12矩形的性质与判定(2)作业2
矩形的性质与判定2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)
18.2.1矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.题型1：理解矩形的性质1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．对角线相等C．两组对边分别平行题型2：利用矩形的性质判定三角形全等2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出结论；【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°∵EF⊥CE∴∠CEF＝90°∴∠CED+∠AEF＝90°∵∠CED+∠DCE＝90°∴∠DCE＝∠AEF∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE＝DC由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2∴2AE＝6∴AE＝3【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．【分析】利用矩形的性质证得△ADE≌△BCE后即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∵E为CD边上的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE．题型3：矩形的性质与求角度3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）A．70°B．60°C．80°D．45°【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，∴∠DGA＝∠BAG＝20°，∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．故选：A．【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．46°B．52°C．56°D．62°【分析】由长方形直尺可得MP∥OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠MOB＝2∠BOP＝56°，由长方形直尺可知：MP∥OB，∴∠AMP＝∠MOB＝56°，故选：C．【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC ＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．【解答】解：连接BD，交AC于O，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E＝70°，∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故选：C．题型4：矩形的性质与求线段4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD ＝12．【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2BO＝12．故答案为12．【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是18．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE＝CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线，∴PE＝CD＝3，∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案为：18．题型5：矩形性质综合5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S阴＝+＝3，故选：A．【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为．【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．故答案为．【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝BE，∴AD∥BE，AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形；（2）过点F作FG⊥BC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴FB＝FC＝FD，∴G是BC的中点，∴FG是△BCD的中位线，∴．在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，∴．题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6B．6.5C．10D．13【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD 的中点．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME＝BC，同理MF＝BC，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）解：∵MF＝MB，∴∠ABC＝∠MFB＝50°，同理∠ACB＝∠MEC＝60°，∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的长；（2）求证：AB＝BC．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADE，根据三角形的内角和定理得到∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE＝5；（2）证明：由（1）知，BE＝DE，∵AE＝BE，∴∠A＝∠ADE，∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.3.有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型7：矩形的判定（三直角）7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH 是矩形．【分析】利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质可得∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO ＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形GHKL是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．∴∠GOK＝90°，同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴∠HGO＝90°，∴四边形KHGO是矩形．题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形；【解答】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形；【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB 交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：如图所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∴AE平行且等于CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．【分析】首先根据已知条件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）9.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【分析】先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出AC＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根据等角对等边得出OC＝OB，那么AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出▱ABCD是矩形．【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BDE＝2OB，∵∠1＝∠2，∴OC＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．【变式9-1】如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AF＝CE，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．【变式9-2】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形．【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵MO＝NO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥BC，证明△DEA≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF；（2）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．题型10：矩形的判定综合10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，进而得到DF＝BE且DF∥BE，根据平行四边形的判定得到四边形DFBE是平行四边形，由DE⊥AB可得结论；（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DFBE是矩形；（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB，∴∠DAE＝30°，又∵AD＝3，∴DE＝AD＝，【变式10-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【变式10-2】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．【变式10-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．【分析】（1）先求出四边形CDBE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）求出AB长，再根据勾股定理求出BC，即可求出DE．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴∠CDB＝90°，CD∥BE，∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，∵∠CDB＝90°，∴四边形CDBE是矩形；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，由勾股定理得：BC＝＝，∵四边形CDBE是矩形，∴DE＝BC＝．word可编辑文档。
九年级数学 第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第2课时 矩形的判定作业
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
第10题图
11．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC，AB 于点 D， F，BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF， 则四边形 BCDE 的面积是_2___3____．
第11题图
12．如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F 作FG⊥EF交BC于点G，连接GH，当AD，AB满足______A__B_＝__A(D关系)时， 四边形EFGH为矩形．
第12题图
13．如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为∠APQ，∠BPQ，∠CQP， ∠DQP的平分线．求证：四边形PMQN是矩形．
证明：∵PM，PN，QM 分别平分∠APQ，∠BPQ，∠CQP，∴∠MPQ
＝21 ∠APQ，∠NPQ＝21 ∠BPQ，∠MQP＝21 ∠CQP.∵∠APQ＋∠BPQ ＝180°，∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°，即∠MPN＝90°.同理可证∠MQN ＝90°.∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°，∴∠MPQ＋∠MQP＝90 °，即∠PMQ＝90°，∴四边形 PMQN 是矩形
9．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列
条件中，能使四边形EFGH为矩形的是( C)
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
第9题图
10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且 点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为
第5题图
6．(2019·江西)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC， BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
矩形性质判定
矩形的性质与判定(第2课时)一、选择题(每小题4分，共12分)1.在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量其中三个角是否都为直角D.测量对角线是否相等2.在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形.其中正确的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个3.(2016·汕头质检)如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.则EF的最小值为( )A.4B.4.8C.5.2D.6二、填空题(每小题4分，共12分)4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于F，EG⊥BC于G，则四边形CFEG的周长是________.5.如图，在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是点D，E，F，则CF的长为________.6.(2016·宜兴期中)如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了.(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求.(2)这种做法的根据是____________.三、解答题(共26分)7.(12分)如图，已知点E，F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2.(1)求证：△AED≌△CFB.(2)若AD⊥CD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由.【培优训练】8.(14分)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH 及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是______________，并证明.(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.1.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE2.(2016·南京校级月考)下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形.其中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2016·攀枝花中考)下列关于矩形的说法中正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分4.(2016·合肥质检)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE 的面积是( )A.2错误！未找到引用源。
2021年中考数学《一轮专题训练》—选择题专项：矩形的性质与判定综合(二)
2021年中考数学《一轮专题训练》—选择题专项：矩形的性质与判定综合（二）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（）A．2B．3C．6D．2．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，则四边形BCFE的面积为（）A．10 B．9 C．D．3．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（）A．①B．②C．③D．④4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（）A．5 B．6 C．2D．35．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为（）A．1 B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（）A．（，6）B．（，6）C．（，6）D．（，6）7．矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E 从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变8．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC ＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°9．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（）A．B．C．D．10．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD11．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CD D．AB∥CD 12．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角13．如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．不能确定14．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②③D．②③④15．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（）A．2∠ACE＝∠BAC+∠B B．EF＝2OCC．∠FCE＝90°D．四边形AFCE是矩形17．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°18．如图，直角三角形ABC中，AC＝2，BC＝4，P为斜边AB上一动点，PE⊥BC，PF ⊥CA，则线段EF长的最小值为（）A．B．2 C．D．19．下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形20．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（）A．B．C．2cm D．1cm参考答案1．解：∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OD，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠FBO＝∠EDO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，BF＝DF，∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四边形BFDE为菱形，AE＝CF，∴EO＝FO，∠FBO＝∠OBE，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF＝30°，∵EF＝AE+FC，∴AE＝EO＝OF＝CF，∵AB＝3，∴AE＝，BE＝，∴CF＝AE＝，BF＝BE＝，∴BC＝BF+CF＝，故选：B．2．解：∵△GEF为等腰直角三角形，∴GE＝GF，∠EGF＝90°，∴∠AGE+∠DGF＝90°，∵∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠AEG＝∠DGF，∴△AEG≌△DGF（AAS），∴AE＝GD，AG＝DF，∵AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，∴DG＝AE＝2，AG＝DF＝AD﹣DG＝3，∴CF＝CD﹣DF＝4﹣3＝1，∴S四边形BCFE＝（2+1）×5＝，故选：D．3．解：如图所示：∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×CD﹣BF×FP＝BF×（CD﹣CG）＝BF×DG＝BF×BE＝矩形②面积，故选：B．4．解：连接GE交AC于O，如图：∵四边形EFGH是菱形，∴GE⊥AC，OG＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CEO与△AOG中，，∴△CEO≌△AOG（AAS），∴AO＝CO，∵AC＝＝＝4，∴AO＝AC＝2，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOG＝∠B＝90°，∴△AOG∽△ABC，∴＝，即＝，∴AG＝5；故选：A．5．解：作BH⊥OA于H，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝5，∴AO＝OB＝，∵BH•AC＝AB•BC，∴BH＝＝，在Rt△OBH中，OH＝＝＝，∵EA⊥CA，∴BH∥AE，∴△OBH∽△OEA，∴＝，∴＝＝＝．∴＝，故选：C．6．解：∵B（8，6），四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCD＝∠OAB＝90°∵将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，∴△OAB≌△OEB，∴∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，∴BE＝OC，在△OCD和△BED中，，∴△OCD≌△BED（AAS），∴CD＝ED，设CD＝ED＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，即CD＝，∴点D的坐标是（，6），故选：B．