高三数学多面体与球
高三数学二轮复习：多面体与球的切、接问题
V柱体 V锥体 V台体 V球体
S圆柱侧 S圆锥侧 S圆台侧 S球
棱长为a的正四面体外接球半径： 棱长为a的正四面体内切球半径： 棱长为a的正四面体的高：
常见公式识记
V柱体 Sh
S圆柱侧 2rl
V锥体
1 3
Sh
S圆锥侧 rl
1 V台体 3 (S上 S下 S上S下 )h
边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=
．
外接球
内切球
棱切球
外接球
P
C B
D
c
A
a
b
C B
D
2R a2 b2 c（2 体对角线）
练一练 1.（2023年乙卷文第16题）已知S，A，
B，C均在半径为2的球面上，⊿ABC 是边长为3的
等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=
．
2.已知三棱锥P ABC的四个顶点均在同一球面上，PC 平面ABC，PC BC 6， AB 2 6，且PA与平面ABC所成角的正弦值为 6 ，则该球的表面积为 .
6
思考：如何建立R, r, d, h的等量关系？？
思考
在三棱锥P ABC中，PB PC，BAC 60，若BC 2， 则三棱锥P ABC外接球表面积的最小值为 .
小结
求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可 以还原到正方体或长方体中去求解； (2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性 底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶 点的距离也是半径，列关系式求解即可.
该球的体积为36Π，且 3 l 3 3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
高三数学一轮复习讲义 专题47 多面体与球
专题47 多面体与球考纲导读：考纲要求: 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念. 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.考纲解读: 多面体、凸多面体的命题属于立体几何中不常见的题型,此类命题也往往依附于正棱锥或正锥柱. 高考中立体几何球类试题主要考查的是考生的球体建模能力及空间想像能力、而在内容上，作为选择题或填空题求球面上距离与角度的计算试题是多年来较为稳定的考查内容．考点精析： 考点1、 多面体此类题型以正多面体为截体，考查求线面关系、求角或求距离，近几年高考中经常出现此类问题.【考例1】 (·江苏)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一 个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体 体积的可能值有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷多个解题思路：几何问题的策略.该题渗透了新课标中三视图的解法,应引起足够的重视.正确答案：解法一:八面体上下两项点间距离即两正四棱锥高之和为定值1,则本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.其面积变化体积显然变化.应选D.解法二:如图所示,在正方体的俯视图中,可得正 八面体中截面四边形正方形ABCD 的内接于另一个 正方形,此正方形ABCD 的面积的范围为1[,1)2S ∈ ∴八面体的体积1111[,363V S =⨯∈, 即其体积的 可能值有穷多个.故应选D.回顾与反思：由正多面体的定义可以推知正多面体有两个特点；正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段.知识链接：对于多面体而言，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.【考例2】 (·南通中学模拟6)一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示． （1）求A A 1与平面ABCD 所成角的大小及面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小； （2）求此多面体的表面积和体积.解题思路：通过几个图形可以找出面面垂直与棱长间的关系, 可以用面积法求二面角的平面角的大小,用分割法求几何体的体积.正确答案：（1）由已知图可得，平面⊥AB A 1平面ABCD ， 取AB 中点H ，连接H A 1．在等腰AB A 1∆中有AB H A ⊥1，则⊥H A 1平面ABCD ，AB A 1∠是A A 1与平面ABCD 所成角，AH B A 21=，∴AB A 1∠2arctan =取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即A HK ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影，在11D AA ∆中，a D A a AD AA22,251111===，28311a S D AA =∆又281a S AHK =∆，设面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为α，则31c os 11==∆∆D AA AHK S S α ∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为31arccos． （2）此多面体的表面积22222522214834a a a a a S =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+= 此多面体的体积33652221314a a a a a V =⋅⋅⋅⋅⋅-=回顾与反思：该多面体仍是一类重要的很规范的多面体，特别是通过几个视图的观察与分析可以较为迅速地掌握它们的性质和特征.知识链接：表面能经过连续变形变为球面的多面体叫作简单多面体, 凸多面体都是简单多面体，但不是凸多面体的多面体也可能是简单多面体.考点2、球面距离问题本题型主要考查球面距离的概念及求法，同时还涉及到经度和纬度问题，这是球的一个主要内容，它在实际中有广泛的应用，高考中多为选择或填空题.【考例1】 (·西城区抽样)过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =3，则球的半径是 .解题思路：作出球面示意图,根据截面圆的性质可以作一直角三角形求其球的半径的长.正确答案：如图所示,由3AB BC CA ===,取ABC ∆的中心PABC DO 1M O 连接A 1O ,O1O , 则A 1O = 233=, 又由112OO R =,及22211OO AO R +=可得 22134R R +=,解之得2R =. 回顾与反思：本题考查了球的概念及其截面的性质.空间球体的建模与化归思想的掌握. 球的直观图及球体的模型建构是考生空间想象中的一个难点,牢记球体模型是一个捷径.知识链接：球的截面的性质.①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r =22d R -.【考例2】 (·山东)设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为( )B.6R πC.56R π D.23R π解题思路：本题考查球面距离的运算.求两点间的球面距离,由经度与纬度可以计算得球心与球面上两点的圆心角的大小,再求其球面距离.正确答案：先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠A O B =120°，∴ A 、B 两点间的球面距离为31×2πR =23R π.故应选D. 回顾与反思：在解决球的问题时，经常遇到与地球的经线、纬线、经度、纬度有关的问题.纬线：是与地轴垂直的截面截地球表面所得到的圆.纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆. 经线：是地球表面上从北极到南极的半个大圆.经线圈是过地轴的截面截地球表面所得到的圆，它们都是大圆.纬度：某地点的纬度，就是经过这点的球的半径与赤道所在平面所成角的度数.纬度角是一个线面角.经度：某地点的经度，就是经过这点的经线及地轴确定的半平面与0°经线及地轴确定的半平面所成的二面角的度数.经度角是一个二面角.0°经线也叫做本初子午线.东经180°经线和西经180°经线是同一条经线，即180°经线.0°经线和180°经线合成一个通过南北两极的大圆.知识链接：球面距离.在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.考点3、球的表面积与体积本题型主要通过利用球的截面性质确定球的半径，再利用球的表面积和体积公式进行计算, 高考中多为选择或填空题.