函数的单调性课后练习题

函数的单调性练习题

函数的单调性练习题函数的单调性是高中数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。

通过对函数的单调性进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并在解决问题时提供指导。

下面，我将给大家提供一些关于函数单调性的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一概念。

练习题1：已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求函数f(x)的单调区间。

解析：要求函数f(x)的单调区间，首先需要求出函数f(x)的一阶导数f'(x)。

对函数f(x)进行求导得到f'(x) = 2x + 3。

由于一阶导数的符号可以反映函数的单调性，我们只需要找出f'(x)的正负变化区间即可。

令f'(x) = 0，解得x = -1.5。

这个点将数轴分成了两个区间：(-∞, -1.5)和(-1.5, +∞)。

我们只需要在这两个区间内取一点代入f'(x)，判断f'(x)的正负即可。

选取x = 0代入f'(x)，得到f'(0) = 3，说明在区间(-∞, -1.5)内f'(x) > 0，在区间(-1.5, +∞)内f'(x) > 0。

因此，函数f(x)在整个定义域上都是递增的，即f(x)的单调区间为(-∞, +∞)。

练习题2：已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数g(x)的单调区间。

解析：同样地，我们需要求出函数g(x)的一阶导数g'(x)。

对函数g(x)进行求导得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令g'(x) = 0，解得x = 1。

这个点将数轴分成了两个区间：(-∞, 1)和(1, +∞)。

选取x = 0代入g'(x)，得到g'(0) = 9，说明在区间(-∞, 1)内g'(x) > 0，在区间(1, +∞)内g'(x) > 0。

(完整版)函数单调性练习题

函数单调性练习题1. 已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 .2.讨论函数f(x)＝21xax - (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.3.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？4. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．5.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．6．函数21)(++=x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（）.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )8.已知f (x )在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式f (x )+f (x －2) ≤39.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.10.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.11.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -=（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)31()(≤--x f x f 。

人教版函数单调性练习题

函数奇偶性专题一、考点、热点分析1.理解函数奇偶性的概念：设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且()()()()()01()f xf x f x f x f xf x=--+-==--或或，则这个函数叫做奇函数。

偶函数() ()()()()01()f xf x f x f x f xf x=---==-或或2.掌握证明函数的奇偶性的步骤：①定义域是否关于原点对称；②运用定义进行证明。

3.掌握奇偶函数的性质及图象特征。

4.如果奇函数的定义域包含0，则必有f(0)=0；如果偶函数的定义域包含0，不一定有f(0)=0。

5.f(x)为偶函数 f(x)=f(|x|)6.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇7.若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．8.奇偶性与单调性：（注意与图像结合）奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相同。

偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相反。

知识点一：奇、偶函数的概念1、判断下列论断是否正确，并说明理由：（1）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；（2）如果一个函数是偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；（3）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.2、设函数)(xf在R内有定义，下列函数中必为奇函数的有①)(x f y -= ②)(2x f x y ⋅= ③)(x f y --= ④)()(x f x f y --=3、已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 及)(x g 的解析式.知识点二函数奇偶性的判断1、判断下列函数的奇偶性：2(1)()1f x x =+ 2(2)()1f x x =+ []3,1-∈x知识点三：奇、偶函数的图象特征1、下列结论正确的是：（）A. 偶函数的图象一定与y 轴相交；B. 奇函数的图象一定过原点；C. 偶函数的图象若不经过原点，则它与x 轴的交点的个数一定是偶数；D. 定义在R 上的增函数一定是奇函数．知识点四：函数奇偶性的应用1、已知)(x f y =是偶函数，其图象与x 轴有十个交点，则方程0)(=x f 所有实数根的和是（）2.1.0.1.D C B A -二、经典例题1、判断下列函数的奇偶性： x x x f 1)()1(+= 331)()2(2-+-=x x x f 2、若函数R x x f y ∈=),(是奇函数，且)2()1(f f <，则必有（）A ．)2()1(-<-f f B. )2()1(->-f f C.)2()1(-=-f f D.不确定3、设5)(35-++=cx bx ax x f (c b a ,,是常数)且(7)7f -=,则=)7(f ____________.三、课后练习1、定义在R 上的任何奇函数)(x f 对任意的实数x ，都有（）Ａ．)(x f －)(x f -＞０Ｂ．)(x f －)(x f -＜０Ｃ．)(x f )(x f -＞０Ｄ．)(x f )(x f -≤０2、若)(x F ＝)(x f －)(x f -（x R ∈），则)(x F （）Ａ．一定是奇函数Ｂ．一定是偶函数Ｃ．既是奇函数又是偶函数Ｄ．无法判断起奇偶性3．已知f(x)＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )A ．－15B ．15C ．10D ．－104、奇函数)(x f 在区间[]30,10上是减函数，且最小值为８，则)(x f 在区间[]10,30-- 上是（）Ａ．增函数，且最大值是8- Ｂ．增函数，且最小值是8- Ｃ．减函数，且最大值是8- Ｄ．减函数，且最小值是8-5、已知函数)(x f ＝7567-++bx a x ，且2019)10(-=-f ，则)10(f ＝．6、设)(x f 的定义域是[]5,5-上的奇函数，若当[]5,0∈x 时，)(x f 的图象如图2-1，则不等式0)(<x f 的解集为 .。

