初中数学利用公式法(完全平方公式)因式分解
完全平方公式法因式分解
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍， 等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。
完全平方公式因式分解
灵活应用: 灵活应用:
(1)2006 − 6
2 2 2 2
2
(2)13 − 2 ×13 × 3 + 9 (3)11 + 39 + 66 ×13
小结
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 正确选取a,b. 注意 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
注意: 注意
(1)正确选取 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清
分解因式
(1)3am + 3an + 6amn
2 2
(2) − a
2
− 4b + 4ab
2
2
(3) -8a(2a+b)-b
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 注意 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 在因式分解中 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
2 就得到
a + 2ab + b = (a + b) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
a + 2ab+ b = (a+ b) 2 2 2 a − 2ab+ b = (a − b )
数学初二数学利用公式法完全平方公式因式分解课堂实录
数学 - 初二数学利用公式法完全平方公式因式分解课堂实录导语在初二数学课程中，因式分解是我们必须要掌握的一个基础技能。
而利用公式法求解因式分解问题，则是我们在这个过程中需要掌握并愉快地应用的一个方法。
下面，就让我来通过一节初二数学课堂的实录，向大家介绍关于数学利用公式法进行完全平方公式因式分解的方法。
课程主要内容一、知识铺垫在开始进入完全平方公式的因式分解时，老师首先做了一个知识铺垫，即对完全平方的概念进行了简要讲解。
在此，我们从初中数学的角度来看，将完全平方定义为一个数的平方可以分解成两个相同的因数相乘的形式。
例如，4是一个完全平方数，因为 $4 = 2 \\times 2$（因数为2，乘积为4）。
二、完全平方公式的介绍之后，老师介绍了完全平方公式的概念和公式式样，并带领我们大声地朗诵了完全平方公式的推导过程和公式：(a+b)2=a2+2ab+b2在这里，需要注意的是：•公式右侧的2ab部分是两个变量a和b的积的两倍。
•根据完全平方的定义，公式左侧和公式右侧的式子是完全一致的。
因此，在进行因式分解时，我们要找出公式右侧的三个部分，将它们与公式左侧的部分逐一进行对比。
三、课堂案例示范随后，老师示范了如何利用完全平方公式进行因式分解。
以下是他在课堂上给我们出的一道例题：x2+10x+25老师说，我们可以先考虑将这个式子放到公式右侧上对比：(x+5)2=x2+10x+25我们可以看到，公式右侧的三个部分恰好与原式匹配。
因此，我们的答案就是：x2+10x+25=(x+5)2四、课后练习在示范完这个案例以后，老师要求我们在课后自己完成3道类似的练习。
以下是其中一道示例练习：x2+8x+16同样地，我们可以将这个式子放到公式右侧上对比：(x+4)2=x2+8x+16因此，我们的答案就是：x2+8x+16=(x+4)2总结通过这节数学课的学习，我们掌握了通过公式法进行完全平方公式的因式分解的方法。
同时，我们也学到了完全平方的定义和推导过程，这些都是我们后续的数学学习中必备的知识点。
中考数学因式分解的九种方法
中考数学因式分解的九种方法2020中考数学因式分解的九种方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项;②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同;③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。
初中八年级数学 因式分解完全平方公式法
12.5.3因式分解（完全平方公式法）教学目标：1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力重点：掌握公式法进行因式分解. 难点：找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程:一、课前导入：1、分解因式学了哪些方法?⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)⑵运用公式法：①a2-b2=(a+b)(a-b)练习把下列各式分解因式①②x4-162．