函数的周期性教学案
《三角函数的周期性》的教案
《三角函数的周期性》的教案关于《三角函数的周期性》的教案一、目标与自我评估1 掌握利用单位圆的几何作函数的图象2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期3 会用代数方法求等函数的周期4 理解周期性的几何意义二、学习重点与难点“周期函数的概念”，周期的求解。
三、学法指导1、是周期函数是指对定义域中所有都有，即应是恒等式。
2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。
四、学习活动与意义建构五、重点与难点探究例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示（1）求该函数的周期；（2）求时钟摆的高度。
例2、求下列函数的周期。
（1）（2）总结：（1）函数（其中均为常数，且的周期T= 。
（2）函数（其中均为常数，且的周期T= 。
例3、求证：的周期为。
例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。
（2）求证：的周期为（其中均为常数，且总结：函数（其中均为常数，且的周期T= 。
例5、（1）求的周期。
（2）已知满足，求证：是周期函数课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。
六、作业：七、自主体验与运用1、函数的周期为（）A、 B、 C、 D、2、函数的最小正周期是（）A、 B、 C、 D、3、函数的最小正周期是（）A、 B、 C、 D、4、函数的周期是（）A、 B、 C、 D、5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，若，则的值等于（）A、1B、C、0D、6、函数的最小正周期是，则7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数的最小值是8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数的最大值是9、已知函数是周期为6的奇函数，且则10、若函数，则11、用周期的定义分析的周期。
12、已知函数，如果使的周期在内，求正整数的值13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求时，该质点离开平衡位置的位移。
14、已知是定义在R上的函数，且对任意有成立，（1）证明：是周期函数；（2）若求的值。
2023年数学教案：数学 - 函数的对称性与周期性(精选3篇)
2023年数学教案：数学 - 函数的对称性与周期性（精选3篇）教案一：函数的对称性教学目标：1. 能够理解函数的对称性的概念。
2. 能够识别并绘制函数的对称轴。
3. 能够利用函数的对称性来简化计算和证明过程。
教学准备：1. 彩色粉笔或者白板笔2. 图形绘制工具（纸和铅笔或者计算机绘图软件）教学过程：步骤1：引入概念（5分钟）首先，教师可以引入函数的对称性概念。
可以使用具体的例子来说明，例如y = x²这个函数。
让学生观察这个函数的图像，并指出函数的对称轴在x轴上。
步骤2：识别对称轴（15分钟）然后，教师可以给学生更多的例子，让他们识别函数图像的对称轴。
可以使用不同类型的函数，如多项式函数、三角函数等。
步骤3：绘制对称轴（25分钟）现在，学生可以用纸和铅笔，或者计算机绘图软件，绘制给定函数的图像，并标出对称轴。
教师可以给予学生一份工作表，上面列有几个函数，要求学生绘制它们的图像和标出对称轴。
步骤4：应用对称性（15分钟）最后，教师可以给学生一些问题，让他们应用对称性来简化计算和证明过程。
例如，让学生证明一个函数在对称轴上的值是相等的，或者让他们通过给定函数的对称轴来求出其他点的函数值。
教学延伸：教师可以进一步探讨函数的奇偶性质与对称性的关系，以及函数的图像在对称轴两侧的关系。
教案二：函数的周期性教学目标：1. 能够理解函数的周期性的概念。
2. 能够识别函数的周期和周期的长度。
3. 能够利用函数的周期性来简化计算和证明过程。
教学准备：1. 彩色粉笔或者白板笔2. 图形绘制工具（纸和铅笔或者计算机绘图软件）教学过程：步骤1：引入概念（5分钟）首先，教师可以引入函数的周期性概念。
可以使用具体的例子来说明，例如y = sin(x)这个函数。
让学生观察这个函数的图像，并指出函数的周期为2π。
步骤2：识别周期（15分钟）然后，教师可以给学生更多的例子，让他们识别函数的周期和周期的长度。
可以使用不同类型的函数，如三角函数、指数函数等。
三角函数的周期性教学设计
三角函数的周期性【教学分析】三角函数周期性的学习是为学习三角函数的图像和性质提供了问题背景，教学时充分运用这些问题背景以突出“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题.周期函数的定义是教学中的一个难点.在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，通过实际模型，一步步使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义.教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期及周期函数.不应对一般的周期函数作过多的讨论.【教学目标】1．了解周期函数的概念，会判断简单函数的周期性，并会求简单三角函数的周期.2．