2019年人教版B数学必修一课时分层作业1

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新教材数学人教B版必修第一册课时作业：1-2-1 第2课时量词

课时作业7 量词时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列语句不是全称量词命题的是( C )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高二·一班绝大多数同学是团员D ．每一个向量都有大小解析：“高二·一班绝大多数同学是团员”是存在量词命题．2．命题“存在实数x ，使x ＋1<0”可写成( B )A ．若x 是实数，则x ＋1<0B ．∃x ∈R ，x ＋1<0C ．∀x ∈R ，x ＋1<0D ．以上都不对解析：由存在量词命题的表示形式可知，选项B 正确．3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数，使1x >2解析：A 选项是全称量词命题，所以A 不正确；3＋(－3)＝0，所以C 不正确；对任意负数x ，都有1x <0<2，所以D 不正确；存在实数x ＝0，使x 2＝0，所以B 正确．4．下列四个命题中，为真命题的是( C )A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝3解析：由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．5．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax ＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为(C) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由存在量词及存在量词命题的定义知①③④为存在量词命题．6．设非空集合A，B满足A⊆B，则(B)A．∃x0∈A，使得x0∉BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0∉AD．∀x∈B，有x∈A解析：因为非空集合A，B满足A⊆B，所以A中元素都在B中，即∀x∈A，有x∈B.二、填空题(每小题8分，共计24分)7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为∃x<0，(1＋x)(1－9x)>0.解析：“有些”为存在量词，因此用存在量词命题来表述．8．下列命题：①偶数都可以被2整除；②正多边形的内角都相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是①②，既是存在量词命题又是真命题的是③④(填所有满足要求的命题的序号)．解析：①②既是全称量词命题又是真命题，③④⑤是存在量词命题，且③④为真命题，⑤为假命题．9．下列命题是全称量词命题的是②(填序号)．①在整数中，有些数x，使4x2－1是素数；②集合{1,0，－1}中的任一元素，都能使2x＋1>0成立；③在自然数集中，必有元素x，使它的平方小于其本身．解析：①等价于∃x0∈Z,4x20－1是素数；②等价于∀x∈{1,0，－1},2x＋1>0；③等价于∃x0∈N，x20<x0.故是全称量词命题的是②.三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称量词命题还是存在量词命题．(1)存在两个相似三角形不全等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)过直线外一点的所有直线中，有一条直线和这条直线垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是存在量词命题，(3)是全称量词命题．(4)是疑问句，不能判断真假，因此(4)不是命题．11．(15分)将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根．解：(1)∀x∈R，x2≥0；(2)∃x0<0，ax20＋2x0＋1＝0(a<1)．12．(15分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．(1)∃x∈R，x－2≤0；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)凡三角形两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．解：(1)存在量词命题．当x＝2时，x－2＝0成立．所以，存在量词命题“∃x∈R，x－2≤0”是真命题；(2)全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直．所以，全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题；(3)全称量词命题．三角形中，两边之和大于第三边．所以，全称量词命题“凡三角形两边之和大于第三边”是真命题；(4)存在量词命题.3是素数，3也是奇数．所以，存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．由Ruize收集整理。

高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业奇偶性的应用 Word版含解析

课时分层作业(二十三)奇偶性的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是()A．f(x)＝－x2＋2x－3B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3B[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x ＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x －3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)C[∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.] 3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为() A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)A[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．故选A.]4．一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图像如图，下列说法正确的是()A ．这个函数仅有一个单调增区间B ．这个函数有两个单调减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值是7D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7C [根据偶函数在[0，7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7，7]上的图像，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.]5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23A [由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，故选A.] 二、填空题6．函数f (x )在R 上为偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________．－x ＋1 [∵f (x )为偶函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝－x ＋1，即x ＜0时，f (x )＝－x ＋1.]7．偶函数f (x )在(0，＋∞)内的最小值为2 020，则f (x )在(－∞，0)上的最小值为________．2 020 [由于偶函数的图像关于y 轴对称，所以f (x )在对称区间内的最值相等．又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ＝2 020，故当x ∈(－∞，0)时，f (x )min ＝2 020.]8．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)按从小到大的排列是________．f (－2)<f (1)<f (0) [当m ＝1时，f (x )＝6x ＋2不合题意；当m ≠1时，由题意可知，其图像关于y 轴对称，∴m ＝0，∴f (x )＝－x 2＋2，∴f (x )在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．又0<1<2，∴f (0)>f (1)>f (2)＝f (－2).] 三、解答题9．已知f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数，且f (x )在(－1，1)上是减函数，解不等式f (1－x )＋f (1－2x )<0.[解] ∵f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数， ∴由f (1－x )＋f (1－2x )<0，得f (1－x )<－f (1－2x )，∴f (1－x )<f (2x －1). 又∵f (x )在(－1，1)上是减函数，∴⎩⎨⎧－1<1－x <1，－1<1－2x <1，1－x >2x －1，解得0<x <23， ∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.10．已知y ＝f (x )是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )<0，试问F (x )＝1f （x ）在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论． [解] F (x )在(－∞，0)上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则有－x 1>－x 2>0.因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )<0，所以f (－x 2)<f (－x 1)<0.① 又因为f (x )是奇函数，所以f (－x 2)＝－f (x 2)，f (－x 1)＝－f (x 1)，② 由①②得f (x 2)>f (x 1)>0.于是F (x 1)－F (x 2)＝f （x 2）－f （x 1）f （x 1）·f （x 2）>0，即F (x 1)>F (x 2)，所以F (x )＝1f （x ）在(－∞，0)上是减函数．11．(多选题)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是( )A ．|f (x )|－g (x )是奇函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )－|g (x )|是奇函数D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数ABC [根据题意有f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，所以f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|－g (x )|＝f (x )＋|g (x )|，所以f (x )＋|g (x )|是偶函数．同理，易知选项A ，B 中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C 中的函数是偶函数．故选ABC.]12．若奇函数f (x )在(－∞，0)上的解析式为f (x )＝x (1＋x )，则f (x )在(0，＋∞)上有( )A ．最大值－14 B ．最大值14 C ．最小值－14D ．最小值14B [法一(奇函数的图像特征)：当x <0时， f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以f (x )有最小值－14，因为f (x )是奇函数，所以当x >0时，f (x )有最大值14. 法二(直接法)：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (1－x ). 又f (－x )＝－f (x )，。

新教材数学人教B版必修第一册课时作业：1-1-3 第1课时交集与并集

课时作业4交集与并集时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A＝B B．A∩B＝∅C．A∩B＝A D．A∩B＝B解析：由真子集的概念知B A，故A∩B＝B，故选D.2．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B ＝(C)A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅解析：A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，∴A∩B＝(－1,2)．3．(2019·北京卷)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A ∪B＝(C)A．(－1,1) B．(1,2)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.4．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(C)A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析：∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1，0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C.5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(B)A．0或 3 B．0或3C ．1或 3D ．1或3解析：方法一：利用并集的性质及子集的含义求解． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ＝3或m ＝m . 由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.但m ＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m ＝0或m ＝3.方法二：利用排除法求解．∵B ＝{1，m }，∴m ≠1，∴可排除选项C 、D. 又当m ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}， ∴A ∪B ＝{1,3，3}＝A ，故m ＝3适合题意，排除A ，故选B.6．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( D )A ．－3≤m ≤4B ．－3<m <4C ．2<m <4D ．2<m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，即2<m ≤4.二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为5.解析：集合A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，故A ∪B 中有5个元素． 8．集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∩B ＝{1}，则a ＝－1. 解析：由A ∩B ＝{1}得1∈A ，则a 2＝1，a ＝±1，又B ＝{1，a }，故a ＝1不符合元素的互异性，∴a ＝－1.9．已知集合A ＝{x |x 2－px ＋15＝0，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈Z }，若A ∪B ＝{2,3,5}，则A ＝{3,5}，B ＝{2,3}．解析：设A＝{x1，x2}，B＝{x3，x4}．因为x1，x2是方程x2－px ＋15＝0的两根，所以x1x2＝15，由已知条件可得x1，x2∈{2,3,5}，所以x1＝3，x2＝5或x1＝5，x2＝3，所以A＝{3,5}．因为x3，x4是方程x2－5x＋q＝0的两根，所以x3＋x4＝5，由已知条件可知x3，x4∈{2,3,5}，所以x3＝3，x4＝2或x3＝2，x4＝3，所以B＝{2,3}．三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.解：由A∩B＝{－3}，知－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}，不符合题意，故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}．从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．11．(15分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}．(1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．解：(1)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.12．(15分)已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1，或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．解：(1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立，此时2a＋1>3a－5，即a<6.若A≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，2a＋1≥－1，3a－5≤16，解得6≤a≤7.综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．(2)因为A⊆(A∩B)，所以A∩B＝A，即A⊆B.显然A＝∅满足条件，此时a<6.若A≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，3a－5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，2a＋1>16.由⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，3a－5<－1，解得a∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，2a＋1>16，解得a>152.综上，满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是{a |a <6，或a >152}．由Ruize 收集整理。

高中数学课时作业(人教B版必修第一册)课时作业(一) 集合及其表示方法

课时作业(一) 集合及其表示方法一、选择题1．有下列说法：①{1，2}与{2，1}不同；②0∈{x |x 2＋x ＝0}；③方程(x ＋1)(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{}－1，2，2 ；④集合{}x |－3<x <4 是有限集．其中正确的说法是( )A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．四种说法都不对2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5}C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}3．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．04．(多选)下列集合的表示方法不正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B. 不等式x －1＜4的解集为{x ＜5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R二、填空题5．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5 ∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3 ∉N ，其中正确的是________． 6．用区间表示下列数集．(1){x |x ≥2}＝________；(2){x |3<x ≤4}＝________；(3){x |x >1且x ≠2}＝________．7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，用列举法表示集合A 为________．三、解答题8．若集合A ＝{x |ax 2＋1＝0，x ∈R }不含有任何元素，求实数a 的取值范围．(用区间表示)9．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合；(3)绝对值不大于2的所有整数；(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1 的解； (5)函数y ＝1x图象上的所有点． [尖子生题库]10．下列三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？。

高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业集合的表示方法 Word版含解析

课时分层作业(二) 集合的表示方法(建议用时：40分钟)一、选择题1．将集合A ＝{x |1＜x ≤3}用区间表示正确的是( ) A.(1，3) B ．(1，3] C.[1，3)D ．[1，3]B [集合A 为左开右闭区间，可表示为(1，3].] 2．集合A ＝{x ∈N ︱x －1≤2 019}中的元素个数为( ) A.2 018 B ．2 019 C.2 020D ．2 021D [因为集合A ＝{x ∈N ︱x －1≤2 019}＝{x ∈N ︱x ≤2 020}＝{0，1，2，…，2 020}，所以元素个数为2 021.]3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋12n ，n ∈N *B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －1n ，n ∈N *D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N * D [由3，52，73，94，即31，52，73，94从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N*．] 4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A.x 1·x 2∈A B ．x 2·x 3∈B C.x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈AD [集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数， ∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．]5．设P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{4，5，6，7，8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A.4 B ．5 C ．19 D ．20C [由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)共5个元素．同样当a ＝2，3时集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19个，故选C.]二、填空题6．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ∈N ⎪⎪⎪y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1用列举法可表示为________． {1，2，4，8}[因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ∈N ⎪⎪⎪y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1，故x －1为8的正约数，即x －1的值可以为1，2，4，8，所以x 可以为2，3，5，9，用列举法表示⎩⎪⎨⎪⎧y ∈N ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1为{1，2，4，8}．]7．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________． {－1，4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4， ∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1，4}．] 三、解答题8．下列三个集合：①A ＝{x |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？[解] (1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合． (2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R .集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的实数对，可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图像．9．设P ，Q 为两个非空实数集，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？[解] 当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6；当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8；当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得 a ＋b 的值分别为6，7，11.由集合中元素的互异性知 P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个．10．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合； (2)方程x 2－x ＋2＝0的实数解构成的集合．[解] (1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A ，则可用描述法表示为A ＝{x |1＜x ＜70，x ∈N *}．A 是有限集．(2)设方程x 2－x ＋2＝0的实数解构成的集合为B ，因为Δ＝1－8＝－7＜0，所以该方程无实数解，即集合B 中不存在任何元素，所以B ＝，B 是有限集．11．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4＋12，k ∈Z ，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( )A.x 0∈N B ．x 0N C.x 0∈N 或x 0N D ．不能确定A[M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋24，k ∈Z ，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.]12．(多选题)定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A ⊙B 的元素为( )A.0 B ．6 C.12D ．18ABC [当x ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝6；当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，即A ⊙B ＝{0，6，12}．]13．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m ⎪⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |}用列举法表示为________．{－1，3} [当x >0，y >0时，m ＝3；当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1；若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0，则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1，3}．]14．已知有限集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ≥2，n ∈N )，如果A 中的元素a i (i ＝1，2，3，…，n )满足a 1·a 2·…·a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1＋52，－1－52是“复活集”； ②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2＞4； ③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”．其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)①③ [∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，∴①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由根与系数的关系知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个不相等的实数根．由Δ＞0，可得t ＜0或t ＞4，故②错．③根据集合互异性知a 1≠a 2，若a 1，a 2∈N *，不妨设a 1＜a 2，由a 1a 2＝a 1＋a 2＜2a 2，即有a 1＜2.∵a 1∈N *，∴a 1＝1.于是1＋a 2＝1×a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确．]。

