6.3 图的表示和图的同构

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判断平面图形的同构与全等

判断平面图形的同构与全等在几何学中，我们经常需要判断两个平面图形是否同构或全等。

同构和全等是图形的重要性质，通过判断两个图形是否同构或全等，可以帮助我们解决各种几何问题。

本文将介绍判断平面图形同构和全等的方法和要点。

一、同构图形的判断同构是指两个图形之间存在一种对应关系，使得对应部分的边长比例相等，对应角度相等。

要判断两个平面图形是否同构，一般可以通过以下步骤进行：1. 判断两个图形的边长比例是否相等。

将两个图形的对应边长进行比较，如果比例相等，则说明两个图形具有同构的可能性。

2. 判断两个图形的对应角度是否相等。

将两个图形的对应角度进行比较，如果相等，则说明两个图形的角度关系也一致，进一步强化了同构的可能性。

3. 利用边长比例和角度关系，逐步构建两个图形的对应关系。

根据已知信息，寻找对应的边或角，利用已知的边长比例和角度关系，推导出其他对应部分的边长和角度。

4. 对比两个图形的对应边和角，重新确定适当的对应关系。

通过对已知和推导得出的对应边与对应角进行综合判断，最终确定两个图形是否同构。

二、全等图形的判断与同构不同，全等是指两个图形在形状和大小上完全相等，即对应边长相等，对应角度相等。

要判断两个平面图形是否全等，可以考虑以下步骤：1. 判断两个图形的对应边长是否全部相等。

如果所有对应边长都相等，那么说明两个图形的对应边关系满足全等的条件。

2. 判断两个图形的对应角度是否全部相等。

如果所有对应角度也相等，那么就进一步证明了两个图形的对应角关系满足全等的条件。

3. 对比两个图形的其他对应关系。

在已知对应边长和对应角度相等的基础上，还可以进一步研究其他对应关系，如斜边、高、面积等，以得出更强的全等结论。

综上所述，要判断平面图形的同构与全等，我们需要比较图形的边长比例、对应角度和其他对应关系。

通过不断推导和比较，可以得出最终的结论。

判断同构和全等图形的过程需要严密的推理和准确的计算，具体问题具体分析，熟练掌握相关知识和方法，才能做出正确判断。

图的同构分类

图同构
,定义
性质：自反、对称、传递必要条件：
I度数列相等
-10.3图与子图及其分类
定义10.5
设G为n阶无向简单图，若G中每一对结点间都有边相连，则称G为n阶无向完全图，
简称n阶完全图，记作K（（n>=1）o设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余
的n-1个顶点，则称D是n阶有向完全图。设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向完全图，则称D是n阶竞赛图。
、定义10.7 /
设图G=<V, E>,如果有图（；=（广£），且（； =（，".£'），则称G'为图G的子图。G为G，的母图，记作。又若Lu厂或E'uE，则称G'为G的真子图。若厂'=厂，则称G'为G的生成子图。
例 10.4
求
图10.16生成子图。
解：图10.16的生成子图如下
图10.16求生成子图
-图的分类及运算
-10.2图的同构
定义10.4
设图G=〈V, E〉及G,=<V,, E'〉。若存在一一映射
寸"/匚服七)* 且e=(vi, vj)(或〈vi, vj〉)是。的一条边，
当且仅当迎=(M, )•,«： )) 的点集和边集的重数相等，则
)•、".)〉：是G，的一条边，当且仅当所对应
称G与G，同构，记作G三3
O O-------O
图10.14 0-正则、1-正则、2-正则、3-正则
-10.3图与子图及其分类
补图：给定一个图G,由G中所有的结点，以及能使G成为完全图的所有添加边所组成的图, 称为G相对于完全图的补图，简称为G的补图，记为&。

图论----同构图（详解）

图论----同构图（详解）图论当中的术语，假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在⼀个双射m：V→V1，使得对所有的x,y∈V均有xy∈E等价于m(x)m(y)∈E1，则称G和G1是同构的,这样的⼀个映射m称之为⼀个同构，如果G=G1，则称他为⼀个⾃同构。

简单来说，同构图的结点数必须相同，结构必须相同。

如图3.6，第⼀个图形和第⼆个图形的区别在于环的数量。

第⼀个图形为⼀个环，第⼆个为两个环，所以不是同构图。

若删去z1和u1，删去v1和w1，连接z1和w1，成为⼀个v1u1的链和z1w1x1y1的环，依旧不是同构图，因为必须环数相同，链数相同。

但这还是缺少⼀个条件，⽐如图形A存在两个环a1和a2，a1有3个结点，a2有5个结点，图形B也有两个环，b1有4个结点，b2有4个结点，依旧不是同构图，这⾥的条件就是环上或链上的借点数相同，和结点顺序⽆关。

引⼊例题，，判断两次组成的图形是否是同构图。

思路之⼀：通过并查集确定环数/链数，和环内/链内的⼈数，再排序进⾏⽐较。

排序时按照⼈数排序，若⼈数相同要按照状态排序。

注意这⼏点或许会⽐较容易过。

请先⾃⼰进⾏尝试，尝试后再参考代码。

1 #include<iostream>2 #include<cstring>3 #include<cstdio>4 #include<math.h>5 #include<vector>6 #include<algorithm>7 #include<queue>8 #include<set>9using namespace std;10int pre[10100];11struct e{12int a,b;13 };14 e s1[10010];15 e s2[10010];16int find(int x)17 {18while(x!=pre[x])19 x=pre[x];20return x;21 }22int cmp(e a,e b){23if(a.a==b.a) return a.b>b.b;24else return a.a>b.a;25 }26void init(int n)27 {28for(int i=1;i<=n;i++)29 pre[i]=i;30 }31int main()32 {33int t,cas=1;;34 scanf("%d",&t);35while(t--)36 {37for(int i=1;i<10010;i++)38 {39 s1[i].a=1;s1[i].b=0;40 s2[i].a=1;s2[i].b=0;//最开始每个都是独⽴的，默认为链41 }42bool flag=false;43int n1,m1,n2,m2;444445 scanf("%d%d",&n1,&m1);46 init(n1);47for(int i=0;i<m1;i++)48 {49int a,b;50 scanf("%d%d",&a,&b);51int dx=find(a);52int dy=find(b);53if(dx!=dy)54 {55 pre[dx]=dy;56 s1[dy].a+=s1[dx].a;57 s1[dx].a=0;//把拉⼿的孩⼦数量加起来，下同58 }59else s1[dy].b=1;//成环60 }6162 scanf("%d%d",&n2,&m2);63 init(n2);64for(int i=0;i<m2;i++)65 {66int a,b;67 scanf("%d%d",&a,&b);68int dx=find(a);69int dy=find(b);70if(dx!=dy)71 {72 pre[dx]=dy;73 s2[dy].a+=s2[dx].a;74 s2[dx].a=0;75 }76else s2[dy].b=1;77 }78if(n1==n2){7980 sort(s1+1,s1+n1+1,cmp);81 sort(s2+1,s2+n2+1,cmp);//排序，若孩⼦的数量相同则对是否是环进⾏排序，这⾥要注意8283for(int i=0;i<n1;i++)84if(s1[i].a!=s2[i].a||s1[i].b!=s2[i].b) {//判断数量，状态85 flag=true;86break;87 }88 }89if(n1!=n2) flag=true;9091if(flag) printf("Case #%d: NO\n",cas++);92else printf("Case #%d: YES\n",cas++);93 }94return0;95 }。