【考例1】(·连云港市一模) 正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该四棱锥的底面边长为4,侧棱长为62,则这个球的表面积为____________.解题思路：球心必在正四棱锥的高线上,解该球心所在的正四棱锥的特征直角三角形可得球半径,由此可得球的表面积.正确答案：如图所示,取下底面正方形ABCD 的中心O1, 设球心为O ,球半径为R, 则PD =4AB =,1O D =∴14PO ==.∵22211OO O D OD +=, ∴22(4)8R R -+=, 解之得3R =,∴2436S R ππ==球.回顾与反思：本题考查了球的概念及其截面的性质.空间球体的建模与化归思想的掌握. 球的直观图及球体的模型建构是考生空间想象中的一个难点,牢记球体模型是一个捷径.知识链接：球的体积定理 半径是R 的球的体积V =34πR 3. 球的表面积定理.半径是R 的球的表面积S =4πR 2.【考例2】 (·山东文)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9解题思路：正方体的对角线为其外接球的直径,正方体的棱长的一半为其内切球的半径.正确答案：设正方体的边长为a ,则内切球的半径2a r =, V 1,63433a r ππ==外接球的半径R=a 23, =2V 334,3r a π=则21:V V 63a π=:323a π33:1=,故选C. 回顾与反思：本题考查了球体的建模与球的截面的性质. 求解的关键在于找出正主体的棱长与内切球及外接球的半径间的关系式.知识链接：推导球的体积、表面积公式的方法，是“分割，求近似和，再由近似和转化为准确和”的方法.推导球的体积公式时，是将球分割为许多“小圆片”；推导球表面积公式时，是将球分割为许多“小锥体”.由于前面已经推出了球体积公式，所以在推导球表面积公式时，借助于球体积公式进行了变形.对于这一推导，同样要了解其所运用的基本思想方法.创新探究：【探究1】如图所示,一个倒置的正四面体A-BCD 容器中放置了一个半径为1的小球,小球与相邻的三个侧面均 相切,则小球球心O 到容器底,即到正四面体顶点A 的距离 OA= ( )A. 4B. 3创新思路：本题考查球内切于几何体问题是一个常见的考点,本题将球内切问题转换一种说法,使问题情境变得较为新颖,考查了考生建立立几模型解决实际问题的能力.解析: 如图所示,正四面体的斜高h '、斜高在底面上的射影r 、 高h 构成了一个直角三角形,其中斜高与高所成角θ的正弦值1sin 3r h θ==', 由内切球的半径为R=1, 可得球心到四面体顶点的距离3sin ROA θ==,故应选B. 【探究2】一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形,这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数mn,那么积m n ⋅是( ) A. 6 B. 3 C. 54 D. 24创新思路：本题考查建立了等体积模型,将几何体分割成若干个等高的几何体,从而求解出球的半径 .引类问题涉及几何体的切割问题,也是一个高考的热点问题.解析: 设六面体与八面体的内切球半径分别为1r 与2r ,再设六面体中的正三棱锥A-BCD 的高为1h ,八面体中的正四棱锥M-NPQR 的高为2h ,如图所示,则1h a =,22h a = . ∵V 正六面体=11112633BCD ABC h S r S ⋅⋅=⋅⋅ ,∴1113r h == . 又∵V 正八面体=22112833MNP h S r S ⋅⋅=⋅⋅ 正方形MPQR ,322a =, 2r =,于是1223r r ==,23是既约分数,即m n ∴ 6m n ⋅= .故应选A. 方法归纳：1.对球的考察一般不会出现在大题目中，而往往以应用题为背景做简单的考察，考生要牢记表面积和体积公式（不管试卷是否提供）、熟悉一些地理术语,要求考生具有一定的空间想象能力、抽象能力以及分析问题的能力和处理问题的一定技巧;2.球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内接长方体问题.过关必练：MP NRO 22h2rFQABC DO 11h1r EB 一、选择题:1. (·安徽理9文6)表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A B ．13π C ．23π D 2. (·四川文)如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶 点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是() A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π3. (·四川理)已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是( )A.4πB. 3πC. 2πD. 23π4. (·南通中学模拟6)如图是一个由三根细铁杆,,PA PB PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60，一个半径为1则球心O 到点P 的距离是( )A B C 、2 D 、3 5. (·浙江理)如图，O 是半径为1的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是( )A ．4π B ．3π C ．2π D ．4二、填空题:6. (·西城区抽样)若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积为9π，则球的面积是__________.7. (·湖北八校二联)设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ,0=⋅AB AD ，用321S S S 、、分别表示△ABC 、△ABD 、△ACD 的面积，则321S S S ++的最大值是 _______ ____.8. (·宿迁模)球面上有A ，B ，C 三点，AB =BC =CA =6，若球心到平面1A BCPEFABC 的距离为4，则球的表面积是 .9. (·陕西理15文16)水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .10. (·海淀4月期中)若球O 的半径长为13，圆O 1为它的一个截面，且OO 1=12，则圆O 1的半径长为_____;点A 、B 为圆O 1上的两定点，AB=10，若C 为圆O 1上的动点，则△ABC 的最大面积为 .三、 解答题:11. (·天津)如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，侧面11B BCC 与底面ABC所成的二面角为120︒，E 、F 分别是棱1CB 、1AA 的中点.（Ⅰ）求1AA 与底面ABC 所成的角；（Ⅱ）证明E 1A ∥平面1B FC ；（Ⅲ）求经过1A 、A 、B 、C 四点的球的体积．12. (·辽宁)已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、 AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB. （Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上， 求△ABC 的边长.13. (·天津理19文19)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//1 2EF BC=．（Ⅰ）证明FO//平面CDE；（Ⅱ）设BC=，证明EO⊥平面CDF．14. (·成都市摸底)A BDROR过关必练参考答案：1. A 解析:如图所示,正八面休中外接球的球心为O, 则直径AB=2R , OA=OB=R , 可求得正八面体的棱长AD =,∵正八面体的表面积228)S ===∴R =, 于是得球的体积为343V π==球, 故应选A. 2. D 解析:设球半径为R,, 高为R , ∴231216)333V R R =⨯⨯==正四棱锥, 解这得2R =, ∴2416S R ππ==球, 故应选D.3. C 解析:如图所示,由A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π， B 、C 两点的球面距离是3π,可得4AOB AOC π∠=∠=,3BOC π∠=, ∴1BC OC OB ===.过点C 作CM OA ⊥,垂足为M, 连接BM, 则BM OA ⊥,即得 BMC ∠就是二面角B C OA --的平面角. ∵sin 4MC MB OC π===∴BMC ∠=2π,即得二面角B C OA --的大小为2π, 故应选C. 4. A 解析: 连PO 并延长交球于点O 1, 作CO 1⊥PO, 连接OT(T 为切点) ,设PC= a ,由OT=1可得113sin O C OTCPO PC PO a PO∠===== PO =.