不等式计算.ppt
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基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
不等式完整PPT课件
学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
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• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
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• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．
不等式的解法(共28张PPT)
答案：①{x|x<-4 或 x>1 }; ② R; ③ {x|x=-3} . 练习5. 关于x的不等式ax2+5x+b>0 的解集为{x|1<x<2}，则
5 10 a= , b= . 3 3
高考：(天津08)已知函数f(x)= 解集是(
A
)
x+2, x≤0 ，则不等式f(x)≥x2的 -x+2, xБайду номын сангаас0
∴ B ={x |1-a<x<1+a, a>0 }
∵ A∪B=B ∴ A B
∴ 1-a<1 且 1+a>2，故a的取值范围是：(1, +∞)
不等式的解法
五、无理不等式解法 2x 1 练习10. 解不等式： (1) | 3x 2 3 | 1; ( 2) 1. x1 分析：(1)原不等式等价于： (I) 3x 2 3 1 或 (II) 3x 2 3 1 3x-2≥0 解(I) ： 3x 2 4 即 解得 x>6 3x-2>16 2 3x-2≥0 解得 ≤x<2 解(II) ： 3x 2 2 即 3x-2<4 3 (2)原不等式化为： (I) x-1>0
2 ) 5
不等式的解法
二、含绝对值的不等式 高考. 1、(北京07)已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}． 若A∩B=φ，则实数a的取值范围是 (2，3) . (0, 2)
2
2、(浙江07) 不等式 |2x-1|-x<1的解集是 { x | 0<x<2 } . 3、(上海08) 不等式|x-1|<1的解集是
5 10 a= , b= . 3 3
高考：(天津08)已知函数f(x)= 解集是(
A
)
x+2, x≤0 ，则不等式f(x)≥x2的 -x+2, xБайду номын сангаас0
∴ B ={x |1-a<x<1+a, a>0 }
∵ A∪B=B ∴ A B
∴ 1-a<1 且 1+a>2，故a的取值范围是：(1, +∞)
不等式的解法
五、无理不等式解法 2x 1 练习10. 解不等式： (1) | 3x 2 3 | 1; ( 2) 1. x1 分析：(1)原不等式等价于： (I) 3x 2 3 1 或 (II) 3x 2 3 1 3x-2≥0 解(I) ： 3x 2 4 即 解得 x>6 3x-2>16 2 3x-2≥0 解得 ≤x<2 解(II) ： 3x 2 2 即 3x-2<4 3 (2)原不等式化为： (I) x-1>0
2 ) 5
不等式的解法
二、含绝对值的不等式 高考. 1、(北京07)已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}． 若A∩B=φ，则实数a的取值范围是 (2，3) . (0, 2)
2
2、(浙江07) 不等式 |2x-1|-x<1的解集是 { x | 0<x<2 } . 3、(上海08) 不等式|x-1|<1的解集是
〔人教版〕不等式教学PPT课件
毛泽东 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处） 51、错误和挫折教训了我们，使我们 比较地 聪明起 来了， 我们的 情就办 得好一 些。任 何政党 ，任何 个人， 错误总 是难免 的，我 们要求 犯得少 一点。 犯了错 误则要 求改正 ，改正 得越迅 速，越 彻底， 越好。
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集 9.1.2不等式的性质
9.1.1不等式及其解集
一、不等式：
• 问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什 么条件？
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶
例2、下列说法中正确的是： （1）-7是x+3<-3的一个解。 （2）-40是不等式4x<-4的解 （3）不等式x<-3的整数解有有限个 （4）不等式x<3的正整数解有有限个
例3、在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x ＞-3；（2）x ≤ -3；（3） x ＜-3；（4）x≥ -3
三、解不等式及一元一次不等式
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集 9.1.2不等式的性质
9.1.1不等式及其解集
一、不等式：
• 问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什 么条件？
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶
例2、下列说法中正确的是： （1）-7是x+3<-3的一个解。 （2）-40是不等式4x<-4的解 （3）不等式x<-3的整数解有有限个 （4）不等式x<3的正整数解有有限个
例3、在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x ＞-3；（2）x ≤ -3；（3） x ＜-3；（4）x≥ -3
三、解不等式及一元一次不等式
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
不等式基本性质及解法PPT课件
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R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
.