7．解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：则∠AGE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB，∵四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD 的面积，即▱AEDF的面积保持不变；故选：D．8．解：如图，连接BD，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，故选：A．9．解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，∴四边形DNKM是菱形，∴KM＝MD，∵sinα＝sin∠DMC＝，∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝KM＝acm，则CM＝8﹣a（cm），∵MD2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝（cm），∴sinα＝sin∠DMC＝＝＝，故选：B．10．解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．11．解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠ABC＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，无法得出△ABO≌△DCO，故无法得出四边形ABCD是平行四边形，进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∵BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠BAO＝∠ODC，∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；故选：C．12．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．13．解：∵EF∥MN，∴∠AEAC+∠MCA＝180°，∵AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，∠EAF ＝180°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BAD＝90°，∴∠B＝90°，同理可得，∠D＝90°，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选：C．14．解：∵MN∥CB，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OC＝OE＝OF，故①正确，∵∠BCD＝180°，∴∠ECF＝90°，若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5，故③错误，∴OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．故选：A．15．解：∵MN∥CB，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OC＝OE＝OF，故①正确，∵∠BCD＝180°，∴∠ECF＝90°，若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5，故③错误，∴OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是矩形．故选：C．16．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠BAC+∠B，∵CE平分∠DCA，∴∠ACD＝2∠ACE，∴2∠ACE＝∠BAC+∠B，故A选项正确；∵EF∥BC，CF平分∠BCA，∴∠BCF＝∠CFE，∠BCF＝∠ACF，∴∠ACF＝∠EFC，∴OF＝OC，同理可得OE＝OC，∴EF＝2OC，故B选项正确；∵CF平分∠BCA，CE平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，故C选项正确；∵O不一定是AC的中点，∴四边形AECF不一定是平行四边形，∴四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误，故选：D．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°故选：A．18．解：连接PC，如图所示：∵PE⊥BC，PF⊥CA，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，∵垂线段最短，∴当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝2，又∵当CP⊥AB时，×AC×BC＝×AB×CP，∴PC＝＝＝．∴线段EF长的最小值为．故选：C．19．解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．20．解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD，∵CD＝1，∴DE＝1，∵AD∥BC，∠ABC＝45°，∴∠EAD＝∠ABC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE＝1，∴AD＝，∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，故选：B．。
矩形的性质与判定练习(含答案)
．
17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，OA OC ，OB OD ，添加一个条件
使四边形 ABCD 是矩形，那么所添加的条件可以是
（写出一个即可）．
18．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，CE BD ，垂足为点 E ，CE 5 ，
A．5
B． 5 3
C．10
D．10 3
7．如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ，使 CE BD ，连接 AE ，如果 ADB 38 ，则 E 的值是 ( )
A． 19
B． 18
C． 20
D． 21
8．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于 O ， BC 2 ， AE BD ，垂足为 E ，
．
24．如图，已知 BEFG 是长方形， A 为 EB 延长线上一点， AF 交 BG 于点 C ， D 为 AC 上 一点，且 AD BD BF ，若 BFG 60 ，则 AFG 的度数为 ．
B．②③
3．下列对矩形的判定中，正确的个数有 (
C．③④ )
D．②④
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
A． 12 5
B． 24 5
C． 18 5
D．5
11．如图所示，矩形 ABCD 中， AE 平分 BAD 交 BC 于 E ，CAE 15 ，则下面的结论中 正确的有 ( ) ① ODC 是等边三角形； ② BC 2 AB ； ③ AOE 135 ； ④ SAOE SCOE ．
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题2（附答案详解）1．下列说法中，错误的是（ ）A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C ．四条边相等的四边形是菱形D ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形2．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中，AB 4=，BC 8=，将上面的矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43B ．6C ．185 D ．3653．如图所示，矩形ABCD 的对角线交于O ，AE ⊥BD 于E ，∠1：∠2=2：1， 则∠1的度数为（ ）．A ．22．5°B ．45°C ．30°D ．60°4．如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处，若BE=1，BC=3，则CD 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．一张矩形纸片 ABCD ，已知 AB ＝3，AD ＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段 DG 长为（）6．如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A．AC＝DE B．AB＝AC C．AD＝EC D．OA＝OE 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC8．如果□ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断□ABCD为矩形的是( ) A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBCC．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OADAG DB 9．如图，已知在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，BD是对角线，//交CB延长线于G．若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形10．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm，8cm，则下列结论不正确的是（）A．斜边长为10cm B．周长为25cmC．面积为24cm2D．斜边上的中线长为5cm11．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm，则斜边长为__________，面积为__________．12．平行四边形也是轴对称图形其对称轴也是对角线．（）13．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是____．14．如图，把一个长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，点B 落在点E 处．已知∠ADB ＝24°，AE ∥BD ，则∠AFE 的度数是__________15．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．16．在ABC ∆中，∠C=090，AC=12，BC=5，则AB 边上的中线CD =_______．17．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，斜边长为4，CD 为AB 边上中线，则222AC BC CD ++=__________．18．如图平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA OB =，65OAD ∠=．则ODC ∠=________．19．