图论中的图的同构与同构问题

图论中的图的同构与同构问题在图论中，同构是一个重要的概念。

图的同构指的是两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。

而图的同构问题则是判断两个给定的图是否同构的问题。

本文将详细探讨图的同构与同构问题。

一、图的同构图的同构是指两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。

为了更好地理解图的同构，我们先来了解一些基本概念。

1.1 图的定义在图论中，图由节点（也称为顶点）和边组成。

通常用G=(V, E)来表示一个图，其中V是节点（顶点）的集合，E是边的集合。

边可以用有序或无序对(u, v)来表示，表示节点u和v之间存在一条边。

1.2 同构图的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，如果存在一一对应关系f: V1→V2，使得对于每条边(u, v)∈E1，有(f(u), f(v))∈E2，则称图G1与G2同构。

其中，f被成为同构映射。

二、图的同构问题图的同构问题是判断两个给定的图是否同构的问题，它是图论中的一个经典问题。

在实际应用中，图的同构问题非常重要，对于计算机视觉、网络安全等领域都有广泛应用。

2.1 图的同构问题的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，判断它们是否同构。

2.2 图的同构问题的解决方法图的同构问题是一个NP问题，目前还没有确定的多项式时间解决算法。

在实际应用中，为了解决图的同构问题，通常采用以下方法：（1）特征向量法：通过计算图的特征向量，并比较两个图的特征向量来判断是否同构。

（2）图分类器法：通过训练一个图分类器，将同构和非同构的图进行分类。

（3）哈希算法法：通过为图节点和边生成一个唯一的哈希值，并比较两个图的哈希值来判断是否同构。

以上方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景下选择合适的方法。

三、图的同构性质图的同构性质是指图的某些特征在同构映射下保持不变。

在判断图的同构性质时，可以利用这些性质来简化问题。

3.1 路径在判断图的同构性质时，路径是一个重要的性质。

图论中的图的同构与同胚

图论中的图的同构与同胚图论是数学中的一个分支，研究了如何描述图以及图的性质和特征。

在图论中，同构和同胚是两个重要的概念，它们用来描述不同图之间的关系。

本文将介绍图的同构和同胚的概念、定义以及应用。

一、图的同构在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，但结点和边的标签可以不同，那么这两个图被称为同构的。

图的同构关系可以理解为，它们具有相同的拓扑结构，只是标签的不同。

二、图的同构的定义设G=(V,E)和G'=(V',E')是两个图，如果存在一个双射函数f:V→V'，使得(u,v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，则称G和G'是同构的。

其中，V和V'分别表示两个图的结点集合，E和E'分别表示两个图的边集合。

三、图的同构的判断方法判断两个图是否同构是图论中一个典型的问题，有很多方法可以判断两个图是否同构，以下是几种常用的方法：1. 度序列法：图的度序列是指将图中结点按照度的大小排列得到的序列。

如果两个图的度序列相同，则它们可能是同构的。

2. 邻接矩阵法：将图用邻接矩阵表示，即一个n×n的矩阵，矩阵中的元素a[i][j]表示结点i和结点j之间是否有边。

如果两个图的邻接矩阵相同，则它们可能是同构的。

3. 搜索法：通过对图进行深度优先搜索或广度优先搜索，得到图的某种特征序列。

如果两个图的特征序列相同，则它们可能是同构的。

四、图的同胚在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，并且结点和边的标签也相同，那么这两个图被称为同胚的。

同胚可以理解为同构的一个特殊情况。

五、图的同胚的判断方法判断两个图是否同胚是图论中的一个难题，其复杂性在于需要同时考虑结点和边的对应关系。

目前还没有有效的算法可以快速地判断两个图是否同胚，只能通过试探的方法进行判断。

六、图的同构与同胚的应用图的同构和同胚在实际应用中有许多重要的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 化学分子结构的比较：化学分子可以用图来表示，通过对比不同分子的图的同构关系，可以判断它们的相似性以及化学性质的差异。

离散数学中的图的同构与同构不变性

离散数学中的图的同构与同构不变性离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。

图论是离散数学的一个重要分支，研究图的性质和结构。

在图论中，同构和同构不变性是两个重要的概念。

一、同构的定义和性质在图论中，如果两个图具有相同的结构，即它们的顶点集和边集相同，那么这两个图就是同构的。

具体来说，对于两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，如果存在一个双射函数f: V→V'，使得对于任意的u, v∈V，(u, v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，那么图G和图G'就是同构的，记作G≅G'。

同构是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们研究图的性质和结构。

同构关系具有以下性质：1. 同构关系是等价关系。

即对于任意的图G，它与自身是同构的；对于任意的图G和图G'，如果G与G'是同构的，则G'与G也是同构的；对于任意的图G、G'和图G''，如果G与G'是同构的，G'与G''是同构的，则G与G''也是同构的。

