运用基本不等式求最值问题

微专题：运用基本不等式处理多元变量最值问题
【热点导语】
基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在全国各地 的高考考纲中都属于熟练掌握要求.高考经常考查运用基本不 等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技 巧性强等特点.试题既能考查同学们的“四基”即基础知识、 基本技能、基本思想和基本活动经验，还能考查同学们的逻 辑推理、数学运算等数学学科核心素养.
x
思路2:（换元）设
xy
k，则
y
k x
代入已知等式整理，再由基本
不等式得到关于k的不等式进而求解。
解答：方法1： 因为x 0, y 0，所以 6 2 (x 4) (1 2y)
yx
6 2 2 (x 4) (1 2y) 2 2xy 4 9 即 2 xy2 9 xy 4 0
2
10 5
函数f (x, y) 4x y的最大值为25，最小值为1.
【评注】本题我们是通过构造“两个整体”，即将所求函数作为 一个整体，结合题设条件再得一个整体,通过把两个整体相乘和 换元，由基本不等式生成得到一个关于新元的不等式从而求解， 体现了整体处理的思想与构造的方法.
如何生成？
【变式】已知x 0, y 0,且x 1 2y 4 6 2 ,则 xy 的最大值
二是将已知等式中分母看作整体通过换元处理，将所求的 目标式用新元表示，再寻求目标式与题设条件之间的联系，进 而运用基本不等式求解.
解答：方法1（消元法）
因为a 0,b 0 , 1 1 1 ,所以a 1 (1 1 b),
2a b b 1
2b
从而 a 2b 1 (1 1 b) 2b 1 (1 3b 1) 1 (2 1 3b 1) 2 3 1
解答：（换元法）由 2a2 ab b2 4 0 得(a b)(2a+b) 4 ，
设 a b t ， a,b R, a b,t 0 ,则 2a+b 4 a 1 (t 4),
t
3t
b 2 ( 2 t) ,从而 2a b 4 (t 1) 4 2 t 1 8 ,当且仅当t 1取等号
R2
1 sin2
3 sin cos
6 3 (sin 2 cos2 )
3
6
2 sin(2 )
6 6(3 2) . 当 时,取等号。
4
3 2
7பைடு நூலகம்
8
【评注】方法1利用“1”的代换将目标式化为齐次式，通过变形、换元、分 离常数等，再利用基本不等式求解.方法2通过三角代换，三角函数范围最值.
解法2：因为 y2 4 2 4 (x 1)2，x [3,1] ,所以 y2 [4,8]
又 y 0 ， y [2, 2 2] ，所以 m 2 ，M 2 2 . m 2 M2
解法3：令 1 x 2cos, x 3 2sin, [0, ] ，则
2
y 2cos 2sin 2 2 sin( )
比较困难，但我们注意到所求函数 f (x, y) 4x y 是题设条件等式左
边中某两项和，可以运用整体处理的思想即通过换元来处理.
解答：设4x y a ,则1 9 26 a ， x 0, y 0 ,所以
xy
a(26 a) (4x y)( 1 9 ) 13 y 36x 13 2 y 36x 25
x
y
分析：本题的目标是求xy 的最大值，如何得到关于xy 的不等式
是解决此问题的难点。
思路1：注意到已知等式的右边为定值，联想到“和是定值，积
有最大值”,于是思考把等式左边看作哪两项和，且它们乘积得
到关于xy 的表达式，是解决本题的关键.不难发现看成(x 4 ) 与
(1 2 y) 和，由基本不等式得到关于xy 的不等式进而求解. y
【变式1】已知 a b 0 ,且a2 2b2 ab 3 ，则 a2 b2 的最
大值为
分析：本题是一道含有二元变量的二次式求最值问题，由以往 经验是通过消元转化为一元问题，本题直接消元比较困难.
