古典概型的特征和概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式古典概型是概率论中最基本的概型之一，它的特点是每个事件的可能性相等。
在古典概型中，我们可以通过计算样本空间和事件空间的大小来计算事件发生的概率。
1.等可能性：在古典概型中，每个事件的发生概率都是相等的。
2.有限性：古典概型中的样本空间是有限的，即所有可能的结果有限个。
3.独立性：古典概型中的事件之间是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
根据这些特征，我们可以通过以下公式计算古典概型中事件的概率：1.概率的定义：事件A的概率P(A)定义为事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有可能结果发生的总可能性的比值。
即：P(A)=N(A)/N(Ω)，其中N(A)表示事件A的结果数目，N(Ω)表示样本空间Ω中所有可能结果的数目。
2.互斥事件：如果两个事件A和B是互斥的（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和为各自概率的和。
即：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的（即A的发生不会影响B的发生概率），则它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
4.补事件：事件A的对立事件为A的补事件，记作A'。
补事件是指样本空间中不属于事件A的结果。
事件A的发生与A'的不发生是互斥的。
因此，P(A')=1-P(A)。
5.复合事件：如果事件A和B是两个独立事件，则同时发生的概率为两个事件的概率乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
通过以上公式，我们可以计算古典概型中事件的概率。
需要注意的是，在应用这些公式时，必须满足古典概型的特征，即事件是等可能发生的、样本空间是有限的，并且各事件之间是相互独立的。
高中数学知识点精讲精析 古典概型的特征和概率计算公式
3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.2．等可能性事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．3．古典概型的特点：⑴所有的基本事件只有有限个；⑵每个基本事件发生的概率相等，⑶不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可．4．古典概型的概率公：:如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每个等可能基本事件发生的概率都是1n ，如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)= mn．5．从集合的角度来理解古典概型的概率：把一次试验中等可能出现的所有结果组成全集I ，把事件A 发生的结果组成集合A ，则A 是I 的一个子集，则有P(A) =card(A)card(t)．6．古典概型的公式推导如：在20瓶饮料中，有1瓶已经过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？在20瓶饮料中，有2瓶已经过了保质期了呢？（1/20,2/20=1/10）在n 瓶饮料中，有m 瓶已经过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少?(m/n)假设有n 个等可能基本事件，某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率是多少？分析：有n 个等可能基本事件，则每个基本事件发生的概率是多少？答：1/n 事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率是多少？答：nm 1⨯公式：假设有n 个等可能基本事件，某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率nm A P =)(1．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?分析：理解并运用各定义.解：（1）这个试验的基本事件空间Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；（2）基本事件的总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.2.甲．乙两人做出拳游戏（锤子．剪刀．布），求：（1）平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率.分析：研究此试验是否为古典概型，如果是，基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m各为多少.解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏（试验）是古典概型.它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况.设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.由图3－2－1容易得到：图3－2－1（1）平局含3个基本事件（图中的△）；（2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙）；（3）乙赢含3个基本事件（图中的※）.由古典概率的计算公式，可得P （A ）3193==； P （B ）3193==； P （C ）3193==. 3.甲．乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.分析：（1）准确求出基本事件总数n 和事件A 包含的基本事件个数m . （2）可采用列表的方法求m ．n .解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366=. （2）两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表.①每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω={（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}.事件A 由4个基本事件组成.