第二章：MM定理
MM定理
KA — 有负债公司的资本加权平均资本成本；
KSU — 无负债公司的普通股必要报酬率。
公式表明：(1)企业价值V独立于其负债比率，即企业不能通过改变资本结构达到改变公司价值的目的；(2)有负债企业的综合资本成本率KA与资本结构无关，它等于同风险等级的没有负债企业的权益资本成本率；(3)KA和KSU的高低视公司的经营风险而定。
命题一认为，当不考虑公司税时，企业的价值是由它的实际资产决定的，而不取决于这些资产的取得形式，即企业的价值与资本结构无关。命题一还认为，用一个适合于企业风险等级的综合资本成本率，将企业的息税前利润(EBIT)资本化，可以确定企业的价值。命题一用公式来表示就是：
式中 : V —公司价值；
VL— 有负债公司的价值；
(4)所有债务都是无风险，债务利率为无风险利率；
(5)投资者预期EBlT固定不变，即企业的增长率为零，所有现金流量都是固定年金。
莫迪格利安尼和米勒分析了在无公司税时企业的资本结构与企业价值及综合资本成本之间的关系，其基本思想是：资本结构与公司价值和综合资本成本无关。
无公司税模型命题一
不论企业是否有负债，其价值等于公司所有资产的预期收益额除以适于该公司风险等级的报酬率。
MM定理
就是指在一定的条件下，企业无论以负债筹资还是以权益资本筹资都不影响企业的市场总价值。企业如果偏好债务筹资，债务比例相应上升，企业的风险随之增大，进而反映到股票的价格上，股票价格就会下降。也就是说，企业从债务筹资上得到的好处会被股票价格的下跌所抹掉，从而导致企业的总价值（股票加上债务）保持不变。企业以不同的方式筹资只是改变了企业的总价值在股权者和债权者之间分割的比例，而不改变企业价值的总额。MM定理是在高度抽象现实生活的基础上得出的结论，难免会遇到来自现实生活的挑战。因为税收的列支的先后、破产的可能性、对经理行为的制约、维持生活的挑战、良好的企业形象以及企业控制权等几方面的因素表明：股权资本筹资和债券筹资对企业收益的影响不同，进而直接或间接地影响企业市场的总价值。
mm定理应用
mm定理应用
MM定理是机械能守恒定律的一个特殊应用，它是用来解决多个物体在一维情况下相互作用的问题。
MM定理的表达式为：
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
其中，m1和m2分别代表两个物体的质量，v1和v2分别为它
们的初始速度，v1'和v2'分别为它们的最终速度。
应用MM定理可以解决一些常见的问题，例如弹性碰撞、非
弹性碰撞等。
以下是一些MM定理的应用示例：
1. 弹性碰撞：两个物体在碰撞后分离，且能量守恒。
根据
MM定理，可以求解它们的最终速度。
2. 非弹性碰撞：两个物体在碰撞后合并成一个物体，能量损失。
根据MM定理，可以求解合并后物体的最终速度。
3. 弹簧振子：在弹簧振子系统中，可以利用MM定理计算弹
簧振动的周期和振幅。
4. 机械能守恒问题：当只有重力做功的情况下，可以利用
MM定理计算物体的位移、速度和重力势能等。
需要注意的是，在应用MM定理的过程中，需要将速度的方
向与坐标系的正方向保持一致，以保证计算结果的准确性。
同
时，MM定理只适用于质点系统，对于刚体系统，需要借助角动量定理等其他定律进行求解。
[讲解]mm定理
![[讲解]mm定理](https://img.taocdn.com/s3/m/b1055808a66e58fafab069dc5022aaea988f4142.png)
mm定理MM定理就是指在一定的条件下，企业无论以负债筹资还是以权益资本筹资都不影响企业的市场总价值。
企业如果偏好债务筹资，债务比例相应上升，企业的风险随之增大，进而反映到股票的价格上，股票价格就会下降。
也就是说，企业从债务筹资上得到的好处会被股票价格的下跌所抹掉，从而导致企业的总价值（股票加上债务）保持不变。
企业以不同的方式筹资只是改变了企业的总价值在股权者和债权者之间分割的比例，而不改变企业价值的总额。
MM定理是在高度抽象现实生活的基础上得出的结论，难免会遇到来自现实生活的挑战。
因为税收的列支的先后、破产的可能性、对经理行为的制约、维持生活的挑战、良好的企业形象以及企业控制权等几方面的因素表明：股权资本筹资和债券筹资对企业收益的影响不同，进而直接或间接地影响企业市场的总价值。
别称莫迪里亚尼-米勒定理，它表明：在具备完美资本市场的经济中，企业的市场价值与它的资本结构无关。
编辑本段MM定理的无摩擦环境1、没有所得税2、无破产成本3、资本市场是完善的，没有交易成本，且所有证券都是无限可分的4、公司的股息政策不会影响企业的价值摘自《证券发行与承销》中国证券业协会编著编辑本段MM公司的税模型1．MM的无公司税模型l958年，莫迪格利安尼(Modigliani)和米勒(Miller)提出了著名的MM定理，创建了现代资本结构理论，这一理论又被称为资本结构无关论。
MM理论的应用具有严格的假设条件：(1)企业的经营风险可以用EBIT(息税前利润)衡量，有相同经营风险的企业处于同类风险等级；(2)现在和将来的投资者对企业未来的EBIT估计完全相同，即投资者对企业未来收益和这些收益风险的预期是相等的；(3)股票和债券在完全资本市场上进行交易，这意味着：没有交易成本；投资者可同企业一样以同样利率借款；(4)所有债务都是无风险，债务利率为无风险利率；(5)投资者预期EBlT固定不变，即企业的增长率为零，所有现金流量都是固定年金。
第2章MM定理与无套利分析
引理3：金融市场上的交易都是零净现值行为。
金融工程学
2009年3月
2.13
2.2.4 MM第三命题
表述： 以股东利益最大化为决策原则的公司，当 且仅当其一项投资的收益率高于其市场资 本化率时，才执行该项投资。
亦即：资本边际收益 WACC
金融工程学
2009年3月
2.14
2.2.4 MM第三命题
例1：若某公司EBIT 1000，WACC 10%， rf 4%,100%股权，现若有投资机会100万元， 可提供收益率r 12%, 问：若该公司利用无风险利率融资， 投资于该新项目是否合算？
15元
1180万元
19.67元
中 1000万元
10元
680万元
11.33元
坏
500万元
5元
180万元
3.00元
平均 1000万元
10元
680万元
11.33元
标准差
4.08
6.81
结论：财务杠杆的存在，同比放大了权益
收益和风险。( reA 10%, reB 11.33% )
金融工程学
2009年3月
表述：
在MM条件下，企业价值与其资本结构无关。
例证：
假设有A、B两企业，除资本结构外资产性质完全相同。
二者的EBIT(earnings before interests and taxes)均为1000
万元。
A公司总股本100万股，市场预期收益率(市场资本化率，
market rate of capitalization)
rA ；10%
B公司有4000万元负债，rf 8%，另有60万股股权。
那么，两公司的企业价值是否相同？
MM定理
2.6
三、MM定理
一、财务学基本理论和MM条件
MM定理的基本条件 1、无摩擦环境假设：
• 企业不缴纳所得税 • 企业发行证券不需要交易成本 • 企业的生产经营信息对内外来说是一致的，即信息批露公正 • 与企业有关者可以无成本地解决彼此之间的利益冲突问题
2、企业发行的负债无风险，因此购买企业的负债（债 券或贷款） 的收益率是无风险利率。
但资本结构不同：公司A的资本全部由股权构成，共100万股；公司B的资本分别
由4000万元负债和60万股的股权构成。已知公司B发行的债券年利率为8%；社会 要求的无负债企业的权益资本化率为10%。在上述条件下，我们可以断定公司B 的股票价格是100元/股。 二、MM定理的基本分析过程
2.6
三、MM定理
三、MM定理
三、MM第二命题
rE rW ACC (rW ACC rf )(
D E
) (3)
有杠杆公司的权益资本成本等于同一风险等级 的无杠杆公司的权益资本成本加上风险补偿，风险 补偿的比例因子是负债权益比。 杠杆公司的权益资本成本随着公司财务杠杆的 上升而增加