3. 不 等 式 1<|x ＋ 1|<3 的 解 集 为 {x| － 4<x< － 2 或 0<x<2} .
.
|x＋1|>1 【 解 析 】 原 不 等 式 ⇔ |x＋1|<3 ⇔ x＋1<－1或x＋1>1 －3<x＋1<3 ⇔0<x<2 或－4<x<－2. 故 原 不 等 式 的 解 集 为 {x| － 4<x< － 2 或 0<x<2}．
.
(3)可加性：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc ；如果 a>b，c<0， 那么 ac<bc . (5)乘方：如果 a>b>0，那么 an > bn(n∈N，n>1)． (6)开方：如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n>1)． 3．绝对值三角不等式 (1)性质 1：|a＋b|≤ |a|＋|b| . (2)性质 2：|a|－|b|≤ |a＋b| . 性质 3：|a|－|b| ≤|a－b|≤ |a|＋|b| .
.
• P30例4 、p31练习
.
例题1 求下列不等式组的解集:
x 2,
(1
)
x
4,
x 6 .
x 4,
R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
.
3. 不 等 式 1<|x ＋ 1|<3 的 解 集 为 {x| － 4<x< － 2 或 0<x<2} .
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|x＋1|>1 【 解 析 】 原 不 等 式 ⇔ |x＋1|<3 ⇔ x＋1<－1或x＋1>1 －3<x＋1<3 ⇔0<x<2 或－4<x<－2. 故 原 不 等 式 的 解 集 为 {x| － 4<x< － 2 或 0<x<2}．
.
(3)可加性：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc ；如果 a>b，c<0， 那么 ac<bc . (5)乘方：如果 a>b>0，那么 an > bn(n∈N，n>1)． (6)开方：如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n>1)． 3．绝对值三角不等式 (1)性质 1：|a＋b|≤ |a|＋|b| . (2)性质 2：|a|－|b|≤ |a＋b| . 性质 3：|a|－|b| ≤|a－b|≤ |a|＋|b| .
.
• P30例4 、p31练习
.
例题1 求下列不等式组的解集:
x 2,
(1
)
x
4,
x 6 .
x 4,
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
不等式课件ppt
_______.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 ______.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
C
●
-2 0
B
●
-2 0
D
试一试: 写出下列数轴所表示的不等式的解集:
○
-3 0 ⑴
X > -3
●
02 ⑵
X≥2
○
-3 0 ⑶
X < -3
●
0a ⑷
X ≤a
2、下列数哪些是不等式3X＞6的解？哪些不是？ －4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12。
3、在数轴上表示不等式3X＞6 的解集，正确的 是（ B ）
3
收获和体会
不等式的定义 不等式的解 不等式的解集 不等式解集的表示方法
根据以下图形，写出不等式的解集：
(1)
( x≤4 )
(2)
( x>2 )
(3)
( x≥-2 )
大于向右，小于 向左，有等号为实 心，无等号为空心
.