高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册《方程组的解集》同步课时训练(含答案)

2.1.3 方程组的解集--2022-2023学年高一数学人教B 版（2019）必修第一册同步课时训练一、概念练习1.方程组22100x y y x m ⎧+-=⎨--=⎩有唯一的一组解,则实数m 的值是( ) 2 B.2 C.2± D.以上答案都不对2.若关于,x y 的方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集是{(3,4)},则关于,x y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩解集是( ) A.(){}4,8 B.(){}9,12 C.(){}15,20 D.98,55⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭3.若方程组4312(1)3x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解x 和y 的值互为相反数,则实数k 的值等于( ) A.0 B.1 C.2 D.34.已知(){}(){}22|,8|,,A x y y x B x y x y ===+=,则A B ⋂=( ) A.()()(){},2,2,2,2|x y --B.()()(){},4,4,4,4|x y --C.()()(){},2,2|2,,2x y --D.()()(){},4,4|,4,4x y --5.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二,直金十两；牛二、羊五,直金八两.问：牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊,值金10两；2头牛、5只羊,值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两?”( ) A.3420,2121 B.2034,2121 C.2020,2121 D.3434,2121二、能力提升6.方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是( ) A.()(){},,4|6x y B.()(){},,6|5x y C.()(){},,6|3x y D.()(){},,3|2x y7.方程组22100x y y x m ⎧+-=⎨--=⎩有唯一的一组解，则实数m 的值是（） 2 B.2- C.2± D.以上答案都不对8.如果23x y =-⎧⎨=⎩是关于x 和y 的二元次方程22mx y -=的解，那么m 的值是( )A.2B.2-C.4D.4-9.已知关于,x y的二元一次方程组23,352x yx y m+=⎧⎨+=+⎩的解满足0x y+=,求实数m的值__________.10.已知关于,x y的方程组21,254x y kx y k+=-⎧⎨+=+⎩的解满足5x y+=,则k的值为_________.11.小亮解得方程组2212x yx y+=⎧⎨-=⎩●的解集为{}(5,)★,由于不小心,滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,则●的值为________________.12.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺.井深几尺？则该问题的井深是_________尺.13.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔________支.14.甲、乙两位同学在求方程组232ax bycx y+=⎧⎨-=-⎩的解集时，甲解得正确答案为{(,)|(1,1)}x y-，乙因抄错了 c的值，解得答案为{(,)|(2,6)}x y，求aacb-的值.15.某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入设备资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用?答案以及解析1.答案：C解析：由0y x m --=,得y x m =+,代入2210x y +-=,得到关于x 的方程222210x mx m ++-=,由题意,可知()222(2)81840m m m ∆=--=-=,解得2m =,故选C. 2.答案：D 解析：方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集是(){}3,4,111222985985a b c a b c +=⎧∴⎨+=⎩,两边都除以5,得11122298559855a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩,对照方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩,可得9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集为98,55⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,故选D. 3.答案：C解析：由题意,可知y x =-,代入431x y +=,得1x =,所以1y =-.将1,1x y ==-代入()213kx k y +-=,得13k +=,所以2k =.4.答案：C解析：解方程组228y x x y =⎧⎨+=⎩,得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩,所以{}(,)|(2,2),(2,2)A B x y ⋂=--.故选C. 5.答案：A解析：设每头牛值金x 两,每只羊值金y 两,由题意,可得5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选A.6.答案：A解析：由10x y +=,得10y x =-,代入216x y +=,得1016x +=,解得6x =,所以1064y =-=.故方程组的解集为{}(,)|(6,4)x y .故选A.7.答案：C解析：由0y x m --=,得y x m =+，代入2210x y +-=,得到关于x 的方程222210x mx m ++-=,由题意，可知222(2)8(1)840m m m ∆=--=-=,解得2m =±.故选 C.8.答案：D解析：把23x y =-⎧⎨=⎩代人方程22mx y -=，得262m --=，解得4m =-，故选D9.答案：4解析：解关于,x y 的二元一次方程组23,352,x y x y m +=⎧⎨+=+⎩得211,7.x m y m =-⎧⎨=-⎩0,21170x y m m +=∴-+-=,解得4m =.10.答案：2解析：21254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩①,②.由①+②，得3363x y k +=+，即21x y k +=+.5,215x y k +=∴+=,解得2k =.11.答案：8解析：把5x =代入212x y -=中,得2512y ⨯-=,解得2,y =-∴●的值为()2528⨯+-=. 12.答案：8解析：设绳长是x 尺,井深是y 尺，依题意有14,311,4x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得36,8.x y =⎧⎨=⎩故井深是8尺. 13.答案：10解析：本题考查二元一次方程的实际应用.设可以购买x 本笔记本，y 支钢笔，根据题意得57100x y +=，根据,x y 均为正整数，通过讨论可以确定y 的最大值为10.14.答案：74a acb -= 解析：将11x y =⎧⎨=-⎩代入方程组，得232a bc -=⎧⎨+=-⎩①② 将26x y =⎧⎨=⎩代入2ax by +=，得262a b +=③. 联立①②③，解得71,,544a b c ==-=-, 所以74a acb -= 15.答案：设水稻、棉花和蔬菜的种植面积分别为x 公顷、y 公顷和z 公顷, 则51485300267x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得152016x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.答：种植水稻15公顷、棉花20公顷、蔬菜16公顷,才能使所有职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用.。

新教材数学人教B版必修第一册课时作业：1-2-1 第1课时命题

课时作业6 命题时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列语句中命题的个数为( C )①平行四边形不是梯形； ②3是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±13； ④请进；⑤2014年6月12日是巴西世界杯开幕的日子．A ．2B ．3C ．4D ．5解析：①②③⑤是命题．2．下列说法正确的是( D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：由Δ＝16－4a ≥0，知a ≤4，故D 正确．3．有下列四个命题：①{∅}是空集；②{0}是空集；③若a ∈Z ，则－a ∉Z ；④集合A ＝{x ∈R |x 2＋2x ＋1＝0}有两个元素．其中真命题的个数是( A )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①中有元素∅，原命题为假；②中有元素0，原命题为假；③若a 是整数，则－a 也是整数，原命题为假；④x 2＋2x ＋1＝0有两个相等实数根x 1＝x 2＝－1，所以集合中只有一个元素，原命题为假，故选A.4．给出下列命题：①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中所有正确命题的个数为(A)A．0 B．1C．2 D．3解析：∵集合N中含0，∴①错；∵N表示自然数，0∈N，－0＝0∈N，∴②错；∵0∈N，∴当a＝b＝0时，a＋b最小，则a＋b 的最小值是0，∴③错．故选A.5．下列命题正确的是(C)A．若ab≤0，则a≤0且b≤0B．若ab≤0，则a≥0且b≤0C．若a>0且b>0，则ab>0D．若a>0或b>0，则ab>0解析：若ab≤0，则“a≤0且b≥0”或“a≥0且b≤0”，所以选项A、B错误；若a>0且b>0，则ab>0，选项C正确，选项D错误．故选C.6．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么命题：(1)M的元素都不是P的元素；(2)M中有不属于P的元素；(3)M中有P的元素；(4)M中元素不都是或都不是P的元素．其中真命题的个数是(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：由于“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，从而由条件“非空集合M的元素”推不出结论“都是集合P的元素”即命题“非空集合M的元素不都是或都不是集合P的元素”为真命题，故(2)(4)正确．二、填空题(每小题8分，共计24分)7．下列语句是命题的有③④，其中是真命题的有③.(只填序号)①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线．③在三角形中，大边对大角，小边对小角．④若x＋y为有理数，则x，y也都是有理数．⑤x>8.解析：①②不是陈述句，则不是命题；③是命题，并且是真命题；④是命题，但是假命题；⑤不能判断真假，则不是命题．8．给出下列语句：①任何集合都有真子集；②明天会下雨吗？③一个实数不是有理数就是无理数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；⑥作两条平行直线．其中为命题的序号是①③⑤，为真命题的序号是③⑤.解析：①是命题，且是假命题，因为空集没有真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．9．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b，则ac>bc；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中真命题的序号是①④.解析：①中，当k>0时方程的判别式Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②中，当c为0时不成立；③也可能是等腰梯形；④为真命题．故应填①④.三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)求证：3是无理数．(2)若x ∈R ，x 2＋4x ＋4≥0.(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．(5)若x ＋y 和xy 都是有理数，则x ，y 都是有理数．解：(1)祈使句，不是命题．(2)x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0，可以判断真假，是命题，且是真命题．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是命题，真命题，有的人喜欢苹果，有的人不喜欢苹果．(5)是命题，假命题，如：3＋(－3)和3×(－3)都是有理数，但3和－3都是无理数．11．(15分)把下列命题写成“如果p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)当x ＝2或x ＝4时，x 2－6x ＋8＝0.解：(1)如果一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等．真命题．(2)如果x ＝2或x ＝4，则x 2－6x ＋8＝0.真命题．12．(15分)已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 可以构造一个真命题“若p ，则q ”．解：若视A 为p ，B 为q ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5，则x >1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，A 为q ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．由Ruize收集整理。