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征：从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）二、讨论探究：四、巩固提高练习填空：（1）a2+ +b2=(a+b)2（2）a2-2ab+ =(a-b) 2（3）m2+2m+ =( ) 2（4）n2-2n + =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2 （6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 2例题（先观察再因式分解）①x2＋14x＋49 ②③3ax2＋6axy＋3ay2④-x2-4y2＋4xy⑤⑥16x4-8x2＋1判断因式分解正误，并写出正确过程(1）-x2-2xy-y2= -(x-y)2 （2）a2+2ab-b224axax-9)(6)(2++-+nmnm229124baba++2)(ba-=五、总结与反思： 1:、整式乘法的完全平方公式是：2:、利用完全平方公式分解因式的公式形式是：3:、完全平方公式特点：①含有三项；②两平方项的符号同号；③首尾2倍中间项六、检测与提高 1、知识检测：（1）25x 2＋10x ＋1（4）-a 2-10a -25（5）-a 3b 3+2a 2b 3-ab 3 （6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2（7）x 2-12xy+36y 2 (8)16a 4+24a 2b 2+9b 4(9) -2xy-x 2-y 2 (10)4-12(x-y)+9(x-y)22、知识提高：（1）若x 2-8x+m 是完全平方式,则m=（2） 若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a=( ) A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12（3）提高计算：(y 2 + x 2 )2 - 4x 2y 2 （a+1)2-2(a 2-1) ＋(a-1)2（4）已知x 2+4x+y 2-2y+5=0,求 x-y 的值2269)2(b ab a +-ab b a 1449)3(22++()2222a b a ab b ±=±+()2222a ab b a b ±+=±)3(492b a b a --22363ay axy ax ++2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-。
完全平方公式分解因式
完全平方公式分解因式在代数学中，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将一个二次三项式分解为两个二次项的乘积。
它由以下公式给出：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2其中a和b是任意实数。
在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式的应用和证明，并提供一些例子来帮助读者理解。
首先，让我们来看看为什么这个公式成立。
我们将用代数的方法来证明它。
首先，考虑一个二次三项式(a+b)^2、根据乘法法则，我们可以将其展开为：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，展开后得到的结果是一个完全平方公式。
因此，我们证明了完全平方公式的正确性。
现在，让我们用完全平方公式来分解一些二次三项式。
考虑以下的二次三项式：x^2+6x+9我们注意到，这个三项式是一个完全平方公式。
具体来说，它可以分解为：x^2+6x+9=(x+3)^2通过使用完全平方公式，我们可以将一个二次三项式化简为一个更简单的二次项表达式。
这在解决数学问题和方程时非常有用。
接下来，我们将提供一些例子，以帮助读者更好地理解完全平方公式的应用。
例子1：将二次三项式x^2+10x+25分解为两个二次项的乘积。
根据完全平方公式，我们可以将其分解为：x^2+10x+25=(x+5)^2因此，x^2+10x+25可以写成(x+5)^2的形式。
例子2：将二次三项式4x^2-12x+9分解为两个二次项的乘积。
首先，我们要注意到这个三项式不是一个完全平方公式。
因此，我们需要找到适当的因式分解方法。
我们可以使用因式分解法将其分解为两个一次项的乘积：4x^2-12x+9=(2x-3)(2x-3)通过展开右边的表达式，我们可以验证等式的正确性。
因此，4x^2-12x+9可以写成(2x-3)^2的形式。
总结起来，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将二次三项式分解为两个二次项的乘积。
14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册
a
b
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
利用公式把某些具有特殊 形式(如平方差式，完全平 方式等)的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做 公式法因式分解.
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判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
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例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方 公式分解因式， 可以简化计算.
