2020届新高考数学二轮微专题突破专题02 运用正余弦定理解决三角形问题(原卷版)

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高中数学专题练习23 运用正余弦定理研究三角形或多边形(新高考地区专用)解析版

运用正余弦定理研究三角形或多边形关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决一、题型选讲题型一、运用正余弦定理研究三角形中的问题例1、【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．变式1、在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =. (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积变式2、如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值；（2）求CD 的长．变式3、在中，，为的平分线，变式4、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.变式1、如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210(1) 求CD 的长；(2) 求△BCD 的面积．ABD变式2、如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50. (1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值；(3) 求△BAD 的面积．题型三、运用正余弦定理研究情境中的三角形或多边形问题例3、泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m．变式1、某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米. A B D C E D 67.5ADC ∠=C 45ACD ∠=75BCE ∠=E 60BEC ∠=DC =CE =A B变式2、 “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，AD =（1）霍尔顿发现无论BD cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.变式3、如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________m.二、达标训练1、如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =5c =，2B C =，则cos C______，点D 为边BC 上一点，且6BD =，则ADC ∆的面积为______.2、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．3、在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD sin C =___________.4、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．5、在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .6、如图,某市三地A,B,C有直道互通.现甲交警沿路线AB､乙交警沿路线ACB同时从A地出发,匀速前往B地进行巡逻,并在B地会合后再去执行其他任务.已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡逻速度为5km/h,乙的巡逻速度为10km/h.(1)求乙到达C地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km,从乙到达C地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.运用正余弦定理研究三角形或多边形关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决一、题型选讲题型一、运用正余弦定理研究三角形中的问题例1、【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,45a c B===︒．（1）求sin C的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC∠=-，求tan DAC∠的值．【解析】（1）在ABC△中，因为3,45a c B===︒，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得292235b=+-⨯︒=，所以b在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，sin C，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯ 变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知，a =. (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积【解析】若选择条件①，则答案为:(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =，因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==，所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =所以2113352252BMCSm sin BMC =∠=⨯⨯= 在Rt ABM 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以AB =158ABMS =，所以31527288ABCS=+= 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠，因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-=因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又sin sin sin 4b c a B C A ===所以sin ,4b B =,4c C =所以11445sin sin sin sin 2244542ABCSbc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭454527sin cos sin 2448C C C === 若选择条件②，则答案为:(1)因为22B C bsin+=，所以22Absin π-=，由正弦定理得22AsinBcos =，因为0sinB ≠，所以2,2A cos=222A A Acos cos =，因为02Acos≠，所以2A sin =，则2A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①变式2、(2019徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值；（2）求CD 的长．【解析】：（1）在ABC △中，4cos 5A =，A 所以sin A 同理可得，12sin 13ACB ∠=．所以cos cos[π()]B A ACB =-+∠=-sin sin cos A ACB A =∠-312451651351365=⨯-⨯=．（2）在ABC △中，由正弦定理得，AB =又3AD DB =，所以154BD AB ==在BCD △中，由余弦定理得，CD 变式3、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）则___________．B D【答案】【解析】原题图形如图所示：则：设，则，又解得：本题正确结果：变式4、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 变式1、(2018徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.(1) 求CD 的长；(2) 求△BCD 的面积．【解析】： (1)因为tan ∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.所以sin ∠ACD ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－∠ADC －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫∠ADC ＋π4＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4 ＝1010，(6分)在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin ∠DACsin ∠ACD ＝ 5(2) 因为AD ∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55，sin ∠BCD ＝sin ∠ADC ＝255在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7, (12分)所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7. 变式2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．【解析】： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C→＝5013×10＝513.(2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665 ＝28.题型三、运用正余弦定理研究情境中的三角形或多边形问题例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（） A ．50 m B ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A【解析】如图,CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=，,4530CAD CBD ︒∠=∠=．在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,3,BD h AD h ==，,100AB=，60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos 60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+=，解得50h =或100h =- (舍去), 故选：B.变式1、（2020·山东新泰市第一中学高三月考）某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米. A B D C E D 67.5ADC ∠=C 45ACD ∠=75BCE ∠=E 60BEC ∠=DC =CE =A B【答案】【解析】在中，，，，，则在中，，，，则，由正弦定理得，可得，在中，，，由余弦定理得，因此，（千米）.故答案为：.变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，AD =（1）霍尔顿发现无论BD cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；3ACD △45ACD ∠=67.5ADC ∠=CD =67.5CAD ∴∠=AC CD ==BCE 60BEC ∠=75BCE ∠=CE 45CBE ∠=sin 45sin 60CE BC=2sin 60sin 452CE BC ===ABC AC =BC =18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=3AB =3（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得241216BD A A =+-=-，在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，1688cos A C -=-，则)8cos 8A C -=，cos 1A C -=；（2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由（11cos A C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=--+ ⎝⎭，∴当A =时，2212S S +取到最大值14.变式3、(2017南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________m.【答案】 30解析：在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝sin120°sin30°·10＝103(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝30(m)．二、达标训练1、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若b =5c =，2B C =，则cos C ______，点D 为边BC 上一点，且6BD =，则ADC ∆的面积为______.10【解析】因为b =5c =，2B C =，由正弦定理可得：sin sin b cB C=，5sin C =则cos C =；4sin 2sin cos 25B C C ===，14561225ABD S ∆∴=⨯⨯⨯=，由余弦定理可得：2cos C == 解可得5a =（舍)或11a =，所以65ABD ADC S BD S CD ∆∆==， 512106ADC S ∆∴=⨯=．，10．2、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法2由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.3、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD sin C =___________.【解析】ABD ∆5sin135=，所以sin BAD ∠=AD 为BAC ∠的平分线即sin sin 10BAD CAD ∠=∠=，()10sin sin 45C DAC ∴=∠+∠==.4、(2019南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法2由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.5、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【解析】选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=，又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ==6、（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.【解析】 (1)由310,6,8,90cos 5AB km AC km BC km ACB A ===∴∠=∴=，. 设当乙到达C 地时,甲处在D 点,则65310AD km =⨯=所以在ACD ∆中,由余弦定理得:2222231172cos 6323655CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=CD ∴=即此时甲､乙两交警之间的距离为5km (2)设乙到达C 地后,经过t 小时,甲､乙两交警之间的距离为()f t km , 在BCD ∆中，48,7,cos 5BC km BD km ABC ==∠= 乙从C 地到达B 地,用时45t =小时,甲从D 处到达B 地,用时75t =小时,所以当乙从C 地到达B 地,此时,甲从D 处行进到E 点处,且454,35DE km BE km =⨯==所以当405t ≤≤时，()t f ==令282()3,1,560,033f t t t t >>∴-+>∴<<或45t >（舍去）又当4755t ≤≤时,甲､乙两交警间的距离()753f t t km =-≤因为甲､乙间的距离不大于3km 时方可通过对讲机取得联系所以,从乙到达C 地这一时刻算起,经过25小时,甲､乙可通过对讲机取得联系.。

2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破

2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破考纲要求 : 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题12.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 Sab sin C .2 基础知识回顾 :a b c1. ＝＝＝2R ，其中 R 是三角形外接圆的半径．sin A sin B sin C由正弦定理可以变形： (1) a∶b ∶c ＝sin A∶sin B∶sin C ；(2) a ＝ 2 Rsin A ，b ＝ 2Rsin B ，c ＝2Rsin C .2 ．余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2－ 2 bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ．b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－ b 2a 2＋b 2－c 2变形： cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝2bc 2ac 2ab4. 三角形常用的面积公式1111 abc(1)S ＝ a ·h a (h a 表示 a 边上的高 )．(2) S ＝ absinC ＝ acsinB ＝ bcsinA ＝2 2 224R1（3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求；（2 ）求的周长的取值范围．【答案】（1 ）；（2 ）.所以：中，利用正弦定理得：由于：则：，，由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：.【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。