2.6
三、MM定理
四、MM定理的涵义
2.6
三、MM定理
一、财务学基本理论和MM条件
财务恒等式：资产=负债+权益
企业的价值（总资产价值）是由其负债 和权益在金融市场的总市值来度量。
2.6
三、MM定理
企业的价值（总资产价值）是由其负 债和权益在金融市场的总市值来度量。
假设你拥有A企业100%权益，
A企业每年给你创造680万元 净利润，A企业没有负债。
（1）
2006年6月30日
……
$25000 （2）
MM定理证明过程MM定理证明过程
1 无税收条件下的MM 定理1.1假设条件 假设1：无摩擦市场假设 ✓不考虑税收； ✓公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ✓无关联交易存在； ✓不管举债多少，公司和个人均无破产风险； ✓产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等； ✓资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ✓投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。
假设2：一致预期假设✓ 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。
1.2 MM 定理第一命题及其推论MM 定理第一命题：有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。
第一命题的含义：即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。
这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。
MM 定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。
基础假定：我们假定有两家公司—公司A 和公司B ，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。
A 公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B 公司的负债额度是D ，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。
细节假设：✓B 公司当前债务利率为r （固定值）； ✓A 、B 两公司当前的股本分别是A S 和B S （固定值）； ✓ A 、B 两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是A r 和B r （固定数值，因为仅指当前的预期收益率）；✓ A 、B 两公司任何年份的息税前利润（EBIT ）相同，数额都为EBIT （随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）；✓A 、B 两公司当前的市场价值分别记为A PV 和B PV （固定值）； ✓A 、B 两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为A MP 和B MP （固定值）； ✓ A 、B 两公司当前的股东权益分别记作A SE 和B SE （固定值）。
第二章MM理论课件
第二章 MM理论
1
金融工程课程
【本章学习要点】本章涉及的重要概念有：MM第一命 题、MM第二命题、无套利原则等；要求掌握MM条件及 其经济学含义，理解MM命题在现代金融学中的地位， 能够对MM第二命题进行推导，理解税收因素对企业价 值的影响等。
2
金融工程课程
第一节 MM第一命题 一、传统资本结构与企业价值理论 （一）净收益理论 （二）营业净收益理论 （三）传统折衷理论 二、 MM第一命题 第二节 MM第二命题 一、MM第二命题 （一）变量的设定 （二）MM第二命题 二、MM第二命题的推导 第三节 无套利原则 一、 举例说明 二、 不同资本结构导致股东预期收益和承担风险的不同 第四节 有税收情况下对MM命题的修正 一、 对MM命题的修正 二、 修正的推导 三、 通过融资决策创造价值
MM第二命题：
E
D
W ACC? re D ? E ? rd D ? E
10
金融工程课程
二、 MM第二命题的推导
A公司未来每年收益为 a, 没有债务，加权平均资本成本为 r0（为方 便，r0＝WACC) B公司未来每年收益为a, 未来每年股权收益为e, 债务收益为d。
a=e+d
A公司的价值是用企业的加权平均资本成本 r0 为折现率对企业的未 来收益现金流折现以后得到的现值。
本的上升，但在一定程度内不会完全抵消利用成本较低的债务所带 来的好处，因此会使加权平均资本成本下降，企业价值上升。但一 旦超过其限度，股权资本成本的上升就不再能为债务的低成本所抵 消，加权平均资本成本又会上升。由下降变为上升的转折点，便是 加权平均资本成本的最低点。此时，企业的资本结构达到最优。
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金融工程课程
3
mm定理1和定理2公式
mm定理1和定理2公式
随着经济发展，加上国家实施的教育政策，高等教育得到了充分的重视，越来越多的人决定进入大学学习，不少人对MM定理1和定理2很感兴趣。
MM定理1指出：当投资者把资金放在等额投资上，使每次投资的金额都一样时，实际投资的年化回报率和投资的周期有一定的关系，即越长的投资期限返回率就越高，投资期限越短，回报率也将越低。
MM定理2则认为：如果投资者预期所投资的期权给他带来报酬，那么在市场上可以找到相同报酬，但不同投资额度的投资品种。
这表明，在不变的预期收益率下，当投资额度增加时，其回报率也会随之增加。
总而言之，MM定理1和定理2表明投资者需要选择合适的投资额度和投资周期，才能拥有一个实现高回报的投资策略。
此外，随着投资资金的增加，投资期限也要随之增长，以实现高回报。
因此，MM定理1和定理2的主要结论可以用来帮助学生正确解读投资行为，为他们提供一个明智的投资组合管理策略。
这对高校学生和教师来说都是很有用的，在实际投资生活中制定智慧的投资策略，可以使投资者进入一个新的投资水平，实现财富增长。
mm(modigliani-miller)定理
mm(modigliani-miller)定理mm(modigliani-miller)定理是现代公司金融理论中的重要定理之一，它主要是由意大利经济学家弗兰科·莫迪利亚尼（Franco Modigliani）和美国经济学家墨顿·米勒（Merton Miller）于20世纪50年代初提出的。
这一定理对于企业的资本结构决策和企业价值的理论分析提供了重要的指导，也成为金融经济学和企业财务管理领域中的基本原理之一。
mm定理主要围绕着企业的价值、资本结构和股东财富三者之间的关系展开，其核心思想是企业的价值与其资本结构无关，即资本结构不会对企业价值产生影响。
下面我们将从几个方面简要介绍mm定理的核心内容及其在实际中的应用。
一、mm定理的基本假设1.平稳假设mm定理的核心假设之一是企业所经营的产业和市场是完全竞争的，不会发生市场垄断现象。
这一假设为mm定理的推导和结论提供了理论基础，也使得mm定理的结论能够在理论和实践中得到广泛的应用。
2.完美资本市场假设mm定理还假设资本市场是完美的，即在资本市场上不存在任何交易成本和信息不对称，投资者可以充分自由地买卖证券，并且可以获得有关企业的一切信息。
这一假设为mm定理提供了理论前提条件，并使得mm定理的结论更加具有普遍适用性。
3.纳税假设mm定理还假设企业所面临的纳税情况是一致的，即不考虑个人所得税、公司所得税和其他税收差异对企业的影响。
这一假设在一定程度上简化了mm定理的推导和分析，使得mm定理的结论更加清晰和易于应用。
二、mm定理的核心内容1.企业价值与资本结构无关mm定理的核心内容之一是企业的价值与其资本结构无关，即企业价值不会因为改变其资本结构而产生变化。
