理论力学9—质点动力学基本方程
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45º
A B
60º
O M
r
A FA
60º
v a 0, an 12.5 m s 2 r 2 v 0, an 12.5 m s 2 r
方向指向O点。
小球在水平面内作匀速圆周运动。 2
B
FB O an M
r
v
mg
9.3 质点动力学的两类基本问题
建立自然坐标系得：
A
v2 m FA sin 45 FB sin 60 r 0 mg FA cos 45 FB cos60
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。
它认为质点的质量是不变的，时间和空间是绝对的。
9.1 动力学的基本定律
必须指出的是： 质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关。 因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。 凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 反之为非惯性坐标系。 随着人们研究问题的不同，所取的惯性参考系也不相同。 例如：研究人造卫星的运动，可取以地心为原点，三轴指向三 颗恒星的坐标系为惯性系。 在一般工程问题中，把固结于地面的坐标系或相对地面作匀速 直线运动的坐标系作为惯性系。
轨迹方程为：
x v0t cos 1 2 y v0t gt 2
x gx 2 y 2 cos 2v0 cos 2
由此可见，物体的轨迹是一抛物线。
9.3 质点动力学的两类基本问题
例4 垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的 运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影 响。 解：以物体为研究对象，将其视为质点，建立如图坐标。 质点在任一位置受地球引力的大小为： mM F G0 2 x gR2 mM 所以 G0 mg G0 2 由于 M R
9.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
n d2 r ma m 2 Fi dt i 1
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
d2 x n d2 y n d2 z n m 2 Fxi , m 2 Fyi m 2 Fzi dt dt dt i 1 i 1 i 1 d2 y n d2 z n Fxi , m 2 Fyi m 2 Fzi dt dt i 1 i 1 i 1
在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科 学荣誉。
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色 的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了 微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的 最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结 了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学 系统称为牛顿力学。
9.1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
9.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度关系定律) 质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加 速度的方向与力的方向相同。
d ( mv ) F dt
2 2
v0 M
mg
v
x
t 0: x0 0: x00 y0 v0 x0, vv0 cos0 cos0 , vy sin sin t y 0, 0 x v , v y v0 0 v0
t t0: x0t x0 y0 x0 0, v00xvx0,0v00 cos0vcos vv0 sin sin y 0 vx , 0: 0: y 0, v cos v0,yvy v0 sin v0 0 , 0y
FB 0 v 4.9 2.21m s 因此，只有当 2.21m/s v 2.91m/s 时，两绳才同时受力。否
则将只有其中一绳受力。
9.3 质点动力学的两类基本问题
例3 从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为α，如 不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。 解：研究抛射体, 列直角坐标形式的 质点运动微分方程 y
9.3 质点动力学的两类基本问题
确定出积分常数为：
C1 v0 cos , C2 v0 sin , C3 C4 0
C1 v0 cos , C2 v0 sin , C3 C4 0 , C2 v0 sin , C3 C4 0
于是物体的运动方程为：
或
ma F
在经典力学中质点的质量是守恒的，因此上面两式等价，在相 对论力学中，指点的质量与速度有关，质量已不再是常量，上 面两式也不等价。其中第一式仍然成立，第二式则不再成立。
9.1 动力学的基本定律
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的 惯性越大。 因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程 的出发点，称为动力学基本方程。 在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。 在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。 由第二定律有
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
v0
m d v F (t )d t
0
t
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv d x dv v dt d x dt dx dx dv v dt dx
v
v0
mv d v F ( x)d
x0
x
b sin wtj ) mw 2 ( xi yj ) mw 2 r
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒 指向椭圆中心。 这种力称为有心力。
9.3 质点动力学的两类基本问题
例2 质量为1Kg的小球 M ，用两 绳系住，两绳的另一端分别连接 在固定点 A、B ，如图。已知小 球以速度v＝2.5 m/s在水平面内 作匀速圆周运动，圆的半径 r ＝ 0.5 m, 求两绳的拉力。 解：以小球为研究对象，任一瞬 时小球受力如图。
v
v0
mv d v F ( x)d x
x0
x
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
v
v0
t m dv dt 0 F (v )
9.3 质点动力学的两类基本问题
例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动 方程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。 解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
动力学引言
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。
质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保 持不变，也称不变的质点系。
M
x2 y 2 2 1 2 a b
质点作椭圆运动。将运动方程对时 间求两阶导数得：
F r y
a
O b
x
x
aw 2 cos wt , bw 2 sin wt x y
aw 2 cos wt , bw 2 sin wt y
9.3 质点动力学的两类基本问题
代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能长 度，则需要多大的初速度 和一定的时间间隔后才能 达到飞离甲板时的速度。 若已知初速度、一定的时 间间隔后飞离甲板时的速 度，则需要弹射器施加多 大推力，或者确定需要多 长的跑道。
工程实际中的动力学问题
v maw2 cos wt, Fy my mbw2 sin wt Fx mx
cos wt, Fy my mbw sin wt
2
M
j
F r y