【例2】已知在中，所对的边分别为，.（1 ）求的大小；（2）若，求的值.【答案】（1 ）或（2）12 ）∵， ∴又由余弦定理得，∴时，则时，则，点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 . 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 .第三步：求结果类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例 3】在中，， .（1 ）求证：是直角三角形；（2 ）若点在边上，且，求．答案】（1 ）见解析；（ 2 ），∴综上所述，当且仅当，此方程无解 .时，可得（2）设，则，，，所以在中，由正弦定理得，所以点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例4】在中，角所对的边分别为，已知且（1 ）判断的形状；2）若，求的面积答案】（1 ）见解析；（2 ）（2）由（1）知，，则，因为，所以由余弦定理，得解得，所以的面积．【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。

2020届新高考数学二轮微专题突破专题02 运用正余弦定理解决三角形问题(解析版)

专题02运用正余弦定理解决三角形问题一、题型选讲题型一正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。

例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值；（2）求CD 的长．解析：（1）在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈，所以2243sin 1cos 1()55A A =-=-=．同理可得，12sin 13ACB ∠=．所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=．（2）在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=．又3AD DB =，所以154BD AB ==． AB C D在BCD △中，由余弦定理得，CD ===例2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C →＝5013×10＝513. (2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513.因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD ) ＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.题型二运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。

利用正余弦定理解决三角形面积问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题02利用正余弦定理解决三角形面积问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径一、梳理必备知识4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c =，30B =︒，则ABC 的面积为（）．A．2B ．4C ．2D ．42．已知在ABC 中，4AB =，3AC =，cos 2A =，则ABC 的面积为（）A ．3B ．C ．6D ．3．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2,,sin 2sin 3c A B C ===，则ABC 的面积为（）A B ．C ．2D ．4【答案】B【分析】由正弦定理求得24b c ==，利用面积公式进行求解.【详解】由正弦定理得：24b c ==，二、基础知识过关4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22230,=︒+-=A b c a ABC 的面积为（）A ．12B C ．1D ．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为π3A =，b c +==a （）A ．B ．5C ．8D ．6．在ABC 中，已知3a =，c =60C =︒，则ABC 的面积为（）A B C D3二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝1，1cos 3C =，则△ABC 的面积为______．【答案】38．在ABC 中，设a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 所对的边，2b =，1c =，面积12ABC S ∆=，则内角A 的大小为__．9．在△ABC 中，若7a =，3b =，8c =，则△ABC 的面积等于______________．【技巧实战1】1．记ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A B =，32b c =.(1)求tan tan CB；(2)若ABC的周长为5ABC 的面积.2．已知ABC 的内角A 、B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 1cos 2A +=-．（Ⅰ）求角A 的值．（Ⅱ）若ABC 的面积为()7b c b c +=>，求a 的值．四、解题技巧实战3．ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有()sin 20C A B +=.(1)求角C ；(2)当4a =，c =时，求ABC 的面积.1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，五、跟踪训练达标（1）求角A.（2）求△ABC 的面积.2．（2023·高一单元测试）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos a C A ．（1）求角A ．（2）若a =2c =求△ABC 的面积．3．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n．（1）求角A 的大小；（2）若4a b ==，ABC 面积．4．（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）已知ABC 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,ABC 的周长为2,且sin sin A B C +=.(1)求边c 的长;(2)若ABC 的面积为23sin C ,求角C 的度数.5．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC 的面积为ABC 的周长.6．（山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，()1cos sin c B C +=．(1)求角B 的大小；(2)若2b =，4a c +=，求ABC 的面积．7．（2023·安徽淮北·统考一模）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c C b B C A a a-=-，4b =．(1)求角B 的大小(2)若c =ABC 的面积．8．（广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知223cos cos 222C A a c b +=.(1)证明：sin sin 2sin A C B +=；(2)若2b =，3AB AC ⋅=uu u r uuu r ，求ABC 的面积.9．（湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题）在ABC 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且2c =，点D 在线段BC 上.(1)若3π4ADC ∠=，求AD 的长；(2)若2,BD DC ABC = 的面积为sin sin BAD CAD ∠的值.10．（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）已知在非钝角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为1,,,cos sin 2a b c c a B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求sin A ；(2)若ABC 的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求ABC 的周长.①2a =；②2a c =.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足()274sincos222A B C -+=，(1)求A ；(2)D 是线段BC 边上的点，若2,3AD BD CD ===，求ABC 的面积..12．（云南省保山市、文山州2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0b A a B c A ++=．(1)求角A 的大小；(2)若BC 边上的中线23AD =，且ABC S = ABC 的周长．2π由(1)有：2π3A =，所以ABC S △由余弦定理知222a b c bc =++，即1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a，b，求ABC的面积；（2）若sin A C=2，求C.六、高考真题衔接2．（2022年全国新高考II 卷数学试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．3．（2021年全国新高考II 卷数学试题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．4．（2022年北京市高考数学试题）在ABC 中，sin 2C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．25．（2022年浙江省高考数学试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．。

2023届高考数学二轮复习微专题：正、余弦定理在解三角形中的应用含答案解析

3 正、余弦定理在解三角形中的应用1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C＝________．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．5．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的平分线AD ＝3，则AC ＝________.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设向量m ＝(a ，c )，n ＝(cos C ，cos A )． (1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝45，求cos C 的值．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan (B －A)＝13.(1)求tan B 的值；答案及解析1．答案：75°.解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得sin B ＝b sin C c ＝22，结合b <c ，可得B ＝45°，则A＝180°－B －C ＝75°.2．答案：π3.解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，在△ABC 中，sin B ≠0，可得cos B ＝12，在△ABC 中，可得B ＝π3.3．答案：π4.解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，∵0＜C ＜π，∴C ＝π4.4．答案：8.解析：因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，所以bc ＝24，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝2，bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8.5．答案： 6.解析：如图所示，由正弦定理易得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin B ，故sin ∠ADB ＝22，即∠ADB ＝π4，在△ABC ，知∠B ＝120°，∠ADB ＝π4，即∠BAD ＝π12.由于AD 是∠BAC 的平分线，故∠BAC＝2∠BAD ＝π6.在△ABC 中，∠B ＝120°，∠BAC ＝30°，易得∠ACB ＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即AC sin60°＝2sin30°，所以AC ＝ 6.6．答案：9.解析：由题意得12ac sin120°＝12a sin60°＋12c sin60°，即ac ＝a ＋c ，得1a ＋1c ＝1，得4a＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4ac ＋5≥2c a ·4a c ＋5＝4＋5＝9，当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时，取等号．7．答案：(1)π6；(2)3－8215.解析：(1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C .由正弦定理，得sin A cos A ＝sin C cos C .化简得sin2A ＝sin2C .∵A ，C ∈(0，π)，∴2A ＝2C 或2A ＋2C ＝π，从而A ＝C (舍去)或A ＋C ＝π2，∴B ＝π2.在Rt △ABC 中，tan A ＝a c ＝33，A ＝π6.(2)∵m ·n ＝3b sin B ，∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ，从而sin(A ＋C )＝3sin 2B .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B .从而sin B ＝13.∵cos A ＝45＞0，A ∈(0，π)，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin A ＝35.∵sin A ＞sin B ，∴a ＞b ，从而A ＞B ，B 为锐角，cos B ＝223. ∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×223＋35×13＝3－8215.8．答案：(1)3；(2)78.解析：(1)在△ABC 中，由cos A ＝35，得A 为锐角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A＝sin A cos A ＝43，所以tan B ＝tan[(B －A )＋A ]＝tan （B －A ）＋tan A 1－tan （B －A ）·tan A＝13＋431－13×43＝3. (2)在三角形ABC 中，由tan B ＝3，所以sin B ＝31010，cos B ＝1010，由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝131050，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝13×31010131050＝15.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×15×13×45＝78.。