这一结论为企业在进行资本结构决策时提供了重要的指导，也为投资者和管理者在进行投资决策时提供了理论依据。
2.资本成本与债务成本mm定理还指出了资本成本与债务成本之间的关系，即企业的资本成本等于其债务成本与权益成本的加权平均。
简述MM定理
Cost of Capital， Corporate Finance and the Theory of Investment”，
American Economic Review，48，pp.261~279.
• [2] Modigliani， Franco and Merton H. Miller，1963，
种可能状态下的收益完全相同：那么无论这两个 公司的资产负债比是否相同，他们都有相同的价 值。也就是：资本机构的无关性，因此MM定理也 叫无关性定理。
二、MM定理的经济原理
• 在消费者和公司的借贷条件相同的情况下， 如果公司改变了它的资产债务比（杠杆比例）， 消费者总可以通过适当调整持有的无风险资产量， 恢复他从前最优的杠杆比例。
• （三）Stiglitz（1969）则用破产风险和抵押贷款机 制对MM定理的影响作了进一步的分析。如果公司
存在破产风险，即使没有破产成本的情况下，是
无法利用无套利原则推出MM定理的结论。
•
但是如果存在抵押贷款机制，在存在破产风
险的情况下，如果允许个体在资本市场上进行抵
押借贷，MM定理依然成立。在缺少上述抵押贷款
一、MM定理的表述
• （一）MM定理的一般化表述 • 假设：1.不存在破产风险；2.个体可以在无风险市
场上以市场利率借贷；.3不存在捐税；4.不存在交 易成本。如果经济中各公司的财务结构（，）构 成一个均衡，则对任何满足 的，财务结构（，） 也构成一个均衡。
• （二）MM定理表述更为通俗的一个结论 • 假设：上述定理的条件成立。如果两个公司在各
三、MM理论的修正
• （一）莫迪利亚所得税导入其理 论模型中，得出了负债融资有利，负债比 率越高越好，资本结构与企业价值有关的 结论。
第二MM定理(纽约大学艾伦和盖尔金融经济学讲义)
Chapter2The Modigliani-Miller theorem “When capital markets are perfect and complete,corporate decisions are trivial.”2.1Arrow-Debreu model with assets2.1.1Primitives(Ω,F,P)X={x:Ω→R|x is F-measurable}h=1,...,|H|z h∈Xi=1,2,...,|I|X i⊂X,e i∈X i,θi∈R J+,u i:X i→Rj=1,2,...,|J|Y j⊂X2.1.2Arrow-Debreu modelWe begin by reviewing the Arrow-Debreu model.There is afinite set of states of natureω∈Ωand a single good in each state.The commodity space is RΩ.There is afinite set offirms j∈J,each characterized by a production set Y j⊂RΩ.There is afinite set of consumers i∈I,each characterized by a consumption set X i,an endowment e i∈X i, and a utility function u i:X i→R.Each agent i owns a fractionθij offirm j.12CHAPTER2.THE MODIGLIANI-MILLER THEOREM An allocation is an array(x,y)=³{x i}i∈I,{y j}j∈J´such that x i∈X i for every i and y j∈Y j for every j.An allocation(x,y)is attainable ifX i x i=X i e i+X j y j.A price system or price vector is a non-zero element p∈RΩ.An Walrasian equilibrium consists of an attainable allocation(x,y)and a price system such that,for every j,y j∈arg max{p·y j:y j∈Y j},and for every i,x i∈arg max{u i(x i):x i∈X i,p·x i≤p·Ãe i+X jθij y j!.Note that unlike the standard model,we assume that consumers receive cashflows in each state directly.Note that shareholders unanimously want thefirm to adopt profit maxi-mization as its objective function.Under well known conditions,every competitive equilibrium is Pareto-efficient and every Pareto-efficient allocation is a competitive equilibrium with lump-sum transfers.2.1.3SecuritiesNow we introduce afinite set of securities h∈H each represented by a vector of returns z h∈RΩ.Securities are in zero net supply.The vector of securities prices is denoted by q∈R H where q h is the price of security h.Let(x,y,p)be a Walrasian equilibrium and suppose that consumers and firms are allowed to trade securities at the prices q.Letαj(resp.αi)denote firm j’s(resp.consumer i’s)portfolio excess demand for securities.Firm j’s profit is nowp·Ãy j+X hαjh z h!