完整版)函数的单调性练习题及答案

完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。

[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。

[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。

4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。

b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。

y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。

1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。

0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。

3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。

证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。

11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。

高一函数的单调性练习题

函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析：设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

函数的单调性及其单调区间练习题含答案

函数的单调性及其单调区间练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，既是(0,+∞)上的增函数，又是偶函数的是( )A.y=1xB.y=2xC.y=1−|x|D.y=lg|x|2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=1x B.y=|x|−1 C.y=lg x D.y=(12)|x|3. 已知函数f(x)＝−x|x|+2x，则下列结论正确的是（）A.增区间是(0, +∞)B.减区间是(−∞, −1)C.增区间是(−∞, 1)D.增区间是(−1, 1)4. 已知函数f(x)=xx−m，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.(0, 2)B.(0, 2]C.[2, +∞)D.(2, +∞)5. 函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是（）A.[52,+∞) B.[52,4) C.[4, +∞) D.[1,52),[4,+∞)6. 若函数f(x)={3x,x<0,x2−4x+3,x≥0,则函数的单调递减区间为( )A.[0,2]B.(−∞, 0)C.(−∞,0)和[0,2]D.(−∞,2]7. 下列函数中，即是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( )A.y=−x2B.y=|x−1|C.y=2xD.y=|x|−18. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()A.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x−x D.y=x2−4x9. 题目不难，心中别慌，套路不深，不必当真.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（） A.f(x)=−1x B.f(x)=x 3C.f(x)=|x|D.f(x)=3x +3−x210. 函数f(x)=|x −2|x 的单调减区间是（） A.[−1, 0] B.[1, 2] C.[0, 2] D.[2, +∞)11. 已知函数f(x)=xx−2，若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为( ) A.(0, 2) B.(0, 2] C.[2, +∞) D.(2, +∞)12. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2)=0，且f (x )在(0,+∞)上单调递减，则f (−52)，f (133)，f (0)的大小关系为( ) A.f (0)>f (133)>f (−52) B.f (133)>f (0)>f (−52) C.f (−52)>f (0)>f (133)D.f (0)>f (−52)>f (133)13. 下列四个函数中，在(0,+∞)上增函数的是( ) A.f (x )=3−x B.f (x )=(x −1)2 C.f (x )=−1x+1D.f (x )=−|x|14. 函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(−∞,−1)15. 任意t ∈R +时，f [f (t )−1t ]=2恒成立，函数y =f (t )单调，则f (12019)=( )A.2020B.2019C.12020D.1201916. 函数y =x−5x−a−2在(−1, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.a =−3B.a <3C.a ≤−3D.a ≥−317. 若函数f (x )={a x ,x <0,(2a −1)x +3a,x ≥0是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（） A.(0,12) B.(13,12)C.(0,13)D.(0,13]18. f(x)=1x+1的减区间为________．19. 函数f (x )=|x −3|的单调递增区间是________.20. 函数y =√x 2−2x −3的递减区间是________，递增区间是________．21. 已知函数g(x)=x 3+5x ，若g(2a −1)+g(a +4)<0，则实数a 的取值范围为________.22. 已知函数f (x )=−x 2+2ax +3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.23. 函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则m 的范围是________．24. 已知函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），若对任意的x ∈[2, +∞)，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．25. 函数g (x )=ax 2−2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2，设f (x )=g (x )x(x ≠0).(1)求 a,b 的值；(2)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,0]上恒成立，求实数k 的取值范围．26. 已知函数f(x)=ax 2+12x+b是奇函数，且f(1)=32． (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f(x)在(−∞, −1]上的单调性，并用定义加以证明；(3)若x∈[−2, −1]，求函数的值域.27. 求函数的单调区间.28. 已知为定义在上的奇函数，且是，.（1）求时，函数的解析式；（2）写出函数的单调区间（不需证明）.29. 已知函数f(x)=x2+ax−2.(1)若函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，求a的取值范围；(2)试判断函数f(x)的奇偶性．30. 若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=(x−1)2在定义域[m, n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m，n乘积mn的取值范围.31. 已知函数f(x)=ax+bx2+1是(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25.(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)若实数t满足f(t+1)+f(t)>0，求t的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性及其单调区间练习题含答案一、选择题（本题共计 17 小题，每题 3 分，共计51分） 1.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可．【解答】解：A .函数y =1x 在(0,+∞)上是减函数，且是奇函数，即A 不符合题意；B .函数y =2x 是非奇非偶函数，即B 不符合题意；C .函数y =1−|x|在(0,+∞)上是减函数，即C 不符合题意；D .对于函数y =lg |x|，当x >0时，有y =lg x ，单调递增；而f (−x )=lg |−x|=lg |x|=f (x ) ，所以f(x)是偶函数，即D 正确．故选D ． 2.【答案】 B【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】根据函数单调性和奇偶性定义，逐一判断即可得出结论．【解答】解：A ，函数y =1x 为奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，不符合题意； B ，函数y =|x|−1为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； C ，函数y =lg x 不是偶函数，不符合题意；D ，函数y =(12)|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意．故选B ． 3.【答案】 D【考点】分段函数的应用函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间【解析】根据题意，函数的解析式变形可得f(x)=1+mx−m，由函数图象变换的规律可得{m>0m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=xx−m =x−m+mx−m=1+mx−m，由函数y=mx向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有{m>0m≤2，则0<m≤2，即m的取值范围为(0, 2]，5.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】令x2−5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2−5x+4的对称轴是：x=52，由复合函数同增异减的原则，故函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是[4, +∞)，6.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】首先根据分段函数的解析式画出函数的图象，进一步根据函数函数的图象确定函数的单调区间．【解答】解：函数f(x)的图像，如图所示，二次函数f(x)=x2−4x+3的对称轴为x=2，所以函数的单调递减区间为：(−∞,0)和[0,2] .故选C.7.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A，令f(x)=−x2，f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，不符合题意；B，令f(x)=|x−1|，f(−x)=|−x−1|=|x+1|≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；C，令f(x)=2x，f(−x)=2−x≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；D，令f(x)=|x|−1，f(−x)=|−x|−1=|x|−1=f(x)，是偶函数，在(0, +∞)上单调递增，符合题意.故选D.8.【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；C，y′=−1x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数；B．函数是奇函数，在(−∞, +∞)上是增函数，满足条件；C．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件；D．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件．故选B.10.【答案】B【考点】带绝对值的函数函数的单调性及单调区间【解析】画出分段函数f(x)=|x−2|x的图象，数形结合，可得函数的单调减区间．x≤2【解答】解：函数f(x)=|x−2|x={−x2+2x，x<2，x2−2x2，x≥2，的图象如图所示：结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 故选B.11.