因而P （A ）3264==. ②有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（a 1，a 1），（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，a 2），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2），（b 1，b 1）}，由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}.事件B 由4个基本事件组成，因而P （B ）=94. 4.判断下列命题的真假．⑴掷两枚硬币，可能出现“两个正面”．“两个反面”．“一正一反”3种等可能的结果； ⑵某口袋中装有大小和形状完全一样的三个红球．两个黑球和一个白球，那么每一种颜色的球被模到的可能相同；⑶从-3，-2，-1，0，1，2，3中任取一个数，则此数小于0与不小于0的可能相同； ⑷分别从3名男生和4名女生中各选取一名代表，那么某个同学当选的可能性相同．解：以上命题均不正确．⑴如果仅考虑这三种结果，则它们不是等可能的，若要是等可能的，则有(正，正)，(正，反)，(反，正)和(反，反)4种结果，故本小题总是错的；⑵应是摸到每一个球的可能相同，而三种颜色的球的数量是不相同的； ⑶小于0的有3个，而不小于0的有4个；⑷分别从男生和女生中各选取一个人，对男生或女生内部来说是等可能的，而对所有的同学来说男生是3选1，而女生是4选1，显然每个被选取的可能性不同．说明：对硬币的问题，我们不管抛掷是否有先后顺序，还是一起抛掷的，都必须看成有 先后顺序，否则它们就不是等可能的．若先后抛掷n 次或一次抛掷n 枚，基本事件总数都应是2n个．5.将骰子先后抛掷两次，求：⑴向上的点数之和为几的概率最大？最大值是多少？ ⑵向上的点数之和是5的倍数的概率是多少？ ⑶个向上的点数中至少有一个是6点的概率？ ⑷两个点数中有2或3的的概率；⑸第一次得到的点数比第二次的点数大的概率． 解：将骰子先后抛掷两次，得到的点数情况如下表：统计向上点数和的情况如下：⑴向上点数之和是7的概率最大，最大值是636 = 16；⑵向上的点数之和是5的倍数的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)7个，⑶至少有一个是6点的共有11个，则其概率为1136；⑷两个点数之和是2的倍数或是3的倍数，按列计算，有2+6+6+2+2+2=20个，其概率为2036 = 59；⑹去掉相等的共有6个，剩下的一半是前面的数字大，一半是后面的数字大，有15个，其概率为1536 = 512．说明：⑴骰子问题与硬币问题一样，都要考虑先后顺序，且n 个骰子的基本事件总数是2n；⑵当基本事件总数不大时，用枚举法较方便；⑶若能用一个表格来表示这些问题，可使问题直观明了．6.从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成没有重复数字的两位数．试求： ⑴这个两位数是5的倍数的概率； ⑵这个两位数是偶数的概率； ⑶这个两位数大于40的概率．解：“从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成没有重复数字的两位数”，共有基本事件总数5×4=20个．⑴设事件A 为“这个两位数是5的倍数”，则事件A 包含的基本事件为：个位数字是5，共有4个， ∴P(A)= 420 =15；⑵设事件B 为“这个两位数是偶数” 则事件B 包含的基本事件为：个位数字是2或4，共有8个， ∴P(A)= 820 =25；⑶设事件C 为“这个两位数大于40” 则事件C 包含的基本事件为：个十位数字是4或5，也有8个， ∴P(A)= 820 =25．说明：⑴数字问题要考虑先后顺序；⑵常把问题转换成个位数或首位数的问题，学会用到分类讨论的思想；⑶若含有0，还要考虑0不能在首位的特殊要求，这是最容易出错的地方．7.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球． ⑴摸出的两只球都是白球的概率是多少? ⑵摸出的两只球是一白一黑的概率是多少?解：从中摸出两球，可分有先后顺序(有序)和无先后顺序(无序)两种情况．设摸出的2只球都是白球的事件为A ，一白一黑的事件为B ．有序：从5只球中摸出2只球，其基本事件总数为5×4=20． ⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2=6，∴P(A)=620 =310；⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是(先白后黑)3×2 +(先黑后白)2×3 =12， ∴P(A)=1220 =35．无序：从5只球中摸出2只球，其基本事件总数为5×42=10．⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2 2=3 ∴P(A)= 310；⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是3×2 =6， ∴P(A)=610 =35．说明：某些摸球问题是否考虑先后顺序，对问题的答案没有区别，但必须正确理解题意． 8．袋中有红．黄．白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率： （1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色； 解：基本事件有3327=个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为A ，332()279A P A ==； （2）记“三种颜色不全相同”为B ，2738()279P B -==； （3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C ，332215()279P C +-==； 9．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。
古典概型的特征和计算公式
抽象概括
(1).试验的所有可能结果只有有限个,且 每次试验只出现其中的一个结果； (2).每一个试验结果出现的可能性相同。
把具有上述两个特征的随机试验的数 学模型称为 古典概型（古典的概率模型）。
每个可能的结果称为基本事件。
思考交流
向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的， 你认为是古典概型吗？为什么？
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （反，正，正）， （正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）， （反，反，反）.