−q·αjand consumer i’s budget constraint is nowp·x i+q·αi≤p·Ãe i+X jθij y j+X hαih z h!.2.1.ARROW-DEBREU MODEL WITH ASSETS3Equilibrium requires thatq h=p·z h,∀h∈H.Otherwisefirms could increase profits without bound.But under this condi-tion,any portfolio is optimal.Thus equilibrium with securities requires only that attainability be satisfied:X iαi+X jαj=0.We can do the same thing with traded equity.If equity is fairly priced,there is no reason for anyone to trade it.2.1.4Irrelevance of capital structurea i=(x i,αi,βi)∈A i≡X i×R H×R Ja j=(y j,αj)∈A j≡Y j×R Ha=(a i)i∈I×(a j)j∈JDefinition1An allocation a=(a i)i∈I×(a j)j∈J is attainable ifX i∈I x i=X j∈J y jX i∈Iαi+X j∈Jαj=0X i∈Iαi=1.Definition2An attainable allocation a=(a i)i∈I×(a j)j∈J is weakly efficient if there does not exist an attainable allocation a0=(a0i)i∈I×(a0j)j∈J such that u i(x i)<u i(x i)for all i.An attainable allocation a=(a i)i∈I×(a j)j∈J is(strongly)efficient if there does not exist an attainable allocation a0= (a0i)i∈I×(a0j)j∈J such that u i(x i)≤u i(x i)for all i and u i(x i)<u i(x i)for some i.Definition3A Walrasian equilibrium consists of an attainable allocation a=(a i)i∈I×(a j)j∈J and a price vector(p,q)∈X×R H such that,for every j,a j∈A j maximizes the value of thefirmV j=v j−X h q hαjh=p·Ãy j+X hαjh z h!−X h q hαjh4CHAPTER2.THE MODIGLIANI-MILLER THEOREMand,for every i,a i∈A i maximizes u i(x i)subject to the budget constraint p·x i+X hαih q h+X jβij v j≤p·e i+X jθij V j+p·ÃX hαi z h+X jβijÃy j+X hαjh z h!!.Theorem4Let(a,p,q)∈X×R H∈A×X×R H be a Walrasian equilibrium and let(α0j)j∈J be an arbitrary allocation of portfolios forfirms.Then there exists a Walrasian equilibrium(a0,p,q)such thata0=(a0i)i∈I×(a0j)j∈Ja0i=(x i,α0i,β0i),∀ia0j=(y j,α0j),∀j.Note also that,by the previous argument,V j=V0j for every j.There are two aspects to the Modigliani-Miller theorem:one says that thefirm’s choice offinancial strategyαj has no effect on the value of the firm(or shareholder’s welfare);the other says that the choice ofαj has no essential impact on equilibrium.Here we are making the second(stronger) claim.2.2Equilibrium with incomplete marketsTo simplify,and avoid some thorny issues about the objective function of the firm,we assume that production sets are singletons:Y j={¯y j},∀j∈J.We start by assuming thatfirms do not trade in securitiesαj=0.There are no Arrow securities,so that consumption bundles can only be achieved by trading securities.x i=e i+X jθij y j+X hαij z h+X jβij y j.2.2.EQUILIBRIUM WITH INCOMPLETE MARKETS5 Sincefirms have no decision to make,equilibrium is achieved if consumers maximize their utility subject to the budget constraint:max u i(x i)s.t.P jβij v j+q·αi≤P jθij v j;and markets for shares and securities clear:X iαi=0and X iβi=(1,...,1).Now changeαj=0toˆαj,change v j toˆv j=v j+q·αj,and changeαi to ˆαi=αi−P jβijˆαj.Checking the optimality of the consumers problem and the attainability conditions we see that the economy is still in equilibrium. Definition5An equilibrium with incomplete markets consists of an attain-able allocation a=(a i)i∈I×(a j)j∈J∈A and a price vector(q,v)∈R H×R J such that,for every j,a j∈A j maximizes the value of thefirmV j=v j−X h q hαjh=max i(µi·Ãy j+X hαjh z h!)−X h q hαjhand,for every i,a i∈A i maximizes u i(x i)subject to the budget constraintX hαih q h+X jβij v j≤X jθij V j,wherex i=e i+X hαih z h+X jβijÃy j+X hαjh z h!.Theorem6Let(a,q,v)∈A×R H×R J be an equilibrium with incomplete markets and let(α0j)j∈J be an arbitrary allocation of portfolios forfirms.Then there exists an equilibrium with incomplete markets(a0,q,v0)such thata0=(a0i)i∈I×(a0j)j∈Ja0i=(x i,α0i,β0i),∀ia0j=(y j,α0j),∀j.6CHAPTER2.THE MODIGLIANI-MILLER THEOREM Note that the space of commodity bundles that can be spanned by trading equity and securities is exogenous,but only because we have assumed the firm’s choice of production plan is exogenous.In other words,there is no financial innovation.This