2. 同构关系保持图的基本性质。

如果两个图是同构的，则它们具有相同的顶点数和边数。

3. 同构关系与图的表示方式有关。

同一个图可以有不同的表示方式，而不同的表示方式可能导致不同的同构判断结果。

二、同构不变性同构不变性是指图在同构变换下保持某些性质不变。

具体来说，如果两个图是同构的，那么它们在某些性质上是相同的。

同构不变性在图论中有重要的应用，可以帮助我们简化问题的分析和求解。

在图的同构不变性中，有一些重要的性质是不变的，包括：1. 度序列：图的度序列是指图中每个顶点的度按非递减顺序排列的序列。

对于同构的图，它们的度序列是相同的。

2. 连通性：图的连通性指的是图中任意两个顶点之间存在路径。

对于同构的图，它们的连通性是相同的。

3. 路径和回路：图中的路径是指顶点之间的连续边构成的序列，回路是指起点和终点相同的路径。

6.5---同构及同态PPT课件

-
4
证明
(1) 因为G非空，显然G′非空. (2)设a’∈G′，b’∈G′，往证a’b’∈G′。
因有a,b∈G,使得 a’=σ(a), b’=σ(b)，
故按σ的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)，
而ab ∈G, 因而a’b’∈G′。
-
5
(3) 往证G′中有结合律成立：设a’ ，b’，c’∈G，往证a’ (b’ c’)=(a’b’)c’。有a,b,c∈G,使得 a’ =σ(a),b’=σ(b),c’=σ(c)，因群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是
……
用⊕表示陪集间的加法，则
1 ⊕4 =(1+N)⊕(4+N)=(1+4)+N=N= 0 ，
G 在陪集加法下是一个群，若命σ：a→a+N，
则σ是G到 G 上的同态映射,且σ的核就是N。
-
21
第三同态定理
定理6.5.4 设σ是G到G′上的一个同态映射，
若σ的核为N，则G′ G/N。 ❖例. 设G是整数加法群，
σ：x→x（mod 5），x∈G ，则 G′=σ（G）={0，1，2，3，4} 是模5的加法群，σ是G 到G′上的同态映射。 σ的核为N=5G，
G∕N =={ ,0 ,1 ,2 ,3 }4，则G′G∕N。
-
22
证明
因为G′的元素和G∕N的元素一一对应，设在这个一一对应之下，G′的元素a′和b′分别对应G∕N的元素aN 和bN，其中a′=σ（a），b′=σ（b）：
b∈σ-1(a’)iff σ（b）=a′
iff σ(b)(a′)-1=1′
iff σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)=1’

第6章代数

第六章代数例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是（k - x）。
第六章代数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z （余 )
（ --------用于计算）
结论：
① 1是幺元。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章代数
③ （G除去幺元ｂ，剩下a与c ) 经考察发现：
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素，
以及c所在行与a所在列的交叉元素都是幺元b。
故a与c互逆。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章代数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元，每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中， x0所在行与列的元素，分别与表头的行与
列的元素一一对应相同。结论２：在运算表中，某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中， y0所在行与列的元素都是y0
结论３：运算*满足交换律
运算表中的元素关于主对角线对称

图论中的图的同构与同构问题

图论中的图的同构与同构问题同构是图论中一个非常重要的概念，它用于描述两个图结构之间的相似性和等价性。

在图论中，通过同构的概念，我们可以比较和研究不同的图，并找出它们之间的相似性和差异性。

本文将对图的同构和同构问题进行探讨。

一、图的同构首先，我们来了解一下什么是图的同构。

在图论中，同构指的是两个图结构之间存在一一对应的关系，使得它们具有相同的顶点数和边数，并且顶点之间的关联关系也相同。

简而言之，两个同构的图在结构上是完全相同的，只是顶点和边的命名可能不同。

图的同构是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

即对于任意的图G，它和自身一定是同构的；如果图G和图H是同构的，那么图H和图G也一定是同构的；如果图G和图H是同构的，图H和图I是同构的，那么图G和图I也一定是同构的。

二、图的同构问题图的同构问题是指确定两个给定图是否同构的问题。

在实际应用中，图的同构问题是一个具有挑战性的难题，因为当图的规模增大时，判断两个图是否同构变得非常困难。

为了解决图的同构问题，人们提出了许多算法和方法。

其中最著名的是Weisfeiler-Lehman算法，它是一种基于图的局部结构的判定同构的算法。

该算法通过不断迭代地更新图中每个顶点的标签，来判断两个图是否同构。

另外，还有许多其他的图同构算法，如VF2算法、Nauty算法等都被广泛应用于图的同构问题的解决。

三、图的同构应用图的同构问题在许多领域中都有重要的应用。

在化学领域，图的同构可以帮助确定分子结构的相似性和差异性，从而在药物设计等方面发挥关键作用。

在计算机科学领域，图的同构可以用于数据挖掘、图数据库的查询和图网络的分析等方面。

此外，在社交网络、电路设计、通信网络等领域，图的同构也具有广泛的应用。

图的同构和同构问题是图论中的一个重要研究领域，它涉及到图结构的相似性和等价性的判定。

通过研究图的同构，我们可以深入理解不同图之间的关系，挖掘图结构中的规律和特性。

在实际应用中，图的同构问题有着广泛的应用价值，对于解决复杂的实际问题具有重要的意义。

离散数学--6.1图的基本概念

根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握手定理的推论矛盾.
14
实例
例5 设9阶无向图的每个顶点的度数为5或6, 证明它至少有 5个6度顶点或者至少有6个5度顶点. 证讨论所有可能的情况. 设有a个5度顶点和b个6度顶点 (1)a=0, b=9; (2)a=2, b=7; (3)a=4, b=5; 方法二假设b<5, 则a>9-5=4. 由握手定理的推论, a 6 (4)a=6, b=3; (5)a=8, b=1 (1)~(3) 至少5个6度顶点, (4)和(5) 至少6个5度顶点 15
e1 v1 e3 v5 e7 e2 v2 e4 e5 v3 e6
v4
e1 a
e4
d e7 e6 e3
e2 b e5
c
11
实例
例1 下述2组数能成为无向图的度数列吗? (1) 3,3,3,4; (2) 1,2,2,3 解 (1) 不可能. 有奇数个奇数. (2) 能
12
实例
例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点? 解设G有n个顶点. 由握手定理, 43+2(n-4)210 解得 n8
第6章图
1
第6章图
• 6.1 图的基本概念 • 6.2 图的连通性
• 6.3 图的矩阵表示
• 6.4 几种特殊的图
2
6.1 图的基本概念
• 6.1.1 无向图与有向图 • 6.1.2 顶点的度数与握手定理 • 6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图 • 6.1.4 子图、补图 • 6.1.5 图的同构
e1 v1 e3 e2 v2 e4 v4 e5 v3 e6

6.3格与布尔代数

格的性质(续)
6)、保序性：如果b≤c，那么a∧b≤a∧c a ∨ b≤a∨c 7)、分配不等式: •
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c); a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c); 8)、模不等式： a≤b a∨(b∧c) ≤b∧(a∨c)
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证明： (a∨b)∨c=a∨(b∨c)
先证： (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) ∵ a ≤ a∨(b∨c) b ≤ b∨c ≤a∨(b∨c) ∴a∨b≤ a∨(b∨c) 又：c ≤ a∨(b∨c) 从而， (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) 同理有 a∨(b∨c) ≤(a∨b)∨c ，由偏序的反传递性知，(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
5的补元是2和3。
例：在<S24,|> 中
24 12 6 4 2 1 S24 8
最大元为24,最小元为1, 1和24互为补元, 3和8互为补元，
3
2,4,6,12均不存在补元。
例：
1 在如上图有界格中0和1互为补 a b c d 元而 a,b,c,d的补元均有三个，譬如，a的补元是b，c，d。 0 1 a c 0 b 在下图中的有界格中，0和1互为补元，但a,b,c均不存在补元。
返回
代数格
定义10：设L是一个非空集合，∧，∨是L中的两个二元运算，两个运算还满足a,b,c∈L (1)交换律 (2)结合律 a∧b=b∧a，a∨b=b∨a； (a∧b)∧c= a∧(b∧c)， (a∨b)∨c=a∨ (b∨c); (3)吸收律 a∧(b∨c)= a, a∨(b∧c)= a
例1：
记作(L,≤,1,0)或记(L,∧,0,0,1)
例:(Sn,|)是格,则其是有界格,其中最大元是n,最小元是1,因x∈Sn,1|x,x|n。

邻接矩阵-南京大学

v1 v2
v4
v3
0 0 A(G) 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1 v2
v4
v3
0 1 A(G) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
邻接矩阵(adjacency matrix)

简单有向图G = (V, E, ) ，设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。

A(G)＝aij称为G的邻接矩阵(n×n 阶矩阵)，其中
1 如果v i邻接到v j a ij 0 否则
eE. (e)=(vi, vj)
举例（邻接矩阵）
邻接矩阵的运算

逆图（转置矩阵）

设Ｇ的邻接矩阵为 A ，则 G 的逆图的邻接矩阵是 A 的转置矩阵，用AT表示。
０１００００１１ A １１０１１０００
００１１１０１０ T A ０１０００１１０
邻接矩阵的运算
邻接矩阵的运算

顶点的度

行中1的个数就是行中相应结点的出度
列中1的个数就是列中相应结点的入度
v1
v2
v4
v3
Hale Waihona Puke 0 0 A 1 11 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Deg+(1)=1,Deg-(1)=2
Deg+(2)=2,Deg-(2)=2
Deg+(3)=3,Deg-(3)=1 Deg+(4)=1,Deg-(4)=2
邻接表

高中数学同构法

高中数学同构法高中数学同构法一、什么是同构？1. 同构(Isometry)是指在正弦图形中存在一种可以将图形旋转或放缩而保持坐标轴不变，使从一个图形到另一个图形的转换过程是改变几何形状和大小的数学结构。

2. 同构通常应用于连续绘图，特别是坐标图形，可以将一组点中的一个点放大或缩小，在另一个方向上保持不变，而线段长度也不变。

二、同构的基本思想1. 同构的基本思想是要将一组几何图形中的某个点旋转、错切、缩放，使得在另一个几何图形中任何两个点之间的距离相等，但是几何图形的形状和大小会发生改变。

2. 同构法可以将欲绘制的对称几何图形映射到一组可绘制的几何图形，从而简化计算的步骤，使得计算出结果的步骤更加简单。

三、怎样应用同构法？1. 先明确要绘制的图形，然后决定在图形中的一点作为旋转的中心点；2. 计算出从原来的旋转中心取到新的旋转中心的距离，以此计算出对角线的长度；3. 确定旋转角度；4. 通过分数运算得出新图片中每个点与另一个点之间的距离；5. 根据确定的距离尺寸，绘制出新的图片。

四、应用实例以A点（6，0）为旋转中心，顺时针旋转30°后，若O点（3，-3）原射线为OA'，旋转后射线变为OA''，则A''的坐标为（）将OA'与轴线的夹角表示为α，OA’的长度为s，根据同构的基本原理，我们可以得出：OA''的长度为s；OA''与轴线的夹角为α+30，则OA''的斜率为tan(α+30)；则A''（x，y）的坐标可求出，其中：x = 6+s*cos(α + 30)y = 0+s*sin(α + 30)即A''的坐标为（6+s*cos(α + 30)，s*sin(α + 30)）。

图形同构的概念

图形同构的概念
图形同构是指两种或更多种图形之间存在的一种关系，它们对应的
坐标点之间保持着一定的关系，可以通过一定方法进行变换，使得两
种图形彼此关联。

这种关系也可以用来比较两种不同的图形，它可以
在几何学，代数学和计算机科学等领域中应用。

一、定义
图形同构是指图式的结构相似，每两个对应的元素之间维持一定的关系，使得彼此可以实现变换。

而这种变换动作不应影响图形的形状，
并且使得这种变换的规律可以重复实施，以便将一种图形转变为与其
完全相同的另一种图形。

二、应用示例
1、几何学中的图形同构：比如可以利用平移、翻转、旋转、缩放等几
何变换进行图形变换，使得几何图形具有可同构性质。

2、代数学中的图形同构：利用代数学的方法进行变换，将一个图形变
换为另一种图形，它们之间的变换关系只能通过代数方程来处理。

3、在计算机图形中的应用：图形同构也广泛应用于计算机图形学中，
用来实现几何和视觉变换，它能够帮助计算机改变图形的形状、位置、姿态等参数，从而创建出虚拟世界。

三、总结
图形同构具有普遍性，可以应用于几何学、代数学和计算机科学等领域中。

它使得两种或多种图形之间能够发生关联，用来比较两种不同的图形，为视觉、几何和变换提供框架，可以创建出虚拟世界，对各种领域都有着极大的意义。

数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章树与二叉树

6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义与基本操作 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
6.2.1 二叉树的定义与基本操作定义：我们把满足以下两个条件的树型结构叫做二叉树（Binary Tree）：（1）每个结点的度都不大于2；（2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
同构：对两棵树，通过对结点适当地重命名，就可以使两棵树完全相等（结点对应相等，对应结点的相关关系也像等），则称这两棵树同构。
二叉树的基本结构由根结点、左子树和右子树组成
如图示
LChild Data RChild
Data
LChild RChild
用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍历右子树，那么对二叉树的遍历顺序就可以有：
(1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树(记做DLR)。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树(记做DRL)。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树(记做LDR)。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根 (记做LRD)。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树 (记做RDL)。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根 (记做RLD)。
(8) NextSibling（Tree，x）：树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点，否则返回“空”。
基本操作:
(9) InsertChild（Tree，p，Child）：树Tree存在，p指向Tree 中某个结点，非空树Child与Tree不相交。将Child插入Tree中，做p所指向结点的子树。

