基本图像变换

正反傅里叶变换都是可分离和对称的：
h(x, y,u,v)
1 exp[ j2ux / N]
N
1 N
exp[
j2vy /
N]
h1 ( x, u)h1 (v,
y)
3.1.2 傅里叶变换定理
设f(x,y)和F(u,v)构成一对变换，即 f (x, y) F(u, v)
则有以下一些定理成立： 1.平移定理
| F (u, v) | [R2 (u, v) I 2 (u, v)]1/2
(u, v) arctan[I (u, v) / R(u, v)]
P(u, v) | F (u, v) |2 R2 (u, v) I 2 (u, v)
其中，R(u, v)和I(u, v)分别为F(u, v)的实部和虚部
以一维离散傅立叶变换为例，要完成整个变换需要N2 次乘法和N(N-1)次加法。而整个快速傅立叶变换需要 log2N*N/2次复数乘法和log2N*N/2此复数加法，N越大，快 速算法的优越性越显著。
3.2 离散余弦变换（DCT）
离散余弦变换（DCT）在图像压缩编码中得到广泛应 用，它是国际静止图像压缩标准JPEG的基础，也是国际序 列图像压缩标准MPEG-1和MPEG-2中采用的变换方法。
1.可分性 2. 线性 3. 共轭对称性 4. 旋转性
5. 比例变换特性 6. 帕斯维尔定理（能量保持定理）
7. 相关定理
8. 卷积定理
1. 可分性
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
f (x, y)e e j2ux j2vydxdy
[
自动化工程学院电子工程系教研室 王汉萍 主讲
第3章 图像变换
数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理 法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理 中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严 格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。 在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图 像增强、图像复原、图像编码等处理中。
|2
dudv
说明变换前后不损失能量。
7. 相关定理
f (x) g(x) f ( )g(x )d
f (x, y) g(x, y) f (, )g(x , y )dd
3.1 傅里叶变换
傅里叶变换是可分离和正交变换中的一个特例，对图 像的傅里叶变换将图像从图像空间变换到频率空间，从而 可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。
3.3 Hough 变换
在数字图像处理中，Hough变换属于特征提取技术， 它由Paul Hough于1962年提出，最初只是用于二值图像直 线检测，后来扩展到任意形状的检测，现在常用的变换技 术称作广义Hough变换，1981年被Danna H.Ballard扩展后 应用到计算机视觉领域。
3.1 傅立叶变换
3.2 离散余弦变换
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一 些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的 加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转 换方法就被称为图像变换技术。
一个2-D离散函数的平均值可用下式表示：
1 N 1 N 1
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f (x, y)
f (x, y)
N2 x0 y0
F (0,0)
1
N 1 N 1
f (x, y)
N x0 y0
比较以上两式：
f (x, y) 1 F(0,0) N
2-D离散函数傅里叶变换的频谱（幅度函数）、相位角、
和功率谱（频谱的平方）定义如下：
C(u) a(u)exp[ ju /(2N)][g(x)] u 0,1,2, , N 1
其中，g(x)表示对f(x)的如下重排：
g(
x)
f
(2x)
f
[2( N
1
x)
1]
x 0,1,2, , N 1 2
x N , ,N 1 2
可见，g(x)的前半部分是f(x)的偶数项，后半部分是 f(x)奇数项的逆排。可以将N点离散余弦变换的计算转化 为对N点离散傅里叶变换计算。
f (x, y)e j2uxdx]e j2vydy
y{x[ f (x, y)]}
该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶
变换实现
2. 线性
[a1 f1(x, y) a2 f2 (x, y)] a1[ f1(x, y)] a2[ f2 (x, y)]
3. 共轭对称性
F (u, v) F *(u,v)
1.变换的定义
1-D离散余弦变换和其反变换的定义：
C(u)
N 1
a(u)
u0
f
(x)
cos
2
x 1ux
2N
f
(x)
N 1
a(u)C(u)
u0
cos
2
x 1ux
2N
其中，a(u)为归一化加权系数，由下式定义：
a(u)
1/ N
2 / N
当u 0 当u 1,2, , N 1
2-D离散余弦变换和其反变换定义：
2. 旋转定理
借助极坐标 x r cos, y r sin,u cos,v sin
将f(x,y)和F(u,v)转换为 f (r, ) 和F(,)
f (r, 0 ) F (, 0 )
由上式可知，对f(x,y)旋转 0相当于将其傅里叶变换
F(u,v)也旋转 0；对F(u,v)旋转 0 相当于将其傅里叶反变 换f(x,y)旋转 0 。 3. 尺度定理 af (x, y) aF(u, v)
u, v 0,1,2, , N 1 x, y 0,1,2, , N 1
h(x, y,u, v) 和 k(x, y,u, v) 分别称为正向变换
核和反向变换核。
如果，下式成立：
h(x, y,u, v) h1(x,u)h2 ( y, v)
则称正向变换核是可分离的。如果h1 和h2的函数形
式一样，则称正向变换核是对称的。
8. 相关定理
f (x, y) • g(x, y F (u, v)G(u, v) f (x, y)g(x, y F(u, v) • G(u, v)
3.1.3 快速傅里叶变换
快速傅立叶变换简称为FFT。算法根据分解特点一般 有两类：一类是按时间分解，一类是按频率分解。
FFT运算蝶式流程图（阮秋琦《数字图像处理学》） 关于快速算法的结论
y0
然后，沿f(x,y)的每一行进行1-D变换得到：
N 1
