《向量的概念》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

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北师大版高中数学必修四新教材教案第五章向量(2)

课题：实习作业（2）教学目的：1进一步熟悉解斜三角形知识；2巩固所学知识，提高分析和解决简单实际问题的能力；3加强动手操作的能力；4进一步提高用数学语言表达实习过程和实习结果的能力；5增强数学应用意识教学重点：数学模型的建立教学难点：解斜三角形知识在实际中的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪：分组实习教学过程：一、实习准备准备测量工具、实习报告二、实习过程1根据地形选取测量点；2测量所需数据；3多次重复测量，但改变测量点；4填写实习报告；5总结改进方案三、实习作业举例例题A 、B 两点间有小山和小河，为了求A 、B 两点间的距离，选择一点D ，使AD可以直接测量且B 、D 两点可以通视，再在AD 上选一点C ，使B 、C 两点也可通视，测量下列数据：AC ＝ｍ，CD ＝ｎ，∠ADB ＝α，∠ACB ＝β，求AB (1)计算方法如图所示，在△BCD 中，CD ＝ｎ，∠CDB ＝α ∴∠DBC ＝β－α 由正弦定理可得BC ＝)sin(sin sin sin αβα-=⋅n DBC BCD CD在△ABC 中，再由余弦定理得AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos ACB其中BC 可求，AC ＝ｍ，∠ACB ＝β，故AB 可求 (2)实习报告四、课堂练习：1某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么xA 3 B23C23或3D32在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（） A3400 B33400米 C2003 D200米3如图，为了测量障碍物两测A 、B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据A α、A 、B B α、β、AC A 、B 、γD α、β、B 4如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB =30°,∠CBA =75°,AB =120m ，则河的宽度为5如图，在山脚A 测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走A 米到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，则山高为6我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为7如图5—25，河塘两侧有两物A 、B ，不能直接量得它们间的距离，但可以测算出它们的距离，为此，在河塘边选取C 、D 两点，并测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠A D C =30°,∠A D B =90°,CD =80米，试求A 、B 两物间的距离（精确到018甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以10海里/小时的速度向正北方向行驶，而甲船同时以8海里/小时的速度由A 处向北偏西60°9如图是曲柄连杆装示意图，连杆AC =l ，曲柄AB =r ，曲柄AB和曲轴B L 所成的角为α（1）求连杆AC 和曲轴B L 间的夹角β（2）当α取什么值时，β（3）求滑块C 的位移x 参考答案：1C 2A 3C 4 60m 5)sin()sin(sin αγβγα--a614nmile/h 72588 87109 (1)1sin αr (2)90° (3)r (1-cos α)+l(1-cos β) 五、小结通过本节实习，要求大家进一步熟悉解斜三角形知识在实际中的应用，在动手实践的过程中提高利用数学知识解决实际问题的能力，并能认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用，增强学习数学的兴趣六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

《向量的概念》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】

随堂练习
例 2 (1)已知 B，C 是线段 AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和
终点最多可以写出
个互不相等的非零向量。
(2)一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方
向向北偏西 40°走了 200 km 到达 C 点，最后改变方向，向东行驶了 100 km 到达
随堂练习
1．判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1)若向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一直线上； (2)若向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； (3)向量A→B的长度与向量B→A的长度相等； (4)单位向量都相等。
随堂练习
【解】对于(1)，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上。而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，所以(1)错；
向量平行或共线
a与b平行或共线，记作a∥b
表示两个向量的有向线段所
在的直线平行或重__合__
规定： _零_向__量__ 与任一向量共
线
新课学习
2.向量及其表示
(1)定义
既有_大__小_，又有_方__向_的量叫作向量。
(2)有向线段
具有__方__向和_长__度_ 的线段叫作有向线段。其方向是由__起__点指向__终_ 点，以A为起点、B为
零向量，综上知共 6 个互不相等的非零向量。【答案】 6
随堂练习
(2)①向量A→B，Байду номын сангаас→C，C→D如图所示。
②由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线，又|A→B|＝|C→D|， ∴在四边形 ABCD 中，AB═ ∥CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→D＝B→C，∴|A→D|＝|B→C|＝200(km)。

高中数学第二章向量的概念课件3 北师大版必修4(1)

答案
1、既有大小,又有方向；
2、大小；
3、模等于1；
4、模等于零；
5、起点；
6、共线向量,共面向量；
7、模相等且方向相同；
下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度； ⑤路程；⑥密度⑦功.其中不是向量的有( D )
A. 1个
B.2个
C. 3个
D.4个
（1）理解向量的概念
（2）掌握两种向量的表示方法（3）掌握与向量的有关概念
的．在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定，
而与起点位置无关的向量，也称为自由向量．
相等向量：长度相等且方向相同的向量.
Ｂ2
Ｂ１Ａ2 Ｂ3
Ａ１Ａ3
A1B1=A2B2=A3B3
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，记作a∥b
a
b
c
零向量与任一向量平行
例1：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中，
向量的概念
在现实世界中,像位移、速度、力等既又大小，又有方向的量是很多的,如加速度、动量等。在数学中，我们把这种既又大小，又有方向的量称为向量.
向量的表示
(1) 用带箭头的线段表示
箭头的方向表示向量的方向线段的长度表示向量的大小 B（终点）
A（起点）
具有方向和长度的线段叫有向线段.以A为起点、
(1)找出与向量 DE 相等的向量；
AF和AC
D
A
F
B (2)找出与向量 DF 共线的向量．
E
C
BE,EB,EC,CE,BC,CB,FD
Hale Waihona Puke 、向量是的量； 2、向量的叫做向量的模； 3、的向量叫做单位向量； 4、的向量叫做零向量； 5、与无关的向量称为自由向量； 6、平行于同一直线的一组向量叫做，三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做； 7、两向量，我们称为这两个向量相等。