从生活实际问题逐步抽象出函数周期性的定义，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用.【教学重点】1．周期函数的定义2．求一些简单的三角函数的周期.【教学难点】周期函数概念的理解.【教学过程】一、创设情境T：今天是星期一，7天之后星期几？S：星期一T：14天之后呢？S：还是星期一T：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天…你能找到类似的实例吗？S ：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转…T ：这些现象有什么共同特点呢？S ：都给我们重复、循环的感觉T ：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这些现象叫做周期现象。
设计思路：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲二、学生活动提出问题：点P 自点A 起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动.如图T ：P 点的运动是周期运动吗？S ：是设圆的半径为1，每4秒运动一周.设P 到A 的距离为y ，运动时间为t ，则y 是t 的函数，记为 ()y f t =.（师引导留白，学生讨论得到下列结论）(0)(4)(8)(12)...0f f f f =====，（P 在A 点位置）(2)(6)10)(14)...2f f f f =====，（P 在C 点位置）（师生共同讨论，得到）一般地，点P 运行x 分钟到达的位置与运行(4x +)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：()(4)f x f x =+设计思路：通过点的圆周运动这一模型，将自然现象数学化，经过问题的巧妙设置和师生的共同讨论，找到周期函数的数学特征，引导学生归纳出周期函数的定义三、建构数学1．周期函数及周期的定义通过上面的讨论，归纳出周期函数的定义：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.通过对上面问题的讨论我们知道()(4)(8)(12)...f x f x f x f x =+=+=+=因此可以认为4，8，12…都是它的周期.2．最小正周期的定义对于一个函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫()f x 的最小正周期.显然上面问题中最小正周期为4说明：今后如果不加特别说明，一般都指函数的最小正周期.提出问题：正弦函数sin y x =是周期函数吗？即能否找到非零常数T ，使sin()sin T x x +=成立？S ：由sin(2)sin x x π+=知，正弦函数是周期函数，2π是它的周期.S ：因为sin(4)sin x x π+=，所以是周期函数，4π是它的周期.T ：以上同学哪位是正确的？S ：都是正确的，正弦函数是周期函数，2π是它的最小正周期.讨论：余弦函数cos y x =和正切函数tan y x =也是周期函数，并找出它们的周期.总结三角函数的周期性，并提出问题：周期函数的图象具有什么特征？四、数学运用例1若钟摆的高度h （mm ）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。
函数的周期性教案
函数的周期性
定义：对于函数()x f y =，若存在一个不为零的常数T ，使x 取定义域中任意一个值时，有()()x f T x f =+，则称()x f y =为周期函数，常数T 为函数的周期.在所有T 的取值中，若存在一个最小的正数t ，则称t 为函数的最小正周期.（在题目中若没有特殊强调，则周期均值最小正周期.）
性质：
.1图像重复出现，且在对应的周期区间中，增减性，最值相同；
.2若()()a x f x f +=，则a T =； 若()()a x f a x f -=+，则a T 2=； 若()()b x f a x f -=+，则b a T +=； 若()()b x f a x f +=+，则b a T -=； 例题：
已知()()22+=-x f x f 且()21=-f ，则()________11=f ；
函数()x f 为R 上的奇函数，且()()x f x f =+2，则()_______6=f ；
函数()x f 为R 上的奇函数且4=T ，且[]6,4∈x 时，()2
2x x f -=，则()______1=-f ；
已知函数()x f 周期为3，且在[]0,2-∈x 为增函数，则在区间[]6,4上为_____（填增，减）； 函数()x f 为R 上的偶函数且2=T ，在区间[],01-递减，则在区间[],32上为_____；
函数()x f 为R 上的奇函数，且()()x f x f -=+2，[]1,0∈x 时，()x x f =，则()__5.7=f ； 函数()x f 为R 上的奇函数，且()()x f x f 12-
=+，[]3,2∈x 时，()x x f =，则()__5.105=f ；。
函数的周期性、对称性课案
定理 4： 若函数 则函数
y f x 以 2a b 为周期. f x 在 R 上满足 f (a x ) f a x ，且 f (b x ) f b x （其中 a b ） ，
定理 5：若函数 则函数
y f x 以 4a b 为周期.
