2020届新高考数学二轮微专题突破专题02 运用正余弦定理解决三角形问题(原卷版)

专题02

运用正余弦定理解决三角形问题

一、题型选讲

题型一 正余弦定理在三角形中的运用

正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。 例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5

A =

，5

cos 13

ACB ∠=

，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．

例2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →

＝50.

(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．

A

B C D

题型二运用正余弦定理解决边角问题

正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。

例3、（2019年江苏卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若a=3c，b，cos B=2

3

，求c的值；

（2）若sin cos

2

A B

a b

=，求sin()

2

B

π

+的值．

题型三、运用正余弦定理研究三角形中有关的范围

无论是在利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，还是利用三角恒等式消元的过程中都需要有较强的目标意识．本题通过不同角度的消元将问题转化为利用基本不等式求最值的问题进行解决．由目标式的结构则容易联想利用斜三角形中的恒等式tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C将问题作进一步处理

例4、(2019无锡期末）在锐角三角形ABC 中，已知2sin2A＋sin2B ＝2sin2C，则

1

tan A＋

1

tan B＋

1

tan C的

最小值为________．

题型四、正余弦定理与向量的结合

三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇．不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求

例5、(2019无锡期末）在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向量 m ＝ (a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .

(1)求角 C 的大小；

(2)若 c ＝ 3, 求 △ABC 的周长的取值范围．

二、达标训练

1、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．

2、(2019南京学情调研）已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cos A ＝－14

，则BC 的长为________．

3、(2017南京、盐城一模） 在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →

的最大值为________．

4、(2016盐城三模） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满

足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1

tan B 的取值范围是________．

5、(2016徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π

4

，tan ∠ADC ＝－2. (1) 求CD 的长； (2) 求△BCD 的面积．

6、(2019镇江期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B.

(1) 求cos B 的值；

(2)若|CA →－CB →

|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.

7、(2018常州期末）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且3b sin C ＝c cos B ＋c.

(1) 求角B 的大小；

(2) 若b 2＝ac ，求1tan A ＋1

tan C 的值．

8、(2016扬州期末）已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω>0)的周期为π.

(1) 当x ∈⎣⎡⎦

⎤0，π

2时，求函数f (x )的值域； (2) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f （A

2）＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△

ABC 的面积．