如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC 的长是_____．20．如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接CE ．若BC ＝7，AE ＝4，则CE ＝_____．21．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E 是AC 的中点，连结BD ，DE ，BE ，EF⊥BD 于点F. 求证：DF ＝FB ．22．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CO 是中线，延长CO 到D ，使DO=CO ，连接AD 、BD ．（1）画出图形，判断四边形ACBD 的形状，并说明理由．（2）过点O 作EO ⊥AB ，交BD 于点E ，若AB=5，AC=4，求线段BE 的长．23．为了庆祝建校八十周年，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的长方形纸片ABCD ；②将纸片沿着直线AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的F 处……请你根据①②步骤解答下列问题．(1)找出图中的∠FEC 的余角；(2)计算EC 的长．24．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，点P 为BC 边上一动点，PE AB ⊥，PF CD ⊥，问PE PF +的值是否为一定值？若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围．25．矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，P 为DE 上的一点（PE ＜PD ），PM ⊥PD ，PM 交AD 边于点M ．（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．求证：①PN=PF；②DF+DN=2DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．26．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．27．如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．28．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=OC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请直接给出你的结论，不必证明．参考答案1．D【解析】【分析】根据菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）进行分析即可．【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法正确；C、四条边相等的四边形是菱形，说法正确；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此选项错误．故选D．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．2．C【解析】【分析】由于AF=CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE=AF，即ED=AD-AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积．【详解】由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8-AF）2=AF2，解得AF=5，∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，∴∠BAF=∠EAG，∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，∴△BAF≌△GAE，∴AE=AF=5，ED=GE=3，∵S△GAE=12AG•GE=12AE•AE边上的高，∴AE边上的高=125，∴S△GED=12ED•AE边上的高=12×3×125=185，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．B【解析】∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，∴∠2+∠ABD=∠ADB+∠ABD =∠EAD+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠2，∠1+∠OAD+∠ADB=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADB=∠2，∴∠1+2∠2=90°，∵∠1：∠2=2：1，∴2∠2=∠1，∴2∠1=90°，∴∠1=45°，故选B.4．B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得出EF=BE=1,BC=CF=AD=3,可证得△AED≌△FDC 进而求得CD 的长.【详解】解:由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1,CF=BC=3,∠EFC=∠B=90oABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF,在△AED与△FDC中有: AD=CF,∠A=∠DFC=90o,∠AED=∠CDF∴△AED≌△FDC,∴ED=CD,设CD 的长为x ，在Rt△EAD 中，有222ED AE AD =+,即:222(1)3x x =-+,解得;x=5，故答案为B.【点睛】本题主要考查矩形的性质和翻折变换后的性质，灵活证三角形全等是解题的关键.5．A【解析】解：∵AB =3，AD =2，∴DA ′=2，CA ′=1，∴DC ′=1．∵∠D =45°，∴DG ．故选A ．6．B【解析】A.连接AE ，CD ，则四边形ADCE 是平行四边形，因为∠ABC ＝∠BAC ，D 是AB 的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE 是矩形，所以AC=DE ，则A 成立；B.因为∠ABC ＝∠BAC ，D 是AB 的中点，所以CA=CB ，不能得到AB=AC ，则B 不一定成立；C.因为四边形ADCE 是矩形，所以AD=CE ，OA=OE ，则C ，D 成立，故选B.7．C【解析】矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等．所以选项A ，B ，D 正确，C 错误.故选C.8．D【解析】【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．【详解】对于选项A ，∵∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，∴AC=BD.根据此条件，不能判断四边形ABCD是菱形，故A不符合题意.对于选项B，由∠OAB=∠OBC，不能判断四边形ABCD的邻边相等，故B不符合题意. 对于选项C，由∠OAB=∠OCD，可得AB∥CD，根据已知也可得此条件，故不符合题意. 对于选项D.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAB=∠ACD.∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形.故选D.【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.9．B【解析】【分析】如图：先由菱形的性质得出AE=BE=DE，通过AD∥BC，AG∥BD，可证明四边形ADBG 是平行四边形，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°．∴四边形AGBD是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定．有一个角是直角的平行四边形是矩形.熟练掌握矩形的判定定理是解题关键.10．B【解析】试题解析：∵在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm，8cm，∴直角三角形的面积=12×6×8=24cm2，故选项C不符合题意；∴斜边226810cm，=+=故选项A不符合题意；∴斜边上的中线长为5cm，故选项D不符合题意；∵三边长分别为6cm，8cm，10cm，∴三角形的周长=24cm，故选项B符合题意，故选B．点睛：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 11．12cm230cm【解析】∵直角三角形斜边中线是6cm，高是5cm，∴斜边是12cm，面积是：2112530cm 2⨯⨯=． 12．× 【解析】平行四边形不是但是特殊的平行四边形，如矩形、菱形、正方形等是轴对称图形，但一般的平行四边形不是轴对称图形，所以原语句是错误的.13．8【解析】【分析】如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′，由DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF ，又EF=EA=2是定值，即可推出当E 、F 、P 、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′﹣EF ．【详解】如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′，在Rt △EDD′中，∵DE=6，DD′=8，∴ED′=2268+=10，∵DP=PD′，∴PD+PF=PD′+PF ，∵EF=EA=2是定值，∴当E 、F 、P 、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=10﹣2=8，∴PF+PD 的最小值为8，故答案为8．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.14．33°【解析】【分析】设BD 交EF 于G ．由折叠的性质可知，∠E=∠ABF=90°∠AFB=∠AFE ，由平行线的性质可知：∠BGF=∠E=90°，∠DBC=∠ADB=24°．在Rt △BGF 中，由2∠AFE+∠DBC=90°，即可得出结论．【详解】解：设BD 交EF 于G ．由折叠的性质可知，∠E=∠ABF=90°∠AFB=∠AFE ．∵AE ∥BD ，∴∠BGF=∠E=90°．∵AD ∥BC ，∴∠DBC=∠ADB=24°．在Rt △BGF 中，2∠AFE+∠DBC=90°，∴2∠AFE=90°－24°=66°，∴∠AFE=33°．故答案为33°．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及平行线的性质和直角三角形的两锐角互余．解题的关键是得到△BGF 为直角三角形．15．3【解析】【分析】设CD x =，根据矩形的性质得出AB CD =，AD BC =，90A D ∠=∠=︒，求出AFE DEC ∠=∠，证AFE DCE ≅，推出AE DC x ==，求出2AD BC x ==+，得出方程()2216x x ++=，求出即可.【详解】设CD x =，四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AD BC =，90A D ∠=∠=︒，EF EC ⊥，∴90FEC ∠=︒，∴90AFE AEF ∠+∠=︒，90AEF DEC ∠+∠=︒，∴AFE DEC ∠=∠，在AFE △和DCE 中，AFE DEC A D EF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE DCE ≅()AAS ，∴AE DC x ==，2DE =，∴2AD BC x ==+，矩形ABCD 的周长为16，∴()2216x x ++=，3x =，即3AE =.