平面几何证明选讲
平面几何的证明方法
平面几何的证明方法平面几何是数学中的一门重要学科，它研究了平面上的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
为了证明平面几何中的命题和定理，我们需要运用一些特定的证明方法。
本文将介绍几种常见的平面几何证明方法，以帮助读者更好地理解和运用这些方法。
一、直角三角形的证明方法直角三角形是指其中一角为直角（即90度）的三角形。
证明一个三角形为直角三角形的常用方法有以下几种：1.边长关系法：利用勾股定理和勾股定理的逆定理（即若一个三角形的三边满足勾股定理，那么这个三角形一定是直角三角形）来证明。
例如，若已知三角形的两条边的平方之和等于第三条边的平方，那么可以得出这个三角形是直角三角形。
2.角度关系法：利用三角形内角和等于180度的性质，通过计算三角形的角度来判断是否为直角三角形。
例如，若一个三角形的某个角度等于90度，则可以得出这个三角形是直角三角形。
二、三角形相似的证明方法相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
证明两个三角形相似的常用方法有以下几种：1.边长比较法：通过比较两个三角形的边长比例来判断它们是否相似。
若两个三角形的三条边对应成比例，即各边之比相等，则可以得出这两个三角形相似。
2.角度关系法：利用相似三角形的对应角相等的性质来证明。
例如，若两个三角形的某两个角度相等，则这两个三角形相似。
三、平行线的证明方法平行线是具有相同斜率且永不相交的直线。
证明两条直线平行的常用方法有以下几种：1.等距离法：通过证明两条直线上任意一对平行线段之间的距离相等来判断它们平行。
若两条直线上的任意一对平行线段之间的距离相等，则可以得出这两条直线平行。
2.平行线性质法：利用平行线的性质来证明。
例如，如果两条直线分别与第三条直线平行，并且这两条直线不重合，那么这两条直线也是平行的。
四、等腰三角形的证明方法等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
证明一个三角形为等腰三角形的常用方法有以下几种：1.边长关系法：通过证明三角形的两边长度相等来判断它是等腰三角形。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
初中数学中的平面几何如何证明定理与性质
初中数学中的平面几何如何证明定理与性质平面几何是数学中的一个重要分支，包含了很多定理和性质。
在初中数学中，学生需要学习和运用这些定理和性质来解决各种几何问题。
本文将探讨初中数学中的平面几何定理与性质的证明方法。
一、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理是初中数学中的基础定理之一，它的表述是：“线段上的所有点到线段的两个端点的距离相等的直线称为线段的垂直平分线。
”我们可以通过以下步骤来证明线段的垂直平分线定理：步骤一：假设有一条线段AB，我们需要构造一条通过线段上所有点且与线段AB垂直的直线CD。
步骤二：以A和B为圆心，以AB的长度为半径，分别作两个圆。
步骤三：两个圆交于一点C和D，这两个点同时位于线段AB的垂直平分线上。
步骤四：连接线段AB的两个端点A和B与点C和D，即可得到线段的垂直平分线CD。
步骤五：通过测量线段AB上的任意一点到点C或点D的距离，可以发现它们相等。
综上所述，线段CD是线段AB的垂直平分线。
二、三角形的等腰定理三角形的等腰定理是另一个重要的定理，它的表述是：“三角形的两边相等，则两个对应的角也相等。
”要证明三角形的等腰定理，可以采用以下步骤：步骤一：假设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
步骤二：以线段AB和AC为边，以点A为顶点作一个角的平分线。
步骤三：该平分线与边BC相交于点D。
步骤四：连接点D和顶点A，此时得到线段AD。
步骤五：通过比较三角形ABD和ACD的两条边和夹角，可以得出它们相等。
综上所述，根据等腰三角形ABC的条件，我们可以证明两个对应的角也相等。
三、直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是数学中著名的定理之一，它的表述是：“对于直角三角形来说，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
”我们可以通过以下步骤来证明勾股定理：步骤一：假设有一个直角三角形ABC，其中∠C是直角。
步骤二：以直角边AB为底边，通过点C作一个与AB垂直的高CD。
步骤三：连接点C和顶点D，此时得到线段CD。
平面几何定义定理及相关证明
目录一、平面几何定理 (2)1、三角形 (2)（1）、重心 (2)（2）、垂心 (5)（3）、内心 (10)（4）、外心 (16)（5）、基本定理及其它性质 (23)○1、正弦定理 (23)○2、余弦定理 (23)○3、正切定理 (23)○4、半角定理 (24)○5、面积公式 (24)○6、三角函数 (24)2、圆 (25)垂径定理、圆周定理、切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切割线定理3、重要的几何定理（1）、托勒密定理 (26)（2）、塞瓦定理 (27)（3）、梅涅劳斯定理 (28)（4）、斯特瓦尔特定理 (29)（5）、张角定理 (29)二、反演变换 (29)三、数形结合 (33)一、平面几何定理1、三角形（1）三角形的重心三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部 [1]。
在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。
三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
3/4。
这样就构成了由中线组成的三角形，两个三角形共同的元素为○7.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明：S△AMB= S△BMC= S△CMA△AMB和△BMC以BM为底边，分别以AD、CE为高，易知AD＝CE∴S△AMB= S△BMC同理S△BMC= S△CMA○8.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
证明（物理法）由平方和联想到转动惯量I＝mr2(其中m是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离),根据转动惯量平行轴定理，可知质元绕过形心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
而对于密度相同的平面来说，形心与重心重合，所以重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
证明（代数法）建立直角坐标系,为了方便,三角形的A顶点作为坐标原点（0,0）,AB边在X轴上,B点坐标（b,0）好算,然后设出C点的坐标(m,n)；再设三角形内的任意一点为（x,y）(x2+y2)+[(x-b)2+y2]+[(x-m)2+(y-n)2]=3x2+3y2-2bx-2mx-2ny+b2+m2+n2=3x2-2(b+m)x+3y2-2ny+b2+m2+n2=3[x-(b+m)/3]2+3(y-n/3)2+ b2+m2+n2-(b+m)2/3-n2/3 只有当2个平方项全等于0时，才最小。