北师大版高中数学必修四平面向量的基本概念课时学案

《§2.1 平面向量的实际背景及基本概念》学案学习目标：1、认识向量与数量的区别，了解平面向量的概念和向量的几何表示；2、掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念，并会区分平行向量、共线向量、相等向量、相反向量。

学习重难点：向量的概念与几何表示，平行向量、共线向量、相等向量、相反向量。

学习过程【自主学习】（一）、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量。

引言：请同学们指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？（二）、学习内容：一、向量的定义1、既有 __又有 __的量叫做向量。

2、数量与向量的区别：数量只有 ___，可以比较大小；向量有 __也有 _____，不能比较大小。

二、向量的几何表示1、用有向线段表示，有向线段的 __表示向量的大小，箭头所指的 __表示向量的方向；用有向线段的起点与终点字母表示：AB ，其中是起点，是终点。

2、用小写字母等表示，如：a 、b 、c 等。

三、向量的模向量AB 的大小，即向量AB 的长度，记作_______________.四、零向量长度为 __的向量，记为______，其方向是 _____.注意0与0的含义与书写区别。

五、单位向量长度为 ____的向量，其方向是 _。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

【重难点探究】六、平行向量与共线向量1、平行向量：方向__________或___________的__________向量叫做平行向量。

若向量a b 、平行，通常记作_____________. 规定：零向量与任意向量平行，即 0∥a .2、共线向量：向量由它的________和________确定，与起点无关，任一组平行向量都可以移A B CD A(起点)B （终点）a动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量。

