线性代数 同济六版电子教案1
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
同济大学线性代数电子教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解线性代数的基本概念，包括向量、线性空间、线性变换等。
2. 掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、克拉默法则等。
3. 理解矩阵的基本性质和运算，包括矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等。
4. 能够运用线性代数的知识解决实际问题。
教学重点：1. 线性方程组的解法。
2. 矩阵的基本性质和运算。
3. 特征值和特征向量的概念及计算方法。
教学难点：1. 线性方程组的解法在高维空间中的应用。
2. 特征值和特征向量的物理意义及其在工程中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 引入线性代数的概念，介绍线性代数在工程中的应用。
2. 简述线性代数的研究对象，如线性空间、线性变换和线性方程组。
二、教学内容1. 向量空间- 向量的概念及其运算。
- 线性空间的基本性质。
- 子空间的概念及其性质。
2. 线性变换- 线性变换的定义及其表示。
- 线性变换的运算。
- 线性变换的性质。
三、实例分析1. 通过实例展示线性代数在工程中的应用，如电路分析、信号处理等。
2. 分析实例中的线性方程组，介绍高斯消元法及其应用。
四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。
第二课时一、复习上节课内容1. 回顾向量空间、线性变换等概念。
2. 回顾高斯消元法及其应用。
二、教学内容1. 矩阵- 矩阵的定义及其运算。
- 矩阵的基本性质。
- 矩阵的秩及其计算。
2. 线性方程组- 克拉默法则及其应用。
- 线性方程组的解的性质。
三、实例分析1. 通过实例展示矩阵在工程中的应用，如矩阵分解、矩阵求逆等。
2. 分析实例中的矩阵运算，介绍矩阵的逆及其应用。
四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
《线性代数》(同济第六版)课件
a14 a24 = a11a22a33a44 a34 a44
0 0 = a14a23a33a41 0 a44
a11 0 a21 a22 D4 = a32 a32 a41 a42
四个结论： (1) 对角行列式
a11 D= a22
= a11a22ann
ann
(2)Leabharlann a1nD= an1
规律：
1.三阶行列式共有6项，即3!项． 2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
p p
是1、2、3的某个排列.
4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
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第一章 行列式
�
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.
§6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质 行列式的性质及计算. 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D = -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4
同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合
实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律
线性代数(同济六版)ch3
x1 x2 2 x3 3x1 x2 8 x3
0 0
x1 3 x2 9 x3 0
是否有非零解？
解由
1 1 5
A
1 3 1
1 1 3
2
8 9
1 1 5
r2 - r1 r3 - 3r1 r4 - r1
～
0
0 0
2 2 4
7
7 14
1 1 5
r3 - r2 r4 - 2r2
其中
Ax = b
x1
x
xxn2 ,
b1
b
bbm2 .
定理 3 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条 件是 R(A) = R(B) , 其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组 Ax = b 的增广矩阵.
证明 必要性 设非齐次线性方程组 Ax = b 有解，要证R(A) = R(B) . 用反证法, 假设R(A) < R(B) ，则 B可化成 行阶梯形矩阵
～
0
0 0
2 0 0
7
0 0
可知R(A)=2. 因为R(A)=2＜3
所以此齐次线性方程组有非
零解.
例2. 当 取何值时，齐次线性方程组
3
3x1 x1 2
x2 x2
x3 0 3x3 0
x2 x3 0
有非零解.