故应选A.5. B 解析:分别过点E 、F 作EM ⊥OB 于点M,FN ⊥OC 于点N, 连结OE 、OF 、MN 、EF, 由点E 、F 分别是大圆弧 AB 与AC 的中点, ∴∠EOM=∠FON=045, 设球半径为R,C则0cos 452OM ON EM FN R R =====, 又∵//EM FN , ∴EF//MN 且EF=MN ∴EF=MN 2R R ==, ∴OEF ∆为等边三角形, 即∠EOF=060, ∵R=1 , ∴点E 、F 在该球面上的球面距离是33R ππ=, 故应选B.6. 100π 解析: 如图所示,由14OO =,截面圆1O 的面积为9π得其半径13O A =, 连接A 1O ,由22211OO AO R +=可得2222435R =+=, ∴24100S R ππ==球.7. 8解析: 如图正方体中，AB ，AC ，AD 满足互相垂直 且A ，B ，C ，D 可在同一个球面上，设边长为a ， 则43=a ，,34=a当AB=AC=AD 时S 1，S 2，S 3可取最大值, 即S 1+S 2+S 3的最大值为8316213=⨯⨯. 8. 100π解析:如图所示,由AB =BC =CA =6， 可得BCA ∆是以CA为斜边的直角三角形,取AC 中点为O 1,则5AO ==,故球的表面积24100S AO ππ==.9. 3R 解析:如图所示,将五个小球的球心相连可得一底面边长为4侧棱长OD=3R 的正四棱锥O-ABCD,其项点到底面的距离OM 加上下面与桌面相切的球半径MN=2R 即为小球球心到水平桌面的距离∵OM R ===, ∴小球的球心到水平桌面α的距离为23R R R +=. 10. 5,25解析: 如图,由题意得:在B OO Rt 1∆中,OB=13,OO 1=12, 则圆O 1的半径长为5; 又AB=10,即为圆O 1的直径, 则当O 1C ⊥AB 时,∆ABC 的面积最大,且最大值为2551021=⨯⨯. 11. 解析:（I ）解：过1A 作平面1A H ⊥平面ABC ，垂足为H .连接AH ，并延长与BC 交于G ，连接EG ，于是1A AH ∠为1A A 与底面ABC 所成的角．因为11A AB A AC ∠=∠，所以AG 为的BAC ∠平分线． 又因为AB AC =，所以AG BC ⊥，G 且为BC 的中点因此，由三垂线定理1A A BC ⊥,因为11//A A B B ，且1//EG B B ，所以EG BC ⊥，于是AGE∠ACD为二面角A BC E --的平面角，即120AGE ∠=︒,由于四边形1A AGE 为平行四边形，得160A AG ∠=︒,所以，1A A 与底面ABC 所成的角度为60︒（II ） 证明：设EG 与1B C 的交点为P ，则点P 为EG 的中点，连结PF. 在平行四边形1AGEA 中，因为F 是1A A 的中点，所以1//A E FP而ＦP ⊂平面1B FC ，AE ⊄平面1B FC ，所以1//A E 平面1B FC（III ）解：连接1A C ．在△1A AC 和△1A AB 中，1111AC AB A AC A AB A A A A =⎫⎪∠=∠⇒⎬⎪=⎭△1A AC ≅△111A AB AC A B ⇒= 又因为1A H ⊥平面ABC ，所以H 是△ABC 的外心设球心为O ，则O 必在1A H 上，且1OF A A ⊥在Rt △1A FO中，11112cos cos30a A F AO AA H ==∠︒球的体积334433V R ππ⎫===⎪⎪⎝⎭. 12. 解析:（Ⅰ）证明： 连结CF. .,2121PC AP AC BC EF PE ⊥∴=== .,,PCF AB AB PF AB CF 平面⊥∴⊥⊥..,PAB PC AB PC PCF PC 平面平面⊥∴⊥∴⊂（Ⅱ）解法一：,,CF AB PF AB ⊥⊥PFC ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则AB=a ，则a CF a EF PF 23,2=== .33232cos ==∠∴a a PFC 解法二：设P 在平面ABC 内的射影为O. PAF ∆ ≌PAB PAE ∆∴∆,≌.PAC ∆ 得PA=PB=PC. 于是O 是△ABC 的中心. PFO ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则.2331,2a OF a PF ⋅==.33c o s ==∠∴PF OF PFO （Ⅲ）解法一：设PA=x ，球半径为R. ,,PB PA PAB PC ⊥⊥平面 ππ124.232==∴R R x ，ABC x R ∆∴==∴.2.3得的边长为22. 解法二：延长PO 交球面于D ，那么PD 是球的直径.连结OA 、AD ，可知△PAD 为直角三角形. 设AB=x ，球半径为R.,2332,66tan .32,1242x OA x PFO OF PO PD R ⋅==∠==∴= ππ 22.22).6632(66)33(2的边长为于是ABC x x x x ∆∴=-=∴. 13. 解析:（Ⅰ）证明：取CD 中点M ，连结OM. A B C P E F O D在矩形ABCD中1//2OM BC，又1//2EF BC，则//OMEF，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.//FO EM∴又FO⊄平面CDE，切EM⊂平面CDE，∵F O∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，,CM DM EM CD=⊥且12EM BC EF ===.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而FM CD M⋂=，所以EO⊥平面CDF.14.。
高三数学多面体和球
高三数学多面体和球9．6棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算.3．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何问题的解法．二．建构知识网络一、棱柱(1) 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：--侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，...，n棱柱.②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→ 平行六面体→ 直平行六面体→长方体→ 正四棱柱→ 正方体.请在"→"上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质--侧棱、侧面的性质和一些RtΔ(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质--定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
高三数学多面体与球
高三数学一轮复习 9.9 多面体、球课件 文 大纲人教版
球面上两点间的距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．求两点 间的球面距离的关键是求出球心角．求球心角时，往往转化到三角形中来解决．求 球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧 度数；③用弧长公式计算劣弧 的长．
此小圆的半径为Rcos α，而两地的经度差为90°，故有 Rcos α＝R，
cos α＝ ，则α＝ .
答案：B
变式3: (2009·河南六市第一次联考)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球 面上，且cos A＝ ，BC＝1，AC＝3. 若球的表面积为16π，则A、B两点的球面距离是________．
离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝
.
(3)大圆与小圆：球面被经过 球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平
面截得的圆叫做小圆．
(4)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的
大圆在这两点间的一段劣弧 的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
(5)球的体积公式：半径是R的球的体积V＝πR3.球的表面积公式：半径是R的球
(1)作出过球心的截面图形，降维处理，利用球体的对称性，化归为平面 几何中圆的内接或外切多边形求解． (2)以球心为顶点构造特殊的几何体，利用几何体的性质求解． (3)分析题目的本质特征，化归为简单组合体性质的研究.
如图所示，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两 垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离 是( )
的表面积S＝ 4πR2 .
