引导学生发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方这一规律。
2.分组讨论，让学生尝试用自己的语言描述这一规律，并进行推导。
3.教师详细讲解勾股定理的推导过程，强调数形结合的数学思想。
4.介绍勾股定理的数学表达式：a² + b² = c²，解释其中各个字母的含义。
3.创新思维题：设计一道与勾股定理相关的开放性题目，要求学生运用所学知识进行解答，鼓励学生从不同角度思考问题，培养学生的创新意识。
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生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫。
探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环。
巩固复习
书3页练习1,2
课后作业
书4页练习1,2,4
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年级：初二学科：数学第二学期第1周第1课时教师：
课题:探索勾股定理（一）
教
学
目
标
知识与能力：用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
过程与方法：让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
方法三：如图3,正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色(或两块绿色)部分可拼成一个小正方形,按此拼法。
学生通过分析数据，归纳出：
结论2以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积
学生独立完成
紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育
板书设计
勾股定理1
一结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
二结论2：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积
课后反思
年级：初二学科：数学第二学期第1周第2课时
课题:探索勾股定理2
教
学
目
标
知识与能力：进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
课前准备
多媒体
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
勾股定理的简单应用
课堂小结
布置作业
（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
学生的方法可能有：
方法一：如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，。
方法二：如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，
情感态度价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重、
难点
重点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力
难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力
学情分析
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”。此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强。
课前准备
多媒体
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
创设情境引入新课
探索发现勾股定理
2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理。
探究活动一：1.内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流。
作业：1．教科书习题17.1第1题；
2．阅读《读一读》——勾股世界；
3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足.
学生尝试总结：勾股定理（gou-gu theorem）：
如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
2．探究活动二：
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（3）你是怎样得到正方形C的面积的?与同伴交流。(学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定。）
（4）分析数据，你发现了什么？
认真聆听，激发起学生的求知欲和爱国热情
过程与方法：体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度价值观：激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重、
难点
重点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用
难点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用
学情分析
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的
直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。
（在西方称为毕达哥拉斯定理）
学生独立完成
学生口答完成
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。
2．方法：①观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；②面积法；③“割、补、拼、接”法.
3．思想：①特殊—一般—特殊；②数形结合思想。
1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。
2．通过作图培养学生的动实践能力。
例如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，
树顶落在离树根24m处.大树在折断之前高多少？
练习：1基础巩固练习求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？