解 用初等行变换化系数矩阵
3 A3
1 2
1 3
r2～ r1
3 0
1 0 0
1 0 0
1 3 0
2 3,
2 0
0 0
3 1 0
1 0 1
1 1, 3
0
0
0 0
2 0 0 0
同济大学线性代数__第一章PPT课件
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例2： 计算四阶行列式
a0 0 b 0cd 0 D 0e f 0 g0 0 h
D = acfh + bdeg – adeh– bcfg
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重要结论：
(1) 上三角形行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a a11 22 ann
0 0 ann
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第一章 行列式
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1
§1 二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式 二元线性方程组
aa2111
x1 x1Leabharlann a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
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2
用消元法 (1) a22 (2) a12 得
(a11a2a2 21xa112aa2122)xx12
b1a22 b2
为三阶行列式, 记作
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
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对角线法则：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
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(2) 下三角形行列式
a11 0 0
D
a21
a22
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann
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(3) 对角行列式
a 11
D
a22
a a11 22 ann
ann
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线性代数同济六版共五章全
求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
t(53412) = 0+1+1+3+3=8
练习
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
2. a14a21a33a44和a12a43a31a24是否为四阶行列式中的项， 若是，指出应冠以的符号
例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为0 ，
所以是偶排列.
例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为
t (３２５１４) ＝０＋１＋０＋３＋１＝ 5
排列 3 2 5 1 4 为奇排列. 例 3 排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为
nn 1
t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) =
2
§3 n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
aaa
11
12
13
aaa
21
22
23
aaa
31
32
33
a a a 11 22 33
123
a a a 12 23 31
231
a a a 13 21 32 312
a a a 11 23 32
132
a a a 12 21 33
213
a a a 13 22 31
a21 a22 ... a2n
an1 an2 ... ann
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
(1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 ......anjn
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源和发展介绍线性代数的起源和发展历程，理解线性代数在数学和其他领域的重要性。
1.2 向量空间和线性映射定义向量空间和线性映射，理解它们的基本性质和概念。
1.3 矩阵和行列式介绍矩阵和行列式的概念，理解它们在线性代数中的重要性。
1.4 线性方程组理解线性方程组的定义和性质，学习解线性方程组的方法。
第二章矩阵和行列式2.1 矩阵的概念和运算介绍矩阵的概念和基本运算，如加法、减法、乘法和转置。