高中数学第二章平面向量教案北师大版必修4

第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量1．1 位移、速度和力1．2 向量的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和标量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辨证思想的教育．●重点难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．(教师用书独具)●教学建议1．本节的教学应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，还可以要求学生自己举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点．2．本节介绍了两种向量的表示方法：几何表示和字母表示．几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则利于向量运算，这两种方法需要学生熟练掌握．教科书用黑体字母表示向量，如a ，在手写时可用a →表示．用有向线段表示向量时，要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．3．相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合．任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．●教学流程创设问题情境，引出问题：位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？引入向量概念．⇒通过引导学生回答相关问题，引出有向线段、向量的构成要素，向量的长度(模)、零向量、单位向量等相关概念，并加深对向量的理解，熟悉其几何表示方法．⇒引导学生探究相等向量、共线向量的含义与性质，深刻领会相等向量是一类向量的集合，共线(平行)向量所在线段不一定平行等性质，避免与平面几何中直线平行相混淆．⇒通过例1及其变式训练，强化对向量相关概念的理解，深刻把握好各概念的内涵和外延．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握向量的表示方法及其应用策略．⇒引导学生探究相等向量、共线向量等概念，并完成例3及其互动探究，掌握解此类问题的方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)向量及其表示【问题导思】1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？【提示】面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？【提示】利用有向线段来表示． 1．定义既有大小又有方向的量叫作向量． 2．有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度．记作|AB →|.3．向量的长度|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)． 4．向量的表示法(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．(2)向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c …来表示，书写用a →，b →，c →…来表示．向量的有关概念名称定义表示方法零向量长度为零的向量 0单位向量与向量a 同方向，且长度为1a 0(向量a方向上)的向量，叫作a方向上的单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量若a等于b，记作a＝b向量平行或共线表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合a与b平行或共线，记作a∥b向量的有关概念下列说法正确的是( )A ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上 B ．若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 D ．单位向量都相等【思路探究】利用共线(平行)向量、单位向量、相等向量、向量的长度等概念逐项判断正确与否．【自主解答】对于A ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．对于B ，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．对于C ，向量AB →与BA →方向相反，但长度相等．对于D ，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．【答案】 C1．对共线向量的理解是本题的关键点．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2．熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量【解析】 AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故选项A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B 错；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D 错．【答案】 C向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题．【自主解答】 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又∵|AB →|＝|CD →|.∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200(km)．1．在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想．应注意的是有向线段是向量的表示方法，并不是说向量就是有向线段．3．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向．图2－1－1在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1) (1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？【解】 (1)(2)(3)的图像如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心半径为2的圆．相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．【思路探究】解答本题可依据相等向量及共线向量的定义求解．【自主解答】 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点， ∴EF ∥BC ，且EF ＝12BC .又∵D 是BC 的中点，∴EF ＝BD ＝DC .(1)与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →的模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →，CD →.1．本题以三角形中位线与底边的关系为载体，融相等向量及共线向量的知识于其中，求解时可充分借助于几何图形的相关性质，使向量与几何有机地结合起来，用共线向量反映几何图形中的位置关系，用向量模的关系，反映几何图形中的长度关系．2．判断一组向量是否相等，关键看向量是否方向相同和长度相等，与起点和终点位置无关．对于共线向量，则只要同向或反向即可．在本例条件不变的情况下，写出与AC →共线的向量和与CE →相等的向量．【解】与AC →共线的向量有：CA →，FD →，DF →，CE →，EC →，AE →，EA →；与CE →相等的向量有：EA →，DF →.忽视零向量方向致误给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中不正确的命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【错解】选B.【错因分析】 ⑥中若b ＝0则结论不成立，因为0的方向不确定．【防范措施】对于向量的概念要认真理解，尤其是零向量一定要记住其特殊性．【正解】两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b ＝0，则a 与c 就不一定平行了．因此⑥也不正确．【答案】 C1．学习了向量的概念及其表示，明确了有向线段与向量之间的关系． 2．掌握了特殊向量及向量之间的关系，以及它们的性质特点． 3．能在具体图形中找出相等向量与共线向量．1．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝|b |⇒a ＝b B ．|a |＞|b |⇒a ＞b C ．a ＝b ⇒a ∥bD ．|a |＝0⇒a ＝0【解析】如果两个向量相等，则这两个向量必定平行．【答案】 C2．如图2－1－3，AB →＝DC →，AC 与BD 相交于点O ，则相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →图2－1－3【解析】 |DO →|＝|OB →|，且DO →与OB →方向相同，则DO →＝OB →，故选D. 【答案】 D 3．给出下列命题：①若|a |>|b |，则a >b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若|a |＝0，则a ＝0；④0＝0；⑤向量AB →大于向量CD →；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)【解析】 ①不正确．|a |>|b |知模的大小，而不能确定方向，向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．【答案】 ②③图2－1－44．如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O 且平行于AB 的线段．(1)写出图中的各组共线向量； (2)写出图中的各对同向向量； (3)写出图中的各对反向向量．【解】 (1)向量DC →，BA →，EO →，OF →为一组共线向量；向量AO →与OC →为一组共线向量；向量OD →与OB →为一组共线向量；向量AE →与ED →为一组共线向量；向量BF →与FC →为一组共线向量．(2)向量DC →与EO →，OF →为同向向量，向量AO →与OC →，AE →与ED →，BF →与FC →分别为同向向量． (3)DC →与BA →，BA →与EO →，BA →与OF →，OD →与OB →为反向向量.一、选择题1．如图2－1－5，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－5A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示．【答案】 B图2－1－62．如图2－1－6所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( ) A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC → D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．【答案】 B图2－1－73．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点，则与E F →的模相等的向量共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. 【答案】 B图2－1－84．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA →外，与向量OA →共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【解析】由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量OA →共线的向量有AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，EF →，FE →，BC →，CB →，共有9个．故选D.【答案】 D5．下列说法中，不正确的是( ) A ．0与任意一个向量都平行B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【解析】易知A 、B 、C 均正确，D 不正确，它们的终点可能相同，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．已知边长为3的等边△ABC ，则BC 边上的中线向量AD →的模等于________．【解析】由于AD ＝32AB ＝332.∴|AD →|＝3 32.【答案】3 32图2－1－97．如图，设O 是正方形ABCD 的中心，则：①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．【解析】根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，AO →与BO →的方向不相同，故④不正确．【答案】 ①②③图2－1－108．如图2－1－10所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →平行且长度为2 2的向量个数是________．【解析】图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．