二维泊松方程的差分格式有限差分法
二维有限差分矩阵-概述说明以及解释
二维有限差分矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言部分会总体介绍本文将要讨论的主题——二维有限差分矩阵。
本文将首先简要概述二维有限差分方法的基本原理和应用领域，然后详细介绍二维有限差分矩阵的构建方法。
通过本文的阐述，读者将了解到二维有限差分矩阵在数值计算、物理仿真、图像处理等领域的广泛应用，并获得一定的实践指导和理论支持。
二维有限差分方法是一种常用的数值计算技术，广泛应用于解决二维偏微分方程及相关问题。
通过将连续问题离散化为离散点之间的差分，可以利用计算机进行高效且准确的计算。
而二维有限差分矩阵则是二维有限差分方法中的关键组成部分，用于描述问题的离散化形式。
本文着重介绍二维有限差分矩阵的构建方法。
首先，将介绍二维有限差分方法的基本原理，包括空间离散化和时间离散化。
然后，将详细介绍如何根据实际问题的边界条件和离散化精度构建二维有限差分矩阵。
通过合理选择差分格式和边界条件，可以得到满足精度要求的二维有限差分矩阵。
需要注意的是，二维有限差分方法和二维有限差分矩阵的适用范围广泛，不仅仅局限于数值计算领域。
它还可以应用于物理仿真领域，如电磁场模拟和流体动力学分析；以及图像处理领域，如边缘检测和图像恢复等。
通过本文的学习，读者将能够掌握二维有限差分方法的基本原理，了解二维有限差分矩阵的构建方法，并在实际应用中灵活运用。
1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，首先对二维有限差分方法做了一个概述，介绍了其在科学计算和工程领域中的重要性和广泛应用。
接着对文章的结构进行了说明，明确了各个部分的内容和安排。
最后，明确了本文的目的，即探讨二维有限差分矩阵的构建方法。
正文部分主要包括两个部分：二维有限差分方法简介和二维有限差分矩阵的构建。
在第2.1节中，我们将对二维有限差分方法进行简要介绍，包括其基本原理和步骤。
我们将详细解释如何将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，并介绍如何选择合适的差分格式和网格划分方法。
二维波动方程的有限差分法
告实验报学生偏微分方程数值解实验课程名称开课实验室数统学院信计02班专业班院数统年级2013 学学号姓学生名学年第2016 2 学期开课时间2015 至总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间2016年6月20日：kkjikkk1kk?1k?kkk u??2uuu?2u?2u?uu?u,j?,iji,,ijj1ij?1,i,ij,jii?1,jj,?1i??（2）?????kk?1k21kkkk2）3（uu???u??u?ruuu?24r222?hh整理得到：j,ij,i1?j,i1?j,ij1,?ij1,?ij,i????，差分格式为：kkkk（4）,140?0,k?0,1,u?u?u?u N0,0,N0,N,0N考虑初始条件y?sinsinuxx,y,0????????0????（5）,10usin?sin0,1,xjsinjh?y,?sini,ih jjii,2??????，利用二阶差商近似：考虑初始条件0,1?,y,0,?0,yuxxt1?1u?u j,jii,?0,i,j?0,1,,10（6）?2设时刻的点为内点，则满足差分格式（2），代入上式得到：0k?????002211?000（7）u?uu?u4?ur??u2?r?u j,iii,,jj?j?i1?1,j1i,?1,jjii,11?uu?代入（将（6）得到的结果7）中，整理得到：ji,ji,1????01202000）（8?u?1??u2rru?uu?uj,j?1i,1,jjii,j?1?i1,j,ii?2 8）得到三层显格式的差分格式为：（4）、（5）、（综上（2）、??????1kk2kkk2kk?1u?u???uu4?urr?2u?u i,ij?1,,ii,,jj?1i?1,jji?1,jji?i,j?1,2,,9,k?1,2,,139??kkkk?u?u?u?u,1 40?0,k?0,1,（9）N0,N,0NN0,0,?????????0?????,i,jih?u?sinsinx0,1,sin,10jhy?sin jji,i?1?????02102000,10?0,1,uu,?ui?1?2ru?,ruj?u??1j?1i,ijii?,j1,j,j?ii,j?1,?2???22?0.1?r?其中，局部截断误差为ho?。
二维波动方程地有限差分法
实用文案
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013 专业班信计02班
学生姓名学号
开课时间2015 至2016学年第 2 学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月20日
五．实验结果及实例分析
1、0.10.51.01.4
t 、、、时刻的数值解与精确解图
图1 t=0.1、0.5时刻的数值解、精确解
图2 t=1.0、1.4时刻的数值解、精确解
注：上两图为四个时刻的数值解与精确解，()1
0.12r p p h
p
τ
=
=<
=代表维数，本文 ，三层显格式达二阶收敛，不难看出，收敛效果很好，符合理论。
下图是四个时刻的绝对误差图像，从图中看出，绝对误差较小，且经过计算得到，收敛阶近似于2，正好符合理论值。
2、0.10.51.01.4t =、、、时刻的绝对误差图。
泊松方程的有限差分方法及快速实现
收稿日期：2021-04-09作者简介：刘昊（1995-），男，宁夏吴忠人，硕士研究生。
泊松方程的有限差分方法及快速实现刘昊，张荣培，霍俊蓉（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110136）摘要：针对d 维（d =1,2,3）带有Dirichlet 边界的泊松方程，设计一类快速求解方法。
首先采用有限差分方法将方程离散，利用Kronecker 积的性质将离散后的方程进行矩阵分解，进而应用快速离散正弦变换（DST ）方法进行有效求解。
数值实验结果表明，该方法可快速求解d 维泊松方程，并验证了其准确性和有效性。