2.2 行列式的定义和性质定义行列式并学习其基本性质，如行列式的值与矩阵的行（列）向量之间的关系。
2.3 行列式的计算学习计算行列式的不同方法，如按行（列）展开、代数余子式和行列式的逆。
2.4 矩阵的逆定义矩阵的逆并学习其性质，如矩阵的逆与矩阵的行列式之间的关系。
第三章线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。
3.2 克莱姆法则理解克莱姆法则的原理，学习如何使用克莱姆法则解线性方程组。
3.3 线性方程组的解的性质学习线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和有无限多解。
3.4 线性方程组的应用了解线性方程组在实际问题中的应用，如线性规划、电路分析和物理学中的问题。
第四章向量空间和线性映射4.1 向量空间的概念和性质定义向量空间并学习其基本性质，如向量加法和标量乘法的封闭性。
4.2 子空间和线性相关性理解子空间的概念并学习如何判断向量组线性相关性。
4.3 线性映射的概念和性质定义线性映射并学习其基本性质，如线性映射的矩阵表示和图像。
4.4 特征值和特征向量定义特征值和特征向量，学习如何求解线性映射的特征值和特征向量。
第五章特征值和特征向量5.1 特征值和特征向量的概念定义特征值和特征向量，理解它们在线性代数中的重要性。
5.2 特征值和特征向量的计算学习如何计算线性映射的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式。
5.3 特征空间和不变子空间理解特征空间和不变子空间的概念，学习它们的性质和应用。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版一、教案概述本教案以同济版《线性代数》教材为基础，共十个章节。
本教案的主要目标是帮助学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学目标1. 了解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性方程组等。
2. 掌握线性代数的基本运算，如矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
3. 学会解线性方程组，并能运用高斯消元法进行计算。
4. 理解线性空间、线性变换和特征值、特征向量的概念。
5. 学会运用线性代数的方法解决实际问题。
三、教学内容1. 向量：向量的概念、向量的运算、向量空间。
2. 矩阵：矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的逆。
3. 线性方程组：线性方程组的解法、高斯消元法。
4. 线性空间与线性变换：线性空间的概念、线性变换的概念、特征值与特征向量。
5. 应用举例：线性方程组的应用、线性变换的应用。
四、教学方法1. 讲授法：通过讲解，使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法。
2. 实践法：通过例题和习题，使学生熟悉线性代数的运算和应用。
3. 问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探讨，培养学生的解决问题的能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的表现。
2. 作业与测验：检查学生完成作业和测验的情况，评估学生的理解和掌握程度。
3. 课程报告：评估学生完成课程报告的质量，考察学生的独立研究和解决问题的能力。
六、教案内容第六章：向量空间与线性变换教学目标1. 理解向量空间的概念，包括基、维数、张量等。
2. 学习线性变换的定义和性质，包括线性变换的矩阵表示。
3. 掌握特征值和特征向量的概念，并学会求解线性变换的特征值和特征向量。
教学内容1. 向量空间：定义、基、维数、张量。
2. 线性变换：定义、性质、矩阵表示。
3. 特征值和特征向量：定义、求解方法、应用。
教学方法1. 讲授法：介绍向量空间和线性变换的基本概念。
2. 案例分析法：通过具体例子讲解特征值和特征向量的求解。
线性代数(同济六版珍藏版)
正交变换和配方法化简二次型
正交变换
通过正交矩阵对二次型进行变换，使得变换 后的二次型保持原有的性质，如形状、大小 等。正交变换可以简化二次型的计算过程。
配方法
通过配方的方法将二次型化为完全平方的形 式，从而更容易地找到其标准形。配方法适
用于特征值不易求解的情况。
正定矩阵概念及判别方法
要点一
正定矩阵定义
初等变换与等价关系
初等变换
对矩阵实施以下三种变换称为初等变换：(1) 对换两行；(2) 以非零数乘某一行； (3) 把某一行的若干倍加到另一行上。
等价关系
若两个矩阵可以通过有限次初等变换相互转化，则称这两个矩阵等价。等价关 系具有自反性、对称性和传递性。
02
行列式及其应用
n阶行列式定义及性质
01
两个矩阵行数相等、列 数相等且对应元素相等 。
只有同型矩阵才能相加 ，即把两个矩阵对应位 置的元素分别相加。
用数$k$乘以矩阵A的每 一个元素。
设$A=(a_{ij})$是$m times n$矩阵， $B=(b_{ij})$是$n times s$矩阵，那么规定A与B 的乘积是一个$m times s$矩阵C，其中C的第$i$ 行第$j$列元素是A的第 $i$行元素与B的第$j$列