在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x≤-1 (3)x＜2
(2)x≥-3 (4)-3≤x＜2
形相类似？
•（1）x－7<8
解：
x-7+7 <8+7
移 x <8+7
x <15
（2）3x<2x-3
基本不等式课件(共43张)
应用
可用于证明数列中的基本不等式及其他需要归纳证明的数学问题。
复合函数的不等式
概念
由函数f和g构成的复合函数，通常记为f(g(x))。
定理
若g(x) 在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上有连续导数， 则f(g(x)) 在[g(a),g(b)]上也有连续导数；若f(x) 在 [g(a),g(b)]上是凸函数，则有：f(g((sa+tb)/(s+t))) < (sf(g(a))+tf(g(b)))/(s+t) （0<s<t）
3 注意事项
某些情况下需要分类讨论，如系数符号和大小关系不同。
两个变量的基本不等式
定义
指两个变量之间的不等关系。
公式
(a+b)² > a²+2ab+b² （a，b为变量）
多个变量的基本不等式
公式
对于n个非负实数a1、a2、…、an，有(∑ai)² ≥ n∑ai²
应用
可用于证明柯西不等式、绝对值不等式等多项式不 等式。
集中不等式
2
权值后再求和，然后除以所有的权值之 和所得的数。
对于任意n个实数（不限正负），有下 面这些不等式。
(1)（非加权）算数平均数 ≥ （非 加权）几何平均数 ≥ 调和平均数 (2)若各实数互不相等，则平方差
中项≥2几何平均中项减去（非加权） 算数平均中项
3
应用
可以用于求解一些需要加权平均数作为 结果的应用题。
(1+a)^x > 1+ax (1-a)^x > 1-ax
3
应用
可用于证明基本不等式等各种不等式定理。
函数保证与不等式
概念
将不等式在两端同时乘以正数或同时乘以负数， 得到的新不等式的符号不变，就称原不等式与 新不等式互为保证。
可用于证明数列中的基本不等式及其他需要归纳证明的数学问题。
复合函数的不等式
概念
由函数f和g构成的复合函数，通常记为f(g(x))。
定理
若g(x) 在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上有连续导数， 则f(g(x)) 在[g(a),g(b)]上也有连续导数；若f(x) 在 [g(a),g(b)]上是凸函数，则有：f(g((sa+tb)/(s+t))) < (sf(g(a))+tf(g(b)))/(s+t) （0<s<t）
3 注意事项
某些情况下需要分类讨论，如系数符号和大小关系不同。
两个变量的基本不等式
定义
指两个变量之间的不等关系。
公式
(a+b)² > a²+2ab+b² （a，b为变量）
多个变量的基本不等式
公式
对于n个非负实数a1、a2、…、an，有(∑ai)² ≥ n∑ai²
应用
可用于证明柯西不等式、绝对值不等式等多项式不 等式。
集中不等式
2
权值后再求和，然后除以所有的权值之 和所得的数。
对于任意n个实数（不限正负），有下 面这些不等式。
(1)（非加权）算数平均数 ≥ （非 加权）几何平均数 ≥ 调和平均数 (2)若各实数互不相等，则平方差
中项≥2几何平均中项减去（非加权） 算数平均中项
3
应用
可以用于求解一些需要加权平均数作为 结果的应用题。
(1+a)^x > 1+ax (1-a)^x > 1-ax
3
应用
可用于证明基本不等式等各种不等式定理。
函数保证与不等式
概念
将不等式在两端同时乘以正数或同时乘以负数， 得到的新不等式的符号不变，就称原不等式与 新不等式互为保证。
基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)
解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
不等式数学PPT课件
小卡车行驶路程表示为：65X km 大卡车行驶路程表示为：55（X+1） km
2。小卡车超过大卡车后，它们所行驶的路程 之间的关系应怎样表示？
65X＞ 55（X+1）
教学过程
小卡车的时间 X（h）
4 4.5 5 5.5 6 8 9 …
小卡车的路程 65X（km） 260 292.5 325 357.5 390
再如: -7<-5 , 3+4>1+4 , 5+3 ≠12-5 X+2 ≤x-6
教学过程
等式
用等号连接的式子
定义
“=”
不等式 用不等号连接的式子
“>”“<”“≥ ” “≤ ” “≠ ”
教学过程
1。判断下列式子中哪些是不等式 ？哪些是等式 ？ (1)x-2<x-1 (2)a²+1>0 (3)3x²+2x (4)x=2x+5 (5)a+b≠c (6)|x-1|≥0
教学重点
了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并 掌握基本不等式取得等号的条件。
教学过程
教学过程
回忆：用等号连接表示相等关系的式子叫___等___式。
X>2 ， x<3 ， t ≥-5 ， t ≤10 ，a<17 , a ≠ b
类比：那么，向上面这些 用不等号连接表示不等关系的式子叫___不__等。式
不等式
人教版数学七年级课件
目录
壹
贰
叁