【答案】 8 三、解答题9．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量．【解】如图可知，(1)易知BC ＝AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点可知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB →长度相等的向量有BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →.(3)与DA →共线的向量有AD →，BC →，CB →.图2－1－1110．如图2－1－11所示，四边形ABCD 中AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.【证明】 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，又∵DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.图2－1－1211．如图2－1－12，A 、B 、C 三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x ，y )，其中x 、y ∈R .当x 、y 满足什么条件时，向量OC →与AB →共线(其中O 为坐标原点)?【解】由已知，A 、B 的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO ＝45°. 当点C (x ，y )的坐标满足x ＝y ＝0时，OC →＝0，这时OC →与AB →共线(零向量与任意向量都共线)；当xy ≠0，且x ＝y ，即点C 在一、三象限角平分线上时，有AB ∥OC ，这时OC →与AB →共线．综上，当x ＝y 时，OC →与AB →共线．(教师用书独具)如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．【解】如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．如图，在4×5的方格图中，有一个向量AB →，分别以图中的格点为起点和终点作向量．(1)与向量AB →相等的向量有多少个？ (2)与向量AB →长度相等的向量有多少个？【解】 (1)结合向量相等的定义及方格的特征可知与向量AB →相等的向量有3个． (2)与向量AB →长度相等的向量有39个，因为对角线长度与AB →长度相等的每个矩形中有4个与向量AB →长度相等的向量．而这样的矩形共有10个，所以共有4×10－1＝39个．§2从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法 2．2 向量的减法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．(3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：向量的加法、减法运算．难点：向量加法、减法的几何意义．(教师用书独具)●教学建议几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．当求两个或多个不共线向量的和时，和向量是从第一个向量的始点指向最后一个向量的终点．类比数的运算中减法是加法的逆运算，将向量的减法定义为向量加法的逆运算．教学时，要结合三角形法则认真体会其含义．两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．●教学流程创设问题情境：对比实数的加法运算，如何求出两向量的和呢？⇒引导学生结合物理中力的合成，类比发现向量加法的定义及其运算性质．⇒引导学生探究向量减法的定义及向量减法的几何意义．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的加、减运算．⇒通过例2及变式训练，使学生熟练掌握利用向量加、减法的几何意义作用．⇒通过例3及变式训练，掌握向量加、减法的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．课标解读1.掌握向量的加法、减法运算．(重点)2．理解向量加法与减法的几何意义及加、减法的关系．(难点)向量求和法则及运算律【问题导思】一架飞机要从A地经B地运物资到C地，问从A地到B地，与从B地到C地这两次位移之和是什么？【提示】如图所示，这两次位移之和为AB →＋BC →，而实际位移为AC →. 由此可以看出AB →＋BC →＝AC →. 类别图示几何意义向量求和的法则平行四边形法则已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )相反向量【问题导思】向量AB →与向量BA →是一对特殊的向量，它们的长度和方向之间有什么关系？【提示】向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即AB →＝－BA →. 定义把与a 长度相等、方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a性质(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－a )＝a ；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a向量的减法【问题导思】1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？【提示】是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a －b?【提示】先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )．定义向量a 加上b 的相反向量叫作a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法几何意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量向量的加法、减法运算(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →＝( )A.BC →B.AC →C.DA →D.BD →(2)化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝________. 【思路探究】 (1)利用平行四边形法则和性质；(2)可用三角形法则，即所谓“首尾相连”；也可以引入空间一点O ，转化成以O 为起点的向量进行化简．【自主解答】 (1)在▱ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， ∴AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →. (2)法一原式＝AB →＋BD →＋DA →－(BC →＋CA →) ＝0－BA →＝AB →.法二在平面内任取一点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则原式＝(OB →－OA →)＋(OA →－OD →)＋(OD →－OB →)－(OC →－OB →)－(OA →－OC →) ＝OB →－OA →＋OA →－OD →＋OD →－OB →－OC →＋OB →－OA →＋OC →＝OB →－OA →＝AB →. 【答案】 (1)C (2)AB →1．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的三角形与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，一定有两向量起点相同．2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O ，将向量起点统一．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．【解】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.利用向量加法、减法的几何意义作图图2－2－1如图2－2－1所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作b ＋c －a .【思路探究】解答本题可用平行四边形法则作b ＋c ，再作b ＋c －a .【自主解答】法一以OB →、OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD →、AD →，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .法二作CD →＝OB →＝b ，连接AD ，则AC →＝OC →－OA →＝c －a ，AD →＝AC →＋CD →＝c －a ＋b ＝b ＋c －a .1．运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连，指被减．2．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则，多个向量相加减时要注意灵活运用运算律．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.图2－2－2图(1)【解】法一如图(1)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .图(2)法二如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，则BC →＝－c 连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .向量加减法的综合应用图2－2－3如图2－2－3所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.【思路探究】要证明b ＋c －a ＝OA →，可转化为证明b ＋c ＝OA →＋a ，从而利用向量加法证明；也可以从c －a 入手，利用向量减法证明．【自主解答】在▱ABCD 中，DA →＝CB →＝b ，OC →＝c 法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，又∵OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →.∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →. 法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.1．法一是利用三角形加法法则证明两个向量的和相等；法二是利用向量减法法则证明两个向量的差相等，证明时可灵活选择方法．2．灵活选择方法，优化思维过程，通过恒等变形来证明等价命题是常用的证明恒等式的方法．P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 【证明】 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋BP →＋AC →＋CQ →，又∵BP →＝QC →，∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →.错用向量减法法则致误如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为r 1、r 2、r 3，求OD →.图2－2－4【错解】因为OD →＝OC →＋CD →， CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1.【错因分析】错误使用了向量的减法法则导致解错．【防范措施】减法口决：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量．应把首尾相接的放在一起计算，始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图像，结合图像观察将使问题更为直观．【正解】 OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋OA →－OB →＝r 3＋r 1－r 2.1．学习了向量加法的三角形法则和平行四边形法则．2．学习了相反向量的概念，知道向量的减法是向量加法的逆运算． 3．学习了向量减法运算并且掌握了它的几何意义．4．掌握了利用向量的加、减法进行化简、作图、表示其他向量，体会了数形结合的应用．1．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B. 2 C ．3D ．2 2【解析】 ∵AB →＋AD →＝AC →，∴|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2，故选B. 【答案】 B2．下列说法正确的是( ) A ．0＋0＝0B ．对任意向量a ，b ，都有a ＋b ＝b ＋aC ．对任意向量a ，b ，有|a ＋b |>0D ．等式|a ＋b |＝|a |＋|b |不可能成立【解析】 ∵0＋0＝0，∴A 不正确；|a ＋b |≥0，∴C 不正确；当a ，b 同向共线时，|a ＋b |＝|a |＋|b |成立，∴D 不正确；B 正确，故选B. 【答案】 B3．化简AB →－DC →－AD →＝________. 【解析】原式＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →. 【答案】 CB →图2－2－54．如图2－2－5，已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，试用a ，b ，c 表示向量OD →.【解】 OD →＝OA →＋AD →。