微专题09 正、余弦定理解三角形-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦

专题09 正、余弦定理解三角形——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点，考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素养.【必备知识】1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c R C===AB(R 为C ∆AB 的外接圆的半径).2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④R SinC SinB SinA cb a 2=++++.3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =；变形：A bc a c b cos 2222=-+.【重要结论】1、解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>. 2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； 3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形；（3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形；（3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形； 4、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π. 考点一利用正、余弦定理求解三角形的边角问题【例1】已知ABC ∆中的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)3sin(sin π+=A b B a .（1）求A ；（2）若c a b ,23,成等差数列，ABC ∆的面积为32，求a 【解析】（1）因为)3sin(sin π+=A b B a ，所以由正弦定理可得)3sin(sin sin sin π+=A B B A ，因为0sin ≠B ，所以)3sin(sin π+=A A .因为),0(π∈A ，所以ππ=++3A A ，所以3π=A .（2）因为c a b ,23,成等差数列，所以a c b 3=+. 又因为ABC ∆的面积为32，所以32sin 21==∆A bc S ABC ，所以323sin bc 21=⨯⨯π，可得bc=8.所以由余弦定理可得bc c b bc bc c b A bc c b a 3)(3cos22)(cos 222222-+=--+=-+=π，即24)3(22-=a a ，解得32=a .【方法归纳提炼素养】——数学思想是转化与化归，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论.利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.【类比训练】在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A b c B a cos )4(cos -=，则=A 2cos （）A.87-B.81-C.87D.81【解析】A.因为A b c B a cos )4(cos -=，所以A B A C B A cos sin cos sin 4cos sin -=，即A C A B B A cos sin 4cos sin cos sin =+，所以C A C sin cos 4sin =，又因为0sin ,0≠<<C C π，所以A cos 41=，即41cos =A ，则871cos 22cos 2-=-=A A ，故选A.考点二利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题【例2】在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且tan 21+tan A cB b=．（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆面积的最大值. 【解析】（1）tan 21tan A cB b +=Q sin cos 2sin 1sin cos sin A BC B A B∴+=即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， sin()2sin sin cos sin A B C B A B+∴=，整理得1cos 2A = 0,3A ππ∴=Q ＜A ＜（2）2222cos ,a b c bc A =+-Q22222122a b c bc b c bc =∴=+-⨯=+-，即2232,b c bc bc bc bc =+-≥-=当且仅当3==c b 时，bc 取最大值，从而433sin 21≤=∆A bc S ABC .所以ABC ∆面积的最大值为433. 【方法归纳提炼素养】——数学思想是转化与化归、整体代换、函数与方程思想，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理.解题的思路是：1、定基本量.根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.2、构建函数.根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式关系.3、求最值.利用基本不等式或函数的单调性等求最值.【类比训练1】在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足)6cos(sin π-=B a A b .（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且BD=1，求ABC S ∆的最大值．【解析】（1）因为)6cos(sin π-=B a A b ，所以B A B A A B sin sin 21cos sin 23sin sin +=, 即B A B A cos sin 3sin sin =，因为0sin ≠A ，所以3tan =B ，又因为），（π0∈B ，所以3π=B .（2）因为D 为AC 的中点，所以由向量的中线定理得)(21BC BA BD +=,3cos 214141π⋅⋅++=，又因为BD=1，所以ac ac c a 2422≥-=+ 故34≤ac ，当且仅当a=c 时，等号成立，此时34max =）（ac ，所以ABC S ∆的最大值为333sin 3421=⨯⨯π.【类比训练2】已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足bcB A B A 2sin sin cos cos =+，且b=3. （1）求B.（2）求ABC ∆的周长l 的最大值. 【解析】利用正弦定理对b c B A B A 2sin sin cos cos =+化简得BCB B A B B A sin sin 2sin cos sin cos sin cos =+, 即BC B B B A sin sin 2sin cos )sin(=+. 因为0sin )sin(≠=+C B A ，所以21cos =B . 又),0(π∈B ，所以3π=B .（2）解法一：在ABC ∆中，由余弦定理得9cos 222222=-+=-+=ac c a B ac c a b ，所以22)2(3939)(c a ac c a ++≤+=+，即6≤+c a ，所以9≤++=c b a l ，当且仅当a=b=c=3时，ABC ∆的周长l 取得最大值，且最大值为9. 解法二：由正弦定理得32sin 2==BbR ，所以B B R b A A R a sin 32sin 2,sin 32sin 2====，所以)32sin(32sin 323sin 32sin 323A A B A c b a l -++=++=++=π=)6sin(63cos 3sin 333π++=++A A A又因为)32,0(π∈A ，所以)65,6(6πππ∈+A 所以当26ππ=+A ，即3π=A 时，1)6sin(=+πA ，所以963max =+=l .考点三利用正、余弦定理解平面四边形【例3】如图所示,在四边形ABCD 中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,33cos =B . (1)求△ACD 的面积;(2)若32=BC ,求AB 的长. 【解析】(1)因为∠D=2∠B,33cos =B ，所以cos D=cos 2B=2cos 2B-1=31-. 因为D ∈(0,π),所以sin D=322cos 12=-D . 因为AD=1,CD=3,所以△ACD 的面积S=21AD·CD·sin D=2322121=⨯⨯.(2)在△ACD 中,由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DC·cos D=12,所以AC=32. 因为BC=32,所以∠B=∠BAC, 由正弦定理得ACBABB AC ∠=sin sin ,所以B ABB B AB B AB B AB B sin 332cos sin 22sin )2sin(sin 32===-=π, 所以AB=4.【方法归纳提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学运算.利用正余弦定理解四边形的解题思路是：1、对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题，分别在两个三角形中列出方程，组成方程组，通过加减消元或者代入消元，求出所需要的量；2、对于含有三角形中的多个量的已知等式，化简求不出结果，需要依据题意应用正余弦定理再列出一个等式，由此组成方程组通过消元法求解.【类比训练】如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 【解析】（1）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π，整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得21sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠，化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=，因此7.AB =考点四利用正、余弦定理求解实际应用问题【必备知识】 1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②). 3.方向角：相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). (2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡度).坡度又称为坡比. 注意：两种角的区别(1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，方位角的范围是[0,2π]. (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.【例4】如图,A,B 是海面上位于东西方向相距）（335+海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距320海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点至少需要多长时间?【解析】由题意知AB=）（335+ 海里,因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°, 所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△ADB 中,由正弦定理得ADBABDAB DB ∠=∠sin sin , 所以00105sin 45sin )33(5sin sin +=∠∠⋅=ADB DAB AB DB=464222)33(560sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(500000+⨯+=++=310231)31(35=++（海里），又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=320海里, 所以在△DBC 中,由余弦定理得DBC BC BD BC BD CD ∠⋅-+=cos 2222 即900213203102-12003002=⨯⨯⨯+=CD ，所以CD=30(海里), 所以需要的时间13030==t (小时),即救援船到达D 点至少需要1小时. 【方法归纳提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学建模、数学运算.解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【类比训练】如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s 后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为 m.(取≈1.4,≈1.7)【解析】如图,作CD 垂直于AB 的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°, AB=50×420=21 000(m). 又在△ABC 中,=,所以BC =×sin 15°=10 500(-)(m).因为CD ⊥AD,所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m). 答案:2 650做高考真题提能力素养【选择题组】1、（2019全国卷Ⅱ高考理·T15）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC ∆的面积为 .【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得23,23c c ==-（舍去）所以243a c ==，113sin 43236 3.22ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯= 2、(2018·全国卷II 高考理科·T6)在△ABC 中,cos C2=√55,BC =1,AC =5,则AB =( ) A .4√2B .√30C .√29D .2√5【解析】选A .cos C =2cos2C2-1=2×(√55)2-1=-35, 在△ABC 中,由余弦定理AB 2=CA 2+CB 2-2CA ·CB ·cos C , 所以AB 2=1+25-2×1×5×(-35)=32,所以AB =4√2.3、(2018·全国Ⅲ高考理科·T9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C = ( ) A .B .C .D .【解析】选C .由题意S △ABC =12ab sin C =a 2+b 2-c 24,即sin C =a 2+b 2-c 22ab,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C ∈(0,π),所以C=.4、(2017·山东高考理科·T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A【解析】A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC, 即sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC 为锐角三角形, 所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b. 【非选择题组】1、(2018·浙江高考T13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a =√7,b =2,A =60°,则sin B = ,c = . 【解析】由正弦定理asinA =bsinB 得=2sinB ,得sin B =√217, 由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =4+c 2-74c=12,解得c =3.答案:√217 32、(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .【解析】因为△ABC 中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos ∠ABC=2222AB BC AC AB BC +-⋅=222424242+-⨯⨯=14,则sin ∠DBC=sin ∠ABC=154, 所以S △BDC =12BD·BCsin ∠15,因为BD=BC=2,所以∠BDC=12∠ABC ,则cos ∠cos 12ABC ∠+10答案:15103、（2019全国I 理·T17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sinC ．【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈Q 3A π∴=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C -=22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+故sin sin()46C ππ=+=.4、（2019全国III 理·T18）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 因为0<B π<，02A Cπ+<< 故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V .故ABC S V取值范围是(82. 5、(2018·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=-17. (1)求∠A.(2)求AC 边上的高.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB=c 2+a 2-b 22ca==-17,解得c=-5(舍),或c=3,所以cosA=b 2+c 2-a 22bc==12,又因为0<A<π,所以A=. (2)设AC 边上的高为h,则sinA=hc , 所以h=csinA=3×sin =3√32,即AC 边上的高为3√32. 方法二:(1)因为cosB=-17<0得角B 为钝角,由三角形内角和定理,角A 为锐角, 又sin 2B+cos 2B=1,所以sinB>0,sinB=4√37,由正弦定理,asinA =bsinB ,即sinA=ab sinB=78×4√37=√32, 又因为0<A<,所以A=.(2)设AC 边上的高为h,则h=asinC,由(1)及已知,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=√32×(-17)+12×4√37=3√314, 所以h=asinC=7×3√314=3√32,即AC 边上的高为3√32. 6、(2018·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos .(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理asinA =bsinB ,可得bsinA=asinB, 又由bsinA=acos,得asinB=acos ,即sinB=cos ,所以sinB=√32cosB+12sinB ,可得tanB=√3. 又因为B ∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b 2=a 2+c 2-2accosB=7,故b=√7. 由bsinA=acos,可得sinA=√37. 因为a<c,故cosA=√7.因此sin2A=2sinAcosA=4√37,cos2A=2cos 2A-1=17. 所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314. 6、(2017·北京高考理科·T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sinC 的值.(2)若a=7,求△ABC 的面积. 【解析】(1)根据正弦定理sinA a=sinCc ,所以sinC=sinA c a =37×sin60°=37(2)当a=7时,c=37a=3,因为所以1314,在△ABC 中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA×cosC+cosA××1314+12,所以S △ABC =12ac×sinB =12×7×3×7=7、(2017·全国丙卷·理科·T174)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知,b=2. (1)求c.(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【解析】(1)因为,所以,所以因为A ∈(0,π),所以A=23π.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,代入,b=2得c 2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4. (2)由(1)知c=4.因为c 2=a 2+b 2-2abcosC,所以16=28+4-2×2×2×cosC ,所以,所以sinC=7,所以在Rt △CAD 中,tanC=ADAC ,所以2=2AD ,即则S △ADC =12×由(1)知S △ABC =12·bc·sinA =12×2×4×2=所以S △ABD =S △ABC -S △ADC =.8、(2017·全国甲卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin 22B . (1)求cosB.(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin 22B,故sinB=4(1-cosB), 上式两边平方,整理得17cos 2B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB=1517, (2)由cosB=1517得sinB=817,故S △ABC =12acsinB=417ac , 又S △ABC =2,则ac=172,由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×15117⎛⎫+ ⎪⎝⎭=4,所以b=2. 9、(2017·全国乙卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为23sin a A.(1)求sinBsinC.(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)因为△ABC 面积S=23sinA a且S=12bcsinA ,所以23sinA a =12bcsinA ,所以a 2=32bcsin 2A ,由正弦定理得sin 2A=32sinBsinCsin 2A ,由sinA≠0得sinBsinC=32. (2)由(1)得sinBsinC=23,又cosBcosC=16,因为A+B+C=π,所以cosA =cos ()B C π--=-cos ()B C +=sinBsin C-cosBcosC =12,又因为A ∈()0,π,所以A=3π,sinA=2,cosA=12,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=9 ①, 由正弦定理得b=sinA a ·sinB,c=sinAa ·sinC , 所以bc=22sin Aa ·sinBsinC=8 ②,由①②得所以即△ABC 的周长为10、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b 和sinA 的值.(2)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【解析】(1)△ABC 中,a>b,sinB=35,所以cosB=45,由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2accosB=13,所以由正弦定理得,sinA=sinB a b(2)由(1)知又a<c,sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin 2A=-513,所以,sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin2Acos 4π+cos2Asin 4π=26.11、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知2-b 2-c 2). (1)求cosA 的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及sinA a =sinBb ,得a=2b. 由(a 2-b 2-c 2),及余弦定理,得cosA=2222b c abc+-=5ac-(2)由(1)可得sinA=5,代入asinA=4bsinB,得sinB=sinA4a b=5. 由(1)知,A 为钝角,所以cosB==5, 于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×⎛⎝⎭-35。