肆
教学目标 教学重点 教学过程 教后练习
教学目标
教学目标
①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义， 并掌握基本不等式取得等号的条件； ②能够初 步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一 些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些 较为简单的实际问题。
2。小卡车超过大卡车后，它们所行驶的路程 之间的关系应怎样表示？
65X＞ 55（X+1）
教学过程
小卡车的时间 X（h）
4 4.5 5 5.5 6 8 9 …
小卡车的路程 65X（km） 260 292.5 325 357.5 390
再如: -7<-5 , 3+4>1+4 , 5+3 ≠12-5 X+2 ≤x-6
教学过程
等式
用等号连接的式子
定义
“=”
不等式 用不等号连接的式子
“>”“<”“≥ ” “≤ ” “≠ ”
教学过程
1。判断下列式子中哪些是不等式 ？哪些是等式 ？ (1)x-2<x-1 (2)a²+1>0 (3)3x²+2x (4)x=2x+5 (5)a+b≠c (6)|x-1|≥0
教学重点
了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并 掌握基本不等式取得等号的条件。
教学过程
教学过程
回忆：用等号连接表示相等关系的式子叫___等___式。
X>2 ， x<3 ， t ≥-5 ， t ≤10 ，a<17 , a ≠ b
类比：那么，向上面这些 用不等号连接表示不等关系的式子叫___不__等。式
不等式
人教版数学七年级课件
目录
壹
贰
叁
肆
教学目标 教学重点 教学过程 教后练习
教学目标
教学目标
①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义， 并掌握基本不等式取得等号的条件； ②能够初 步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一 些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些 较为简单的实际问题。
不等式计算ppt课件
2
C. 3 x 7 2
D.x 7
2
23
m为何值时，关于x、y的方程组
24解xx ：53解yy 此3m法m方91程的组解得满xy足=9x5m1m-1106,7y 0?
11
由题意得
9m 16 0 11
5m 7 0 11
①
x+8>4x-1
②
解：解不等式①，得 x> －1.
解不等式② ，得 x<3. 在数轴上表示不等式①， ②的解集
－1
3
所以这个不等式组的解集是 －1<x<3 9
例2. 解下列不等式组
2(x1)23(x1) ① 5( x1)2( x3)1 ② 解：解不等式①，得x>-1
解不等式② ，得 x 4
在数轴上表示它们的解集:
求不等式组
2x 1 3
5x 1 5
的正整数解
1②
解：解不等式①得：x<5
解不等式②得：x≥1.4
∴原不等式组的解集为1.4≤x<5
∵满足1.4≤x<5的正整数解为：2、3、4
∴原不等式组的正整数解：2、3、413
2≤3x-7<8
解：根据题意得：33xx
7 7
2① 8②
解：解不等式①，得x≥3
解不等式② ，得 x 5
∴不等式组的解集为:3≤x<5 14
2≤3x-7<8 解：2+7≤3x<8+7
9≤3x<15 3≤x<5
15
2≤-3x-7<8 解：2+7≤-3x<8+7
9≤-3x<15 -3≥x>-5 -5<x≤-3
《不等式的基本性质》PPT课件
基本性质2
等式两边都乘(或除 以)同一个不为零的 数,所得结果仍是等 式.
不等式两边都加(或减去)同 一个整式,不等号方向不变.
不等式两边都乘(或除以)同 一个正数,不等号方向不变; 不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号方向改变.
作业
• 1、习题8.1第4、5、6、7题；
• 2、选作：习题8.1第8题。
不不等等式式两两边边都都加加上(或(或减减去去) ) 同同一一个个整数式,不,不等等号号的的方方向向不不变变. .
如果a＜b,那么a+c < b+c, a-c b<-c; 如果a＞b,那么a+c > b+c, a-c b>-c.
小试牛刀
选择适当的不等号填空：
〔1〕∵0 ＜ 1, ∴ a ＜a+1( 不等式的根本性)质1
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
()
A.k+2>k-2 B.-6k>0
C.k>-k
D.k<-k
B
(2)a<b,以下不等式中错误的选项是 ( )
A.4a<4b
B.-4a<-4b
C.a+4<b+4 D.a-4<b-4
1、假设m>n，且am<an，那么a的取值应满 足条件〔 〕
A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a0 2、假设k<0,那么以下不等式中不成立的是( )
后不 比等
×(-3)
较号 (7)假设a≥b,那么2≥a
(28b);假设-a＜b,那么a> -
b.