第7章--平面几何问题与证明PPT课件
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例如：要证明 2 不是有理数，只要证明 2 是有理数 不真就可以了。
充足理由律是指在论证过程中，任何结论的得出，必 须有充分的理由，即不能凭借“直观”、“想当然”等 主观上的“臆想” 得出结公论式。是：AB. 它的涵义是：在一个论证中，要断定论题 B 真，必须满 足：第一，论据 A 真；第二，从论据 A 能推出论题 B 。 二、证明中的三种典型错误 1. 偷换论题 把命题的条件或结论中的某些涵义加以 扩大、缩小或改变，违反“同一律”。
本科公理 前此定理 否定题设 否定题断
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已知：在△ABC中，BE、CF是∠B、 ∠C的平分线，且 BE=CF，求证： ∠B= ∠C。 改证它的逆否命题 已知：在△ABC中，BE、CF是∠B、 ∠C的平分线， 且∠B ∠C,求证： BE CF 。
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例2 设圆内接四边 ABCD 的两组对边分别交于E、F,
已知RE平分∠E，RF平分∠F， 求证：RE⊥RF。
B
E
A
2
2
G
R D
H
C
1
1
F
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由于逆求法利于思考，顺推法宜于表达，所以习惯 上对于一个命题，多半先用逆求法寻求解法，然后用顺 推法有条理的写出来。
3. 分析与综合法 有些命题，在证题过程中，单一地使用综合法或分
所以 B i A i( i 1 ， 2 ， ， n ) .
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7.1.2 推理与证明 从已知的旧知识出发，通过实践、推想、验证，可
获得前所未有的新知识，这种推陈出新的思维过程， 叫做推理。
17版：几何证明选讲（步步高）
课时1相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也________．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线______________．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段__________．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：(2)________________．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的____________；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的____________．1．(2015·南京模拟)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.2．如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的长度．3．(2015·湛江模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求BFFC的值．题型一平行截割定理的应用例1如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC 分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE·KF.思维升华当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF的长度．(2)如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，求AB的长．题型二相似三角形的判定与性质例2(2015·南京质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.思维升华(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的长．(2)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连结BD，EC.若BD∥EC，求四边形ABCD的面积．题型三射影定理的应用例3(2015·苏州调研)如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.思维升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.(2)已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD的长．1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．直角三角形中常用的四个结论在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB(如图)：(1)∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.(2)△ABC∽△ACD∽△CBD.(3)a2＝pc，b2＝qc，h2＝pq，ab＝ch(其中c＝p＋q)．(4)在a、b、p、q、h五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值．课时2直线与圆的位置关系1．圆周角与圆心角定理(1)圆心角定理：圆心角的度数等于________________．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．推论1：同弧或等弧所对的圆周角________．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆的内接四边形的对角________．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的_______________．(2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点________．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点________．3．圆的切线的性质及判定定理(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________．(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过________．