x a F Xi Yj maw 2 cos wti mbw 2 sin wtj O i x b F ( w 2 cos i b mbw2 wt F Xi Yjmw 2Xa Yj wwt w 2 w tjsiniwtjmb2 ( xisin yjtj mw 2 r mai cos ti masin cos) mw w 2 w) w 2mw 2 wti mbw2ba cos w)i mw 2wxji) yj ) ( xwryj ) mw 2 r cos (a cosmw2 sin wwtj t b sin ( t mw 2 mi 2 wti ( sin tj
解得：
分析: 由(1)、(2)式可得:
(1) (2)
b
M
FA
60º
B
FA 8.65 N, FB 7.38 N
FB O n an
r
mg
v
2 2 2 FA (9.8 3 2v ), FB (2v 2 9.8) 3 1 3 1 FA 0 v 4.9 3 2.91 m s
x
H
M
F
由直角坐标形式的质点运动微分方程得：
d2 x mgR 2 m 2 F 2 dt x d 2 x dvx dvx dx dvx vx 2 dt dt dx dt dx
d x d x d y d y m 22 0, m 22 mg m 0, m mg d tt d d tt d 积分后得
11 2 2 gt C2t t C4 x x C1 C,3 , y y gt C2 C4 C1t t C3 22 初始条件为
2 2
n
m
v
2
1
Fn i , 0 Fb i
i 1 i 1 n
n
n
F
n
1
, 0 Fb i
i 1
9.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题： 已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归 结为数学上的求导问题。 第二类基本问题： 已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归 结为数学上的解微分方程或求积分问题。
v1
F
棒球在被球棒击打后，其 速度的大小和方向发生了 变化。如果已知这种变化 即可确定球与棒的相互作 用力。
v2
Βιβλιοθήκη Baidu
工程实际中的动力学问题
v2
v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程实际中的动力学问题
航空航天器的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。 在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得 不靠他的外祖母养大。 1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学 位。 在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。 1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他 回到老家。 这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验， 即白光由7种色光构成的实验。 而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。
n
y
d z n Fyi m 2 Fzi dt i 1 i 1
n
2
9.2 质点的运动微分方程
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
n n dv v m Ft i , m Fn i , 0 Fb i d t i 1 i 1 i 1 n 2
F ,
ti ni
P m P mg 或 g g 9.780491 0.0052884 2 0.0000059 2 2 ) ( sin sin
Φ为纬度 国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
9.1 动力学的基本定律
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量。 它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。 其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。 第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向 相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。
A B
60º
O M
r
A FA
60º
v a 0, an 12.5 m s 2 r 2 v 0, an 12.5 m s 2 r
方向指向O点。
小球在水平面内作匀速圆周运动。 2
B
FB O an M
r
v
mg
9.3 质点动力学的两类基本问题
建立自然坐标系得：
A
v2 m FA sin 45 FB sin 60 r 0 mg FA cos 45 FB cos60
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。
它认为质点的质量是不变的，时间和空间是绝对的。
9.1 动力学的基本定律
必须指出的是： 质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关。 因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。 凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 反之为非惯性坐标系。 随着人们研究问题的不同，所取的惯性参考系也不相同。 例如：研究人造卫星的运动，可取以地心为原点，三轴指向三 颗恒星的坐标系为惯性系。 在一般工程问题中，把固结于地面的坐标系或相对地面作匀速 直线运动的坐标系作为惯性系。
轨迹方程为：
x v0t cos 1 2 y v0t gt 2
x gx 2 y 2 cos 2v0 cos 2
由此可见，物体的轨迹是一抛物线。
9.3 质点动力学的两类基本问题
例4 垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的 运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影 响。 解：以物体为研究对象，将其视为质点，建立如图坐标。 质点在任一位置受地球引力的大小为： mM F G0 2 x gR2 mM 所以 G0 mg G0 2 由于 M R
9.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
n d2 r ma m 2 Fi dt i 1
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
d2 x n d2 y n d2 z n m 2 Fxi , m 2 Fyi m 2 Fzi dt dt dt i 1 i 1 i 1 d2 y n d2 z n Fxi , m 2 Fyi m 2 Fzi dt dt i 1 i 1 i 1
在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科 学荣誉。
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色 的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了 微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的 最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结 了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学 系统称为牛顿力学。
9.1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
9.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度关系定律) 质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加 速度的方向与力的方向相同。
d ( mv ) F dt
2 2
v0 M
mg
v
x
t 0: x0 0: x00 y0 v0 x0, vv0 cos0 cos0 , vy sin sin t y 0, 0 x v , v y v0 0 v0
t t0: x0t x0 y0 x0 0, v00xvx0,0v00 cos0vcos vv0 sin sin y 0 vx , 0: 0: y 0, v cos v0,yvy v0 sin v0 0 , 0y
FB 0 v 4.9 2.21m s 因此，只有当 2.21m/s v 2.91m/s 时，两绳才同时受力。否
则将只有其中一绳受力。
9.3 质点动力学的两类基本问题