故答案为：3.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出AE CD =.16．6.5【解析】【分析】先求斜边，再根据斜边上中线等于斜边一半可得.【详解】由勾股定理可得：13=,所以AB 上的中线长：13÷2=6.5故答案为：6.5【点睛】本题考核知识点：直角三角形斜边上的中线. 解题关键点：熟记性质即可.17．20 【解析】由∠C=90°，CD为斜边AB中线，则CD=12AB=2，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，则AC2+BC2+CD2=AB2+CD2=42+22=20.故答案为20.点睛：本题考查勾股定理及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质.18．25°【解析】【分析】由平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA OB=，易证得四边形ABCD是矩形，继而可求得答案.【详解】四边形ABCD是平行四边形，∴OA OC=，OB OD=，OA OB=，∴OA OB OC OD===，∴四边形ABCD是矩形，∴90ADC∠=︒，65ODA OAD∠=∠=︒，∴25ODC ADC ODA∠=∠-∠=︒.故答案为：25︒.【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.19．4【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，22AC AO BD BO AC BD∴===，，，AO OB ∴=，60AOB ∠=︒，AOB ∴是等边三角形，2AB AO ∴==，即24AC AO ==，故答案为4．20．5【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，AB=CD ，∠D=90°.∴∠AEB=∠CBE.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB.∴CD=AE=4，DE=AD-AE=BC-AE=7-4=3.在Rt △CDE 中，根据勾股定理得5==.故答案为5.21．见解析【解析】【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE ＝12AC ，BE ＝12AC ，即可得DE=BE.再由等腰三角形三线合一的性质即可证得结论.【详解】∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，∴DE ＝12AC ，BE ＝12AC. ∴DE ＝BE.又∵EF ⊥BD ，∴DF ＝FB.【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得DE=BE 是解决问题的关键.22．（1）结论：四边形ACBD 是矩形．理由见解析；（2）258. 【解析】 分析：（1）先证明四边形ACBD 是平行四边形，再证明是矩形．（2）利用BOE BDA ∽得BE BO AB BD=， 即可解决问题． 详解：(1)结论：四边形ACBD 是矩形,理由：∵OB =OA ，OC =OD ，∴四边形ACBD 是平行四边形，∵90ACB ∠=，∴四边形ACBD 是矩形。
矩形的性质练习题 (2)
矩形的性质与判定第1课时矩形的性质课后作业:方案（A）一、教材题目：P13—P14，T1-T41．一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长．2．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．(第3题)数学理解4．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．如图，不含阴影部分的矩形的个数是( )（第3题）A．15 B．16 C．17 D．194．(2015·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )（第4题）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变7．(2015·哈尔滨)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE 为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．9．(2015·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( ) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD(第9题)答案教材1．解：如图，由题可知∠BAC＝45°，AC＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°.又∵∠BAC＝45°，∴∠BCA＝45°.∴AB＝BC.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝2AB2.∴AB＝22AC＝22×6＝3 2.∴AB＝BC＝CD＝AD＝3 2.即这个矩形的各边长均为3 2.点拨：根据题意可判定△ABC为等腰直角三角形，从而求出AB的长，根据矩形的性质及AB ＝BC可得矩形ABCD的各边长都相等．(第2题)2．解：如图，∠AOB＝60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴BO＝AO ＝12AC ＝152.又∵∠AOB＝60°，∴△ABO 是等边三角形．∴AB＝BO ＝152，即这个矩形较短边的长为152. 点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分可知BO ＝AO ＝12AC.又已知∠AOB＝60°，从而可得△ABO 是等边三角形，进而得到这个矩形较短边的长．3．解：四边形ADCE 是菱形．证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE 是平行四边形．∴AE＝CD ，CE ＝AD.又∵∠ACB＝90°，D 为AB 的中点，∴CD＝AD ＝12AB.∴AE＝CD ＝CE ＝AD.∴四边形ADCE 是菱形． 点拨：判定四边形是菱形时，应根据条件选择合适的判定方法．如本题可得到边的关系，应根据四边相等的四边形是菱形进行判定．(第4题)4．解：已知，如图，CD 是△ABC 的中线，且CD ＝12AB.求证：△ABC 是直角三角形． 证明：∵CD 是△ABC 的中线，∴AD＝BD ＝12AB.又∵CD＝12AB ，∴CD＝AD ＝BD.∴∠A＝∠ACD，∠B ＝∠BCD.∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠A ＋∠B ，即∠ACB ＝∠A ＋∠B.∴∠ACB ＝180°－∠ACB.∴∠ACB＝90°.∴△ABC 是直角三角形．点拨：要证明一个三角形是直角三角形，一般证明它的一个内角等于90°.典中点3．C4.C7．5.5或0.5 点拨：分两种情况：①如图①，由矩形的性质得出CD ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，由菱形的性质得出CF ＝EF ＝BE ＝BC ＝5，由点M 为EF 的中点得MF ＝2.5，由勾股定理求出DF 的长，即可求出AM 的长；②如图②，同①易得出AE ＝3，ME ＝2.5，即可得出AM 的长．(第7题)9.D。
2021-2022学年九年级数学北师大版上册《矩形的性质与判定》训练含答案
2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》训练一．矩形的性质1．菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线长度相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分2．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．邻角互补C．对边相等D．对角线相等3．在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N．下面四个推断：①EF＝MN；②EN∥MF；③若▱ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．其中，所有正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．②④4．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（）A．B．C．2D．25．如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（）A．4B．2C．5D．46．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA ＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（）A．2B．2C．4D．7．如图，在▱ABCD中，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，作矩形DEBF，则其对角线EF的长为（）A．8B．9C．10D．118．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝5cm，AC，BD交于点O，∠AOD＝2∠AOB＝120°，则BC＝（）A．5cm B．5cm C．5cm D．5cm9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8B．10C．12D．2010．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH 的面积（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，再减小11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝1，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD边上的中点，P是AB边上的一动点，M、N分别是PE、PC的中点，则线段MN的长为．二．矩形的判定14．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（）A．AB＝AD B．∠AOB＝60°C．AC⊥BD D．∠OBC＝∠OCB三．矩形的判定与性质15．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形16．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.517．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B 重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长．20．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求AB的长．21．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．