4．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．与圆有关的比例线段切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长______两条切线的夹角．1．(2015·南通二模)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线P AB，C为切点．求证：AP·BC＝AC·CP.2．(2015·重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长．3．(2015·扬州质检)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的长．4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长．题型一圆周角、弦切角和圆的切线问题例1(2015·课标全国Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．思维升华(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．(1)(2015·无锡模拟)如图所示，⊙O的两条切线P A和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，求∠ACB的大小．(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满足∠ABC＝30°，过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P，求P A的长．题型二四点共圆问题例2(2015·银川一中月考)如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．思维升华(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．题型三与圆有关的比例线段例3(2015·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(1)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，求线段CE的长．第(1)题图第(2)题图(2)(2014·湖北)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A 的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，求PB的长．1．判定切线通常有三种方法：(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)与圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．2．四点共圆问题主要结合圆中有关边、角定理进行推理和说明，利用圆内接四边形的性质或判定对问题求解．3．解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．答案解析课时1 相似三角形的判定及有关性质基础知识 自主学习 知识梳理1．相等 平分第三边 平分另一腰 2．成比例3．(1)两角 两边 夹角 三边 (2)相似比 相似比的平方 4．比例中项 比例中项 考点自测1．证明 由△ABC ≌△BAD 得∠ACB ＝∠BDA ， 故A ，B ，C ，D 四点共圆，从而∠CAB ＝∠CDB . 由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA ， 因此∠DBA ＝∠CDB ，所以AB ∥CD .2．解 在Rt △ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7， 依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·AC AD＝27. 3．解 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.题型分类 深度剖析例1 证明 延长CK ，BA ，设它们交于点H ，因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DK DH.因此KO HB ＝KE HA ，即KO KE ＝HB HA .因为KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HB HA .故KO KE ＝KF KO ，即KO 2＝KE ·KF .跟踪训练1 解 (1)∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15. (2)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23，EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝EC AC ＝13.∴AD ＝3.∴AB ＝32AD ＝92.例2 证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边上的中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ， ∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC，∴FD 2＝FB ·FC . 跟踪训练2 解 (1)∵BC ∥PE ，∴∠PED ＝∠C ＝∠A ，∴△PDE ∽△PEA ， ∴PE P A ＝PDPE，则PE 2＝P A ·PD ， 又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6. (2)如图，过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10， 由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BE BD， 所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 例3 解 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC . 又FC ＝1，根据射影定理， 得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ， 即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ，∴DE ＝DC ·AFAC ＝x 2－1x.在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2， 即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.