第四章2根轨迹分析

开环偶极子位于原点附近
零点zc和极点pc到主导极点的矢 量也基本相等；幅角条件和幅值 条件中作用也基本抵消。
不影响主导极点附近的 根轨迹及根轨迹增益K’ 零极点自身比值zc /pc- 较大 影响系统的开环增益、改变稳态误差。
K K'

i 1 i 1 n
m
zi pi

zc pc
p 0 .01 c zc 0 .1
（b）为加入比例微分（PD）校正后的系统
0 . 8 s 1 0 . 8 s 1 5 ( 1 0 . 8 s ) ( s ) G ( s ) H ( s ) b 2 b b s 0 . 5 j 0 . 866 )( s 0 . 5 j 0 . 866 ) s s 1( s ( 5 s 1 )
提高了系统的相对稳定性
增加一个零点的情况
Zc 3
右移零点
Zc 2
|zc|<|pc| 增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用
零极点对应的矢量幅角
c c
( s z ) ( s p ) c c
c) 附加提供一个超前角 ( c
相当于附加零点的作用
(使根轨迹向左弯曲， 改善了系统动态性能。)
根轨迹图上希望闭环极点的位置
二阶系统的等Mp线（即等ζ线） 二阶系统的等ts线
闭环传递函数特征根的分布与动态性能指标的关系
s j j 1 , 2 n d d
ts 3 3
Mp增大
n
0 . 05
由实部决定
等Mp线 Mp减小
β
Tp减小
等tp线
控制理论基础(I)
课程负责人：丁 汉 教授
顾问：王显正 教授
交通大学精品课程系列
2004.4.30
第八章 根轨迹法
8.1 根轨迹法基本概念 8.2 绘制根轨迹图的基本规则 8.3 控制系统的根轨迹分析 8.4 根轨迹法设计与校正控制系统
8.3 控制系统的根轨迹分析 根轨迹图上希望闭环极点的位置 开环零点和极点对根轨迹的影响
（b）为加入比例微分（PD）校正后的系统
a
( p z ) ( n m )
a i i
渐近线与实轴倾角随着 n数增大而减小 根轨迹向右方向弯曲
渐近线与实轴交点随着pc增 大（pc点在实轴上向右移） 而右移，故更靠近原点 。 向右弯曲趋势随着所增加 的极点移近原点而加剧
降低了系统的相对稳定性
增加开环极点的影响
pc 2
“超前校正”
|zc|>|pc| 增加的极点相对靠近虚轴而起主导作用
c c
c) 附加提供一个滞后角 ( c
( s z ) ( s p ) c c
相当于附加极点的作用 (使根轨迹向右弯曲)
开环偶极子 开环偶极子距离原点较远 极点pc ’和零点zc ’到较远的s 点的矢量基本相等；幅值条件和 幅角条件中的作用相互抵消； 对离其较远的近虚轴区域的根轨 迹形状和开环增益几乎没有影响， 基本上不影响系统静动态性能。
增加开环极点的影响 增加开环零点的影响
s pc ) 增加一个惯性环节 1/(
加入一阶微分环节（s－zc）
( s z ) /( s p ) c c
增加一对开环零极点的影响 加入环节 |zc|<|pc| |zc|>|pc|
开环偶极子
参数变化对闭环极点的影响 (广义根轨迹、根轨迹簇) 比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响
提高系统开环增益10倍
参数变化对闭环极点的影响 控制系统开环传递函数 以α为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。 闭环控制系统的特征方程
K 1 G ( s ) H ( s ) 1 0 s ( s 1 )( s )
2 s ( s 1 ) ( s 1 ) s K 0
（a）为无校正的位置伺服系统
5 1 G ( s ) H ( s ) a a s ( 5 s 1 ) s ( s 0 . 2 )
（c）为加入速度内反馈校正后的系统
0 . 8 ( s 1 . 25 ) G ( s ) H ( s ) c c s ( s 0 . 2 )
1 1 ( s ) c 2 s 0 . 5 j 0 . 866 )( s 0 . 5 j 0 . 866 ) s s 1(
增加一个极点的情况
右移极点
pc 1
开环传递函数上增加零点
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( 2 k 1 ) 180 ( n m )
a
( p z ) ( n m )
a i i
渐近线与实轴倾角随着 m数增大而增加 根轨迹向左方向弯曲
渐近线与实轴交点随着 Zc增大（Zc点在实轴上 向右移）而左移
K G ( s ) H ( s ) ，试绘制 s ( s 1 )( s )
α ＝0
1 K 0 2 s (s 1)
以α为参变量的根轨迹方程
s2(s1)K (s1 )s (s1 )s
s (s1 )K
2
－ 1
将特征方程进行数学处理，把待定 参数放到增益K的位置
以α为参变量的根轨迹方程 不同K值，可得到系统不 同根轨迹图，即根轨迹簇 根轨迹与虚轴交点
s s s s
3 2 1 0
(s 1 )s
s2(s 1 ) K
－ 1
1 a 1 a (a 1) K a ! K
a K 0
1 ( 1 ) K 0
14K 2
比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响 （a）为无校正的位置伺服系统
5 1 G ( s ) H ( s ) a a s ( 5 s 1 ) s ( s 0 . 2 )
tp 2 1 d n
M e p e

σ
Ts减小 等ts线

1 2
由实部决定
100 % e

n
2 n 1
100 %
d
100 % tg d
由实部虚部比 值决定
开环传递函数上增加极点
( 2 k 1 ) 180 ( n m )