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2a(x y)2
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例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解 步骤方法
先提公因式→一提 再用公式→二用 继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式， 展开合并 再观察。
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例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3
数学 - 初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂实录
数学 - 初二数学利用公式法（完全平方公式）因式分解课堂实录引言数学的因式分解是一个重要的概念和技巧。
在初中数学教学中，因式分解通常作为解题的基础和扩展应用进行教授。
其中，利用公式法进行因式分解是一种高效且常用的方法。
在本文中，我们将记录下一堂初二数学课堂上，老师对于利用公式法进行因式分解的讲解和学生的实际操作。
通过这堂课的实录，我们可以更好地理解完全平方公式的运用和因式分解的思路。
一、概念复习在开始讲解利用公式法进行因式分解之前，老师首先对于完全平方公式进行了简要复习。
完全平方公式是一个非常重要的数学公式，可以用来将一个二次多项式进行因式分解。
完全平方公式的表达式如下：a2+2ab+b2=(a+b)2其中，a和b可以是任意实数。
利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。
二、利用完全平方公式进行因式分解老师在课堂上提供了几个实际的例子，以帮助学生更好地理解如何利用完全平方公式进行因式分解。
例子一题目：因式分解x2+6x+9解析：首先，根据完全平方公式，我们可以将x2+6x+9写成(x+3)2的形式。
因此，答案为(x+3)2。
例子二题目：因式分解4x2−12x+9解析：首先，可以观察到4x2−12x+9的首项系数是4，即4x2。
因此，我们需要将完全平方公式应用到4x2上。
通过计算可知，4的平方是16。
因此，我们需要将4x2−12x+9中的第二项系数−12x分解为两个数的乘积，使得这两个数的和为−12，且乘积为16。
通过观察和计算，我们可以得出−6和−6是满足条件的两个数。
因此，我们将4x2−12x+9进行因式分解，得到(2x−3)2。
例子三题目：因式分解9x2+12x+4解析：与上一个例子类似，我们需要将完全平方公式应用到9x2上。
通过计算可知，9的平方是81。
因此，我们需要将9x2+12x+4中的第二项系数12x分解为两个数的乘积，使得这两个数的和为12，且乘积为81。
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
利用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式因式分解当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方公式来进行因式分解。
完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式转化为一个平方的方法。
完全平方公式如下：(a+a)^2=a^2+2aa+a^2(a−a)^2=a^2−2aa+a^2我们以一个具体例子来说明这个方法。
假设我们要因式分解a^2+6a+9这个二次多项式。
我们可以将这个多项式写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。
因此，a^2+6a+9=(a+3)^2接下来我们来看一个更复杂的例子。
假设我们要因式分解a^2+8a+12这个二次多项式。
我们可以尝试将这个多项式写成两个完全平方的和的形式。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。
a^2+8a+12=(a+2)(a+6)通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。
(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。
除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。
例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。
我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。
通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。
(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。
总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。
通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。
通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。
因式分解(完全平方公式)课件
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
如何解(公式法的因式分解完全平方公式)
如何解(公式法的因式分解完全平方公式)因式分解是数学学习中的一个重要内容，而公式法中的完全平方公式更是其中的关键。
别担心，咱们一起来把这个难题给攻克掉！先来说说完全平方公式到底是啥。