特征值和特征向量在物理中应用
振动问题
在振动问题中，系统的质量和刚度矩阵 的特征值和特征向量决定了系统的固有 频率和振型。
VS
量子力学
在量子力学中，哈密顿算符的特征值和特 征向量分别对应于系统的能量本征值和波 函数。通过求解哈密顿算符的特征问题， 可以得到系统的能级和波函数。
06
二次型与正定矩阵
二次型概念及标准形
线性方程组解结构
最新整理线性代数教案 同济版word版本
线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p L 是1,2,,n L 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++L 。
2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n nnt p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑L L L L M M M L其中12n p p p L 为自然数1,2,,n L 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p L 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
2024年度(完整版)线性代数教案(正式打印版)
2023REPORTING (完整版)线性代数教案(正式打印版)•课程介绍与教学目标•行列式与矩阵•向量与向量空间•线性方程组与高斯消元法•特征值与特征向量•二次型与正定矩阵•线性变换与矩阵对角化•课程总结与复习指导目录CATALOGUE20232023REPORTINGPART01课程介绍与教学目标线性代数课程简介线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换及其性质。
它是现代数学、物理、工程等领域的基础课程，对于培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力具有重要作用。
本课程将系统介绍线性代数的基本概念、理论和方法，包括向量空间、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、线性变换等内容。
掌握线性代数的基本概念、理论和方法，理解其本质和思想。
能够运用所学知识解决实际问题，具备分析和解决问题的能力。
培养学生的抽象思维、逻辑推理和创新能力，提高学生的数学素养。
教学目标与要求教材及参考书目教材《线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社。
参考书目《线性代数及其应用》，David C.Lay著，机械工业出版社；《线性代数讲义》，Gilbert Strang著，清华大学出版社。
2023REPORTINGPART02行列式与矩阵•行列式的定义：由n阶方阵的元素所构成的代数和，其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。
行列式的性质行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和：a1j=b1+c1，a2j=b2+c2，....，anj=bn+cn ，则此行列式等于两个行列式之和。
行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
矩阵概念及运算矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。
线性代数教案设计同济版
适用标准线性代数课程教案学院、部系、所讲课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教课设计授型理授 3授目（教课章或主）：第一章队列式§ 1二与三队列式§ 2全摆列及其逆序数§ 3n 队列式的定§ 4本授元教课目或要求：1. 会用角法算 2和 3 队列式。
2.知道 n 队列式的定。
本授元教课内容（包含基本内容、要点、点，以及引学生解决要点点的方法、例等）：基本内容：队列式的定1.算摆列的逆序数的方法p1 p2p n是1,2,, n n 个自然数的任一摆列，并定由小到大准序次。
先看有多少个比p1大的数排在p1前面， t1；再看有多少个比p2大的数排在p2前面， t2；⋯⋯最后看有多少个比p n大的数排在p n前面， t n；此摆列的逆序数t t1t2t n。
2.n 队列式a11a12a1nD a21a22a2 n( 1)t a1 p a2 p2a npn( p1 p2 p n )1a n1a n 2a nn此中 p1 p2p n自然数1,2,, n 的一个摆列，t 个摆列的逆序数，乞降符号∑是全部摆列( p1 p2 p n ) 乞降。
n 队列式D中所含n2个数叫做D的元素，位于第i 行第 j 列的元素a ij，叫做 D 的 (i , j ) 元。