y f ( x) 与 y f ( x) 关于 X 轴对称。
换种说法：
二、 两个函数的图象对称性 1、
y f ( x) 与 y g ( x) 若满足 f ( x) g ( x) ，即它们关于 y 0 对称。
2、
y f ( x) 与 y f ( x) 关于 Y 轴对称。
2 、函数 线 对称。
3、函数
满足
的充要条件是
图象关于直线
对称。
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4、如果函数 常数），则 5、如果奇函数 周期性函数。 6、如果偶函数
满足 是以为 满足
且 为周期的周期函数。 （ ），则函数
，（
和
是不相等的
是以 4T 为周期的
满足
（
），则函数
是以 2T 为周期的
周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 2、曲线 3、曲线 4、曲线 5、曲线 6、曲线 7、曲线 与 与 与 关于直线 关于直线 关于直线 关于点 关于 X 轴对称。 关于 Y 轴对称。 关于直线 对称曲线为 对称曲线为 对称曲线为 对称曲线为 。 。 对称。 。 。
地，推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的简化.
8、 函数的点对称：
定理 2：如果函数
y f x 满足 f a x f a x 2b ，则函数 y f x 的图象关于点 a , b 对称. y f x 满足 f a x f a x 0 ，则函数 y f x 的图象关于点 a ,0 对称.
高中数学函数周期变化教案
高中数学函数周期变化教案教学目标1. 理解函数周期性的定义及其数学表达方式。
2. 掌握常见周期函数的性质和图像特点。
3. 学会判断一个函数是否具有周期性。
4. 通过实例分析，提高解决实际问题中周期性现象的能力。
教学内容1. 函数周期性的定义向学生介绍函数周期性的概念：如果存在非零常数\( T \)，使得对于定义域内的所有\( x \)，都有( f(x+T) = f(x) \)成立，则称\( f(x) \)是以\( T \)为周期的周期函数。
强调周期的最小正值称为基本周期。
2. 周期函数的性质通过举例说明周期函数的几个基本性质：- 若\( f(x) \)以\( T \)为周期，则\( f(x+kT) = f(x) \)对于任意整数( k \)都成立。
- 若\( f(x) \)和\( g(x) \)分别以\( T_1 \)和\( T_2 \)为周期，则( f(x)+g(x) \)以\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数为周期。
- 类似地，若\( f(x) \)以\( T )为周期，\( c )为常数，则\( cf(x) \)也以\( T \)为周期。
3. 常见周期函数的类型介绍几类常见的周期函数，如三角函数、指数函数等，并通过图像展示它们的特点。
例如正弦函数( y=\sin(x) )是周期函数，其周期为\( 2\i \)。
4. 判断函数的周期性讲解如何判断一个函数是否具有周期性，包括直观观察法、代数法和图像法。
提供几个练习题，让学生实践这些方法。
教学方法采用启发式和探究式教学相结合的方式，鼓励学生参与到问题的讨论和解决过程中来。
利用多媒体工具辅助教学，使抽象概念形象化，便于学生理解。
教学过程1. 导入新课：通过日常生活中的例子（如四季更替、钟表的循环等）引出周期性的概念。
2. 呈现定义：详细解释函数周期性的定义，并用数学语言准确描述。
3. 探讨性质：结合实例，引导学生总结周期函数的性质。
9函数的周期性(教学案)
②周期函数的定义域是____________.
（三）问题探讨
问题1.根据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。若是，指出函数的最小正周期。
yyy
-bbxx
OO-3-2–1O123
-aax
(1)(2)(3)
y
x
-2o2
(4)
问题2.周期为2的函数 是奇函数，当 时， ，求 和 的值.
由交流引入分析、归纳周期现象：“有规律的重复现象”，从数值上看，就是变化着的量的每一个值在_______________会重复出现；从图象上看，整个图象是由______________重复拼接而成的。这种现象就是量变化的__________.