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，函数f(x)=xx−2=x−2+2x−2=1+2x−2，由函数y =2x 向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减，必有{m >0,m ≥2,则m ≥2，即m 的取值范围为[2+∞)，故选C . 12.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】【解答】解：∵ f (x )为R 上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减， ∴ f (0)=0.∵ f (−52)=−f (52)且f (2)=0， ∴ f (−52)>0，f (133)<0， ∴ f (−52)>f (0)>f (133)．故选C ．13.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A ，f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，不满足条件； B ，f (x )=(x −1)2在(1,+∞)上为增函数，不满足条件； C ， f （x ）=−1x+1在(0,+∞)上为增函数，满足条件；D ，f (x )=−|x |={−x ，x ≥0,x ，x <0,在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．故选C. 14. 【答案】 B【考点】函数的单调性及单调区间【解析】无【解答】解：令t (x )=x 2−2x =(x −1)2−1，则f (t )=(12)t，∵ t (x )在(−∞,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，而f (t )在R 上单调递减，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递减. 故选B . 15.【答案】 A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】设m =f(t)−1t，根据y =f (t )单调函数，以及f [f (t )−1t]=2可知，当f (m )=2时，m 的值是唯一的；又f (t )=m +1t ，所以f (m )=m +1m =2，求出m 的值．进而求出y =f(t)的解析式．即可求出结果 . 【解答】解：设m =f(t)−1t ，则f (m )=2. 因为y =f (t )是单调函数，所以f (m )=2的解m 是唯一的. 又f(t)=m +1t ，所以f (m )=m +1m =2，解得m =1，所以f(t)=1+1t ，所以f (12019)=2020. 故选A ． 16.C【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由题意可得，当x>−1时，y′=3−a(x−a−2)2≥0，可得{3−a≥0a+2≤−1，由此求得a的范围．【解答】解：y=x−a−2+a−3x−a−2=1+a−3x−a−2∵ 当a<3时，函数y在(a+2，+∞)上单调递增，又函数y在(−1,+∞)上单调递增，∴a+2≤−1，即a≤−3，∴a的取值范围是：(−∞,−3].故选C.17.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间分段函数的应用已知函数的单调性求参数问题【解析】令各段均为减函数，再比较端点值即可求解.【解答】解：由题意得{0<a<1, 2a−1<0, 3a≤1,解得0<a≤13.故选D.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）18.【答案】(−∞, −1)，(−1, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据分式函数的性质进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, +∞)，则函数的单调递减区间为(−∞, −1)，(−1, +∞).故答案为：(−∞, −1)，(−1, +∞).19.【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).20.【答案】(−∞, −1],[3, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】先求出该函数定义域为{x|x≤−1, 或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y= x2−2x−3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：∵x2−2x−3≥0得x≤−1，或x≥3.∴函数y=x2−2x−3在(−∞, −1]上单调递减，在[3, +∞)上单调递增.∴该函数的递减区间为(−∞, −1]，递增区间为[3, +∞)．故答案为：(−∞, −1]；[3, +∞)．21.【答案】a<−1【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.22.【答案】函数的单调性及单调区间【解析】根据二次函数f (x ) 的对称轴两侧单调性相反，列不等式求出a 的取值范围．【解答】解：函数f (x )=−x 2+2ax +3的对称轴为x =a又f (x )在(−∞,4)上是增函数，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)．23.【答案】[13, +∞) 【考点】函数的单调性及单调区间利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，y ′=3x 2+2x +m ．若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则y ′=3x 2+2x +m ≥0恒成立，则对于方程3x 2+2x +m =0，有Δ=4−12m ≤0，解得m ≥13，则m 的取值范围是[13, +∞)．故答案为：[13, +∞)． 24.【答案】a ≤32 【考点】导数求函数的最值函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】判断函数f(x)是R 上的奇函数，且是增函数；把f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立化为x 2+2≥2ax 恒成立，设g(x)=x 2−2ax +2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a 的取值范围．解：函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），x ∈R ；且f(−x)=e −x −e x +ln (−x +√x 2+1)=−(e x −e −x )−ln (x +√x 2+1)=−f(x)， ∴ f(x)是上的奇函数.又f′(x)=e x +e −x +1+x √x 2+1x+√x 2+1>0恒成立，∴ f(x)是定义在R 上的单调增函数；若对任意的，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，∴ f (x 2+2)≥−f(−2ax)恒成立，∴ f (x 2+2)≥f(2ax)恒成立，∴ x 2+2≥2ax 恒成立，即x 2−2ax +2≥0在x ∈[2, +∞)上恒成立；设g(x)=x 2−2ax +2，其对称轴为x =a ，且开口向上；应满足{a <2,g(2)=4−4a +2≥0,解得a ≤32.故答案为：a ≤32．三、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）25.【答案】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2，不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k . 令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2].记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．【考点】函数的单调性及单调区间二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】无无【解答】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2，不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k .令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2]. 记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．26.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数，则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0；又由f(1)=32，即a+12=32，即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]．【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，分析可得b 的值，由于f(1)的值求出a 的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，由（2）可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数；据此分析可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数，则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0；又由f(1)=32，即a+12=32，即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]． 27.【答案】单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】根据二次函数对称轴确定单调性．【解答】因为y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4所以函数y =−x 2+2x +3的单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)28.【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【考点】二次函数的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】（1）任取x<0，则−x>0f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x即得解，（2）分析单调性可得f(x)的单调递增区间是[−1,1];单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【解答】（1）任取x<0，则−x>0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x，所以x<0时，函数f(x)=x2+2x（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)29.【答案】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a,+∞)，2又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a,+∞)，2，即−1≥−a2解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a2,+∞)，又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a2,+∞)，即−1≥−a2，解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.30.【答案】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).【考点】函数新定义问题函数的单调性及单调区间【解析】【解答】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).31.【答案】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25．所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b 14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=x x 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．【考点】奇函数函数的单调性及单调区间其他不等式的解法奇偶性与单调性的综合【解析】无无无【解答】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25．所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=xx 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．。