T (u,v) T (x,v)h1(x,u) x0
Y
V
u,v 0,1,2, , N 1
V
f(x,y)
列变换
行变换 T(x,v)
(0,0) (N-1) X
(0,0) (N-1) X
T(u,v) (0,0) (N-1) U
二、正交变换
当h(x,y,u,v)是可分离和对称的函数时，公式
BTB BAFAB
如果B=A-1,则：F BTB
如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：Fˆ BAFAB
利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解 成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余 和操作次数。
在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应 的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩 阵，相应的变换为正交变换。
f (x a, y b) exp[ j2 (au bv)]F (u, v) F(u c, v d ) exp[ j2 (cx dy)] f (x, y)
由上式可知，f(x,y)在空间平移相当于把其变换在频 域与一个指数项相乘；将f(x,y)在空间与一个指数项相乘
相当于把其变换在频域平移。并且对f(x,y)的平移不影响 其傅里叶变换的幅值。
3.1.1 2-D 离散傅里叶变换（DFT）
F(u,v)
1
N 1 N 1
f (x, y) exp[ j2 (ux vy) / N]
N x0 y0
f (x, y)
1
N 1 N 1
F(u,v) exp[
j2 (ux vy) / N]
N u0 v0
u,v 0,1,2, N 1 x, y 0,1,2, N 1
f (x) 1 F ()e jxdx
2
二维连续傅立叶变换
如果f(x,y)满足狄利赫莱条件，那么存在下面二维傅
立叶变换对：
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
连续傅立叶变换的性质
（相似定理） f (ax,by) 1 F (u , v )
| ab | a b
上式表明，对f(x,y)在幅度方面的尺度变化导致对其 傅里叶变换F(u,v)在幅度方面的相应尺度变化；对f(x,y) 在空间尺度方面的放缩则导致对其傅里叶变换F(u,v)在频
域尺度方面的相反放缩。而且会导致幅度的变化。
4. 剪切定理
N 1
f (x) T(u)k(x,u) u0
x 0,1,2, , N 1
k(x,u)称为反向变换核。
2. 2-D可分离变换
N 1 N 1
T (u, v) f (x, y)h(x, y,u, v) x0 y0
N 1 N 1
f (x, y) T (u,v)k(x, y,u,v) u0 v0
对于数字图像而言，DFT的重要意义在于，在数学上 建立了阵列与阵列的一一对应关系，而且这个变换具有一 系列重要性质，这些数学性质在物理实现上又有重要的应 用价值，并且有快速算法，这些算法固化在器件上，也可 以通过光学器件实现。傅立叶变换在图像的高、低通滤波、 噪声滤波、选择性滤波、压缩和增强中有着广泛的应用。
3. 2-D可分离变换的计算
N 1 N 1
T (u,v) f (x, y)h1(x,u)h2 ( y,v) x0 y0
u,v 0,1,2, , N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
N 1
T (x,v) f (x, y)h2 ( y,v)
x,v 0,1,2, , N 1
G(u,v) 1 exp{ j2 [(ec bf )u (af cd)v]}F(eu dv , bu av)
||
其中行列式 为：
a d
b e ae bd
7. 卷积定理
f (x, y) g(x, y) F (u, v)G(u, v) f (x, y)g(x, y) F (u, v) G(u, v)
Cu,v
N 1
a(u)a(v)
N 1
f
x,
y cos
2x
1u
cos
2 y
1v
x0 y0
2N 2N
u, v 0,1, , N 1
f
(x,
y)
N 1
N 1
a(u)a(v)C(u, v)
cos
2x
1u
cos
2 y
1v
u0 v0
2N 2N
x, y 0,1, , N 1
2. 变换的计算 离散余弦变换可以利用傅立叶变换的实部计算来实现：
对连续傅立叶变换的复习
若f(x)满足狄利赫莱条件，则存在f(x)的傅立叶变换： I. 具有有限个间断点 II. 具有有限个极值点 狄利赫莱条件 III. 绝对可积
一维连续傅立叶变换
F (u) f (x)e j2uxdx
f (x) F (u)e j2uxdu
令ω=2πu，则有
F () f (x)e jxdx
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为 正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或 逆变换。
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1
T (u) f (x)h(x,u) x0
u 0,1,2, , N 1
T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反变
换可以表示为：
f (x by, y) F (u, v bu) f (x, dx y) F (u dv, v)
5. 组合剪切定理 f (x by, dx y) 1 F(u dv , bu v) |1 bd | 1 bd 1 bd
组合剪切的坐标变换：
x'
1 d
b 1
x
6. 仿射定理
g(x, y) f (ax by c, dx ey f )
4. 旋转性
f (r, 0) F(, 0)
5. 比例变换特性
af (x, y) aF(u, v) f (ax,by) 1 F (u , v )
| ab | a b
6. 帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理）
|
f (x, y) |2e j2 (uxvy)dxdy
|
F
(u,
v)
N 1 N 1
T (u, v) f (x, y)h(x, y,u, v) x0 y0
u, v 0,1,2, , N 1
可写为矩阵形式
其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素
为 aij h1 (i, j)
，T是输出的N*N变换结果。为了得到反变 T AFA
换，对上式 T AFA两边各乘一个反变换矩阵B: