高中数学分段函数的几个问题-新人教版

分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。

学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1、 分段函数的含义 所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

对它应有以下两点基本认识：（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

[来源:学_科_网Z_X_X_K]2、 求分段函数的函数值例1已知函数132(0)()1)log (1)xx f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。

[来源:]分析 求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。

()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。

解 ∵a <0, ∴()2af a =, ∵0<2a<1,∴[()]f f a =(2)af =3,∵3>1,∴{[()]}f f f a=f=13log =－21,3、 求分段函数的解析式[来源:学科网]例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。

解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数， ∴(0)f =0.[来源:学科网ZXXK] 又当x ＜0时，－x >0,故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。

[来源:学科网ZXXK]再由()f x 是奇函数,()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩[来源:Z§xx§] 例3求函数()f x =2x +(2－6a )x +32a (0≤x ≤1)的最小值。

解 ()f x =[x －(3a －1)]2－62a +6a －1 ∵0≤x ≤1,当3a －1<0时，()f x 的最小值为f(0)=32a ,当0≤3a －1≤1时，()f x 的最小值为f(3a －1)=－62a +6a －1； 当3a －1>1时，()f x 的最小值为f(1)=32a －6a +3。

因此函数()f x 的最小值可表示成关系于a 的分段函数.22213()312()661()332363()3a a g a a a a a a a ⎧<⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩4、求分段函数的最值例4 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最小值[来源:Z#xx#]方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。

当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX = (0)f =3; 当0<x ≤1时，y =()f x =x +3,此时y max =(1)f =4当x >1时，y =()f x =－x +5，此时y 无最大值.比较可得当x =1时,y max =4. 方法2 利用函数的单调性[来源:学科网ZXXK]由函数解析式可知，()f x 在x ∈(∞,0)上是单调递增的，在x ∈(0,1)上也是递增的，而在x ∈(1,+∞)上是递减的，由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4方法3 利用图像，数形结合求得[来源:学科网ZXXK] 作函数y =()f x 的图像（图1）， 显然当x =1时y max =4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.都是“定义域”惹的祸函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．一、求函数解析式时例1．已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式 . 错解：令1+=x t ，则1-=t x ，2)1(-=t x ，1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ，1)(2-=∴x x f剖析：因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ，所以由1+=x t 得1≥t ，1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ，即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f （1≥x ）这样才能保证转化的等价性.正解：由x x x f 2)1(+=+，令1+=x t 得1≥t ，()21-=∴t x 代入原解析式得1)(2-=t t f （1≥t ），即1)(2-=x x f （1≥x ）．二、求函数最值（或值域）时例2．若,62322x y x =+求22y x +的最大值．错解：由已知有 x x y 32322+-= ①，代入22y x +得 22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，∴当3=x 时，22y x +的最大值为29．剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件x y x 62322=+中x 的限制条件．正解：由032322≥+-=x x y 得20≤≤x ， ∴22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，[]2,0∈x ，因函数图象的对称轴为3=x ，∴当[]2,0∈x 是函数是增函数，故当当2=x 时，22y x +的最大值为4．例3．已知函数()()32log 19f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ）A ．33B ．22C ．13D ．6错解：()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在()19x ≤≤上是增函数，故函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在9x =时取得最大值为33．正解：由已知所求函数()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦的定义域是21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩得13x ≤≤，()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在13x ≤≤是增函数，故函数()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦在3x =时取得最大值为13．例4．已知()()4232≤≤=-x x f x ，求()[]()2121x f x f y --+=的最大值和最小值．错解：由()()4232≤≤=-x x f x 得91≤≤y ．∴()()91log 231≤≤+=-x x x f ．∴()[]()()6log 6log log 2log 232323232121++=+++=+=--x x x x x f x f y()33log 23-+=x ． ∵91≤≤x ，∴2log 03≤≤x ．∴22max =y ，6min =y ．剖析：∵()x f 1-中91≤≤x ，则()21x f -中912≤≤x ，即31≤≤x ，∴本题的定义域应为[]3,1．∴1log 03≤≤x ．正解：（前面同上）()33log 23-+=x y ，由31≤≤x 得1log 03≤≤x ．∴13max =y ，6min =y ．例5．求函数3254-+-=x x y 的值域．错解：令32-=x t ，则322+=t x ，∴()1253222++=+-+=t t t t y87874122≥+⎪⎭⎫⎝⎛+=t ．故所求函数的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,87．剖析：经换元后，应有0≥t ，而函数122++=t t y 在[)+∞,0上是增函数，随着t 增大而无穷增大．所以当0=t 时，1min =y ．故所求函数的值域是[)+∞,1．三、求反函数时例6．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为[]6,2∈y ,又6)2(2+--=x y ，即 y x -=-6)2(2∴y x -±=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤-±=x x y ．剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x 进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．正解：由242(02)y x x x =-++≤≤的值域为[]6,2∈y , 因y x -=-6)2(2，又02≤-x ∴y x --=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤--=x x y ．四、求函数单调区间时例7．求函数)4lg()(2x x f -=的单调递增区间.错解：令24x t -=，则t y lg =，它是增函数. 24x t -= 在]0,(-∞上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数)4lg()(2x x f -=在]0,(-∞上为增函数，即原函数的单调增区间是]0,(-∞.剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．正解：由042>-x ，得)(x f 的定义域为)2,2(-.24x t -= 在]0,2(-上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数)4lg()(2x x f -=的单调增区间是]0,2(-.例8．求()23log 27.0+-=x x y 的单调区间．错解：令232+-=x x t ，t y 7.0log =，⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈23,x 时，232+-=x x t 为减函数，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 时，232+-=x x t 为增函数，又t y 7.0log =为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,，减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23．。