高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业函数的应用(一) Word版含解析

课时分层作业(二十六) 函数的应用(一)(建议用时：40分钟)一、选择题1．某厂日产手套的总成本y (元)与日产量x (双)之间的关系为y ＝5x ＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )A.2 000双B ．4 000双 C.6 000双 D ．8 000双D [由5x ＋40 000≤10x ，得x ≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．]2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B ．300元 C.290元D ．280元B [设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图像过点(1，800)，(2，1 300)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，解得⎩⎨⎧k ＝500，b ＝300，∴y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.∴营销人员没有销售量时的收入是300元．]3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： y ＝⎩⎨⎧4x ，1≤x <10，x ∈N *，2x ＋10， 10≤x <100，x ∈N *，1.5x ，x ≥100，x ∈N *.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A.15B ．40C.25 D．130C[令y＝60.若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．]4．某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系满足f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是()A.54 B．58C.64 D．68C[函数f(t)＝－t2＋24t－101的图像的对称轴为直线t＝12，所以f(t)在[4，12]递增，在[12，18]递减，所以f(t)max＝f(12)＝43，f(t)min＝f(4)＝－21，所以在该时段的最大温差是43－(－21)＝64.]5．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么()A.此人可在7 s内追上汽车B.此人可在10 s内追上汽车C.此人追不上汽车，其间距最少为5 mD.此人追不上汽车，其间距最少为7 mD[设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝12t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]二、填空题6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为________．S(t)＝2t2＋108t＋400，t∈N[日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.23 [设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4－x )cm ，两个三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32(x －2)2＋23≥23，这两个正三角形面积之和的最小值是2 3 cm 2.]8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，这个人的稿费为________元．3 800 [若这个人的稿费为4 000元时，应纳税(4 000－800)×14%＝448(元). 又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4 000之间，设为x ，∴(x －800)×14%＝420，解得x ＝3 800元．]三、解答题9．10辆货车从A 站匀速驶往相距2 000千米的B 站，其时速都是v 千米/时，为安全起见，要求：每辆货车时速不得超过100千米/时，每辆货车间隔k v 2千米(k 为常数，货车长度忽略不计).将第一辆货车由A 站出发到最后一辆货车到达B 站所需时间t 表示为v 的函数f (v ).(1)求函数t ＝f (v )，并写出v 的取值范围．(2)若k ＝581，请问当v 取何值时，t 有最小值？并求出最小值．[解] (1)由题意，可得t ＝f (v )＝2 000＋9k v 2v，0＜v ≤100. (2)由k ＝581，可得t ＝2 000v ＋5v 9＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋3 600v . 又0＜v ≤100，所以由均值不等式得t ≥59×23600＝2003，当且仅当v ＝3 600v ，即v ＝60时等号成立．故t min ＝f (60)＝2003.所以当v ＝60千米/时时，t 取得最小值，最小值为2003小时．10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm 与60 cm ，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．[解]设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得AFED＝FEBD，即40－yy＝x60－x，解得y＝40－23x，记剩下的残料面积为S，则S＝12×60×40－xy＝23x2－40x＋1 200＝23(x－30)2＋600(0＜x＜60)，故当x＝30时，S min＝600，此时y＝20，所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最少为600 cm2．11．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是()C[根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C 中的图像可能正确．]12．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()。

高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业集合的基本关系 Word版含解析

课时分层作业(三) 集合的基本关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A ＝{a ，b }，B ＝{x |x ∈A }，则( ) A ．B ∈A B ．B A C ．A ∈BD ．A ＝BD [因为集合B 中的元素x ∈A ，所以x ＝a 或x ＝b ，所以B ＝{a ，b }，因此A ＝B .]2．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2，n ∈Z ，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．A ∈BA [A ＝{0，1，2，…}，B ＝{…，－1，－12，0，12，1，32，2，…}，集合A 中任意一个元素均在集合B 中．]3．集合U ，S ，T ，F 的关系如图所示，下列关系正确的是( )①S ∈U ；②F ⊆T ；③S ⊆T ；④S ⊆F ；⑤S ∈F ；⑥F ⊆U . A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．③⑥D [元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．]4．若{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是( ) A ．8 B ．7 C ．4D ．3A [法一：(列举法)：满足条件{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}的集合A 有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．法二：(计数法)：因为集合A 满足{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}，所以，集合A 一定含有元素1，2(可不考虑)，可能含有元素3，4，5，故集合A 的个数即集合{3，4，5}的子集个数，即23＝8(个).故选A.]5．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≤1 C ．a ≥1D ．a ≥2D [∵A ⊆B ，∴a ≥2.] 二、填空题6．已知M ＝{x |x ≥22，x ∈R }，给定下列关系：①π∈M ；②{π}M ；③πM ；④{π}∈M .其中正确的有________．(填序号)①② [①②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．]7．如图反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A 为________；B 为________；C 为________；D 为________．小说文学作品叙事散文散文 [由维恩图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．]8．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是________．0，±1 [P ＝{－1，1}，Q ⊆P ，所以 (1)当Q ＝时，a ＝0；(2)当Q ≠时，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，所以1a ＝1或1a ＝－1，解之得a ＝±1. 综上知a 的值为0，±1.] 三、解答题9．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解] 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则 x ＝0或y ＝0.①当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． ②当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由①知x ＝0应舍去．综上，x ＝1，y ＝0.10．设集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |m －1≤x ≤1－2m }． (1)若B ⊆A ，求m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求m 的取值范围．[解] (1)①当B ≠时，∵B ⊆A ，数轴表示如图所示：∴⎩⎨⎧m －1≥－1，1－2m ≤1，m －1≤1－2m ，解得0≤m ≤23. ②当B ＝时，m －1＞1－2m ，解得m ＞23. 综上所述，实数m 的取值范围是[0，＋∞). (2)∵A ≠，A ⊆B ，∴B ≠.∴m －1≤1－2m ，即m ≤23，数轴表示如图所示，则⎩⎨⎧m －1≤－1，1－2m ≥1，解得m ≤0. 综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，0].11．(多选题)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3ABC [由条件知A ＝{1，2}，当a ＝0时，B ＝，满足题意；当a ≠0时，由2a ∈A ，可得a ＝1或a ＝2，故选A ，B ，C.]12．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 B[∵集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，分母a ≠0，∴b ＝0，a 2＝1，且a 2≠a ＋b ，解得a ＝－1.∴a 2 019＋b 2 019＝－1.故选B.] 13．已知集合A {1，2，3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．5 [若A 中有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A 中有2个奇数，则A ＝{1，3}．]14．(一题两空)设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1}，当x ∈Z 时，集合A 的非空真子集个数为________；当B ⊆A 时，实数m 的取值范围是________．254 m ≤－2或－1≤m ≤2 [化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254(个). (2)①当m ≤－2时，B ＝⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要使B ⊆A ，则只要⎩⎨⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5，∴－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围是：。