周期函数的图象特征和周期
如果函数y=f(x)的变化存在周期现象，即它的图象是由_______________________________________，那么就把它叫做_________.____________________________叫做它的_______________.用式子表达：对于函数 ，若存在常数T>0,对定义域中的任何x都有______________,f(x)叫做__________.满足上述条件的最小正数T叫做_______________.
函数的周期性(教学案)
一、学习目标：1、了解周期函数和周期的定义；
2、能够从图象判断函数的周期性；
3、会利用函数的周期性求简单函数的值.
二、学习重点：函数的周期性
三、学习难点：对函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期性的理解
四、教学过程：
（一）新课引入：
请同学们各自列举三~五个循环往复、周而复始的（有规律）事物，并考虑其性质。
函数周期性教案
函数周期性教案教案标题：函数周期性教案教学目标：1. 理解函数周期性的概念和特点；2. 掌握函数周期性的判断方法；3. 能够应用函数周期性解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、教学板书等；2. 学生准备：课本、作业本、笔、纸等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问的方式引导学生回顾函数的基本概念和性质。
2. 引导学生思考：在实际生活中，有哪些变化是有规律的、重复出现的？二、概念讲解（15分钟）1. 教师通过PPT展示函数周期性的概念和定义，并结合实际例子进行解释。
2. 引导学生思考：周期性函数有哪些特点？如何判断一个函数是否具有周期性？三、判断方法讲解与练习（20分钟）1. 教师讲解判断函数周期性的方法，包括函数图像的观察和函数公式的分析等。
2. 教师通过示例演示如何判断函数是否具有周期性，并引导学生进行练习。
3. 学生自主或小组合作完成若干道函数周期性的判断题目，并进行讨论和解答。
四、应用与拓展（15分钟）1. 教师通过实际问题引导学生应用函数周期性解决问题，如物理问题、经济问题等。
2. 学生进行小组讨论，共同解决应用问题，并向全班展示解题思路和方法。
五、总结与归纳（10分钟）1. 教师引导学生总结函数周期性的判断方法和应用技巧。
2. 教师对本节课的重点内容进行总结，并布置相关作业。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置课后作业，要求学生巩固函数周期性的判断方法，并应用到实际问题中。
2. 提醒学生按时完成作业，并在下节课前准备好。
教学反思：本节课通过引导学生思考和参与互动，结合实际问题的应用，旨在提高学生对函数周期性的理解和应用能力。
在教学过程中，要注重激发学生的兴趣和积极性，提供足够的练习机会，以 consolida学生的知识和技能。
同时，教师还应关注学生的学习情况，及时给予指导和反馈，以便调整教学策略，提高教学效果。
第10课时 第二章 函数——函数的周期性
1第10课时 第二章 函数——函数的周期性（授课者：陈江林 时间： 2015年 月 日星期 ）一、课标要求：了解周期函数与最小正周期的意义 二、教学背景分析 1、教学内容分析：1）函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()()为常数T T x f x f += ，则()x f 是以T 为周期的周期函数； 2）函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()()为常数T x f T x f -=+，则()x f 是以T 2为周期的周期函数； 3）函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()()为常数T x f T x f 1=+ ，则()x f 是以2T 为周期的周期函数； 4）函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()f x T f x T +=-，则()x f 是以2T 为周期的周期函数；2、学情分析：解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
三、教学目标：掌握周期函数的定义及最小正周期的意义。
四、重难点分析：1、理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期。
2、了解常见的具有周期性的抽象函数。
五、教学策略分析：讲练结合，以导辅练 六、教学媒体选择：黑板、多媒体、自编复习纲要 七、教学过程与手段（一）知识点扫描1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2、几种特殊抽象函数的周期：1）f x f x T ()()=+型： f x ()的周期为T 。
释义：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数)(x f 的周期。
函数的奇偶性与周期性教案设计
函数的性质周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注意：(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f(x)或f(x＋a)＝－1f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.例一：►已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．变式训练：已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为()．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算例二：►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间．变式训练： 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)函数的基本性质--综合训练一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数C ．函数2()1f x x x =+-是非奇非偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞D ．[)64,+∞3．函数11y x x =+--的值域为（ ）A ．(]2,∞-B ．(]2,0C ．[)+∞,2D ．[)+∞,04．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x =+表示相等函数。
函数的周期性教案（最终版）