1. 例2.在一个健身房里用拉力器进行锻炼时,需要选取2个质量盘装在拉力器上.有2 个装质量盘的箱子,每个箱子中都装有4个不同的质量盘:2.5kg, 5kg,10kg,20kg, 每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上,再拉动这个拉力器。
大量的重复试验
费时，费力。
对于一些特殊的 随机试验，我们 可以根据试验结 果的对称性来确 定随机事件发生 的概率。
探究：
一． 投掷一枚均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上” 的机会相等吗？ 二． 抛掷一枚均匀的骰子,出现数字 “1”、 “2”、“3”、“4”、“5”、
“6” 的机会均等吗？ 三． 转动一个十等分(分别标上数字0、1、…、9)的转盘,箭头指向每个数字的
机会一样吗？
○ 这些试验有什么共同特点?
试验一、抛掷一枚均匀的硬币，试验的结果有_2_个，
其中“正面朝上”的概率0＝.5___.出现“反面 朝上”的概率0=._5__.
试验二、掷一粒均匀的骰子，试验结果有__6_ 个， 其中出现“点数5”的概率1＝/6___.
试验三、转10等份标记的转盘，试验结果有8___个， 出现“箭头指向4”的概率1＝/8___.
古典概型的特征和概率计算公式
择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生 随机地选择一个答案即选择A，B，C，D的可能性是相等
的.从而由古典概型的概率计算公式得：
P（“答对”）＝“答对”所基包本含事的件基的本总事数件的个数
＝1 4
＝0.25
1．古典概型： 我们将具有： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限 性） （2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概 型.
〖解〗不是古典概型，因为试验的所 有可能结果只有11个，而命中10环、 命中9环……命中1环和不中环的出 现不是等可能的，即不满足古典概型 的第二个条件.
思考二：
掷一粒均匀的骰子，骰子落地时向上的点数为2的概 率是多少？点数为4的概率呢？点数为6的概率呢？骰子落 地时向上的点数为偶数的概率是多少？
2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为： P（A）＝事试件验A的包所含有的可可能能结结果果数数 3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基 本事件的总数时常用的方法是列举法（画树状图和列 表），注意做到不重不漏.
总质量 第二个质量
2.5
5
10
20
第一个质量
2.5
5
7.5
12.5
22.5
5
7.5
10
15
25
10
12.5
15
20
30
20
22.5
25
30
40
（ⅰ）用A表示事件“选取的两个质量盘的总质量是
20 kg”，因为总质量为20 kg的所有可能结果只有1种， 因此，事件A的概率P(A)= 1 =0.062 5.
16 （ⅱ）用B表示事件“选出，总质量为30 kg的所有可
高中古典概型的概率公式
高中古典概型的概率公式高中数学中，概率是一个重要的概念，我们常用古典概型来计算事件的概率。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
这里介绍高中古典概型的概率公式。
1. 古典概型的定义首先我们来回顾一下古典概型的定义。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
比如掷一枚骰子，每个点数的概率都相等。
这就是古典概型。
2. 古典概型的概率公式对于古典概型，我们可以用公式来计算事件的概率。
公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中元素的个数，n(S) 表示样本空间中元素的个数。
例如，掷一枚骰子，求点数为 3 的概率。
这个事件的样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中点数为 3 的元素个数为 1，样本空间的元素个数为 6。
因此，点数为 3 的概率为：P(点数为 3) = 1 / 6又例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求抽到黑桃的概率。
这个事件的样本空间为 52 张牌，其中黑桃牌的个数为 13 张，因此，抽到黑桃的概率为：P(抽到黑桃) = 13 / 52 = 1 / 43. 古典概型的应用古典概型的应用非常广泛，我们可以用它来计算各种事件的概率。
比如掷硬币、抽扑克牌、摇色子等等。
下面举一个例子。
假设有一个装有 5 个红球和 3 个蓝球的盒子。
现在从盒子中任取 2 个球，求取出的球都是红球的概率。
这个问题可以用古典概型来解决。
首先，样本空间中元素的个数为：n(S) = C(8, 2) = 28其中，C(n, m) 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。
在这个问题中，从 8 个球中取出 2 个球的组合数为 28。
接着，事件中元素的个数为：n(A) = C(5, 2) = 10其中，从 5 个红球中取出 2 个红球的组合数为 10。
因此，取出的球都是红球的概率为：P(取出的球都是红球) = n(A) / n(S) = 10 / 28 = 5 / 144. 总结古典概型是解决概率问题的一种常用方法。
高中数学第三章概率3.2古典概型3.2.1古典概型的特征和概率计算公式学案北师大版3剖析
P（“出现不小于2点”）=“出现不小于2点”所包含的基本领件的个数÷基本领件的总数.