数学毕业论文图同构的判断方法

图同构的判断方法图同构的判断方法摘要图论是1个应用10分广泛而非常有趣的的分支，物理学、化学、生物学、科学管理、计算机等都要用到图论的内容.图论与数学的其他分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑、数值分析、组合数学等有着密切的关系.图的同构是图论学科中的基本问题之1，属于图论中多个NP—完全问题之1.所谓图的同构，简单的说，就是两个表示的关联关系完全相同.“同构”的概念看似简单，但是，判定两个图同构却不是1件简单的事情.本文旨在研究图同构的判定方法，提出了几种判定两个图同构的方法，以及两个图同构的必要条件.关键词：图的同构；判定方法；邻接矩阵；度序列The Methods of Judging Isomorphism of Graphs Abstract The graph theory is a useful and interesting branch witch can be widely used in the physics, the chemistry, the biology, the scientific management, the computer, etc. And it has close relationships with the other branch of mathematics .For example the group theory, the theory of matrices, the theory of probability, the numerical analysis, the combinatorics and so on. Graph’s isomorphism is one of the basic problems and NP problems in graph theory. G raphs’ isomorphism means that the graphs’ architectures are the same. The concept is simple but it’s not so easy to determine whether two graphs are isomorphism or not. This paper is meant to do a research on judging graphs’ isomorphism. The authorputs fo rward several methods on judging graphs’ isomorphism and the necessary conditions of graphs’ isomorphism.Keywords: graph isomorphism; determination method; adjacency matrix; degree sequence目录中文标题……………………………………………………………………………………1中文摘要、关键词…………………………………………………………………………1英文标题……………………………………………………………………………………1英文摘要、关键词…………………………………………………………………………1正文1引言…………………………………………………………………………………………22基本概念……………………………………………………………………………………33主要结论……………………………………………………………………………………73.1由定义，直接找出两个图的同构映射…………………………………………………83.2用邻接矩阵判定…………………………………………………………………………93.3关联度序列法……………………………………………………………………………93.4有向图的同构：出入度序列法…………………………………………………………103.5判定两图不同构的方法…………………………………………………………………134结束语...................................................................................................15参考文献................................................................................................16致谢 (17)【包括：毕业论文、开题报告、任务书】【说明：论文中有些数学符号是编辑器编辑而成，网页上无法显示或者显示格式错误，给您带来不便请谅解。

求解图同构的判定算法

求解图同构的判定算法
图同构是一个经典而又有趣的数学问题。

可以简单地定义为：若两张图的边和点的对应关系一致，则这两张图即被称为同构。

因此，不管这两张图的形状如何变化，它们的边和点数目以及它们之间的关系完全保持不变，因此这两张图可以被称为同构。

解决图同构问题要求构造出能够判定两张图是否同构的判定算法。

首先，可以使用广义平行算法（GP）来构建这样的一个判定算法，其主要采
用基于矩阵的数据模型。

算法的基本思想是，首先将图的边和点的对应关系建设为矩阵形式，然后使用GP算法对该矩阵进行求解，最后检查给定的矩阵是否为等价的。

若给定的矩阵是等价的，则表明两张图同构；反之，若给定的矩阵不等价，则表明两张图不同构。

此外，可以采用加权矩阵来实现图同构判定。

具体方法是，首先为图中每一条边分配一个权重，然后将边与点之间的对应关系建模为一个加权矩阵，其中对应边的权重值作为该矩阵的元素值。

然后使用约束规划的方法来求解该矩阵，若给定的矩阵的解被唯一确定，则表明两张图同构；反之，若给定的矩阵的解无法唯一确定，则表明两张图不同构。

另外，还可以使用计数器网络（CN）的方法来构建图同构算法。

该方法主要
采用基于状态空间的数据模型，首先将图的边和点建模为一个计数器网络，然后使用CN方法进行求解，最后检查状态空间中是否存在状态完全相同的路径，若存在，则表明两张图同构；反之，若不存在，则表明两张图不同构。

综上所述，求解图同构的判定算法需要使用广义平行算法（GP），加权矩阵
和计数器网络（CN）等技术。

这些技术可以实现以判定两张图是否同构，从而达
到相应的目的。

图论中的图的同构与同胚

图论中的图的同构与同胚在学习图论的过程中，我们常常会遇到同构和同胚这两个概念。

这两个概念在图论中有着重要的意义，它们帮助我们研究图的结构和性质。

接下来，我们将深入探讨图的同构与同胚的含义及其在图论中的应用。

首先，让我们了解一下什么是图的同构。

在图论中，如果两个图的结构相同，也就是说它们的顶点集合和边集合相同，并且边的连接关系也相同，那么这两个图就是同构的。

简而言之，同构的两个图可以通过一种双射关系相互映射，保持图的结构不变。

同构的图虽然在外表上可能看起来不一样，但在本质上却是相同的。

接下来，让我们来了解一下图的同胚。

同胚是指通过一种特定的映射，将一个图变换为另一个图，使得它们在拓扑结构上保持一致。

也就是说，同胚将保持图中顶点和边的连接方式，并且保持顶点的度数和邻接关系不变。

同胚的两个图在拓扑结构上并无差异，只是它们的顶点和边的实际标记可能不同。

在图论中，同胚和同构是两个常见且重要的概念。

同构关系更加严格，要求图之间的双射关系，而同胚更侧重于拓扑结构的相似性。

通过研究图的同构与同胚关系，我们可以更好地理解图的性质和特征。

在实际应用中，同构和同胚关系对于解决图论中的问题起着重要作用。

例如，在网络路由、社交网络分析、电路设计等领域，通过判断图之间的同构或同胚关系，可以帮助我们更好地设计和优化系统。

此外，在化学中，同构和同胚的概念也被广泛运用于分子结构的研究中。

总的来说，图的同构与同胚是图论中非常重要的概念，它们帮助我们理解图的结构和性质，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。