它有两个形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²以及 (a - b)² = a² - 2ab + b²。
那怎么用这两个公式来进行因式分解呢？咱们通过一些例子来瞅瞅。
比如说，有个式子 x² + 6x + 9 ，咱们来分解它。
先看，6x 正好是 2乘以 3 乘以 x ，而 9 是 3 的平方，这不就符合 (a + b)² = a² + 2ab + b²这个形式嘛，其中 a 就是 x ，b 就是 3 ，所以可以分解为 (x + 3)²。
再比如 4x² - 12xy + 9y²，这里 4x²可以看成 (2x)²，9y²可以看成(3y)²，而 -12xy 正好是 -2 乘以 2x 乘以 3y ，所以它可以分解为 (2x -3y)²。
我记得我以前教过一个学生，叫小李。
这孩子特别聪明，就是一碰到因式分解就犯迷糊。
有一次上课，我就专门讲完全平方公式的因式分解，出了一道题 16x² + 24x + 9 让大家做。
小李一开始眉头皱得紧紧的，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊！”我走到他身边，轻声问他：“来，咱们先看看，16x²是不是可以写成 (4x)²呀？9 是不是 3 的平方？那24x 是不是 2 乘以 4x 乘以 3 呢？”小李眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我懂啦，这就是一个完全平方！”然后很快就写出了正确答案(4x + 3)²。
从那以后，小李对因式分解的题目就越来越得心应手啦。
咱们再深入一点，有些式子可能不是一下子就能看出来是完全平方的形式，这时候就需要咱们稍微变一变。
因式分解—完全平方公式
因式分解—完全平方公式因式分解是一种数学运算，用于将一个多项式表示为它的因式的乘积。
因式分解是数学中一个基本的操作，它在解决方程、简化代数表达式等问题中起着重要的作用。
其中，完全平方公式是一种特殊的因式分解方法，用于将一个二次多项式表示为两个完全平方的乘积。
在解决因式分解问题时，首先需要了解完全平方公式。
完全平方公式指出，一个二次多项式可以表示为两个完全平方的和或差。
具体地说，如果一个二次多项式为x²+2ax+a²，则它可以分解为(x+a)²，即平方的和。
而如果一个二次多项式为x²-2ax+a²，则它可以分解为(x-a)²，即平方的差。
运用完全平方公式分解一个二次多项式的步骤如下：1.检查二次多项式的形式，确保它符合完全平方公式的形式。
2.提取二次项和线性项的系数。
3.根据完全平方公式的形式，将二次项和线性项的系数带入公式中。
4.计算和、差的平方，并展开得到简化的形式。
下面我们通过几个实例来具体说明如何运用完全平方公式进行因式分解。
例1：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：首先我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²+2ax+a²。
然后我们提取二次项和线性项的系数，得到a=3、接下来，我们带入完全平方公式中，得到(x+3)²。
因此，多项式x²+6x+9可以分解为(x+3)²。
例2：将多项式x²-10x+25进行因式分解。
解：同样地，我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²-2ax+a²。
我们提取二次项和线性项的系数，得到a=5、然后，我们带入完全平方公式中，得到(x-5)²。
因此，多项式x²-10x+25可以分解为(x-5)²。
通过上述两个例子可以看出，使用完全平方公式进行因式分解可以简化计算，使我们能够更快地找到多项式的因式。
运用完全平方公式因式分解
运用完全平方公式因式分解因式分解这玩意儿，就像是数学世界里的开锁匠，而完全平方公式就是那把神奇的钥匙。
咱们今天就来好好聊聊怎么用这把钥匙打开因式分解的大门。
我先给大家讲讲完全平方公式是啥。
它就像一对双胞胎，一个叫(a+ b)² = a² + 2ab + b²，另一个叫(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这俩公式看着有点复杂，但其实就像是搭积木，只要你掌握了规律，就能轻松拼出想要的形状。
比如说，给你一个式子 x² + 6x + 9，这时候咱们就可以把它看成是(a + b)²的形式。
那谁是 a，谁是 b 呢？很明显，a 就是 x，b 就是 3，因为 2ab = 6x，所以 2×x×3 = 6x。
那按照公式，它就可以分解为(x + 3)²。
是不是感觉挺神奇的？再比如 4x² - 12xy + 9y²，咱们也来找找 a 和 b。
a 就是 2x，b 就是3y，因为 2×2x×3y = 12xy。
所以这个式子就可以分解为(2x - 3y)²。
我记得之前有个同学，叫小李，他刚开始学这个的时候总是晕头转向的。
有一次做作业，遇到一个式子 16x² + 24x + 9，他怎么都分解不出来。
我就问他：“你想想完全平方公式，先找找 a 和 b 呀。
”他苦着脸说：“老师，我找不到。
”我就引导他：“那 16x²可以写成谁的平方呀？”他想了想说：“4x 的平方。
”我又问：“那 9 呢？”他马上回答：“3 的平方。
”“那 2ab 是不是 24x 呢？”他一拍脑袋：“哎呀，我知道了，a 是 4x，b 是 3，所以可以分解为(4x + 3)²。
”从那以后，小李遇到这种题就再也不害怕了，还经常主动给其他同学讲呢。
咱们再来说说用完全平方公式因式分解的一些小窍门。
公式法因式分解2(完全平方公式)
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式 是不是一个完全平方式。 做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) x2 6x 9 (2) (3) m2n2 4 4mn
x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