考点23 正弦定理和余弦定理的应用2020年领军高考数学(理)必刷题(原卷版)

考点23 正弦定理和余弦定理的应用1．在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，若，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形2．在中，，，为的中点，的面积为，则等于（）A．B．C．D．3．设△的内角所对的边分别为，若，则△的形状为A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形4．已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（）A．B．C．D．5．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为A．4B．2C．3D．7．在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为（）A．B．C．D．8．我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）9．如图，在中，,，点是外一点，，，则平面四边形面积的最大值是__________.10．中，，为边的中点，，则的取值范围是______．11．如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为_____________．12．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，且，则，之间的距离为________．13．在一幢高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为，塔基的俯角为，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为__________．14．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．15．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为__________．16．的内角的对边分别为，且满足，若点是外一点，，，则平面四边形面积的最大值是______.17．在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________．18．如图，在中，，，以为斜边构造等腰直角三角形，则得到的平面四边形面积的最大值为_______.19．在中，角所对应的边分别为，若，，则当角取得最大值时，三角形的内切圆的半径为__________．20．为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB＝8km，BC＝km．经协商，文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处，并建造三条道路AO,BO,NO 与各村通达．若道路建设成本AO,BO段为每公里万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为万元．（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离.21．在中，，．（1）求证：平分；（2）当时，若，，求和的长．22．在中,分别是角的对边，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.23．已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若.（1）求角；（2）当的值最小时，求的面积.24．的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为.（1）求；（2）若为中点，且，求的最大值.25．已知向量，函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．。