通过深入学习和应用图的同构与同胚，我们可以更好地掌握图论知识，拓展思维，提升问题解决能力。

希望本文能给读者带来一些启发和帮助，引起更多对图论研究的兴趣与关注。

图同构问题综述

图同构问题综述数据科学与计算机学院黄**1******32016.05.261概述芝加哥大学计算机科学教授LászlóBabai在2015年11月宣布了一个能在拟多项式时间内解决图同构问题的新算法，该算法还有待进一步审查以确定其正确性.如果最终被证明是正确的，那么这将是计算机理论领域的一项非常重要的成果.图的同构问题可以分为四类：精确图同构问题、精确子图同构问题、不精确图同构问题和不精确子图同构问题.其中后三个问题已经被证明是NP完全问题，而对于精确图同构问题的复杂性问题，目前还没有明确的结果，即尚不清楚它是P问题还是NP完全问题，但至少知道它是NP问题.本文是图同构问题的一个综述，首先给出图同构问题的定义，接着介绍了图同构问题判定算法的研究现状和应用，最后介绍一些具体的判定算法.2图同构的概念一个图可以存在多种不同的形式，这些不同形式的图都具有相同数目的顶点、边，而且边还具有相同的连接性.这些不同形式的图就是同构.直观上地说，如果两个图G1和G2有相同数目的顶点和边，并且边的连接性也相同，那么就说这两个图是同构的.我们可以把一个图看做是另一个图经过扭曲得到的.下面给出图同构的严格定义.给定两个无向简单图G和H，如果存在一个双射f:V(G)→V(H)，使得对于任意的u,v∈V(G)，有⟨u,v⟩∈E(G)当且仅当⟨f(u),f(v)⟩∈E(V)，则称图G和H是同构的，记为G≃H.如果G1≃G2，那么：(1)|V(G1)|=|V(G2)|.(2)|E(G1)|=|E(G2)|.(3)G1和G2的度序列相同.(4)如果{v1,v2,...,v k}是G1的长度为k的圈，那么{f(v1),f(v2),...,f(v k)}是G2长度为k的圈.上述的条件是两个图G1和G2同构的必要条件，下面给出几个充分条件：(1)G1≃G2当且仅当G1≃G2，其中G1和G2都是简单图.(2)G1≃G2如果它们有相同的邻接矩阵.(3)G1≃G2当且仅当它们相应的子图也同构.图1:图同构的例子图2:G1、G2的补图例如，如图1所示，图G3的顶点的度为3，而图G1和G2的所有顶点的度都为2，因此G3均不同构于G1和G2.考虑图G1和G2的补图，如图2所示，我们有G1≃G2，所以G1≃G2.在这里我们还要介绍一下平面图的概念.如果图G可以画在平面内并且任意两条边不交叉，则称G为平面图.K4似乎不是平面图，但实际上只要把K4的一条对角线移出去就可以了，如图3.图3:平面图完全图K5和完全二分图K3,3是最小的非平面图，如图4.任何一个平面图都将平面分成若干个区域.对于区域r，我们将包围r的边的数目称为r的度，记为deg(r).如图5，我们有deg(1)=3,deg(2)=4,deg(3)=4deg(4)=3,deg(5)=8平面图具有以下性质：图4:非平面图图5:区域(1)如果一个平面图有n个顶点，那么所有顶点的度的和为∑ndeg(v i)=2|E|i=1(2)如果一个平面图有n个区域，那么所有区域的度的和为∑ndeg(r i)=2|E|i=1(3)欧拉公式.设G是一个连通的平面图，那么|V|+|R|−|E|=2(4)如果G是一个连通图，并且每个区域的度至少为k，那么|E|≤k(|V|−2)k−2在抽象代数中，以同构相对应的一个概念是同态.类似的，图与图之间的关系也有同态.在这一节的最后，我们给出图同态的概念.图G1和G2被称为是同态的，如果它们都可以从同一个图G中删除一些同样的边并加入一些的顶点而得到.如图6所示，图G1和G2都是通过图G去掉边⟨b,d⟩并加入顶点e而得到，因此它们是同态的.很显然，如果图G1和G2同构，那么它们是同态的.但反过来则不成立.最后，我们还给出一个结论：图G是非平面图当且仅当G有一个子与K5或K3,3同态.图6:图同态3图同构判定算法的研究进展经典的判定算法有：对邻接矩阵的进行初等变换法[2]，以拓扑图的图论特性为依据的关联度序列法[3]，基于邻接矩阵的特征向量法[4]，将图同构问题进行等效转换的电路模拟法[6]，遗传算法[7]，基于Hopﬁeld网络的图同构判定算法[1]，并行算法[5]，等等.这些方法的一个共同特征是利用顶点的邻接矩阵关系进行直接判断，因此，存在着边选择的全排列组合.只不过，遗传算法，基于Hopﬁeld网络的图同构判定算法，并行算法，都属于计算智能算法，在搜索空间中进行寻优时采取了某种剪枝策略，从而避免了边选择的全排列组合.针对一些特殊的图（树，平面图，区间图），存在多项式时间算法.究其原因，在特殊图中可以刻画直接寻找到同构的顶点对的特征.从而不需要进行边选择的全排列组合.国际上著名的一些算法有：随机图的规范标记法及其改进算法.根据生成树筛选顶点，从而提高效率的Ullman算法.根据顶点间的最短路径距离矩阵筛选顶点，从而提高效率的Schmidt算法.将图匹配问题简化为图检测问题的Falkenhainer算法.根据策略筛选顶点，从而提高效率的Messmer算法.这些方法的特征要么是使用某种规则对顶点进行规范标记，要么使用必要条件对顶点集合的划分进行不断细分.Cordella提出的VF2算法属于另类算法，采用状态空间表示法，利用顶点间的邻接关系进行快速搜索剪枝，以期缩小状态空间的范围.Jose提出的Conatuo-v2算法属于顶点规范标记算法，但是使用顶点划分不断递归细分的技术，用于缩小候选匹配点的范围.总结这些算法的处理方式，可以划分为三类：基于顶点规范标记的判定算法，基于顶点集合划分的递归细分的判定算法，利用顶点的邻接关系直接判断的判定算法.除此之外，对于一些全新的计算模式，比如DNA计算、量子计算，也对图同构问题进行了很多的研究，文献[9,8]给出了同构问题的DNA计算模型，通过DNA分子链编码、非解的去除、解的产生和读取等操作解决了图的同构问题.关于图的同构问题，各种文献都给出了有益的求解方法和思路，但是还有很多需要改进的地方.在第一节概述里边一开始我们提到，图同构算法的最新研究成果是芝加哥的一位教授Babai的提出的一个算法，他宣称这个算法的时间复杂度为O(n log n2k)，但这个结果还有待检验其正确性.4图同构问题的应用图的同构问题一直受到数学界与工程技术界的关注，其原因有两个：其一，从理论上来讲，一些学者认为该问题属于NP完全的；其二，图的同构问题具有很好的应用前景，在化学、运筹学、计算机科学、电子学、网络理论等诸多领域都有应用，但指数时间复杂度的算法以及算法本身使用对象的局限性使得涉及到复杂图形同构判定的应用问题难以入手.