3-7有理函数和三角函数有理式的积分法

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在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分.在那里，因为被积函数都很特殊，所以用“拼凑的方法”就求出了它们的积分.这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分.当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了.

1.有理函数的积分法 有理函数的积分

()

d ()

p x x q x ⎰

[其中()p x 和()q x 都是多项式] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数.积分方法的要点是：

第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式.在这种情形下，就用多项式除法（见下面例27），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即

()()

()()()

p x r x s x q x q x =+ [其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数] 于是，

()

d ()

p x x q x ⎰

()

()d d ()

r x s x x x q x =+⎰⎰

右端第一项是多项式的积分(用分项积分法可以积出来)，所以就变成求有理函数真分式的积

分()d ()r x x q x ⎰

. 关于多项式除法，请看下面的例题.

例27 例如求有理函数假分式的积分

522

d 36

x x x x -++⎰

首先像做整数除法那样，做多项式除法：

由此可得

63225++-x x x 321232

3336x x x x +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭

其次再逐项积分，即

(余式)

23+x (被除式)

（除式） 25

53

36000202x x x x x ++++-+++

x

x x x 40220233-+-+-+-

（商式） 312

33x x -

5342

222212321132

d d d d 3

31233636

36

x x x x x x x x x x x x x x x -+++⎛⎫

=-+

=-+

⎪+++⎝⎭⎰

⎰⎰

⎰

这样就变成求(右端最后一个)有理函数真分式的积分.

第二，对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积(根据代数基本定理，这是可能的).然后用待定系数法(或拼凑方法)把

()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：

22,,,()()n m

A B Cx D Ex F x a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数) (分子比分母上的基因式低一次)

这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. 我们用例子来说明上述方法.

⑴分母为一次重因式的真分式的积分法

例28 例如求

23

53

d (2)x x x ++⎰

，可令 2323

532(2)(2)(2)x A B C

x x x x +=++++++

将右端通分，并比较两端分子，即C x B x A x ++++≡+)2()2(3522，则得三元线性方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ， 解得⎪⎩

⎪

⎨⎧=-==23205

C B A

于是得

3

232)2(23

)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x

因此，

23

53

d (2)

x x x ++⎰2

35

20

23d d d 2

(2)

(2)

x x x x x x =-++++⎰

⎰

⎰

2

2023

5ln 222(2)x x x =++-++ 【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +≡++++，则

第一步，让2x =-，得23C =；

第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +≡++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B ≡++. 再令

2x =-，得20B =-；

第三步，在102(2)x A x B ≡++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.

【注2】把真分式23

53

(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法:

25323

(510)22

x x x x +=-+

++,

22

253510232023

522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 2323

53520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ (你看懂了吗?)

⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法

例如求d ()()

cx d

x x a x b +--⎰

，可令

b

x B

a x A

b x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）

然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +≡-+-，求出待定系数A 和B .于是，

d ()()

cx d

x x a x b +=

--⎰

d d ln ||ln ||A

B

x x A x a B x b x a

x b

+=-+---⎰

⎰

例29 求

2

d (3)(5)

x x x x ---⎰

.

解 设

5

3)5)(3(2-+

-=---x B

x A x x x (B A ,为待定常数) 则得)3()5(2-+-≡-x B x A x ，即

2)35()(-≡+-+x B A x B A

比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组

⎩⎨

⎧=+=+12

35B A B A 解得2

3

,2

1=

-=B A (求B A 和的另一个方法见下注).因此， 5

23321)5)(3(2

-+--

=---x x x x x

从而得

2

d (3)(5)x x x x ---⎰

113

113

d(3)d(5)ln 3ln 52

32

522

x x x x x x =-

-+-=--+---⎰

⎰

【注】在式2(5)(3)x A x B x -≡-+-中，让3x =，则得12A =-，所以1

2

A =-；再让5x =，则得32

B =，所以32

B =.

⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法 例如[注意,分母没有实根2(40)p q -<]，

2

2

22

2

1

1

1

(1)

d d d 424

x x u x px q

u A

p q p

x ==

+++-⎛⎫++ ⎪⎝⎭

⎰

⎰

⎰

,2p u x A ⎛ =+ ⎝⎭