assumption is crucial for the MM theorem.2.3Default2.3.1Default with complete marketsFor simplicity we assume there is a singlefirm j=1with a single feasible production plan y(ω)>0,and a single security with payoffs z(ω)=1. Limited liability raises the possibility of default and risky debt.Letˆz(αj,ω) denote the return to risky debt andˆy(αj,ω)the return to equity in afirm with risky debt.Thenˆz(αj,ω)=½z(ω)if y(ω)+αj z(ω)≥0y(ω)/(−αj2)if y(ω)+αj z(ω)<0.andˆy(αj,ω)=½y(ω)+αj z(ω)if y(ω)+αj z(ω)≥00if y(ω)+αj z(ω)<0.If there are complete markets,the value of the risky debt isˆq=p·ˆz(αj)and the value of equity isˆv=p·ˆy(αj).The value of thefirm to the original shareholders isˆV=ˆv+ˆqαj=p·ˆy(αj)+αj p·ˆz(αj)=p·y.So default doesn’t add value to thefirm.Assume that there is a single type offirm j consisting of a continuum of identicalfirms.Thesefirms choose different levels of risky debt.The number of securities may be great enough to span the entire commodity space RΩ. For example,suppose y(ω)=ωand chooseαωj=−ω+1forω=1,...,|Ω|.2.3.DEF AULT7Thenˆy³α|Ω|j´pays one unit ifω=|Ω|and nothing otherwise,that is,it is an Arrow security for the stateω=|Ω|.A portfolio consisting of one unit ofˆy³α|Ω|−1j´and minus two units ofˆy³α|Ω|j´will yield one unit in state ω=|Ω|−1and nothing otherwise,that is,it is an Arrow security for the stateω=|Ω|−1.Continuing in this way we can generate Arrow securities for each state.This is a case where capital structure is irrelevant for the individualfirm,but not for the equilibrium.2.3.2Default with incomplete marketsTo define an equilibrium,we assume that consumers can hold thefirm’s debt but cannot issue debt or sell short thefirm’s equity.(This isn’t necessary, but simplifies the story).Definition7An equilibrium with incomplete markets and default consists of an attainable allocation a=(a i)i∈I×(a j)∈A and a price vector(q,v)∈R H×R such that a j∈A j maximizes the value of thefirmV j=v j−qαj=max i{µi·(y j(αj)+αjˆz(αj))}−qαj and,for every i,a i∈A i maximizes u i(x i)subject to the budget constraintαi q+βi v≤θi V,wherex i=e i+αiˆz(αj)+βi(y j(αj)+αjˆz(αj)).In this case,we have to deal with the valuation problem explicitly:be-cause markets are incomplete,individuals may disagree in their valuation of a security.Only those who value it most highly will hold a positive quantity of a security or equity in equilibrium.2.3.3Related issuesWith complete markets,all shareholders agree that value maximization is the right objective function for thefirm.With incomplete markets,this may not be the case.Thefirm’s choice of y j andαj has two effects,on the value of thefirm V j and on the risk sharing that can be achieved by8CHAPTER2.THE MODIGLIANI-MILLER THEOREM holding shares and risky debt.One solution to this problem:if thefirm’s cash stream can be spanned by otherfirms’cash streams,the contribution to risk sharing is redundant and only the value of thefirm matters.See Bell Journal Symposium(Ekern and Wilson(1974),Leland(1974),Radner (1974)).Another solution:if there is a large number of identicalfirms,each type of consumer can hold shares in a version of thefirm that uniquely optimizes his needs for risk sharing.See Hart(1979).When these are not available,for example,because the number offirms isfinite,the theory of thefirm becomes very difficult(see for example,Dreze(1974),Grossman and Hart(1979)).Perhaps for this reason,much fo the theory of general equilibrium with incomplete markets has been developed for pure exchange models.For the valuation problem in general,see Allen and Gale(1988)or the Allen and Gale(1994).For an analysis of the Modigliani-Miller Theorem with default in a partial equilibrium setting,see Stiglitz(1969)and Hellwig (1981).2.4BibliographyAllen,F.and D.Gale,(1988).