已知a+b=7，a2+b2=29，求 （a-b）2 值。
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c) a-b-c＜0,a+b+c﹥0 ∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
将4x2＋1再加上一项，使它成为完全 平方式，你有几种方法？
完全平方公式： 完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
(a－b)2 = a²－2ab＋ b²
两个数的平方 和，加上(或减
去)这两数的积
整式乘法
的2倍，等于这
a²＋2ab＋ b²= (a＋b)2 两数和(或差)的 平方。
a²－2ab＋ b²= (a－b)2
因式分解
我们把多项式a²＋2ab＋b²和 a²－2ab＋b²叫做完全平方式。
(4)(2x＋y) 2－6 (2x＋y)＋9
注意啦！首先要考虑能不能提取公因式！
灵活地把(2x＋y)看成一个整体，这需要你 的智慧哟。
(3)ax2 2a2 x a3 (4) 3x2 6xy 3y2
(5) (a+b)4-10(a+b)2+25
Байду номын сангаас3.用简便方法运算。
用完全平方公式进行因式分解
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
因式分解——完全平方公式
因式分解——完全平方公式
完全平方公式（Quadratic Formula），是一类中学数学问题，它用来求解格式为ax2+bx+c=0，a≠0 的二次方程的根（即x）的一种方法。
它的公式是：
x1 = [-b+√(b2-4ac)]/2a；
x2 = [-b-√(b2-4ac)]/2a。
二、完全平方分解
完全平方分解是一种方法对一个数进行因式分解，以求得它最原始的因式。
它让我们将一个数分解到最简单的形式，比如n²或者n²+2n+1、常见的完全平方分解公式如下：
a² +2ab +b² = (a+b)²；
a² -2ab +b² = (a-b)²；
a² +2ma + m²= (a+m)²。
它可以用于分解多项式，因为它可以有效地将多个项分解成一个项并求得它们的乘积；如果需要相减，完全平方分解也可以将一个含有两个负号的多项式分解成两部分，使其易于求和。
完全平方分解的步骤如下：
步骤一：将原式拆分成平方项的和；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数；
步骤三：选出两个数的积，使其和等于已被拆分的平方项；
步骤四：将拆分的平方项的和写成完全平方式；
步骤五：最后，将原式分解为完全平方式形式。
示例：
令x²-4x+4=0。
步骤一：将原式拆分成平方项的和，即x²=4x-4；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数;x可以选择2，4；。
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初二数学利用公式法（完全平方公式）因式分解
设计思路：
教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。
教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。
教学过程：
师生问好，组织上课。
师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？
生1：（答略）
师：你能用符号语言来表示这个公式吗？
生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2 （a－b）2=a2－2ab＋b2
师：不错，请坐。
由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？
生齐答：两个。
师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？
a2＋＋1=(a＋1)2 4a2－4ab＋=(2a－b)2
生2：（答略）
师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？
生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。
师：很好。
（将四个式子分别标上○1○2○3○4）
问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？
○3、○4两个式子由左往右是什么变形？
生3：（答略）
师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2 a2－2ab＋b2=（a－b）2 （板书）
问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？
生齐答：因式分解。
师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。
这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题）
师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。
这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。
（经过讨论之后）
生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。
生5：左边有两项能够写成平方和的形式。
师：说得很好，其他同学有没有补充的？
生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。
师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？
