1.2函数的极限3—两个重要极限
医学高等数学课件 三两个重要的极限
0
（2）公式中的“x ”可以是趋向于零的代数式。
（3）注意三角函数有关公式的应用。
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一、 两个重要极限
1
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极限 lim(1 1)x e 的直观解释
x
x
通过数值计算的方法来理解.
复习回顾
1. 极限运算法则
(1) 极限四则运算法则
注意使用条件
(2) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
xx0
ul
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第一章
第二节 两个重要极限
lim sin x 1. x0 x
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一、 两个重要极限
lim sin x 1. x0 x
0 0
1
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极限 lim sin x 1 的直观理解 x0 x
(1)方法:(图像观察法)
lim
x0
sin 3x 3x
3 cos 3x
3 lim sin 3x lim 3 x0 3x x0 cos 3x
例3. 求
解:
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
大一高数两个重要极限知识点
大一高数两个重要极限知识点大一的学生在学习高数时，会接触到很多重要的知识点，其中有两个极限知识点尤为重要。
极限是数学中一个非常基础且重要的概念，它在高数的学习中发挥着重要的作用。
本文将重点介绍大一学生在高数学习中应重点掌握的两个极限知识点。
一、函数的极限和极限存在条件在学习函数极限时，我们首先需要明确什么是极限。
简单来说，函数f(x)在点x=a处的极限是指当x趋于a时，函数f(x)的取值趋于一个确定的有限值L。
数学中常用的表示方法是：lim(x→a) f(x) = L但是，在讨论函数极限时需要注意函数的定义域，并非所有函数都存在极限。
一个函数在某一点的极限存在的条件是，无论从函数的左边还是右边逼近这一点，函数的值都趋近于同一个值。
例如，对于函数f(x) = x/(x-1)，当x趋近于1时，从左边和右边逼近，函数的值分别是1和-1/2，因此函数在这一点不具备极限。
在求解极限时，我们可以利用一些基本的极限公式，如常数定理、分式定理、指数幂函数定理等。
同时，我们还可以利用夹逼定理、唯一性定理等重要定理来判断函数极限的存在与计算具体的值。
二、无穷大与无穷小在学习极限时，我们还需要了解无穷大和无穷小的概念。
无穷大是指当自变量趋于某个值时，函数的取值无限增加或无限减小。
无穷小则相反，是指当自变量趋于某个值时，函数的取值无限接近于0。
在高数中，我们用符号±∞来表示无穷大。
例如，当x趋于∞时，函数f(x) = x²的取值趋于无穷大，我们可以表示为：lim(x→∞) f(x) = +∞同样，我们用符号±0来表示无穷小。
当x趋于0时，函数f(x)= sinx / x的取值趋于0，可以表示为：lim(x→0) f(x) = 0无穷大和无穷小往往与极限的求解密切相关。
在求解一些复杂的极限问题时，我们需要用到无穷大和无穷小的性质，以及与之相关的一些重要极限公式，如洛必达法则等。
需要特别注意的是，无穷大和无穷小并不是绝对存在的，它们的存在与具体问题密切相关。
极限运算法则两个重要极限
极限运算法则两个重要极限1.极限四则运算法则：极限四则运算法则是指对任意两个函数的极限进行加、减、乘、除运算时的运算规则。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：a) 两个函数的和的极限：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 + L2b) 两个函数的差的极限：lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L1 - L2c) 两个函数的乘积的极限：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L1 * L2d) 两个函数的商的极限：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L1 / L2 (当L2≠0时)这些极限四则运算法则可以帮助我们简化极限运算，并且可以通过已知函数的极限值来确定复合函数的极限。