下面简述同构判断算法的一些应用.1、模式识别与图像处理.Donatello Conte等人在2003年对模式识别领域中应用图匹配技术进行了综述.从1991年到2002年，图匹配技术在模式识别领域得到了极其成功的广泛应用.具体而言，渗透到以下六个子领域：2D和3D图像分析与处理，文本鉴定，图像数据库，电视影像分析，生物及生物医疗应用.2、计算机视觉处理.现阶段，机器人技术被广泛应用到工业生产和高尖端科技中，从柔性加工中心到机器人搬运，从深海探测到太空遥感.机器人自身进行目标识别，在计算机视觉与处理中占据有举足轻重的地位.从1994年到2003年，图匹配技术在计算机视觉处理领域得到了极其成功的应用.具体而言，渗透到了以下三个子领域：目标识别，医学图像中有害细胞鉴定，场景分析.3、信息检索.随着互联网技术和高性能计算机技术的蓬勃发展，信息检索经历了从文本信息检索，到手写体信息检索，多媒体信息检索，再到3D形状信息检索的发展的阶段. 3D形状检索涉及3D形状建模、3D形状数字化、3D形状可视化.3D形状建模又分表面模型和立体模型.3D形状匹配可分为三大类：基于特征匹配，基于图形匹配，基于其他信息匹配.每个大类又可以分为几个小类：基于视觉，基于容积误差，基于赋权点集，基于变形.4、数据挖掘.随着多媒体技术和数据格式多样化的蓬勃发展，待挖掘的数据格式经历了从关系表格、事务集合，到半结构化数据（例如，HTML文本，XML文本），符号序列，再到有序树，拓扑逻辑表示的关系，多关系的结构化数据的发展阶段.符号序列，有序树，多关系的结构化数据，都可以用有向图或无向图表示.从1996年到2003年，挖掘结构化数据的需求急剧增长.图匹配技术在基于图形的数据挖掘中也得到爆发式增长的应用.5、VLSI设计验证.随着VLSI制造技术的发展，集成电路的规模越来越大，越来越复杂.因此，在设计阶段进行优化处理.在制造阶段尽早发现缺陷，显得尤为重要.图匹配技术在VLSI设计验证的应用中，主要用来检查VLSI电路设计上的正确性或制造中的接触点的缺陷，其本质就是检查两个图的相似性和差异.通过比较集成电路为蓝本的图模型的相似性，可以发现设计上的不足，或者基于以往正确的设计方案，通过改进获得新方案.通过比较差异，可以发现集成电路在制造过程中存在虚焊点的缺陷.6、化学化合物结构识别.化学化合物必须使用唯一的、无歧义性的标签（或标记）进行识别.使用特殊图——树，来分析化学化合物的分子结构，最早可以追溯到1875年的Cayley所撰写的论文.随着数学的发展，特别是群论的发展，化学和数学进行了有机结合，诞生了代数化学学科，专门研究结构性化学相关理论，并推动了分子结构从树型图到受限图和平面图的扩展.由于分子结构的特殊性，可以在有效时间内给予解决，所有提出了很多图匹配的多项式时间算法.5特殊图同构算法5.1最大外平面图同构算法给定图G(V,E)，若G能画在一个平面上，使得除在顶点处外任意两条边不相交，且所有顶点都分布在图的外侧，则称G为外平面图.对外平面图H，若加入图中任何一条边，都会使新图H′为非外平面图，那么称图H 为最大外平面图（Maximal Outerplanner Graph），简记为MOP图.MOP图与三角形平分平面凸多边形存在一一对应的关系，因此我们可以把MOP图同构问题转述为三角形平分凸多边形同构问题.三角形分凸多边形是一类计算几何问题，意味着在凸多边形内部添加非交叉斜线，将其分割为多个三角形.对于顶点个数为N的凸多边形，划分方式有τ(N)=C N−2=1N−1(2N−4N−2)种.每一种划分代表一种特定的MOP图.对于给定的MOP图，用T表示其划分.定义对应的图表示为G T(V,E).两MOP图同构，当且仅当其对应的三角形分凸多边形同构.三角形分类：给定顶点数为N的凸多边形，顺时针标号，记做P(0,1,...,N−1).标号T表示其特定划分，记做T(0,1,...,N−1).对应的最大外平面图记做G T.任何MOP图G都可以等价为一个顶点有序的三角形内分图凸多边形，记做G T，如图7所示.图7:MOP图对于图G T，我们定义图中任意两个点i，j之间的距离d(i,j)为两点沿凸多边形的最小距离：d(i,j)=d(j,i)=min{|i−j|N−|i−j|}.显然，若L=max(d(i,j))，则L≤⌊N2⌋.若L=⌊N2⌋=⌈N2⌉，则称T为等分T，否则，称之为非等分T.显然，若N为奇数，则T必为非等分的；若N为偶数，则T可能为等分的，也可能为非等分的.我们假定图G T用有序邻接列表表示，具体表示如图8.T分类的ICCT（Identiﬁcation of the class and the central triangle）算法如下：图8:图的序列邻接表(1)for i=0to N−1并行计算，处理器P i计算顶点i的多有关联边，得到最大长度l i=d(i,k)，若最长边多于一条，取最小k值，P i得到三元组⟨i,k,l i⟩.(2)比较各个处理器P i的值，得到最小的三元组⟨s,t,l s⟩，存在p0中.(3)若l s=N，得到唯一标识s，t，终止算法.(4)把⟨s,t,l s⟩发送给其他处理器.(5)for i=0to N−1并行计算，若存在边(i,s)，(i,t)，则计算πi=d(i,s)+d(i,t)+l s.若πi=N，得到唯一三元标识(p,q,r).(6)p0对上一步结果，计算相应长度，得到T的分类.MOP图同构算法为：(1)利用ICCT算法，确定T1和T2的类型.如果两者类型不一致，则G1和G2不同构；否则，如果T1和T2属于平分T，得到各自的最长边{i1,j1}和{i2,j2}；否则，求解各自的中心三角形{i1,j1,k1}和{i2,j2,k2}.(2)若T属于等分T，则判断T2的4种变换是否与T1匹配.(3)若T为非等边，则判断T2的2种变换是否与T1匹配.(4)若T为等腰T，则判断T2的2种变换是否与T1匹配.(5)若T为等边，判断T2的6种变换是否与T1匹配.下面分析算法的时间复杂度.T分类的时间复杂度：对于步骤（1），每个处理器对相应结点进行计算，需要的时间最多为⌈log2N−1⌉，步骤（2）—（4）需要时间为log2N，步骤（5）需要时间为2⌈log2N−1⌉，步骤（6）为时间常量.综上，整个分类需要时间复杂度为O(log2N).MOP图同构判断算法时间复杂度：步骤（1）需要时间为O(log2N−1)，步骤（2）—（5）是一个分支判断，每一步中需要对顶点度数进行匹配.