高中数学分段函数的几个问题-新人教版
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分段函数的几个问题
分段函数在教材中是以例题的形式出现的,并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下:
1、 分段函数的含义 所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识:
(1) 分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。[来源:学_科_网Z_X_X_K]
2、 求分段函数的函数值
例1
已知函数1
3
2(0)()1)log (1)
x
x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。[来源:]
分析 求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值。()f x 是分段函数,要求{[()]}f f f a ,需要确定[()]f f a 的取值范围,为此又需确定()f a 的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。
解 ∵a <0, ∴()2a
f a =, ∵0<2a
<1,
∴[()]f f a =(2)a
f =3,
∵3>1,
∴{[()]}f f f a
=f
=1
3
log =-2
1,
3、 求分段函数的解析式[来源:学科网]
例2 已知奇函数()f x (x R ∈),当x >0时,()f x =x (5-x )+1.求()f x 在R 上的表达式。
解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数, ∴(0)f =0.[来源:学科网ZXXK] 又当x <0时,-x >0,
故有()f x -=-x [5-(-x )]+1=-x (5+x )+1。[来源:学科网ZXXK]
再由()f x 是奇函数,
()f x =-()f x =x (5+x )-1.∴(5)1(0)()0(0)
(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪
==⎨⎪+-<⎩
[来源:Z§xx§] 例3
求函数()f x =2x +(2-6a )x +32
a (0≤x ≤1)的最小值。
解 ()f x =[x -(3a -1)]2
-62
a +6a -1 ∵0≤x ≤1,
当3a -1<0时,()f x 的最小值为f(0)=32
a ,
当0≤3a -1≤1时,()f x 的最小值为f(3a -1)=-62
a +6a -1; 当3a -1>1时,()f x 的最小值为f(1)=32
a -6a +3。 因此函数()f x 的最小值可表示成关系于a 的分段函数.
2
22
13()312()661()332363()3a a g a a a a a a a ⎧<⎪⎪
⎪
=-+-≤≤⎨⎪
⎪-+>⎪⎩
4、
求分段函数的最值
例4 求函数23(0)
3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最小值[来源:Z#xx#]
方法1 先求每个分段区间上的最值,后比较求值。 当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX = (0)f =3; 当0 当x >1时,y =()f x =-x +5,此时y 无最大值.比较可得当x =1时,y max =4. 方法2 利用函数的单调性[来源:学科网ZXXK] 由函数解析式可知,()f x 在x ∈(∞,0)上是单调递增的,在x ∈(0,1)上也是递增的,而在x ∈(1,+∞)上是递减的, 由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 方法3 利用图像,数形结合求得[来源:学科网ZXXK] 作函数y =()f x 的图像(图1), 显然当x =1时y max =4. 说明:分段函数的最值常用以上三种方法求得. 都是“定义域”惹的祸 函数三要素中,定义域是十分重要的,研究函数的性质时应首先考虑其定义域.在求解函数有关问题时,若忽视定义域,便会直接导致错解.下面我们举例分析错从何起. 一、求函数解析式时 例1.已知x x x f 2)1(+=+,求函数)(x f 的解析式 . 错解:令1+= x t ,则1-=t x ,2)1(-=t x , 1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ,1)(2-=∴x x f 剖析:因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ,所以由1+=x t 得1≥t , 1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ,即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f (1≥x ) 这样才能保证转化的等价性. 正解:由x x x f 2)1(+=+,令1+=x t 得1≥t ,()2 1-=∴t x 代入原解析式得 1)(2-=t t f (1≥t ),即1)(2 -=x x f (1≥x ). 二、求函数最值(或值域)时 例2.若,6232 2 x y x =+求2 2y x +的最大值. 错解:由已知有 x x y 32 32 2 +- = ①,代入22y x +得 22y x +()293213212 2+--=+-=x x x ,∴当3=x 时,22y x +的最大值为2 9. 剖析:上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合,同时也未挖掘出约束条件x y x 6232 2 =+中x 的限制条件. 正解:由03232 2 ≥+- =x x y 得20≤≤x , ∴22y x +()2 93213212 2+--=+-=x x x ,[]2,0∈x ,因函数图象的对称轴为3=x , ∴当[]2,0∈x 是函数是增函数,故当当2=x 时,2 2y x +的最大值为4. 例3.已知函数()()32log 19f x x x =+≤≤,则函数()()2 2 y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为 ( ) A .33 B .22 C .13 D .6 错解:()()2 2 y f x f x =+⎡⎤⎣⎦=()2 2 332log 2log x x +++=() 2 3 log 33x +-在() 19x ≤≤上是增函数,故函数()()2 2 y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在9x =时取得最大值为33. 正解:由已知所求函数()() 2 2 y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域是2 1919 x x ≤≤⎧⎨ ≤≤⎩得13x ≤≤, ()()2 2y f x f x =+⎡⎤⎣⎦ =()2 2332log 2log x x +++=()2 3log 33x +-在13x ≤≤是增函数,故函数()()2 2 y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在3x =时取得最大值为13.