2.极限复合运算法则：极限复合运算法则是指对复合函数的极限进行计算的运算规则。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，记作f(g(x))或g(f(x))。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：lim(x→a) [f(g(x))] = L1 (若L2 = a)lim(x→a) [g(f(x))] = L2 (若L1 = a)这意味着通过已知函数的极限值，我们可以确定复合函数在特定点的极限值。
以上是对极限四则运算法则和极限复合运算法则的详细解释。
这两个极限运算法则在微积分中具有重要的应用，能够帮助我们确定函数在特定点处的极限值，进而推导出更复杂的极限运算。
理解和掌握这两个极限运算法则对于解决微积分中的问题和应用具有重要意义。
两个重要极限
两个重要极限、无穷小量的比较一、教学内容两个重要极限、无穷小量的比较； 二、教学目的1．掌握用两个重要极限求极限的方法 2．掌握利用等价无穷小求极限的方法； 三、教学重点 1．两个重要极限 四、教学难点 1．两个重要极限§4 两个重要极限一 夹逼定理定理1 如果函数)(x f ，)(x g 及)(x h 满足下列条件：（1）δ<-0x x （且 0x x ≠ ），（或 M x >）时，有)()()(x h x f x g ≤≤成立。
（2）A x h A x g x x x x x x ==∞→∞→→→)(lim ,)(lim )(0)(0，那么，)(lim )(0x f x x x ∞→→ 存在，且等于 A 。
2、两个重要极限 （1）limsin x xx→=01证明：记 f x x x()sin = ， 由于 f x f x ()()-=， 我们不妨只究 1sin lim 00=+→xxx 这一情形加以证明，如下图所示：从几何图形上可清楚地看出：弦弧弦CD x BC x AB x =<=<=sin tan 于是有两边夹的不等式cos sin x x x<<1而 lim cos x x →=01 事实上， 当 x →+00，有：11122122121222←>=-⋅≥-⋅=-→cos (sin )()x x x x 据两边夹准则， 我们有： lim sin x x x→+=001而 f x x x()sin = 是偶函数， 故 lim sin x x x→-=001由函数的左右极限的性质知， lim sin x x x→=01单调有界准则 单调有界数列必有极限。
（2）lim()n nne →∞+=11 极限还可推广到更一般的情形：e xxx =+∞→)11(lim 原极限可变成一种新的形式 e z zz =+→1)1(lim例 求 xx x x 2)1222(lim ++∞→解：12111222++=++x x x ，令 121+=x z ，而0→⇔∞→z x ，且)11(21-⋅=z x例 求极限 xxx )11(lim 2-∞→ 解：令tx =-，x t →∞⇔→∞e ttt t t tx x t t t x 1)11(lim 1)11(1lim )11(lim )11(lim =+=+=-+=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x )11(lim )11(lim )11()11(lim -⋅+=-+=∞→∞→∞→原式11=⋅=ee四、无穷小与无穷大 1、无穷小 无穷小的定义：0>∀ε，0>∃δ（或0>X ），当δ<-<00x x (或X x >)时，有 ε<)(x f 成立，则称函数)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，记作)0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或定理 在自变量的同一变化过程 x x →0(或 x →∞ )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
极限存在准则 两个重要极限
P40,练习2.5
P40,练习2.5
2 （ 9）
x
lim (tan x )tan2 x
4
2tan x
2
(1 (tan x 1))1tan 解 原式 lim
x 4
x
lim
x 4
[1 (tan x 1)]
1 tan x 1
2 tan x (tan x 1) 1 tan 2 x
n n
a 2 a
a2 a 2 0
a2 2 a
a2
备用题
1.设 xn1
1 a ( xn ) ( n 1 , 2 , 2 xn
) , 且 x1 0,
a 0 , 求 lim xn .