3. 角法：只2和 3队列式合用D a11a12a11a22 a12a21 a21a22a11a12a13D a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a13a22a31a12a21a33a11a23a32要点和难点：理解队列式的定义队列式的定义中应注意两点：(1)和式中的任一项为哪一项取自D 中不一样行、不一样列的n 个元素的乘积。
由摆列知识可知， D 中这样的乘积共有 n! 项。
(2)和式中的任一项都带有符号( 1)t，为摆列 ( p p p )的逆序数，即当 p p p 是偶摆列时，t 1 2n 1 2n 对应的项取正号；当 p1 p2p n是奇摆列时，对应的项取负号。
1、线性代数(同济六版珍藏版)-125页
解 各行都加到第一行，
a 3x D x
p 1
p j
p i
p) n
a1
p1
aip j
a
jpi
anpn
= −D
例3
a11 a12 a13 ka11 ka12 ka13 k a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a11
k a21 a22 a23 ka21 ka22 ka23 a21
a31 a32 a31
a12 a22 ka32
a13 a23 ka33
10 2
例4 若D 3 1 0 ，
1 2 1
2 0 4
10 2
则 3 1 0 (2) 3 1 0 (2)D
1 2 1
1 2 1
例5
1 1 2
0 1 5 =0
2 2 4
例6
1 1
2
1 1 2 1 1 2
t( j1 j2 jn )是排列 j1 j2 jn 的逆序数 . 即
a11 a12 ... a1n
(1) a21 a22 ... a2n
a a ...... a t ( j1 j2 ...... jn )
1 j1 2 j2
njn
an1 an2 ... ann
例 1 下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 a11a 22 a 33 a31 a32 a33
1线性代数同济六版一元一次方程axb一元二次方程二元三元线性方程组行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性矩阵的特征值和特征向量一元一次方程axb当a0时二元三元线性方程组例解二元线性方程组得于是类似地可得于是第一章行列式1二阶与三阶行列式线性方程组消去x2的两边后两式相加得消元法记称它为二阶行列式于是线性方组1的解可以写为定义为类似地可得类似的我们还可以定义三阶行列式为n阶排列共有n
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源与发展介绍线性代数的概念、起源和发展历程。
强调线性代数在数学、物理、工程、计算机科学等领域的应用。
1.2 为什么要学习线性代数解释线性代数的重要性，包括解决实际问题和理论研究。
引导学生理解线性代数与其他数学分支的关系。
1.3 线性代数的基本概念介绍向量、向量空间、线性相关与线性无关等基本概念。
解释向量的几何表示和坐标表示。
1.4 线性方程组介绍线性方程组的定义和基本性质。
解释线性方程组的解法和求解过程。
第二章矩阵及其运算2.1 矩阵的定义与基本性质介绍矩阵的概念和矩阵的元素。
解释矩阵的运算规则和矩阵的转置。
2.2 矩阵的运算教授矩阵的加法、减法、乘法、除法等基本运算。
给出矩阵运算的例子和练习题。
2.3 逆矩阵介绍逆矩阵的概念和性质。
教授逆矩阵的求法和应用。
2.4 矩阵的特殊类型介绍单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵等特殊类型的矩阵。
解释特殊矩阵的性质和应用。
第三章线性方程组的求解3.1 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤。
给出高斯消元法的例题和练习题。
3.2 克莱姆法则介绍克莱姆法则的原理和条件。
解释克莱姆法则的应用和求解过程。
3.3 矩阵的秩介绍矩阵秩的概念和性质。
教授矩阵秩的求法和应用。
3.4 线性方程组的解的结构解释线性方程组解的性质和结构。
给出线性方程组解的例子和练习题。
第四章向量空间与线性变换4.1 向量空间的概念与性质介绍向量空间的概念和向量空间的性质。
解释向量空间的基本运算和向量空间的基。
4.2 线性变换的概念与性质介绍线性变换的定义和性质。
解释线性变换的矩阵表示和线性变换的域。
4.3 线性变换的运算教授线性变换的加法、减法和乘法等运算。
给出线性变换的例子和练习题。
4.4 特征值与特征向量介绍特征值和特征向量的概念和性质。
教授特征值和特征向量的求法和应用。
第五章特征值与特征向量5.1 特征值和特征向量的概念与性质介绍特征值和特征向量的定义和性质。
线性代数 第六版线性代数智能电子教案 学习模型[1页]
![线性代数 第六版线性代数智能电子教案 学习模型[1页]](https://img.taocdn.com/s3/m/dab07d15a200a6c30c22590102020740be1ecdb3.png)