“Optimal Security Design,”Review of Finan-cial Studies1,229-263.–(1992).“Arbitrage,Short Sales,and Financial Innovation”Economet-rica59,1041-68.–(1994).Financial Innovation and Risk Sharing.Cambridge,MA:MIT Press.Arrow,K.(1964).“The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk-Bearing,”Review of Economic Studies31,91-96.Arrow,K.and G.Debreu(1954).“Existence of equilibrium for a com-petitive economy,”Econometrica22,265-290.Dammon,R.and R.Green(1987).“Tax Arbitrage and the Existence of Equilibrium Prices for Financial Assets,”Journal of Finance42,1143-66.Duffie,J.D.and W.Shafer(1985).“Equilibrium in Incomplete Markets: I—A Basic Model of Generic Existence,”Journal of Mathematical Economics 14,285-300.–(1986).“Equilibrium in Incomplete Markets:II;Generic Existence in Stochastic Economies,”Journal of Mathematical Economics15,199-216.Dreze,J.(ed.)(1974).Allocation under Uncertainty:Equilibrium and Optimality;proceedings from a workshop sponsored by the International2.4.BIBLIOGRAPHY9 Economic Association.New York:Wiley.Ekern,Steinar and Robert Wilson(1974).“On the Theory of the Firm in an Economy with Incomplete Markets Bell Journal of Economics5,171-80.Grossman,S.and O.Hart(1979).“A Theory of Competitive Equilibrium in Stock Market Economies,”Economtrica47,293-329.Hart,O.(1975).“On the Optimality of Equilibrium when the Market Structure is Incomplete,”Journal of Economic Theory11,418-43.–(1979).“On Shareholder Unanimity in Large Stock Market Economies,”Econometrica47,1057-83.Hellwig,M.(1981)“Bankruptcy,Limited Liability,and the Modigliani-Miller Theorem,”American Economic Review71,155-70.Leland,H.(1974).“Production Theory and the Stock Market,”Bell Journal of Economics5,125-44.Magill,M.and M.Quinzii(1996).Theory of Incomplete Markets,Volume 1.Cambridge MA:MIT Press.Radner,R.(1972).“Existence of Equilibrium of Plans,Prices,and Price Expectations in a Sequence of Markets,”Econometrica40,289-303.–(1974).“A Note on Unanimity of Stockholders’Preferences among Alternative Production Plans:A Reformulation of the Ekern-Wilson Model”Bell Journal of Economics5,181-84.Stiglitz,J.(1969)“A Re-Examination of the Modigliani-Miller Theorem,”American Economic Review59,784-93.。
mm定理例题
mm定理例题摘要：1. MM定理的概述2.MM定理的应用3.例题解析4.结论与启示正文：一、MM定理的概述MM定理（Modigliani-Miller Theorem）是现代金融学的基础之一，由美国经济学家弗兰克·莫迪利亚尼（Frank Modigliani）和肯尼斯·莫尔（Kenneth Miller）于1961年提出。
该定理阐述了在一定条件下，公司的资本结构（即权益和债务的比例）对公司的市场价值无关。
这一理论在金融领域产生了深远的影响，为后续金融理论的发展奠定了基础。
二、MM定理的应用MM定理在金融领域的应用十分广泛，包括资本结构理论、企业估值、金融市场定价等方面。
在实际操作中，金融从业人员和企业管理者可以利用MM 定理来评估公司的资本结构、制定财务策略以及进行投资决策。
此外，MM定理还为金融监管政策提供了理论支持，如税收政策、企业融资政策等。
三、例题解析以下是一个关于MM定理的例题：一家公司拟发行新债筹集资金，现有债务的市场利率为r，公司的权益成本为rs。
假设公司目前没有债务，市值为V。
在不考虑税收和其他因素的影响下，请计算公司发行新债后市值V"。
解答：根据MM定理，公司的市值V"与资本结构无关，仍为V。
这是因为，在新的资本结构下，公司的权益成本和债务成本不变，市场价值由权益和债务的现值之和组成。
由于权益和债务的比例不影响公司价值，因此V"=V。
四、结论与启示MM定理为我们提供了一个理论框架，帮助我们理解公司资本结构与市场价值之间的关系。
在实际应用中，我们可以根据MM定理来调整企业的融资策略，优化资本结构，提高企业效益。
同时，政府和企业也应关注税收、监管政策等因素，以实现金融市场的稳定和发展。
总之，MM定理在金融领域具有重要的理论和实践意义。
mm定理 命题
mm定理命题MM定理是一条在离散数学中被广泛应用的重要命题。
它是基于对多重集合的分析而得出的结论，可以用来计算多重集合的组合数。
在组合计数中，常常需要计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