n
利用极限存在准则
a xn xn
解： xn1
1 a ( xn ) 2 xn
例2. 证明
证: 利用两边夹法则 . 由
1 1 n 2 2 n π n 2π
2 n 1 2 2 n nπ n π
且 g (n)
h(n )
2
1 n lim 2 lim n n π n 1 π 2
n
1
1 1 1 lim n n2 π n2 2 π n2 n π 1 n
2 2sin 2sin lim 解: 原式 = lim 2 x0 x 0 4x x 2 4 x sin 1 2 1 2 lim 1 2 x0 x 2 2
2 x 2 2
x 2
cos 2 1 2sin2
2sin2 1 cos 2
极限存在准则两个重要极限公式
1. 夹逼准则(两边夹法则;三明治法则)
准则I (1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
x2
x 2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
x 2
2
1 2
lim
x0
sin x
x 2
2
2
1 12 2
1 2
2020/6/15
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2. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
2
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： 因为 n < 1 + L + 1 < n
n2 + n
n2 + 1
n2 + n
n2
又 lim n
n lim n2 n n
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
准则I I′ 设函数f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调
并且有界，则
2020/6/15
f (x)
极限存在准则两个重要极限公式
令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
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例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
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(20ppt,scau,L.G.YUAN)
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三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x
对两个重要极限的新认识
Science &Technology Vision 科技视界在“高等数学”或是“数学分析”课程的开头讲“极限”时,都会讲到下面两个重要极限lim x →0sin x x=1或lim x →∞1+1x ()x=e .它们之所以重要是因为推导正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到,而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发,经过有限次的四则运算、复合得到。
再由于积分是微分的逆运算,可以得到微积分学计算的基础,其重要性就不难理解了。
1两个重要极限的新证明1.1第一个重要极限:lim x →0sin x x=1证法1利用几何图形,作一单位圆(如图所示):设∠BOC =x (弧度),对于AB 轴作半径OC ,∠BOD =x ,连接CD ,则BC⌢=x ,CD ⌢=2x ,CD =2sin x 所以sin x x =CD CD ⌢,当x →0时,CD →CD⌢,从而lim x →0sin x x =lim x →0CD CD⌢=1,即lim x →0sin x x=1证法2利用拉格朗日中值定理,选取函数f (x )=sin x ,则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,且f′(x )=cos x ,因而在(0,x )内至少存在一点ξ使得sin x-sin0x-0=cos ξ,即sin x x=cos ξ(0<ξ<x )从而有lim x →0sin x x =lim ξ→0cos ξ=1,即lim x →0sin x x=11.2第二个重要极限:lim x →∞1+1x()x=e证明lim x →∞1+1x()x=e 的关键是通过证明lim n →∞1+1n ()n=e 来实现,而证明lim n →∞1+1n ()n=e 的关键是证明1+1n()n{}是递增有界数列,故先引入下面引理。
引理:设数列a n =1+1n()n,则1+1n()n {}是一个递增有界数列。
两个重要极限、极限存在准则
高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第十讲函数极限存在准则、两个重要极限第三章函数的极限与连续性本章学习要求：▪了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X ”语言描述函数的极限。
▪理解极限与左右极限的关系。
熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
▪理解无穷小量的定义。
理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。
了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
▪理解极限存在准则。
能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
▪理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。
了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
▪理解幂级数的基本概念。
掌握幂级数的收敛判别法。
