5_内积空间与希尔伯特空间(讲稿)

其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影
定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特
有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫
空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来
判定最佳逼近的存在性和唯一性。
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定理14 (投影定理) 设M是希尔伯特空间H的闭线性子空间,则对
xH在M中存在唯一的正交投影x0, 使得
x =x0+x1
(其中x1M).
证 xH, 令x到M的距离
{yn}M, 使得||yn-x||d (n) (下确界定义)
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1) 证明 {yn}是基本列 M是H的线性子空间ym,ynM,有
(2) 距离函数 (x, y) x y x y, x y 称为由内积诱导的距离。
注: (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系—— 许瓦兹不等式 x, y x y . (2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：
x, y 1 ( x y 2 x y 2 i x iy 2 i x iy 2) 4
<·,·>:HHK, 使得：对x,y,zH,K,满足
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则称<x, y>为数域K中x与y的内积,而称定义了内积的空间H为 内积空间。 注：1) 当数域K为实数域时，称H为实的内积空间；
当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。
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2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离 定义2 (1) 范数 x x, x 称为由内积诱导的范数。
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n
例1 n维欧氏空间Rn按照内积 x, y xk yk 是内积空间。 k 1
Rn按照由内积导出的范数 x 因而是Hilbert空间。
n
x
2 k
是Banach空间，
k 1
Rn中由内积导出的距离为
(x, y)
x
y, x
y
n i 1
xi
yi
2
1 2Βιβλιοθήκη ||x1+x2+…+xn||2=||x1||2+ ||x2||2+…||xn||2
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定理7 设H是内积空间，若M={e1,e2,..,en,… }H是标准正交系,则 {e1,e2,…,en,…}是线性独立系，即{e1,e2,..,en,… }中的任何有限组是 线性无关的。
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第五章 内积空间与希尔伯特空间
•内积空间与希尔伯特空间 •欧氏空间线性空间+内积内积空间 •内积空间+完备性希尔伯特空间
元素的长度（范数） •内积空间特点：
两向量夹角与正交
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一、内积空间与希尔伯特空间的概念
1 内积与内积空间
定义1 设H是数域K上的线性空间，定义函数
表示x到M的最短距离
表示x在M上的正交投影 最佳逼近问题实际上就是求正交投影的问题
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(2) 最佳逼近问题的求解步骤： 设{xn}M线性无关，记M=span{x1, x2, …, xn}H M是H的闭线性子空间 唯一的x0: 使得||x-x0||=inf ||x-y||, 且对yM, 有<x-x0,y>=0
证 n, 令1e1+…+nen= 0 <1e1+…+nen, ej> = 0 j<ej,ej> =j = 0
e1,…,en线性无关{e1,…,en,…}是线性独立系。
定理8 (Gram-Schmidt正交化定理)设H是内积空间,{x1,x2,..,xn,…}H 是H中任一个线性独立系,则可将其进行标准正交化，得到一个标准 正交系。
(3) 由内积诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导 出的范数,是线性赋范空间。但反之不然
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3 线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的 充分必要条件
定理1 线性赋范空间X是内积空间x,yX,有
||x+y||2 + ||x-y||2=2||x||2 + 2||y||2 (平行四边形公式或中线公式) 4 希尔伯特空间 定义3 设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach 空间，则称H是希尔伯特空间。
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例2 l 2空间按照内积 x, y xk yk 是内积空间。 k 1 (许瓦兹不等式)
l 2按照由内积导出的范数 x xk2 k 1 是Banach空间，因而是Hilbert空间。
l 2中由内积导出的距离为
(x, y)
x
y, x
y
i 1
xi
{xn}L, xnx, zM <x, z>=lim <xn, z>=0 xM M为H的闭子空间
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2 正交分解与正交投影
定义10 (正交分解与正交投影) 设H是内积空间，MH是线性子
空间，xH,如果存在x0M, x1M, 使得
x = x0+x1
（1）
则称x0为x在M上的正交投影，而称(1)式为x关于M的正交分解。
C[a,b]不是内积空间
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5 内积空间中的极限
定义4 （极限）设X是内积空间，{xn}X, xX 及yX,
xn
,
x
lim
n
xn
x,
y
0
lim
n
xn,
y
x,
y
定理2 设H是希尔伯特空间，则H中的内积<x,y>是x,y的连续函数,
即{xn}、{yn}H, x, yH, 若xnx, yny, 则<xn,yn><x,y>. （线性运算对内积的连续性）
即对任何数组1, 2,…,n,有
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2 正交投影的应用——最佳逼近问题 (1)最佳逼近问题的一般提法:设H是Hilbert空间,x, x1, x2, …, xnH,
要求寻找出n个数1,2,…,n, 使得
即要求出
使得||x-x0||最小。
(2)最佳逼近问题的几何解释：记M=span{x1, x2, …, xn}H,则 表示x到M上某点的距离
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0 ||ym-yn||2 = ||(ym-x)+(x-yn)||2 = ||(ym-x)+(x-yn)||2+||(ym-x)-(x-yn)||2-||(ym-x)-(x-yn)||2 = 2||ym-x||2+2||x-yn||2-||(ym+ yn)-2x||2 (平行四边形公式) 2||ym-x||2+2||x-yn||2-4d 20 (m,n)
<x-x0, xk> =0 (xkM, k =1,2,…,n) <x0, xk>=<x, xk> (xkM, k =1,2,…,n)
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三、内积空间中的正交系与傅立叶级数
在解析几何中，向量i, j, k起着坐标架的作用,他们两两正交,R3中 一切向量x都能由他们线性表示：x=x1i+x2j+x3k。这是解析几何的 基础。
(x, y)
x y, x y
b
x(t)
y(t)
2
1
2
a
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例4
C[a,b]按照范数
x
max
t[ a ,b ]
x(t) 是线性赋范空间，
但C[a,b]不是内积空间.