例3 从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为α，如 不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。 解：研究抛射体, 列直角坐标形式的 质点运动微分方程 y
9.3 质点动力学的两类基本问题
确定出积分常数为：
C1 v0 cos , C2 v0 sin , C3 C4 0
C1 v0 cos , C2 v0 sin , C3 C4 0 , C2 v0 sin , C3 C4 0
于是物体的运动方程为：
或
ma F
在经典力学中质点的质量是守恒的，因此上面两式等价，在相 对论力学中，指点的质量与速度有关，质量已不再是常量，上 面两式也不等价。其中第一式仍然成立，第二式则不再成立。
9.1 动力学的基本定律
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的 惯性越大。 因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程 的出发点，称为动力学基本方程。 在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。 在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。 由第二定律有
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
v0
m d v F (t )d t
0
t
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv d x dv v dt d x dt dx dx dv v dt dx
v
v0
mv d v F ( x)d
x0
x
b sin wtj ) mw 2 ( xi yj ) mw 2 r
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒 指向椭圆中心。 这种力称为有心力。
9.3 质点动力学的两类基本问题
例2 质量为1Kg的小球 M ，用两 绳系住，两绳的另一端分别连接 在固定点 A、B ，如图。已知小 球以速度v＝2.5 m/s在水平面内 作匀速圆周运动，圆的半径 r ＝ 0.5 m, 求两绳的拉力。 解：以小球为研究对象，任一瞬 时小球受力如图。
v
v0
mv d v F ( x)d x
x0
x
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
v
v0
t m dv dt 0 F (v )
9.3 质点动力学的两类基本问题
例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动 方程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。 解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
动力学引言
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。
质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保 持不变，也称不变的质点系。
M
x2 y 2 2 1 2 a b
质点作椭圆运动。将运动方程对时 间求两阶导数得：
F r y
a
O b
x
x
aw 2 cos wt , bw 2 sin wt x y
aw 2 cos wt , bw 2 sin wt y
9.3 质点动力学的两类基本问题
代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能长 度，则需要多大的初速度 和一定的时间间隔后才能 达到飞离甲板时的速度。 若已知初速度、一定的时 间间隔后飞离甲板时的速 度，则需要弹射器施加多 大推力，或者确定需要多 长的跑道。
工程实际中的动力学问题
v maw2 cos wt, Fy my mbw2 sin wt Fx mx
cos wt, Fy my mbw sin wt
2
M
j
F r y
x a F Xi Yj maw 2 cos wti mbw 2 sin wtj O i x b F ( w 2 cos i b mbw2 wt F Xi Yjmw 2Xa Yj wwt w 2 w tjsiniwtjmb2 ( xisin yjtj mw 2 r mai cos ti masin cos) mw w 2 w) w 2mw 2 wti mbw2ba cos w)i mw 2wxji) yj ) ( xwryj ) mw 2 r cos (a cosmw2 sin wwtj t b sin ( t mw 2 mi 2 wti ( sin tj
解得：
分析: 由(1)、(2)式可得:
(1) (2)
b
M
FA
60º
B
FA 8.65 N, FB 7.38 N
FB O n an
r
mg
v
2 2 2 FA (9.8 3 2v ), FB (2v 2 9.8) 3 1 3 1 FA 0 v 4.9 3 2.91 m s
x
H
M
F
由直角坐标形式的质点运动微分方程得：
d2 x mgR 2 m 2 F 2 dt x d 2 x dvx dvx dx dvx vx 2 dt dt dx dt dx
d x d x d y d y m 22 0, m 22 mg m 0, m mg d tt d d tt d 积分后得
11 2 2 gt C2t t C4 x x C1 C,3 , y y gt C2 C4 C1t t C3 22 初始条件为
2 2
n
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v
2
1
Fn i , 0 Fb i
i 1 i 1 n
n
n
F
n
1
, 0 Fb i
i 1
9.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题： 已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归 结为数学上的求导问题。 第二类基本问题： 已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归 结为数学上的解微分方程或求积分问题。
v1
F
棒球在被球棒击打后，其 速度的大小和方向发生了 变化。如果已知这种变化 即可确定球与棒的相互作 用力。
v2
Βιβλιοθήκη Baidu
工程实际中的动力学问题
v2
v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程实际中的动力学问题
航空航天器的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。 在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得 不靠他的外祖母养大。 1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学 位。 在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。 1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他 回到老家。 这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验， 即白光由7种色光构成的实验。 而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。
n
y
d z n Fyi m 2 Fzi dt i 1 i 1
n
2
9.2 质点的运动微分方程
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
n n dv v m Ft i , m Fn i , 0 Fb i d t i 1 i 1 i 1 n 2
F ,
ti ni
P m P mg 或 g g 9.780491 0.0052884 2 0.0000059 2 2 ) ( sin sin
Φ为纬度 国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
9.1 动力学的基本定律
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量。 它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。 其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。 第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向 相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。