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课时分层作业(一) 空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4．则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对D [∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2ab ＝|c |2， ∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a ||b |＝14．]2．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有 ( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→． ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→． ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]3．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14．]4．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．0D [如图所示，∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA |·|OC →|·cos ∠AOC －|OA →|·|OB |·cos ∠AOB ＝0，∴OA →⊥BC →，∴〈OA →，BC →〉＝π2，cos 〈OA →，BC →〉＝0．]5．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( )A ．a ＋b －cB ．a ＋b ＋cC ．12(a ＋b ＋c )D ．a ＋b ＋c )D [如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．] 二、填空题6．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则a ·b 所夹的角为________． 34π [cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－222×22＝－22，又〈a ·b 〉的取值范围为[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝34π．]7．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________．3 [∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝3．]8．四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则点B 与点D 1两点间的距离为________．2 [四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°．∴BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→， ∴BD 1→2＝(BA →＋AD →＋DD 1→)2＝BA →2＋AD →2＋DD 1→2＋2BA →·AD →＋2BA →·DD 1→＋2AD →·DD 1→＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2， ∴|BD 1→|＝2，∴点B 与点D 1两点间的距离为2．] 三、解答题9．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →．[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→．(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→． (3)设M 是线段AC ′的中点，则 12AD →＋12AB →－12A ′A → ＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →．向量AD ′→、AM →如图所示．10．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ∶NA 1＝4∶1．用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →．[解] (1)AM →＝12(AC 1→＋AD 1→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→) ＝12a ＋b ＋c ．(2)AN →＝AC →＋CN →＝AC →＋45(AA 1→－AC →) ＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c ．11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为( ) A ．AB →＋BC →＋CA →B ．OA →－OD →＋AD →C ．NQ →＋QP →＋MN →－MP →D ．MN →＋BM →＋NB →ABCD [对于A ，AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0．对于B ，OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0．对于C ，NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0．对于D ，MN →＋BM →＋NB →＝MN →＋NB →＋BM →＝MB →＋BM →＝0．]12．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．90°B [a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22 ＝1－1×1×12－2＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3．|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝3．∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－323＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°．]13．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．－13 [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13．]14．(一题两空)如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2, 点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝______，|BC →－EF →|＝______．23 [|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2，EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝|BC →－12BD →|2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3，故|BC →－EF →|＝3．]15．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB →|＝2|AM →|，|CN →|＝12|ND →|，求|MN →|．[解] ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →．∴MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2＝19AB →2－29AD →·AB →＋49AC →·AD →－49AB →·AC →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋29a 2－29a 2＋19a 2＋49a 2 ＝59a 2，故|MN →|＝MN →·MN →＝53a ，即|MN →|＝53a ．课时分层作业(二) 空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a 与b 不共线且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝2a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线D ．m ，n ，p 共面D [p ＝2a ＝m ＋n ，即p 可由m ，n 线性表示，所以m ，n ，p 共面．] 2．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C ．OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上皆错B [∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面．]3．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A ．AA ′→＋12AB →＋12AD → B ．12AA ′→＋12AB →＋12AD →C ．12AA ′→＋16AB →＋16AD → D ．13AA ′→＋16AB →＋16AD →D [由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ， ∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →) ＝13(AA ′→＋12A ′C ′→)＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →．]4．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定C [∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p ，q 共面， ∵b ＝12p －12q ，∴b 与p ，q 共面， ∵不存在λ，μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p ，q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C ．] 5．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C 且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面B [由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)，即AP →＝2PB →＋3PC →．∴AP →，PB →，PC →共面，又它们有同一公共点P ， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．] 二、填空题6．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________．1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.]7．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．x ＝y ＝z ＝0 [若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面，由{a ，b ，c }是空间的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0．同理y ＝z ＝0．]8．如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________．(用a ，b ，c 表示)－12a ＋12b －c [B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c ．]三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →． [解] 连接AC ，AD ′，AC ′(图略)． (1)AP →＝12(AC →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→) ＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c ． (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c ．(4)AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c ．10．已知平行四边形ABCD ，从平面ABCD 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →，求证：点E ，F ，G ，H 共面．[证明] ∵OA →＋AB →＝OB →，∴kOA →＋kAB →＝kOB →，而OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，∴OE →＋kAB →＝k (OA →＋AB →)＝kOB →＝OF →．又OE →＋EF →＝OF →，∴EF →＝kAB →，同理EH →＝kAD →，EG →＝kAC →．∵ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∴EG →k ＝EF →k ＋EH →k ，即EG →＝EF →＋EH →，又它们有同一个公共点E ， ∴点E ，F ，G ，H 共面．11．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ．M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG →等于( )A ．16OA →＋13OB →＋12OC →B ．14(OA →＋OB →＋OC →) C ．13(OA →＋OB →＋OC →)D ．16OB →＋13OA →＋13OC →B [如图，OG →＝12(OM →＋ON →)＝12OM →＋12×12(OB →＋OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC → ＝14(OA →＋OB →＋OC →)．]12．(多选题)如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，则用向量OA →，OB →，OC →表示OQ →，不正确的是( )A ．OQ →＝13OA →＋16OB →＋16OC →B ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋16OC → C ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋13OC →D ．OQ →＝13OA →＋13OB →＋16OC →BCD [∵M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，∴AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12OA →＋AB →＋12BC →＝12OA →＋(OB →－OA →)＋12(OC →－OB →) ＝－12OA →＋12OB →＋12OC →， ∴OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN → ＝12OA →－16OA →＋16OB →＋16OC → ＝13OA →＋16OB →＋16OC →．]13．(一题两空)在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF →＝________．向量AB →，CD →，EF →________(填“能”或“否”)构成一组基底．3a －52b ＋3c 否 [EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD →＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c ．假设AB →，CD →，EF →共面，则EF →＝λAB →＋μCD →＝λa －2λc ＋5μa －5μb ＋8μc ＝(λ＋5μ)a －5μb ＋(8μ－2λ)c ＝3a －52b ＋3c ．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋5μ＝3，－5μ＝－52，8μ－2λ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12.∴EF →，AB →，CD →共面，∴不能构成一组基底．]14．在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．43[设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， ∴λAE →＋μAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，∴λ＋μ＝43．]15．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．[解] 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC → ＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA → ＝A 1A →．(2)∵E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→， ∴OE →＝OD →＋DE → ＝12BD →＋23DD 1→ ＝12(BA →＋BC →)＋23AA 1→ ＝12BA →＋12BC →＋23AA 1→ ＝－12AB →＋12AD →＋23AA 1→，∴EO →＝－OE →＝12AB →－12AD →－23AA 1→．又EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23．课时分层作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)A [b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]2．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0A [由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C ．23 D ．14C [由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23．]4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255C [由cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255．]5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．33 B ．3 6 C ．23 D ．2 6 B [|AB →|＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54，当a ＝－1时，|AB →|min ＝54＝36．]二、填空题6．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________． 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，x λ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4．]7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．2π3 [(2a ＋b )·c ＝2a·c ＋b·c ＝－10，又a·c ＝4，∴b·c ＝－18，又|c |＝3，|b |＝12， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c|b|·|c|＝－12，∵〈b ，c 〉∈[0，π]，∴〈b ，c 〉＝2π3．]8．在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．6＋23 [S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △ABC ＝34×|AB |2＝34×8＝23，故三棱锥的表面积S ＝6＋23．] 三、解答题9．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值．[解] ∵OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)， ∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， ∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，又|OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB→|＝2． ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16，又2λ2·1＋2λ2＜0，即λ＜0，∴λ＝－66．10．(1)已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，求x ，y 的值． (2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量． [解] (1)因为a ∥b ，所以存在实数λ，使a ＝λb ，所以(2,4,5)＝λ(3，x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，4＝λx ，5＝λy ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，x ＝6，y ＝152.(2)向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±152·(－3，－4,5)＝±210(－3，－4,5)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，225，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－225，22．11．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)， BC →＝(2，－3,1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋12＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2． ∴△ABC 为直角三角形．]12．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C [a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c|a||c|＝－12，〈a ，c 〉＝120°．] 13．(一题两空)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0，0,0)，点Q 在直线OP 上运动，QA →·QB →的最小值为________，此时点Q 的坐标为________．－23⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 [设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，∴QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，∴QA →·QB →的最小值为－23，此时λ＝43，Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83．]14．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________．⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－1213 [设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.]15．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？[解] 以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ．由题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0．又点N 在CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1．如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角等于45°或135°．又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1．所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°．课时分层作业(四) 空间中的点、直线与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (2,3,4)，B (1,2,1)，BC →＝3OA →，且O 为坐标原点，则C 点的坐标为( )A ．(6,8,9)B ．(6,9,12)C ．(7,11,13)D ．(－7，－11，－13)C [设C (x ，y ，z )，则BC →＝(x －1，y －2，z －1)，OA →＝(2,3,4)，∴3OA →＝(6,9,12)，由BC →＝3OA →，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝6，y －2＝9，z －1＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝11，z ＝13，∴C (7,11,13)．]2．已知空间向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则－1×3＋0×(－2)＋3x ＝0，解得x ＝1．故选C ．]3．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面 ( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz ．] 4．设向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，若a ⊥b ，则角α＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [∵向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，a ⊥b ，∴a ·b ＝2cos α－1＝0，∴cos α＝12， ∵0°＜α＜180°， ∴角α＝60°．故选B ．]5．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A ．155B ．105C ．45D ．23A [以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则F (1，0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)，则OE →＝(－1,1,1)，FD 1→＝(－1,0,2)，∴|OE →|＝3，|FD 1→|＝5，OE →·FD 1→＝3， ∴cos 〈OE →，FD 1→〉＝OE →·FD 1→|OE →||FD 1→|＝33·5＝155．]二、填空题6．已知点A (1,1，－4)，B (2，－4,2)，C 为线段AB 上的一点，且AC →＝12AB →，则C 点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1 [设C (x ，y ，z )，AC →＝(x －1，y －1，z ＋4)，AB →＝(1，－5,6)，由AC →＝12AB →得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝12，y －1＝－52，z ＋4＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－32，z ＝－1.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1．]7．已知A (0，y,3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2,1,3)与直线AB 的方向向量平行，则实数y ＋z 等于________．0 [由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0．]8．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2，M ，N 分别是四边形BB 1C 1C 和正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则向量BM →与DN →的夹角的余弦值是________．71030[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M⎝⎛⎭⎪⎫12，1，1，D(0,0,0)，N⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，BM→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1，DN→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，设向量BM→与DN→的夹角为θ，则cos θ＝BM→·DN→|BM→|·|DN→|＝7454·184＝71030．故向量BM→与DN→的夹角的余弦值为71030．]三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．[证明]如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， DA 1→＝(1,0,1)．得DA 1→＝2MN →，∴DA 1→∥MN →，∴DA 1∥MN ．而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD ．10．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．(1)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (2)求证：A 1B ⊥C 1M ．[解] (1)以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝36·5＝3010．(2)证明：A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，又A 1B →·C 1M →＝0， ∴A 1B ⊥C 1M ．11．(多选题)已知空间向量a ，b ，a ⊥b ，a ＝(1,3,5)，则b 的坐标可以是( ) A ．(5,0，－1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75 C ．(5，－3，－1)D ．(8，－1，－1)ABD [a ＝(1,3,5)，a ⊥b ，∴a ·b ＝0．在A 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A 正确．在B 中，a ·b ＝(1,3,5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75＝1×(－2)＋3×3＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝0，B 正确．在C 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C 错误．在D 中，a ·b ＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D 正确．] 12．向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)，若a ∥b ，则x －y ＝( ) A ．4B ．2C ．1D ．12B [向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)，若a ∥b ，则1－2＝2y ＝x 4，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4，x ＝－2.所以x －y ＝－2－(－4)＝2．]13．(一题两空)已知向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)，则|a |＝________；向量a 与b 的夹角是________．2 60° [向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)，则|a |＝12＋02＋(－1)2＝2；cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12， ∴向量a 与b 的夹角是60°．]14．设向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)，若cos 〈a ，b 〉＝49，则实数λ的值为________．－1227或2 [向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)， ∴a ·b ＝2＋4－λ＝6－λ， |a |＝1＋4＋λ2＝5＋λ2，|b |＝4＋4＋1＝3，若cos 〈a ，b 〉＝49，则a ·b |a |×|b |＝6－λ5＋λ2×3＝49，化简得7λ2＋108λ－244＝0，解得λ＝－1227或λ＝2，则实数λ的值为－1227或2．]15．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，P A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝AP ＝2，E 为PD 的中点．以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ．(1)求BE →的模；(2)求〈AE →，DC →〉，异面直线AE 与CD 所成的角； (3)设n ＝(1，p ，q )，满足n ⊥平面PCD ，求n 的坐标．[解] (1)由已知可得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， ∵E 为PD 的中点，∴E (0,1,1)． ∴|BE →|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(1－0)2＝3．(2)AE →＝(0,1,1)，DC →＝(1，－1,0)．∴cos 〈AE →，DC →〉＝AE →·CD →|AE →|·|CD →|＝－12·2＝－12，∵〈AE →，DC →〉∈[0，π]， ∴〈AE →，DC →〉＝2π3，即异面直线AE 与CD 所成的角为π3． (3)∵n ⊥平面PCD ，∴n ⊥PD ，n ⊥CD ，又n ＝(1，p ，q )，PD →＝(0,2，－2)，CD →＝(－1,1,0)， ∴n ·PD →＝2p －2q ＝0，n ·CD →＝－1＋p ＝0，解得p ＝1且q ＝1，即n ＝(1,1,1)．课时分层作业(五) 空间中的平面与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段 C [M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面．]2．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A ．P A →⊥AB → B ．P A →⊥CD →C ．PC →⊥BD →D ．PC →⊥AB →D [由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以与平面上的线AB 、CD 都垂直，A 、B 正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC 为PC 在平面ABCD 内的射影且AC ⊥BD ，由三垂线定理的逆定理知PC ⊥BD ，故C 正确．]3．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．平行或直线在平面内B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定A [∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量， a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，μ·a ＝－6＋8－2＝0，∴直线l 与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]4．平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)，则平面α的法向量可以是( ) A ．(1,0,1) B ．(1,0，－1) C ．(0,1,1)D ．(－1,1,0)D [∵平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)， ∴OA →＝(2,2,0)，OB →＝(0,0,2)，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·OA →＝2x ＋2y ＝0，n ·OB →＝2z ＝0，取x ＝－1，得n →＝(－1,1,0)，∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．]5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A ．337，－157，4 B ．407，－157，4 C ．407，－2,4D ．4，407，－15B [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.]二、填空题6．已知直线l 的方向向量为s ＝(1,2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y,2)，若l ⊂α，则xy 的最大值为________．14 [由题意可得s ⊥n ，∴s ·n ＝－2＋2y ＋2x ＝0，可得x ＋y ＝1，取x ，y ＞0，则1≥2xy ，可得xy ≤14，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．]7．在平面ABC 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y ＋z ＝________．1 [AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1，－1，－2)， ∵a ＝(－1，y ，z )为平面ABC 的法向量， ∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， ∴－1＋y ＝0,1－y －2z ＝0，联立解得y ＝1，z ＝0，∴y ＋z ＝1．] 8．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥β；④平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1．其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上) ①④ [对于①，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2－1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，①正确；对于②，a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)， ∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0， ∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，②错误；对于③，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)， ∴n 1与n 2不共线， ∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)， ∴AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量， ∴⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．] 三、解答题9．如图所示，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．求证：P A ⊥BD ．[证明] 如图，取BC 的中点O ，连接AO 交BD 于点E ，连接PO ．因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC ．又平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以AP 在平面ABCD 内的射影为AO ．在直角梯形ABCD 中，由于AB ＝BC ＝2CD ，易知Rt △ABO ≌Rt △BCD ，所以∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD ．由三垂线定理，得P A ⊥BD ．10．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF ．[证明] 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1．所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD →，n ⊥DF →，所以⎩⎨⎧n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－2，则n ＝(1,1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，所以n ＝－2AM →，得n 与AM →共线．所以AM ⊥平面BDF ．11．(多选题)已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是( )A ．(2,3,3)B ．(1,1,3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，103D ．(2,2,3)AB [设平面α内一点P (x ，y ，z )，则MP →＝(x －1，y ＋1，z －2)． ∵n ＝(6，－3,6)是平面的法向量，∴n ⊥MP →，n ·MP →＝6(x －1)－3(y ＋1)＋6(z －2)＝6x －3y ＋6z －21． ∴由n ·MP →＝0得6x －3y ＋6z －21＝0．把各选项代入上式可知A 、B 适合．]12．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)B [设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1．故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1．又⎩⎨⎧AE →·n ＝0，AF→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)．]13．(一题两空)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．α⊥β α∥β [∵u ，v 分别为平面α，β的法向量且u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，u·v ＝－6－4＋10＝0， ∴u ⊥v ，即α⊥β；当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，∴u ∥v ，即α∥β．]14．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．垂直 [以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12．平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)， ∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC ．]15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD ．若P A ＝AB ＝BC ＝12AD ．(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．[解] 因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD ．又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)，可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ．(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12．设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →．因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ．综上所述，当E 为P A 的中点时，BE ∥平面PCD ．课时分层作业(六) 直线与平面的夹角(建议用时：40分钟)一、选择题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角正弦值为( ) A ．12 B ．32 C ．33 D ．63C [如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,1,1)，DA →＝(1,0,0)，设直线AD 与平面A 1BC 1所成角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，DA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DA →|n |·|DA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11×3＝33．] 2．OA 、OB 、OC 是由点O 出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC 与平面OAB 所成角的余弦值为( )A ．13B ．33C ．12D ．32B [设OC 与平面OAB 所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝33．] 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，该长方体的体积为82，∴2×2×AA 1＝82，解得AA 1＝22，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A (2,0,0)，C 1(0,2,22)，AC 1→＝(－2,2,22)，平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(0,1,0)，设直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， sin θ＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝24＝12，∴θ＝30°，∴直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°．故选A ．]4．在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ．现以点O 为原点，OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．则直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A ．21030 B ．3030 C ．69030D ．87030A [因为OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ，所以OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP ．设AB ＝2a ，则P A ＝22a ，OP ＝7a ，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0,0，7a )．∴P A →＝(a,0，－7a )，PB →＝(0，a ，－7a )，BC →＝(－a ，－a,0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay －7az ＝0－ax －ay ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－77，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－77，所以cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，所以P A 与平面PBC 所成角的正弦值为21030．] 5．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2A [以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，1,0)，A 1(3，1,3)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,3)， AA 1→＝(0,0,3)，AB 1→＝(－3，1,3)，AC 1→＝(－3，－1,3)，设平面AB 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB 1→＝－3x ＋y ＋3z ＝0，n ·AC 1→＝－3x －y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，0,1)，设AA 1与平面AB 1C 1所成的角θ，则sin θ＝|AA 1→·n ||AA 1→|·|n |＝334＝12，∴θ＝π6．∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角为π6．故选A ．] 二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2．在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝2．在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22．∴∠CMO ＝45°．]7．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形A 1B 1CD 都是正方形，则直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是________．2 [以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(－1，0,1)，BD 1→＝(－2，－1,1)，平面A 1B 1CD 的法向量n ＝(1,0,0)，设直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ，则sin θ＝|BD 1→·n ||BD 1→|·|n |＝26，∴cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝26，∴直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是tan θ＝sin θcos θ＝2．]8．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．23 [如图，设A 1在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA ，OA 1分别为x 轴、z 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC 边长为1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，63，。