北师大版高中高二数学必修4《平面向量》教案及教学反思

北师大版高中高二数学必修4《平面向量》教案及教学反思一、前言本文是结合北师大版高中高二数学必修4的平面向量教学内容，为教师提供了相应的教案和教学反思，主要包括教学目的、教学重点、难点、教学过程、教学方法、教师工作和学生工作的要求等。

二、教学目的1.了解平面向量的概念、性质和运算法则。

2.学习线性运算、数量积和向量积的定义、性质和运算法则。

3.通过实例计算向量的长度、在坐标系中的表示、平移、旋转等问题。

三、教学重点和难点1.教学重点1.向量的概念、性质和运算法则。

2.学习线性运算、数量积和向量积的定义、性质和运算法则。

3.能计算向量的长度、在坐标系中的表示、平移、旋转等问题。

2.教学难点1.向量的概念与初学者的数学思维的转换。

2.向量积的概念和运算需要一定的几何直观，较为抽象。

四、教学过程1.引入通过展示一个向量的示意图，让学生从图像上感受到向量的呈现方式，并讨论其特点。

2.【课堂互动】概念阐释让学生从示意图中认识向量的本质，理解向量的基本性质，引领学生明确向量的基本概念。

3.【实际应用】例题分析让学生通过实际的应用例子，来理解向量的一些具体应用，引领学生掌握向量的定义、性质和运算法则。

4.【例题解答】计算练习让学生通过例题练习，来计算向量的长度、在坐标系中的表示、平移、旋转等问题，巩固向量的计算方法。

5.【探究优化】性质讨论通过讨论向量的性质和运算法则，引领学生建立起向量的几何直观，从而更好地掌握计算过程。

五、教学方法1.教师工作1.运用多媒体工具和真实的案例方法，让学生更直观地理解向量的定义和运算法则。

2.通过设计不同难度的例子，巩固学生对向量的理解能力，引导学生在思考的同时发现规律。

2.学生工作1.课前预习教材，为课堂中的学习打下基础。

2.积极参与实物示例和实际的应用例子讨论，从中理解向量的特点及其解析方法。

3.认真完成课堂上各种类型的练习。

六、教学反思1.教育是不断变革和发展的，时刻驱使我们教师不断地改革教育方法，使学生更好的掌握知识，发展他们的潜能。

北师大版高中数学必修4：1.2向量的概念

江西省新余市第四中学特级教师朱伙昌
Email: 2448300012@
哪怕风雨苍茫。你是一股力量，在我的血管里，
课外作业
1.（必做作业）教材P75 习题2-1 2.（选做作业）平面向量既有大小，又有方向，集数与形于一身。我们也知道，平面直角坐标系中，坐标与点是一一对应的，实质上也是沟通了数与形之间的关系，那么，平面向量有没有坐标表示呢？如果有，你觉得应该怎么定义？请课后进行研究。 3.目标检测设计：判断下列结论是否正确（1）若a，b都是单位向量，则a=b；（2）若a=b，则a，b是共线向量；（3）平行向量方向一定相同。
单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?
类比数的集合，认识向量的集合。
教学过程（三）击鼓传花，自主探究
5、向量的关系（1）模相等的向量有：（2）模相等，方向相同的向量有：（3）模相等，方向相反的向量有: （4）方向相同或相反的向量有: （5） AB,BC 是共线向量吗？（6）AC，DG是平行向量吗？（7）AC 与 DG是共线向量吗？（8）AB 与 AC是平行向量吗？
（3）若a// b，则 a与 b 的方向相同。 ( × )
（4）若 AB 0 ，则 AB BA 。
( ×)
(5)若 a b，则 2a b. ( × )
(6)A、B、C、D四点不共线,若 AB DC ,则四边形 ABCD为平行四边
形( √ )
教学过程（四）辨析概念，例题互动
例2 如图，设 O 是正六边形ABCDEF 的中心. (1)向量 OA 与 FE相等吗? (2)与向量 OA 长度相等的向量有多少个? (3)与向量 OA 共线的?）
类比数的绝对值几何意义，得出向量模的定义。
教学过程（二）问题引领，逐步探究

数学必修四第一章向量(单元)教学设计

数学必修四第一章向量(单元)教学设计教学目标1. 了解向量的基本概念和表示方法2. 掌握向量的基本运算法则3. 能够解决与向量相关的几何问题4. 培养学生的逻辑思维和推理能力教学内容1. 向量的定义和基本性质2. 向量的表示方法：坐标表示、分量表示和单位向量表示3. 向量的加减法和数量积4. 向量的模长、方向角和投影5. 向量的线性相关性和线性无关性教学活动1. 引入活动：通过展示一段美丽的风景图片，引发学生对向量的好奇和兴趣，并提出一些与向量有关的问题。

2. 概念解释活动：通过幻灯片或黑板教学，对向量的定义和基本性质进行详细解释，引导学生理解向量的含义。

3. 实例分析活动：通过实例分析，让学生了解向量的表示方法和运算法则，并引导学生运用向量进行几何问题的解决。

4. 小组合作活动：将学生分为小组，设计一系列与向量相关的问题，要求学生利用所学的知识解答，并鼓励学生相互合作、讨论和分享解题思路。

5. 教师辅导活动：教师与学生进行一对一辅导，针对学生的困惑和问题进行解答和指导，帮助学生掌握向量的概念和运算方法。

6. 总结评价活动：教师组织学生进行向量知识的总结评价，让学生回顾所学的内容，并提出自己的疑惑和建议。

教学资源1. 幻灯片或黑板2. 风景图片3. 教材和练册4. 小组合作问题设计教学评估1. 学生观察笔记和课堂讨论表现2. 小组合作问题的解答质量3. 学生完成的练册作业4. 学生针对教学的评价和反馈教学延伸1. 鼓励学生利用向量的知识解决实际问题，如物体运动的分析等。