第四、五节极限存在准则、两个重要极限第三章函数的极限与连续性二.夹逼定理一.单调收敛准则三.两个重要极限五.柯西准则四. 函数极限与数列极限的关系请点击一.单调收敛准则. )(sup )(lim:,)( , x f x f x f =的极限存在则在该极限过程中函数单调增加且有上界函数设在某极限过程中. )(inf )(lim:,)( , x f x f x f =的极限存在则在该极限过程中函数单调减少且有下界函数设在某极限过程中一般说成:在某极限过程中,单调有界的函数必有极限.δ-0x δ+0x 0x ε+=a y ε-=a y ay =)(x h y =)(x f y =)(x g y =xy O 看懂后, 用精确地语言描述它.二.夹逼定理函数极限的夹逼定理有时设 , ) || ( ),(Uˆ 0X x x x >∈δ.)()()(x h x f x g ≤≤则必有若 , )(lim )(lim )()(00a x h x g x x x x x x ==∞→→∞→→. )(lim )(0a x f x x x =∞→→定理. 0的情形只证x x →且设 , ),U( )()()( 10δx x x h x f x g ∈≤≤ , 0 , )(lim )(lim 00>∀==→→ε则a x h x g x x x x. |)(| , || 0 ,0202εδδ<-<-<>∃a x h x x 时当. |)(| , || 0 ,0303εδδ<-<-<>∃a x g x x 时当 .)( εε+<<-a x h a 即 .)( εε+<<-a x g a 即, || 0 },,,min{ 0321时则当取δδδδδ<-<=x x , )()()(εε+<≤≤<-a x h x f x g a . )(lim 0a x f x x =→即证. 2 lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求,有由取整函数的定义 ,2212xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-;222 , 0 ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<->x x x x 时故当.22lim , ,2)2(lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-→→x x x x x 所以而夹逼定理例3解2 22, x x x ⎡⎤->≥⎢⎥⎣⎦当<0x 时，三.重要极限 1sin lim .10=→xx x 重要极限 11lim .2e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→重要极限请点击首先看看在计算机上进行的数值计算结果： 1sin lim .1=→xx x 0重要极限xx xsin→1→0.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.9999998333333416367097 0.00010.9999999983333334174773 0.000010.9999999999833332209320 0.0000010.9999999999998333555240 0.0000001 1.0000000000000000000000 0.000000011π2-π2ππ-xx y sin =xyO1. sin 的图形然后看xxy =运用夹逼定理, 关键在于建立不等式.x O1DBA xy, 作一单位圆20 π<<x 先令从图中可看出:, x AOB =∠设面积面积扇形面积DOB AOB AOB ∆<<∆xsin xtan 证. )2(0 tan 2121sin 21 π<<<<x x x x 即x x x cos 1sin 1<<由sin x 与cos x 的奇偶性可知：, 2||0 时当π<<x . 1sin cos 成立<<x xx 1sin lim 0=→xxx 得及夹逼定理由 , 11lim , 1cos lim 0==→→x x x , 20 时故当π<<x, 1sin cos <<xxx 即有一般地其中,a ≠0 为常数.)() (sin lim)(a xxax=→ϕϕϕ.)()(的极限为零表示在某极限过程中xxϕϕ→=→xx x 5sin lim 0xx x 5sin lim 0→求x x x 55sin 5lim0→)5( . 5sin lim 50x u uu u ===→: )0( )()(sin lim 0)(≠=→a a x x a x ϕϕϕ可直接用公式 . 55sin lim 0=→xx x 例2解=→xx x tan lim 01cos 1lim sin lim 00==→→xx x x x xxx tan lim 0→求x x x x cos 1sin lim 0→例3解x →a 时,ϕ(x ) = x -a →0 ,. 3)(3sin lim =--→ax a x a x ax a x a x --→)(3sin lim 求故例4解20cos 1lim xxx -→求2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x =-→20cos 1lim x x x 22022sin 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x 2202sin 2lim xxx →例5解, π-=x t 令=-→ππx xx sin lim ππ-→x xx sin lim求故1sin lim 0-=-=→tt t , 时则π→x 0→t tt t )sin(lim0π+→例6解⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 1sin sin 1lim 0(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x xx 1sin sin 1lim 求(1)请自己动手做一下例4(1)=→x x x sin 1lim 0 01sin lim 0=→xx x )11sin (是有界量≤x⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴→x x x x x 1sin sin 1lim 01sin lim 0=→xxx 11sin lim sin 1lim 00=+=→→xx x x x x 解=∞→x x x 1sin lim 0sin 1lim =∞→x xx )1 |sin | (是有界量≤x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴∞→x x x x x 1sin sin 1lim (2)111sinlim =∞→xx x 11sin lim sin 1lim =+=∞→∞→xx x x x x 解由三角函数公式33232sin 2cos 2cos 2cos 2x x x x === nn xx x 2cos 2cos 2cos lim 2 ∞→求2222sin 2cos 2cos 2x x x =2cos 2sin 2x x =x sin nn nx x x x 2sin 2cos 2cos 2cos 22 故原式x x x x n n n sin 2sin 2lim ∞→=nn nx x 2sin 2sin lim ∞→=x x sin =例8解2.重要极限ex xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 特别重要啊！ex xx =+→1)1(lim变量代换xy 1=下面先证明ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ex xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ex xx =+→1)1(lim由它能得到e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11 lim 吗？