变化的电场和磁场教案

河北职业技术师范学院教案
编号理论
2003——2004学年度第一学期
系（部）数理系教研室物理教研室任课教师高忠明课程名称大学物理学
授课章节：第七章
楞次定律是能量守恒定律在电磁感应中的具体表现 二 法拉第电磁感应定律：
1.约定：有一个闭合回路l ，任选一个方向作为回路绕行的正方向。

回路所围曲面S 的法向n
取回路正方向的右手螺旋方向，通过回路所围的任何一个曲面上的磁通量Φ都相等，与曲面的选取无关，简称为回路中的磁通量。

2.定律表述：当回路l 中的磁通量Φ变化时，在回路上产生的感应电动势为
dt
d Φ
ε-
= 法拉第电磁感应定律中的负号，代表着对感应电动势方向的判定，是楞次定律的数学表示。

对于线圈，全磁通i ΦΦ∑=
例1图
例1 如图12-7所示，一长直电流I 旁距离r 处有一与电流共面的圆线圈，线圈的半径为R 且R<< r 。

就下列两种情况求线圈中的感应电动势。

(1) 若电流以速率
dt
dI
增加； (2) 若线圈以速率v 向右平移。

解 穿过线圈的磁通量为
r
IR R r I BS 22202
0μππμΦ=
⋅== (1) 按法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势大小为
dt dI
r R r
IR dt d dt d ⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=222020μμΦε 由楞次定律可知，感应电动势为逆时针方向。

(2) 按法拉第电磁感应定律
dt dr r IR r dt d IR r IR dt d dt d 2202020121121
2⋅=⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=μμμΦε 由于v dt dr =，故 2
202r v
IR με=
由楞次定律可知，感应电动势为顺时针方向。

l
N x
y
z
B
e n
ω 所示，一回路l 由N 匝面积为的法向矢量n 均已标明在图中。

线圈绕0=θ。

若有均匀磁场沿x
l
F k
q
方向向上，洛伦兹力场(非静电场)场强E
E
方向向上，这是一个匀场。

导线成为一个电源，电动势
⎰=ε
E
v
B
b
a
O
B
dr r
v
例4图
所示，有一长度为的直导线，在均匀转动，转轴与磁场方向绕与磁场垂直的轴ab 旋转，l
r
E R
例
绕磁场变化率
t
B
∂∂左旋 R 的长直螺旋管中有一圆柱域均匀磁场 b
B
a
r
ω
2R dt dB
r 2E ππ⋅-
=⋅- 得到 dt
dB
r 2R E 2=外
方向仍为绕
dt
d B
左旋方向。

例8图
例8 如图所示，在一个通电螺线管的横截面上，有一长度为L 的金属棒ab ，与螺线管轴线的距离为h ，磁场B 垂直纸面向里，且以dt dB 的速率增强，求金属棒上的感生电动势。

六、自感和互感 1.自感
（1）自感系数：
有LI =Φ，定义自感系数：I
L Φ
=
其中Φ为全磁通； L 取决于回路形状和介质性质，此处表征回路自己产生磁通量的能力。

例9 一长直螺线管长度L ，截面积为S ，内有磁导率为μ的磁介质，共密绕N 匝线圈，缠绕密度
L N n =，求它的自感系数。

例10同轴电缆由两个同轴的导体薄圆筒组成，其间充满磁导率为μ的磁介质，如图12-21所示。

使用时内、外圆筒分别沿轴向流过大小相等、方向相反的电流。

设电缆长度为l 内外圆筒半径分别为R 1和R 2，求电缆的自感系数。

例10图
（2）自感电动势
dt
dI L dt LI d dt d L -=-=Φ-
=)(ε
负号表明自感电动势总是反抗电流的变化。

或者记作
dt
dI L L
/ε-
= 此亦可作为自感系数的定义，自感系数代表回路自
己激发电动势的能力
2. 互感
1）互感系数：有
212121MI MI ==ΦΦ，定义 2
12121I I M Φ
Φ== 其中21Φ和12Φ为全磁通。

M 的取决于两回路形状，相对位置及周围介质的磁导率。

此处表示两回路相互产生磁通量的能力。

2）互感电动势 dt dI M 121-=ε
dt
dI M
212-=ε
或者记作
dt
dI dt
dI M //212
121
εε-
=-
= 此亦可作为互感系数的定义，表示两
回路相互激发感应电动势的能力。

l 1⋅n 1
l 2⋅n 2
注意：计算互感系数，其思路可以有两个。

一个是设回路l 1中有电流I 1，求出I 1在回路l 2中激发的磁场B 21，进而求出磁通量21Φ，然后除以I 1即得M 。

另一思路是设I 2，通过12Φ求出M 。

应注意，无论先设I 1或I 2，所求结果是相同的，但不同的设法，求解过程的难易程度并不相同，有时甚至差别很大。

§ 7.4 磁场的能量
一、自感的磁能
考虑一个LR 电路中电流滋长的过程。

如图所示按欧姆定律有
IR L =+εε
改写为 IR L +-=εε 此式表示回路中的电压关系，两边同乘以电流I R I I I L 2+-=εε
这是回路中的功率关系。

对过程积分，设t =0时I =0，而任意t 时电流为I ，则有
⎰⎰⎰+-=t t
L t
Rdt I dt I dt I 0
20
εε
这是回路中的功能关系。

按能量守恒的观点，克服自感电动势的这部分能量，转化磁场的能量：
⎰⎰
⎰=
=
=-=t
I t
L m LI LIdI dt dt dI
IL dt I W 0
2
02
1ε
即，载流为I 的自感器L 贮藏磁能为 22
1LI W m = 二、磁能密度
考虑一个载流为I 的长直螺线管的磁场的能量 22
1LI W m = 对于长直螺线管 V n L 2μ=， nI B μ= 故 V B n B V n W m μ
μμ2)(21222
=
⋅= 螺线管的磁场是均匀磁场，所以磁场能量密度μ
22
B V W w m m == 这就是磁场能量密度的公式。

它也可以改写为其它形式：
22
2
1212H BH B w m μμ===
一般地，体积V 中的磁场能量为
⎰⎰
⎰===v
v
m v
m m dV B dV w dW W μ
22
§7.5 位移电流
一、安培环路定律对非连续电路的应用 二、位移电流密度 t
d ∂∂=
D j 三、位移电流 dt
d d dt d d t d I S S S
d d ψ
=
⋅=⋅∂∂=
⋅=
⎰
⎰
⎰
S D S D S j ，位移电流的本质是变化电场。

四、全电流定律
⎰
⎰
⋅∂∂+
=
+==⋅S
d r L
d )t
(I I I d S D
j l H 其中d r I I I +=为全电流。

说明：
（1）全电流是永远连续的，这保证了全电流定律不会导致自相矛盾的结果；
（2）变化的电场也能在周围空间激发一个磁场，其激发的规律和电流激发磁场的规律完全相同。

例1 有一半径为R =3.0cm 的圆形平行平板空气电容器，现对该电容器充电，充电电路上的传导电流A .I c 52=，若略去电容器的边缘效应，求(1)两极板间的位移电流和位移电流密度；(2) 两极板间离开轴线的距离r =2.0cm 的点P 处的磁感强度。