高一函数的单调性及其最值知识点+例题+练习含答案

1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) 结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x 2”．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．下列函数中，①y ＝1x －x ；②y ＝x 2－x ；③y ＝ln x －x ；④y ＝e x －x ，在区间(0，＋∞)内单调递减的是__________．答案 ①解析对于①，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；②，③，④函数在(0，＋∞)上均不单调．2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．答案－6解析由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1.当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1.4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．答案 2 25解析可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________．答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1；③y ＝(12)x ；④y ＝x ＋1x ，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是____________．(3)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为_________________________．答案 (1)① (2)(－∞，－2) (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增．引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明方法一任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0，有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. 所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]．思维升华求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________0，f (x 2)________0.(判断大小关系) 答案 < >解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)[32，2) 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是__________．(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 (1)(8,9] (2)(0,1]解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (14分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式．规范解答(1)证明设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1， ∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分]∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[14分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法．[失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连结，不要用“∪”．A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．下列函数f (x )中，①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)答案 ①解析由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．①中，f (x )＝1x满足要求； ②中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；③中，f (x )＝e x 是增函数；④中，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数．2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 b <a <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为________．答案－2解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 [0，34] 解析当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎨⎧ a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log ，x x ≥1，2x ，x <1的值域为________．答案 (－∞，2)解析当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0，由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)，所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x <2，－x ＋3，x ≥2.当0<x <2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ≥2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.12．定义新运算：当a ≥b 时，ab ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．答案 6解析由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为_________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立，所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。

函数的单调性练习题(含标准答案)

函数的单调性练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- - 3函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞- -4C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．- -520．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．- - 6参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析：设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则- -7f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．- - 8(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