思索6：一般地，对于古典概型，事务A在一次试验中发生的概率如何计算？
P（A）=事务A所包含的基本领件的个数÷基本领件的总数
典型例题
例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．假如考生驾驭了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？
P（“含有不合格产品”）=18/30=0.6
点评：本题的关键是对依次不放回抽取总共列多少基本领件的考查。
变式训练：
一个盒子里装有标号为1,2，3,4,5的5张标签，依据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
（1）标签的选取是无放回的：
（2）标签的选取是有放回的：
归纳小结
1.基本领件是一次试验中全部可能出现的最小事务，且这些事务彼此互斥.试验中的事务A可以是基本领件，也可以是有几个基本领件组合而成的.
(2)掷一枚质地匀称的骰子的试验。
有哪几种可能结果？
在试验（1）中结果只有两个，即“正面朝上”或“反面朝上”它们都是随机的；在试验（2）中全部可能的试验结果只有6个，即出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”它们也都是随机事务。我们把这类随机事务称为基本领件
综上分析，基本领件有哪两个特征？
例4假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的随意一个.假设一个人完全遗忘了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
解：一个密码相当于一个基本领件，总共有10000个基本领件，它们分别是0000,0001,0002，…
第四讲 古典概型
第四讲古典概型概率的一般加法公式[新知初探]1．古典概型的概念(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性是均等的．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.注意事项：基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．求解古典概型的概率“四步”法2．概率的一般加法公式(1)事件A与B的交(或积)：由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．(2)概率的一般加法公式：设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[小试身手]1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝k n .A．②④B．①③④C．①④D．③④解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.2．下列试验是古典概型的是( )A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C A中两个基本事件不是等可能的；B中基本事件的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.12B.13C.23D．1解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23.4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( )A.12B.1536C.1936D.56解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝1936.典型例题[典例] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有基本事件； ②求这个试验的基本事件的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．[答案] C(2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的基本事件的总数是8；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[活学活用]将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？解：(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).[典例] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球1个是白球，1个是红球的概率为P(B)＝8 15 .[活学活用]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝315＝15.[典例] 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位 由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13. [活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)， 共36种．由方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎨⎧2a －b x ＝6－2b ，2a －by ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：P 1＝3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎨⎧a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎨⎧a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336.