2. 推荐相关的数学软件和工具，帮助学生巩固和扩展向量的运算能力。

3. 引导学生阅读更多与向量相关的数学资料和经典问题，培养学生的数学兴趣和探究精神。

北师大版高中数学必修四新教材教案第五章向量

课题：正弦定理、余弦定理（3）教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 二、讲授新课：1正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例1已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且32sin sin =B A ，求BB A +的值解：∵23sin sin ,sin sin ,sin sin ==∴=B A b a B A B b A a 又(这是角的关系)， ∴23=b a (这是边的关系)于是，由合比定理得.25223=+=+b b a 例2已知△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别是A 、B 、C ，且a 、b 、c 成等差数列求证：sin A ＋sin C ＝2sin B证明：∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b (这是边的关系)① 又BA b a C cB b A a sin sin ,sin sin sin =∴==② BC b c sin sin =③ 将②、③代入①，得b B C b B A b 2sin sin sin sin =+整理得sin A ＋sin C ＝2sin B (这是角的关系)2正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值解：原式＝sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角设这三个内角所对的边依次是a 、b 、c ，由余弦定理得：a 2＋b 2－2ab cos150°＝c 2（※）而由正弦定理知：a ＝2Ｒsin20°，b ＝2Ｒsin10°，c ＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin 2150°＝41 ∴原式＝41 例4在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长 (αααcos sin 22sin =)分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中αααcos sin 22sin =利用正弦二倍角展开后出现了cos α，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则ααααcos sin 222sin 2sin ⋅+=+=x x x ,xx 22cos +=∴α① 又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程例5已知三角形的一个角为60°，面积为103c ｍ2，周长为20c ｍ，求此三角形的各边长分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC ＝21ab sin C 表示面积，其三是周长条件应用解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a 由①式得：b 2＝［20－（a ＋c ）］2＝400＋a 2＋c 2＋2ac －40（a ＋c ） ④将②代入④得400＋3ac －40（a ＋c ）＝再将③代入得a ＋c ＝13由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1＝7，b 2＝7所以，此三角形三边长分别为5c ｍ，7c ｍ，8c ｍ评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用① ② ③(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力三、课堂练习：1在△ABC 中，已知B =30°,b =503,c =150，那么这个三角形是( ) A B C D 等腰三角形或直角三角形2在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，则此三角形为( ) A B C D 等腰直角三角形3在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，则sec A =4△ABC 中，BA B A sin sin tan tan =，则三角形为 5在△ABC 中，角A 、B 均为锐角且cos A ＞sin B ，则△ABC 是6已知△ABC 中，A b B a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且，试判断△ABC 的形状 7在△ABC 中，（a 2+b 2）sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B )，判断△ABC参考答案：1D 2A 3 8 45钝角三角形6等边三角形 7四、小结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断五、课后作业：1在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B ⇒2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12B A B -+-=-⋅ ∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C 由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2, 即a 2，b 2，c 2成等差数列2在△ABC 中，A ＝30°，cos B ＝2sin B －3sin C(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(提示B ＝C ＝75°)(2)设D 为△ABC 外接圆的直径BE 与AC 的交点，且AB ＝2，求AD ∶DC 的值答案：（1）略（2）1∶3六、板书设计（略）七、课后记：。

向量的概念(精品说课稿)

尊敬的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《向量的概念》。

下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。

首先来说说教材。

本课是北师大版高中数学必修四第二章第一节课内容，本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。

通过本课的学习，学生将了解到向量是沟通代数和几何的桥梁，为研究几何问题提供了新的工具和方法，同时对更新和完善中学数学知识结构起着重要作用。

向量集数、形于一身，有着极其丰富的实际背景。

因此我认为：本节课重要的是让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提分析问题，解决问题的能力。

分析完了教材，再来说说学情。

高二年级的学生，对物理及生活中的量已经有了一定的感知，对向量已有模糊的概念，但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。

鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，按照从具体到抽象的认知过程，通过实际模型，帮助学生形成数学概念，使学生在材料的基础上获得对向量概念的直观感知，并上升到对向量概念及实际背景的理解。

基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量，这是本课教学的重点。

2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，这也是本课教学的难点。

3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，意识到数学源于生活。

数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法，教学过程应重视学生的实践活动，引导学生主动地获取知识，全面提高学生的数学素养。

所以，本堂课的教学，我准备采用演示法、情境教学法、讨论分析法等。

高中数学北师大版必修四2.1.2【教学课件】《向量的概念》

北京师范大学出版社︱必修四
巩固练习：
1．判断下列说法是否正确，并说明理由。 → → (1)若向量AB与CD是共线向量，则 A， B， C， D 必在同一直线上； (2)若向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； → 的长度与向量BA → 的长度相等； (3)向量AB (4)单位向量都相等。
北京师范大学出版社︱必修四
2.向量及其表示 (1)定义大小既有____ ，又有方向 ____的量叫作向量。 (2)有向线段
具有方向 ____
起点指向___ 终点，和长度 ____ 的线段叫作有向线段。其方向是由____
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段长度的____ ，记作
北京师范大学出版社︱必修四
例题解析：
例2 (1)已知 B，C 是线段 AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和个互不相等的非零向量。
终点最多可以写出
(2)一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向北偏西 40° 走了 200 km 到达 C 点，最后改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点。 → → → ①作出向量AB，BC，CD → ②求|AD|
②向量也可以用黑体小写斜体字母如 a，b，c，…来表示，书写
→ → → a ， b ， c …来表示。用__________
北京师范大学出版社︱必修四
巩固练习：
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数量同向量一样可以比较大小。( → 与向量BA → 是相等向量。( (2)向量AB ) ) )
→。 |AB|.
北京师范大学出版社︱必修四
(3)向量的长度 → |(或|a|)表示向量AB → (或 a)的_____，即长度(也称模)。 |AB 大小 (4)向量的表示法