函数的周期性教案（最终版）第一篇：函数的周期性教案（最终版）函数的周期性定义：对于函数y=f(x)，若存在一个不为零的常数T，使x取定义域中任意一个值时，有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为周期函数，常数T为函数的周期.在所有T的取值中，若存在一个最小的正数t，则称t为函数的最小正周期.（在题目中若没有特殊强调，则周期均值最小正周期.）性质：1.图像重复出现，且在对应的周期区间中，增减性，最值相同；2.若f(x)=f(x+a)，则T=a；若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；若f(x+a)=f(x-b)，则T=a+b；若f(x+a)=f(x+b)，则T=a-b；例题：已知f(x-2)=f(x+2)且f(-1)=2，则f(11)=________；函数f(x)为R 上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，则f(6)=_______；函数f(x)为R上的奇函数且T=4，且x∈[4,6]时，f(x)=2-x2，则f(-1)=______；已知函数f(x)周期为3，且在x∈[-2,0]为增函数，则在区间[4,6]上为_____（填增，减）；函数f(x)为R上的偶函数且T=2，在区间[-1,0]递减，则在区间[2,3]上为_____；函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，x∈[0,1]时，f(x)=x，则f(7.5)=__；函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=-1，x∈[2,3]时，f(x)=x，则f(105.5)=__； f(x)第二篇：函数的周期性教案1解读函数的周期性教案1教学目标1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性．2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力．教学重点与难点函数周期性的概念．教学过程设计师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：(老师把图画在黑板左上方．)师：通过观察，同学们有什么发现？生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是[－1，1]．图象有规律地不断重复出现．师：规律是什么？生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．(老师在黑板左上方写出课题)师：我们先看函数周期性的定义．(老师板书)定义对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f(x＋T)=f(x)．师：找得准！那么为什么要这样规定呢？师：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？生：如果x属于y=f(x)的定义域，则T＋x也应属于此定义域．师；对．否则f(x＋T)就没有意义．师：函数周期性的定义有什么用途？生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．师：下面我们看例题．(老师板书)例1 证明 y=sinx是周期函数．生：因为由诱导公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．师：要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？y=sinx的周期．义域内的每一个x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在着)某一个x，使f(x＋T)=f(x)乙是正确的．师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．例3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求证f(x＋2T)=f(x)．师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？生：若不等于零的常数T是f(x)的一个周期，证明2T仍是f(x)的周期．因为T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋T)，即f(x＋2T)=f(x)．因此2T是f(x)的周期．师：这个命题推广可得到什么结论？生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，…，nT(n∈Z)也都是f(x)的周期．师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．(老师在函数的周期性定义下板书)如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．例4 证明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例2我们证明命题，只要证明什么？生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？生：反证法．假设存在T∈(0，2π)使得y=sinx对于任意的x∈R 都成立．推出矛盾即可．师：你能具体的给予证明吗？生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有sin(x＋T)=sinx．即cosT=1．这与T∈(0，2π)时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)都是周期函数，2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．例5 求y=3cosx的周期．师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期生：因为y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？生：可以从数和形两个角度来证明．解(一)因为对一切x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的周期是2π．解(二)因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x(x∈R)增加到x＋2π且必须增加到x＋2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常数)的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．例6 求y=sin2x的周期．(请不同解法的三位同学在黑板上板演)生甲：解因为y=sin(2x＋2π)=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．生乙：解因为y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以y=sin2x的周期是π．生丁：解设2x=u，因为y=sinu的周期是2π，所以y=sin(u＋2π)=sinu，即sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正确的．区别在于解法(三)经过换元，把要研究的新问题y=sin2x的周期转化为已有的旧知识y=sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y=sinx的图象得到y=sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标不变，横坐标是该点横坐标的出现，所以 y=sin2x的周期是π．