跟踪训练3 解 (1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2∶BC 2＝AD ∶BD ＝9∶4， ∴AC ∶BC ＝3∶2.(2)如图，连接AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9.课时2 直线与圆的位置关系基础知识 自主学习 知识梳理1．(1)它所对弧的度数 (2)一半 相等 直角 2．(1)互补 对角 (2)共圆 共圆 3．(1)切线 (2)半径 切点 圆心5．PC ·PD △BDP PC ·PD △PDB PB ·PC △PCA (1)PB ∠OPB 相等 平分 考点自测1．证明 因为PC 为圆O 的切线，所以∠PCA ＝∠PBC ， 又∠CP A ＝∠BPC ，故△CAP ∽△BCP ， 所以AC BC ＝APCP ，即AP ·BC ＝AC ·CP .2．解 首先由切割线定理得P A 2＝PC ·PD ，因此PD ＝623＝12，CD ＝PD －PC ＝9，又CE ∶ED＝2∶1，因此CE ＝6，ED ＝3，再由相交弦定理AE ·EB ＝CE ·ED ，所以BE ＝CE ·ED AE ＝6×39＝2.3．解 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BCEF ，∴EF ＝3.4．解 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.∵AB ＝20， ∴AC ＝10，BC ＝10 3.∵CD 为切线，∴∠BCD ＝∠A ＝60°. ∵∠BDC ＝90°，∴BD ＝15，CD ＝5 3.由切割线定理得DC 2＝DE ·DB ， 即(53)2＝15DE ， ∴DE ＝5.题型分类 深度剖析例1 (1)证明 连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB .在Rt △AEC 中，由已知得，DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB . 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)解 设CE ＝1，AE ＝x ， 由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2.由射影定理可得，AE 2＝CE ·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0.可得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.跟踪训练1 解 (1)如图所示，连接OA ，OB ，则OA ⊥P A ，OB ⊥PB . 故∠AOB ＝110°， ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°.(2)如图，连接OA ，由圆周角定理知∠AOC ＝60°，又OA ⊥P A ，在Rt △POA 中，P A ＝OA ·tan ∠AOC ＝1×3＝ 3.例2(1)证明如图，连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠P AC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.跟踪训练2证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故点O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．例3(1)证明因为DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)解 由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32， 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3， 由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.跟踪训练3 解 (1)由相交弦定理得AF ·FB ＝DF ·CF ，由于AF ＝2FB ，可解得FB ＝1，所以BE ＝12.由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝74，即CE ＝72.(2)由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2. 由切线长定理得PB ＝P A ＝2QA ＝4.。
平面几何-五大定理及其证明
平面几何 定理及其证明一、 梅涅劳斯定理1．梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线和∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有．证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ． 因为CG // AB ，所以 ————（1） 因为CG // AB ，所以 ————（2）由（1）÷（2）可得，即得． 2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若，那么，D 、E 、F 三点共线． 证明：设直线EF 交AB 于点D /，则据梅涅劳斯定理有．因为 ，所以有．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 和D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．二、 塞瓦定理3．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点和∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有．证明：运用面积比可得．根据等比定理有 ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-， 所以．同理可得，． 三式相乘得．4．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 和直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有．因为 ，所以有．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 和D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 三、 西姆松定理5．西姆松定理及其证明 定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．ABCDEFPA B C DEFD / A B CD E F G证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /．因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ． 所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。