而多重集合是一个元素可以重复出现的集合，因此在计算多重集合的组合数时，需要考虑元素的重复出现次数。
具体地说，MM定理指出，对于一个多重集合，其包含n个不同元素，其中第i个元素在集合中重复出现mi次。
如果我们要从这个多重集合中选取k个元素，那么共有多少种不同的选择方式呢？根据MM定理，这个结果可以通过以下的公式进行计算：C(n + k - 1, k) = Σ[C(k, m1) * C(k - m1, m2) * C(k - m1 - m2, m3) * ... * C(k - m1 - m2 - ... - m_(n-1), mn)]其中，C(a, b)表示将a个物品中选择b个物品的组合数，Σ表示对所有满足条件的mi进行求和。
这个公式的推导思路是先将n个不同元素排成一列，然后在每个元素之间插入k-1个划分符号，将这k-1个划分符号分隔成k个区域。
接下来，我们需要将这k个区域与第1到第n个元素进行匹配，使得每个区域与一个元素对应。
首先考虑第1个区域，这个区域对应的元素可以是第1个到第n个元素之中的任意一个。
假设我们选择了第i个元素，那么这个区域前面的划分符号会将前面的k-1个区域分为k - 1个子区域。
而在这k - 1个子区域中，我们需要依次选择相应的元素与第2到第n个区域进行匹配。
通过这样的递归过程，我们可以得到一个求和的式子，其中每个项表示具体的选择方式。
而每个项中的乘法项 C(k - m1 - m2 - ... - m_(n-1), mn) 则表示了每个子区域的选择方式。
通过MM定理，我们可以更容易地计算多重集合的组合数。
这个定理不仅在计算组合数领域发挥重要作用，还有许多其他应用。
例如，在计算机科学中，可以将它应用到排列组合问题，优化算法等方面。
mm定理例题
mm定理例题【最新版】目录1.概述 mm 定理2.mm 定理的证明3.mm 定理的应用4.总结正文1.概述 mm 定理mm 定理，全称“Massen-Price 定理”，是由 Massen 和 Price 两位数学家于 1953 年提出的一个数学定理。
该定理主要研究了凸函数的性质，特别关注凸函数的极值点与梯度的关系。
mm 定理是优化理论、函数论等领域中的一个重要定理，被广泛应用于数学、物理、经济学等学科。
2.mm 定理的证明为了更好地理解 mm 定理，我们先来了解一下相关的概念。
设 f(x) 是一个凸函数，其定义域为 Rn，梯度为 grad f(x)，h(x) 是 f(x) 在点 x 的切平面上的法向量。
根据 mm 定理，如果点 x 是函数 f(x) 的一个局部极值点，那么 h(x) 一定是 f(x) 在点 x 处的梯度的一个正交补。
证明过程如下：设 x 是 f(x) 的一个局部极值点，那么存在一个邻域，使得在邻域内，f(x) 的值都小于等于 f(x)。
由于 f(x) 是凸函数，所以对于任意的x"在邻域内，都有 f(x") <= f(x)。
特别地，当 x"等于 x 时，有 f(x) <= f(x)。
根据拉格朗日乘子法，存在一个向量α，使得 grad f(x)·α = 0 且α·(f(x") - f(x)) >= 0 对于所有的 x"在邻域内。
由于α与 h(x)正交，所以 h(x) 也是 f(x) 在点 x 处的梯度的一个正交补。
3.mm 定理的应用mm 定理在许多领域都有广泛的应用，如：(1) 优化理论：在求解最优化问题时，mm 定理可以帮助我们判断极值点的性质，从而有效地找到最优解。
(2) 函数论：mm 定理可以推广到更一般的函数空间，如 Hilbert 空间、Banach 空间等，从而研究更一般的凸函数性质。
有税mm定理2推导
有税mm定理2推导
有税mm定理2推导即指根据有税mm定理1（MM定理1：若发行者、投资者均拥有无限生命期，且具有同样的风险厌恶程度，且资产市场完全竞争，不存在税收问题，则在此条件下，内部收益率等于资本成本率）的基础上，考虑税收因素，以求得更加精确的定理。
有税mm定理2的推导过程如下：
（1）假设有一个发行者发行一种资产，该资产具有期限T，以r票面利率发行，税率为t；
（2）假设投资者有一定风险厌恶程度，记为θ；
（3）将资产分割成m份，记为第i份，
i=1,2,3,...,m；
（4）考虑每一份资产，期末价值Pi，期初价值Qi，根据贝塔分布，有：
πi = E[Pi] = Qie-θT
（5）根据有税mm定理1，可得：
Qi= r/(1+r)^T
（6）综上可得：
πi = r/(1+r)^T e-θT
（7）由于税收的存在，投资者所得的收益率为(1-
t)πi，故有：
(1-t)πi = (1-t)r/(1+r)^T e-θT
（8）投资者的期望收益率为：
E[R]=(1-t)r/(1+r)^T e-θT
（9）投资者的期望收益率等于资本成本率，故有：E[R]=r*(1-t)*e-θT
（10）整理上式，得到有税mm定理2：
r = E[R]/(1-t)*eθT。
' mm定理
' mm定理MM定理是一种经典的数学定理，它是由两位著名的数学家Minkowski和Minkowski共同发现的。
这个定理的内容是关于几何中的一个重要问题：如何在一个平面上找到一个最短的路径，使得这个路径经过一些给定的点。
MM定理的核心思想是：在一个平面上，如果有一些点，我们可以通过连接这些点来形成一条路径。
这条路径的长度是所有连接点的线段长度之和。
那么，如果我们要找到一条最短的路径，使得这个路径经过所有给定的点，那么我们可以使用MM定理来解决这个问题。
MM定理的具体内容是：在一个平面上，如果有一些点，我们可以通过连接这些点来形成一条路径。
那么，这条路径的长度一定大于或等于这些点之间的最短距离之和。
也就是说，如果我们要找到一条最短的路径，使得这个路径经过所有给定的点，那么这条路径的长度一定大于或等于这些点之间的最短距离之和。
这个定理的证明非常简单。
我们可以假设存在一条路径，它的长度小于这些点之间的最短距离之和。
那么，我们可以通过将这条路径上的某些线段替换成这些点之间的最短距离来得到一条更短的路径。
这个过程可以一直进行下去，直到我们得到的路径的长度等于这些点之间的最短距离之和。
因此，我们可以得出结论：这条路径的长度一定大于或等于这些点之间的最短距离之和。
MM定理在实际应用中非常有用。
例如，在旅行商问题中，我们需要找到一条最短的路径，使得旅行商可以经过所有的城市。
这个问题可以通过使用MM定理来解决。
我们可以先计算出所有城市之间的最短距离，然后使用MM定理来确定最短路径的下界。
这个下界可以帮助我们快速地找到最优解。
MM定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助我们解决许多实际问题。
无论是在旅行商问题中，还是在其他的应用中，MM定理都可以为我们提供有用的指导。
MM定理
MM模型(Modigliani Miller Models,米勒一莫迪利安尼模型，公司资本结构与市场价值不相干理论)MM模型的含义MM理论是莫迪格利安尼（Modigliani）和默顿·米勒（Miller）所建立的公司资本结构与市场价值不相干模型的简称。
MM定理的基本假设有：第一，资本市场是完善的，即所有的市场主体均可方便地获取所需要的各种相关信息。
第二，信息是充分的、完全的，不存在交易费用和成本。
第三．任何一种证券均可无限分割。
投资者是理性经济人，以收益最大化为投资目标。
第四，公司未来平均预期营业收益以主观随机变量表示。
投资者具有一致性预期，对每一公司未来息前税前收益的概率分布及期望值有相同的估计。
而且，未来各期预期营业收益的概率分布的期望值与现期的相同。
第五，所有债务都是无风险的。
个人和机构都可按照无风险利率无限量地借入资金。
而且，不存在公司所得税。
MM理论的修正:MM理论的发展经历了不断修正的过程,由完善资本条件下的MM 理论逐渐形成了含公司税的MM理论、含个人税的MM理论以及权衡理论。
(一)完善资本条件下MM理论莫迪格利安尼(Modigliani)和米勒(Miller)对完善的资本市场做出了如下假设:一是不存在税收,二是市场是没有矛盾冲突的,不存在交易成本,三是直接破产成本间接破产成本是不存在的,四是个人和公司的借贷利率相同。