师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．y=2sin(u＋2π)=2sinu，又因为所以师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．＞0，x∈R)sin(u＋2π)=sinu，即即师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数有关系，而且(老师板书)师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．师：(总结)通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．(一)研究函数周期的意义是什么？周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为长度的区间内，就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．(二)对于函数周期的定义应注意：1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T(T≠0)，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立，我们就断言y=f(x)不是周期函数．对于某个确定的常数T≠0，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我们能断言T不是函数y=f(x)的周期，但不能说明y=f(x)不是周期函数．2．定义中的“每一个值”是关键词．此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f(x＋T)=f(x)对函数定义域(－∞，＋∞)中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=－T时，等式不成立．因此函数f(x)不是周期函数．(三)周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．如：f(x)=c(常数)，任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f(x)=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．作业：课本P178第6题，P132第4题．课堂教学设计说明此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线” 的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视，也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．第三篇：函数的对称性和周期性复习教案函数的对称性和周期性株洲家教：***函数的对称性和周期性一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
数学《函数的对称性与周期性》教案(新人教A版)
1．函数对称性与周期性知识归纳：一．函数自身的对称性结论结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x)即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。
（充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0)∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。
故点P ‘（2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上，而点P 与点P ‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b －x)那么函数本身的图像关于直线x = 2a b+对称，反之亦然。
证明 ：已知对于任意的00,x y 都有f(a+0x ) =f(b －0x )=0y令a+0x ='x , b －0x ="x则Ａ（'x ，0y ），Ｂ（"x ，0y ）是函数y=f(x)上的点 显然，两点是关于x= 2a b+对称的。
反之，若已知函数关于直线x = 2a b+对称，在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（00,x y ）那么P （00,x y ）关于x = 2a b+对称点'P （a+ b －0x ,0y ）也在函数上故f(0x )=f(a+ b －0x )⇔f(a+(0x -a))=f(b-(0x -a))所以有f (a +x) = f (b －x)成立。
“三角函数的周期性”的教学设计
“三角函数的周期性”的教学设计教学设计：三角函数的周期性一、教学目标：1.了解三角函数的基本概念和性质。
2.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性。
3.能够应用三角函数的周期性解决实际问题。
二、教学内容：1.三角函数的定义和性质。
2.正弦函数的周期性。
3.余弦函数的周期性。
4.正切函数的周期性。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师用一个简单的实例引导学生思考：有没有一种函数在图像上表现出来呈现出一种周期性？学生可以先自行思考，然后老师在课上给出正确答案。
引导学生进入三角函数的学习。
2.讲解三角函数的定义和性质（20分钟）教师讲解三角函数的基本概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及性质，图像相关内容，并引导学生理解三角函数的周期性。
3.正弦函数的周期性（30分钟）教师讲解正弦函数的周期性概念，并通过图像展示和数学公式推导来说明正弦函数的周期是2π。
引导学生理解正弦函数的波动特性，并通过实例演示如何应用周期性解决问题。
4.余弦函数的周期性（30分钟）教师介绍余弦函数的周期性概念，通过图像展示和数学公式推导来说明余弦函数的周期也是2π。
带领学生观察余弦函数的图像特点，与正弦函数的区别。
教师指导学生进行相关练习，巩固理解。
5.正切函数的周期性（30分钟）教师讲解正切函数的周期性概念，通过图像展示和数学公式推导来说明正切函数的周期是π。
引导学生了解正切函数与正弦函数、余弦函数的不同之处，并通过例题进行实际应用，让学生体会周期性在解决问题时的重要性。
6.课堂练习与讨论（20分钟）教师布置相关练习题，让学生在课堂上完成并相互讨论。
通过课堂练习，加深学生对三角函数周期性的理解，进一步掌握知识。
7.课堂总结（10分钟）教师对本节课内容进行总结，强调三角函数的周期性在实际问题中的应用。
鼓励学生多加练习，加深对知识点的理解和掌握。
四、教学评估：1.课堂练习成绩和表现。
2.课后作业情况和成绩。
3.学生在课堂上回答问题和参与讨论的积极程度。
周期函数的教学设计
周期函数的教学设计周期性是函数的重要性质，而序列这种离散形式的周期性又更加灵活。
扑克牌叠天然的模型就是有限长度离散序列，虽然一副扑克牌里没有两张一模一样的，但是点数，花色之类的性质仍然可以构造出周期性的组成。
数学里的函数周期性定义：存在一非零常数T，使得f(x + T) = f(x)对任意定义域内的x成立，那么f(x)是一个周期函数，最小的T称为最小周期。
直观理解：如果把函数定义域放在实数集内，看起来就是连续序列上图形按照一定周期长度重复出现，或者从生成的角度看，是其任意基础周期通过平移（延拓）而无限生成的函数，所以有时候也叫循环。
图1周期性的三角函数深入理解：条件的恒等式成立的前提则是x + T必须随x一起在定义域内，即，定义域对g(x) = x + T至少要有封闭性，且T在这个函数对应的性质下，等于幺元，不改变此性质。
看起来这就是在讲，在某个基础的X集合上（可以是一段连续实数子集，几个离散整数或任意元素），任一x都可以任意次执行+T操作，封闭，且保持某种性质不变，即对+T操作的对称性。
这里举三个例子：1.比如sin(x + 2pi) = sin(x)，是实数+ 2pi操作在sin(x)性质下的不变性，x可以取[0, 2pi]；2. (x + n)mod n = x mod n，是整数模n加法上加n的操作的不变性；3.又如一个等边三角形围绕中心转120度看起来没有什么区别，是三角形这个对象，在旋转120度这个操作下的不变性。
以上“不变性”都可以叫“对称性”，即某性质不随某变化而改变。
本质上，周期函可以理解为无限循环；从生成的角度，可以是一个基础集合上的延拓；从更抽象的层面，它是全体元素群内一个操作的运算性质，使得这样的操作不改变任何一个元素的某个性质值。
而群内所有操作，都不改变这个函数一个周期内的值域有重集（依然取遍一个周期内的值），只是一次置换罢了，即任何一个群内操作，对全体元素执行以后前后集合不改变。
高三数学一轮复习函数的周期性教案
高三数学一轮复习教案：函数的周期性教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。
学情分析：大多数学生了解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应用，对函数的周期的求法还没有掌握。
教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。
教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。
教学流程：一、回顾上节课内容（问答式）C1.奇偶函数的判断基本步骤：（1）先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数；（2）定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。
C2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点（0，0）对称；偶函数关于y 轴对称。
二、函数的周期C 1.周期的概念对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫f(x)的周期，如果所以的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。
C 判断：最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期是不变。
答：错,不一定不变2.周期函数的性质C (1)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f(x)的周期，则ｋT(k ∈Z,k ≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。
（2）如何判断函数的周期性:⑴定义;⑵图象;⑶利用下列补充性质：设a>0，C-①函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 。
B-②函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 2a 。
B-③函数y=f(x),x ∈R,若 ，则函数的周期为 2a 。
B-④函数f(x)时关于直线 x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为||2a b -了解证明过程：证明：由已知得：)(1)(x f a x f -=+)()(,)()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+[][])2()(2x a b b f x a b f +-+=+-∴||2a b T -=∴B 特例：若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，那么其周期为 T=2a 。
高中数学周期变化的教案
高中数学周期变化的教案
教学内容：周期函数的概念及性质
教学目标：
1. 了解周期函数的定义及性质；
2. 掌握周期函数的图像特征；
3. 能够求解周期函数的周期、振幅等相关参数；
4. 能够应用周期函数解决实际问题。
教学重点和难点：
重点：周期函数的定义及性质
难点：周期函数的图像特征
教学方法：讲授结合实例演练
教学准备：教案、课件、黑板、彩色粉笔、实物示意图等
教学过程：
一、导入环节（5分钟）
教师引导学生回顾正弦函数和余弦函数，并提问：你觉得这两个函数有什么共同点？为什么它们会周期性变化？
二、讲解周期函数的概念及性质（15分钟）
1. 周期函数的定义；
2. 周期函数的性质：对称性、奇偶性、周期性等；
三、练习与讨论（15分钟）
1. 学生完成相关练习，师生共同讨论解答；
2. 学生探讨周期函数的图像特征；
四、应用与拓展（10分钟）
1. 学生应用周期函数解决实际问题；
2. 学生拓展延伸周期函数的应用领域；
五、总结与反思（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，并引导学生思考学习中遇到的问题和收获。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对周期函数的理解。
教学反思：
本节课采用了讲解结合实例演练的教学方法，学生通过练习和讨论加深了对周期函数的理解。
在课堂引导过程中，学生的主动性和思维能力得到了发展，教学效果较好。
下节课需要着重强化学生对周期函数的图像特征的理解。
函数周期性教案
函数周期性教案一，函数周期性1，函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。
当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期,2. 最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。
所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。
）在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
3.周期函数性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。
（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且是无理数，则f(X)不存在最小正周期。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