中考数学平面几何的重要定理与证明方法
中考数学平面几何的重要定理与证明方法数学中的平面几何是中考数学中的一个重要部分，其中涉及了许多重要的定理和证明方法。
了解这些定理和方法对于应对中考数学题目至关重要。
本文将介绍中考数学平面几何的一些重要定理，并阐述其证明方法。
一、直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是平面几何中最常用的定理之一。
它表明，在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边平方的和。
定理表述如下：在直角三角形ABC中，假设∠C为直角。
设AB=c，BC=a，AC=b，则有a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法多种多样，下面我们介绍其中一种思路。
证明思路：我们以直角边AC为边，构造正方形ACDE。
连接BD。
由正方形的性质可知，∠ADC是直角，且AD=DC=AC=b。
根据正方形对角线的性质可知，AC²+AD²=CD²。
此外，根据余弦定理可知，∠CBD的余弦值为：cos∠CBD=(AC²+BC²-BD²)/(2×AC×BC)。
由于∠ACB=90°，所以cos∠ACB=0，即AC和BC垂直。
因此，cos∠CBD=0，即AC²+BC²=BD²。
由于BD²=CD²，所以AC²+BC²=CD²，即a²+b²=c²。
证毕。
二、全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法是平面几何中另一个重要的定理。
掌握了全等三角形的判定方法，可以快速解决一些与全等三角形相关的题目。
定理表述如下：两个三角形的对应边长度相等，且对应角相等，则这两个三角形全等。
全等三角形的判定方法主要有以下几种：1. SSS判定法（边边边）：若两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法（边角边）：若两个三角形的两边分别相等，且夹角也相等，则这两个三角形全等。
《选修4-1 几何证明选讲》核心考点15.平面与圆柱面的截线
《选修4-1 几何证明选讲》核心考点与典型例题
知识点15：平面与圆柱面的截线
常考题型：求平面与圆柱面的截线图形的几何性质
方法详述：根据截面的形状，研究几何图形的几何性质
例1 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的长轴长_____，短轴长_____，离心率为_____．
答案：8cm ，12cm ，12
． 分析：根据平面与圆柱面的截线及椭圆的性质，可得圆柱的底面直径为12cm ，截面与底面成30°，根据截面所得椭圆长轴、短轴与圆柱直径的关系，我们易求出椭圆的长轴长和短轴长，进而得到椭圆的离心率．
解析：∵圆柱的底面直径d 为12cm ，截面与底面成30°
∴椭圆的短轴长212b d cm ==
椭圆的长轴长2cos30
d a cm == 根据得，椭圆的半焦距长2c cm =，
则椭圆的离心率12
c c a ===． 故答案为：8cm ，12cm ，
12． 高考试题精析 【2014年高考题改编】如图，AB 是圆柱体OO ′的一条母线，BC 过底面圆的圆心O ，D 是圆O 上不与点B ，C 重合的任意一点，已知棱AB=5，BC=5，CD=3．
(1)求直线AC 与平面ABD 所成的角的大小；
(2)将四面体ABCD 绕母线AB 转动一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
径的圆上，所以BD ⊥DC ，因为
【练习】
1．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S=( )
A ．22600cm
B ．25200cm
C ．22600cm π
D ．2
5200cm π。
初中数学的解析平面几何的性质与证明方法解析
初中数学的解析平面几何的性质与证明方法解析解析平面几何是初中数学中的一个重要内容，通过解析平面几何的学习，可以使学生更好地理解和应用数学知识。
本文将从性质和证明方法两个方面来解析初中数学中的解析平面几何。
性质一：平面几何中的角平分线性质角平分线是指将一个角分为两个相等的角的直线。
对于一个已知角ABC，它的角平分线可以通过以下性质来确定：1. 角平分线总是从角的顶点出发，并与角的两边相交于直线上的一个点，该点将角划分为两个相等的角。
2. 角平分线与角的两边所成的角相等。
3. 针对直角三角形，角平分线也是高的一条。
证明方法一：构造法要证明一个直线是角的平分线，可以使用构造法。
具体步骤如下：1. 使用尺规作图工具画出已知角ABC。
2. 以角的顶点A为圆心，任意半径画一个弧，与角的两边交于点D、E。
3. 连接顶点A和弧上的两个交点D、E，得到线段DE。
4. 证明线段DE与角的两边所成的角相等，即可得出线段DE为角ABC的平分线。
性质二：平面几何中的相似三角形性质相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
在解析平面几何中，相似三角形的性质如下：1. 对于两个相似三角形，对应角一定相等。
2. 对于两个相似三角形，对应边的比值相等。
3. 对于两个相似三角形，对应角度的正弦、余弦、正切函数值相等。
证明方法二：AA判定法AA判定法是判定两个三角形相似的一种方法。
AA判定法指的是两个三角形中两个对应角相等，则这两个三角形相似。
具体步骤如下：1. 通过给定条件找出两个三角形中两个对应角相等的情况。
2. 证明这两个对应角相等。
3. 根据AA判定法得出两个三角形相似。
通过以上的性质和证明方法，我们可以更好地理解和应用解析平面几何。
在学习和解题过程中，我们可以灵活运用性质来简化问题，同时也可以通过证明方法来加深对性质的理解。
总结：初中数学中的解析平面几何是一个重要的内容，通过学习解析平面几何的性质和证明方法，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
平面几何中的证明认识平面几何中的证明方法
平面几何中的证明认识平面几何中的证明方法平面几何中的证明方法平面几何作为数学的一个重要分支，研究了平面上的点、线、面以及它们之间的关系和属性。
在平面几何的学习中，证明是一项至关重要的技能，它能够帮助我们理解和掌握平面几何的基本概念、定理和推理方法。
在本文中，我们将探讨平面几何中常用的证明方法，旨在帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、直线的垂直性证明方法直线的垂直性常常需要通过证明两个直线的斜率乘积为-1来判断。
具体的证明步骤如下：步骤 1：设直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。
步骤2：根据两条直线垂直的定义，我们知道它们的斜率乘积为-1，即k1 * k2 = -1。
步骤 3：通过数学计算证明斜率乘积等于-1，从而证明直线L1和L2垂直。
二、三角形的全等性证明方法在平面几何中，证明两个三角形全等常常需要使用几何中的各种条件和方法。