每一种情况的匹配次数为以常量，所以其时间复杂度为O(logN).综上，整个同构判定算法的时间复杂度为2N).O(log25.2树图同构算法树是带有一个根结点的图.两棵树的同构，当且仅当这两棵树跟结点的孩子之间存在一一对应的关系，并且以孩子为根的子树叶同构.判定两棵树的同构问题可以转化为两个相关问题的判定，即图的同构问题和两棵树结点之间的对应关系问题.本节介绍自底向上遍历结点（BULT）的树同构判定算法.BULT算法的形式描述如下：(1)初始化计数器C=0，队列Q1和Q2为空.(2)计算T1和T2中所有结点的度数.(3)将T1和T2中度为0或1的结点分别加入到Q1和Q2中.(4)当Q1和Q2非空时，执行以下操作：(a)如果Q1和Q2中结点数目不相等，那么T1和T2不同构，算法结束.(b)对Q1中的每一个结点v：如果与v相连的结点都没有编号，结点对应的元组为(0)；否则，v的元组由与v相连的已编号结点的编号按非递减顺序排列组成.(c)用与（b）相同的方法对Q2中所有的结点赋相应的元组.(d)将Q1和Q2中所有结点对应的元组集合S1和S2分别按照非递减顺序排列.(e)如果S1=S2，则T1和T2不同构，算法结束.(f)当S1和S2非空时，执行以下操作：将S1和S2中最小的元组对应的所有结点编号赋值为C；将S1和S2中所有最小元组删除；C=C+1(g)对于T1中每个未编号的结点v：deg(v)=deg(v)−Q1中与v相连的结点的数目(h)用与（g）相同的方法对Q2中的所有结点赋予相应的度数(i)清空Q1和Q2，将T1和T2中度为0或1的结点分别加入到Q1和Q2中.(5)如果T1和T2根结点编号相同，则T1和T2同构，否则T1和T2不同构.下面分析算法的复杂度.设树T1和T2对应的图分别为G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)，|V1|+|V2|=n.用BULT算法判断T1和T2是否同构的算法的空间复杂度为O(n).算法的时间主要由以下两部分组成：(1)计算两棵树中结点度数和两棵树第一层结点放入队列中的时间为O(|V1|+|V2|)（步骤(2)，(3)）.(2)判断G 1和G 2相同结点的生成树同构所花费的时间（步骤(4)）.赋元组：任选v ∈V G 1(k )，对结点所需要的时间为：O (d G 1(v ))，而对G 1第k 层中所有结点赋元组所需花费时间为：O (∑v ∈V G 1(k )d G 1(v ))（步骤(b)）.赋编号：共需时间O (∑v ∈V G 1(k )d G 1(v ))（步骤(d)—(f)）.更新结点度数：共需时间O (|V G 1(k )|)因此，判断G 1和G 2所有层结点生成树同构需要花费总时间为：O (∑k ∈L (G 1)(∑v ∈V G 1(k )d G 1(v )+∑v ∈V G 2(k )d G 2(v )+(|V G 1(k )|+|V G 2(k )|))=O (|V 1|+|V 2|)6总结本文是关于图同构问题的综述文章，介绍了图同构问题的定义和应用，国内外的研究现状，最后还介绍了最大平面图和树图同构问题的算法.图同构问题作为图论组合中的一个重要问题，在机械设计、模式识别、电路设计等方面有着重要的应用，尤其是模式识别中的广泛应用，使得图的同构判定问题的求解显得尤为重要.作为一个著名的图论组合问题，现有的关于同构问题的研究进展，大多是针对某一特殊图进行的研究，目前尚未找到关于一般图同构问题的有效算法.在写这篇综述期间，通过收集和阅读相关资料，让我对图和图同构有了更深刻的认识，并了解到该领域的一些最先研究成果和应用.图论是数学的一个分支，在物理、化学、计算机科学、社会科学等科学领域都得到了广泛的应用.图同构问题在理论和实际应用中都有很高的研究价值.在后续的学习和科研中，我会充分利用学到的图论知识来解决我所遇到的问题.参考文献[1]许进，张军英，保铮.基于hopﬁeld 网络的图的同构算法.电子与信息学报,18(增刊):116–121,1996.[2]谢继国.图的同构与矩阵的对称变换.甘肃高师学报（自然科学版）,3(3):4–7,1998.[3]李峰.图的同构判定算法：关联度序列发及其应用.复旦学报（自然科学版）,40(3):318–325,2001.[4]李峰，商慧亮.有向图的同构判定算法：出入度序列发.应用科学报,20(3):258–262,2002.[5]陈崚，殷新春.无向图同构判定的并行算法.计算机工程,28(6):39–41,2002.[6]商慧亮，李峰，李琳琳.图的同构判定算法：电路模拟法.图论与系统优化专业化委员会2005年学术年会论文集,pages 56–63,2005.[7]蔡军伟，梁方楚，荆广珠.图同构的遗传算法.苏州科技学院学报（自然科学版）,9(4):478–482,2011.[8]Liu Guangwu,Yin Zhixiang,Xu Jin,and Dong Yafei.Algorithm of graph isomorphismwith three dimensional dna graph structures.Progress in Natural Science,15(2):181–184, 2005.[9]Natasa Jonoska,Stephen A.Karl,and Masahico Saito.Three dimensional{DNA}struc-tures in computing.Biosystems,52(1–3):143–153,1999.10。

6.3 图的表示和图的同构

判断平面图形的同构与全等

图的同构分类

图论----同构图（详解）

图论中的图的同构与同构问题

图论中的图的同构与同胚

离散数学中的图的同构与同构不变性

6.5---同构及同态PPT课件

第6章代数

图论中的图的同构与同构问题

离散数学--6.1图的基本概念

6.3格与布尔代数

邻接矩阵-南京大学

高中数学同构法

图形同构的概念

数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章 树与二叉树

数学毕业论文图同构的判断方法

求解图同构的判定算法

图论中的图的同构与同胚

图同构问题综述

数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章树与二叉树