生6：不是，而是刚才两项的底数。
师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。
再请一位同学来综合一下。
生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。
右边是两个数的和或差的平方。
教师在学生回答的基础上总结：
1)多项式是三项式
2)有两项都为正且能够写成平方的形式
3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负
4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
师：我们如何将符号语言转化为文字语言呢？
生8：a、b两个数的平方和加上a、b乘积的2倍，等于a与b的和的平方；
a、b两个数的平方和减去a、b乘积的2倍，等于a与b的差的平方。
师：如果不用字母a、b，又怎么表达？能否将两句合并成一句呢？
生9：两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和或差的平方。
师：非常好！我们以后只要遇到这种类型的多项式可以直接利用完全平方公式方便地进行因式分解了。
通过刚才的学习，我们已经初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有关知识，下面有几道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌握知识的情况：
判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由。
（1）a2－4a＋4 (2 )x2＋4x＋4y2 (3 )4a2＋2ab＋ b2
(4 )a2－ab＋b2 (5 )x2－6x－9 (6 )a2＋a＋0.25
生10：第一题是完全平方式。
有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是减去这两个数的积的2倍。
…… ……
生11：第四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积的2倍。
生12：第五题是完全平方式。
三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的积的2倍。
师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？
生13：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方和。
师：同意他的意见吗？
生齐答：同意。
师：因此我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，不仅要找有没有两项能够写成平方的形式，同时还要看这两项的符号是否同为正，更要看另一项是不是这两数的积的2倍。
像刚才的第2题和第4题都只满足特征中的一部分。
引例讲解：将下列各式分解因式。
1、x2＋6x＋9
2、4x2－20x＋25
问题：这两题首先怎么分析？
生14：将9改写成32，6x正好是x与3的乘积的2倍。
（学生回答，教师板书）
生15：将4x2写成（2x）2，25写成52，20x写成2×2x×5
x2＋6x＋9=x2＋2×x×3＋32=(x＋3)2
4x2－20x＋25=(2x)2－2×2x×5＋52=(2x－5)2
（联系字母表达式用箭头对应表示，加深学生印象。
）
师：由刚才的例子，我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方，如何确定是两数的和还是两数的差的平方呢？
生16：由符号来决定。
师：能不能具体点。
生16：由中间一项的符号决定，就是两个数乘积2倍这项的符号决定，是正，就是两个数的和；是负，就是两个数的差。
师：总之，在分解完全平方式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式。
例题1：把25x4＋10x2＋1分解因式。
师：这道题目能否运用以前所学的方法分解？就题目本身有什么特点？可以怎么分解？
生17：题目符合完全平方式的特点，可以将25x4改写成（5x2）2，1就是12，10x2改写成2×5x2×1。
（此学生板演，过程略）
例题2：把－x2－4y2＋4xy分解因式。
师：按照常规我们首先怎么办？
生齐答：提取负号。
〔教师板书：－（x2＋4y2－4xy）〕以下过程学生板演。
师：如果是这道题：4xy－x2－4y2 怎么分解呢？（教师改变刚才题型）
提示：从项的特征进行考虑，怎样转化比较合理？四人小组讨论。
生18：同样还是将负号提取改变成完全平方式的形式。
师：从这里我们可以发现，只要三项式中能改写成平方的两项是同号，且另一项为两底数积的2倍，我们都能利用这个公式分解，若这两项同为正则可直接分解，若同为负则先提取负号再分解。
练习题：课本p21 练习：第1题，学生板演，教师讲解，学生板演的同时，教师提示注意点、多项式的特征；第2题，学生口答。
例题3：把3ax2＋6axy＋3ay2分解因式。
师：先观察，再选择适当的方法。
（学生板演，教师点评）
练习：课本p22 第3题分两组学生板演，教师评讲、适当提示注意点。
师：这一堂课我们一起研究了完全平方式的有关知识，同学们先自查一下自己的收获，然后请同学发表自己的见解。
（学生小声讨论）
生甲：我学到了如何将完全平方式分解因式，遇到三项式中有两项符号相同且能化成平方的形式，另一项为这两个数的积的2倍的形式，如果能化成平方项是负的，首先将负号提取再分解。
第二项是正的就是两数的和的平方，第二项是负的就是两数差的平方。
生乙：有公因式可提取的先提取公因式，然后再分解，同时根据第二项的符号来选用合适的公式。
教师布置课堂作业：课本p23 习题8.2 A组 4～5 偶数题
课外作业：课本p23 习题8.2 A组 4～5 奇数题。