函数的单调性及其单调区间练习题含答案

函数的单调性及其单调区间练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，既是(0,+∞)上的增函数，又是偶函数的是( )A.y=1xB.y=2xC.y=1−|x|D.y=lg|x|2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=1x B.y=|x|−1 C.y=lg x D.y=(12)|x|3. 已知函数f(x)＝−x|x|+2x，则下列结论正确的是（）A.增区间是(0, +∞)B.减区间是(−∞, −1)C.增区间是(−∞, 1)D.增区间是(−1, 1)4. 已知函数f(x)=xx−m，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.(0, 2)B.(0, 2]C.[2, +∞)D.(2, +∞)5. 函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是（）A.[52,+∞) B.[52,4) C.[4, +∞) D.[1,52),[4,+∞)6. 若函数f(x)={3x,x<0,x2−4x+3,x≥0,则函数的单调递减区间为( )A.[0,2]B.(−∞, 0)C.(−∞,0)和[0,2]D.(−∞,2]7. 下列函数中，即是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( )A.y=−x2B.y=|x−1|C.y=2xD.y=|x|−18. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()A.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x−x D.y=x2−4x9. 题目不难，心中别慌，套路不深，不必当真.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（） A.f(x)=−1x B.f(x)=x 3C.f(x)=|x|D.f(x)=3x +3−x210. 函数f(x)=|x −2|x 的单调减区间是（） A.[−1, 0] B.[1, 2] C.[0, 2] D.[2, +∞)11. 已知函数f(x)=xx−2，若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为( ) A.(0, 2) B.(0, 2] C.[2, +∞) D.(2, +∞)12. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2)=0，且f (x )在(0,+∞)上单调递减，则f (−52)，f (133)，f (0)的大小关系为( ) A.f (0)>f (133)>f (−52) B.f (133)>f (0)>f (−52) C.f (−52)>f (0)>f (133)D.f (0)>f (−52)>f (133)13. 下列四个函数中，在(0,+∞)上增函数的是( ) A.f (x )=3−x B.f (x )=(x −1)2 C.f (x )=−1x+1D.f (x )=−|x|14. 函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(−∞,−1)15. 任意t ∈R +时，f [f (t )−1t ]=2恒成立，函数y =f (t )单调，则f (12019)=( )A.2020B.2019C.12020D.1201916. 函数y =x−5x−a−2在(−1, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.a =−3B.a <3C.a ≤−3D.a ≥−317. 若函数f (x )={a x ,x <0,(2a −1)x +3a,x ≥0是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（） A.(0,12) B.(13,12)C.(0,13)D.(0,13]18. f(x)=1x+1的减区间为________．19. 函数f (x )=|x −3|的单调递增区间是________.20. 函数y =√x 2−2x −3的递减区间是________，递增区间是________．21. 已知函数g(x)=x 3+5x ，若g(2a −1)+g(a +4)<0，则实数a 的取值范围为________.22. 已知函数f (x )=−x 2+2ax +3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.23. 函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则m 的范围是________．24. 已知函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），若对任意的x ∈[2, +∞)，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．25. 函数g (x )=ax 2−2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2，设f (x )=g (x )x(x ≠0).(1)求 a,b 的值；(2)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,0]上恒成立，求实数k 的取值范围．26. 已知函数f(x)=ax 2+12x+b是奇函数，且f(1)=32． (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f(x)在(−∞, −1]上的单调性，并用定义加以证明；(3)若x∈[−2, −1]，求函数的值域.27. 求函数的单调区间.28. 已知为定义在上的奇函数，且是，.（1）求时，函数的解析式；（2）写出函数的单调区间（不需证明）.29. 已知函数f(x)=x2+ax−2.(1)若函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，求a的取值范围；(2)试判断函数f(x)的奇偶性．30. 若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=(x−1)2在定义域[m, n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m，n乘积mn的取值范围.31. 已知函数f(x)=ax+bx2+1是(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25.(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)若实数t满足f(t+1)+f(t)>0，求t的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性及其单调区间练习题含答案一、选择题（本题共计 17 小题，每题 3 分，共计51分） 1.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可．【解答】解：A .函数y =1x 在(0,+∞)上是减函数，且是奇函数，即A 不符合题意；B .函数y =2x 是非奇非偶函数，即B 不符合题意；C .函数y =1−|x|在(0,+∞)上是减函数，即C 不符合题意；D .对于函数y =lg |x|，当x >0时，有y =lg x ，单调递增；而f (−x )=lg |−x|=lg |x|=f (x ) ，所以f(x)是偶函数，即D 正确．故选D ． 2.【答案】 B【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】根据函数单调性和奇偶性定义，逐一判断即可得出结论．【解答】解：A ，函数y =1x 为奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，不符合题意； B ，函数y =|x|−1为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； C ，函数y =lg x 不是偶函数，不符合题意；D ，函数y =(12)|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意．故选B ． 3.【答案】 D【考点】分段函数的应用函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间【解析】根据题意，函数的解析式变形可得f(x)=1+mx−m，由函数图象变换的规律可得{m>0m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=xx−m =x−m+mx−m=1+mx−m，由函数y=mx向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有{m>0m≤2，则0<m≤2，即m的取值范围为(0, 2]，5.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】令x2−5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2−5x+4的对称轴是：x=52，由复合函数同增异减的原则，故函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是[4, +∞)，6.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】首先根据分段函数的解析式画出函数的图象，进一步根据函数函数的图象确定函数的单调区间．【解答】解：函数f(x)的图像，如图所示，二次函数f(x)=x2−4x+3的对称轴为x=2，所以函数的单调递减区间为：(−∞,0)和[0,2] .故选C.7.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A，令f(x)=−x2，f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，不符合题意；B，令f(x)=|x−1|，f(−x)=|−x−1|=|x+1|≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；C，令f(x)=2x，f(−x)=2−x≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；D，令f(x)=|x|−1，f(−x)=|−x|−1=|x|−1=f(x)，是偶函数，在(0, +∞)上单调递增，符合题意.故选D.8.【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；C，y′=−1x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数；B．函数是奇函数，在(−∞, +∞)上是增函数，满足条件；C．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件；D．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件．故选B.10.【答案】B【考点】带绝对值的函数函数的单调性及单调区间【解析】画出分段函数f(x)=|x−2|x的图象，数形结合，可得函数的单调减区间．x≤2【解答】解：函数f(x)=|x−2|x={−x2+2x，x<2，x2−2x2，x≥2，的图象如图所示：结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 故选B.11.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，函数f(x)=xx−2=x−2+2x−2=1+2x−2，由函数y =2x 向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减，必有{m >0,m ≥2,则m ≥2，即m 的取值范围为[2+∞)，故选C . 12.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】【解答】解：∵ f (x )为R 上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减， ∴ f (0)=0.∵ f (−52)=−f (52)且f (2)=0， ∴ f (−52)>0，f (133)<0， ∴ f (−52)>f (0)>f (133)．故选C ．13.