高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业不等式及其性质 Word版含解析

课时分层作业(十四) 不等式及其性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知1＜x ＜3，0＜y ＜1，则x －y 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(0，2) C ．(0，3)D ．(0，1)C [因为0＜y ＜1，所以－1＜－y ＜0，又1＜x ＜3，所以0＜x －y ＜3.] 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >ab 2B ．a b 2>a b >aC ．a b >a >ab 2D ．a b >a b 2>aD [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a .故选D.]3．已知a >b ，则下列不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1a .其中不成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [虽然已知a >b ，但并不知道a ，b 的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；2>－3⇒12>－13，②错；若有a ＝1，b ＝－2，则1a －b ＝13，1a ＝1，1a －b ＜1a ，故③错．]4．若abcd <0，且a >0，b >c ，d <0，则( ) A ．b <0，c <0 B ．b >0，c >0 C ．b >0，c <0D ．0<c 0，d <0，且abcd <0，知bc >0，又∵b >c ，∴0<c <b 或c <b <0.故选D.] 5．若a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ac ＞bc B ．ab ＞ac C ．a |b |＞c |b |D ．a 2＞b 2＞c 2B [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，∴A 不正确；对于B ，ab ＞ac ⇔a (b －c )＞0.又b －c ＞0，a ＞0，故B 正确；由于|b |有可能为0，故C 不正确；若a ＝2，b ＝1，c ＝－3，显然a ＋b ＋c ＝0，但a 2＞b 2且b 2＜c 2，故D 不正确．]二、填空题6．给出以下四个命题：①a ＞b ⇒a n ＞b n (n ∈N *)；②a ＞|b |⇒a n ＞b n (n ∈N *)；③a ＜b ＜0⇒1a ＞1b ；④a ＜b ＜0⇒1a －b＞1a .其中真命题的序号是________． ②③ [①中取a ＝－1，b ＝－2，n ＝2，不成立；②a ＞|b |，得a ＞0，∴a n ＞b n 成立；③a ＜b ＜0，1a ＞1b 成立；④a ＜b ＜0，得a －b ＜0，且a －b ＞a ，故1a －b ＜1a ，④不成立．]7．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列：________． y ＜－y ＜x [∵－1＜y ＜0，∴0＜－y ＜1，∴y ＜－y ，又x ＞1，∴y ＜－y ＜x .] 8．若8<x <10，2<y <4，则xy 的取值范围是________． (2，5) [∵2<y <4，∴14<1y <12.∵8<x <10，∴2<xy <5.] 三、解答题9．(1)a b ，1a <1b ，求证：ab >0.[证明] (1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ，∵a 0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故b a <ab .(2)∵1a <1b ，∴1a －1b <0，即b －aab <0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．已知3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围．(1)a；(2)a－b；(3)a b.[解](1)∵3＜a＋b＜4，0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4.(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.(3)∵0＜b＜1，∴1b＞1，又∵2＜a＜4，∴ab＞2.11．(多选题)已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是() A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则ac＞bdD．若a2＞b2，则－a＜－bACD[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有当a＞b＞0时才成立．故选ACD.]12．已知条件甲：a＞0，条件乙：a＞b且1a＞1b，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[a＞0不能推出a＞b，若a＞b且1a＞1b，则a＞b且b－aab＞0，可得a＞b且ab＜0，则a＞0，b＜0，即a＞b且1a＞1b能推出a＞0，所以可得甲是乙的必要不充分条件，故选B.]13．x＝2，y＝7－3，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是________．x＞z＞y[y＝7－3＝47＋3，z＝6－2＝46＋2，又∵7＋3＞6＋2＞0，∴z＞y.∵x－z＝2－(6－2)＝22－6＝8－6＞0，∴x＞z，∴x＞z ＞y.]14．(一题两空)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．13015[①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140＞120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元．②设顾客一次购买的水果总价为m元．由题意易知，当0＜m＜120时，x＝0；当m≥120时，(m－x)×80%≥m×70%，得x≤m 8对任意m≥120恒成立，又m8≥15，所以x的最大值为15.]15．(1)用分析法证明：已知n∈N*，n＋1－n＞n＋3－n＋2；(2)用反证法证明：若a，b为正实数，则ab＋ba≥a＋b.[证明](1)要证n＋1－n＞n＋3－n＋2，只需证n＋1＋n＋2＞n＋n＋3，只需证(n＋1＋n＋2)2＞(n＋n＋3)2，。