设m＞n,用“＞〞或“＜〞填 空。
基本不等式公式精品PPT课件
均值不等式
若a,b R,则a 2 b2 2ab
若a, b R，则ab a 2 b 2 2
（当且仅当a b 时取"="）
均值不等式
若a,b R ,则 a b ab 2
若a,b R，则a b 2 ab （当且仅当a b 时取"="）
若a,b R，则ab a b 2 2
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
(1)设某两线段长为x,y (求出f(x,y)=0)
(2)建立目标函数w=f(x)
(2)建立函数w=g(x,y)
(用基本不等式求出最值) (用基本不等式求出最值)
(3)当x=?时，w最大(小)=？ (3)当x=?,y=?时.w最大=？
变式：如果：围成一个直角三角形 求：面积的最大值
解:(1)设两条直角边长为x,y 那么：x y x2 y2 4a
解:(1)设矩形的长为x,那么宽为2-x
(2)面积S=x(2-x)
x
2 2
x
2
12
(3)当x=a时，矩形面积S最大=1
方法(二):(1)设矩形的长为x.宽为y,
那么：x+y=2a
(2)矩形面积S=xy
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
y
2
a2
(3)当x=y=a时，矩形面积最大值为a2.
基本步骤：
若a,b R,则a 2 b2 2ab
若a, b R，则ab a 2 b 2 2
（当且仅当a b 时取"="）
均值不等式
若a,b R ,则 a b ab 2
若a,b R，则a b 2 ab （当且仅当a b 时取"="）
若a,b R，则ab a b 2 2
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
(1)设某两线段长为x,y (求出f(x,y)=0)
(2)建立目标函数w=f(x)
(2)建立函数w=g(x,y)
(用基本不等式求出最值) (用基本不等式求出最值)
(3)当x=?时，w最大(小)=？ (3)当x=?,y=?时.w最大=？
变式：如果：围成一个直角三角形 求：面积的最大值
解:(1)设两条直角边长为x,y 那么：x y x2 y2 4a
解:(1)设矩形的长为x,那么宽为2-x
(2)面积S=x(2-x)
x
2 2
x
2
12
(3)当x=a时，矩形面积S最大=1
方法(二):(1)设矩形的长为x.宽为y,
那么：x+y=2a
(2)矩形面积S=xy
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
y
2
a2
(3)当x=y=a时，矩形面积最大值为a2.
基本步骤：
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②
解：解不等式①，得 x> －1.
解不等式② ，得 x<3. 在数轴上表示不等式①， ②的解集
－1
3
所以这个不等式组的解集是 －1<x<3
例2. 解下列不等式组
2(x1)23(x1) ① 5( x1)2( x3)1 ② 解：解不等式①，得x>-1
解不等式② ，得 x 4
在数轴上表示它们的解集:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1 3
x
2 3
x
的和为 C
A.1
B.2
C.0
D.–1
(3)设a b,则不等式组
xa 的
xb
解集为 C
A.x>b B.x<a
C.无解 D.a <x<b
A (4)不等式组
x30 2 x7
的解集是(
)
A. 1 x 7
2
2
2 x10
B. 3 x 1
2
C. 3 x 7 2
D.x 7 2
x2 0
5 解：由(1)得:2x+6>X+5 则 x>-1
(1) (2)
由(2)得x-2 0则x 2
原不等式组的解为：-1<x 2
用数轴表示:
•
•
-1 0
2
练一练
1、解集在数轴上表示为如图所示 的不等式组的是（ D ）
-3
A、 xx＞≥2－3
x＜－3
C、 x≥2
0
2
x
B、xx＜≤2－3
x＞－3
y 1 y 1 y 1 32 6
并把它的解集在数轴上表示出来。
2( y 1)数轴上表示如右图
4.已知关于x的不等式2x+m>-5的
解集如图所示，则m的值为( A )
A、1
B、0
C、-1
D、-2
-3 -2 -1 0 1 2 3
2（x+3）>x+5
例2、解不等式组
不等式的解集是x 4
选择题: (1)不等式组
xx≥≤22，的解集是( D )
A. x≥2,
B. x≤2, C. 无解, D. x=2.
(2)不等式组xx
≤1
0.5,的整数解是(
C
)