下面是一种常用的全等性证明方法：步骤 1：根据所给的条件，找出两个三角形，并找出它们对应的相等边和夹角。
步骤 2：根据全等三角形的定义，我们知道如果两个三角形的两边分别相等，并且夹角相等，那么这两个三角形就是全等的。
步骤 3：通过对两个三角形的边和夹角进行比较，利用全等三角形的定义进行证明。
三、四边形的性质证明方法四边形是平面几何中的一个常见形状，它具有多种性质和分类。
下面是其中一种四边形性质的证明方法：步骤 1：根据所给的条件，找出所要证明的四边形，并确立所要证明的性质。
步骤 2：利用几何定理和推理方法，根据所给的条件和所要证明的性质进行逻辑推导。
步骤 3：通过推导和演算，最终得出结论，证明所要证明的四边形具有所要证明的性质。
四、圆的性质证明方法圆是平面几何中的一个基本图形，它具有许多独特的性质和定理。
下面是其中一种证明圆的性质的方法：步骤 1：根据所给的条件，找出所要证明的圆，并确定所要证明的性质。
步骤 2：利用圆的定义、定理和推理方法，通过逻辑推导证明所要证明的性质。
平面几何证明课件
平面几何证明课件在平面几何学中，证明是一项非常重要的技能。
通过证明，我们可以推导出新的数学结论，深入理解几何形状和性质。
本课件将介绍平面几何中常见的几何证明方法和策略，帮助学生掌握这一技巧。
一、直线的垂直性证明1. 两条线段垂直的判定方法在平面几何中，两条线段垂直的条件有多种判定方法，比如垂直平分线、互补角、正交性等。
下面我们将逐一介绍这些方法，并通过示例来展示应用。
2. 垂直平分线的性质及证明垂直平分线是指平分一条线段，并使得被平分的线段两边的角度相等且垂直。
我们将通过构造证明的方法来说明垂直平分线的性质。
3. 互补角的性质及证明互补角是指两个角的和为90°的角对。
通过构造线段和运用角的性质，我们可以证明两条线段互相垂直。
4. 正交性的定义及证明正交性是指两条线段相交成直角。
我们将通过构造线段、运用性质和推理的方法来证明两条线段的正交性。
二、三角形的性质证明1. 三角形的角和性质及证明三角形是平面几何中最基本的形状之一。
在本节中，我们将证明三角形内角的和恒为180°，并通过构造、运用性质和推理来证明这一结论。
2. 等边三角形的性质及证明等边三角形是指三条边都相等的三角形。
我们将通过构造线段、角的性质和推理的方法来证明等边三角形的性质。
3. 直角三角形的性质及证明直角三角形是指其中一个角为90°的三角形。
我们将介绍勾股定理，并通过构造、运用性质和推理来证明直角三角形的性质。
三、平行线和比例证明1. 平行线的性质及证明平行线是指在同一个平面内两条线段永不相交的线段。
我们将介绍平行线的定义及其重要性质，并通过构造线段和推理的方法来证明平行线的性质。
2. 三角形内部平行线性质证明在三角形中，当一条线段与两边平行时，将会有一些特殊的性质出现。
我们将通过构造线段、推理和应用平行线的性质来证明这些性质。
3. 比例定理的证明比例定理是指在平面几何中，两个相似三角形中对应边的比例相等。
几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）
⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。
推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。
判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。
判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。
简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。
平面几何证明思路与方法
平面几何证明思路与方法平面几何证明是数学中重要的一个分支，主要研究几何关系和形状间的证明方法。
通过合理运用各种证明思路与方法，我们可以得到具有准确性和严谨性的结论。
本文将介绍几种常用的平面几何证明思路与方法，帮助读者更好地理解和运用。
一、直角三角形的证明思路与方法直角三角形是平面几何中最基础的三角形之一，其具有许多重要性质与定理。
我们来介绍一种证明思路与方法，即使用直角三角形的性质构造所需的图形，并证明所求结论。
例如，我们要证明一个三角形ABC是直角三角形。
首先，我们可以通过给定的条件来寻找直角的线索，如一个角为90度。
然后，我们可以通过画辅助线、应用勾股定理或正弦定理等方法来推导所需的结论。
二、相似三角形的证明思路与方法相似三角形是平面几何证明中的另一个重要概念，其涉及到三角形边长、角度、比例等关系。
下面是一种证明思路与方法，即利用相似三角形的性质来推导所求的结论。
假设我们要证明两个三角形ABC和DEF相似。
首先，我们可以通过观察两个三角形的对应角是否相等，或者两个三角形的对应边长是否成比例来判断它们是否相似。
然后，我们可以应用相似三角形的性质，如比例线段定理、角对应定理等来进行证明。
三、四边形的证明思路与方法除了三角形，四边形也是平面几何证明中常见的对象。
它有丰富的性质和定理，可以通过多种证明思路和方法来验证。
以下是一种常用的证明思路与方法，讨论四边形的特殊性质与定理。
以证明一个四边形ABCD是矩形为例。
首先，我们可以观察四边形的特点，如四个内角是否为直角等。
然后，我们可以应用矩形的性质，如对角线相等、互补角相等等来证明所需的结论。
四、用数学推理证明除了利用几何图形和性质进行推导外，平面几何证明也可以运用数学推理的方法。
以下是一种常见的证明思路与方法，即通过引入假设、构造方程等方式来进行证明。
通过假设法进行数学推理是一种常见的证明方法。
我们可以设定一个假设，然后通过逻辑推理、代数计算等方式来推导结论。
平面几何选讲—利用塞瓦定理解决完全四边形问题
广州大学 唐松锦 2011.1.26
一、试题展示：2010年全国高中数学联合竞赛试题（A卷）二试（题一）
如图1，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线
BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A、B、D、C
G
H
M
②
在△APQ 和△AMN 中，分别应用塞瓦定理得
AB PG QC 1,
③
BP GQ CA
AB MH NC 1.
④
BM HN CA
综合式①至④得
BP CQ BG CQ BC ∥MN BM CN BN CN
OK ⊥ BC K 是边 BC 的中点. 这与 K 不是边 BC 的中点矛盾。 所以，点 D 不能在⊙O 外。 同理，点 D 也不能在⊙O 内。 故点 D 一定在⊙O 上，即 A、B、D、C 四点共圆。 （刘才华 山东省宁阳第一中学，271400）
BK CN AM 1 BK BM AN .
KC NA MB
KC MA NC
设△AMN 底边 MN 上的高为 h.则
BB BB h BM AN BK BP . CC h CC MA NC KC CP
A
O
C
BK
D
所以，Rt△B B P∽Rt△CC′P.
ME NC AB 1，M1E1 N1C AB 1. EN CA BM E1N1 CA BM1
又因 ME = M1E1 ，所以 N1C BM 1 .
EN E1N1
NC BM
于是，BC∥MN.