（1）求证：四边形OBEC为矩形；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若FG＝5，EF＝4，求CG的长．23．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD，DC，CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．24．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．26．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB中点，∠BNC＝2∠DCM，BN＝2，求CN的长参考答案一．矩形的性质1．解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，故选：D．2．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．故选：D．3．解：如图，连接EN，MF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，在△EAO和△FCO中，，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴EO＝FO，同理可得OM＝ON，∴四边形EMFN是平行四边形，∴EN∥MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，若四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），∴∠EOM＜∠AOD＝90°，∴不存在四边形ENFM是菱形，故③错误，当EO＝OM时，则EF＝MN，又∵四边形ENFM是平行四边形，∴四边形ENFM是矩形，故④正确，故选：D．4．解：设矩形的长、宽分别为a、b，∵矩形的对角线为1，面积为m，∴a²+b²＝1，ab＝m，∴a+b＝＝＝，∴矩形的周长为2（a+b）＝2，故选：C．5．解：连接AC，∵点A（4，﹣2），点C（1，2），∴AC＝＝5，∵四边形ABCO是矩形，∴OB＝AC＝5，∴点B的横坐标为5，故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC＝AC＝4，∴EC＝DC＝2，故选：B．7．解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，∴DB＝8，∵矩形DEBF，∴EF＝DB＝8，故选：A．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝2∠AOB＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝5cm，∴AC＝2OA＝10（cm），∴BC＝＝＝5（cm），故选：C．9．解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，CE，则BE＝2AB＝8，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，∴CE＝＝＝10，∴PC+PB的最小值为10，即PC+QD的最小值为10，故选：B．10．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），同理Rt△AEH≌Rt△GFC，∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝（a﹣2c）x+bc，∵E是AB的中点，∴a＝2c，∴a﹣2c＝0，∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，故选：C．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵OE⊥BC，∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，又∵BC＝2AF，∵AF＝BE，在Rt△AFO和Rt△BEO中，，∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），∴∠AOF＝∠BOE，∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，∴∠BOE＝60°，∵OB＝OD＝6，∴BE＝OB•sin60°＝6×＝3，故答案为：3．12．解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，FB＝1，∴BE＝，AF＝2，∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝，∴∠ADF＝∠FEB＝30°，∵EF＝＝＝2，DF＝＝＝4，∴OE＝OF＝EF＝2，∴△OEF是等边三角形，∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，∴FP1＝2，FP2＝4，FP3＝2，故答案为2或4或2．13．解：连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠D＝90°，∵E是AD边上的中点，∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝2，∵M，N分别是PE、PC的中点，∴MN是△PCE的中位线，∴MN＝CE＝，故答案为：．二．矩形的判定14．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．三．矩形的判定与性质15．解：A、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、∵矩形的对角线相等，∴选项C符合题意；D、∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴选项D不符合题意；故选：C．16．解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．17．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．18．解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，当CD⊥AB时，∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．19．（1）证明：AE∥BC，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90，∴四边形AEBD是矩形；（2）解：连接AG，∵F是AB的中点，GF⊥AB，∴GA＝GB，∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4，∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4，设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x，∵四边形AEBD是矩形，∴∠E＝90°，在Rt△AEG中，∵EA2+EG2＝AG2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即EG＝3．20．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四边形DFBE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴四边形DFBE是矩形；（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，∴AE＝，DE＝AE＝，∵四边形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝，∵AF平分∠DAB，∴∠F AB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，∴AB＝BF＝．21．（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形OBEC为矩形，∴OE＝CB，设OC＝x，则OB＝2x，∴BC＝＝＝x，∵BC＝OE＝2，∴x＝2，∴OC＝2，OB＝4，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OB＝8，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×8＝16．22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∵E是AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE∥CD，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥CD，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OEFG是矩形，∴OE＝FG＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝DE＝5，CD＝AD＝2OE＝10，在Rt△DEF中，DF＝＝＝3，∴CG＝CD﹣FG﹣DF＝10﹣5﹣3＝2．23．证明：（1）∵OC＝AO，OD＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接OE交AB于F，∵EC⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE∥BO，∴∠AEC＝∠CFD＝90°，即△AEC是直角三角形，∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，∴EO＝AO，∵四边形AEBO是平行四边形，∴OB＝AE，∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠OAE＝60°，∵∠OAE+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴平行四边形AMCN是矩形；（2）解：由（1）得：MN＝AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝45°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴MN＝2．25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝4，∴AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×4×4＝8．26．证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）如图2，延长BA，CM交于点E，∵M为AD的中点，N为AB中点，∴AN＝BN＝2，AM＝MD，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DMC（AAS），∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．。
【易错专训】02_矩形的性质与判定(原卷版)-2021-2022学年九上期末