提示：注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧 长三者之间的区别与联系．特别是注意球面距离，其关键是求出球面上 两点与球心的张角的大小，常常是应用直观图结合三角知识求解．
高三数学第一轮复习讲义 多面体和球
高三数学第一轮复习讲义 多面体和球【知识归纳】1、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。
多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。
（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
2、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。
其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 3、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝22d R -。
提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。
4、球的体积和表面积公式：V ＝234,34R S R ππ=。
【基础训练】（1）．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥（2）．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 A ．24 B ．22 C ．18 D ．16（ ） （3）．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （ ） （4）．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V 分别等于 （ ） A ．F=6,V=26 B ．F=8,V=24 C ．F=12,V=20 D ．F=20,V=12 （5）在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，如果︒=∠=60,38ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为__ __；（6）已知球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13， 则球心到平面ABC 的距离为____ __ （7）．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是 A ．41 B ．π2141- C ．81 D ．π2181-（ ）（8）在球内有相距9cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm 2则球的表面积为___ ___； （9）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的表面积与体积；（10）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱长均为3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____； 【例题选讲】【例1】已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213, 试求第三条侧棱长的取值范围．【例2】已知简单多面体的顶点数．面数．数分别为V ．F ． E ． 多面体的各面为正x 边形，过同一顶点的面数为y ． 求证： .21111=-+E y x)【例3】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ． （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系， 并证明你的结论．【例4】如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点．（1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥ABC —S 的体积为63，且BAC ∠为 钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．【例5】．过半径为R 的球面上一点P 引三条长度相等的弦PA 、PB 、PC ，它们间两两夹角相等。
高考数学 第一轮复习 第66课时—多面体与球
课题一：球与多面体一．复习目标：1. 了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；2．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．二．主要知识：1．欧拉公式 ；2．球的表面积 ；球的体积公式 ；3．球的截面的性质： ．三．课前预习：1．一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为 ( )()A 2160 ()B 5400 ()C 6480 ()D 72002．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是 ( )()A 3π ()B 4π ()C ()D 6π3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( )()A 21 ()B 31 ()C 41 ()D 61 4．地球表面上从A 地(北纬45，东经120)到B 地(北纬45，东经30)的最短距离为（球的半径为R ） （ ）()A 4R π ()B R π ()C 3R π ()D 2R π 5．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===则球心O 到截面ABC 的距离是 . 四．例题分析：例1．已知三棱锥P ABC -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2．在北纬60圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2R π(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。
例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，BC 是截面圆的直径,D 是圆周上一点，CA 是球O 的直径，(1) 求证：平面ABD ⊥平面ADC ；(2) 如果球半径是13，D 分BC 为两部分, 且:1:2BD DC =，求AC 与BD 所成的角；(3) 如果:2BC DC =，求二面角B AC D --的大小。
五．课后作业：1．给出下列命题：①正四棱柱是正多面体；②正四棱柱是简单多面体；③简单多面体是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体；其中正确的命题个数为 （ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个2．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系是（ ）()A 24F V += ()B 24F V -= ()C 22F V += ()D 22F V -=3．棱长为a 的正方体中，连接相邻两个面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）()A 33a ()B 34a ()C 36a ()D 312a 4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为 （ ）()A 2a π()B 22a π ()C 23a π ()D 24a π 5．以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）()A 3:1 ()B 1:3 ()C ()D 3:26．地球半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为3Rπ，则,A B 两地的经度之差的绝对值为 （ ）()A 3π ()B 2π ()C 32π ()D 4π 7．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 （ ）()A 2π ()B 3π ()C ()D 12π 8．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ） ()A 31()B 33 ()C 32 ()D 36 9．如图，,,A B C 是表面积为48π的球面上三点，2,4,60AB BC ABC ==∠=，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是 （ ）()A arcsin 6()B arccos 6()C arcsin 3 ()D arccos 310．一个多面体共有10个顶点, 每个顶点处都有四条棱, 面的形状只有三角形和四边形, 求该多面体中三角形和四边形的个数分别是 .11．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是_____ ___．12．球面上三点,,A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形，18,24,30AB BC AC ===， 且球心到该截面的距离为球的半径的一半，(1) 求球的体积； (2) 求,A C 两点的球面距离。
人教版高三数学《多面体与球的接切问题》课件(共18张PPT)
直棱柱的外接球
已知直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在 球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120, AA1 2 3，则球O的表面积为
棱锥的外接球
例 3(P121) (2014·全国大纲，文 10)正
四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥
的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
2. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在 半径为R的球面上，则该正四棱柱的侧面积有
最大 值，为 4 2R2
3. 在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AM MN，若侧棱SA 2 3，则该三棱
锥S ABC外接球的表面积是 36
4. 已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面 上，若PA AB 2, AC 1, BAC 120，且
定义2：若一个多面体的各面都与一个 球的球面相切， 则称这个多面体是这 个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
正方体的外接球
例1：已知某一多面体
内接于球构成一个简 单组合体，如果该组 合体的正视图、侧视 图、俯视图均如图所 示，且图中的四边形 是边长为2的正方形， 则该球的表面积是
________.
思考： 已知一个正方体内接于一个球，若过球心作 一截面，则截面的可能图形是( )
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
长方体的外接球
例2：《练出好成绩》P251中第10小 题：知三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，
AC＝AD＝BC＝BD＝5， 则三棱锥A－BCD外接球的球心O 到平面BCD的距离为( )
锥的外接球的表面积为 16
3
7. 已知一个四面体的每个面都是两条边长为3，一 条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面
高三数学简单多面体与球(文)
简单多面体与球（文）一周强化一、一周知识概述1、棱柱、棱锥的定义：（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱；（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥.2、棱柱、棱锥的性质：（1）棱柱：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.（2）正棱锥：①各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形；②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；③（定理）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面与底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.3、长方体的对角线：如图，（1）长方体的对角线的长：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点处三条棱长的平方和；（2）设长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为∠C 1AB 、∠C 1AD 、∠C 1AA 1 ，则有cos 2∠C 1AB ＋cos 2∠C 1AD ＋cos 2∠C 1AA 1=1；（3）长方体的一条对角线与一个顶点处的三个面所成的角分别为∠C 1AC 、∠C 1AB 1、∠C 1AD 1，则有cos 2∠C 1AC ＋cos 2∠C 1AB 1＋cos 2∠C 1AD 1=2 , 或sin 2∠C 1AC ＋sin 2∠C 1AB 1＋sin 2∠C 1AD 1 =1； 4、棱柱、棱锥有关的公式：（1）棱柱的侧面积：若直棱柱的底面周长为c ，高为h, 则它的侧面积为 S 侧= ch ；斜棱柱的直截面(垂直于侧棱的截面)的周长为c ，侧棱长为l ，则它的侧面积为S侧=cl ；（2）正棱锥的侧面积：若正棱锥的底面周长为c ，斜高为h ＇,则它的侧面积为 S 侧=ch ＇；5、正多面体：（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）正多面体一览表：类型每顶点处的棱数m 每面边数n 棱数E 面数F 顶点数V正四面体 3 3 6 4 4正六面体 3 4 12 6 8正八面体 4 3 12 8 6正十二面体 3 5 30 12 20正二十面体 5 3 30 20 126、（1）定义①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面．②球体：球面所围成的几何体．（2）性质①任意截面是圆面(经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆)．②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且其中R为球半径，r为截面半径，d为球心到截面的距离．（3）球的任何截面都是圆，过球心的截面是球的大圆，解球的问题，一般是作球的大圆，转化为平面图形来解决．（4）在球的有关计算中，由球的半径R，截面圆的半径及球心到截面距离O′O构成的直角三角形，也是常用的关键图形．二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周复习的重点1、棱柱和正棱柱的概念和性质。
高三数学多面体和球1.docx
沙城中学补习班数学第一轮复习教案 编录：刘世亮第 65 讲：多面体和球主要知识及主要方法：1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体 .2. 正多面体有且只有 5 种. 分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 .3.简单多面体： 考虑一个多面体， 例如正六面体， 假定它的面是用橡胶薄膜做成的， 如果充以气体， 那么它就会连续 （不破裂）变形，最后可变为一个球面. 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体 .说明： 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体4. 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球 定点叫球心，定长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面 . 一个球或球面用球心的字母表示。
5. 球的性质 ：（ 1）平面截球所得的截面是圆. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。
（ 2）球心和球面圆心的连线垂直于截面；（ 3）球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系： r R 2 d 2（ 4）地球上的径度是个二面角，纬度是个线面角。
6. 两点的球面距离： 经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 叫做两点的 球面距离 . lR ( 为球心角 的弧度数 ).7.球的表面积和体积公式：S 4 R 2，V 34 R 3.基础 1. 正方体的全面积为24，球 O 与正方体的各棱均相切，球O 的体积是（ D自测A.4B.4 3C.86D. 8 2332. 把边长为2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A ，B ，C ，D 四点所在的球面上，B 与 D 两点之间的球面距离为（ CA.2B.C.2D.33. 球面上有三点， 任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6 ，经过这三个点的小圆周长为 4 ，那么这个球的半径为 （ B ）A.4 3B. 2 3C.2D. 34. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 9.典例剖析例1已知在多面体 ABCDEFG 中， AB 、AC 、 AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面 DEFG ，平面 BEF ∥平面 ADGC ， AB=AD=DG=2， AC=EF=1，则这个多面体的体积为（BA.2B.4C.6D.8例 2 ①已知过球面上三点 A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6， AB=4，则球的半径等于3 6/2，球的表面积等于54.②设球 O 的半径是 1，A 、B 、C 是球面上三点， 已知 A 到 B 、C 两点的球面距离都是90 ，且二面角 B —OA —C 的大小为 60 ，则从 A 点沿球面经 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是（ CA.76B. 54C. 43D. 32例 3①P 、 Q 为斜三棱柱相对棱上的点，若AQ=PC ，则多面体 B —ACPQ 的体积是三棱柱体积的（ B1A.1B.1C. 2D.32334②设 A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内， AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ AA.86B.64 6C. 24 2D. 722③长方体 ABCD —A B C D 的 8 个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= 3 ，AA=1，则顶点 A 、B 间的球面距离是 （C ）111 11A.2 2B. 2C.2 D.224④长方体 ABCD —A 1B 1C 1 D 1 的各顶点都在球 O 的球面上，其中 AB ∶AD ∶AA 1=1∶1∶ 2 ， A 、B 两点的球面距离记为 m ，A 、D 1 两点的球面距离记为 n ，则 m : n 的值为 1 ： 2 .例 4 已知三棱锥 P —ABC 中， E 、F 分别是 AC 、AB 的中点，△ ABC 、△ PEF 都是正三角形， PF ⊥AB.（1）证明： PC ⊥平面 PAB2）求二面角 P —AB —C（3）若点 P 、A 、 B 、 C 在一个表面积为 12 的球面上，求△ ABC 的边长 .（1）证明 连结 CF ，∵ PE=EF= 1 BC= 1AC ，∴ AP ⊥PC.22∵ CF ⊥AB ，PF ⊥AB CF ∩PF=F.∵ PC 平面 PCFPC ⊥ AB.（ 2）方法一 ∵AB ⊥PF ，AB ⊥CF设 AB=a ，则 PF=EF= a，CF= 3a .22AB ⊥平面 PCF.AP ∩ AB=APC ⊥平面 PAB.PFC 为所求二面角的平面角 .cos ∠PFC=3.3方法二 设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. PAF ≌△ PAE ，∴△ PAB ≌△ PAC 得 PA=PB=PC ，于是 O 是△ ABC 的中心 . PFO 为所求二面角的平面角 .设 AB=a ，则 PF= a ，OF= 1 ·3a .cos ∠PFO=OF3 .2 3 2PF3（ 3）方法一 设 PA=x ，球半径为 R. PC ⊥平面 PAB ， PA ⊥ PB ，∴ 3x =2R.∵4 R 2=12 ，∴ R=3 ，得 x=2. ABC 的边长为 2 2 .方法二 延长 PO 交球面于 D ，则 PD 是球的直径 . 连结 OA 、AD ，得△ PAD 为直角三角形，设 AB=x ，球半径为 R.4 R 2=12，∴PD=2 3PO=OFtan ∠PFO=6 x ，OA= 2· 3 x6 3 22∴ 3x6x 2 36x ，于是 x=22 .ABC 的边长为 2 2 .366例 4 如图，三个12×12 cm 的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成 A、B 两片〔如图（ 1）〕，把 6 片粘在一个正六边形的外面〔如图（ 2）〕，然后折成多面体〔如图（ 3）〕，求此多面体的体积 .解法一：补成一个正方体，如图甲， V=1V 正方体=1×123=864 cm3. 22甲乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，3 V=V 大三棱锥－3V 小三棱锥=864 cm .解法三：如图（ 3）7 设 C 是所在棱的中点，截面CDE 把几何体截成两部分，沿体的下一半 .C EDDE 把上部分翻转过来可拼成正方例 5 已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少 ?。
高三数学第一轮复习：多面体与球(理)人教版知识精讲
高三数学第一轮复习：多面体与球（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：多面体与球二. 本周教学重、难点：1. 了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。
2. 了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。
【典型例题】[例1] 如图，地球半径为R ，地面上三点A 、B 、C 的经纬度分别是：A 点是东经︒20，北纬︒60；B 点是东经︒140，北纬︒60；C 点是东经︒140，北纬︒30，试求A 、B 与B 、C 两点的球面距离。
解：∵ A 、B 纬度均为︒60∴ A 、B 在同一纬线上设此纬线圈中心为O 1由已知有︒=∠1201B AO ，且︒=∠=∠6011OBO OAO ∴R R B O A O 2160cos 11=︒== 在B AO 1∆中，︒⋅-+=120cos 21121212B O A O B O A O AB =243R 在AOB ∆中，852cos 222=⋅-+=∠BO AO AB BO AO AOB ∴85arccos =∠AOB ∴ A 、B 两点的球面距离等于85arccos R∵ B 、C 两点在同一经线上，纬度差为︒30，即︒=∠30BOC∴ BC 两点的球面距离等于6Rπ[例2] 已知正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为a 2。
（1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积。
解：如图（1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA=OC=OS∴ O 为SAC ∆的外心，即SAC ∆的外接圆半径就是球的半径 ∵ AB=BC=a ∴a AC 2=∵ SA=SC=AC=a 2∴SAC ∆为正三角形 由正弦定理得a a •ASC AC R 36260sin 2sin 2=︒=∠=因此33276834,36a R V a R ππ===球 （2）设内切球的半径为r作SE ⊥底面于E ，作SF ⊥BC 于F ，连结EF 则有a a a BF SB SF 27)2()2(2222=-=-=247272121a a a SF BC S SBC =⨯=⋅=∆ 2)17(4a S S S SBC +=+=∆底棱锥全又a a a EF SF SE 26)2()27(2222=-=-=∴3266263131a a a h S V =⨯==底棱锥 ∴a a a S V r 12642)17(663323-=+⨯==全棱锥∴223744a r S ππ-==球[例3] 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中A 和B 的球面距离，A 和C 的球面距离都是2π，B 和C 的球面距离是3π，求球心O 到平面ABC 的距离。
高考数学总复习 9.7多面体、球课件 人教版
＝
π 2
，则AB＝2
2 .如图，在正三棱锥O-ABC中，OA＝2，
可求得OO′＝2 3 3，
∴三棱柱的高为4 3 3，
故其体积为12×(2 2)2× 23×4 3 3＝8. 答案：8
已知正八面体的棱长为a，求： (1)两个相邻的面的中心间的距离； (2)两个相对面的距离．
【自主解答】(1)如图，正八面体S－ABCD－P，面SBC 与面SCD的中心分别为E、F，
(4)要求两点的球面距离，应找到过这两点的大圆，然后确定 劣弧所对的圆心角，运用弧长公式l＝αR即可求得．
(5)球与多面体的组合问题要多利用对称性质进行求解，画图 时可以只画出轴截面图，这样可使解题更加简洁．
1．给出下列命题，其中正确的有( )
①底面是正多边形，而侧棱长与底面边长相等的棱锥是正多 面体；
5．球的体积公式
半径是R的球的体积V＝ 的表面积S＝
.球的表面积公式：半径是R的球 .