关键词：泊松方程；有限差分；Crank -Nicolson 方法；离散正弦变换中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）04-0091-06DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.04.018第17卷第4期2021年10月Vol.17No.4Oct.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）泊松方程是常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，在无引力源的情况下，ΔΦ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，ΔΦ=f （f 为引力场的质量分布）。
该方程通常用格林函数法求解，也可以采用分离变量法和特征线法求解［1］。
带有规则区域Dirichlet 边界条件的泊松方程：ìíîïï-Δu =f (x )u|∂Ω=g (x )（1）式中，Δ表示拉普拉斯算子；x ∈Ω；Ω⊂R d ；当d =1时，Δu =u xx ；当d =2时，Δu =u xx +u yy ；当d =3时，Δu =u xx +u yy +u zz 。
由于带有Dirichlet 边界的泊松方程的解析解不容易求出，一般情况下采用有限差分法、有限元法和有限体积方法的数值方法进行求解［2-4］。
二维有限差分法
二维有限差分法
二维有限差分法是一种用于求解二维偏微分方程的数值解法。
它将待求解区域分割成有限个网格点，并利用差分近似方法将偏微分方程转化为代数方程组，然后通过迭代求解这个方程组来获得数值解。
具体来说，二维有限差分法将二维区域 $\Omega$ 划分成
$M$ 个横向离散点和 $N$ 个纵向离散点，得到一个 $M \times N$ 的网格。
偏微分方程在网格上被离散化为一组代数方程，其中每个网格点的解被近似表示为该点以及周围点的函数值。
在二维有限差分法中，常用的差分格式包括中心差分、向前差分和向后差分等。
通过差分近似，偏微分方程中的导数被转化为差分系数的线性组合。
然后，可以得到一个线性方程组，其中每个网格点的系数由该点周围网格点的差分系数决定。
解这个线性方程组可以使用迭代方法，如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代或SOR（逐次超松弛法）迭代等。
迭代过程一般需要设定迭代停止条件，比如迭代次数的上限、残差的收敛精度等。
通过二维有限差分法，可以求解各种边界条件下的二维偏微分方程，比如泊松方程、热传导方程、扩散方程等。
它是一种经典且简单实用的数值方法，广泛应用于科学计算和工程领域。
泊松方程有限差分
泊松方程有限差分在这篇文章中，我们将探讨泊松方程的有限差分方法。
有限差分是一种数值解微分方程的方法，它将方程中的微分算子用差分算子来近似表示，从而将连续空间中的问题转化为离散空间中的问题。
首先，我们先来回顾一下泊松方程的一般形式。
泊松方程通常可以写为：∇^2φ = -ρ其中，∇^2表示拉普拉斯算子，φ是待求解的标量场，ρ是源项。
在物理学中，φ通常代表电势、温度或者密度等物理量，而ρ则表示外部的电荷密度、热源或质量密度等。
对于一个给定的区域Ω上的泊松方程问题，我们要求解φ满足泊松方程以及边界条件。
边界条件通常给出了φ在Ω的边界上的数值或者导数信息。
在有限差分方法中，我们首先需要将问题的空间离散化。
设Ω是一个二维区域，我们用一个网格来离散Ω。
假设Ω上有N个网格点，我们用(i,j)来表示第i行第j列的网格点，并假设Ω被水平方向和竖直方向的线段分别分成了M+1和N+1个小区间。
接下来，我们需要定义泊松方程的差分格式。
对于一个给定的网格点(i,j)，我们可以用中心差分来近似拉普拉斯算子∇^2：∇^2φ(i,j) ≈ (φ(i+1,j) - 2φ(i,j) + φ(i-1,j))/Δx^2 + (φ(i,j+1) - 2φ(i,j) + φ(i,j-1))/Δy^2其中Δx和Δy分别是水平和竖直方向上的网格间距。
通过这样的近似，我们可以得到φ在点(i,j)的近似解。
然后，我们将泊松方程中的微分算子用差分算子来替代，得到离散的泊松方程格式：(φ(i+1,j) - 2φ(i,j) + φ(i-1,j))/Δx^2 + (φ(i,j+1) - 2φ(i,j) + φ(i,j-1))/Δy^2 = -ρ(i,j)这就是泊松方程的有限差分格式。
通过对所有网格点应用这样的格式，我们可以得到一个关于φ(i,j)的代数方程组。
通过求解这个方程组，我们就可以得到φ在整个Ω上的近似解。
在实际计算中，我们通常采用迭代方法来求解这个代数方程组。
泊松方程的数值解法
泊松方程是偏微分方程的一种常见形式，描述的是电荷分布与电场分布之间的关系。
在二维情况下，它通常被写为：$$\nabla^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = -4 \pi \rho(\mathbf{r})$$其中$u(\mathbf{r})$ 是电势，$\rho(\mathbf{r})$ 是电荷密度，$\mathbf{r} = (r,\theta)$ 是位置向量。
一般来说，直接求解泊松方程是困难的，因此我们常常需要借助数值方法。
常见的数值方法包括有限差分法（Finite Difference Method，FDM），有限元法（Finite Element Method，FEM）和有限体积法（Finite V olume Method，FVM）等。
以下我们给出有限差分法和有限元法的基本步骤。
**有限差分法（FDM）**1. 将求解区域划分为网格。
2. 用差分近似替代偏导数。
例如，$\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u(i+1,j) - u(i-1,j)}{2 \Delta x}$，其中$\Delta x$ 是网格尺寸。
3. 将原方程写成差分方程的形式，然后求解这个离散方程。
例如，对于二维的泊松方程，我们可以写成一个线性方程组。
4. 对于边界条件，通常需要将边界条件离散化。