【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错02矩形的性质与判定【易错1例题】矩形的性质1．（2020·全国）矩形具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角D．面积等于两条对角线乘积的一半【易错2例题】矩形的判定2．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AB＝DC D．AB⊥DC【专题训练】一、选择题1．（2021·湖南八年级期中）已知矩形ABCD的周长为32，AB＝6，则BC等于（）A．10B．12C．24D．282．（2021·江苏八年级期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对边相等B．邻边垂直C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．（2021·江苏八年级期中）E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC 、BD 相交于点O ，根据以下条件，不能证明四边形EFGH 是矩形的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AB BC =，OB OD = C ．AB BC =，OA OC = D ．AB BC =，CD AD =4．（2021·重庆八年级期末）如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合．折痕为EF ．若AB ＝8，BC ＝16，则BE 的长是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．65．（专题16一次函数的实际应用-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（湘教版））如图①，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿着N P Q M →→→方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）．A ．当2x =时，5y =B ．矩形MNPQ 的周长是18C ．当6x =时，10y =D ．当8y =时，10x =二、填空题 6．（2021·黑龙江九年级其他模拟）如图，在⊥ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC 和AC 边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD 为矩形．（填一个即可）7．（2021·河北石家庄外国语学校八年级期末）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OA =OB =OC =OD ，则它是______形．若⊥AOB =60°，则AB ：AC =_______．8．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3CB =，6CA =，M 为斜边AB 上的一个动点，过点M 作MD AC ⊥于点D ，ME BC ⊥于点E ．则线段DE 的最小值是______．9．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 的边BC 上任一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ．若AB ＝5，BC ＝12，PE +PF ＝__．10．（2021·扬州市梅岭中学八年级期中）矩形ABCD 中,AB ＝3,BC ＝4,点E 是BC 边上一点,连接AE ,把⊥B 沿AE 折叠,使点B 落在点B ′处,当⊥CEB ′为直角三角形时,BE 的长为____________．三、解答题11．（2021·青海西宁市·八年级期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BE ⊥AC ，AE ⊥BD ，连接EO ．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明理由；（2）若CD ＝6，求OE 的长．12．（2021·重庆八年级期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF AB ⊥，OG EF //．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若10AD =，4EF =，求BD 的长．13．（2021·江苏八年级月考）如图，已知在⊥OAB 中AO ＝BO ，分别延长AO ，BO 到点C 、D ，使得OC ＝AO ，OD ＝BO ，连接AD ，DC ，CB ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）以AO ，BO 为一组邻边作平行四边形AOBE ，连接CE ．若CE ⊥AE ，求⊥AOB 的度数．14．（2021·北京八年级期末）如图，在直角⊥ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ， BC 的中点．（1）求证：四边形ADFE 为矩形；（2）若30C ∠=︒，2AF =，求出矩形ADFE 的周长．15．（2021·江苏八年级月考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，延长BC 到点F ，使CF BE =，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接OE ，若10,4AD EC ==，求OE 的长度．16．（2021·江苏八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接EF 、FG 、GH 、EH ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）再加上条件后，能使得四边形EFGH是矩形．请从①四边形ABCD是菱形，②四边形ABCD 是矩形这两个条件中选择1个条件填空（写序号），重新画图并写出证明过程．。
北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。
2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
第2讲 矩形的性质与判定(学生版)
第2讲 矩形的性质与判定 1. 理解矩形、概念和判定定理；2．灵活运用矩形、性质进行证明和计算． 知识点01 矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【知识拓展】例1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上的一点，EF EC ⊥，且EF EC =．（1）求证：AEF DCE △≌△．（2）若5cm DE =，矩形ABCD 的周长为38cm ，求AE 的长．知识精讲目标导航知识点02 矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【知识拓展】例2．已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B 作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=52，求四边形AEBC的面积．知识点03 矩形折叠问题【知识拓展】例3．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E ．（1）求证：AFE CDE ≌；（2）若6AB =，8BC =，求图中阴影部分的面积．知识点04与矩形有关的面积问题【知识拓展】例4.[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）（1）请根据如图1完成这个推论的证明过程，证明：S 矩形NFGD ＝()ADC ANF FGC S S S +△△△﹣，S 矩形EBMF ＝ABC S ﹣（ + ）．易知，ADC ABC S S △△＝， ＝ ， ＝ ．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF（2）如图2，点P 是矩形ABCD 的对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC 分别交AB ，CD 于点E 、F ，连接PA ，PC ．若PE ＝5，DF ＝4，求图中阴影部分的面积．知识点05直角三角形斜边上中线【知识拓展】例5.如图，在四边形ACBD 中，90ACB ∠=︒，AB AD =，E 是BD 中点，过点E 作//EF AD 交AB 于点F ，连接CF ．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：①_________；②_________．1.如图所示，菱形PQRS 内接于矩形ABCD ，使得点P 、Q 、R 、S 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点．已知PB =15，BQ =20，PR =30，QS =40．求矩形ABCD 的周长．2.将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH ，若EH =3，EF =4，求AD AB的值．能力拓展题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 上，连接,45,1,AE BE DAE CBE AD ∠=∠=︒=、则ABE △的周长等于( )A ．6．B ．42C ．222+D ．322+2．（2021·河北保定市·九年级一模）如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形ABCD 是矩形．求证：AC BD =．以下是排乱了的证明过程：①∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠．②∵BC CB =③∵四边形ABCD 是矩形④∴AC DB =⑤∴ABC DCB ∆∆≌．证明步骤正确的顺序是（ ）A ．③①②⑤④B ．②①③⑤④C ．③⑤②①④D ．②⑤①③④3．（2021·陕西西安市第三中学九年级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A ．中心对称图形 B ．对边分别相等 C ．对角线互相平分 D ．对角线相等4．（2021·重庆市育才中学九年级期末）下列命题是真命题的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C ．一组对边平行且相等的四边形是矩形D ．对角线互相垂直平分的四边形是矩形5．（2021·广东广州市·九年级二模）直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5分层提分二、填空题6．（2021·河南九年级专题练习）如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM=2，BC=6，则OB 的长为______．7．（2021·江苏南京市·九年级二模）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，顺次连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点得到四边形EFGH ，那么四边形EFGH 的面积为____．三、解答题8．（2021·新兴县环城中学九年级期中）如图,在□ABCD 中,DE ⊥AB,BF ⊥CD,垂足分别为E,F.(1)求证:AE=CF.(2)求证:四边形BFDE 为矩形.9．（2021·河北唐山市·九年级期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．10．（2021·全国九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA =∠EDA．AC BD相交于点,O且11．（2021·福建福州市·福州十八中九年级二模）如图，菱形ABCD的对角线,DE AC AE BD．