或由
二平行线分线段成比例定理-人教A版选修4-1几何证明选讲教案
二平行线分线段成比例定理-人教A版选修4-1 几何证明选讲教案一、知识概述平行线分线段成比例定理，即若一条直线与两条平行线相交，则该直线在平行线间所截线段的两个端点与其中一个平行线上截得的两个线段成比例。
它是高中几何中比较重要的定理之一。
该定理在人教A版选修4-1中属于第二章“平面几何基础”中的第一节“距离、勾股定理、比”，对学生发展空间想象能力、解决实际问题有极大的帮助。
本课教师将结合实际应用情况讲述该定理的证明过程，并对学生进行带领式讨论与研究，引导学生从计算中发掘问题背后的本质。
二、教学目标1.了解平行线的基本定义及特性；2.掌握平行线分线段成比例定理的基本内容；3.能应用学习到的知识解决实际应用问题；4.提高学生的分析问题、归纳总结能力。
三、教学过程1. 分组讨论阶段教师首先将学生分为若干个小组，每个小组人数不超过4人。
下发每组一份平行线分线段成比例定理证明题目，要求其利用图形、证明等方式得出证明过程。
教师引导学生思考以下问题：1.如何看待平行线分线段成比例定理的本质？2.通过什么形式证明该定理？3.如何能更好地利用证明过程解决类似的实际问题？2. 汇报成果阶段教师在第一阶段的基础上，将每个小组的成果呈现在黑板上，让每组成员依次对自己的证明过程进行讲解，并由教师和其他小组提出疑问或进行补充说明。
3. 案例解析阶段教师在讲解完每个小组的成果之后，对该定理的证明过程进行总结并引入到一个实际问题中。
例如：“假设你现在制作一架桥，仅通过制图的方式，在统计出桥下方河面水深为38米，而桥梁总长800米，其中约有300米处无法利用物理测量方式得出河面水深，请问该如何计算出上述区间的水深？”。
引导学生利用平行线分线段成比例定理计算出上述区间的水深，并对其疑问进行解答。
四、教学效果通过以上教学过程，学生深刻认识到平行线分线段成比例定理的本质及其应用，同时在讨论的过程中，也增强了同学间的交流与合作，展示了平等、民主、关爱的良好教育氛围。
数学--安徽省数学竞赛名师专题讲座 平面几何证明
安徽省数学竞赛名师专题讲座：平面几何证明1．线段或角相等的证明（1）利用全等△或相似多边形；（2）利用等腰△；（3）利用平行四边形；（4）利用等量代换；（5）利用平行线的性质或利用比例关系（6）利用圆中的等量关系等。
2．线段或角的和差倍分的证明（1）转化为相等问题。
如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。
（2）直接用已知的定理。
例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。
3．两线平行与垂直的证明（1）利用两线平行与垂直的判定定理。
（2）利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。
（3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。
【竞赛例题剖析】【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。
从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。
求证：BE平分CD。
【分析1】构造两个全等△。
连结ED、AC、AF。
CF=DF←△ACF≌△EDF←←←∠PAB=∠AEB=∠PFB【分析2】利用圆中的等量关系。
连结OF、OP、OB。
←∠PFB=∠POB←←注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。
【例2】△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。
求证：PM=MS充要条件是PN=NT。
【分析】只需证， PM·PN=MS·NT。
（∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN→→PM·PN=AM·BN（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA→→MS·NT=AM·BN【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。
平面几何的证明方法
平面几何的证明方法平面几何是几何学的一个重要分支，它研究平面上的点、线、面及其之间的关系和性质。
证明是其中一个重要的环节，通过证明可以得到几何命题的正确性。
本文将介绍平面几何的证明方法和一些常用的几何性质。
一、直接证明法直接证明法是平面几何中常用的一种证明方法，也被称为论证法。
该方法基于已知条件和推理，逐步论证命题的正确性。
下面通过举例来说明直接证明法的运用。
例题：证明一个等边三角形的三个内角都是60°。
解答：已知等边三角形的三边相等，假设这个等边三角形的边长为a。
连接三个顶点到三条边的垂直平分线，将等边三角形分成三个等边三角形。
根据正三角形的性质，每个等边三角形的一个内角为60°。
因此，一个等边三角形的三个内角都是60°。
证毕。
二、间接证明法间接证明法是平面几何中另一种常用的证明方法，也被称为反证法。
该方法通过假设命题的否定，推导出矛盾或不符合已知条件的结论，从而证明原命题的正确性。
下面通过举例来说明间接证明法的运用。
例题：证明在直角三角形中，斜边最长。
解答：假设在直角三角形ABC中，斜边AC不是最长边。
根据直角三角形的性质，直角边BC小于斜边AC，而直角边AB小于斜边AC。
根据三角形两边之和大于第三边的性质，我们可以得出BC+AB大于AC。
这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即斜边AC是最长边。
证毕。
三、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，也可以应用于平面几何的证明过程中。
该方法基于归纳假设，通过证明命题在某个条件下成立，并在此基础上推理出命题在下一个条件下也成立，从而证明了整个命题的正确性。
例题：证明一个正多边形的内角和为180°。
解答：当正多边形的边数为3时，是一个三角形，根据三角形内角和为180°的性质，命题成立。
假设正多边形的内角和为180°。
在此基础上，假设正多边形的边数为n，并且内角和为180°。
我们来证明当边数增加1时，内角和仍为180°。
初中数学教案平面几何的判定与证明
初中数学教案平面几何的判定与证明初中数学教案平面几何的判定与证明一、直线的判定与特性直线是平面几何的基本要素之一，下面将介绍直线的判定方法和其特性。
1. 两点确定一条直线直线的判定方法之一是通过两点的坐标确定一条直线。
已知两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，可以使用斜率公式来判定这两点确定的直线是否存在。
斜率公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)如果两点的斜率相等，则它们在同一条直线上。