在完善资本市场的假设条件下,莫迪格利安尼(Modigliani)和米勒(Miller)认为公司的价值不受财务杠杆作用的影响,杠杆公司的价值V L等于无杠杆公司的价值V U,这就是著名的MM命题I(无税)的基本思想,即任何公司的市场价值与其资本结构无关,企业的市场价值只由预期收益的现值水平决定。
(二)含公司税的MM理论在完全资本市场下不存在税收,所以公司的价值与债务无关,但是在考虑公司税的情况下,债务融资就有一个重要的优势,因为公司支付的债务利息可以抵减应纳税额,而现金股利和留存收益则不能。
金融学-MM定理精讲
公式为:
VL=Vu+[(1-Tc)(1-Ts)/(1-TD)]×B
其中Ts是股票收入的个人所得税率，TD是利 息收入的个人所得税率。米勒模型的结果表明： MM公司税模型高估了企业负债的好处，因为 个人所得税在某种程度上抵消了企业利息支付 的节税利益，降低了负债企业的价值。不过， 同公司税模型相似，米勒模型的结论是100% 负债时企业市场价值达到最大。
的价值。
MM的公司税模型
1963年莫迪格安尼和米勒发表了《公司所得 税和资本成本：一种修正》一文，放宽了其初 始模型的假设条件，首次将公司税引入MM定 理，并在此基础上重新得出两个命题：
命题一：无负债公司的价值等于公司税后企业 的现金流量除以公司权益资本成本，负债经营 公司的价值等于同类风险的无负债公司的价值 加上减税收益（税率乘以债务的价值）。
资本结构的构成做了大量的实证研究，但结果 发现相关变量的解释效果并不明显，也就是说， 实证检验的结果并不能给MM理论以有力的支 持，这是MM理论一个较严重的缺陷。
MM理论的发展
1、MM的无税模型。（完善资本条件下MM理 论）
2、MM的公司税模型。（含公司税的MM理论） 3、米勒模型。 （含个人税的MM理论 ）
MM的无税模型
在完善资本市场的假设条件下，莫迪格利安尼 (Modigliani)和米勒(Miller)认为公司的价值不 受财务杠杆作用的影响，杠杆公司的价值VL等 于无杠杆公司的价值VU，这就是著名的MM定 理1的基本思想：
MM定理的基本假设
第一，资本市场是完善的，即所有的市场主体均可方便地获取所 需要的各种相关信息。
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一、在MM条件下，企业的资本结 构与企业的价值无关 A、资本结构指负债与权益的比 例结构 B、从结果看，与人们的直觉相 去甚远，似乎金融活动不创造价 值
二、MM条件 1、无摩擦环境假设 A、企业不缴纳所得税 B、企业发行证券不需要交易成本 C、信息披露是公正的 D、可无成本解决与外部的利益冲 突问题 2、企业发行的负债无风险，即购买 企业的负债的收益是无风险收益率
债A的量 无风险债券的量
d、一年后：如果 上升：Iu= ∆*107+L*1.02=103 下跌：Id= ∆*98+L*1.02=98.5
e、解联立方程得： ∆=1/2 L=49.5/1.02 将 ∆，L代入（3）得： I=100*1/2+49.5/1.02=98.52941 说明用假设的证券：证券1和2作定价工 具结果是正确的。
解（1）和（2）得： rf-d πu = rf（u-d） u- rf πd = rf（u-d） 基本证券可以用来复制其他证券，作为债券的定 价工具。
5、例：令pA=100， 无风险收益率rf=2%， d=0.98，u=1.07，则： 1.02-0.98 =0.435730 π u= [1.02*(1.07-0.98)] 1.07-1.02 π d= =0.544662 [1.02*(1.07-0.98)] 给A定价: pA= π uupA+ π dd pA = 0.435730*107+0.544662*98=100
1
3、复制A pA： πu u pA+ π dd pA 显然，期末时两边的现金流相等。 根据无套利原理，期初的复制品与被 复制品价值也应相等： 即： πu u + π dd=1 （1）
4、同时购买1份基本证券1和1份基本证券 2，1年后无论怎样价值都是1元，即为无 风险收益1元，假设无风险收益率为rf， 则： 1 1 πu + π d= ＝ （2） 1+ rf rf
三、例：假定A、B两公司的资 产性质完全相同，但资本结构 （负债/权益）不一样，两公司 每年创造的利税前收益（EBIT） 都是1000万元。
先看A公司：资本完全是权益， 共100万股 根据公司未来收入现金流的风 险性质，金融市场对该公司的 预期收益（称为市场的资本化 率）rA=10%，即资本成本，这 样：
为股票定价：如果B股价值不是 100元/股，而是90元/股。 套利方法： 1、卖空1%的公司A的股票 1%*100万股=1万股 2、同时买进1%的公司B的债 券和股票： 债券：1%*4000万元 股票：1%*60万股=6000股
交易的现金流如下：
头寸情况 1%A股空头 1%B债多头 1%B股多头 净现金流 即时现金流 +10000股*100 元/股=100万 -1%*4000万元 =-40万 未来现金流 -EBIT的1% 1%*320万 =3.2万
常用的套利方法有两种： 1、现在进行净支出为零的一系列投 资，在将来不会出现负的收益，而且 有可能出现正的收益； 2、现在进行一系列能带来正收益的 交易，这些交易不会使未来产生净的 支付。 或者： 用已知价格产品复制需定价产品。
五、状态价格定价技术
1、债A价pA u pA q pA 1-q d pA
103 假设pB 98.5 则， pB= π uupB+ π dd pB =0.435730*103+0.544662*98.5 =98.52941 注:1、以上只是从理论上说明，复制定价或无套 利定价的原理。 2、在实践操作上，不能只用假想的证券作定 价工具。
6、但是：我们可以检验结果的正确性： a、选择一无风险债券L b、用L和证券A来复制债B c、复制后的市场价值： I=100∆+L （3）
A公司的企业价值PV是： PV=ΣEBIT/（1+rA）t =Σ1000/（1+10%）t
t =1 ∞ t元 每股价格： 10000万元/100万股=100元/ 股
再看B公司 资本结构： 4000万公司债 1、年利率8%，无风险 2、每年支付 4000万*8%=320万元 权益60万股（任意）
记rA=1+ rA 则预期收益率： E（rA）=[qupA+（1-q）dpA]/pA =qu+（1-q）d 方差：ơ2（rA）=q（1-q）（u-d）2 标准差： ơ（rA）=[q（1-q）]1/2（u-d）
2、基本证券：构造： 1
市场上升 市场上升
0 基本证券2
基本证券1
下降
下降
0 现价：πu πd
现实中，资本结构调整确实增 加企业价值：降低交易成本， 改善管理和信息的交流；但不 影响企业资产可创造的收益； 不涉及企业资产重组的财务包 装的作用，事实上对企业资产 创造收益的改变不大。
四、无套利定价理论利用了一 个简单的道理： 各种资产的价格应该具有一 致性 无套利：就是各种资产的价 格已经具有一致性，已不可能 通过0成本进行套利。
-6000股*90元/ 1%*（EBIT-320 万）=1%*EBIT股=-54万
3.2万
6万元
0
因此：投资者不花成本，可以 套利6万元净利，说明B股定价 被低估了；人们会重复上述组 合套利，从而买进B股会推动B 股价格上扬
结论： 1、B公司的资本结构是：4000 万债和6000万股 2、比较A、B公司的情况：得 出结论，公司的价值（1亿）与 资本结构无关
7、a、市场只出现2种（上、下）情况时，有2种 独立的证券就可以了，当市场出现的情况多种 （n）时，就要有n个独立的证券，即n个基本 证券。 b、只有具备足够多的独立证券，才能复制各 种需要定价的证券，市场才是完全的。 c、证券或证券组合，只有能完全被已知价格 证券复制，才能通过构筑相反的头寸对冲掉风 险，实现完全的套期保值。 d、因此，市场的完全性是不可少的，金融工 程就是创造工具填补市场的完全性。