A. 0, 1 ,
B. 0 ,
C. 1,
D. x ≤1.
(3)不等式组
x x
≥-2, 的负整数解是(
3
C
)
A. -2, 0, -1 , B. -2 ,
∴不等式组的解集为:3≤x<5
2≤3x-7<8 解：2+7≤3x<8+7
9≤3x<15
3≤x<5
2≤-3x-7<8 解：2+7≤-3x<8+7
9≤-3x<15 -3≥x>-5 -5<x≤-3
3 2x 1 5 3
解：去分母-9≤2x-1<15 移项 -8≤2x<16
系数化为1 -4≤x<8
2 2x 1 5 3
C. -2, -1, D.不能确定.
(4)不等式组
x x
≥-2,
5
的解集在数轴上表示为(
B
)
A. -5
-2
B. -5
-2
C. -5
-2
D. -5 -2
(5)如图,
-1
A. 1 x 2.5,
则其解集是( C )
2.5 4
B. 1 x ≤4， C. 2.5 x ≤4 D. 2.5 x 4
随堂练习三
2x 1 3
5x 1 5
的正整数解
1②
解：解不等式①得：x<5
解不等式②得：x≥1.4
∴原不等式组的解集为1.4≤x<5
∵满足1.4≤x<5的正整数解为：2、3、4
∴原不等式组的正整数解：2、3、4
2≤3x-7<8
解：根据题意得：33xx
7 7
2① 8②
解：解不等式①，得x≥3
解不等式② ，得 x 5
二、一元一次不等式的解法 例1、解下列不等式（组）并在数轴上表示出来。
（1）2x 1 - 10x 1 5x -5
3
64
解：去分母得：4（2x-1）-2（10x+1） 15x-60
移项，合并同类项 得：-27x -54 总结：
x 2
（1）去分母时，不等式中不含分母
的项不要漏乘公分母
在数轴上表示如图所示（：2）去分母后，不等式中分子是多
求m的取值范围．
•
一变：
在xy方<程0 组
x 2
y x
m y6
中，已知
求m的取值范围．
形成性测试
1.填空题:
x1
（1）不等式组
2
x 1
的解集是 _12_____x____1___
（2）不等式组 x>-2 的非正整数解集是__-_1_,_0_______
X>-3
（3）不等式组 （4）不等式组
X<2 X<5
的非正整数解集是__x_=__0_,_x_=__1__
x>1 3 4x 11
1 x 1 x 的解集是 ____________ 2 63
2.选择题:
(1)不等式组
2 x 35 3x24
的解集是( D )
A.x<1
B.x ≥ 2
C. 1<x ≤ 2
D. 无解
(2)不等式组
5x13x4 的整数解
m为何值时，关于x、y的方程组
24解xx ：53解yy 此3m法m方91程的组解得满xy足=9x5m1m-111016,7y 0?
由题意得
9m 16 0 11
5m 7 0 11
解此不等式组得 - 7 <m< 16
59
解：6<-2x-1<15
7<-2x<16
-8<x<-3.5
已知方程组
x-y=2k ① x+3y=1-5k
②的解x与y
的和是负数，求k的取值范围。
解：由方程组得
x
1 4
k
y
1
7k 4
∵x+y<0 1 k 1 7k 0
44
解之得 k 1 3
在方程组
x y 2x
m y 6中，已知
x>0,y<0
项式的要加括号
• • •（3）最后一步将系数化为1时，要
0 1 2注意是否变向
练一练
1、 若a ＞ b ，则下列不等 式中一定正确的是（ B ）
A、a – b＜0 B、-5a ＜ –5 b
C、a+8 ＜ b+8
a D、—— ＜
b
——
44
2、解不等式 x 3 x 2 x 20
5
2
3
3、解不等式
(1)若不等式组
无解，则 xm（1 较小）
x2m（1 较大）
m的取值范围为____m_≥_2________
m+1≤ 2m - 1
(2)若不等式组
xm（1较小的） 解集为x>3，
x3 （较大）
m 2 则m的取值范围为_______________
3 m1
（2 x-6）<3-x ①
求不等式组
D、 x≤2
2.不等式组
1
x
1
0，
2
的解为 -2<x<1 ．
1 x 0．
试一试
1、关于 的不等式 2x a 3 的解集如图所示，
则a的值是 1
。
-2 -1 0 1 2
2、若不等式组 x＞ a+2 无解，
x＜3a-2
则a的取值范围是 a≤2
；
知识应用
例1解不等式组
2x-1>x-2
①
x+8>4x-1