2020年新高考数学复习实际问题中的解三角形问题专题解析

【答案】10 6 【解析】如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt△ABC 中，由∠ACB＝45°得 BC＝x. 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3x. 在△BDC 中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，即( 3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，解得 x＝40，所以电视塔高为 40 m. 点评：求解高度问题应注意的 3 个问题
无解
一解
两解
一解
一解
无解
7.三角形常用的面积公式
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例: 类型一、测量高度问题
【例 1】如图，一山顶有一信号塔 CD （ CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进 l 米后到达 B 处，测得 C 的仰角为 .
3 海里.
(1)求两点间的距离；(精确到 0.01)
(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东 10 海里的点处以
18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为
(直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向
20 海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点处，再折向点直线航行，航
实战演练:
1．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东150 BAC 150 方向上，匀速向北航
行 20 分钟到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 600 方向上，此时测得山顶 P 的仰角 600 ，若山高为 2 3 千米，

全国数学高考二轮复习考点16 正、余弦定理及解三角形-2020年高考数学(文)

专题16 正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形（1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12S ah=(h为BC边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c=++(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图①)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图①，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图①，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等．（2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.典例1 在ABC △中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若bsin2A +√3asinB =0，b =√3c ，则ca的值为A ．1 BC D 【答案】D【解析】由bsin2A +√3asinB =0，结合正弦定理，可得sinBsin2A +√3sinAsinB =0，即2sinBsinAcosA +√3sinAsinB =0，由于sinBsinA ≠0，所以cosA =−√32，因为0＜A ＜π，所以A =5π6．又b =√3c ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =3c 2+c 2+3c 2=7c 2，即a 2=7c 2，所以ca =√77. 故选D ．典例2 已知ABC △的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且asinA +bsinB +√2bsinA =csinC . （1）求C ；（2）若a =2,b =2√2,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.【解析】（1）因为asinA +bsinB +√2bsin A =csinC ,所以a 2+b 2+√2ab =c 2. 由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =−√22，又0<C <π，所以C =3π4.（2）由（1）知C =3π4,根据余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =22+(2√2)2−2×2×2√2×(−√22)=20，所以c =2√5.由正弦定理得csinC =bsinB ，即=，解得sinB =√55.从而cos B =. 设BC 的中垂线交BC 于点E ,因为在Rt BDE △中，cosB =BE BD，所以cos BE BD B ===，因为DE 为线段BC 的中垂线，所以CD =BD =√52.1．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()2cos cos cos C a B b A c +=，1,3a b ==，则c = A ．3 B．CD2．在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD；（2）若1AD AC ==，求BC 的长．考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例 3 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=，且,,a b c 成等比数列.（1）求角B 的大小；（2）若2,2tan tan tan a c ba A C B+==,试判断三角形的形状.【解析】（1∵()cos cos B A C =-+，32sin sin 2A C ∴=,又22sin sin sin b ac B A C =⇒=Q ,232sin 2B ∴= 而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大，故B 为锐角，所以60B =︒.（2）由2tan tan tan a c b A C B +=, 利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4 在ABC △中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC +csinB ．（1）求角B ；（2）若b =2√2，求ABC △面积的最大值．【解析】（1）由已知和正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ， ∵sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ， ∴sinB =cosB ，解得B =450．（2）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(2√2)2=a 2+c 2−2accos450，整理得：a 2+c 2=8+√2ac ．∵a 2+c 2≥2ac （当且仅当a =c 取等号），∴8+√2ac ≥2ac ，即ac ≤4(2+√2)， ∴S ΔABC =12acsinB ≤12×4(2+√2)×√22=2√2+2，故ABC △面积的最大值为2√2+2．【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5 在ABC △中，AC =2√3，D 是BC 边上的一点. （1）若AD =1,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3，求CD 的长；（2）若∠B =120°，求ABC △周长的取值范围. 【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，AC =2√3，所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos ∠DAC ＝1×2√3×cos ∠DAC ＝3, 所以cos ∠DAC ＝√32.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2√3×1×√32＝7，所以CD ＝√7.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，∴AB +BC =4(sinA +sinC)=4[sinA +sin(π3−A)]=4sin(A +π3)，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦Q .∴AB +BC ∈(2√3,4]，故ABC △周长的取值范围为(4√3,4+2√3] .4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22()13a b cab--=-．（1）求角C ；（2）若c b ==，求B 及ABC △的面积．5．已知,,a b c 分别是ABC △三个内角,,A B C 所对的边，且1cos 2a C cb +=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC △的周长L 的取值范围.考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =，求角A 的大小；（2）若BCD △的面积为16，求AB 的长.【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin BDC ∠==所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =. （2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得BD =，由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=2512199+-⨯=，解得CD =，则3AB AD BD CD BD =+=+=. 所以AB6．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c .（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BD，且AB ⊥BD ，求BC 的长．考向五解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP △中，tan 2PCPBC BC ∠=⇒=，在ABC △中，由正弦定理得所以)21AB =，故船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：90ACD ∠=︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==百米．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离的平方．考向六三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8 在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u r uu u rABC △的面积．【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-，所以06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =u u u r，由3BD BC =uu u r uu u r，得||3BC x =uu u r ，由（1）知π6A C ==，所以|在ABD △1x =，所以3AB BC ==，典例9 ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．所以cos B 的最小值为12.8．已知()()3sin ,cos ,cos ,cos ,x x x x x ==∈R m n ，设()f x =⋅m n ．（1）求()f x 的解析式并求出它的最小正周期T ；（2）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．1．设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c ，且b =3，c =1，A =2B ，则a 的值为 A ．2√5 B ．4 C ．2√3D ．2√22．在ABC △中，AB =1，BC =2，则角C 的取值范围是 A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭3．已知ABC △的面积为S ，三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若4S =a 2−(b −c)2，bc =4，则ABC △是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定4．ABC △中，2AB =，10BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于 A 315B ．34C ．2D ．35．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为A ．B ．C ．D ．6．已知ABC △的面积为4，∠A =900，则2AB +AC 的最小值为 A ．8 B ．4 C ．8√2D ．4√27．设ABC △的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，且a =√3，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．√2D ．18． △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC 的面积为 A ．2 B ．3C ．4D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)a c a b =+-p ，(,)b a c =-q ，且∥p q ，则角C =A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π210．若ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin (C −A )=12sinB ，且b =4，则c 2−a 2=A ．10B ．8C ．7D ．411．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C D 12．平面四边形ABCD 中，∠ABC =150°，√3AB =2BC ，AC =√13，BD ⊥AB ，CD =3，则四边形ABCD 的面积为A ．7√3B ．2C ．√3+1D ．√3+213．已知△ABC A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为____________．14．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为 .15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD =___________m.16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,6,143C a b ==≤≤，则sin A 的取值范围为__________.17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =−√1010，b =√2，c =√5．（1）求a ；（2）求cos(B −A)的值．18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π2A ≠，sin 26cos sin b A A B =. （1）求a 的值；（2）若π3A =，求△ABC 周长的取值范围.19．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上，此时到达C 处．（1）求渔船甲的速度；（2）求sin α的值．21．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．22．已知函数f(x)=2cosx(cosx +√3sinx).（1）当x ∈[π24,7π12]时，求f(x)的值域；（2）在ABC △中，若f (B )=−1,BC =√3,sinB =√3sinA,求ABC △的面积.23．如图所示，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,AB BC AC CD ===，AC CD ⊥，记ABC θ∠=．（1）若45θ=︒，求对角线BD 的长度（2）当θ变化时，求对角线BD 长度的最大值．1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则bc= A ．6 B ．5 C ．4D ．32．（2018新课标全国Ⅲ文科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3πC ．4πD ．6π3．（2018年高考全国①文数）在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =A ．BCD ．4．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π35．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.6．（2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.7．（2018新课标全国Ⅰ文科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．8．（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．9．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．10．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．11．（2018年高考北京卷文数）若ABC △)222a c b +-，且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 12．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．13．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．14．（2019年高考北京卷文数）在ABC △中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B +C ）的值．15．（2019年高考天津卷文数）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．17．（2017山东文科）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-u u u r u u u r,3ABC S =△,求A 和a .1．【答案】C【解析】由题知()2cos cos cos C a B b A c +=，由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，所以()2cos sin sin C A B C +=，即2cos sin sin C C C =，所以在△ABC 中，1cos 2C =，又因为2221cos ,1,322a b c C a b ab +-====，所以c =故选C.2．【解析】（1）由正弦定理可得在△ABD 中，sin sin AD BDB BAD=∠，在△ACD 中，sin sin AD CDC CAD=∠，又因为BAD CAD ∠=∠，则sin 2sin BD CCD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==，设DC x =，则2BD x =，由余弦定理得222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =.则32BC x ==. 3．【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=Q ，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=，sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =，则△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，∵△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos 2B ∴=-由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+ 4．【解析】（1）由已知条件化简可得22()3a b c ab --=-，即222a b c ab +-=-，由余弦定理的推论，可得2221cos 22a b c C ab +-==-，2π(0,π),3C C ∈∴=Q ．（2）2π3c b C ===Q ，∴又π,,4b c B C B <∴<∴=Q ，在ABC △中，1sin sin()sin cos cos sin ()22224A B C B C B C =+=+=-+=．113sin 2244ABC S bc A ∴===△． 5．