中值定理、洛必达、函数单调性、极值、最值,凹凸性的应用

所以，由推论 1，
推论 2:若对于
，则
.
四．洛必达法则
我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是 型，要么是
。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则— —洛必达法则，可用一招统一解决大部分的 或 的极限问题。 现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论：
定义：设函数
在区间 内有定义，如果对
，都有：
则称函数
在区间 内为下凸的.
函数凹、凸性的判定
定理：设函数
在区间 内存在二阶导数且
（或
则函数
在区间 内为下凸（或上凸）的.
例 13．确定
的上（下）凸性.
例 14．确定
的上（下）凸性.
拐点的定义：称曲线
上凸与下凸的分界点为其拐点，或变曲点.
拐点的必要条件：如果在 附近 具有连续的二阶导数且
的极值.
解一：（一）
.
（二）
.
（三）令 （四）列表判断：
。无不可导点.
（
解二：（一） （二）
1 0 极大 2 .
3
—
0
极小-2
.
（三）令
.无不可导点.
（四）
.因为，
，所以
为极大值；
又因为 七．最值
第一种情况：设
，所以 在闭区间
为极小值. 上连续，则 在
上必可取到最大
值与最小值.最值的达到只有两种情况：（1） 或 即为最值；
例 15．求曲线
上（下）凸区间及拐点.
解：（一）
；
（二）
，
；
（三）令 （四）列表判断： （
。无二阶不可导点. 0
0
—
0
拐点（0，1）
拐点（
例 16.求 :解：一）
（二）
上（下）凸区间及拐点. ；
，
；
（三）令
，无解；在
（四）列表判断：
（
2
处二阶不可导点。
—
不存在
拐点（2，0）
:利用函数的凸性也可以证明不等式
的符号一眼看不出来，下面再求
.
因为
所以
单增，则
所以，
单增，则
即
练习：（1）证明：当
时，
. ，
解：注意到，当
时，
只须等价证明
令
，则
的符号一眼看不出来，下面再求
.
因为
，
所以
单减，则
所以，
单减，则
即
（2）证明：当
时，
证明：只须等价证明：
令
因为
，
所以，
即
另证：只须等价证明：
令
，
，
所以，
单减。故
即
六．极值 函数的极、最值与函数的单调性关系极为紧密，先回顾一下几个重要结论。
（2）求抛物线
在第一象限内的一条切线，使该切线与两坐标轴所围成
的平面图形面积最小.
解：设切点为
。又
所以，切线方程为：
，即
令 ，得
令
，得
所以
又
令
得唯一驻点
又当
时，
当
时，
故
为最小值.
七．曲线的凹凸性及拐点 研究函数的最高目的是为函数“照相”，即给函数作图，这时仅仅知道其单调
性和极（最）值是不够的.还需要研究其对应曲线的凹凸性和渐进线.先回顾一下 曲线凹凸的概念及其判定方法.
因为
；且
.
所以直线 （三）因为
及直线
均为垂直渐进线. ，且
.
所以，直线
为斜渐进线.
极值的必要条件（费马定理）：设 在点 的某邻域
内有定义，且在
处可导。若
为极值，则必有：
.
注意：使
的点 可能为 的极大值点（或极小值点），也可能不是。
比如：
另外，不可导点也可能是极值点，如：
极值的第一充分条件：设 在点 处连续，在
可导。（1）若 当
时，
则
为极大值；
；而当
时
，
（2）若 当
则
为极小值；
时，
利用函数的单调性和最值还可以讨论方程的根的个数.
例 11．讨论方程
有几个实根？
解：令
则
.
令
.
当
时，
，所以 单增；当
时，
单减.因此
为在
的最大值.
又显然 在
连续，且
，所以 .
所以 至多只有两个实根.
1． 当
，即
时，直线
与 x轴只有一根；
2．当
时，即
时，有两实根；
3.当 例 12.设 在 常数）试证明：若
得到一个含中值 的等式，最后适当放大或缩小不等式即可.
例 2.证明：对
.
证明：设
，则
.在
上由拉氏定理知，
即：
.(
)
例 3.证明：对
.