如果可行, 则可以利用极限运算性质ax f x f a x f x x x ==⇐⇒=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim 得到所需的结论吗？进一步可得e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11 lim 吗？在讨论数列极限时, 有 .11lim e n nn=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→第一步：证明因为x →+∞, 故不妨设x > 0.ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11 lim1111111 nx n +≤+<++1111111111111 +⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xxxnn n x n n 由实数知识, 总可取n ∈Z +, 使n ≤x < n +1,故111lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→111lim , 111111lim 1e n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∞→, 1111lim e n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→.11lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→故由夹逼定理得时而 , , +∞→+∞→x nex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11 lim 我们作变量代换,将它归为x →+∞的情形即可.想想, 作一个什么样的代换？., , +∞→-∞→-=t x t x 时则令第二步：证明, t x -=令=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 11tt ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111 , 1 -=t u 再令xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim ,, +∞→-∞→t x 时则且时则 , , +∞→+∞→u t tt t ⎪⎭⎫⎝⎛-1tt t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-1111111t t t e u u uu =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→1111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛--tt 11ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11 lim 由e x x xx x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+→∞-→11lim 11lim⇐⇒e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11 lim 第三步：证明现在证明()ex xx =+→101 lim. 的情形转化为∞→xex xx =+→10)1(lim 11 lim e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→令,1t x =t →∞,则x →0时,,11lim )(1 lim 10e t x tt xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→→故ex xx =+→10)1( lim 于是有证综上所述, 得到以下公式e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11 lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11 lim ex xx =+→10)1( lim)(1 lim )()(kx x e x k =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ϕϕϕ))(1( lim )(10)(kx x e x k =+→ϕϕϕ一般地其中, k≠ 0 为常数..)( 0)(的极限为零表示在某极限过程中x x ϕϕ→.)( )(∞∞→的极限为表示在某极限过程中x x ϕϕx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→31 lim xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→31 lim 求33311 lim ⋅∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xx x 333311lim e x xx =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→例9解xx x 2cot 2)tan 31(lim +→3tan 3322)tan 31(lim ex xx =+=→xx x 2cot 2)tan 31(lim +→求解例10xx x21lim 0-→210)21( lim -→=-=ex xx ( 即k = -2 的情形)x x x21lim 0-→求解例11xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11 lim ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+∞→)1(121ln 1exp lim x x x x x 2)1(121ln lim 1lim exp -+∞→∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=e x x x x x x 1)1(121 lim +⋅+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x xx x x ( 1∞)xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11 lim 求xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→121 lim 解例12x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11 lim x xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1111lim x x xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→11lim 