二次量子化习题

高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。

3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。

试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。

6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。

7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。

8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。

† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。

2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。

4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。

5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。

6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j mj m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、 已知在3ˆs表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ1 s ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆ2i i s ，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。

试证明：∑>>=>jmm j m j m j jm C m j m j |||3322112211 9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为nlj E ，试证明：无论这两个粒子是玻色子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J 必为偶数。

† D 函数1、 设坐标系xyz O -绕空间任意轴n转n d θ角，到达'''z y x O -。

在该转动下角动量算符J的本征函数)(τψjm 变为)()'(τψτψθjm J n d i jm n e⋅-=。

试证)'(τψjm 是2J 和'ˆz J 的共同本征函数，这里'ˆz J 为J在'z 轴上的投影。

2、 证明转动算符J n d i n e⋅-θ可表为z y z n J i J i J i J n d i eeeeˆˆˆγβαθ---⋅-=，其中α、β、γ为欧拉角。

3、 证明d 函数>=<-jm ejm dy J i jmm ||')(ˆ'ββ具有如下的对称性：)()()()1()('''''ββββj m m j m m j m m m m j m m d d d d ---=-=--=4、 试利用D 函数的幺正性，给出∑=''')()()'(m jm jm m jm Dτψαβγτψ的逆变换关系式。

5、 对于无穷小转角δϕ，求证：1'1''')1()1()(21)1()1()(21)1()(-+--++-+-+---=m m y x m m y x mm z jm m m m j j i i m m j j i i m i D δδϕδϕδδϕδϕδδϕδϕ6、 对于自旋为2/1和1的态函数，计算相应的D 函数的矩阵表示。

7、 证明两个D 函数的乘积满足如下关系∑++++=jjm m m jm m j m j l l l j m j m D C C D D 21212122112132211222111μμμμμμμμ 8、 试利用上题结果及D 函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式：332211321112233000321*)12(4)12)(12()()()(μμμμμμπΩθϕθϕθϕl l l l l l l l l C C l l l d Y Y Y +++=⎰9、 试证明∑=mlm lm Y YI )()(2211*ϕθϕθ是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定理：∑+=mlm lm l Y Y l P )()(124)(cos 2211*ϕθϕθπθ。

† 不可约张量算符1、 称按规律∑==-'''1)(ˆ)()'(ˆ)()(ˆ)(m lm l m m lm n lm n T D T d n U T d n U ταβγτθτθ 变换的12+l 个算符),,1,)((ˆl l l m T lm--= τ为l 阶不可约张量算符，试证明这个定义 与不可约张量算符的Racah 定义是等价的。

2、 设)(ˆ)(ˆ212211ττm l m l T T 和分别为1l 阶和2l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符)(ˆ21ττLM T 为L 阶不可约张量算符： ∑=2122112211)(ˆ)(ˆ)(ˆ2121m m m l m l LMm l m l LM T T CT ττττ。

3、 微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项12ˆ)(S r V T ，其中12ˆS 为张量算符，其表达式可写为∑--=-⋅=⋅-⋅⋅=mmm m S Y S rr S r r r S 2222212122112ˆ)(2)(6)())((3ˆσσσσ 其中∑+---+---=μμμμμm mm mS S C S ˆˆˆ21,12。

试证明12ˆS 的这三个定义是等价的。

4、 设∑=mMjm LM JM jmLMJM T CJ J )()(ˆ)(τψττψ，其中)(ˆτLMT 为不可约张量算符，)(τψjm 为角动量本征函数。

试证如此定义的)(τψJ JM 一定是角动量的本征函数。

5、 求约化矩阵元?||||'>=<l Y l L ，?||ˆ||'>=<j Jj 6、 一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算211)1(|)ˆ(ˆ|'|ˆ|'+>⋅<>=<j j jm T J J jm jm T jm M M ， 称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式211)1(|)ˆ(||ˆ|'|ˆ|'+>⋅><<>=<j j jm T J jm jm J jm jm T jm M M 7、 试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在>jm |态上的平均值），磁矩算符为)(0S g L g S L+=μμ，其中0μ为微观粒子的玻尔磁子。

8、† 多个角动量耦合1、 试证明三个C-G 系数乘积的求和公式∑=12322323113312122323332212122211);(2312321m m m jmm j m j jm m j m j m j m j m j m j m j m j C j j jj j j U C C C 。

2、 试证明两个Racah 系数乘积的求和公式∑++++++-=23312312321);();()1();(312313223123211231213j j j j j j j j j j jj j j U j j jj j j U j j jj j j U3、 试计算矩阵元>⋅<2121|)2(ˆ)1(ˆ|''j jmj T T j jmj L L 和><2121|)1(ˆ|''''j jmj T j j m j LM4、 试证明一个角量子数为零的j -9符号可化简为⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++243434232243344322)12)(12()1(0342432j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j† 二次量子化方法1、 给定算符a a na a ++=ˆ，，，且满足1},{=+a a ，022==+a a ，试证：1）n n ˆˆ2=；n ˆ的本征值只能取1和0。

2）在nˆ对角化表象中，给出a a ，+和n ˆ的矩阵表示。

2、 设0}ˆ,{}ˆ,ˆ{1}ˆ,ˆ{===+++a a a aa a ，，令a a n ˆˆˆ+=，证明 >->=>+->=+1||ˆ1|1|ˆn n n an n n a3、 令αααaa n ˆˆˆ+=，证明无论对玻色子还是费米子，均有 ααααααa a naa n ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[-==++其中α为量子态标记。

4、 考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式∑∑≠=+=NNV T H )(,121βαβααβαα 其中222αα∇-=mT 为单粒子动能算符，|)(|βααβr r V V -=为两粒子相互作用能。

选取 箱归一化的动量本征函数r p i p e L r⋅-=2/3)(ψ作为单粒子波函数。