例如，如果边界条件是$u(x,y) = g(x,y)$，那么我们可以将其写为$u(i,j) = g(i,j)$。
5. 使用迭代法（如Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法等）或者直接求解器（如Gauss消元法）来求解这个线性方程组。
**有限元法（FEM）**1. 将求解区域划分为网格，每个网格称为一个元素。
二维泊松方程的差分格式有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2
x 2
2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
Kn )
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格, 差分格式为:
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2.边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域, 差分格式为
•
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式:
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题(可编辑)
五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题（可编辑）五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题摘要:给出了二维泊松方程在单位正方形上的五点差分格式。
并运用线性方程组的古典迭代解法??Jacobi迭代求解出在区域上的数值解。
最终绘制数值解的图形。
关键字:泊松方程五点差分格式 Jacobi迭代有限差分法的介绍有限差分法是求解偏微分方程的主要数值解法之一;其基本思想是把连续问题离散化,即对求解区域做网格剖分,用有限个网格点代替连续区域;其次将微分算子离散化,从而把微分方程组的问题化为线性方程组的求解问题,解方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
差分法的步骤:1 对求解域做网格剖分2 插值函数的选择3 方程组的建立4 方程组的求解五点差分格式的构造二维泊松方程:在单位正方形上,在正方形边界上的边界条件.在正方形网格上,就是在上离散化,.对于N3如图1所示:图1沿方向分别用二阶中心差商代替2.12.21、2式相加可得差分方程:2.3利用Taylor展式可得差分算子的截断误差其中是方程2.3的光滑解。
由于差分方程2.3中只出现在及其四个邻点上的值见图1的中间的粗的点,所以称为五点差分格式。
由边界条件知道,因而2.3式确定了一组具有个未知量的个线性方程。
对应的系数矩阵为对称、不可约对角占优,且对角元为正,因而系数矩阵非奇异,且为对称正定阵。
三、方程组的求解我们已经知道,利用差分方法解椭圆型方程边值问题归结为解大型线性代数方程组的问题。
因为差分格式产生的大型线性代数方程组的系数矩阵中非零元素占的比例小,分布很有规律性。
而且通过数值线性代数的学习,我们知道对于大型的稀疏矩阵来说,迭代法是比较好的选择,其程序实现比较简单,迭代过程能自动校正计算过程中的偶然误差,要求计算机的存储相对较少。
本文采用了线性方程组古典迭代解法??Jacobi迭代求解由五点差分格式得到的线性方程组。
以下对Jacobi迭代作简要的介绍:给定3.1令3.2其中3.3那么3.1可以写成,3.4其中.若给定初始向量,并代入3.4的右端,就可以计算出一个新的向量,即,再把代入3.4的右端,又可以得到一个向量;依次类推有,.这就是Jacobi迭代格式.称为Jacobi迭代的迭代矩阵,称为常数项.四、算法及流程图1算法:输入整数NN可取自2n+1n1,2,3,…构成称数列中的任意数;误差要求e;最大迭代次数M。
二维波动方程泊松公式
二维波动方程泊松公式二维波动方程泊松公式（Two-Dimensional Wave Equation Poisson Formula）是一种描述物理过程的灵活且有效的工具，可用于模拟数值计算机模拟和理论研究。
它可以应用于气象学、化学反应、化学动力学、等离子体动力学以及热力学和流体力学等领域，用于计算平面的平均温度或压力，以及近似解决具有更复杂的热或流体现象的物理问题。
一、二维波动方程泊松公式的定义二维波动方程泊松公式（Two-Dimensional Wave Equation Poisson Formula）是在有限差分法和计算机模拟中应用的一个偏微分方程式，它描述了物理现象的局部温度或压力变化，主要是假定一定空间变化和一定形状波动时，一定时间变化的物理现象。
它可以用来模拟两维热或流体中本征方程的稳定参数，从而求出局部的温度或压力的变化。
二、二维波动方程泊松公式的误差二维波动方程泊松公式的近似误差是主要由于数值模拟的结果和真实物理现象之间存在差异造成的。
这是因为当运用数学方法来模拟物理现象时，它们描述的有限元件不能和完全精确再现真实现象，必然会有一定的误差。
尽管有这样的误差，二维波动方程泊松公式仍然被经常用于数值计算机中，因为它使计算迅速、简洁。
三、应用（1）气象领域：二维波动方程泊松公式可以用于模拟湍流气象情况，如风速、风向、风湍等，以便更好地预报天气。
（2）热力学领域：二维波动方程泊松公式可以用于模拟非绝热多相过程物理现象。
比如在结构图像该反应化学过程中，使用该方程可以得到局部的温度变化，从而进一步推导出整个反应所需要的条件。
（3）等离子体动力学领域：二维波动方程泊松公式也可以用于计算不同物理量在等离子体动力学现象中的变化，比如电流密度、电场强度、电子速度以及电子温度等。
（4）流体力学领域：二维波动方程泊松公式可以用来研究流体的实际效应，如液体的流变、湍流、传热等。
四、优势（1）具有很好的灵活性：根据需要调整边界条件，可以计算出不同情况下物理量的变化。
泊松方程的有限差分法的matlab实现
泊松方程是数学领域中的一个重要方程，它在物理、工程、地理等多个领域都有广泛的应用。
其中，泊松方程的有限差分法是一种常用的求解方法，它可以通过离散化泊松方程的微分形式，将其转化为代数方程组，然后通过数值方法进行求解。