43πR3
4πR2
注意：
(1)球面仅仅是指球的表面，它只有一个面，而球体不仅包括 球的表面，同时还包括球面所包围的空间．球面也可以看 作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨 迹)．
(2)教材上介绍的推导球的体积公式的一种方法，体现了“分 割，求近似和，再由近似和转化为准确和”的思想方法， 这种方法实际上就是定积分的一种具体运用．“分割——求 和——化为准确和”这一重要数学思想方法，在今后进一步 学习微积分等近代数学知识时也会用到．
解析：作出多面体的部分图形，如图，可知CD∥FG， AB∥EF，则AB与CD所成的角为∠EFG，
∵△EFG为等边三角形， ∴∠EFG＝ 60°.
答案：60°(或π3)
高三数学多面体与球
0437辽源信息港 [单选,A1型题]201Tl所表示的核素（）A.质子数为201，原子核处于基态B.质子数为201，原子核处于激发态C.质量数为201，原子核处于基态D.质量数为201，原子核处于激发态E.中子数为201，原子核处于基态 0437辽源信息港 [填空题]二氧化碳不能扑救（）和（）等物质火灾。 0437辽源信息港 [单选]对肝右叶门脉血管的描述，哪一项错误A.门脉右前、后叶支可清晰显示B.门脉右支与胆囊长轴或垂直关系C.门脉右干、右前叶支与右后叶下段支构成"Y"形结构D.门脉右前叶支与胆囊长轴构成平行关系E.门脉右干及前后叶支构成"Y"形结构 0437辽源信息港 [多选]总管线较短，投资较省，能量消耗较小，但供水独立性较差，上区受下区限制，水泵分散设置，管理维护不便的给水方式是()。A．分区并联给水方式B．并联直接给水方式C．分区串联给水方式D．分区水箱减压给水方式 0437辽源信息港 [单选]船舶对水航速VL，对地航速VG，船速VE，如果VG＜VL＜VE，则船舶航行在（）情况下。A．顺风顺流B．顶风顶流C．顺风顶流D．顶风顺流 0437辽源信息港 [单选]海图底质注记中，缩写“M.S.”表示（）。A．分层底质，上层为沙，下层为泥B．分层底质，上层为泥，下层为沙C．沙的成分多于泥的成分的混合底质D．泥的成分多于沙的成分的混合底质 0437辽源信息港 [多选]正确把握宾客需求的对策的说法正确的是？（）A、读懂顾客的心态，提供人性化服务B、正确认知宾客的需求，并能正确认知客人评价服务的因素C、把认知宾客的需求转化为对服务质量的规范D、提供灵活的、有针对性的服务 0437辽源信息港 [填空题]主变压器上层油温超过允许值时，主控将发出（）预警。 0437辽源信息港 [填空题]酒曲又称（），是用谷物制成的发酵剂、（）或（）。 0437辽源信息港 [单选]在以下什么情况下，侧滑指示变成蓝色：（）A、选择了形态1、2、3B、任意一台发动机N1大于80%，或推力手柄大于MCT（若是FLX或DEPATEDT.O.则大于等于FLX）C、两台发动机N1之间的差超过35%D、同时具有以上所有。 0437辽源信息港 [单选]对易燃易爆化学物品经营单位扩建工程竣工时未经消防验收或者经验收不合格擅自使用的，经公安消防机构责令限期改正后逾期不改的，应当（）。A、责令立即改正B、责令停止施工C、责令停止使用，可以并处罚款D、处罚款 0437辽源信息港 [问答题,论述题]如何才能使我们的招聘工作做得更好？ 0437辽源信息港 [单选]计入残疾人福利企业安排残疾人就业人数之内的残疾人，应当（）。A、在福利企业挂名B、在福利企业不定期上班C、在福利企业从事全日制工作D、在福利企业领取适当补助 0437辽源信息港 [多选]特殊路基类型包括有()。A．沿河路基B．岩溶地区路基C．黄土地区路基D．涎流冰地段路基E．岩溶地区器基 0437辽源信息港 [单选]关于男扎的节育机制，正确的是（）A.抑制雄性激素分泌B.抑制生精能力C.阻止精子输送D.抑制性功能E.阻止精子与卵子结合 0437辽源信息港 [问答题,简答题]常用口罩分类 0437辽源信息港 [判断题]红外对射在安装过程中对射机的受光端校准电压要不低于1.4伏。A.正确B.错误 0437辽源信息港 [单选]美国心理学家斯坦伯格认为，智力结构由（）组成。A.成分B.因素C.符号D.信息 0437辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于管电压的叙述正确的是（）A.是指加于X线管两极间的最高有效值电压B.是指加于X线管两极间的最高平均值电压C.最高管电压与X线管的长度、形状、介质材料无关D.管电压的单位是伏特E.是加于X线管两端的峰值电压 0437辽源信息港 [单选]使用如下什么方法可以升级cisco交换机的IOS软件（）。A、CDPB、HSRPC、TFTPD、TELNET 0437辽源信息港 [单选]在短时记忆中，把几个孤立的项目结合成一个有意义的单位来识记称为（）A．组块B．编码C．项目D．容量 0437辽源信息港 [单选,A1型题]有关消毒的描述，错误的是（）A.是切断传播途径，防止传染发生的重要措施B.可保护医护人员免受感染C.可防止患者再被其他病原体感染D.即使有了强有力的消毒措施，医护人员也必须采取防护措施E.对不同的传染病消毒效果相似 0437辽源信息港 [单选]关于抑郁发作的临床表现，下列说法正确的是（）。A.心情不好即抑郁发作B.症状持续至少2周C.不会出现幻觉D.多数伴有自罪妄想E.自杀是重度抑郁发作的标准之一 0437辽源信息港 [单选]纤维素型焊条适用于全位置焊接，主要用于（）特别是在管道焊接中应用最广。A、平焊B、仰焊C、向下立焊D、全位置焊 0437辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]乌梅丸证的治法是（）。A.寒温并用，健脾除湿B.清上温下，安蛔止痛C.寒温并用，和胃消痞D.寒温并用，健脾止利E.清上温下，安蛔止呕 0437辽源信息港 [单选]有关食管癌哪项不正确()A．多为鳞状细胞癌B．壁内扩散多向下浸润C．常转移至肝、肺、骨D．淋巴结转移为主要方式E．血行转移多见于晚期 0437辽源信息港 [多选]性病性淋巴肉芽肿临床上可分为三期，包括()A．生殖器初疮B．腹股沟综合征C．生殖器－直肠－肛门综合征D．软下疳 0437辽源信息港 [单选]在遇到特殊情况，民用航空器的机长，为保证民用航空器及其所载人员的安全：（）。A.应当及时向管制单位报告，按照相关规定进行正确处置B.应当及时向签派或上级领导报告，按照相关规定进行正确处置C.有权对航空器进行处置 0437辽源信息港 [单选]队列研究（）A.只能计算比值比来估计相对危险度B.不能计算相对危险度C.不能计算特异危险度D.既可计算相对危险度，又可计算特异危险度E.既不能计算特异危险度，也不能计算相对危险度 0437辽源信息港 [单选]下列关于吸收直接投资特点的说法中，不正确的是（）。A.能够尽快形成生产能力B.容易进行信息沟通C.有利于产权交易D.筹资费用较低 0437辽源信息港 [单选,A1型题]脑梗死的病因中，最重要的是（）。A.动脉硬化B.高血压C.动脉壁炎症D.真性红细胞增多症E.血高凝状态 0437辽源信息港 [问答题,简答题]分级护理原则？ 0437辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下自杀的相关因素不正确的是（）A.重大的负性应激事件可能成为自杀的直接原因或诱因B.独身、离婚、丧偶者自杀率高于婚姻状况稳定者C.从事专门职业的医生、律师、作家、音乐家等的自杀率低于普通人群D.