复变函数教案51.docx

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点

教学课题：第一节解析函数的洛朗展式

教学目的：1、了解双边幕级数在其收敛圆环内的性质；

2、充分掌握洛朗级数与泰•勒级数的关系；

3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数

教学重点：掌握洛朗级数的展开方法

教学难点：掌握洛朗级数的展开方法

教学方法：启发式、讨论式

教学手段：多媒体与板书相结合

教材分析：洛朗级数是推广了的幕级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。

教学过程：

1、双边基级数

在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数

00 + （Z - Z（）+ 0_2（Z - Z（）尸 +

・・・ + 0_〃（Z-Z（））-" +・・・

其屮堤复常数。此级数可以看成变量丄的幕级数；设这幕级

z_z°

数的收敛半径是心如果ovRv+oe,那么不难看出，此级数在|z-z01>丄内绝

R

对收敛并且内闭一致收敛，在|Z-Z O |<1内发散。同样，如果/? = +oo,那么此级

R

数在|z-z（） |> 0内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果/?二0,那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在z = z。没有意义。于是根据定理2.3,按照不同情形，此级数分别在

| z-z0 |>^ = 7?,（0< /?<4-OO）及I z-Zo |>0 内收敛于一个解析函数。

R

2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数

工0“（Z-Zo）",

这里勺,爲3=0±口2…是复常数。当级数

乞伏（z - z°y及乞仇d -

川=0 /?=-!

+8

都收敛吋，我们说原级数£A（Z-Z0）W收敛，并且它的和等于上式屮两个级数的”=-oo

和函数相加。设上式中第一个级数在|z-z0\

第二个级数在I z-z（）|>尺内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分

别|z-z0|K在内解析。又设&V&,那么这两个级数都在圆环

D:R l

7l=—oo

这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。我们称级数£%（z-Z。）"为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析川二一oo

函数，我们也有

定理5・1 （洛朗级数）设函数/（z）在圆环：D:R} <\ z - z0\< R2（0 < R} < R2

<+oo）

内解析，那么在£>内

/(z)=工匕(z-z。)",

/|=-00

其中,

%哙嫁go,±1,±2,…)

y是圆I z-z01= p.p是一个满足&

证明：设Z是圆环D内任一点，在D内作圆环D'：/?'] v|z-Zo |<尺2‘‘使得zeD\这里咕心帆小。用耳及G分别表示圆|z — Zol=/?[及|z —Zol=/?2‘。

由于/（G在闭圆环D上解析，根据柯西定理，有

其中积分分别是沿及「2关于它们所围成圆盘的正向取的。

当^G T2时，级数

1 1 1 1

------- =----------------------- =---------- • -------------

g-z（）-（z-Zo）$-Z（）[ Z-z°

二〒（Z_Z。）"

£c z。）曲

一致收敛；而当^er；时，级数

__ 二1 二节（—））”

§ _ z （z- z0）（l- "=o （z _ z°）刊

z_z°

一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到/U）有展式

/(z)= £%(z — z。)",

M=-00

其屮,

/(G 市茗,(〃=0,1,2,・・.)乙12沁《譽曲十•••）

由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解1、由于函数./（Z）的解析区域不是单连通区域，所以公式好旦肖^'（"“出垃…）不能写成：°”

+00 _8

注解2、我们称工乞（z-z°）“为比）的解析部分，而称工％（z-z。）"为其主要部/?=0 n=-l

分。

注解3、我们称£%（z-z（y,为沧）的洛朗展式。

”=一8

+8

定理5・2设洛朗级数工禹（z-z。）”在圆环

"=-8

D: R[ <1 z-z01< R2（0 < R}< R2< +OO）

中内闭一•致收敛于和函数g（z）,那么此展式就是在D内的洛朗展式:

纟⑵二2伏(z-zj.

”=-oo

证明：现在把系数用g ⑵计算出來。在D 内任取一圆Z :|z-z 0|=p(/?I

占曲=il (Z_ Zo)/"1 dZ = A

伙=0,±l,±2,…)

这里因为上式屮求和记号左 后各项只有在n=k 时不为零，因此定理的结论成

注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明, g ⑵在D 内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式 的唯一性定理：

推论5・1在定理5.1的假设下，/(z)在D 的洛朗展式式唯一的。

例1、求函数——!—— 分别在圆环l<|z|<2及2v|z|v+oo 内的洛朗级数展式。 (z-l)(z-2)

解：如果l<|z|<2,那么|-|< 1,|丄|vl,利用当|Q|vl 时的幕级数展式 2 z

----- =1 + Q + (X^ +... + CX H

+...

\-a

我们得 7

I 如果2<|Z|< +oo,那么|-|< 同样，我们有

z z 1 1 + Q/l —l 1 1 1 _ T 1 -V 2 V 丄 _V

---------- = ----------- 一 ----- 9 ------------ 一乙-一乙乙 (z-l)(z-2) z — 2 z-l z(l--) z(l--) “=1 Z “=1 Z

Z Z

例2、 漳及沁在0 V z |v +oo 内的洛朗级数展式是:

Z Z

工］吕2"一_1 H=1 (z-l)(z-2) z-2 z-l