求证：四边形AODE是矩形．//,//题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）下列条件中能判断一个四边形是菱形的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．对角线互相垂直且相等C ．对角线互相平分且垂直D ．对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角2．（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOD ＝60°，AD ＝2，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．2B ．23C ．43D ．83．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知，矩形ABCD 中，E 为AB 上一定点，F 为BC 上一动点，以EF 为一边作平行四边形EFGH ，点G ，H 分别在CD 和AD 上，若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，则应满足（ ）A ．4AD AE =B ．2=AD ABC ．2AB AE =D ．3AB AE =4．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图1，四边形ABCD 中，//AB CD ，90B ∠=︒，AC AD =．动点Р从点B 出发，沿折线B A D C ---方向以a 单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，BCP 的面积S 与运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．75B ．80C ．85D ．90二、填空题 5．（2021·江苏镇江市·炎黄外国语学校九年级月考）如图，矩形纸片ABCD 中，已知16AD =，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且6EF =，则AB 的长为__________．6．（2021·黑龙江佳木斯市·九年级三模）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，E 为BC 中点，F 为CD 上一动点，则AF EF +的最小值为______．7．（2021·宁夏银川市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0），C （0，4），M 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当PO =PM 时，点P 的坐标为______．8．（2021·哈尔滨市第六十九中学校九年级三模）已知矩形ABCD ，点E 在AD 边上，DE AE >，连接BE ，将ABE △沿着BE 翻折得到BFE △，射线EF 交BC 于G ，若点G 为BC 的中点，1FG =，6DE =，则AE 的长______．9．（2021·浙江杭州市·九年级二模）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，点E 、F 分别是AB 和CD 的中点，H 为BC 上的一点，现将△ABH 沿AH 折叠，使点B 落在直线EF 上的点G ．当△ADG 为等腰三角形时，AD ＝_______．10．（2021·湖北孝感市·九年级二模）如图，将矩形纸片ABCD （AD AB >）折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交，设折叠后点C ，D 的对应点分别为点G ，H ，折痕分别与边BC ，AD 相交于点E ，F ．若3AB =，9BC =，则线段CE 的最大值与最小值的和是_____．11．（2021·安徽合肥市·九年级三模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE AC =，15BAE ∠=︒，则COE ∠的大小为______．三、解答题12．（2021·贵州中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点M 在DC 上，AM AB =，且BN AM ⊥，垂足为N ．（1）求证：ABN MAD ≌；（2）若2,4AD AN ==，求四边形BCMN 的面积．13．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OAB 是等边三角形，4AB =．（1）求证：ABCD 是矩形；（2）求AD 的长．14．（2021·山东滨州市·九年级其他模拟）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD的中点，点F ，G 在AB 上，EF AB ⊥，//OG EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若13AD =，5EF =，求OE 和BG 的长．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·安徽中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．33+B ．223+C ．23+D ．13+2．（2021·山东济宁市·九年级二模）如图，在矩形ABCD 中，AD 2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④AB ＝HF ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2021·广东深圳市·深圳中学九年级月考）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，E 为CD 上一点，且AE AB =，M 为AE 的中点．下列结论：①DM DA =；②EB 平分AEC ∠；③ABE ADE S S =△△；④22BE AE EC =⋅．其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 4．（2021·河北九年级专题练习）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，斜边9AB =，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且13CF CD =，过点B 作//BE DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为____．5．（2021·山东潍坊市·九年级二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，将ABE △沿AE 折叠，点B 落在AD 上的点F 处；点M 是CD 上一点，将ADM △沿AM 折叠，点D 与点E 恰好重合；若1AB =，则DM 的长等于______．6．（2021·黑龙江九年级三模）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，P 为边AD 上一动点，连接OP ．若AOP 为等腰三角形，则OP 的长为______．三、解答题7．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，M 为AD 中点，过点A 作AE ∥BC 交BM 延长线于点E ，连接CE ．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）连接DE 交AC 于点G ，连接MG ，在不添加辅助线的条件下请直接写出面积等于△ABM 面积一半的所有三角形．。
1.2矩形的性质与判定(2)
又∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形
∟
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形 B
C
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
3、已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， A D AD∥BC，AD=BC， 试说明四边形ABCD是矩形。
B
证明：∵ AD=CB AD∥CB ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB⊥BC ∴∠B=90° ∴ □ ABCD是矩形
∟
C
4、如图，平行四边形ABCD中，AB= 6， BC= 8，AC= 10 ， A 求证 : 四边形ABCD是矩形。 证明：
矩形的判定口诀：
任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。
【P15议一议】
你有什么方法检查你家（或教 室）刚安装的门框是不是矩形？
如果仅有一根较长的绳子， 你怎样检查？
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ （2）四个角都相等的四边形是矩形； （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） ） ） ）
∴AC = 2OA，BD = 2OB， ∵△AOB是等边三角形 ∴OA = OB， ∴AC =BD， ∴□ABCD是矩形. 在Rt△ABC中， ∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm,
A
O
D
B
C
∴BC=
82 42 4 3(cm),
∴S□ABCD=AB·BC = 4×4
矩形的性质与判定(10) 2
矩形的性质与判定(1）1、矩形的定义2、矩形的性质1)边2）角3）对角线4）对称性3.已知矩形ABCD 中，S 矩形ABCD =24 cm 2，若BC =6 cm ，则对角线AC 的长是________ cm. 练一练：1、矩形的两条对角线把矩形分成 个等腰三角形．2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等3.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （ ）A.21B.41C.51D.61 4.在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE =DE ，若AB =2AD ，则∠ADE 等于（ ） A.45° B.30° C.60° D.755、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86.如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是 度．例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若,求BOE∠的度数。
变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.例2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，pE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，求PE+PF 的值。
例3、如图,延长矩形的边CB至E，使CE=CA,F是AE的中点，求证：BF⊥FD(二)矩形的判定矩形的判定一：有一个角是直角的平行四边形为矩形。
矩形的判定二：三个角为直角的四边形为矩形。
归纳矩形的三种判定方法：的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H。
求证：四边例1、已知：如图，ABCD形EFGH是矩形。