而在matlab中，可以利用其强大的矩阵运算和绘图功能，快速地实现泊松方程的有限差分法求解。
本文将介绍泊松方程的有限差分法在matlab中的实现过程，并给出具体的代码实例。
1. 泊松方程的基本形式泊松方程是描述标量场的拉普拉斯方程，其基本形式如下：∇^2φ= f (1)其中，φ代表标量场，∇^2代表拉普拉斯算子，f代表源项。
在二维情况下，泊松方程可以表示为：∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2= f (2)2. 有限差分法的基本思想有限差分法是一种常用的数值求解方法，它将泊松方程中的微分算子用离散化的差分算子代替，将微分方程转化为代数方程组。
在二维情况下，可以将泊松方程进行离散化，得到如下的代数方程组：(φi+1,j-2φi,j+φi-1,j)/Δx^2+(φi,j+1-2φi,j+φi,j-1)/Δy^2= fi,j (3)其中，i和j分别代表x和y方向上的网格索引，Δx和Δy分别代表网格间距，fi,j代表源项在网格(i,j)的取值。
3. matlab实现在matlab中，可以利用矩阵运算和循环结构，快速地实现泊松方程的有限差分法求解。
下面给出一个简单的matlab代码实例：```matlab定义参数nx = 100; x方向网格数ny = 100; y方向网格数Lx = 1.0; 区域长度Ly = 1.0; 区域宽度dx = Lx / (nx - 1); x方向网格间距dy = Ly / (ny - 1); y方向网格间距初始化网格x = linspace(0, Lx, nx);y = linspace(0, Ly, ny);[X, Y] = meshgrid(x, y);设置边界条件phi = zeros(ny, nx);phi(:, 1) = 1; 左边界phi(:, end) = 1; 右边界phi(1, :) = 0; 下边界phi(end, :) = 0; 上边界设置源项f = zeros(ny, nx);f(ny/4:nx*3/4, ny/4:nx*3/4) = 1;迭代求解max_iter = 1000; 最大迭代次数tol = 1e-6; 收敛条件for iter = 1:max_iterphi_old = phi;for i = 2:nx-1for j = 2:ny-1phi(i, j) = (phi_old(i+1, j) + phi_old(i-1, j)) / dx^2 + (phi_old(i, j+1) + phi_old(i, j-1)) / dy^2 - f(i, j) * dx^2 * dy^2; endendif max(max(abs(phi - phi_old))) < tolbreak;endend绘制结果figure;surf(X, Y, phi);xlabel('x');ylabel('y');zlabel('phi');```通过上面的代码，可以在matlab中实现泊松方程的有限差分法求解，并绘制出结果。
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，通过对差分方程进行数值求解，得到问题的数值解。
首先，有限差分法将求解区域划分为一个个小网格。
通常使用矩形网格（二维）或立方体网格（三维），这些小网格称为离散点。
每个离散点上的函数值表示在该点处的近似解。
然后，将偏微分方程中的导数用差商来代替。
对于一阶导数，可以使用中心差商、前向差商或后向差商等。
中心差商是最常用的一种，它使用左右两个离散点的函数值来逼近导数的值。
例如，对于一维情况下的导数，中心差商定义为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)其中，h表示网格的步长。
通过调整步长h的大小，可以控制逼近的精度。
对于高阶导数，可以使用更复杂的差分公式。
例如，对于二阶导数，可以使用中心差商的差商来逼近。
具体公式为：f''(x)≈(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2通过将导数用差商代替，将偏微分方程转化为差分方程。
例如，对于二维泊松方程：∇²u(x,y)=f(x,y)其中，∇²表示拉普拉斯算子。
u(i,j)=1/4[u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)]-h²/4*f(i,j)其中，u(i,j)表示离散点(i,j)处的近似解，f(i,j)表示离散点(i,j)处的右端项。
最后，通过求解差分方程，得到问题的数值解。
可以使用迭代方法，例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法或SOR迭代法等，来求解差分方程。
迭代过程通过更新离散点上的函数值，直到满足收敛条件或达到指定的迭代次数。
总结来说，有限差分法通过将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，然后通过数值求解差分方程，得到问题的近似解。
它是一种简单且高效的数值计算方法，广泛应用于科学计算、工程计算和物理仿真等领域。
二维泊松方程的求解公式
二维泊松方程的求解公式一、二维泊松方程的基本形式。
在二维直角坐标系中，泊松方程的形式为：∇^2u = f(x,y)其中，∇^2=frac{∂^2}{∂ x^2}+frac{∂^2}{∂ y^2}是二维拉普拉斯算子，u = u(x,y)是待求的函数，f(x,y)是已知的源函数。
二、求解方法之分离变量法（在特定边界条件下）1. 假设解的形式。
- 设u(x,y)=X(x)Y(y)，将其代入泊松方程frac{∂^2u}{∂ x^2}+frac{∂^2u}{∂y^2}=f(x,y)，得到：- X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=f(x,y)- 两边同时除以X(x)Y(y)，得到：- (X''(x))/(X(x))+(Y''(y))/(Y(y))=(f(x,y))/(X(x)Y(y))2. 令(X''(x))/(X(x)) = - λ，(Y''(y))/(Y(y))=λ - (f(x,y))/(X(x)Y(y))（这里λ为分离常数）- 对于X(x)，我们得到方程X''(x)+λ X(x) = 0，其解的形式取决于λ的值。
