高中数学分段函数的几个问题-新人教版

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分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的,并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下:

1、 分段函数的含义 所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识:

(1) 分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;

(2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。[来源:学_科_网Z_X_X_K]

2、 求分段函数的函数值

例1

已知函数1

3

2(0)()1)log (1)

x

x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。[来源:]

分析 求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值。()f x 是分段函数,要求{[()]}f f f a ,需要确定[()]f f a 的取值范围,为此又需确定()f a 的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。

解 ∵a <0, ∴()2a

f a =, ∵0<2a

<1,

∴[()]f f a =(2)a

f =3,

∵3>1,

∴{[()]}f f f a

=f

=1

3

log =-2

1,

3、 求分段函数的解析式[来源:学科网]

例2 已知奇函数()f x (x R ∈),当x >0时,()f x =x (5-x )+1.求()f x 在R 上的表达式。

解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数, ∴(0)f =0.[来源:学科网ZXXK] 又当x <0时,-x >0,

故有()f x -=-x [5-(-x )]+1=-x (5+x )+1。[来源:学科网ZXXK]

再由()f x 是奇函数,

()f x =-()f x =x (5+x )-1.∴(5)1(0)()0(0)

(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪

==⎨⎪+-<⎩

[来源:Z§xx§] 例3

求函数()f x =2x +(2-6a )x +32

a (0≤x ≤1)的最小值。

解 ()f x =[x -(3a -1)]2

-62

a +6a -1 ∵0≤x ≤1,

当3a -1<0时,()f x 的最小值为f(0)=32

a ,

当0≤3a -1≤1时,()f x 的最小值为f(3a -1)=-62

a +6a -1; 当3a -1>1时,()f x 的最小值为f(1)=32

a -6a +3。 因此函数()f x 的最小值可表示成关系于a 的分段函数.

2

22

13()312()661()332363()3a a g a a a a a a a ⎧<⎪⎪

=-+-≤≤⎨⎪

⎪-+>⎪⎩

4、

求分段函数的最值

例4 求函数23(0)

3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪

=+<≤⎨⎪-+>⎩

的最小值[来源:Z#xx#]

方法1 先求每个分段区间上的最值,后比较求值。 当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX = (0)f =3; 当0

当x >1时,y =()f x =-x +5,此时y 无最大值.比较可得当x =1时,y max =4. 方法2 利用函数的单调性[来源:学科网ZXXK]

由函数解析式可知,()f x 在x ∈(∞,0)上是单调递增的,在x ∈(0,1)上也是递增的,而在x ∈(1,+∞)上是递减的,

由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4

方法3 利用图像,数形结合求得[来源:学科网ZXXK] 作函数y =()f x 的图像(图1), 显然当x =1时y max =4.

说明:分段函数的最值常用以上三种方法求得.

都是“定义域”惹的祸

函数三要素中,定义域是十分重要的,研究函数的性质时应首先考虑其定义域.在求解函数有关问题时,若忽视定义域,便会直接导致错解.下面我们举例分析错从何起.

一、求函数解析式时

例1.已知x x x f 2)1(+=+,求函数)(x f 的解析式 . 错解:令1+=

x t ,则1-=t x ,2)1(-=t x ,

1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ,1)(2-=∴x x f

剖析:因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ,所以由1+=x t 得1≥t ,

1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ,即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f (1≥x )

这样才能保证转化的等价性.

正解:由x x x f 2)1(+=+,令1+=x t 得1≥t ,()2

1-=∴t x 代入原解析式得

1)(2-=t t f (1≥t ),即1)(2

-=x x f (1≥x ).

二、求函数最值(或值域)时

例2.若,6232

2

x y x =+求2

2y x +的最大值.

错解:由已知有 x x y 32

32

2

+-

= ①,代入22y x +得 22y x +()293213212

2+--=+-=x x x ,∴当3=x 时,22y x +的最大值为2

9.

剖析:上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合,同时也未挖掘出约束条件x y x 6232

2

=+中x 的限制条件.

正解:由03232

2

≥+-

=x x y 得20≤≤x , ∴22y x +()2

93213212

2+--=+-=x x x ,[]2,0∈x ,因函数图象的对称轴为3=x ,

∴当[]2,0∈x 是函数是增函数,故当当2=x 时,2

2y x +的最大值为4.

例3.已知函数()()32log 19f x x x =+≤≤,则函数()()2

2

y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为

( )

A .33

B .22

C .13

D .6

错解:()()2

2

y f x f x

=+⎡⎤⎣⎦=()2

2

332log 2log x x +++=()

2

3

log 33x +-在()

19x ≤≤上是增函数,故函数()()2

2

y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在9x =时取得最大值为33.

正解:由已知所求函数()()

2

2

y f x f x

=+⎡⎤⎣⎦的定义域是2

1919

x x ≤≤⎧⎨

≤≤⎩得13x ≤≤,

()()2

2y f x f x =+⎡⎤⎣⎦

=()2

2332log 2log x x +++=()2

3log 33x +-在13x ≤≤是增函数,故函数()()2

2

y f x f x

=+⎡⎤⎣⎦在3x =时取得最大值为13.

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