[层级一 学业水平达标]1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13 B.14 C.16D.112解析：选D 由题意(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为336＝112，故选D. 2．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 3．设a 是从集合{}1，2，3，4中随机取出的一个数，b 是从集合{}1，2，3中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足log b a≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是5 12 .4．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )A.316B.18C.118D.16解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为3 16 .5．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3. 事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310. [层级二 应试能力达标]1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P ＝26＝13.故选B.2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球解析：选B 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有3种，其概率为327＝19；无红球的情况有8种，其概率为827，故选B.3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180 B.1288 C.1360 D.1480解析：选C 当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360.故选C. 4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35 解析：选 C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12. 5．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－16＝56.答案：5 66．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝1 10.答案：1 107．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．当直线与圆有公共点时，可得3a2＋b2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为5 9 .答案：5 98．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P(A)＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共12种，所以P(B)＝1225＝0.48.9．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为3 10 .(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为8 15 .。
古典概型和特征和概率计算公式
古典概型和特征和概率计算公式古典概型是概率论中最简单的概率模型之一，也称为等可能概型。
在古典概型中，试验的所有可能的结果具有相同的概率，因此可以使用特征和概率计算公式来计算特定事件的概率。
一、古典概型的特征：在古典概型中，试验的样本空间S是有限的，即S={a1, a2, ..., an}，其中n为有限个数。
每个样本点ai(a1 ≤ i ≤ n)的发生概率都是相等的，即P(ai) = 1/n。
二、概率计算公式：1.对于一个事件A，A是样本空间S的子集，事件A的概率可以用以下公式计算：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中发生的样本点数，n(S)表示样本空间中的总样本点数。
2.对于互斥事件A和B（即A和B不可能同时发生），它们的并事件（A∪B）的概率可以用以下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.对于独立事件A和B（即A的发生不受B的发生影响，反之亦然），它们的交事件（A∩B）的概率可以用以下公式计算：P(A∩B)=P(A)×P(B)。
4.对于事件A的对立事件（即A不发生），对立事件的概率可以用以下公式计算：P(A')=1-P(A)，其中A'表示事件A的对立事件。
5.对于事件A的补事件（即A不发生的事件），补事件的概率可以用以下公式计算：P(A')=1-P(A)。
6.对于事件A的条件概率，即在事件B发生的条件下事件A发生的概率，可以用以下公式计算：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A，B)表示在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
三、应用举例：假设有一个装有5个红球和3个蓝球的箱子。
现从箱子中任意取出一个球，求以下事件的概率：1.事件A：取出的球是红球。
P(A)=n(A)/n(S)=5/(5+3)=5/82.事件B：取出的球是蓝球。
P(B)=n(B)/n(S)=3/(5+3)=3/83.事件C：先后取出两个红球。
P(C)=P(A∩A)=P(A)×P(A)=(5/8)×(4/7)=20/56=5/144.事件D：取出的球不是红球。
古典概型
