工程电磁场(高等教育出版社,冯慈章主编)

πε0 ln d a
a
注意 电容只与两导体的几何尺寸、相互 位置及周围的介质有关。
ln
b b

(h (h

a) a)

ln
b b

(h (h

a)
a)


U0
ln 2
2 ln b (h a) 1
b (h a)
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第一章
静电场
1.8 电容和部分电容
Capacitance and Distributed Capacitance
p

q
4 0 r1

q'
4 0 r2
0
r2
1

d
2

R2

2Rd
cos
r2 2

b2

R2

2Rbcos
将 r1, r2 代入方程 qr2 q'r1 0 ，得
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第一章
静电场
[q2(b2 R2) q'2 (d 2 R2)] 2R(q'2 d q2b)cos 0
分界面： E1t E2t
D1n D2n
静电场
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第一章
静电场
边界条件：
保证方程不变
E1t E2t q' q q'' 2 q D1n D2n
1
4
q
1r
2
cos
2

q'
41r 2
cos

q''
42r 2
cos
2
1
q
4r 2
q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 ) 0
q'2 d q2b 0
联立求解得
b

R2 d

q'
bq Rq dd
镜像电荷位置 镜像电荷大小
镜像电荷等于负感应电荷总量。
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第一章
球外任一点P 的电位与电场为
静电场
球外的电场计算
p

q
4 0 r1
1.两导体的电容
线性系统中，带有等量异号电荷的两导体，其
电位差与电荷成正比，这个比值系数定义为两导体 的电容。
定义： C Q U
单位： F， F, pF
Q
-Q
+U-
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第一章
静电场
电力电容
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第一章
静电场
电力电容
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第一章
2.两导体电容的计算
C Q D dS E dS U E dl E dl
静电场
问题
在传输线系统中，导线之间的
静电感应作用使导线表面的电荷分
布不均匀，直接求解电场分布很困
难。
边值问题
2 0
导体A const
导线以外的空间 导体B const
D SA

dS


D SB

dS


长直平行双传输线
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第一章
应用镜像法求解
静电场
镜像电荷
长直带电细导线替代感应电荷的作用
第一章
静电场
1.7 镜像法与电轴法
Image Method and Electric Axis Method
镜像法与电轴法的基本思想
根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的 复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单 分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。
1. 点电荷对平面导体的镜像
sin
2

q'
4r 2
sin


q''
4r 2
sin
1
2
解得
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第一章
静电场
注意
① 1中的电场由q 与q’共同产生，q’等效替代极
化电荷的影响。
② 2中的电场由 q” 决定，q” 等效替代自由电荷与
极化电荷的作用。
电场分布图
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第一章
4.电轴法（Electric Axis Method）

20
ln
2 1

C
以 y 轴为参考电位
静电场
P

20
ln
2 1

20
ln
( x b)2 y2 ( x b)2 y2
令：P 常数，等位线方程
( x b)2 y2 K 2 ( x b)2 y2
( x K 2 1b)2 y2 ( 2bK )2
说明
① 电容的计算是电场的计算
静电场
② 给出了计算电容的方式：
设
Q
Q
E
U
l E dl

C U
或设
U

E
D Q sD dS

C Q U
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第一章
例 试求平板电容器的电容。
静电场
解 忽略边缘效应
C q S ES S
U0 Ed Ed d
思路 边值问题
导体球外（除q点）空间：
2 0
S U0

SD
dS

Q
S U0
+Q
Q
4R
Q 4πεRU0 Q q
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第一章
静电场
讨论 4.点电荷q 在不带电的金属球壳内的镜像。
思路 边值问题
导体球内（除q点）空间：
q
-q’
2 0 S const
场分布特点： ① 平面导体上产生负感应电荷 ② 电场为两维子午平面场
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第一章
边值问题
2 0
感应电 荷产生 的电位
＝0 导板
S D dS q
上半空间的电位 q 40r
导体平面上 q 0 40r
q 40r

SD dS q
q S 4R
b d
b

R2 d

q

R q d
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第一章
3. 点电荷对不同介质分界面的镜像
边值问题
上半空间（除q点）：
2 0 0

SD dS q
下半空间：
2 0 0

SD dS 0
则 q' R q, b R2
d
d
球面等位（ q' 位于球心）
静电场
通量为零（ q', - q'大小相等）
任一点电位
p

q 4 0r

q 4 0r2

q' 4 0r1
球面电位 q q 40 R 40d
任一点场强
q1 R
R
E 40 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
0 K 1
b h
0a
左半平面。
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第一章
静电场
圆心坐标
x

h

K K
2 2
1b, 1
y 0
圆半径
a 2bK K 2 1
a、h、b满足关系
a2 b2 ( 2bK )2 b2 ( K 2 1b)2 h2
K2 1

q'
4 0 r2
球外的电场分布
q
qR
EP 40r12 er1 40dr22 er2
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第一章
静电场
讨论 1.点电荷q 对不接地金属球的镜像。
思路
边值问题
导体球外（除q点）空间：