【解析】（1）1cos 2a C cb +=Q ， ∴由正弦定理得1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+Q ，1sin cos sin 2C A C ∴=， sin 0C ≠Q ，1cos 2A ∴=，又0πA <<Q ，π3A ∴=. （2）由正弦定理得sinsin a B b c A ===， ]1sin )1sin sin()L a b c B C B A B ∴=++=+=+++1π12cos 12sin 226B B B ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π2πππ5π,0,,,33666A B B ⎛⎫⎛⎫=∴∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(2,3]L ∈.故ABC △的周长L 的取值范围是(2,3].6．【解析】（1）由2cos 2a B b c +=，及正弦定理可得：2sin cos sin 2sin A B B C +=，则2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+，整理得sin 2cos sin B A B =，因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以1cos 2A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）在Rt △ABD中，2πsin sin 3BD AD A ===，则1AB ==，因为D 为AC 的中点，所以24AC AD ==，在△ABC 中，由余弦定理可得222π41241cos 133BC =+-⨯⨯⨯=，所以BC =．7．【解析】（1）在△CDE 中，3609015105150DCE ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∴1111sin150112224△CDE S CD CE =⋅⋅︒=⨯⨯⨯=（平方百米）. （2）如图，连接AB ，根据题意知，在Rt △ACD中，tan 1tan60AC DC ADC =⋅∠=⨯︒=（百米），在△BCE 中，180CBE BCE CEB ∠=︒-∠-∠1801054530=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠，得1sin 21sin 2CE CEBBC CBE⋅∠===∠，()cos15cos 6045cos60cos45sin60sin45︒=︒-︒=︒︒+︒︒4=，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，则23224AB =+-=-8．【解析】（1）由,cos ),(cos ,cos ),x x x x x ==∈R m n ，则()f x =⋅m n211π1cos cos 2cos 2sin(2)2262x x x x x x +=++=++，故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故π1()sin(2)62f x x =++，最小正周期为π．（2）因为()1f A =，所以π1sin(2)162A ++=，所以π1sin(2)62A +=，又ππ13π2(,)666A +∈，所以π5π266A +=，所以π3A =，又1,2a b c =+=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：221b c bc =+-，所以2()31b c bc +-=，所以1bc =，则1sin 24△ABC S bc A ==.1．【答案】C【解析】在△ABC 中，∵A ＝2B ，sin sin a b A B=，b ＝3，c ＝1，∴32sin cos sin a B B B=，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可得21962a a a+-=⨯，∴a = 故选C ． 2．【答案】A【解析】因为sin sin AB BC C A=，所以sinC =12sinA ，所以0<sinC ≤12，又AB <BC ，则C 必为锐角，故C ∈(0,π6]. 3．【答案】A【解析】∵4S =a 2−(b −c)2，bc =4，∴4×12bcsinA =2bc −(b 2+c 2−a 2)，可得2sinA =2−2cosA ，则sinA +cosA =1，可得sin (A +π4)=√22， ∵0<A <π，∴π4<A +π4<5π4，∴A +π4=3π4，解得A =π2.即ABC △是直角三角形. 故选A ． 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin 4A =，所以由11232242h ⨯⨯⨯=⨯，得4h =. 故选A. 5．【答案】B【解析】作出示意图如图所示，()15460km AC =⨯=，906030BAC ∠=︒-︒=︒，9015105ACB ∠=︒+︒=︒，则︒=∠45ABC .由正弦定理，可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，则)60sin 30km sin 45BC ︒==︒.所以这时船与灯塔的距离为. 故选B.6．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为4，且∠A =900，所以S =12AB ⋅AC =4，即AB ⋅AC =8，所以2AB +AC ≥2√2AB ⋅AC =2√2×8=8，当且仅当AB =2,AC =4时取得等号，所以2AB +AC 的最小值为8. 故选A ． 7．【答案】D【解析】因为(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，所以(b +c)2−a 2=3bc ，即b 2+c 2−a 2=bc ，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=12,A ∈(0,π)，所以A =π3，因为a =√3，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==. 故选D ． 8．【答案】A【解析】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-，解得：a =，222cos 22b c a A bc +-∴===，sin 2A ∴==，11sin 42222△ABC S bc A ∴==⨯=.故选A. 9．【答案】C【解析】222()()()∥a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-p q ，由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅，所以1πcos ,(0,π)23C C C =∈⇒=. 故选C ． 10．【答案】B【解析】由题意知sin (C −A )=12sinB =12sin (A +C ),即2sinCcosA −2cosCsinA =sinAcosC +cosAsinC ，即sinCcosA =3sinAcosC ，由正弦定理和余弦定理得：c ⋅b 2+c 2−a 22bc=3a ⋅a 2+b 2−c 22ab，即b 2+c 2−a 2=3a 2+3b 2−3c 2，即4c 2−4a 2=2b 2=2×16=32，则c 2−a 2=8. 故选B ． 11．【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224+⨯=，故选D ． 12．【答案】B【解析】如图，因为√3AB =2BC ，所以设AB =2x,BC =√3x ，又∠ABC =150°，AC =√13，所以由AC 2=AB 2+BC 2−2AB •BC •cos∠ABC ，得13=4x 2+3x 2−4√3x 2cos150∘=13x 2，所以x =1，所以AB =2,BC =√3，又BD ⊥AB ，所以∠DBC =60°，由余弦定理可得，CD 2=BD 2+BC 2−2BD •BC •cos∠DBC ，可得9=BD 2+3−√3BD ，解得BD =2√3，故11sin6022△△四边形ABD CBD ABCD S S S AB BD BC BD =+=⋅+⋅︒11222=⨯⨯= 故选B.13．1【解析】由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C====sin 60a∴=o，解得：3a =，由余弦定理可得：22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得：1c =1-，1c ∴=.14．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 24S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤∴ADC △的面积的最大值为 15．【答案】6100【解析】依题意，ο30=∠BAC ，ο105=∠ABC ，在ABC △中，由ο180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，得ο45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得οο30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m. 在Rt BCD △中，因为ο30=∠CBD，BC =，所以230030tan CDBC CD ==ο，所以6100=CD m.16．【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】∵π,6,143C a b ==≤≤， ∴由余弦定理可得：()22222366327=+-=+-=-+c a b ab b b b ， ∴()[]2232727,31=-+∈c b ，∴⎡∈⎣c ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得6·sin 2sin ,131a C A cc c ⎡⎤===∈⎢⎥⎣⎦．故答案为⎤⎥⎣⎦． 17．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =2+5−2×√2×√5×(−√1010)=9，解得a =3．（2）在ABC △中，由cosA =−√1010得A ∈(π2,π)，∴sinA =√1−cos 2A =√1010=3√1010，在ABC △中，由正弦定理得asinA=bsinB，即sin B =， ∴sinB =√55，又A ∈(π2,π)，故B ∈(0,π2)， ∴cosB =2B =1−(√55)=2√55，∴cos(B −A)=cosBcosA +sinBsinA =2√55×(−√1010)+√55×3√1010=√210． 18．【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =.（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==，则△ABC 的周长为：2π33sin()3a b c B C B B ++=++=++-3π3sin cos 36sin 226B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，又因为2π(0,)3B ∈，所以ππ5π(,)666B +∈，则π1sin (,1]62B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.从而π36sin (6,9]6B ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 因此△ABC 周长的取值范围是(]6,9.19．【解析】（1）∵∥m n ，∴sin cos b A B =，由正弦定理，得sin sin cos B A A B =，∵sin 0A >，∴sin B B =，即tan B =∵0πB <<，∴（212ac =，解得4ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得221422a c ac =+-⨯2()3a c ac =+-2()12a c =+-，故4a c +=．20．【解析】（1）依题意得，120BAC ∠=︒，18AB =，15230AC =⨯=，BCA α∠=．在ABC △中由余弦定理可得2222cos 1764BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，所以42BC =，所以渔船甲的速度为212BC=海里/小时．（2）在ABC △中，18AB =，120BAC ∠=︒，BC =42，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin 120AB BCα=︒，所以18sin 1202sin 4214AB BCα⋅︒===． 21．【解析】（1）由题意得，由正弦定理得，即B C A 2sin )sin(=+，所以B B 2sin sin =．又在ABC △中，则B B 2=或2πB B +=，因为0πB <<，所以π3B =. （2）因为π3B =，所以2π3AC +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-π1)3A =-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤，所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-+ ⎝． 22．【解析】（1）f(x)=2[√32sin2x +12(cos2x +1)] =2sin(2x +π6)+1.∵x ∈[π24,7π12]，∴2x +π6∈[π4,4π3].当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值3；当2x +π6=4π3，即x =7π12时，f(x)取得最小值1−√3，故f(x)的值域为[1-√3，3].（2）设ABC △中A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.cos cos 2cos a C c A b B +=2sin cos 2cos sin 4sin cos R A C R A C R B B +=131cos 2cos 2212cos 222A A A A A=--=-∵f(B)=−1,∴sin(2B +π6)=−1 . ∵0<B <π,即π6<2B +π6<2π+π6.∴2B +π6=32π,得B =23π.又∵BC =√3，即a =√3,sinB =√3sinA,即b =√3a,∴b =3. 易得sinA =12.∵0<A <π3，∴A =π6，∴C =π6. ∴S ΔABC =12absinC =12×√3×3×12=3√34.23．【解析】（1）在ABC △中，∵1,45AB BC ABC ==∠=︒，∴由余弦定理可得:2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴1AC =，则ABC △为等腰直角三角形， ∴135BCD ∠=°，在△BCD 中，1,135BC CD AC BCD ===∠=︒ ，由余弦定理可得:2222cos 5BD BC CD CD BC BCD =+-⋅⋅∠=，∴BD =（2）在ABC △中，∵1,AB BC ABC θ==∠=，∴由余弦定理可得:2222cos 3AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-，又由正弦定理可得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，即1sin ACB =∠∴sinACB ∠=∴π()cos cos sin2BCD ACB ACB ∠=+∠=-∠=在△BCD 中，BC CD AC ===由余弦定理可得2222cos 5sin cos )BD BC CD CD BC BCD θθ=+-⋅⋅∠=+-=(π54in )s 4θ+-，∴当3π4θ=时，()2max9BD=，则max 3BD =．1．【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=. 故选A ．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 的关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 2．【答案】C【解析】由题可知S △ABC =12absinC =a 2+b 2−c 24，所以a 2+b 2−c 2=2absinC ，由余弦定理a 2+b 2−c 2=2abcosC ，得sinC =cosC ，因为C ∈(0,π)，所以C =π4，故选C. 3．【答案】A 【解析】因为cos25C =，所以cos C =22cos 2C −1=2×2()5−1=35-.于是，在ABC △中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC × BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查. 4．【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =，即1sin 2C =，因为c <a ，所以C<A ，所以π6C =，故选B ．【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 5．【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈πQ ，sin 0,A ∴≠ ∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角． 6．【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B =o ，则18075A B C =--=o o .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.7．【答案】2√33【解析】根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC +sinCsinB =4sinAsinBsinC ，即sinA =12，结合余弦定理可得2bccosA =8，所以A 为锐角，且cosA =√32，从而求得bc =8√33，所以ABC △的面积为S =12bcsinA =12×8√33×12=2√33，故答案是2√33.8．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.9．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c . 10．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c+=，因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.11．【答案】60︒，()2,+∞【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B =+-=Q △，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin πcos 3B B B ∴=∠=，则2π1sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A A c C a A A A A ⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∠Q 为钝角，ππ,036B A ∠=∴<∠<，)1tan ,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,c a∈+∞. 故答案为60︒，()2,+∞.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角πA B C ++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.12【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 44DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCDcos BDC ∠=．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．13．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=．因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=．由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，ABC S <<△．因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.14．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-．解得5c =．所以7b =．（2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin a A B b == 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +== 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a c b B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．16．【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c = （2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.17．【解析】因为6AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<，所以3π4A =，又3b =，所以c =。