- 当λ>0，设λ = k^2，k>0，则X(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)。
- 当λ = 0，X(x)=Ax + B。
- 当λ<0，设λ=-k^2，k>0，则X(x)=Ae^kx+Be^-kx。
- 对于Y(y)，同样根据λ的值求解相应的二阶常微分方程。
3. 确定系数。
- 根据给定的边界条件（例如，在矩形区域0≤ x≤ a，0≤ y≤ b上的边界条件），确定系数A、B等。
三、格林函数法求解二维泊松方程。
1. 格林函数的定义。
- 对于二维泊松方程∇^2u = f(x,y)在区域Ω内，格林函数G(x,y;x_0,y_0)满足：- ∇^2G(x,y;x_0,y_0)=δ(x - x_0)δ(y - y_0)在Ω内，- G(x,y;x_0,y_0)=0在∂Ω上（∂Ω为区域Ω的边界）。
二维Poisson方程Dirichlet边值问题差分格式
将（ ７ ） ～（ ８ ） 两 式中 用 代 替 ， 并 略 去 小 量 项一 壁
式得到如下的差分 方程
１ ２ ￣ ｘ ４ （ ， ） 一 篙 （ ， ） ， 由 （ ３ ） 一 （ ４ ）
（ ９ ）
（ １ ０）
． － （ ＋ ） ＝ ， ） ，（ ｉ ， ｊ ） ￣ ｃ Ｏ ，
二维 Ｐ ｏ ｉ ｓ ｓ ｏ ｎ 方程 Ｄ Ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ Ｉ ｅ ｔ 边 值 问题 差 分格 式
盛 秀 兰
（ 江苏开放 大学 ． 江苏 南京 ２ １ ０ ０ ３ ６）
摘
要：本文用 离散 的有限个 未知量组成差分方程组 ，建立 了一 个两层线性化 显式差分格式 ，并讨
论 了差分格 式的可解性 、收敛性和稳 定性 ；利用 Ｇ ａ ｕ ｓ ｓ － Ｓ ｅ ｉ ｄ ｅ ｌ 迭代法求解 差分方程的解 ， 证 明了差分解在
最大模 意义下关于空闽上的二阶收敛 ；通过数值算例 ，验证 了理论分析结果．
关键词 ：微分方程 ；Ｄｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题 ；收敛性 ；稳定性 中图分类号 ： ０ ２ ４ １ ． ８ ２ ． 文献标 识码 ：Ａ
＝
ｗ ；
｛ （ ｆ ， ） ） ∈ ｝ ， 兰 ｛ （ ｊ ＇ ） Ｉ （ ， ） ∈ ｒ ＾ ｝
收稿 日期 ：２ ０ １ ６ － １ ０ － ０ ７ 基金项 目 江苏省 高等职业 院校专业 带头人高端研修资助项 目 （ ２ ０ １ ６ Ｇ Ｒ Ｆ Ｘ０ １ １ ）； 江苏开放 大学 “ 十三五”规划课题 （ 编号 １ ６ Ｓ Ｓ Ｗ－ Ｙ ００ － ９ ） 作者简介 ：盛秀兰 （ １ ９ ７ ６ 一） ，女 ，江苏开放 大学副教授 ，硕士，研究方 向：偏微分方程数 值解 。
二维波动方程的有限差分法
.学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解开课实验室数统学院学院数统年级2013 专业班信计02班学生姓名学号开课时间2015 至2016学年第 2 学期数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月20日五．实验结果及实例分析1、0.10.51.01.4t =、、、时刻的数值解与精确解图图1 t=0.1、0.5时刻的数值解、精确解图2 t=1.0、1.4时刻的数值解、精确解注：上两图为四个时刻的数值解与精确解，()10.12r p p hpτ==<=代表维数，本文，三层显格式达二阶收敛，不难看出，收敛效果很好，符合理论。
下图是四个时刻的绝对误差图像，从图中看出，绝对误差较小，且经过计算得到，收敛阶近似于2，正好符合理论值。
2、0.10.51.01.4t 、、、时刻的绝对误差图图3 四个时刻的绝对误差3、四个时刻（t=0.1、0.5、1.0、1.4）的绝对误差表t=0.1时刻的绝对误差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.00000.0000 0.0001 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0001 0.00000.0000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0004 0.0002 0.000011。
chap4有限差分法
( N 1) 按超松弛法进行一次迭代，求 i , j
Y
N
i(,kj1) i(,kj)
打印 N，(i , j )
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第 一 章
静 电 场
上机作业要求：
1. 试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。 a 已知： a 4 cm，h 10 mm 4 给定边值：如图示； 给定初值：
最佳收敛因子的经验公式（不唯一）
2 π 1 sin( ) p
（正方形场域、正方形网格）
1 1 2 π 2 2 2 （矩形场域、正方形网格） p q
收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；
迭代次数与工程精度 有关。
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第 一 章
静 电 场
程序框图
边界节点赋已知电位值 赋节点电位初始值 累计迭代次数 N=0 N=N+1
误差范围： 10
5
图1.6.7 接地金属槽内半场域 的网格剖分
计算：1) 迭代次数 N = ? , i , j 分布；
2) 按电位差 10 画出槽中等位线。
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第 一 章
3.选做题
静 电 场
已知：无限长矩形屏蔽空腔中长 直矩形导体的横截面如图示，且 给定参数为
1 0 (21 2 4 h 2 F ) 4 第二类边界条件
图 1.6.3 对称边界 图 1.6.4 对称分界
1 0 f 2＝( ) 0 , 0 1 f 2 h n h 分界面衔接条件 1 2 2K 0 ( 1 2 3 4 ) , 4 1 K 1 K
1 I M , J 1 或 J N, 0 1 J N,
泊松方程的五点差分外推法
泊松方程的五点差分外推法一、什么是泊松方程泊松方程是一个描述电势场、流体力学、热传导等问题的偏微分方程，在物理学、工程学、数学等学科中都有广泛的应用。
具体来说，泊松方程的一般形式为：Δϕ = -ρ其中，ϕ代表场量，Δ为拉普拉斯算子，代表二阶空间偏导数之和，ρ为源项，代表场量的分布情况。
二、五点差分外推法的基本思路对于二维泊松方程，五点差分外推法是求解其数值解的常用方法之一。
其基本思路是采用有限差分法将二维连续的泊松方程转化为有限差分方程，在有限差分方程中求解数值解。
在五点差分外推法中，为了确保数值解的精确性，我们可以采用以下几种方法：1.将二维区域剖分为若干个小方格，采用网格近似法进行数值求解。
2.使用五点差分公式，将每个小方格中的连续泊松方程转化为有限差分方程。
3.采用逐次外推法对数值解进行迭代，最终获得泊松方程的数值解。
三、五点差分外推法的详细步骤五点差分外推法的详细步骤如下：1.将二维区域剖分为若干个小方格，并在每个小方格上选取一个离散点（通常为正中心），确定每个小方格的坐标。
2.设第i行第j列的小方格坐标为(xi,yj)，离散点为(x_i,y_j)，则离散后的泊松方程可写为：4Φ_i,j-Φ_i+1,j-Φ_i-1,j-Φ_i,j+1-Φ_i,j-1 = h^2ρ_i,j其中，Φ_i,j代表第i行第j列离散后的场量值，ρ_i,j代表第i行第j列离散后的场量在该点的源项值，h 代表小方格的边长。
3.对于内部的小方格（即不在边缘的小方格），采用五点差分外推公式：Φ_i,j = 1/4(Φ_i+1,j+Φ_i-1,j+Φ_i,j+1+Φ_i,j-1-h^2ρ_i,j)4.对于边缘的小方格，需要先将该小方格区域扩大，新的小方格中心点和原来的小方格中心点重合，然后再应用五点差分外推公式求解。
5.重复迭代求解，直到数值解的收敛精度满足要求（通常是达到一定迭代次数或达到一定误差范围内）。
四、五点差分外推法的优缺点五点差分外推法作为求解泊松方程数值解的一种方法，具有以下优缺点：1.优点：(1)简单易用：采用一些简单的数值方法即可对泊松方程进行快速求解，易于实现。
二维泊松方程
二维泊松方程是一个偏微分方程，形式为▽²u=f，其中▽²表示拉普拉斯算子，u是未知函数，f是已知函数。
这个方程通常用于描述在二维空间中电场、引力场、热流等物理现象的分布和变化规律。
二维泊松方程的解法可以通过分离变量法、格林函数法、有限差分法等多种方法进行求解。
在具体求解过程中，需要将问题转化为求解一个线性方程组的形式，然后利用代数方法或者迭代方法求解该方程组，得到未知函数的数值解或者解析解。
在实际应用中，二维泊松方程通常用于描述平面形状的问题，例如在电子工程中计算平面电容器和电感的参数，在材料科学中计算薄膜的应力分布等等。
此外，在一些特殊情况下，二维泊松方程也可以用于描述三维空间中的问题，例如在地球物理学中计算地球内部的地震波传播规律。
二维泊松方程边值问题有限差分方程的病态结构和最优预条件子
二维泊松方程边值问题有限差分方程的病态结构和最优预条件子张衡;郑汉垣【摘要】基于结构分析的思想,讨论大规模病态稀疏线性方程的病态机理和预处理原理,定义该方程组的病态结构、病态因子、去病因子.针对病态结构,设计去病因子,以去病因子为预条件子,并对预条件子的性能进行定量分析,结果表明去病因子是最优预条件子,该预条件子的使用,几乎不增加迭代的计算量,预处理后方程组的主体保持正定对称,条件数接近常数.【期刊名称】《福建师大福清分校学报》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】6页(P1-6)【关键词】病态机理;病态结构;病态因子;去病因子;预处理【作者】张衡;郑汉垣【作者单位】福建师范大学福清分校无损检测技术福建省高校重点实验室,福建福清350300;福建师范大学福清分校电子与信息工程学院,福建福清350300;龙岩学院传播与设计学院,福建龙岩364012【正文语种】中文偏微分方程大规模数值求解问题，通常转化为大规模病态（高条件数）稀疏线性方程组的求解 [1].该方程组的条件数经常随着问题规模的增加而增加[2]，成为影响求解效率和精度的瓶颈因素.因此，在迭代求解之前，使用预处理方法来减少方程组的病态，成为提高求解效率和精度的必要措施.所谓“预处理技术”是指在求解方程组时，构造简单的可逆矩阵 M 1 , M 2，使得Cond( ) < <Cond(A )（Cond(A)是指矩阵A的条件数），, 容易计算，从而方程组（1）化成等价易解的方程组其中x ′ =M2 x，矩阵 M 1 M 2称为预条件子 [3-4]．如果 C ond( 1)与A的阶数无关，则称M1 M 2为最优预条件子[5]205-209.病态方程组的成功求解，常常以适当的预条件子作为前提.由于缺乏对病态机理和预处理原理的研究，目前关于预处理问题的理论仍然不完善.一是缺乏一般的预处理方法，没有通用的预条件子，只能针对具体问题，根据预条件子的基本要求，设计具体的预条件子[6-8]；二是对预处理的效果（条件数下降的程度，预处理后的条件数，对计算量的影响等）缺少科学的定量分析，多用实验结果说明[9-15].目前关于病态机理和预处理原理的研究鲜见有成果发表.本文讨论病态机理和预处理原理.定义方程组的病态结构、病态因子、去病因子，讨论他们的性质和作用. 使用有限差分方法，大规模求解二维泊松方程边值问题时，基于非均匀网格形成的有限差分方程，是稀疏病态方程组.基于结构分析的思想[16-19]，针对该方程，研究病态结构、病态因子、去病因子.将病态分为由病态因子表达的原发性病态和由具体问题和方法引起的继发性病态，更准确地说明了不同的因素对病态的影响；以去病因子为预条件子，对预处理的效果（条件数下降的程度，对计算量的影响）定量分析，结果说明去病因子是最优预条件子[5]205-209；该预条件子的使用，几乎不增加求解的计算量，预处理后方程组的主体保持正定对称，条件数接近常数（与问题规模无关）.1 矩阵的病态结构与去病因子1.1 矩阵的病态结构定义1 可逆矩阵的如下结构称为病态结构：其中是整数，，Y1C Y2 ,Y1Y2 均可逆，Cond(C )很小，C o nd(Y 1C Y2 )和 C ond(Y 1Y2)很大为A的病态主体，分别称 Y1 , Y2 为左、右病态因子.显然，在定义1中，C o nd(A) ≈Cond(Y 1C Y2)1.2 去病因子如果A有(3)式的病态结构，为减少或者消除病态，可针对病态因子，设计预条件子M1 , M 2，使得) < <Cond(Y 1C Y2 )，从而减少或者消除病态因子 1 2,Y Y 的致病作用.因为 1 2,Y Y 不是方阵，所以即使找到病态因子，也难以用逆矩阵的方法设计预条件子.特别地，有定义2 如果可逆矩阵 1 2,M M 满足：，或者，则称这样的 1 2,M M 为 1 2,Y Y 的去病因子.定义2中可认为去病因子 1 2,M M 消除了病态因子 1 2,Y Y 的致病作用.通常考虑寻找满足=I的可逆矩阵 1 2,M M.特别地，对于正定对称矩阵的情形，有命题 1：设C分别是阶正定对称矩阵，则有2)如果有α阶矩阵M满足则有证明：1)利用Rayleigh-Ritz定理[20]所以，即(4)成立.2)根据条件有 M -1 YYTT M-TT =，I是α α阶单位矩阵，利用结论1)有Cond(M -1 YCYTT M-TT )≤≤Cond(C ) Cond(M -1 YYTT M -TT )=Cond(C)，即(6)成立.根据命题1，如果 Y , 是病态因子，则满足(5)式的矩阵 M , 可以消除 Y , 的作用，因此有定义3 称满足(5)式的矩阵M为属于Y的去病因子.1.3 一个特别的病态因子及其去病因子阶正弦变换矩阵，有命题2：Z Z TT =HHTT命题3：3)对于任意 m ( n + 1 )+ n ( m + 1 )阶正定对称矩阵P，有证明：1)根据命题2 ，Z Z TT 的特征值为，1 ≤ i≤ n，1 ≤ j≤ m.所以即(7)成立.2)记，则容易验证：1 + 2min(x, y) ≥ g ( x, y) ≥ m in(x, y)，所以3)根据(4)可得.证毕.根据命题3和定义1，Z , Z T 是 Z PZT或者 Z Z T 的病态因子；根据命题2和定义3，矩阵H是属于Z的去病因子.2 二维泊松方程边值问题非均匀网格的有限差分方程使用有限差分方法，求解二维泊松方程边值问题[4]100-101其中f =f( x, y) ,(x, y) ∈ D = [ a, b] × [ c, d ] ⊂R2对D做非均匀网格剖分[5]59：在(xi, y j )，使用δ x x u i, j , δ y y u i, j , fi, j 分别代替u x x , u y y,f，得到非均匀差分格式其中0≤≤i≤n+1，0≤≤j≤≤ m +1.记则有命题4：问题(9)有如下的有限差分网格方程证明：容易验证根据上述记号的定义，有根据差分格式(10)，有 - δxx u -δyyu=f，所以(11)式成立.证毕.3 有限差分方程的病态结构与最优预条件子及其预处理效果显然，当 h i , x , h j , y都很小时，根据 P , Q, Z的定义，命题4的(11)式中，ZPZ T >>Q，在系数矩阵A中，Z P Z T是A的大范数部分，即主要部分，Co nd(A) ≈ Cond(Z PZ T )；根据定义1和命题3，有限差分方程(11)的系数A矩阵具有病态结构，Z P Z T是A的病态主体，Z, Z T是病态因子；根据命题2，矩阵H是属于Z的去病因子.根据命题3，A的病态大部分是由病态因子Z表达的，少部分是P表达的，Q对A的病态影响很小.病态因子Z表达的病态来自微分算子，是本质的，离散精度越高，A的阶数越大，Z表达的病态越严重；P表达的病态来自网格大小，几乎不受A的阶数影响，是非本质的，可以随着应用问题的不同而不同，在应用中可以调整. 定义4 称病态因子Z表达的病态为原生病态，P表达的病态为继发病态使用H作为预条件子，则方程(11)化成容易验证：Cond()P 几乎不受 ,m n的影响.根据命题1的结论2),有因此，H H T 是最优预条件子[5]205-209.H, H - 1都是离散傅里叶变换矩阵的直积与对角矩阵的积，有简单、确定的结构，因此预条件子的构造和预处理计算不需要增加大量成本，其中预处理需要的计算是H , H -1与向量的乘积，每次需要的计算操作数是O( m n l og2(n m )) ，即有限次离散快速傅里叶变换的计算量，所以每个迭代步的计算量没有显著增加.预处理后，方程(12)的系数矩阵的主体仍然是正定对称矩阵，所以仍然可以使用经典Krylov子空间方法—共轭梯度法求解，即为预处理共轭梯度法[4]139-151.4 结论1）二维泊松方程边值问题的有限差分网格方程，是稀疏病态方程组，它的结构中，隐藏着包含病态因子的病态结构，这是病态产生的根本原因.2）有限差分方程组的病态分为由病态因子表达的原发性病态和由具体方法引起的继发性病态，原发性病态是主要的、本质的.3）针对病态因子，可找到去病因子，将去病因子作为预条件子，可消除病态因子的致病作用，即消除原发性病态.预处理后，系数矩阵主体（大范数部分）的条件数降为接近常数，几乎不受方程阶数的影响，因此，去病因子是最优预条件子[5]205-209.4）将去病因子作为预条件子，预处理过程基本不增加计算操作数，并且预处理后矩阵主体保持正定对称.5）与经典的不完全LU分解法比较，本文的预条件子针对病态因子设计，有明显的针对性和标准，得到的预条件子与具体的问题的继发性病态没有关系，有一定的通用性.【相关文献】[1] JIA Z X. The convergence of krylov subspace methods for large nonsymmertric linear systems [J]. Acta Mathematical Sinica, 1988, 14(4): 507-518.[2] 吴勃英,王德明,丁效华,等.数值分析原理[M].北京：科学出版社，2003:71-101.[3] 张科.两类线性方程组的预处理技术及数值求解方法[D].上海：上海大学，2014:7-9.[4] 李荣华 . 偏微分方程数值解法 [M]. 2 版 .北京：高等教育出版社 , 2010.[5] 张文生. 科学计算中的偏微分方程有限差分法[M].北京：高等教育出版社，2006.