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A ，f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，不满足条件； B ，f (x )=(x −1)2在(1,+∞)上为增函数，不满足条件； C ， f （x ）=−1x+1在(0,+∞)上为增函数，满足条件；D ，f (x )=−|x |={−x ，x ≥0,x ，x <0,在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．故选C. 14. 【答案】 B【考点】函数的单调性及单调区间【解析】无【解答】解：令t (x )=x 2−2x =(x −1)2−1，则f (t )=(12)t，∵ t (x )在(−∞,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，而f (t )在R 上单调递减，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递减. 故选B . 15.【答案】 A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】设m =f(t)−1t，根据y =f (t )单调函数，以及f [f (t )−1t]=2可知，当f (m )=2时，m 的值是唯一的；又f (t )=m +1t ，所以f (m )=m +1m =2，求出m 的值．进而求出y =f(t)的解析式．即可求出结果 . 【解答】解：设m =f(t)−1t ，则f (m )=2. 因为y =f (t )是单调函数，所以f (m )=2的解m 是唯一的. 又f(t)=m +1t ，所以f (m )=m +1m =2，解得m =1，所以f(t)=1+1t ，所以f (12019)=2020. 故选A ． 16.C【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由题意可得，当x>−1时，y′=3−a(x−a−2)2≥0，可得{3−a≥0a+2≤−1，由此求得a的范围．【解答】解：y=x−a−2+a−3x−a−2=1+a−3x−a−2∵ 当a<3时，函数y在(a+2，+∞)上单调递增，又函数y在(−1,+∞)上单调递增，∴a+2≤−1，即a≤−3，∴a的取值范围是：(−∞,−3].故选C.17.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间分段函数的应用已知函数的单调性求参数问题【解析】令各段均为减函数，再比较端点值即可求解.【解答】解：由题意得{0<a<1, 2a−1<0, 3a≤1,解得0<a≤13.故选D.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）18.【答案】(−∞, −1)，(−1, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据分式函数的性质进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, +∞)，则函数的单调递减区间为(−∞, −1)，(−1, +∞).故答案为：(−∞, −1)，(−1, +∞).19.【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).20.【答案】(−∞, −1],[3, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】先求出该函数定义域为{x|x≤−1, 或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y= x2−2x−3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：∵x2−2x−3≥0得x≤−1，或x≥3.∴函数y=x2−2x−3在(−∞, −1]上单调递减，在[3, +∞)上单调递增.∴该函数的递减区间为(−∞, −1]，递增区间为[3, +∞)．故答案为：(−∞, −1]；[3, +∞)．21.【答案】a<−1【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.22.【答案】函数的单调性及单调区间【解析】根据二次函数f (x ) 的对称轴两侧单调性相反，列不等式求出a 的取值范围．【解答】解：函数f (x )=−x 2+2ax +3的对称轴为x =a又f (x )在(−∞,4)上是增函数，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)．23.【答案】[13, +∞) 【考点】函数的单调性及单调区间利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，y ′=3x 2+2x +m ．若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则y ′=3x 2+2x +m ≥0恒成立，则对于方程3x 2+2x +m =0，有Δ=4−12m ≤0，解得m ≥13，则m 的取值范围是[13, +∞)．故答案为：[13, +∞)． 24.【答案】a ≤32 【考点】导数求函数的最值函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】判断函数f(x)是R 上的奇函数，且是增函数；把f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立化为x 2+2≥2ax 恒成立，设g(x)=x 2−2ax +2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a 的取值范围．解：函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），x ∈R ；且f(−x)=e −x −e x +ln (−x +√x 2+1)=−(e x −e −x )−ln (x +√x 2+1)=−f(x)， ∴ f(x)是上的奇函数.又f′(x)=e x +e −x +1+x √x 2+1x+√x 2+1>0恒成立，∴ f(x)是定义在R 上的单调增函数；若对任意的，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，∴ f (x 2+2)≥−f(−2ax)恒成立，∴ f (x 2+2)≥f(2ax)恒成立，∴ x 2+2≥2ax 恒成立，即x 2−2ax +2≥0在x ∈[2, +∞)上恒成立；设g(x)=x 2−2ax +2，其对称轴为x =a ，且开口向上；应满足{a <2,g(2)=4−4a +2≥0,解得a ≤32.故答案为：a ≤32．三、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）25.【答案】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2，不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k . 令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2].记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．【考点】函数的单调性及单调区间二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】无无【解答】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2，不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k .令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2]. 记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．26.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数，则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0；又由f(1)=32，即a+12=32，即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]．【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，分析可得b 的值，由于f(1)的值求出a 的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，由（2）可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数；据此分析可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数，则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0；又由f(1)=32，即a+12=32，即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]． 27.【答案】单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】根据二次函数对称轴确定单调性．【解答】因为y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4所以函数y =−x 2+2x +3的单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)28.【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【考点】二次函数的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】（1）任取x<0，则−x>0f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x即得解，（2）分析单调性可得f(x)的单调递增区间是[−1,1];单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【解答】（1）任取x<0，则−x>0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x，所以x<0时，函数f(x)=x2+2x（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)29.【答案】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a,+∞)，2又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a,+∞)，2，即−1≥−a2解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a2,+∞)，又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a2,+∞)，即−1≥−a2，解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.30.【答案】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).【考点】函数新定义问题函数的单调性及单调区间【解析】【解答】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).31.【答案】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25．所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b 14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=x x 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．【考点】奇函数函数的单调性及单调区间其他不等式的解法奇偶性与单调性的综合【解析】无无无【解答】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25．所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=xx 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．。