2019_2020学年高中数学全一册课时分层作业(打包22套)(含解析)新人教B版选修1_1

课时分层作业(一) 命题(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．下列语句中，命题的个数为 ( )①空集是任何非空集合的真子集．②起立！③垂直于同一个平面的两条直线平行吗？④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．1 B．2 C．3 D．4B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．]2．下列命题属于假命题的是( )A．若ac2>bc2，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若x∈R，则x2＋x＋1>0D．函数y＝sin x是周期函数B[|2|＝|－2|，但2≠－2，所以B项是错误的，故选B.]3．命题“梯形的对角线互相平分”的条件是( )A．四边形是梯形B．对角线C．互相平分D．对角线互相平分A[命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形，故选A.]4．下列命题中真命题的个数是 ( )①平行于同一平面的两个不同的平面平行；②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；③方程x2＋y2＝3表示一个圆；④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．A．1 B．2 C．3 D．4B[①③是真命题，②④是假命题，故选B.]5．已知命题“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)C[因为“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.]6．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．①等边三角形是等腰三角形；②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；③大角所对的边大于小角所对的边．①②③①[①是命题且是真命题；②是假命题，若两条直线斜率都不存在时，这两条直线平行；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．]7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________，它是________命题(填“真”或“假”)．a＞0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题是________．②④[①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立，故④真．]9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)实数的平方是正数；(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.[解](1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题．(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题．例如0的平方还是0，不是正数．(3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．例如y＝4，x＝3也符合条件．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．[解] ①若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a5，则x ＞1”，由命题为真命题，可知1＋a5≥1，解得a ≥4；②若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a5”，由命题为真命题，可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可使得利用A ，B 构造的命题为真命题，例如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．[能力提升练]1．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③D [如图1所示，α，β分别为正方体的上、下底面，显然图中的m ∥α，n ∥β，且α∥β，但m 与n 不平行，故①为假命题，可排除A ，C.对于命题④，如图2所示，α为正方体的下底面，β为侧面，图中的m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，但m 与n 不平行，故④为假命题，可排除B.故选D.]图1 图22．对于下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角； ②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标平面内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；④偶数的平方仍是偶数．其中真命题是________(将你认为正确的命题的序号都填上)．③④ [命题①错误，当a 与b 反向时，也有a·b ＜0；命题②错误，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形，所以A ∩B ＝A ；命题③正确，因为|a |＋|a －3|≥|a －a ＋3|＝3＞2，cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤2＜2，所以M 与N 在直线x ＋y －2＝0的异侧；命题④正确．]课时分层作业(二) 量词(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．下列命题中为全称命题的是( ) A ．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 B ．矩形都有外接圆C ．存在一个实数与它的相反数的和为0D ．0没有倒数B [命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是( ) A ．所有的整数都是有理数 B ．三角形的内角和都是180° C ．有些三角形是等腰三角形 D ．正方形都是菱形C [A ，B ，D 为全称命题，而C 含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∀x ∈R ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数D [A 中的命题是全称命题，但a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B 中的命题是全称命题，但是假命题；C 中的命题是全称命题，但x 2＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]4．下列存在性命题中，假命题的个数是( )①存在x ∈R ，使x 2<x ； ②有些三角函数的周期是π； ③存在x ∈R ，使函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2.A ．0B ．1C ．2D ．3B [由x 2<x 得0<x <1，故①“存在x ∈R ，使x 2<x ”是真命题；三角函数f (x )＝sin 2x 的周期为π，故②为真命题；x 2＋2＝1x 2＋2，得x 2＋2＝1，即x 2＝－1，此方程无实数解，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2＞2，故③是假命题．所以假命题的个数为1.]5．下列命题中为假命题的是 ( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x＞0C [选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋k π(k ∈Z )；选项C ，x 3＞0⇒x ＞0；选项D,2x＞0⇒x ∈R .]6．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2＞0”用“∃”写成存在性命题为________．∃x ＜0，(1＋x )(1－9x )2＞0 [根据存在性命题的定义改写．]7．下列命题中为全称命题的是________(填所有正确的序号)． ①三角形两边之和大于第三边 ②所有的x ∈R ，x 3＋1>0 ③有些函数为奇函数 ④平行四边形对角相等①②④ [③为存在性命题，①、④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题．] 8．下列语句中，全称命题有________，存在性命题有________．(填序号) ①有一个实数a ，a 不能取对数； ②所有不等式的解集A 都满足A ⊆R ； ③三角函数都是周期函数吗？ ④有的向量方向不定； ⑤自然数的平方是正数．②⑤ ①④ [因为①④中含有存在量词，所以命题①④为存在性命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以含有全称量词，故为全称命题；③不是命题．综上所述，①④为存在性命题，②⑤为全称命题，③不是命题．]9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2.[解] (1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题． (2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (3)是存在性命题，用符号表示为“∃x ∈R ，1x 2－x ＋1＝2”，是假命题．10．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0. ∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，∴a ≤－2或a ＝1.[能力提升练]1．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点 C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]2．已知对∀x >0，a ≤x ＋1x恒成立，则a 的取值范围为________．(－∞，2] [ ∀x ＞0，y ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1x时等号成立)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2；而对∀x >0，a ≤x ＋1x恒成立，所以a ≤2.]课时分层作业(三) “且”与“或”(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．“xy ≠0”是指( ) A ．x ≠0且y ≠0 B ．x ≠0或y ≠0 C ．x ，y 中至少一个不为0D ．x ，y 不都是0A [x ，y 要同时不等于0，才有xy ≠0.B 中包括x ≠0，y ＝0；x ＝0，y ≠0和x ≠0，y ≠0的情况．而C ，D 中都包含x 或y 可能为0的情况．]2．下列命题是真命题的是 ( ) A ．5＞2且7＞8 B ．3＞4或3＜4 C ．9≤7D ．方程x 2－3x ＋4＝0有实根B [虽然p ：3>4是假命题，但q ：3<4是真命题，所以p ∨q 是真命题．]3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真C [函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.]4．下列命题： ①2>1或1<3；②方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ④集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [前三个命题是“p ∨q ”形式，第四个是“p ∧q ”形式，根据真值表判断方法知命题③中两个简单命题均为假命题，故命题③是假命题．]5．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，下面使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)C [使“p ∧q ”为真命题的点即为直线y ＝2x －3与抛物线y ＝－x 2的交点．]6．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－b a ，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a ＜x ＜b }，若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________．b ≤a ≤0 [∵p ∨q 为假命题，∴p ，q 均为假命题．p 假⇔a ≤0，q 假⇔a ≥b ，则b ≤a ≤0.]7．已知命题p ：“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条抛物线”，则下列四种形式的命题：①p ；②q ；③p ∨q ；④p ∧q 中，真命题是________．①③ [∵p 为真命题，q 为假命题，p 或q 为真，p 且q 为假， ∴①、③是真命题．]8．已知命题p ：不等式|x －1|＞m 的解集是R ，命题q ：函数f (x )＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．{m |0≤m ＜2} [若命题p 为真可得m ＜0，若命题q 为真可得m ＜2，由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假可知p ，q 只能一真一假．若p 真q 假，可得m 不存在；若p 假q 真，可得0≤m ＜2.]9．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.[解] (1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题．10．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．[解] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2， ∴p ：－2＜a ＜2.函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数，则有5－2a >1，即a <2.∴q ：a ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2 或a ≥2，a <2，∴a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．[能力提升练]1．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p ∨q 表示( )A ．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B ．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C ．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D ．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D [命题p ∨q 表示的意义分为三层：(1)“甲的试跳成绩超过2米，乙没有超过2米”； (2)“甲没有超过2米，乙超过2米”；(3)“甲、乙二人都超过2米．”故该命题等价于甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米．]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)C [命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]课时分层作业(四) “非”(否定)(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．﹁pD ．(﹁p )∧(﹁q )B [因为p 是真命题，q 是假命题，所以p ∨q 是真命题．]2．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∈Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∈Z }C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}C [由题意知q 真，p 假，∴|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z ，∴x ＝0,1,2.] 3．对于p ：x ∈A ∩B ，则﹁p ( ) A ．x ∈A 且x ∈B B ．x ∉A 或x ∈B C ．x ∉A 或x ∉BD ．x ∈A ∪BC [因原命题等价于x ∈A 且x ∈B ，所以p 为x ∉A 或x ∉B .]4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．﹁p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．﹁p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．﹁p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．﹁p ：∃x ∈A,2x ∉BD [全称命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，即把“∈”改为“∉”．全称命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是﹁p ：∃x ∈A,2x ∉B ，故选D.]5．已知命题p ：函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数，若﹁p 为真，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥52B ．m ≤52C ．m ≥2D ．m ＜2C [由f (x )＝－(5－2m )x是减函数知5－2m >1，所以m <2，所以当﹁p 为真时，p 为假，所以m ≥2，故选C.]6．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋4≠0”的否定是________． ∃x ∈R ，x 2－x ＋4＝0 [全称命题的否定为存在性命题．]7．命题“若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为零”的否定为________．若abc ＝0，则a ，b ，c 全不为零 [“a ，b ，c 中至少有一个为零”的否定为“a ，b ，c 全不为零”．]8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”“ ﹁q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．{－1,0,1,2} [若p 真，则x 2－x －6≥0，解得x ≥3或x ≤－2.又因为“p ∧q ”“ ﹁q ”都是假命题，所以q 为真命题，p 为假命题，故有⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z ，得x ∈{－1,0,1,2}．]9．写出下列命题的否定．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零； (2)已知x ，y 均为非负实数，若x ＋y ＝0，则x ＝0且y ＝0. (3)面积相等的三角形都是全等三角形； (4)若m 2＋n 2＝0，则实数m ，n 全为零．[解] (1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 不全为零． (2)命题的否定：已知x ，y 均为非负实数，若x ＋y ＝0，则x ≠0或y ≠0. (3)命题的否定：面积相等的三角形不都是全等三角形． (4)命题的否定：若m 2＋n 2＝0，则实数m ，n 不全为零．10．已知命题p ：∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8；命题q ：∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2＜0.若p 或q 是真命题，﹁q 是真命题，求a 的取值范围．[解] 根据p 或q 是真命题，﹁q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题． ∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]． ∵∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8， ∴a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0，∴Δ＝a2－8＞0，∴a＞22或a＜－22，从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为[－22，－1]．[能力提升练]1．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧﹁qC．﹁p∧q D．﹁p∧﹁qB[∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，﹁p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，﹁q为真命题．根据真值表可知p∧﹁q为真命题，p∧q，﹁p∧q，﹁p∧﹁q为假命题．故选B.]2．若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为________．[－1,3] [∵命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，即对应的判别式Δ＝(a－1)2－4≤0，即(a－1)2≤4，∴－2≤a－1≤2，即－1≤a≤3.]课时分层作业(五) 推出与充分条件、必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]1．以q为公比的等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“q>1”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3.A ．0B ．1C ．2D ．3B [①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.]3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线，且m α，则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由mα，m ∥β得不到α∥β；由m α，α∥β能得到m ∥β.∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]4．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件C [由|a －3b |＝|3a ＋b |得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b ，由a ⊥b 得|a －3b |＝10， |3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．]5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－2x＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a ＜0B ．0＜a ＜12C ．12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合(图略)可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.－23 [x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.] 7．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． [3，＋∞) [p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3.q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋32.由题意知p ⇒q ，q /⇒p ，如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3.]8．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x ＜m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1＜3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]9．设x ，y ∈R ，求证：“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． [证明] 充分性：若xy ≥0，则有xy ＝0和xy ＞0两种情况．当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |， ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当xy ＞0时，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0.又当x ＞0，y ＞0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y . ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当x ＜0，y ＜0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y . ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．∴当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上，可知“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． 10．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴﹁p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴﹁q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}． ∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，∴AB .结合数轴有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ＜10，1－m ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ＞－2，解得0＜m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．[能力提升练]1．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [∵当a ＝4时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，当l 1与l 2平行时，需a 2＝8a ≠－8－a，显然不可能，故此时l 1与l 2重合，故选D.]2．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [因为圆心C (1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1＋3|1＋3＝2，若半径r ＝3，则圆C 上恰有三个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1.故若0<r <3，则圆C 上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；反之也成立．故选C.]3．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3.因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以p 的一个充分不必要条件是q ，所以a ≥1.]4．给出如下三个命题：①“2a >2b”是“ma >mb ”的充要条件； ②在△ABC 中，“∠A >60°”是“sin A >32”的充要条件； ③已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若q 是p 的充分不必要条件，则m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．其中正确的命题是________．③ [若2a>2b，则a >b ，而此时ma >mb 不一定成立，若ma >mb ，当m >0时，则a >b ，此时2a>2b，当m <0时，此时a 2b”是“ma >mb ”的既不充分也不必要条件，故命题①错误；在△ABC 中，∠A ＝150°时，sin A <32，故命题②错误；若q 是p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．由p ：－1≤x ≤4，所以由一元二次方程根的分布可得，(－1)2－6×(－1)＋9－m 2≤0，解得m ≤－4或m ≥4.故正确的命题是③.]5．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a＜0，∴a ＜0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a＜0，1a ＞0，∴0＜a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.课时分层作业(六) 命题的四种形式(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D[a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.故选D.]2．命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数B[原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是负数．故选B.]3．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[因原命题为真，故逆否命题也为真；又因该题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c 成等比数列”为假命题，所以它的否命题也为假命题．]4．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．4C[当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．故选C.]5．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题； (3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题； (4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 B________．[1,2] [由已知，得原命题的逆命题为“若1＜x ＜2，则m －1＜x ＜m ＋1”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.]7．给出以下命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2＞b 2的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题．其中真命题的个数为________．1 [命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题；因为命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，由x 2＋x －6≤0，得－3≤x ≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有1个．]8．给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②“若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6”； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．①②④ [①∵Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0， ∴①是真命题．②其逆否命题为真，故②是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．]9．写出命题“若定义在R上的函数f(x)，g(x)都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解]逆命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数，则函数f(x)，g(x)都是奇函数．该命题是假命题．因为函数f(x)，g(x)有可能都是偶函数．否命题：若定义在R上的函数f(x)，g(x)不都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数．该命题是假命题．逆否命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数，则函数f(x)，g(x)不都是奇函数，该命题是真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解](1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b＜－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．这与题设相矛盾，∴逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.为真命题．∵一个命题⇔它的逆否命题，可证明原命题为真命题．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．∴逆否命题为真命题．[能力提升练]1．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．0 B．2C ．3D ．4B [向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.]2．给出下列命题：①命题“在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 为等边三角形”的逆命题； ②命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；③命题“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)＜0的解集为R ”的逆命题．其中真命题的序号为________．①② [①命题“在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 为等边三角形”的逆命题为“若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ”，为真命题；②命题“若a ＞b ＞0，则3a ＞3b ＞0”为真命题，故其逆否命题也为真命题；③“若m ＞1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)<0的解集为R ”的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)<0的解集为R ，则m >1”，由于mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)＜0的解集为R ⇔m ＜－15，故逆命题为假命题．]课时分层作业(七) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1. 由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意，故选D.]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．4 2A [由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．y 225＋x 2＝1B ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C ．x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝1，1625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝125.]4．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.]5．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．②④ [①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填②④.]7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．x 29＋y 23＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.] 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B的值为________． 54 [由题意可知A ，C 恰为椭圆x 225＋y29＝1的两焦点，又点B 在椭圆上，故|BC |＋|AB |＝10.∴sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.]9．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32； (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.[解] (1)∵椭圆焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过(2,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. ∵P 到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴－c －(－10)＝2， ∴c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1. 10．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62， ∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M 与已知圆B 相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即 |BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，|CM |＝|AM |， ∴|BM |＋|AM |＝6.根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2，0)为焦点的椭圆，且2a ＝6. ∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，。

2019-2020人教B版数学必修1 课时分层作业19 对数的运算

课时分层作业(十九) 对数的运算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a cB [利用对数的换底公式进行验证， log a b ·log c a ＝log c b log ca ·log c a ＝log cb ，则B 正确．]2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( )A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 5A [法一：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝(lg 25－lg 16)－2(lg 5－lg 9)＋(lg 32－lg 81)＝2lg 5－4lg 2－2lg 5＋4lg 3＋5lg 2－4lg 3＝lg 2.法二：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.] 3．若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b aD ．a bD [log 75＝lg 5lg 7＝ab .]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x (x >0)，3x (x ≤0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值是( )A ．9B ．19C ．－9D ．－19 B [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝f (log 33－2)＝f (－2)＝3－2＝19.]5．若x ＝60，则1log 3x ＋1log 4x ＋1log 5x 的值为( )A ．1B ．12 C ．2D ．－1A [1log 360＋1log 460＋1log 560＝log 603＋log 604＋log 605＝log 60(3×4×5)＝1.]二、填空题6．已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b ＝________.20 [∵3a ＝2,3b ＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35， ∴2a －b ＝2log 32＋log 35＝log 320，∴32a －b ＝20.] 7．计算100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2－log 98·log 433＝________.2 [100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2－log 98·log 433＝10lg 9÷10lg 4－lg 8lg 9·13lg 3lg 4＝94－3lg 22lg 3·13lg 32lg 2＝94－14＝2.]8．已知x ，y ∈(0,1)，若lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则lg(1－x )＋lg(1－y )＝________. 0 [lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )⇒x ＋y ＝xy ，lg(1－x )＋lg(1－y )＝lg[(1－x )(1－y )]＝lg(1－x －y ＋xy )＝lg 1＝0.] 三、解答题9．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57.[解] (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.(2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109.10．2018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长6.7%，那么过多少年后国民生产总值是2018年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.067≈0.028 2，精确到1年)．[解] 设经过x 年国民生产总值为2018年的2倍．经过1年，国民生产总值为a (1＋6.7%)，经过2年，国民生产总值为a (1＋6.7%)2， …经过x 年，国民生产总值为a (1＋6.7%)x ＝2a ， ∴1.067x ＝2，两边取常用对数，得x ·lg 1.067＝lg 2. ∴x ＝lg 2lg 1.067≈0.301 00.028 2≈11.故约经过11年，国民生产总值是2018年的2倍．[等级过关练]1．已知f (x )＝x ＋log 2x9－x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)的值为( )A ．37B ．6C ．36D ．9 C [∵f (x )＝x ＋log 2x9－x， ∴f (x )＋f (9－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋log 2x 9－x ＋⎝⎛⎭⎪⎫9－x ＋log 29－x x ＝9. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝[f (1)＋f (8)]＋[f (2)＋f (7)]＋[f (3)＋f (6)]＋[f (4)＋f (5)]＝9×4＝36.]2．已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义：使f (1)×f (2)×f (3)×…×f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫作企盼数，则在区间[1,1 000]内这样的企盼数的个数为( )A ．7B ．8C ．9D ．10B [ 因为函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，所以f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)．所以f (1)×f (2)×…×f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)．若f (1)×f (2)×…×f (k )为整数，则k ＋2＝2n (n ∈Z )，又因为k ∈[1,1 000]，故k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510}．所以在区间[1,1 000]内这样的企盼数共有8个．]3．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝________. 1 [∵log a x ＝1log xa ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log xabc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.]4．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的_____________倍．1010 [由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4. 设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝1032×9＋11.41032×8＋11.4＝1032＝1010.即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍．]5．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．[解] 由题设，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lgb )·(lg a )2＋(lg b )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b ＝2×22－2×1212＝12.。