北师大版高中必修41.2向量的概念课程设计

北师大版高中必修41.2向量的概念课程设计介绍向量是数学中的重要概念之一。

在高中数学中，向量的概念也被列入了必修二项知识点之中。

本课程设计旨在通过实际案例和练习，深入浅出地讲解向量的概念、性质、运算和应用。

本课程参考了北师大版高中数学教材41.2章节的相关内容，并进行了适当的拓展和深化。

教学目标1.理解向量的概念和基本性质2.掌握向量的运算法则及其应用3.能够应用向量进行几何、物理和工程等实际问题的解决教学内容第一节向量的概念和基本性质1. 向量的定义和表示向量的定义是指在平面上或空间内具有大小和方向的量，可用有向线段表示。

本课程将通过实际案例和动态演示，逐步向学生展示向量的概念和表示方法，帮助学生理解向量的基本概念。

2. 向量的基本性质学生将学习向量的基本性质，包括零向量、单位向量、共线向量、平行向量和垂直向量等。

我们将通过计算和实例来帮助学生确立这些概念，并掌握它们的运用方法。

第二节向量的运算法则1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的操作。

本课程将通过图形演示和计算实例来帮助学生掌握向量的加法和减法规则。

通过实例的应用，学生将会了解向量的加、减法运算在几何、物理和工程等领域的应用方法。

2. 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是高中数学中比较重要的运算法则。

本课程将通过实际案例的演示和计算实例的讲解，帮助学生理解向量的数量积和向量积的概念和运算法则，以及它们在实际问题中的应用方法。

第三节向量的应用1. 向量在几何问题中的应用向量在几何学和图形学等领域中有着广泛的应用。

本课程将通过实际案例和计算实例的讲解，帮助学生掌握向量在几何问题中的应用，如线段长度、角度、中点、分点等相关概念。

2. 向量在物理问题中的应用向量在物理学中有着广泛的应用。

本课程将通过实际案例和计算实例的讲解，帮助学生掌握向量在力、力矩、速度、加速度等物理问题中的应用方法。

3. 向量在工程问题中的应用向量在工程学中也有着广泛的应用。

陕西省西安市高新第一中学北师大版高中数学必修四2.1.1向量的概念教学实录

《向量概念》教学实录一、实例导入师：我们先来看一组图片（多媒体展示帆船航行的过程）。

疑问：这支帆船为什么没有到达目的地B处？（学生此时不必回答）师：我们再来看一个物体受力的分析图（多媒体展示）。

疑问：这个人能否拉动该物体？（学生此时不必回答）师问：请同学们思考上面的两个问题，先直接回答这两个问题，紧接着思考问题根源的共性并回答。

学生甲：这支帆船虽然走的路程不少，也是15海里，但航行的方向没有按规定进行，所以没有到达目的地B。

学生乙：这个人拉动的力的方向不正确，不是水平方向的，而且是向下的，所以拉不动。

学生丙：这两个问题的共性就是对方向有要求。

师：哪位同学能归纳概括一下由上面两个问题所反映出的一种普偏现象？生：有一种量，它是有方向的。

师：很好，答到了要害处，有没有需要补充的？生：有一种量，它是既有大小又有方向的。

师：同学们回答得很好，很会思考问题和归纳问题。

本堂课上，我们就一起来学习这种量，我们把它叫做向量。

（教师板书课题——向量的概念）二、新课讲授与学习1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

（板书）师：我们如何来表示向量呢？请同学们思考片刻。

师：这之前我们表示过一些向量吗？学生甲：在物理学中我们表示过一些矢量，比如力的表示。

师：好，那我们来做件事情，请画出一个静止在水平面上的物体的受力情况，该物体所受的重力是10N。

（教师用多媒体展示问题，板书物体摆放图）师：请一位同学到黑板上来画出受力分析图。

一个标度），进而画出方向向上的支持力F和方向向下的重力G。

师：画得很好。

物理中的矢量就是数学中的向量，那么，我们就找到了向量的一种表示形式——图示。

2．向量的几何表示：用一条带箭头的线段来表示向量，我们称为向量的几何表示，并称这样的线段为有向线段。

（板书）有向线段的记法有两种：（1）用有向线段的起点字母（大写）和终点字母（大写）来记，并表上箭头，如上面的支持力可记为OF→；（2）用小写的字母带上箭头来记，如a→，如果是印刷体，可用粗体的小写字母，不需带箭头。

高中数学第二单元平面向量 2.1.1 向量的概念学案北师大版必修4

2.1.1 向量的概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一向量的概念及表示思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？思考2 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？思考3 向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？梳理(1)向量：具有大小和________的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做________.(2)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫做________线段.点A叫做有向线段的________，点B叫做有向线段的________.有向线段的方向表示向量的________，线段的长度表示位移的________，位移的距离叫做向量的________. (3)以A 为始点，以B 为终边的有向线段记作AB →，AB →的长度记作|AB →|，如果有向量线段AB →表示一个向量，通常我们就说向量AB →. 知识点二相等向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？思考2 两向量相等需要具备哪些条件？梳理 (1)同向且等长的有向线段表示________向量，或________的向量.(2)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |.两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b .知识点三向量共线或平行思考1 共线向量的方向有何特征？思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？梳理 (1)通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的________(如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量________或________.向量a 平行于b ，记作a ∥b .(2)长度等于零的向量，叫做________，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量________.知识点四位置向量任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的__________.类型一向量的概念例1 下列说法正确的是( ) A.向量AB →与向量BA →的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1 下列说法正确的有________.(填序号) ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； ③向量AB →与BA →是平行向量.类型二共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点.(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量.反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？类型三向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？1.下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若|a|>|b|，则a>b.A.0B.1C.2D.32.下列说法错误的是( )A.若a＝0，则|a|＝0B.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3.如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC →B.|AB →|＝|DC →|C.AB →>DC →D.AB →<DC →4.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →的模相等的向量.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意一个特殊向量——零向量，零向量的长度为0，方向不确定，通常规定零向量与任意向量平行.答案精析问题导学知识点一思考1 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2 可以用一条有向线段表示．思考3 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．梳理 (1)方向自由向量 (2)有向始点终点方向距离长度知识点二思考1 因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等．思考2 需要具备两个条件：长度相等、方向相同．梳理 (1)同一相等知识点三思考1 共线向量的方向相同或相反．思考2 不相同．我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．梳理 (1)基线共线平行 (2)零向量平行知识点四位置向量题型探究例1 A 跟踪训练1 ③例2 解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.跟踪训练2 解 (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．(2)存在．由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个．(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个．例3 解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意易知，AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线．又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.跟踪训练3 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，5为半径的圆(作图略)．当堂训练 1．B 2.B 3.B4．解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)与AD →的模相等的向量有DA →，CF →，FC →.。