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆 王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题 基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一） 古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在 一 次随机 试 验 中 ，某事 件 可能发 生 也 可能 不 发生 ，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版古典概型是概率论中最简单的一种概率模型，它采用了等可能性的假设，即每一个样本点出现的概率都是相等的。
这个模型的特征及其概率计算公式如下：1.样本空间：古典概型中的样本空间是一个有限个数的集合，用Ω表示。
例如，掷骰子的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，抛硬币的样本空间为Ω={正面,反面}。
2.事件：在古典概型中，事件是样本空间的子集，用A表示。
例如，在掷骰子的样本空间中，事件A可以表示为"出现奇数点数"，事件B可以表示为"出现偶数点数"。
3.等可能性假设：古典概型中的一个重要假设是每一个样本点出现的概率都是相等的。
例如，在掷骰子的样本空间中，每一个点数出现的概率都是1/64.概率计算公式：根据等可能性假设，我们可以使用计数的方法来计算事件的概率。
事件A的概率表示为P(A)，计算公式为：P(A)=N(A)/N(Ω)其中，N(A)表示事件A中样本点的个数，N(Ω)表示样本空间中样本点的个数。
例如，对于掷骰子的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A表示出现奇数点数，其样本点为{1,3,5}，样本点个数为N(A)=3；样本空间Ω中的样本点个数为N(Ω)=6、因此，事件A的概率为：P(A)=N(A)/N(Ω)=3/6=1/2这个公式可以扩展到多个事件的情况下。
例如，对于掷骰子的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A表示出现奇数点数，事件B表示出现偶数点数，这两个事件是互斥事件，即事件A和事件B不能同时发生。
因此，事件A和事件B的概率可以通过以下计算公式得到：P(A)=N(A)/N(Ω)=3/6=1/2P(B)=N(B)/N(Ω)=3/6=1/2请注意，在古典概型中，当事件A和事件B互斥时，它们的概率相加等于1，即P(A)+P(B)=1总结起来，古典概型的特征是样本空间有限、等可能性假设成立；概率计算公式是P(A)=N(A)/N(Ω)。
古典概型的特征和概率计算公式
古典概型的特征和概率计算公式古典概型是概率论中最简单的概型之一，它是基于等可能性假设的。
古典概型的特征和概率计算公式如下所示。
1.特征：-等可能性假设：古典概型假设所有可能的结果具有相同的发生概率。
-有限个数的可能结果：古典概型假设实验的所有可能结果可数且是有限的。
-互斥性：古典概型假设每个实验结果都是唯一的，任意两个不同结果之间是互斥的，即同一次试验只能出现一种结果。
2.概率计算公式：在古典概型下，我们可以使用以下公式来计算事件的概率。
-样本空间:古典概型中，样本空间的大小等于实验的所有可能结果数的总和。
假设样本空间为S，大小为n，即S={A1,A2,A3,...,An}。
- 事件的概率: 假设事件A是样本空间S的子集，包含m个可能结果，即A = {Ai1, Ai2, Ai3, ..., Aim}。
则事件A的概率P(A)等于事件A中所有可能结果的概率之和。
P(A) = P(Ai1) + P(Ai2) + P(Ai3) + ... + P(Aim) = m/n。
3.举例说明：为了更好地理解古典概型的特征和概率计算公式，我们来举一个简单的例子。
假设有一个标准的六面骰子，每个面上的数字是等可能的。
（1）样本空间：这个例子中，样本空间S包含了所有可能的结果，即S={1,2,3,4,5,6}。
（2）事件A：假设我们关注的事件是掷出的数字是奇数。
事件A是样本空间S的子集，A={1,3,5}。
（3）概率计算：根据公式，我们可以计算事件A的概率：P(A)=P(1)+P(3)+P(5)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2从这个例子中，我们可以看到事件A的概率是1/2，即掷出的数字是奇数的可能性为1/2总结起来，古典概型是概率论中最基本的概型之一、它的特征包括等可能性假设、有限个数的可能结果和互斥性。
在古典概型下，我们可以使用简单的公式来计算事件的概率，即事件中所有可能结果的概率之和。
这个概率计算公式是P(A)=m/n，其中m是事件A包含的可能结果数，n是样本空间S的大小。
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版古典概型是概率论中最简单的模型之一，适用于试验结果相互独立且每个结果发生的概率相等的情况。
在古典概型中，试验的结果可以通过一个有限的样本空间来描述，样本空间中的每个样本点都是一个可能的结果。
下面将介绍古典概型的特征以及概率计算公式的完美正规版。
一、古典概型的特征1.试验结果相互独立：古典概型中的试验结果之间是相互独立的，即一个结果的发生不会影响其他结果的发生。
2.每个结果发生的概率相等：古典概型中每个结果发生的概率是相等的，即每个结果发生的可能性相同。
在古典概型中，我们通常希望计算一些事件的概率，即该事件发生的可能性。
为了计算概率，我们需要以下两个关键步骤：确定样本空间和确定事件。
1.确定样本空间：样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
对于古典概型来说，样本空间可以通过列举出所有可能结果来确定。
样本空间的个数通常表示为n。
2.确定事件：事件是样本空间中的一个子集，表示我们感兴趣的试验结果。
可以通过列举出所有可能的事件来确定。
根据古典概型的特征，事件A发生的概率可以通过以下公式计算：P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间的样本点数这个计算公式适用于古典概型中任何一个事件的概率计算。