高一数学人教B版(2019)必修第一册最新同步练习(附详解)： 1.1.3集合的基本运算

6.答案：A
解析：因为集合 ,所以 ,所以 ,又
所以的Байду номын сангаас值范围是或
7.答案：D
解析：如图,要使 ,应有
8.答案：B
解析：∵ .
∴ .
∵
∴ ( ) .
9.答案：D
解析：因为 ,
所以，故选D.
10.答案：B
解析：∵
∴ .
11.答案：
解析：因为 ,所以 .
12.答案：
解析：∵ ,
又∵ ,
∴ ,
∴ .
2.答案：A
解析：由得，所以 .故选A.
3.答案：C
解析：由集合中元素互异性可知，且 ,故或，即或或舍去）.综上所述，x可取或0,即满足条件的x的个数为3.
4.答案：B
解析：如下图,可知 .
∵全集 ,
∴集合对应的韦恩图为所以故选B.
5.答案：D
解析：∵ , ∴结合数轴,可得 ,故选。
高一数学人教B版（2019）必修第一册同步课时作业
1.1.3集合的基本运算
1.设， ,则 =( )
A.
B.
C.
D.
2.已知集合，，则()
A.
B.
C.
D.
3.若，，且，则满足条件x的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设全集 ,则 ( )
A. B. C. D.
5.已知集合 ,若 ,则的取值范围为( )
13.答案：
解析：同时满足和 ,
则必是方程组 ,解得
∴ .
14.答案：
解析： ,
所以 .
15.答案：
解析：由得，则，则
(1)当时， ,解得 .

2020-2021学年数学人教B版(2019)必修第一册第1-3章作业(付,89)

B. 1,0
C.
0,1
11.已知集合 A
12
{x |
N, x
5x
N},则用列举法表示为_____________.
12.{ x, y | x y 6,x, y N} 用列举法表示为:________
13.用列举法表示集合{ x, y | 2x y 5 0,x N, y N} ________
14.满足 x 1 且 x
N ；B 选项,因为
3
不是整数,所以 2
3
Z； 2
C 选项,因为 π 不是有理数,所以 π Q ；D 选项,因为不含任何元素,所以 0 .
故选：C.
4.答案：D
1 解析：解不等式 2x 1 0 得到 x ,写成集合的形式,则得到选项为 D.故选 D.
2
5.答案：D
解析：由题意 x 5,又 x N , 集合为{0,1,2,3,4}.
0,1 ,
{ } 由集合与集合的关系可得： 1 Í{0,1} ,
结合所给选项可知只有 A 选项正确. 本题选择 A 选项. 2.答案：B 解析：A 选项中, M {(3,2)},N {(2,3)},集合 M ,N 都是点集,但集合 M 里的元素是点
3, 2
N
,集合里的元素是点
2,3 ,所以集合
M,N 不是同一集合；
B. M {2,3},N {3,2}
C. M {(x, y)| x y 1},N {y | x y 1} D. M {1,2},N {(1,2)}
3.下列关系中,正确的是( )
A.0 N
3
B. Z
C.π Q
D. 0
2
4.变量 x 满足 2x 1 0,则 x 的取值集合为( )

新教材数学人教B版必修第一册课时作业：本册综合测试

本册综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |x >1}，则下列关系中正确的是( C ) A ．0⊆A B ．{0}⊆A C ．∅⊆A D ．{0}∈A2．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( A )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{0,1,2} 解析：分别将x ＝－1,0,1,2代入x 2≤1，知x ＝－1,0,1适合，所以A ∩B ＝{－1,0,1}．3．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为( B )A ．存在一个三角形：内角和等于180°B ．任意三角形，内角和都等于180°C ．任意三角形，内角和都不等于180°D ．很多三角形，内角不和等于180° 4．若a <11b B.b a >1 C ．a 20，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a >0，b >0时，a ＋b ≥2ab ，则当a ＋b ≤4时，有2ab ≤a ＋b ≤4，解得ab ≤4，充分性成立；当a ＝1，b ＝4时，满足ab ≤4，但此时a ＋b ＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．6．若a ，b ，c ，d ∈R ，给出下列命题：①若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④a >b ，c >0，则ac >bc .其中正确命题的序号是( B )A ．①②④B ．①④C ．①③④D ．②③7．不等式(x 2－2x －3)(x 2＋2)<0的解集是( A )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |x <－1或x >3}C ．{x |0<x <3}D ．{x |－1<x <0} 8．设x ，y ∈R ＋且xy －(x ＋y )＝1，则( A )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥3(2＋1)解析：因为x ，y ∈R ＋且xy －(x ＋y )＝1，则xy ＝1＋(x ＋y )≥1＋2xy ，化为：(xy )2－2xy －1≥0，解得xy ≥1＋2，即xy ≥(1＋2)2，xy ＝1＋(x ＋y )≤(x ＋y )24，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，故选A.9．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( D )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]解析：因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，所以对任意x ∈R ，mx 2＋mx ＋1≥0，①m <0时，必存在x ∈R 使得mx 2＋mx ＋1<0， ②m ＝0时，f (x )＝1，满足题意， ③m >0时，Δ＝m 2－4m ≤0，则0<m ≤4，综上，则实数m 的取值范围是[0,4]．故选D.10．函数f (x )＝2x －3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，3的值域为( C )A ．[－2,0)B ．(－3,0)C ．[－258，0) D ．[－278，0)解析：令x ＋1＝t ，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，3，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以x ＝t 2－1，所以y ＝2(t 2－1)－3t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－258，所以当t ＝34时，f (x )取最小值－258；当t ＝2时，f (x )取最大值0，但是取不到．所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－258，0.故选C.11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＝x 3，则f (2)的值是( B )A ．8B ．－8 C.18D ．－18解析：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)＝f (－2)＝(－2)3＝－8，故选B.12．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( A )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2 解析：a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，所以2a ＋1b －1＝(2a ＋1b －1)(a ＋b －1)＝2＋2(b －1)a ＋ab －1＋1≥3＋22，故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．(2019·天津卷)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为(－1，23)．解析：3x 2＋x －2<0，即(x ＋1)(3x －2)<0，即－1<x <23，故x 的取值范围是(－1，23)．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x >0)，2f (x ＋1)(x ≤0)，则f (2)＝5；f (－1)＝8.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x >0)，2f (x ＋1)(x ≤0)，所以f (2)＝22＋1＝5，f (－1)＝2f (0)＝4f (1)＝4(1＋1)＝8.15．已知命题p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是[－1,6]，若p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[7，＋∞)．解析：由－4<x －a <4，得a －4<x <a ＋4，由(x －2)(3－x )>0，得2<x <3. 又非p 是非q 的充分条件，即q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.非q ：x ≤2，x ≥3，又p 是非q 的充分条件，所以a －4≥3或4＋a ≤2得a ≥7或a ≤－2.16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋4x ＋3a ，x >0，且f (0)为f (x )的最小值，则实数a 的取值范围是[0,4]．解析：若f (0)为f (x )的最小值，则当x ≤0时，函数f (x )＝(x －a )2为减函数，则a ≥0，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x ＋3a 的最小值4＋3a ≥f (0)，即4＋3a ≥a 2，解得－1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0,4]．三、解答题(共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |x 2－ax －b ＝0}，(1)若A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，求a ，b 的值； (2)若∅B A ，求实数a ，b 的值．解：(1)A ＝{3,5}．若A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，则B ＝{2,3}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，所以a ＝5，b ＝－6.(2)若∅B A ，则B ＝{3}或B ＝{5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋3＝a ，3×3＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧5＋5＝a ，5×5＝－b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－25.18．(12分)(1)已知非零常数a ，b 满足a ＋b ＝1a ＋1b ，求不等式|－2x ＋1|≥ab 的解集；(2)解关于x 的不等式x ＋22x －3≥0；(3)解关于x 的不等式ax 2－x >0.解：(1)已知a ＋b ＝a ＋bab ，因为a ，b 不为0，所以ab ＝1，原不等式相当于|－2x ＋1|≥1，所以－2x ＋1≥1或－2x ＋1≤－1，得{x |x ≤0或x ≥1}．(2)x ＋22x －3≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(2x －3)≥0，2x －3≠0，解得x ≤－2或x >32，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x >32.(3)根据题意，分三种情况讨论：①当a ＝0时，不等式为－x >0，即x <0，此时不等式的解集为{x |x <0}．②当a ≠0时，方程ax 2－x ＝0有两个根，分别为0和1a .当a >0时，1a >0，此时不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <0或x >1a ；当a <0时，1a <0，此时不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <0.综上可得，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <0或x >1a ；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <0.19．(12分)(1)解不等式(x －2)(x 2＋3x ＋2)>0；(2)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c ≥4.解：(1)由不等式(x －2)(x 2＋3x ＋2)>0，即(x －2)(x ＋1)(x ＋2)>0，解得－2<x <－1，或x >2. (2)证明：因为a ，b ，c >0，所以(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c ＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c＝1＋a b ＋c ＋b ＋c a ＋1＝2＋ab ＋c ＋b ＋c a ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＋c 时等号成立．20．(12分)(1)已知x >0，y >0，且3x ＋2y ＝2，求xy 的最大值以及相应的x 和y 的值；(2)已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，求1a ＋1b 的最小值；(3)已知方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都是正数，求实数m 的取值范围．解：(1)已知x >0，y >0，且3x ＋2y ＝2，根据基本不等式得到：3x ＋2y ＝2≥26xy ⇒xy ≤16，等号成立的条件为：x ＝13，y ＝12.(2)已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b(a ＋b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4. 最小值为4.(3)已知方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都是正数，则根据韦达定理得到⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0⇒m ≥9或m ≤1，x 1＋x 2＝3－m >0⇒m <3，x 1x 2＝m >0，因此0<m ≤1.21．(12分)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋4x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[－2，a ](a >－2)上的最小值．解：(1)当x >0时，f (x )＝－x 2＋4x ，又f (x )为奇函数，则当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－x 2－4x )＝x 2＋4x ，又f (0)＝0，故f (x )解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋4x ，x <0.(2)根据函数解析式画出函数f (x )的图像，可得f (－2)＝－4，当x >0时，由f (x )＝－4，解得x ＝2＋22(负值舍去)．①当－2<a ≤2＋22时，观察图像可得函数最小值为f (－2)＝－4.②当a >2＋22时，函数在[－2,2]上单调递增，在[2，a ]上单调递减，由图像可得函数的最小值为f (a )＝－a 2＋4a .综上所述：当－2<a ≤2＋22，最小值为－4；当a >2＋22时，最小值为－a 2＋4a .22．(12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.(1)求f (1)的值； (2)证明：f (x )为增函数；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－1，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，125上的最值．解：(1)因为函数f (x )满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，令x 1＝x 2＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. (2)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2·x 1x 2－f (x 2) ＝f (x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f ⎝⎛⎭⎪⎫125＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15·5＝f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f (5)＝0，即f (5)＝1，则f (5)＋f (5)＝f (25)＝2，f (5)＋f (25)＝f (125)＝3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，125上的最小值为－2，最大值为3.由Ruize收集整理。