函数的单调性第一课时练习题

函数的单调性
基础训练
1、下列函数中，在]0,(-∞上为增函数的是（）
A.22-=x y
B.x
y 3= C.x y --=21 D.2)2(+-=x y 2、下列结论正确的是（）
A.函数x y -=在R 上是增函数
B.函数2x y =在R 上是增函数
C.函数||x y =在定义域内为减函数
D.函数x
y 1=
在)0,(-∞上为减函数 3、对任意两个不相等的实数b a ,，定义在R 上的函数)(x f 总有0)()(>--b a b f a f 成立，则必有（）
A.)()(b f a f >
B.)()(b f a f <
C.)(x f 在R 上是增函数
D.)(x f 在R 上是减函数
4、已知)(x f 为实数集上的减函数，则满足)2()1(x f x f <+的实数x 的范围是
5、若关于x 的函数1)21(++-=k x k y 是实数集上的增函数，则实数k 的取值范围为
6、证明函数12+-=x y 在区间),0[+∞上是减函数
能力提升
7、证明函数x x y 1+
=在区间),1[+∞上是增函数
8、若函数5)1()(2+--=x a ax x f 在区间)1,2
1
(上是增函数，求实数a 的取值范围。

9、判断函数1)(2-=x x x f 在区间)1,1(-上的单调性，并给出证明。

函数单调性练习题

函数单调性练习题函数单调性是高中数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上的变化规律。

通过研究函数的单调性，我们可以更深入地理解函数的性质和特点。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来探讨函数的单调性。

1. 练习题一给定函数f(x) = x^2 - 3x + 2，判断其在定义域上的单调性。

解析：首先，我们需要求出函数的一阶导数f'(x)。

对于f(x) = x^2 - 3x + 2，求导得到f'(x) = 2x - 3。

接下来，我们观察f'(x)的符号变化。

当f'(x) > 0时，函数f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，函数f(x)单调递减。

解方程 2x - 3 = 0，得到x = 3/2。

我们可以得到以下结论：- 当x < 3/2时，f'(x) < 0，即f(x)在这个区间上单调递减；- 当x > 3/2时，f'(x) > 0，即f(x)在这个区间上单调递增。

所以，函数f(x)的定义域上是先递减后递增的。

2. 练习题二考虑函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，判断其在定义域上的单调性。

解析：同样地，我们计算函数g(x)的一阶导数g'(x)。

对g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6进行求导，得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 11。

我们需要找出g'(x)的符号变化。

解方程3x^2 - 12x + 11 = 0之后，我们可以得到两个根x = 1和x = 11/3。

现在我们可以得到以下结论：- 当x < 1时，g'(x) > 0，即g(x)在这个区间上单调递增；- 当1 < x < 11/3时，g'(x) < 0，即g(x)在这个区间上单调递减；- 当x > 11/3时，g'(x) > 0，即g(x)在这个区间上单调递增。

函数的极值与单调性练习题

函数的极值与单调性练习题一、选择题1、函数\（f(x) ＝ x^3 3x\）的单调递减区间是（）A ＼（（－1,1)＼）B ＼（（＼infty, －1)＼）C ＼（（1, ＋＼infty)＼）D ＼（（＼infty, －1)＼cup （1, ＋＼infty)＼）2、函数\（f(x) ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＼ln x\）的极值点为（）A ＼（x ＝ 1\）B ＼（x ＝－1\）C ＼（x ＝ 2\）D ＼（x ＝－2\）3、已知函数\（f(x) ＝ x^3 ＋ ax^2 ＋ bx ＋ c\），当\（x ＝－1\）时，取得极大值 7；当\（x ＝ 3\）时，取得极小值。