高考第二轮复习利用正余弦定理解三角形课件

π ∵C∈(0，π)，∴C＝ 3 . (2)由(1)及余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝21，又 c＝2 3，∴a2＋b2－12＝ab， ∴(a＋b)2－12＝3ab≤3a＋2 b2，即(a＋b)2≤48(当且仅当 a＝b＝2 3时等号成立)． ∴△ABC 周长的最大值为 6 3.
【解析】 ∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， ∴由正弦定理得 sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又 sin Bsin C＞0，∴sin A＝21. 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝28bc＝b4c＞0，
∴cos A＝ 23，bc＝co4s A＝833，
【解析】 (1)根据正弦定理，由已知得 (sin A－2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0. 即 sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos C， ∴sin(A＋C)＝2sin Bcos C， ∵A＋C＝π－B，∴sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B＞0， ∴sin B＝2sin Bcos C，∴cos C＝12.
【解析】 (1)方法一：由 2ccos B＝2a＋b 及余弦定理，得 2c·a2＋2ca2c－b2＝2a＋b，
得 a2＋c2－b2＝2a2＋ab，即 a2＋b2－c2＝－ab， ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－2aabb＝－21，又 0＜C＜π，∴C＝23π.
方法二：∵sina A＝sinb B＝sinc C， ∴由已知可得 2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，则有 2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B， ∴2sin Bcos C＋sin B＝0， ∵B 为三角形的内角，∴sin B≠0，∴cos C＝－12. ∵C 为三角形的内角，∴C＝2π 3 .