例 4．证明：对
.
大家自己证明，这两个结论要记住. 三．利用中值定理证明等式成立（或方程有无根）
例 5．设 在 上连续，在 内可导，且
证明：
使
证明：（分析 寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析。
仍然单调增加.
例 1．讨论
的单调性
从例 1可见，研究函数的单调性，更多的情形下是要求所谓的单调区间：即包含
在定义域内的而且使函数在其上单调的区间； (2)从例 1可见：导数为 0的点（称为函数的驻点或稳定点）是函数可能的单增与 单减的分界点； （3）其实，导数不存在的点也可能是单调分界点. 求单调区间的步骤
在 内可导，但未必有对
.
比如：
但
严格单增.
严格单调的充分必要条件：若 在 内可导，则 在 内严格单增
（或单减）的充分必要条件是：
（1）
（或
）；
（2）在 内任何子区间上，
不恒等于 0.
上述定理告诉我们：只要
，且使
的点 都是一
些孤立的点，则 在 内严格单增。如：
.
,使
的点虽然有无数多个，但他们都是孤立点，故
（ —
利用函数的单调性也可以证明函数不等式，这也是常见考点.
例 4.证明：
(前面利用中值定理已证过)
解：令
则
，
所以，
单增。故
，即：
.
例 5.证明：当
时，
证明：令 则
所以，
单增。故
，即：
.
例 6.证明：当
时，
证明：原命题等价于 令
则
所以，
当
时，
.
例 7.证明：当 证明：令
时， 则
. ，
. 单增.故 ，即：
第二种情况：设
在闭区间 上单增（减），则
就是最小（大）
或最大（小）值.
第三种情况：如果连续函数在 上（不一定为闭区间）有且仅有一个极值点，则 在该点处必定取得相应的最值。（对于实际问题，常用此法解决，比如优化问题）。 例 10．一房地产公司有 50套公寓要出租，当月租金定为 2000元时，公寓会全 部租出去.当月租金每增加 100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公 寓每月需花费 200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入？
（二）由拉氏定理的结论：
，使
.不难算得：
或
.
注意：中值定理中结论只保证中间值
的存在性，至于 是否唯一，不唯
一时有几个，如何求 ？定理本身并未指出.
二．利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式） 利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般方法是；先根据所要证明的不等式的 特点作一辅助函数，并恰当选择相应的闭区间；然后利用拉格朗日中值定理，
时，即 上连续，且当
，则方程
时，无实根.
时， 单增，且有
为
在
上有且仅有一个实根.
证明：对函数 在
用拉氏定理：
又因为
，所以，由根值定理：
至少存在一点
，使
又因为 单增，故只有一个实根.
练习：（1）设 为大于 1的正数，且
；
。证明：当
时，
证明：令
，令
得唯一驻点
又
故 为极小值，从而也为最小值.
故对于任何
，有
在
处的连续性.
解：
；
令
，则
.
所以， 因为， 例 15．求：
. ，所以， 在 处连续.
.
例 16．
ห้องสมุดไป่ตู้
.
例 17．求
五．单调性 单调的充要条件：
若函数 在 内可导，则 在 内递增（或递减的）的充要条件是：
0（或
），
.
注意：（1）这里的 可以是无限区间，如
；
（2）其实，当把 改为有限的闭区间 时，结论也成立.即：
第一步，求函数 的定义域 D； 第二步，求
；
第三步，令
，求 的所有驻点及所有不可导点（其中不在定义域内
的要舍去）； 第四步，列表判断.
例 2.讨论
的单调性.
解：（一）
（二） （三）令
（四）列表判断： （
—
。无不可导点.
例 3.讨论 解：（一）
（二）
的单调性. ；
；
（三） （四）列表判断：
，在
处不可导；
若函数 在 内可导，则 在 内递增（或递减的）的充
要条件是：
0（或
），
；
当将 改为有限的半开半闭区间时，也有类似的结论.
（3）有时我们关心的是 严格单调的充分条 若 在 内可导，且对 内严格单增（或单减）. 上述定理 2的逆不成立，即：若