11 lim21--==e e e 解此题的另一解法：1cos 0 →→x x ，时 2211)]1(cos 1[ )(cos x x x x -+=∴21cos 1cos 1)]1(cos 1[x x x x -⋅--+=21)(cos lim x x x →求)1 ( ∞, 211cos lim ,)]1(cos 1[ lim 201cos 10-=-=-+→-→x x e x x x x 又211)(cos lim 2-→=e x x x 故常用的方法解例13.1cos 1sin lim xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→求)1 (∞xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1cos 1sin lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→22sin 1lim 221cos 1sin lim x x x x ⋅∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=首先平方解例14).0( ln ln lim >--+→a ax ax a x 求你想怎么做?,0 , , 于是时则令++→→+=y a x y a x 1ln 1lim )(ln )ln(lim ln ln lim 00⎪⎭⎫⎝⎛+=-+-+=--+++→→→a y y a y a a y a a x a x y y a x.1ln 1ln lim 110a e a y ayy ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→解例15. , , ,3lim 10为正常数其中求极限c b a cb a xxx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→. 1 型的极限这是∞,3)1()1()1( 13-+-+-+=++xxxxxxc b a c b a,3)1()1()1( )( 则令-+-+-=xx x c b a x ϕxx x x xxx x x x c b a )()(1010))(1(lim 3lim ϕϕϕ⋅→→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++.3)ln ln (ln 31abc ec b a ==++解例16ax f n n =∞→)(lim D ( f )为函数f ( x ) 的定义域.其中, 极限值a 可为有限数或为∞；四. 函数极限与数列极限的关系定理⇐⇒=→ )(lim 0a x f x x ),( )( },{ 0x x f D x x n n n ≠∈对任意的数列, )( 0都有时当∞→→n x x n该定理说明：的则对于任何一个趋向于如果 ,)(lim .100x a x f x x =→)),( ,( }{ 0都有数列f D x x x x n n n ∈≠),( }{ .200x x x x n n ≠的数列如果对每一个收敛于则有且所有极限相等存在极限 , , )(lim n n x f +∞→.)(lim 0a x f x x =→.)(lim a x f n n =+∞→证必要性： ,)(lim 0a x f xx =→设. |)(|ε<-a x f, || 0 ,0 0, 0有时当则δδε<-<>∃>∀x x,lim , ),( :}{ 00x x x x f D x x n n n n n =≠∈∀+∞→且, ,0 ,0 有时当则对于上面的N n N >>∃>δ , ||0δ<-x x n从而有.|)(|ε<-a x f n 即有. )(lim 0a x f n x x =→. |)(| , || 0 , ,0 , 000εδδεε≥-'<-'<'>a x f x x x 但满足总存在则对于任意的的值取定一个下面怎么做？,lim ),( )( :}{ 00x x x x f D x x n n n n n =≠∈∀+∞→且假设 .)(lim a x f n n =+∞→有.)(lim 0a x f x x ≠→如果,lim ),( )( :}{ 00x x x x f D x x n n n n n =≠∈∀+∞→且假设 .)(lim a x f n n =+∞→有.)(lim 0a x f x x ≠→如果),( 1 , 0+∈=Z n nn δεε并取的值任意取定一个 ),( , 1满足存在一个则对每一个f D x nnn ∈'=δ , || 00n nx x δ<-'< . |)(| 0ε≥-'a x f n且有 , ),( :}{ 0x x f D x x n n n≠'∈''于是得到一个数列. ,性成立该矛盾说明定理的充分这与假设矛盾. |)(| ,lim 00ε≥-'='+∞→a x f x x n nn 且。
两个重要极限在函数极限中的应用
2015届本科毕业论文(设计）题目：两个重要极限在函数极限中的应用学院：数学科学学院专业班级：数学11-1班学生姓名：图尔荪托合提·图尔荪尼亚孜指导老师：马哈提答辩日期：2015年5月7日新疆师范大学教务处目 录引言............................................................... 1 1.两个重要极限在一元函数极限中的应用. (2)1.1 重要极限1sin lim0=→xxx 在三角函数和反三角函数极限中的应用 (2)1.2 重要极限e xx x =+∞→)11(lim 在幂函数和对数函数极限中的应用 (3)2.两个重要极限在二元函数极限中的应用 (4)2.1 重要极限1sin lim0=→xxx 在二元函数极限中的应用................... 4 2.2 重要极限e x x x =+→)11(lim 0在二元极限中的应用 (6)3.总结............................................................. 7 参考文献：......................................................... 8 致谢 (9)两个重要极限函数极限中的应用摘要：在接触两个重要极限之前，解决一部分函数极限问题是非常的困难，需要大量而且复杂的数学运算。
本论文通过探讨两个重要极限函数极限中的应用，揭示两个重要极限在函数极限中重要的桥梁纽带作用。
同时强调，要想更好的掌握两个重要极限的有关知识和技巧，不仅要会用教科书里面的公式，而要求理解并能熟练地运用两个重要极限公式的变形。
关键词：重要极限；重要性；应用；未定式；等价无穷小量引 言在教科书里面所描述的两个重要极限指的是1sin lim0=→x x x 和e xx x =+∞→)11(lim 。
这两个极限在求解极限问题中占有重要地位。
4两个重要极限第一次课
一. 两个重要极限 二. 无穷小量替换
ESC
一.第一个重要 极限
sin x 1. 基本式： lim x 0 x
变形式：(1) lim
sin
0
1
注: 代表相同的表达式， 关键是 代表无穷小
(1)方法:(图像观察法) 作函数 y sin x，y x 图像(右图).