高中数学人教B版必修第一册课时作业：1.1.3 第2课时补集及其应用

第一章 1.1 1.1.3 第2课时请同学们认真完成 [练案5]A 级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．设全集U ＝R ，则下列集合运算结果为R 的是( A ) A ．Z ∪(∁U N ) B ．N ∩(∁U N ) C ．∁U (∁U ∅)D ．∁U Q解析：Z ∪(∁U N )＝R ，N ∩(∁U N )＝∅， ∁U (∁U ∅)＝∅，∁U Q 表示无理数构成的集合．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1，或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，且(∁U A )∩B ≠∅，则实数k 的取值区间是( C )A ．(－∞，0)∪(3，＋∞)B ．(2,3)C ．(0,3)D ．(－1,3) 解析：∁U A ＝(1,3)，由(∁U A )∩B ≠∅可得1<k <3或1<k ＋1<3，所以0<k <3.3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( D ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2D ．2解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2－2a ＋3＝3，得a ＝2.4．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3,5}，B ⊆∁U A ，则集合B 的个数是( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由题意知∁U A ＝{2,4}．又B ⊆∁U A ， ∴B ＝{2}，{4}，{2,4}，∅共4个．5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3≤0}，那么集合(∁U A )∩B 等于( A ) A ．{x |－1≤x ≤3} B ．{x |－1<x <3} C ．{x |x <－1}D ．{x |x >3}解析：∁U A ＝{x |x ≥－1}，B ＝{x |x ≤3}．故(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤3}．故选A ．二、填空题(每小题5分，共15分)6．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∪B )∩(∁U C )＝__{2,5}__. 解析：∵A ∪B ＝{2,3,4,5}，∁U C ＝{1,2,5}，∴(A ∪B )∩(∁U C )＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}． 7．已知A ＝{0,2,4}，∁U A ＝{－1,1}，∁U B ＝{－1,0,2}，则B ＝__{1,4}__. 解析：∵A ＝{0,2,4}，∁U A ＝{－1,1}，∴U ＝A ∪(∁U A )＝{－1,0,1,2,4}． ∵∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝∁U (∁U B )＝{1,4}，综上所述，集合B ＝{1,4}．8．设U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x >4或x <3}，则a ＋b ＝__7__. 解析：∴U ＝R ，∁U A ＝{x |x >4或x <3}， ∴A ＝{x |3≤x ≤4}，∴a ＝3，b ＝4. 则a ＋b ＝7.三、解答题(共20分)9．(10分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤8}，B ＝{x |2<x <9}，C ＝{x |x ≥a }． (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解析：(1)全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤8}，B ＝{x |2<x <9}， ∴A ∪B ＝{x |1<x <9}，∁U A ＝{x |x ≤1，或x >8}，∴(∁U A )∩B ＝{x |x ≤1，或x >8}∩{x |2<x <9}＝{x |8<x <9}． (2)∵A ∩C ≠∅，∴a ≤8， ∴a 的取值范围为(－∞，8]．10．(10分)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}． (1)若m ＝5，求(∁R A )∩B ；(2)若B ≠∅，且A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解析：(1)由题意得∁R A ＝{x |x <－2，或x >7}，又B ＝{x |5＋1<x <2×5－1}＝{x |6<x <9}，所以(∁R A )∩B ＝{x |7<x <9}．(2)由B ≠∅，且A ∪B ＝A ，可得B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≥－3，m ≤4.故实数m 的取值范围为(2,4]．B 级素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．设全集U ＝{x ∈Z |－1≤x ≤5}，A ＝{1,2,5}，B ＝{x ∈N |－1<x <4}，则B ∩(∁U A )＝( B ) A ．{3} B ．{0,3} C ．{0,4}D ．{0,3,4}解析：由题意得U ＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{－1,0,3,4}，∴B ∩(∁U A )＝{0,3}． 2．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么(∁U M )∩(∁U N )＝(B )A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{(x ，y )|y ≠x ＋1}解析：∵M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}表示直线y ＝x ＋1去掉点(2,3)，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}表示平面内除直线y ＝x ＋1外的点，又∵(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )，而M ∪N 表示平面内除(2,3)以外的所有点， ∴∁U (M ∪N )＝{(2,3)}，综上可知选B ．二、多选题(每小题5分，共10分)3．设全集为U ，则图中的阴影部分可以表示为( AB )A ．∁U (A ∪B ) B ．(∁U A )∩(∁U B )C ．∁U (A ∩B )D ．A ∪(∁U B )解析：阴影部分的元素是由不属于集合A 且不属于集合B 的元素构成，即元素x ∈U 但x ∉A ，x ∉B ，即x ∈(∁U A )∩(∁U B )，即x ∈(∁U (A ∪B ))．4．若用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )C (B )－C (A )，C (A )<C (B )，已知A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，则实数a 的所有可能取值为( ACD )A ．0B ．1C ．22D ．－2 2解析：由已知得C (B )＝3或1.当C (B )＝1时，x 2＋ax ＝0有两个相等实根，即Δ＝a 2＝0，即a ＝0，此时x 2＋ax ＋2＝0没有实根，所以a ＝0符合题意；当C (B )＝3时，x 2＋ax ＝0有两个不等实根，且x 2＋ax ＋2＝0有两个相等实根，即a 2>0且a 2－8＝0，即a ≠0且a ＝±22，所以a ＝±2 2.综上，a ＝0或±22，故选ACD ．三、填空题(每小题5分，共10分)5．设全集U ＝{1,3,5,7}，集合M ＝{1，|a －5|}，M ⊆U ，∁U M ＝{5,7}，则实数a 的值为__2或8__.解析：由题意M ＝{1,3}，所以|a －5|＝3即a ＝2或8.6．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x >a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是__(－∞，1]__.解析：因为A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x >a }，所以∁U A ＝{x |x ≤1}，由(∁U A )∪B ＝R ，可知a ≤1. 四、解答题(共10分)7．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3.综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．由Ruize收集整理。

2019-2020人教B版数学必修1 课时分层作业1 集合的概念

课时分层作业(一) 集合的概念(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若集合A 中有两个元素x 与x 2，则x 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．－1D [当x ＝0或1时，x ＝x 2，不满足集合元素的互异性．故选D.] 2．下列对象不能构成集合的是( )①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体． A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①③D [研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.]3．下列三个关系式：①5∈R ；②14Q ；③0∈Z .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0B [①正确；②因为14∈Q ，错误；③0∈Z ，正确．] 4．下面几个命题中正确命题的个数是 ( ) ①集合N ＋中最小的数是1； ②若－aN ＋，则a ∈N ＋；③若a ∈N ＋，b ∈N ＋，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C [N ＋是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a N ＋，且aN ＋，故②错；若a ∈N ＋，则a 的最小值是1，又b ∈N ＋，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．]5．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为 ( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0B [若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ，若a ＝6∈A ，则6－a ＝0A .故选B.]二、填空题 6．用符号∈或填空：(1)0________N ＋； (2)(－4)2________N ＋； (3)2________Z ； (4)π＋3________Q . [答案] (1)(2)∈ (3)(4)7．下列条件不能构成集合的是________． (1)充分小的负数全体； (2)爱好飞机模型的一些人； (3)某班本学期视力较差的同学； (4)某校某班某一天所有课程．(1)(2)(3) [(1)(2)(3)的对象不确定，唯有(4)某校某班某一天所有课程的对象确定，故不能构成集合的是(1)(2)(3)．]8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.6 [∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6.] 三、解答题9．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ， ∴⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求元素x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .[解] (1)根据集合元素的互异性可知⎩⎨⎧x ≠3，x ≠x 2－2x ，即x ≠0，且x ≠3，x ≠－1.x 2－2x ≠3，(2)∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，又－2∈A ，∴x ＝－2.[等级过关练]1．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素A [法一：因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．法二：令x ＝2，则以上实数分别为：2，－2，2，2，－2，由元素互异性知集合最多含有2个元素．]2．已知集合A 中的元素都是自然数，满足a ∈A 且4－a ∈A 的有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 C [若a ＝0∈N ，则4－a ＝4∈N ，符合题意；若a ＝1∈N ，则4－a ＝3∈N ，符合题意；若a ＝2∈N ，则4－a ＝2∈N ，不合题意；若a ＝3∈N ，则4－a ＝1∈N ，符合题意；若a ＝4∈N ，则4－a ＝0∈N ，符合题意；当a ＞4且a ∈N 时，均不符合题意．综上，集合A 的个数是2，故选C.]3．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为________． 0或1 [由题意，知t ∈N 且t ＝－x 2＋1≤1，故t ＝0或1.]4．若方程ax2＋x＋1＝0的解构成的集合只有一个元素，则a的值为________．0或14[当a＝0时，原方程为一元一次方程x＋1＝0，满足题意，所求元素即为方程的根x＝－1；当a≠0时，由题意知方程ax2＋x＋1＝0只有一个实根，所以Δ＝1－4a＝0，解得a＝14；所以a的值为0或14.]5．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．[证明](1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中必还有另外两个元素，且为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无实数解．∴a≠11－a，∴集合A不可能是单元素集.。

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课时分层作业(一)
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
C[A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．]
2．已知集合A由x<1的数构成，则有()
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1∉A
C[很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．]
3．下列说法：
①集合N与集合N
是同一个集合；
＋
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的是()
【导学号：60462012】A．②④B．②③
C．①②D．①④
A[因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示
有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确. ] 4．下面几个命题中正确命题的个数是()
①集合N
＋
中最小的数是1；
②若－a∉N
＋，则a∈N
＋
；
③若a∈N
＋，b∈N
＋
，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0B．1
C．2D．3
C[N＋是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N＋，且a∉N＋，故②错；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．]
5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为() A．2 B．2或4
C．4 D．0
B[若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A，若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.]
二、填空题
6．用符号∈或∉填空：
【导学号：60462013】
(1)0________N＋；
(2)(－4)2________N＋；
(3)2________Z；
(4)π＋3________Q.
[答案](1)∉(2)∈(3)∉(4)∉
7．设集合A是由1，k2为元素组成的集合，则实数k的取值范围是________．k≠±1[∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的性质可知k2≠1，解得k≠±1.]
8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.
6 [∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6.] 三、解答题
9．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．
[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.
10．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？
[解] ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．
[冲A 挑战练]
一、选择题
1．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3
x 3所组成的集合，最多含 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素
D ．5个元素
A [由于|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3
x 3＝－x ，并且x ，－x ，|x |之中总有两个相等，所以最多含2个元素．]
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．]
二、填空题
3．如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是_______.
【导学号：60462014】
x≠0,1,2，1±5
2[由集合元素互异性可得x≠1，x
2－x≠1，x2－x≠x，解得
x≠0,1,2，1±5 2.]
4．若方程ax2＋x＋1＝0的解构成的集合只有一个元素，则a的值为________．
0或1
4[当a＝0时，原方程为一元一次方程x＋1＝0，满足题意，所求元素
即为方程的根x＝－1；
当a≠0时，由题意知方程ax2＋x＋1＝0只有一个实根，所以Δ＝1－4a＝0，
解得a＝1
4；所以a的值为0或
1
4.]
三、解答题
5．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则
1
1－a
∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明] (1)若a ∈A ，则1
1－a ∈A .
又∵2∈A ，∴1
1－2＝－1∈A .
∵－1∈A ，∴11－(－1)＝1
2∈A .
∵12∈A ，∴1
1－12
＝2∈A .
∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，1
2. (2)若A 为单元素集，则a ＝
11－a
，
即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解． ∴a ≠1
1－a
，∴集合A 不可能是单元素集.。