4.重要推论1，若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|2，若有f(X）的2个对称中心（a,0）(b,0)则T=2|a-b|3,若有f(x)的1个对称轴x=a,和1个对称中心(b,0)，则T=4|a-b|二，周期函数的性质及题型。
利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）函数y=f(x)满足f(x+a)=1()f x，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C （20XX年全国高考第22题第二问）∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A 、C →B∵定义在R 上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a 对称③已知C 、B →A∵f(x)关于x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R 上的偶函数由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T 的奇函数，则f(2T )=0 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值解：方法一 ∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称 又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由条件知f(x)≠1，故1()(2)1()f x f x f x ++=- 1(2)1(4)1(2)()f x f x f x f x ++∴+==--+ 类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]2,0x ∈-时，f(x)=－2x+1，则当[]4,6x ∈时求f(x)的解析式解：当[]0,2x ∈时[2,0]x -∈-∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当[]4,6x ∈时4[0,2]x -+∈∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x －7又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故f(-4+x)=f(x)∴当[]4,6x ∈时求f(x)=2x －73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=1()f x -，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=1()f x -，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ∴f(x)是偶函数4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]2,0x ∈-时，f(x)是减函数，求证当[]4,6x ∈时f(x)为增函数解：设1246x x ≤<≤则212440x x -≤-+<-+≤∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ 21(4)(4)f x f x -+>-+又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故f(x+4)=f(x) ∴21()()f x f x ->- ∵ f(-x)=f(x) ∴ 21()()f x f x >故当[]4,6x ∈时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值.解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称∴根据命题2（4）得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0)又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =65.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2200010⨯=401个根.练习1：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数2..求证:若()f x ()x R ∈为奇函数，则方程()f x =0若有根一定为奇数个。
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函数的周期性(教学案)
一、学习目标：1、了解周期函数和周期的定义；
2、能够从图象判断函数的周期性；
3、会利用函数的周期性求简单函数的值.
二、学习重点：函数的周期性
三、学习难点：对函数周期性的理解
四、教学过程：
（一）新课引入：
请同学们各自列举三~五个循环往复、周而复始的（有规律）事物，并
考虑其性质。
（二）新知识学习：
由交流引入分析、归纳周期现象：“有规律的重复现象”，从数值上看，就是变化着的量的每一个值在_______________会重复出现；从图象上看，整个图象是由______________重复拼接而成的。
这种现象就是量变化的__________. 周期函数的图象特征和周期
如果函数y=f(x)的变化存在周期现象，即它的图象是由
_______________________________________，那么就把它叫做
_________.____________________________叫做它的_______________.用式子表达：对于函数)(x f y =，若存在常数T>0,对定义域中的任何x 都有______________,f(x)叫做__________.满足上述条件的最小正数T 叫做_______________.
说明：①T 是函数)(x f y =的周期，则____________也是周期；
②周期函数的定义域是____________.
（三）问题探讨
问题1.根据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。
若是，指出函数的最小正周期。
yyy
-bbxx
-aax (1)(2)(3)
y x -2o2
(4)
问题2.周期为2的函数)(x f y =是奇函数，当10<≤x 时，
x x f +=1)(，求)5.23(-f 和)25.139(f 的值.
(四)、课内练习：
1． 根据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。
若是，指出函数的最小
正周期。
y ……
-4-3–2–1O123x
(1)(2)
2、偶函数函数)(x f y =的周期为3，当10<≤x 时，x x f +=1)(，求)5.23(-f 和)25.140(f 的值.
（五）课堂小结：（学生共议）
（六）作业：
1.根据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。
若是，指出函数的最小正周期。
Yyy
1
x (x)
-1(1)(2)(3)
y
……
-5–3-1o1357x
(4)
2.奇函数函数)(x f y =的周期为3，当10<≤x 时，x x f +=1)(，求)5.23(f 和)25.140(-f 的值.。