．
ESC
一 . 极限的四则运算法则 二 .第一个重要 极限举例
例2
sin kx 求 lim x 0 x
( k 0) ．
解 即令 t kx ．则当 x 0 时， kx 0 ．于是 sin kx sin kx sin t lim k k lim lim t 0 x 0 x 0 t x kx k 1 k ． (1.4.5)
是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
2）若 lim c（c为非零常数），则称 与
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中
（1）若
（2）若
, ,则 。
2 lim (1 ) u u
u 1 1 2
lim
u
u 1 (1 2)2 2
u
，
ESC
.第二个重要 极限 一.二 极限的四则运算法则
1 因为 a 2 ， b ，所以 2 1 2 2 x 3 x1 ) e 2 e． lim ( x 2 x 1 1 3 (2x 3)x1 lim( 2x )x1 （以下学生自行解决） 解法二 lim x 2 x 1 x 1 1 2x
06第5讲两个重要极限、极限存在准则
x0 x
x0 5x
5lim siun 5. (u5x) u 0 u
或直接 l(x) i0 m s用 ia ( x n )(x)公 a(a式 0 ):
limsin5x5. x0 x
例4
求 limsin3(xa) xa xa
解 x a 时, (x) = x a 0 ,
故 lim si3n(xa)3.
2 22
2
故当 0x时 , 1 x 1
2
sinx cosx
即有 cox ssixn1, x
由sin x 与cos x 的奇偶性可知：
当0|x|时 , coxssixn1成.立
2
x
由 lic m o xs 1, li1 m 1及夹,得 逼
x 0
x 0
lim sin x 1 x0 x
一般地
limsink(x)k (x)0 (x)
想想, 作一个什么样的代换？
令 x t ,则 x 时 ,t .
令 x t, 则 x 时 , t ,
1
1
x
x
1
1 t
t
t
t
t 1
t
1
1
t
t 1
1
t
1
t
1
1
1
t1
1
1
t1 t1
再令 ut1,则 t 时 , u ,且
lim 1 x
e3
例8 解
求 lim x 1 x
x x 1
( 1 )
lim
x
x x
1x
1
lim1 x
2
x
x 1
lim1
2
(x1) x
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
极限存在准则与两个重要极限
22
(1 )型
1 n lim(1 ) e (e 2.718281828459045 ) 我们已经证明： n n
利用这个结论我们可以分别证明：
1 x 1 x lim (1 ) e lim (1 ) e 和 x - x x x
证明方法：迫敛准则 （P54）
lim(1 x ) e
例11 解
ln( 1 x) 求 lim x 0 x
x 0
0 ( ) 0
1 x
原 式 limln( 1 x)
ln e 1
15
ex 1 例12 求 lim x 0 x
解 令 t e 1,
x
x 0时， t 0
t 原式 lim t 0 ln( 1 t)
例13
1 2
8
cos x cos 3 x 例4 求极限 l im 2 x 0 x cos x cos 3 x 解 l im 2 x 0 x
2 si n ( 2 x ) si n x lim x 0 x2
4
0 ( )型 0
9
si n x 例5 求极限 l i m x tan x
作单位圆的切线 ，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
于是有sin x BD,
因为
x 弧 AB,
tan x AC ,
4
SAOB S扇形AOB SAOC
1 1 1 所 以 sin x x tan x 2 2 2
即
sin x x tan x ,
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时, 2 2 2 x 2 x 2 x , 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2( ) 2 2 2 2 x lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 2 x 0
2(4)极限的性质与两个重要极限
证明 数列 x n = ( 1) n+1 是发散的 . 例3
反证法
则有唯一极限a 存在. 则有唯一极限 存在. 证 假设数列 { xn }收敛, 收敛, 1 1 取ε = , 则N > 0, 当n > N时, 有 xn a < 成立, 2 2 1 1 即当n > N时, xn ∈ (a , a + ), 区间长度为 区间长度为1. 2 2 而xn无休止地反复取 1, 1 两个数 , 不可能同时位于长度为 的区间内 不可能同时位于长度为1的区间内 长度为 的区间内.
0 0
x0
的某去心邻域,在该邻域内恒有
f ( x) ≤ g ( x),
则
x → x0
( 或f ( x ) ≥ g ( x ) ) ,
x → x0
lim lim lim f ( x) ≤ lim g ( x). 或 x → x f ( x) ≥ x → x g ( x) .