2 0
con
S
st

球DS dS 0
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第一章
导体球零电位
h2

d2

a2 2
2d

a2 1
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第一章
静电场
例 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。 解 计算电轴位置
b2 h2 a2
d

2h
b (d )2 a2 2
设电轴线电荷 ，任一点电位
ln 2 20 1
U0

20
镜像电荷的位置
Baidu Nhomakorabea
电轴法
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第一章
两根细导线产生的电位
细导线产生的电场
E 20 e
1

Q
1
d 2 0


20
ln 1

C1
2


20
ln
2

C2
P
1
2

20
ln
2 1

C
静电场
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第一章
P
1
2

qh
20 (h2 x2 )3/ 2
地面电荷分布

p＝Dn

0 E


2
qh (h2 x2 )3/2
地面上感应电荷的总量为
S
pdS

0
2
qh (h2 x2 )3/2

2xdx
q
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第一章
镜像法小结
静电场
① 镜像法的理论依据是： 静电场唯一性定理； ② 镜像法的实质是：
第一章
p

20
ln
2 1

ln
b b

x 2 x 2

y2 y2
根据 E 得到 Ex 和 Ey 分量
E 线方程
dy E y dx Ex
x2

(
y

K1
)2

b2

K2 1
2
4
静电场
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第一章
静电场
小结 电轴法的理论基础是场的唯一性定理；
电轴法的实质是用电轴上的线电荷替代圆 柱上的不均匀分布电荷的作用；
K2 1
K2 1
圆的方程
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第一章
静电场
( x K 2 1b)2 y2 ( 2bK )2
K2 1
K2 1
圆心坐标

x

h

K K
2 2
1b, 1
y 0
圆半径
a 2bK K 2 1
K 取不同值时，得到一族等电位圆。
1 K
b h 0 a 右半平面。
同心球壳电容器
同心球壳间的电压 球形电容器的电容
U

b
a
E
dr

q
40
(1 a

1) b
C q 40ab
U ba
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第一章
静电场
讨论 C q 40ab
U ba
1）当 b 时
C

q U

q


40a
孤立导体球的电容
2）当 b a d 0 时
C q 40ab 4πε0a2 0S
U ba
d
d
平板电容器的电容
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第一章
例 试求两线传输线之间的电容。
静电场
解 设d>>a，电轴与几何轴线重合
1

τ 2πε0
ln
d
a
a
2

τ 2πε0
ln
d
a
a
U

1
2

τ πε0
ln
d
a
a
C0

τ U
③ 根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可 作相应的镜像。
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第一章
q1
q2 q3

静电场
q2 q1
q3
-q1
-q3
-q2

-
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第一章
静电场
例 试求空气中点电荷q 在地面引起的感应电荷分布。
解 应用镜像法，地面任意点
E E E
垂直地面的电场分量
q cos E 2 40r 2
① 球面上产生负感应电荷 ② 电场为两维子午平面场
边值问题
导体球外（除q点）空间：
2 0 r 球面 0
S D dS q
球S D dS q
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第一章
应用镜像法求解
静电场
① 确定镜像电荷的位置
镜像电荷放在求解的 场域外。
② 确定镜像电荷大小 球面电位
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第一章
静电场
点电荷位于不接地导体 球附近的场图
讨论
2.点电荷q 对带有电荷
Q的金属球的镜像。
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第一章
思路 边值问题
导体球外（除q点）空间：
静电场
2 0 S const

SD dS Q
+Q
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第一章
静电场
讨论 3.点电荷q 对带有电压U0的金属球的镜像。
例 试求长圆柱形电容器的电容。
b
解 设内导体的电荷密度为 ，则
U

b
a
E

d

b
a
τ 2πε
dρ

q 2πεl
ln
b a
a
C q 2πεl U0 ln b a
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第一章
例 试求同心球壳电容器的电容。
解 设内导体的电荷为 q ，则
静电场
SD dS q
q
q
D 4r 2 er , E 40r 2 er
电轴法用以解决一系列平行圆柱的电场
注意有效区域及电位的参考点
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第一章
静电场
例 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
解 h12 a12 b2 h22 a22 b2
h2 h1 d
p

20
ln
2 1
C
h1

d
2

a2 1
2d

a2 2
用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电 荷，使计算场域为无限大均匀媒质；
③ 镜像法的关键是：
确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值 问题不变；
④ 应用镜像法解题时注意：
镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。
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第一章
2. 点电荷对球面导体的镜像
静电场
点电荷位于接地导体球外 场分布特点：
K2 1
a2 b2 h2
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第一章
静电场
例 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。
解 a) 计算电轴位置
b h2 a2
b) 圆柱导线间的电场与电位
1
1
EP

20
(
1
e1

2
e2 )

p

20
ln
2 1
( 以 y 轴为参考电位)
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方程相同，边界条件相同，解唯一。
静电场
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第一章
上半场域的电位和电场
注意
p

q 4πε0r1

q 4πε0r2
Ep

q 4πε0r12
er1

q 4πε0r22
er 2
静电场
r1
p
r2
① -q 是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板
上复杂分布的感应电荷的作用；
② 镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；