对换模型481765392对逆序数20排列20逆序数481765392利用该模型研究以下问题1什么叫奇排列？什么叫偶排列2什么叫对换？3对换排列中任意两个元素，排化？把你观察出的结论描述出4在模型中任意输入一个排列，准排列，观察对换的次数与排12-237-5202-2行列式的定义模型展清=12*(-5)*(-2)+ (-2)*2*0+ 3*7*2利用该模型研究以下问题1在三阶行列式的定义中，每一项是3这3个元素在行列式中的位置有什么2三阶行列式的定义中有6项，按相同列式应该有多少项，n 阶行列式呢？3在三阶行列式定义中的6项中，有3项代数余子式性质模型21-511-30-602-1214-76按行号为4按列号为4利用该模型研究以下问题1什么叫余2什么叫代3在模型中行（或列矩阵乘积模型135234-941243432154-26534利用该模型研究以下问题1两个矩阵的行数2乘积矩阵的行数3在模型中输入一 A 的逆矩阵为：矩阵的求逆模型10001052-9A =-1/ 9-9 0 0 0-9 0-5-2 1A -1=,det A 利用该模型1求秩模型2-3424-6837901111A ＝四请选择子式的行和列确利用该模型研究以202A =三阶矩阵的判定模型利用初等矩阵模型利用该模型研究以下质初等矩阵的性质: E (i, j )⨯A 3 ⨯ 1 02请先输入i , j 的值i =j =1质初等矩阵的性质: A 3 ⨯3 ⨯E (i (k )请先输入i , k 的值质初等矩阵的性质: E (ij (k ))⨯A 3 求逆序数模型214395768本模型最多只能处理9个元素的排列请在下列输入框中输入互不相等的单个数字计 清811t=0+1+0+1+0+1+1+2+1于是排列的逆序数为元素的前面有个利用该模型研究以下问题1什么叫排列的逆序数？2利用本模型探究排列逆序数的计3排列的逆序数还有其他计算方法洁的语言叙述之。
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§3 n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31
= λ1λ 2 λ 3 λ 4
λ1 λ2
⋰
= ( − 1)
n( n− 1) 2
λ1λ 2 ⋯⋯ λ n
λn
§4
对换
对换 相邻对换 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 先证相邻对换的情形. 证 先证相邻对换的情形 设排列
a1 …… a k abb1 …… bm ,
行列式中的项. 行列式中的项 a 12 a 43 a 31 a 24 = a 12 a 24 a 31 a 43
(− 1)t (2413 ) a 12 a 24 a 31 a 43 a = (− 1)3 a 12 a 24 a 31 a 43 = − a 12 a 24 a 31 a 43
1 1 ⋰ 1 = ( − 1)
a 11 a 21
a 12 a 22
= a11 a 22 − a12 a 21
于是，线性方组（ ） 于是，线性方组（1）的解可以写为
b1 b2 x1 = a 11 a 21
a 12 a 22 , a 12 a 22
a 11 a 21 x2 = a 11 a 21
b1 b2 a 12 a 22
类似的，我们还可以定义三阶行列式为 类似的，
a11 a 21 ⋮ an1
a12 a 22 ⋮ an 2
... a1 n ... a 2 n t ( j1 j 2 ...... jn ) a1 j1 a 2 j2 ...... a njn ⋮ = ∑ (−1) ... a nn
例 1 下三角行列式
a11 a 21 a 31
0 a 22 a 32
± a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3
(−1)
t ( j1 j 2 j 3 )
a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3
三阶行列式是 3 != 6 项 的代数和. 的代数和
三阶行列式可以写成
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 23
a13 t ( j1 j 2 j 3 ) a 23 = ∑ (−1) a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 33
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 13 a 23 = a11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 a 33 − a a a − a a a − a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31
§2 全排列及其逆序数
a11 a12 ⋯ b1 j ⋯ a1n a11 a12 ⋯ c1 j ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ b2 j ⋯ a2n a21 a22 ⋯ c2 j ⋯ a2n = + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ bnj ⋯ ann an1 an2 ⋯ cnj ⋯ ann
把行列式的某行（ 性质 6 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另 一行（ 的对应元素上去，行列式的值不变 一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.