则（）A ＼（a ＝－3\），＼（b ＝－9\）B ＼（a ＝ 3\），＼（b ＝ 9\）C ＼（a ＝－3\），＼（b ＝ 9\）D ＼（a ＝ 3\），＼（b ＝－9\）4、函数\（f(x) ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和\（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1, 0)＼）和\（（0, 1)＼）C ＼（（＼infty, －1)＼）D ＼（（1, ＋＼infty)＼）5、函数\（f(x) ＝ x^4 2x^2 ＋ 5\）在区间\（－2, 2\）上的最大值与最小值分别是（）A ＼（13\），＼（4\）B ＼（13\），＼（5\）C ＼（8\），＼（4\） D ＼（8\），＼（5\）二、填空题1、函数\（f(x) ＝ x^3 12x\）的极大值为_____，极小值为_____。

2、函数\（f(x) ＝ x ＼ln x\）的单调递增区间是_____，单调递减区间是_____。

3、若函数\（f(x) ＝ 2x^3 6x^2 ＋ m\）在\（－2, 2\）上有最大值 3，则\（m ＝＼）＿____。

4、函数\（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 7\）的极值点为_____。

函数的单调性练习题(含答案)

函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（）A ．－7B ．1C ．17D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2)，那么函数g (x )（）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 19.解析：设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1)可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

(完整版)函数的单调性课后练习题

函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2答案：D2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 的递减区间，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1 解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案：D4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.答案：C5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个实根B ．至多有一个实根C ．没有实根D ．有唯一的实根解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．答案：D6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是__________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫347．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m 2×2≤－2，即m ≤－8.答案：m ≤－88．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥53，－3x ＋5，x <53.作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，53. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，53 9．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝⎛⎭⎫1＋2x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >32.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，x >32，得32<x ≤2.故满足条件的x 的取值范围是32<x ≤2.品位高考1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案：C2．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝a x ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1x 在定义域内是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，从而③不对；y ＝1x 的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·福建)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎪⎪⎪⎪1x >1，∴|x |<1，且x ≠0， ∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确．答案：C3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≥1)，5－x ，(x <1)，则f (x )的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎨⎧x >2x －3x >02x －3>0⇒32<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明．解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。

理解函数的单调性质练习题

理解函数的单调性质练习题函数的单调性质是数学中的重要概念之一，在解析几何、微积分等领域中都有广泛的应用。

理解和掌握函数的单调性质对于数学学习和问题解决具有重要意义。

本篇文章将通过练习题来帮助读者加深对函数单调性的理解。

练习题一：函数求导判断单调性已知函数$f(x)$在区间$[a, b]$上具有一阶连续导函数$f'(x)$，要求根据导函数的符号确定函数在该区间上的单调性。

解题步骤如下：1. 求出函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的一阶导函数$f'(x)$；2. 判断导函数$f'(x)$的符号变化区间，找出其增减性质；3. 根据导函数的符号判断函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的单调性。

练习题二：函数图像与单调性的关系已知函数$f(x)$的图像如下：[图像描述]要求根据函数图像确定函数的单调性。

解题步骤如下：1. 观察函数图像的走势，找出曲线上的局部最高点和最低点；2. 根据图像上的极值点确定函数的单调区间；3. 根据单调区间的走势判断函数在该区间上的单调性。

练习题三：不等式与函数单调性的关系已知函数$f(x)$为$x$的$k$次单调函数，且存在不等式关系$f(a) < f(b)$，要求确定$k$的取值范围。

解题步骤如下：1. 根据不等式关系$f(a) < f(b)$，列出不等式$f(a) - f(b) < 0$；2. 将函数$f(x)$的表达式代入不等式中，得到关于$x$和$k$的不等式表达式；3. 对不等式进行求解，得到$k$的取值范围。

通过以上的练习题，我们可以巩固对函数单调性质的理解。

在实际应用中，函数的单调性质常常用于优化问题、曲线的凸凹性分析等。

掌握了函数的单调性质，我们能更好地解决数学中的各种问题，并在现实生活中运用数学知识解决实际问题。

总结：函数的单调性质是数学中的重要概念，在数学学习和问题解决中具有重要作用。

通过掌握函数求导、观察函数图像和解不等式等方法，我们可以更好地理解函数的单调性质。

函数的单调性课后练习题

函数的单调性练习题

(完整版)函数单调性练习题

人教版函数单调性练习题

完整版)函数的单调性练习题及答案

高一函数的单调性练习题

函数的单调性及其单调区间练习题含答案

高一 函数的单调性及其最值知识点+例题+练习 含答案

函数的单调性练习题(含标准答案)

函数的单调性及其单调区间练习题含答案

函数的单调性第一课时练习题

函数单调性练习题

函数的极值与单调性练习题

函数的单调性练习题(含答案)

(完整版)函数的单调性课后练习题

理解函数的单调性质练习题

高一函数的单调性及其最值知识点+例题+练习含答案