[6] BAI Z Z, LI G Q. Restrictively preconditioned conjugate gradient methods for systemsof linear equations [J]. IMA Journal of Numerical Analysis, 2003 (23): 561–580.[7] WANG Z Q. Restrictively preconditioned chebyshev method for solving systems of linear equations [J]. Eng Math, 2015 (93):61-76.[8] BRU R, MARW J, MAS J, et al. Preconditioned iterative methods for solving linear least squares problems [J].SIAM J Sci Comput, 2014, 36(4):2002-2022.[9] 于春肖 , 苑润浩 , 穆运峰 . 新预处理 ILUCG 法求解稀疏病态线性方程组[J]. 数值计算与计算机应用,2014, 35(1): 21-27.[10] XUE Q F, GAO X B, LIU X G，Comparison theorems for a class of preconditioned AOR iterative methods[J].Journal of Mathematics, 2014, 34(3): 448-460[11] 潘春平,马成荣 ,曹文方,等 . 一类预条件AOR 迭代法的收敛性分析 [J]. 数学杂志 , 2013, 33(3): 479-484.[12] 罗芳.L-矩阵的多参数预条件AOR迭代法[J]. 数学的实践与认识 , 2013, 43(15): 277-282.[13] 吴建平,赵军,马怀发,等.一般稀疏线性方程组的因子组合型并行预条件研究[J]. 计算机应用与软件 , 2012, 29(5): 6-9+108.[14] 李继成,蒋耀林. 预条件IMGS迭代方法的比较定理 [J].数学物理学报 , 2011, 31A(4): 880-886.[15] PAN C P. A new effective preconditioned Gauss-Seidel iteration method[J]. 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高斯—赛德尔迭代法
• 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节
点电位满足
(k1) i, j
i(为,kj) 止 。
⑵超松弛迭代法
(k 1)
(k)
4 [ Fh 4 ] i, j
பைடு நூலகம்
i, j
(k 1)
(k 1)
启动
其程序框图如下：
赋边界节点已知电位值
赋予场域内各节点电位初始值
累计迭代次数 N=0
N=N+1
按超松弛法进行一 次迭代，求i(,Nj 1)
Y
N
所有内点
相邻二次迭代值的最大误差
是否小于
打印 N，(i, j) 停机
⑴高斯——赛德尔迭代法
(k1) i, j
1[ 4
(k 1)
i1, j
(k 1)
i, j 1
(k )
i1, j
(k) i, j1
Fh2
]
式中：i, j 1, 2,，k 0, 1, 2, • 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。
K0 K!
(x
x0 )K
0(( x
x0 )n )
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
)0
3
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
2 2
x 2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
h2
3
（9）
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式
1 2 3 4 40 Fh2
0
1 4
(1
2
3
4
Fh2 )
当场域中 ，0 得到拉普拉斯方程的五点差分格式
1 2 3 4 40 0
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格，差分格式为：
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2. 边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域，差分格式为
•
0
1 4
(k)
(k)
2
(k)
i1, j
i, j 1
i1, j
i, j1
i, j
式中： ——加速收敛因子 (1 2)
• 迭代收敛的速度与 有明显关系：
收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
h3
(
3
x3
)0
（4） （5）
由（4）–（5）
( x )xx0
1 3
2h
由（4）+ （5）
同理
2
( x2 )xx0
1
20
h2
3
( y ) y y0
1 3
2h
（8）
（6）
（7）
2
( y 2 ) y y0
1
20
§3.7 有 限 差 分 法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
最佳收敛因子的经验公式：
0
2
1 sin(
)
p
0 2
2
1 p2
1 q2
（正方形场域、正方形网格） （矩形场域、正方形网格）
• 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；
•
迭代收敛的速度与工程精度要求有
。 (N1)
(N)
i, j
i, j
借助计算机进行计算时，
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：
( n )0
1 0 h
f2
, 0 1 f2h
⑷介质分界面衔接条件的差分格式
0
1 4
(2 1 K
1
2
2K 1 K
3
4 )
,
其中
K a b
边界条件的离散化处理
3. 差分方程组的求解方法