方法1：通过“1”的代换将目标式转化为齐次式，将分子分母
同除以b2 ，再通过换元转化为一元问题解决. 方法2：由平方和联想到圆的方程知识，将 a2 b2 看作半径平 方即 R 2 ，利用圆的参数方程或三角代换加以处理.
【变式2】已知函数 y 1 x x 3的最大值为M ，最小值 为 m ，则 m 的值为
M
分析：本题实质是一道无理函数求最值问题，对于无理函数， 我们的常用的策略是化无理为有理，方法是换元或平方.
解法1：令 1 x a, x 3 b ，则a2 b2 4 ，又3 x 1
可知 a,b [0, 2] .由
k
x
k
x
k
解得 1 k 4 ,当且仅当( 4 1)x 1 2k时等号成立.
2
k
x
所以 xy 的最大值为4.
【评注】方法1是根据所求目标需要，将已知条件中等式的左 边通过合理分组把看成两个整体；方法2是将目标式看作一个
整体通过换元来处理，最后都是由基本不等式得到关于xy 的不
等式,再解不等式得出结果。
则 c 的最大值为
．
【思维拓展】
【问题3】(1)已知 a,b,c 0 ,且 c2 4bc 2ac 8ab 8,则 a 2b c
的最小值为
积为定值
分析：本题是一道三元变量求最值问题，要求和的最小值，根据最值定理 “积为定值,和有最小值”，考虑积为定值，于是对已知等式进行分解处理。
解答:(1)由c2 4bc 2ac 8ab 8 (c 2a)(c 4b) 8
用“1”的代换创造条件运用基本不等式求解.
【变式】已知a,b R, a b,若2a2 ab b2 4 0 ，则2a b 的最小
值为
。
分析：本题是一道二元变量求最值问题，若运用消元法，发现比较难以解决；
但我们注意到已知等式可以通过移项分解可转化为 (a b)(2a+b) 4 ，
通过换元将二元变量化为一元变量加以解决.
(a b)2 4
a2
b2 2ab a2 b2
1
2ab a2 b2
①当 ab 0时，a b 2 ；
②当ab 0 时，(a b)2 1 2ab 1 2 ，
4
a2 b2
ab
ba
由 a b 2 得 1 (a b)2 2 ，即
ba
4
2ab2
2
综上可得 a b [2,2 2] ，即 m 2 . M2
解答: 方法1（化为齐次式）
a2 2b2 ab 3 a2 2b2 ab 3
a t b
T a2 b2 3(a2 b2 ) a2 2b2 ab
3
a b
2
1
a b
2
a b
2
3(t 2 t2
1) t2
3(t 1) 3 t2 t 2
令t 1 x ， a b 0,t x 1(x 0)
4
[0, ], ( ) [ , 3 ] sin( ) [ 2 ,1]
2
4 44
42
y [2, 2
2]，所以 m 2，M 2
2
. m M
2 2
【评注】本题解决的方法比较多，解法1通过换元化无理为有理， 运用基本不等式求其最值；解法2是通过平方、配方求最值；解 法3是通过三角代换(参数方程），利用三角函数范围求最值。
本微专题侧重对运用基本不等式求多元变量最值问题进 行探讨与研究,望对同学们的学习有所帮助.
【典例精析】
【问题1】
已知
a
0, b
0 ，且
1 2a
b
1 b 1
1
，则
a
2b 的最小
值为
分析：我们注意到这是一道含有二元变量的求最值问题，解决这 类问题的途径至少有两条：
一是通过消元减少变量，将目标式转化为一元变量处理；
3t
3 t3
t3
【评注】对于多变量问题，常用的方法为消元或换元，其目的是化二元为一元,
创造条件运用基本不等式求解.
【借题发挥】
【问题2】已知
x
0,
y
0
,且
4x
1 x
y
9 y
26
,则函数
f
(x,
y)
4x
y
的最大值与最小值
a 如何得到关于 的
不等式？
分析：本题仍然是一道含有二元变量的求最值问题，如果用消元法
【课后练习】
1.(2019 年扬州市一模)已知正实数 x, y 满足 x 4y xy 0 ，若 x y m
恒成立，则实数 m 的取值范围为
.