下面通过一个例子来解释该公式的使用。
例子：假设有一个卡片盒，里面有5张红色卡片和3张蓝色卡片。
现在从卡片盒中随机抽取一张卡片，求该卡片是红色的概率。
解答：样本空间为{红，红，红，红，红，蓝，蓝，蓝}，样本空间的样本点数为8事件A表示抽取一张红色卡片，包含的样本点数为5根据概率计算公式，可得：P(A)=5/8因此，该卡片是红色的概率为5/8总结：古典概型是概率论中最简单的模型之一，适用于试验结果相互独立且每个结果发生的概率相等的情况。
古典概型的特征是试验结果相互独立，并且每个结果发生的概率相等。
在古典概型中，可以使用概率计算公式P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间的样本点数来计算事件发生的概率。
2.1古典概型的特征和概率计算公式
基本事件： 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件。
基本事件有什么特点：
1点
2点
3点
4点 5点
6点
问题（：1）在一次试验中，会同时出现 “1点” 与 “2点” 吗？
不会
任何两个基本事件是不可能同时发生的
（2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？
这下可把他们难住了。问这时应如何分这100个金币才能使 两赌徒都心服口服？
创设情境：
因为没有赌完，所以各自拿回自己的50金币，但梅累 不同意，他认为自己已经多赢一局，应多拿。
因为梅累多赢一局，所以全归梅累，但对方肯定不服，对方说 再赌下去也许他会连扳两局呢！
按赢的比例分配，按比例最合乎人们的心理习惯，所以 梅累拿三分之二，对方拿三分之一。
2
（2，1） （2，2）（2，3） （2，4）（2，5） （2，6）
3
（3，1）（3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） （4，6）
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
判断下列试验是不是古典概型
探究4： 向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内
任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为 什么？
有限性
等可能性
探究5： 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有：
“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中
7环”、“命中6环”、“命中5环”和“不中环”。
古典概型的概率计算例题和知识点总结
古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
理解古典概型的概率计算方法对于解决许多概率问题至关重要。
下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨古典概型的概率计算，并对相关知识点进行总结。
一、古典概型的定义和特点古典概型是指试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等的概率模型。
其特点主要有以下几点：1、有限性：试验的可能结果只有有限个。
2、等可能性：每个可能结果出现的概率相等。
二、古典概型的概率计算公式如果一个试验有\（n\）个等可能的结果，事件\（A\）包含其中的\（m\）个结果，那么事件\（A\）发生的概率\（P(A) ＝＼frac{m}｛n}＼）三、例题解析例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：总共有\（5 ＋ 3 ＝ 8\）个球，取出红球的结果有 5 种，所以取出红球的概率\（P(取出红球) ＝＼frac{5}｛8}＼）例 2：从 1、2、3、4、5 这五个数字中任意抽取一个数字，求抽到奇数的概率。
解：总共有 5 个数字，其中奇数有 1、3、5 共 3 个，所以抽到奇数的概率\（P(抽到奇数) ＝＼frac{3}｛5}＼）例 3：同时掷两个骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：掷两个骰子，总的结果数为\（6×6 ＝ 36\）种。
点数之和为 7 的情况有\（（1,6)＼）、＼（（2,5)＼）、＼（（3,4)＼）、＼（（4,3)＼）、＼（（5,2)＼）、＼（（6,1)＼），共 6 种。
所以点数之和为 7 的概率\（P(点数之和为 7) ＝＼frac{6}｛36} ＝＼frac{1}｛6}＼）例 4：有 10 件产品，其中 3 件次品，7 件正品。
从中不放回地抽取2 件，求两件都是正品的概率。
解：第一次抽取正品的概率为\（＼frac{7}｛10}＼），第二次在剩下的 9 件产品中抽取正品的概率为\（＼frac{6}｛9}＼）。
古典概型的概率计算公式
602 302
P( A)
2 602
87.5%.
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.
在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概
率有多大？ 解：记“在斜边AB上任取一点，
AM<AC”为事件A,
C
由于点M随机地落在线段AB上，
故可以认为点M落在线段AB上任一
A M C’
Байду номын сангаас
B 点是等可能的，可将线段AB 看做区 域D.
后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不 小于1m的概率有多大？
1m
1m
C
D 3m E
F
解:设“剪得的两段均不小于1米”为事件A,如图所示 基本事件可视为线段CF上任意一点,构成事件A的基本
事件可视为线段DE上任意一点,所以 P(A)= 1
3
答：剪得的两段均不小于1米的概率为 1
3
探索归纳
问题3：设立了一个可以自由 转动的转盘（如图）,转盘被 等分成12个扇形区域.如果转 盘停止转动时，指针正好指 向阴影区域，则可获得月饼 一盒.