2024年高考数学专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题(练习)(原卷版)

01 倍长定比分线模型
1．（2023·四川成都·统考一模）在 VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 B = π , AB = 2, M 是 3
BC 的中点， AM = 2 3 ，则 AC =
， cos ÐMAC =
.
2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在① 3b - 3c cos A = a sin C ，②
b
+
c
=
2a
sin
æ çè
C
+
π 6
ö ÷ø
．
(1)求 A；
(2)若 a = 2
3
，
uuur BA
×
uuur CA
=
3 2
，
Ð
BAC
的角平分线交
BC
于点
D，求
AD
的长．
13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形 ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a，b，c．已知
a sin A + C = b sin B + C ， a = 7 ．
（2）若 b2 + c2 = 2aR cos A + a2 ，求 tan A + tan B + tan C 的最小值．
19．（多选题）（2023·湖北咸宁·高三统考期末） VABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且
VABC ， BC = 6,sin B = 1 sin C ，当 VABC 的面积最大时，则 AC 的长为
.
2
16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其

2020届高考数学(理)二轮高分冲刺专题四：三角函数、解三角形(12)正、余弦定理及其应用举例(B)+Word

三角函数、解三角形（12）正、余弦定理及其应用举例（B ）1、在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A. 10,45,70b A C =∠=︒∠=︒ B. 30,25,150a b A ==∠=o C. 7,8,98a b A ==∠=︒ D. 14,16,45a b A ==∠=︒2、在ABC ∆中,已知42,3, .5AC BC cos A ===-则sinB 的值为( ) A. 1B.35 C. 12D. 253、ABC ∆为钝角三角形,3,4,,a b c x C ===为钝角,则x 的取值范围是( )A. 5x <B. 57x <<C. 15x <<D. 17x <<4、有关正弦定理的叙述:①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于钝角三角形;③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值;④在ABC ∆中, ::::sinA sinB sinC a b c =. 其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.45、在等腰的底角的正弦与余弦的和为,则它的顶角是( )A.或B.或C.D.6、ABC ∆中的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B = ( )A.34B.3C. 4D.147、在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且222222c a b ab =++,则ABC ∆是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形8、ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ,若a=2b ,2A B =,则cos B = ( )A.3B.4C.59、在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2b c =,且a =7cos 8A =,则ABC ∆的面积等于( ) A. 3B. 210、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别是222A B C ∆的三个内角的正弦值,则( )A. 111A B C ∆与222A B C ∆都是锐角三角形B. 111A B C ∆是钝角三角形, 222A B C ∆是锐角三角形C.111A B C ∆是锐角三角形, 222A B C ∆是钝角三角形D. 111A B C ∆与222A B C ∆都是钝角三角形11、在ABC ∆,D 为BC 边上一点, 3BC BD =,2AD =,135ADB ∠=o .若2AC AB =,则BD = .12、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若2,2a b ==,sin cos 2B B +=,则角A 的大小为.13、在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2cos cos cos b B a C c A =+,且23b ac =,则角A 的大小为 .14、如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A 和B ,望对岸的标记物C ,测得30CAB ∠=o ,75CBA ∠=︒,12AB m =米,则河的宽度为__________.15、已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 23sin B C Ab c += （1）求b 的值；（2）若cos 32B B =，求a c +的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D 解析：A 中已知两角与一边,有唯一解;B 中, a b >,且1?50A ∠=︒,也有唯一解;C 中b a >,且98A ∠=︒为钝角,故解不存在;D 中由于· 45,b sin a b ︒<<故有两解.2答案及解析：答案：D 解析：在ABC ∆中2243 1cos 155sin A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭,∵sin sin BC AC A B =, ∴232·355AC sinB sinA BC ==⨯=3答案及解析：答案：B 解析：由已知条件可知34x <+且22234,57.x x +<∴<<4答案及解析：答案：B 解析：正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B.5答案及解析：答案： A解析：由题意,,两边平方,得,设顶角为,则,∴,∴或6答案及解析：答案：A解析：∵a 、b 、c 成等比数列且2c a =,∴222b ac a ==,∴b =.由余弦定理的推论可得2223cos 24a cb B ac +-==. 故选A.7答案及解析：答案：A解析：由222222c a b ab =++,得22212a b c ab +-=-,∴22112cos 0224aba b c C ab ab -+-===-<,∴90180C ︒<<︒,即三角形为钝角三角形,故选A.8答案及解析：答案：B解析：由正弦定理得sin sin a A b B=,所以2a =可化为sin sin 2A B =.又2A B =,所以sin 2sin 2B B =,所以cos 4B =.9答案及解析：答案：D解析：由余弦定理,得2222cos a b c bc A =+-. 把2b c =,a =,得22764228c c c c =+-⋅⋅⋅, 解得2c =.∴4b =. ∵7cos 8A =,∴sin 8A =,∴1sin 2ABC S bc A ∆==.10答案及解析：答案：C 解析：11答案及解析：答案：2解析：如图,设,,AB c AC bBC a ===,则由题设可知13BD a =,23CD a =,所以根据余弦定理可得()22222222cos 4533b a a ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭o ,()22211222cos13532c a a ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭o ,由题意知2b c =,可解得635a =+,所以1253BD a ==+.12答案及解析：答案：6π解析：由sin cos 224B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以4B π=.由正弦定理sin sin a bA B =得2sin sin 14sin 22a B A bπ===,所以π6A =或56A π= (舍去).13答案及解析：答案：12π或712π 解析：14答案及解析：答案：60m解析：利用正弦定理: ()sin 30sin 1803075AB BC=--o o o o,所以sin 30sin 75AB BC =o o , ∴河的宽度sin 30sin 75sin 75sin 75AB h BC ==⋅o oo o()1sin 3012060m 2AB ==⨯=o .15答案及解析：答案：（1）由正弦定理得cos cos 23B C ab c +=2222222322a c b a b c a abc abc +-+-+=，化简得23b =3b =.（2）由cos 2B B +=可得1cos 12B B +=，即πsin()16B +=，又(0,π)B ∈，解得π3B =.由正弦定理得1sin sin sin a b c A B C ====，故sin ,sin a A c C ==.所以sin sin sin sin()sin cos cos sin a c A C A A B A B A B +=+=++=+3πsin )26A A A =++.又2π(0,)3A ∈，所以 ππ5ππ1(,)sin()(,1]66662A A +∈+∈，，所以a c +∈.解析：。

正余弦定理妙解三角形问题和最值问题(讲义)(原卷版)-2024年高考数学二轮复习讲练测(新教材高考)

正三角形的面积依次为 S1 ， S2 ， S3 ．已知 S1 S2 S3
3 ， sin B 1 ．
2
3
（1）求 ABC 的面积；
（2）若 sin Asin C 2 ，求 b ． 3
10．（2022•乙卷）记 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 sin C sin( A B) sin B sin(C A) ．（1）证明： 2a2 b2 c2 ；（2）若 a 5 ， cos A 25 ，求 ABC 的周长．
．．
6．（2021•乙卷）记 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，面积为 3 ， B 60 ，a2 c2 3ac ，则b ．
7 ．（ 2021 • 浙江）在 ABC 中， B 60 ， AB 2 ， M 是 BC 的中点， AM 2 3 ，则 AC
知 AB ∥ DC ，且 DC c ， AD (1 ) AP ． BAC ACD 180 ．
例 1．（2023·河南安阳·高三统考期末）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2 b2 c2 ab ，且 AB 边上的中线 CD 1，则 ABC 面积的最大值为（）
图，点 E ，H ，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， EG 称为“表距”， GC 和 EH 都称为“表目距”， GC 与 EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 AB (
)
A．表高表距表高表目距的差
B．表高表距表高表目距的差
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高考数学题型全归纳：正余弦定理在解决三角形问题中的应用(含答案)

正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若a 2tanB=b 2tanA ；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2Bcos B sin = (2RsinB)2Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB sin2A=sin2B2cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0,∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC 是直角三角形. (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解：(sinA + sinB + sinC)– (cosA + cosB + cosC)=1[2sin2BA cos2BA + sin(A + B)] – [2cos2BA cos2BA + 2cos22C -1]=0[2sin2BA cos2BA + sin(A + B)] – 2cos2BA cos2BA -2sin22BA =0(sin 2B A - cos 2B A )(cos2BA - sin2BA )=0sin(2BA -4)sin4BC Asin4CB A=0△ABC 是Rt △。

二、三角形中的求角或求边长问题例2、△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 是等边三角形（如图1）。

设∠FEC=α，问sin α为何值时，△DEF 的边长最短？并求出最短边的长。

图 1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。