二维泊松方程的差分格式有限差分法

(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格，差分格式为：
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2


4
)

(
1 h12

1 h2 2
)20

F
2. 边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域，差分格式为
•
0

1 4
h3
(
3
x3
Hale Waihona Puke Baidu
)0


（4） （5）
由（4）–（5）

( x )xx0
1 3
2h
由（4）+ （5）
同理
2
( x2 )xx0

1

20
h2
3

( y ) y y0

1 3
2h
（8）
（6）
（7）
2
( y 2 ) y y0

1

20
K0 K!
(x
x0 )K
0(( x
x0 )n )
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1

0

h(
x
)0

1 2!
h
2
(
2
x 2
)0

1 3!
h
3
(
3
x3
)0

3

0

h(
x
)0

1 2!
h
2
(
2
x 2
)0

1 3!
高斯—赛德尔迭代法
• 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节
点电位满足
(k1) i, j
i(为,kj) 止 。
⑵超松弛迭代法
(k 1)
(k)
4 [ Fh 4 ] i, j
i, j
(k 1)
(k 1)
§3.7 有 限 差 分 法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
启动
其程序框图如下：
赋边界节点已知电位值
赋予场域内各节点电位初始值
累计迭代次数 N=0
N=N+1
按超松弛法进行一 次迭代，求i(,Nj 1)
Y
N
所有内点
相邻二次迭代值的最大误差
是否小于
打印 N，(i, j) 停机
2 2
x 2

y 2


F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x

n (K )
(k)
(k)
2
(k)
i1, j
i, j 1
i1, j
i, j1
i, j
式中： ——加速收敛因子 (1 2)
• 迭代收敛的速度与 有明显关系：
收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
最佳收敛因子的经验公式：
0

2
1 sin(
)
p
0 2
2
1 p2

1 q2
（正方形场域、正方形网格） （矩形场域、正方形网格）
• 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；
•
迭代收敛的速度与工程精度要求有
。 (N1)
(N)
i, j
i, j

借助计算机进行计算时，
h2
3
（9）
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式
1 2 3 4 40 Fh2
0

1 4
(1
2
3
4

Fh2 )
当场域中 ，0 得到拉普拉斯方程的五点差分格式
1 2 3 4 40 0
0

1 4
⑴高斯——赛德尔迭代法
(k1) i, j

1[ 4
(k 1)
i1, j
(k 1)
i, j 1
(k )
i1, j
(k) i, j1

Fh2
]
式中：i, j 1, 2,，k 0, 1, 2, • 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：
( n )0

1 0 h

f2
, 0 1 f2h
⑷介质分界面衔接条件的差分格式
0

1 4
(2 1 K
1

2

2K 1 K
3

4 )
,
其中
K a b
边界条件的离散化处理
3. 差分方程组的求解方法