北师大版高中数学必修四新教材教案第五章向量(8)

课题：实习作业（1）教学目的：1进一步熟悉解斜三角形知识；2巩固所学知识，提高分析和解决简单实际问题的能力；3加强动手操作的能力；4进一步提高用数学语言表达实习过程和实习结果的能力；5增强数学应用意识教学重点：数学模型的建立教学难点：解斜三角形知识的应用原理授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：分组讨论式关于实习作业的教学，受到实验条件的影响，比如学校实验室暂缺测角仪、经纬仪等测量仪器，但考虑到实习作业将体现数学知识在实际中的应用，意义重大所以没有放弃，而是在课堂上简要讲述测角仪的原理后，向学生提出：能否自己动手，制作一个简易测角仪，并在实习中加以运用通过分组讨论，比较得出较为优秀的方案供全体同学参考，同时还能激发起学生的参与意识，提高动手能力，进一步增强学习数学的兴趣教学过程：一、引入：前面两节，学习了解斜三角形的应用举例，具备了一定的解斜三角形的能力，并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用这一节，我们将为应用解斜三角形知识的实习作业作准备工作二、讲解新课：1测角仪原理如图，对于建筑物AB，需测出角α，其中D为测角仪所处位置，在建筑物与地面垂直前提下，DC与地面平行DA为测角仪与建筑物顶端连线2提出问题(1)DC的水平如何保持?(2)角α如何获得?根据上述原理及所提问题，大家进行分组讨论，十五分钟后各组选一代表表述本组方案3简易测角仪方案方案Ⅰ(1)实验器材：木板一块、量角器一个、三角架1个，硬纸条(3O cｍ)，铅垂线(2)如图所示①木板 ②硬纸条 ③支架 ④铅垂线 ⑤量角器 ⑥转动点其中硬纸条、量角器固定在木板上，但可绕转动点⑥转动，木板固定在支架上，使铅垂线与矩形木板中心线重合以保持木板的水平(3)测量时，使B 、C 和建筑物顶端重合，即三点一线，由于量角器随其移动，所以A 点所示度数即所侧仰角的度数(4)注意事项①尽量加长B C 以减少误差，②水平调整尤为重要，③测量多次数据取平均值，④测量时所选地面应保持水平(5)不足之处测量角度只能精确到1° 方案Ⅱ(1)实验器材：两个凳子、圆规、重垂线、三角板、卷尺(2)示意图：(3)测量步骤①圆规一边OB 固定在板凳边缘，②在圆规另一边OA 末端A 点挂上重垂线，③用三角板验证重垂线与OB 是否垂直，若不垂直，可提升或降低O 点，使它们垂直，④用卷尺量出OB 、AB 长度，其中OA 要与建筑物顶端共线，⑤tan α＝OB AB ，∴α＝arctan OBAB (4)注意事项 ①圆规可用三合板，薄金属片之类材料做成，以减少测量误差，②在板凳上采取固定设施，可用钉子钉在板凳上，以防止测量时圆规的错位移动，③尽量使视线与O 、A 及所测建筑物的顶端位于同一直线上，④运算结果利用计算器得出4研究问题(1)测量底部能到达的建筑物高度测出角α、DC 长度，BC 长度，在Rt △ADC 中，求出AC ，则AC ＋BC 即为所求(2)测量底部不能到达的建筑物高度选点C 、D 两次测得仰角α1，α2，测出CD 长度、BE 长度在△ACD 中，利用正弦定理求出AD ，而后在Rt △ADE 中，求出AE ，则AE ＋BE 即为所求4实习作业注意事项(1)准备所需工具；(2)提前设计实习报告；(3)减少误差的措施；(4)提前勘察地形以确定研究类型5布置下节实习内容测量电视发射塔的高度三、课堂练习：1从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为（）A α＞β B α=β C α+β=90° D α+β=180°2海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、CA103海里 B 3610 C52 D56海里3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75 A5 B53 C10 D103海里4一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为5甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是6某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是参考答案：1B 2D 3C 42035203米，3340 632小时四、小结通过本节学习，大家要明确测角仪的原理，熟悉简易测角仪的制作程序及测量角度的基本步骤，以及实际问题的数学模型的解决方法，提高大家应用数学知识解决实际问题的能力五、课后作业：(1)提前勘察地形；(2)准备测量工具；(3)设计实习报告六、板书设计（略）七、课后记：。