2. 垂直线的判定两条直线相互垂直的判定方法是斜率乘积为-1。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则有以下关系：k1 * k2 = -1两条直线的斜率相乘为-1时，它们相互垂直。
3. 平行线的判定两条直线相互平行的判定方法是它们的斜率相等。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则有以下关系：k1 = k2两条直线的斜率相等时，它们相互平行。
4. 直线的特性直线具有以下特性：（1）直线上任意两点可连接成一条直线。
（2）直线的两边无限延伸。
（3）直线的长度可以是无限的。
（4）直线没有起点和终点，可以无限延伸。
二、角的判定与特性角是两条射线的交点的内部部分，下面将介绍角的判定方法和其特性。
1. 角的判定方法角的判定方法主要有以下几种：（1）用角度判定：根据角所在弧对应的圆心角大小，可将角分为锐角、直角、钝角和平角。
（2）用边的判定：根据角的两边的位置关系，可将角分为邻角、对顶角和对角。
2. 角的特性角具有以下特性：（1）角的大小用角度来度量，单位为度。
（2）锐角的度数小于90°，直角的度数等于90°，钝角的度数大于90°，平角的度数等于180°。
（3）邻角是指顶点相同，且两边共线的两个角。
（4）对顶角是指两个角的顶点和两边成一条直线的两个角。
（5）对角是指两个平行线被一条横切线所交的内对顶角或外对顶角。
三、三角形的判定与特性三角形是由三条线段组成的图形，下面将介绍三角形的判定方法和其特性。
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弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角
C E
O A P
B
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成 的两条线段长的积相等.
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这 一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等.
切割线定理：从圆外一点引圆的切线与割线, 切线长是这点到割线与圆交点的 两条线段长的比例中项.
判定定理1:对于任意两个三角形，如果一个三 角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相 等，那么这两个三角形相似. 即：两角对应相等，两三角形相似.
判定定理2:对于任意两个三角形，如果一个三 角形的两边与另一个三角形的两边成比例，并 且夹角相等，那么这两个三角形相似. 即：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等,圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角.
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边 延长线）所得的对应线段成比例，那么这条 直线平行于三角形的第三边
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个 三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例，那么这两个三角形相似. "三边对应成比例，两三角形相似"
两个直角三角形相似的判定定理
Байду номын сангаас
定理（1）如果两个直角三角形有一个锐角对 应相等，那么它们相似. （2）如果两个直角三角形的两条直角边 对应成比例，那么它们相似.
定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直 角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对 应成比例，那么这两个直角三角形相似.
相似三角形的性质
相 似 三 角 形 的 性 质 定 理 ： （ 1） 相 似 三 角 形 对 应 高 的 比 、 对 应 中 线 的 比 和 对 应 角 平 分 线 的 比 都 等 于 相 似 比 ； （ 2） 相 似 三 角 形 周 长 的 比 等 于 相 似 比 ； （ 3） 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方 .
几何证明选讲
------- 高三复习
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边.
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 平分另一腰.
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条 AB DE 直线,所得的对应线段成比例.即 = BC EF
圆内接四边形性质定理
定理1:圆内接四边形的对角互补. 定理2:圆内接四边形的外角等于 它的内角的对角.
圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的 对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.
推论:如果四边形的一个外角等于它的内角 的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.
切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心.
结 论 ： 相 似 三 角 形 外 接 圆 的 直 径 比 、 周 长 比 等 于 相 似 比 ， 外 接 圆 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 .
直角三角形中的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边 上射影的比例中项；两直角边分别是它们 在斜边上射影与斜边的比例中项。
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧 的度数。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同 圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例.
相似三角形
预备定理:平行于三角形一边的直线和其他 两边（或两边延长线）相交，所构成的三 角形与原三角形相似. 定义：对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形，相似三角形对应 边的比值叫做相似比（或相似系数）