2.(2019 年镇江市一模)已知 x 0, y 0, x y 1 4 ,则 x y 的 最 小值
xy
为
．
3.(2019 年南京盐城一模)若正实数 a,b,c 满足 ab a 2b,abc a 2b c ，
xy
xy
xy
a(26 a) (4x y)(1 9 ) 13 y 36x 13 2 y 36x 25
xy
xy
xy
即 a2 26a 25 0 ，解得1 a 25 ，当且仅当 y 6x 等号成立
经检验：当x 5 ，y 15 时，a 25 ；当x 1 , y 3 时，a 1
2b
2b
2b
2
当且仅当b 3 时取等号,所以 a 2b 的最小值为 2 3 1 .
3
2
方法2（换元法）
如何求其最值？
令
2a
b
x,b 1
y(x
0,
y
0)
,则
1 x
1 y
1
,所以 a
2b
1 (x 3y) 2
3 2
a 2b 1 (x 3y)(1 1 ) 3 1 ( x 3y 4) 3
yx
xy
解得 1 xy 4 ,当且仅当 x 4 1 2y 3 2 时等号成立.
2
yx
所以当 x 3 2 , y 4 2 时，xy 有最大值为4
2
3
方法2：令 xy k(k 0) ，则 y k 代入已知并整理得 x
6 2 ( 4 1)x 1 2k 2 ( 4 1)x (1 2k) 2 2k 4 9
2
x y 2 2y x
2
1 (2 x 3y 4) 3 1 (2 3 4) 3 2 3 1
2 yx
22
22
当且仅当x 3y 时，等号成立.
【评注】方法1由已知条件将 b 用 a 加以表示，代入a 2b 得到关 于a 表达式，即将二元变量化为一元变量，再运用基本不等式求最
值.方法2通过换元寻找所求目标式与题设条件之间的联系，再利
23
最大值为
和为定值
解答:由 a b c 1 6a 3b 2c 6 (3a 3b) (3a 2c) 6
23
W
(a
b)(3a
2c)
1 3
(3a
3b)(3a
2c)
1 3
(3a
3b)
2
(3a
2c)
2
3
当且仅当 3a 3b 3a 2c ,即 3b 2c 时,取等号.
【评注】最值定理“积为定值，和有最小值；和为定值，积有最 大值.”是我们求最值问题的理论依据。为此，需要对已知等式或 者将所求目标式因式分解，进行“和”与“积”合理转化.
2(a 2b c) (c 2a) (c 4b) 2 (c 2a) (c 4b) 4 2
当且仅当 c 2a c 4b,即 a 2b时,取等号.
(a 2b c)min 2 2
(2)已知a,b,c 0 ,且a b c 1,则 W 3a2 2bc 2ac 3ab 的
T 3 3x 3 3 3 3 6(3 2)
x2 x 2
x 2 1
2 2 1
7
当且仅当 x 2 时取等号. x
方法2(三角代换)
令a2 b2 R2(R 0,a b 0) , 设 a R cos ,b R sin， （0， ）,则
4 R2 cos2 2R2 sin2 R2 sin cos 3
【总结提升】
1.本微专题中问题及变式的成功解决,其策略体现在两个 关键字是“元”和“转”.“元”即通过消元或换元减少变量、 化非齐次为齐次式，体现了整体处理的思想；“转”即通过因 式分解将“和”与“积”进行互相转换，通过创造条件运用基 本不等式生成关于新元不等式，进而求最值。
2.例题中难点在于将条件转化为满足运用基本不等式的条件， 解决这一难点的关键是要有较强的目标意识及相关的解题经验。 例题及变式给予我们启示，巧妙方法源于我们对问题的深入思考 与联想，需要认真审题，积累相关解题经验.通过合理转化、整 体换元等视角来处理，可能会带给你惊喜。