杭州二中2014学年第一学期高二年级开学考数学模拟试卷

2014-2015学年杭州二中高二（上）开学考数学模拟试卷（理科）
注意事项：
(1) 试卷共有三大题21小题，满分100分，考试时间100分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.
参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh
球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =
3
4πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =
3
1
h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =
3
1Sh h 表示台体的高
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )
一、选择题（40分） 1．（4分）直线
的倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．（4分）已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题一定成立的是（ ）
A ． a 2＜b 2
B ．
C ． a 3b 2＜a 2b 3
D ． ac 2＜bc 2
3．（4分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的形状一定是（ ）
4．（4分）已知x ∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（4分）设a ＞0，b ＞0，若是3a
和3b
的等比中项，则的最小值为（ ）
A ．6
B ．
C ． 8
D ．9
7．（4分）设函数，则方程f （x ）=x 2
+1的实数解的个数为（ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．4
8．（4分）已知，是单位向量，，若向量满足
，则
的取值范围为（ ） ．
C
D ．
9．（4分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n •S n+1＜0的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ． 11 C ． 12 D ．13
10．（4分）已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值
为（）
A．2 B．C．D．4
二、填空题（21分
11．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n（n∈N*），则a2=_________．
12．（3分）函数的最小值为_________．
13．（3分）直线（m﹣1）x+3y+m=0与直线x+（m+1）y+2=0平行，则实数m=_________．
14．（3分）直线l：mx﹣y+2﹣m=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是_________．
15．（3分）设α是锐角，且，则cosα=_________．
16．（3分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则= _________．
17．（3分）等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a9a10﹣1＞0，a9a10﹣a9﹣a10+1＜0．给出下列结论：
①0＜q＜1；
②T10的值是T n中最大的；
③使T n＞1成立的最大自然数n等于18．
其中正确结论的序号是_________．
三、解答题（39分，（9+9+9+12）
18．（9分）已知函数f（x）=x2+ax+a+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=5时，解不等式：f（x）＜0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
19．（9分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2+ab=c2．
（Ⅰ）求角C的度数；
（Ⅱ）若a+b=10，求△ABC周长的最小值．
20．（9分）过点O（0，0）的圆C与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值．
21．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c n}的通项公式为c n=2n，求数列{a n•c n}的前n项和S n；
（Ⅲ）若数列{b n}满足，且b2=4．证明：数列{b n}是等差数列，并求出其通项公式．
2014-2015学年浙江省杭州市第二中学高二（上）开学考数学模拟试卷答案
一、选择题（40分）
．C D．
C
3．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状一定是（）
=利用正弦定理化简得：=，即
4．（4分）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（）
．C D．
cosx=，
，所以
=﹣
，结合可求
=64
6．（4分）设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（）
C
乘以替换后利用基本不等式可求
是
7．（4分）设函数，则方程f（x）=x2+1的实数解的个数为（）
8．（4分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）．C D．
，，作出图象，根据图象可求出
，，
，
共线时达到最值，最大值为
[，
=6
，∴
∴=6
10．（4分）已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为
C D
的可行域如下图示：
二、填空题（21分）
11．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n（n∈N*），则a2=2．
12．（3分）函数的最小值为1．
解：∵≤，
∴
当时，
13．（3分）直线（m﹣1）x+3y+m=0与直线x+（m+1）y+2=0平行，则实数m=﹣2．
14．（3分）直线l：mx﹣y+2﹣m=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是相交．
）为圆心，半径等于
15．（3分）设α是锐角，且，则cosα=．
+）﹣，利用
（=
+==
）﹣]×+×=
故答案为：
16．（3分）（2014•南昌模拟）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=4．
由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为
（，（）
=，）或（，，=
+=
=，
，）
17．（3分）等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a9a10﹣1＞0，a9a10﹣a9﹣a10+1＜0．给出下列结论：
①0＜q＜1；
②T10的值是T n中最大的；
③使T n＞1成立的最大自然数n等于18．
其中正确结论的序号是①③．
三、解答题（39分，（9+9+9+12）
18．（9分）已知函数f（x）=x2+ax+a+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=5时，解不等式：f（x）＜0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
2
19．（9分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2+ab=c2．
（Ⅰ）求角C的度数；
（Ⅱ）若a+b=10，求△ABC周长的最小值．
cosC=﹣
﹣（
．
20．（9分）过点O（0，0）的圆C与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值．垂直的直线
，半径为
的最小值是．
21．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c n}的通项公式为c n=2n，求数列{a n•c n}的前n项和S n；
（Ⅲ）若数列{b n}满足，且b2=4．证明：数列{b n}是等差数列，并求出其通项公式．
为公比的等比数列．∴
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（
）∵，∴
∴
）∵，∴，
，∴。