0 0
(
)
10
定理4 (极限不等式或保序性) 定理4'(极限不等式或保序性) 给定数列 { xn } , { yn } , 若从某项起有 xn ≤ yn , 且 lim xn = a, lim yn = b, n →∞ n →∞ 则 a≤b 用反证法可证. 用反证法可证 问:
记 M = max{| x1 |,| x2 |, L , | x N |, a 1, a + 1 },
则对一切自然数 n,皆有 xn ≤ M , 故{x n }有界 .
注 有界性是数列收敛的必要条件 不是充分条件 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. 推论 无界数列必定发散. 无界数列必定发散.
o
4
定理2 (收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 定理2'(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 的数列必定有界 证 设 lim x n = a ,
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sin x lim 1 一．x 0 x
两个重要极限
y
1
0 “ ”未定式 0
0
x
x
sin x x
1
0.5 0.95885
0.05 0.99958
0.01
0.001
0.84147
0.99998 0.9999998
sin x lim 1 于是得到第一个重要极限：x 0 x
显然 lim
1 u x
e
解: （1） lim
sin 5 x sin 5 x lim 5 1 5 5 x 0 x 0 x 5x sin 3( x 2) sin(3 x 6) sin 3( x 2) lim 3 （2） lim lim x 2 x 2 x 2 3( x 2) x2 x2
sin u( x ) lim 1 u( x )
2.第二个重要极限
" 1 " 未定式有两种形式
1 x
1
0
推广
1 x 0 2 lim(1 x ) e lim(1 ) e x 0 x x 如果当x x0或者x 时，u x 0，那么
lim 1 u x
1 3 3
tan x sin x sin x 1 2 tan x 2 lim 2 lim 2 lim （3） lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x cos x x cos x x
2 1 1 2
sin 3 x 2 x 3 x sin 3 x 3 3 lim （4） lim 1 1 x 0 x 0 sin 2 x 3 x sin 2 x 2 x 2 2
x 1 x 0 sin x
u( x ) 0，则 推广形式为：如果 x x0 ，或 x 时，
lim sin u( x ) 1 u( x )
例1:求下列极限
sin 5 x sin(3 x 6) 2tan x （1） lim ； （2） lim ；（3） lim ； x 0 x 2 x 0 x x2 x sin 3 x x2 5 x 6 2 （4） lim ； (5)lim ； (6)lim x sin x 0 sin 2 x x 2 sin( x 2) x x
1 y (1 ) x x
2.8
2.9
e 2.75
1 x lim(1 ) e x x
在 lim(1
x
1 x 1 ) e 中，令u ，则变形为 x x
lim(1 u) e
u0
1 u
即
" 1 "
lim(1 x ) e
x 0
1 x
1 x
未定式有两种形式
1 u x
e
这里u x sin x
当x 0时，u( x) sin x 0
lim 1 sin x
x 0 1 sin x
e
小结
sin x 1 1.第一个重要极限 lim x 0 x u( x ) 0，则 推广形式为：如果 x x0 ，或 x 时，
二．第二个重要极限 lim(1
x
1 x ) e x
" 1 "
未定式
y
e
2.7
y (1
2.65
1 x ) x
2.6
2.55
x
20 40 60 80
1 lim (1 ) x e x x
y
3.05
x
-100 -80 -60 -40 -20 2.95
1 x lim (1 ) e 2.85 x x
x2 5 x 6 ( x 2)( x 3) ( x 2) (5)lim lim lim ( x 3) x 2 sin( x 2) x 2 x 2 sin( x 2) sin( x 2)
1 (1) 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2 sin sin 2 x 2 2 x lim (6)lim x sin lim x x 2 x x 1 x x
10
1 x lim(1 ) e x x
20
lim(1 x ) e
x 0
都称为第二个重要极限
第二个重要极限可以推广为以下形式:
如果当x x0或者x 时，u x 0，那么
lim 1 u x
如 lim 1 sin x
x 0 1 sin x