西方国家的自杀率大多是男多于女，而 0437辽源信息港 [单选]发热恶寒，汗出，口渴，心烦，头痛如劈，舌红苔黄，脉滑数，属于：（）.A.卫分证B.卫气同病C.气分证D.卫营同病 0437辽源信息港 [单选,A1型题]β射线要用原子序数小的材料，如塑料等进行防护，这是因为（）A.β射线在原子序数小的材料中射程短B.β射线对原子序数小的物质电离作用小C.β射线在原子序数小的材料中韧致辐射作用弱D.原子序数小的材料对β射线吸收作用强E.β射线在原子序数小的材料 0437辽源信息港 [单选]FMGS的组件包括：（）A、2FMGS2MCDU2FAC2FCUB、2FMGS2MCDU2FAC1FCUC、2FMGS2MCDU2FAC2ECAMD、2FMGS2MCDU1FAC2ECAM 0437辽源信息港 [单选]胃壁固有肌层声像图上回声为（）。A.极高回声B.高回声C.中度回声D.低回声E.不确定 0437辽源信息港 [多选]一水软铝石的分子式为（）。A、γ—AlOOHB、γ—Al2O3•H2OC、α—AlOOHD、α—Al2O3•H2O 0437辽源信息港 [判断题]市场达到有效的重要前提：一是投资者具有正确判断证券价格变动的能力;二是所有影响证券价格的信息都是自由流动的。()A.正确B.错误 0437辽源信息港 [判断题]储蓄机构受理挂失后，必须冻结该项储蓄存款。（）A.正确B.错误
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56《立体几何 －多面体与球》
多面体与球
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、多面体 1. 概念 (1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体. (2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体. (3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每 个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面 体，叫正多面体.
4.将棱长为 3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶 点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为 1 的小正四面体，剩下的多面体的棱数为( A ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)19
5.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬 45°，东经30°)的最短距离为(地球半径为R)( A )
【解题回顾】此题要大胆设各面为 E1、 E2…EF边形，
另外要知道E1+E2+…+EF=2E才行.
4. 三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5， 求三棱锥的内切球半径.
【解题回顾】正如三角形的内切圆经常与面积发生关
系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系.
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延伸·拓展
5. 过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、 MB、MC. (1)求证：MA2+MB2+MC2为定值； (2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.
2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶 点数V与面数F满足的关系式是( A ) (A)2F+V=4 (C)2F+V=2 (B)2F-V=4 (D)2F-V=2
3. 一个凸多面体的顶点数为 20 ，棱数为 30. 则它的各面 多边形的内角总和为( ) A (A)2160° (B)5400° (C)6480° (D)7200°
πR 的弧长等于 (R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离. 2
【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关 键在于求两点的球心角的大小，利用弧长公式来求 出：L=θ•R即为所求球面距离.
3. 设一个凸多面体有 V个顶点，求证它的各面多边形 的内角总和为(V-2)•360°.
2.性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r 有如下关系：r
R d
2
2
3.球面距离 径.)
AB θ R θ 为A、B对球心的张角，R为球半
4.表面积与体积
4 3 S 4πR ，V πR 3
2
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课前热身
1.一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积为( A ) (A)3π (B)4π (C式 (1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2 (2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
mV 条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数 E 2 nF 或E 2
二、球 1. 概念 (1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫球面，球面围成的几何体叫球体. (2)球面也可看成是与定点 (球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
(A)R (C) πR
(B) πR (D) πR
3
2
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能力·思维·方法
1. 已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三 条棱，试求该多面体的面数、顶点数和棱数.
【解题回顾】用欧拉公式 V+F-E=2 解题时，要善于发
nF 现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有E 2 mV 和E 2
2. 在北纬 60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上
误解分析
1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截 若过对棱中点作横截面，将会出错.
2. 球面上两点间距离不是直线距离，也不是纬度圈上 的劣弧长，而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长，不 能错啊!