2 × (1) − 3 × (2 )
(+
7 x1 = 14 x1 = 2
7 x 2 = 42
类似地， 类似地，可得 于是
x2 = 6
消元法 线性方程组
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
的两边后,两式相加得 的两边后 两式相加得
0 0 = a 11 a 22 a 33 a 33
例2 下三角行列式
a11 a 21 ⋮ an1
0 a 22 ⋮ an 2
... ... ⋱
0 0
= a11a 22 …… a nn
... a nn
例 3 三阶行列式
λ1 λ2 λ3
= − λ1λ 2 λ 3
例4 四阶行列式
λ1 λ2 λ3 λ4
例5 n 阶行列式
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
( −1) t ( j1 j2 ⋯⋯ jn ) a1 j1 a 2 j2 ...... a njn
2， 的一个排列， 其中 j1 j2 ⋯⋯ jn是 1， ⋯⋯，n 的一个排列， 项的代数和， 项的代数和，
t ( j1 j 2 ⋯⋯ jn )是排列 j1 j 2 ⋯⋯ jn 的逆序数 . 即
例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为 t (３２５１４) ＝０＋１＋０＋３＋１＝ 5 为奇排列. 排列 3 2 5 1 4 为奇排列 例 3 排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为
n(n − 1) t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) = 2
定理 2 n 阶行列式也可以定义为
D = ∑ (−1)
t ( p1 p2 ⋯⋯ pn )
a p1 1a p2 2 …… a pn n
排列 53142 经对换1与 经对换 与4 得排列 53412 求这两个排列的逆序数. 求这两个排列的逆序数 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7 t(53412) = 0+1+1+3+3=8
1 b b2
1 c c2
1 a a2
= 1 b b2
1 c
c2
1 例2 a a2 a3
1 b b2 b3
1 c c2 c3
1 d d2 d3
=−
a2 a 1 a3
b2 b 1 b3
c2 c 1 c3
d2 d 1 d3
性质 2 的证明 两行,得行列式 设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i＜ j ) 两行 得行列式
的某一列（ 性质 5 若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和 ， 则此行列式等于两个行列式之和 . 例如
a11 a 21 ⋮ an1
a12 a 22
⋯ (b1 j + c1 j ) ⋯ a1 n ⋯ (b2 j + c 2 j ) ⋯ a 2 n
⋮ ⋮ ⋮ a n 2 ⋯ (bnj + cnj ) ⋯ ann
n( n− 1) 2
3.
§5 行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等 行列式与它的转置行列式相等. 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号 互换行列式的两行（ ），行列式变号. 行列式变号 两行（ 相同的行列式值为零. 推论 两行（列）相同的行列式值为零 行列式的某一行（ 性质 3 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个 数 k , 等于用数 k 乘此行列式 . 行列式中某一行（ 推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号 外面. 外面 性质4 行列式中如果有两行（ 性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列 式等于零. 式等于零
设
记
a11 a12 … a1n D= a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 … ann ,
T
a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 D = , ⋮ ⋮ ⋮ a1n a2 n … ann
的转置行列式. 行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式 那么 DT = D
1 例1 a a2
b11 b12 … b1n D1 = b21 b22 … b2 n ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn2 … bnn ,
其中， 其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip , 当 于是 t( p … p … p … p ) = ∑ (−1) 1 i j n b1 p1 ⋯bipi ⋯b jp j ⋯bnpn D1
排成一列， 阶全排列. 把 1, 2, ……, n 排成一列，称为一个 n 阶全排列 三 阶排列 j1 j 2 j 3 共有3× × 共有 ×2×1=3!个. 个 n 阶排列共有 n!个. ! 在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有 一个逆序 逆序. 一个逆序 一个排列中所有逆序的总数. 排列的逆序数 一个排列中所有逆序的总数 逆序数为偶数的排列 偶排列 逆序数为偶数的排列. 奇排列 逆序数为奇数的排列. 逆序数为奇数的排列 称为自然排列，它的逆序数为0 例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为 ， 所以是偶排列. 所以是偶排列
பைடு நூலகம்例1
练习 1. 选择 i 与 k 使 成偶排列; （1）2 5 i 1 k 成偶排列 ） 成奇排列. （2）2 5 i 1 k 成奇排列 ）
2. a 14 a 21 a 33 a 44 和 a 12 a 43 a 31 a 24 是否为四阶行列式中的 项，
若是， 若是，指出应冠以的符号 3.计算 阶行列式 计算n 计算 1 1 ⋰ 1
经对换 a 与 b ,得排列 得排列 那么
a1 …… a k bab1 …… bm ,
t (a1 ……ak bab1 ……bm ) = t (a1 ……ak abb1 ……bm ) ± 1