典型例题
例3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离 开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
典型例题
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
顾客能拿到月饼的概率是多少？
圆的面积为S
第1部分 第三章 § 2 2.1 古典概型的特征和概率计算公式
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解：(1)1,2,3,4,5,6. (2)①事件 A 为 2,4,6；②事件 B 为 4,5,6；③事件 C 为 1,2；④ 事件 D 为 2,3,5. 3 1 3 1 2 1 (3)是古典概型，其中 P(A)＝ ＝ ；P(B)＝ ＝ ；P(C)＝ ＝ ； 6 2 6 2 6 3 3 1 P(D)＝ ＝ . 6 2
下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数， 求取到偶数的概率． [思路点拨] 根据直观印象判断两个试验的基本事件数
是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．
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1．学好古典概型应抓住以下三点：
(1)对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的 试验结果； (2)对于这有限个不同的结果，它们出现的可能性是相 等的； (3)求事件的概率可以通过大量重复试验，而只要通过 一次试验中出现的结果进行分析计算即可．
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2．求古典概型概率的计算步骤： (1)求出基本事件的总个数n (2)求出事件A包含的基本事件的个数m； (3)求出事件A的概率P(A)＝ 事件A所包含的基本事件数 m ＝n. 试验的基本事件总数
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高中数学必修（3）导学案
2013-2014学年第二学期高一年级班姓名编写者使用时间2018-6-23
课题：§3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 1 课时学习目标：
1、知识与技能
（1）正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件及其个数；
（2）正确理解古典改性的两个特征；
（3）掌握古典概型的概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率.
2、过程与方法
鼓励学生通过实践、观察、类比，归纳总结出古典概型的概率计算公式，提高学生利用数学知识解决实际问题的能力.
3、情感态度与价值观
通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，进一步培养学生用随机的观点认识世界，激发学生学习数学的热情和兴趣.
学习重点：理解古典概型的含义及其概率的计算公式.
学习难点：计算试验的所有可能结果数以及某事件所包含的结果数.
基础达标：
1、古典概型
（1）定义：具有以下两个特征的的数学模型称为古典概型（古典的概率模型）．
①试验的所有可能结果，每个试验只出现其中的结果．
②每一个试验结果出现的可能性．
（2）基本事件
试验的称为基本事件．
2、随机事件A的概率
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由组成．如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝．合作交流：
1、判断下列事件是否为古典概型．
（1）在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽；
（2）射击运动员向一靶心进行射击，射中与射不中；
（3）向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的；
（4）如果袋内装有n个不同的球，现从中依次有放回摸球，每次摸一个；
（5）如果袋内装有n个不同的球，现从中依次无放回摸球，每次摸一个．
2、一个口袋装有大小相同的1个白球和与它编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个
球．求：
（1）找出所有基本事件；（2）事件“摸出2个黑球”包括多少个基本事件？
3、袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，
求下列事件的概率．
（1）A：取出的两球都是白球；（2）B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
思考探究：
1、在标准化的考试中既有单选题，又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有的正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？
2、使用古典概型概率的计算公式时应注意些什么？
达标检测：
1、从a ，b ，c ，d 中任意选取3个字母的试验中，所有可能的基本事件数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．24
2、下列选项中是古典概型的有（ ）
A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B ．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D ．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
3、将一枚硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面的概率是（ ） A ．
12 B ．14 C ．3
4
D ．1 4、从甲、乙、丙三人中任选2人作代表，则甲被选中的概率为________．
5、一个口袋中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出2个球． （1）写出该试验的基本事件及基本事件总数． （2）求至少摸到1个黑球的概率．
6.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则基本事件共有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
7.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是( )
(A)21 (B)31 (C)3
2
(D)1
8.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率等于( ) (A)
41 (B)31 (C)83 (D)21 9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a 的概率是( ) (A)
54 (B)53 (C)5
2
(D)
5
1
10.(2012年金华十校期末)分别写有数字1,2,3,4的4张卡片,从这4张卡片中随机抽取2张,
则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( ) (A)
41 (B)3
1
(C)
2
1
(D)
3
2 11.(2012年高考广东卷)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的
概率是( )
(A)
94 (B)31 (C)92 (D)9
1 12.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得 的数字分别为x,y,则y
x
为整数的概率是 .
学后反思：
温馨提醒 怎样判断一个试验是否为古典概型？ 判断一个试验是否为古典概型，必须抓住以下三个特点：
第一，对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；第二，对于这有限个不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的；第三，求事件的概率可以不通过大量重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析计算即可．因此，必须分清事件是否为等可能性事件，以免与后面学习的其他事件及其概率混淆．。