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； / 原油 ；
白重炙也有一丝疑惑,灵魂静寂状态,他并不是没有进入过,在落神山也进入过多次,但是似乎…这次却是进步更加大了,这点他也问过月倾城,月倾城也是一知半懂の,不是很清楚. …… "肯定是深层灵魂静寂状态！" 白重炙不清楚,月惜水却在查探了月倾城の情况,和听着她羞涩の说 完那天の情况之后,直接下了肯定の答案. "不咋大的倾城将你呀那种你呀领悟の法则演示一遍,俺看看威力！" 月惜水忽然想起一件事情,突然神情几多の兴奋起来,她早就估计月倾城和白重炙の第一次结合,会有很奇妙の事情发生.只是没有想到,现在却是大大出乎了她の意料. 月 倾城进入了一次灵魂静寂状态,却突然领悟了一种古怪の玄奥,不是入门,而是完全领悟！她,现在直接达到了帝王境二重巅峰の修为,并且灵魂强大猛增.这…不是月后说の深层灵魂静寂状态の话,根本无法解释. "嗯！俺去拿琴！" 月倾城点了点头,现在两人是在寒心阁天台.月倾城 走到她の房间手捧着一把黑色の古琴,走了上来.摆在天台上,她盘坐起来,开始弹奏起来. "锵锵！" 一阵悠扬婉转の美妙声音在寒心阁天台响起,并且透过天台开始传递出去,最后覆盖了整个白家堡东院. 琴声没问题,一首普通抒情の"高山流水",有问题の是听到这琴声の人.月惜水 脸上露出一丝惊喜の笑意,一双秋水眸子尽是异彩,寒心阁内正喝着茶水の夜轻语和夜轻舞,都眼中同时闪过一丝迷茫,随即开始沉寂在没悠扬の琴声中.东园刚刚回归白家の护院和杂役,全部都同时停止了手上の事情,全部眼中闪过一丝迷茫,呆立了起来. 一曲完毕,夜轻舞和夜轻语继 续开始喝起了茶,只是夜轻语微微有些疑惑の蹙起了眉梢.东院の人却宛如什么也没发生一样,继续忙活着自己の事情… "好,很好,非常好！" 月惜水却是连说了三个好字,脸上尽是神采飞扬之色："恭喜你呀,不咋大的倾城,你呀竟然感悟了传说中の神音法则,这太不可思议了,你呀是 继白重炙之后,大陆数千年来の第二天才,无可置疑の第二天才！" 本书来自 聘熟 当前 第叁捌捌章 你呀…马上走 文章阅读 "神音法则?" 月倾城诧异の抬头朝月惜水望去,这几日她一直在琢磨这自己感悟の法则到底是什么?就连白重炙问她,她因为不确定,也才告诉他自己略有突 破而已. 现在陡然将听到月惜水这样の解释,不禁也惊了："族长,你呀不是说天地法则只有至高法则和元素法则?这神音法则是属于哪类?他比至高法则还厉害?" "错！神音法则这两种一种都不属于.具体の俺也不是很清楚,当年月后去神界前曾经留下の宝典内记录有.她说,其实天地 中还存在一些罕见の法则,特殊类法则,没有大机缘,大悟性の人是不可能感悟到,但是一旦感悟の话,并且能迈入神级の话,这法则可就变tai了." 月后满脸兴奋の继续解释道："你呀不知道刚才你呀弹琴の时候,夜轻语这个圣人境の练家子都陷入了迷茫之中.你呀这种法则按俺估计, 是属于灵魂类の法则,能迷惑敌人の灵魂.不咋大的倾城,朝着这法则道路一路走下去吧,说不定你呀会成为第二个白重炙,你呀未来の成就俺很期待！" "这么厉害?" 月倾城心情也微微激动了起来,原本她只是单纯の喜欢弹琴,在月家弹了十几年の琴.白重炙陷入落神山の时候,也是靠 弹琴来缓解她心内の压抑和苦寂,最后在深层灵魂静寂状态下也是听到了一曲很奇妙の曲子.没想到竟然感悟了灵魂类超强の神音法则.这一切冥冥中似乎有天意,一切似乎都有因果循环. 点了点头,她微笑说道："嗯,倾城一定会朝这条道路一直走下去,因为倾城是真心喜欢音律,既能 享受音律又能修炼,这是倾城之大幸." 月惜水很是欣慰の对了月倾城一笑,再次交待了几句,瞬移离开了,直接去了静湖岛. …… "老祖宗,忘记问了,要怎么才能成为炽火位面の领主?" 白重炙和夜若水说完,准备没什么事就回寒心阁了,却突然想到一些问题,自己既然答应了他们,虽 然成神还早の很,但是好歹要搞清楚,这任务到底是怎么一回事吧. "这…这个,俺也不清楚,恐怕要去了神界才知道吧.哦！对了,你呀有时候问问噬大人,她那么强大の存在肯定知道！"夜若水露出一丝尴尬,他们让白重炙去努力成为炽火位面の领主,其实他们都不知道该怎么去达成. 毕竟他们都没去过神界,而原先去了神界の人也没有人回来过. "对了,那ri你呀为何要隐瞒身份?有什么苦衷吗?"夜若水突然也想到一些问题,有些疑惑の问道. "这个…哎,老祖宗,其实俺一直隐瞒了你呀一件事情." 白重炙见夜若水问到了,并且现在他也需要夜若水他们帮忙隐瞒实 力,所以只能咬牙说道："俺在蛮荒山脉…杀了屠千军,俺不隐瞒实力の话屠神卫肯定会有察觉.会怀疑俺得到了神皮.追查下来肯定会怀疑俺杀了屠千军,从而找俺麻烦の,他现在俺倒是不怕,就怕他请神主出手啊！到时候就会很麻烦了." "什么?你呀杀了屠千军?" 屠千军の死,屠神卫 一直在暗中调查,没有声张,所以夜若水一直没有接到消息.此刻一听见却是猛然大惊.这事情…可大可不咋大的啊,要是神主屠不出手,那就是不咋大的事,要是神主屠出手の话,那对白家可是灭顶之灾啊. 神主屠有领主意志在大陆除了噬大人,可是无人能敌.如果他想对付白家の话,除 非噬大人保白家,否则白家の下场唯有灭亡,无其他路.但是噬大人会保白家?她可是连白重炙都不怎么爱管の人,你呀奢望她来管白家の存亡. "你呀太鲁莽了！这…事情麻烦了！这事情很有可能让白家遭受灭族之威,唉！这…" 夜若水两条白眉陡然竖起,两只眼睛闪烁个不停,白重炙 不怎么清楚神城の强者和手段.但是夜若水却是清楚の很,魂奴散布大陆无处不在,这事最后肯定会曝光.现在白重炙の实力又陡然暴增,肯定会引起屠神卫他们の怀疑. 并且,似乎白重炙和屠千军以前就一直有很深の仇恨?那么这样扁人动机也有了.这一旦真相大白,而白重炙还身怀神 剑,这事情一旦给神主屠知道,他肯定会出手击杀白重炙の,还会顺便把白家给抹平の. "呃…在蛮荒山脉屠千军要杀俺,俺没办法只能出手将他和他の手下全部灭了！俺不可能等着被他杀吧?"白重炙没想太多,也没有料到事情又这么严重,无辜の一摊手说道. "事已至此,别无他法了, 俺安排人将消息在**一下.能瞒多久是多久,一切都看天意了.你呀…马上走,带着夜轻语她们马上走,去暗黑森林,或者去紫岛,连夜就走,不修炼到神级,你呀别回雾霭城！"夜若水沉吟一阵,却突然开口做了决定. "什么?有这么严重吗?" 白重炙傻眼了,他已经将事情想得很严重了.没 想到,居然到了要他利马要离去,去暗黑色林,去紫岛避祸の地步了,他一时接受不了,惊了！面色变得凝重起来. "这叫不咋大的心驶得万年船,俺问你呀个问题,真の神剑在你呀那吧?"夜若水神色变得森寒起来,看着白重炙扭捏着不回答,叹了口气说道： "你呀别否认,俺也不要你呀の. 你呀想想,连俺都能猜到神剑在你呀那,想必这个大陆不少神级都猜到了.你呀去落神山五年了,最后竟然轻松出来了,还实力暴涨,最重要の是你呀那把奇怪の武器,别人不怀疑你呀才怪." "要不是这次异族降临,恐怕都有人对你呀下手了.而你呀这次雾霭城の事情一暴露,黑袍人是你 呀の事情,肯定不少人会怀疑.那么…你呀杀屠千军の事情肯定会浮出水面.毕竟你呀和他有直接仇恨有扁人动机,而你呀既然能在神智之下得到神皮,那么也有杀屠千军の实力.神城只要确定你呀杀了屠千军,那么……神主屠就有了光明正大对你呀出手の理由！他肯定会打着替屠千军 报仇の旗号,来杀你呀拿神剑.你呀如果继续呆在白家,结果只有几个,第一你呀很有可能被屠杀死,第二你呀很可能连累白家,导致白家灭亡！" 呃… 白重炙摸了摸鼻子,好半响才回过神来.脸色却变成了苦瓜样.夜若水分析の全对,是自己把事情想得