证 取x =1, y =(t-a)/(b-a)C[a,b] ||x||=1, ||y||=1 ||x+y||=max|1+(t-a)/(b-a)|=2, ||x-y||=max|1-(t-a)/(b-a)|=1 ||x+y||2+||x-y||2=54=2(||x||2+||y||2) C[a,b]中范数不满足平行四边形公式， 因而不是由内积导出的范数
注：正交补的性质： (1) H {0},{0} H
(2) M H, M M {0} (3) M H, M 是H的闭线性子空间，即H的
完备子空间. 事实上，x, yM及zM,有<x, z>=0,<y, z>=0
<x+y, z>= <x, z>+ <x, z> =0 <x+y, z>MM为H线性子空间
证 xnx ||xn-x|| 0 yny ||yn-y|| 0
|<xn,yn> - < x,y> |<xn,yn> - <x,yn>| +|<x,yn> - <x,y>| ||xn-x|| ||yn|| + ||x|| ||yn-y||0
<xn,yn> <x,y> (n) 注：距离函数、范数、内积都是连续函数
yi
2
1
2
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例3 L2[a,b]空间按照内积 x, y b x(t) y(t)dt 是内积空间。 a
L2[a,b]按照由内积导出的范数
x b x(t) 2 dt 1 2
a
是Banach空间，因而是Hilbert空间。
L2[a,b]中由内积导出的距离为
z,
x x0 z2
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4) 证明x0 是唯一的，从而上述正交分解式也是唯一的 设 是x在M上的两个正交投影，则
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注：1)由定理的证明过程易知,只要M是H的完备子空间,而H本身 不完备,定理结论也成立.从而上述正交分解式也唯一. 是x在内积空间H上的正交投影 2) 设{en}是内积空间H的标准正交系, xH, {ck}={<x,ek>}, 则
x
它们的内积等于0，而向量x在空间中坐标平
x1
面上的正交投影向量x0是将向量的起点移到 坐标原点，过向量的终点做平面的垂线所得 的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且
x0
有x=x0+x1, 其中x1该坐标平面。这时称 x=x0+x1为x关于做表面的正交分解。
下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。
1 正交的概念 定义5 (正交) 设H是内积空间,x,yH, M,N H.
(1) xy <x,y>=0; (2) xM yM, 都有<x,y> =0;
(3) MNxM，yN,都有<x,y>=0. 定理4 (勾股定理)设H是内积空间,若x,yH, 且xy, 则
||x+y||2=||x||2+||y||2 注:1）在一般的内积空间中，若xy，则有勾股定理
||x+y||2=||x||2+||y||2成立，但反之不然。 事实上， ||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y) 2）在实内积空间中，xy||x+y||2=||x||2+||y||2，即勾股定理成立
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定义6 (正交补) 设H是内积空间,MH, 称集合 M={x| xy, yM} 为M在H中的正交补。
{xn}是基本列 2) 证明 {xn}在M中收敛 M 是Hilbert空间的闭线性子空间M是完备的
x0M, 使ynx0 ,||yn-x||||x0-x|| (n)
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3) 证明x0 是x在M中的正交投影
记x1=x-x0, zM, z, C x0+zM
特取
x
x0, z z2
定理3 设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使X与H的稠 密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空间是 唯一的。
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二、内积空间中的正交分解与投影定理
在解析几何中，有向量正交和向量投影的
概念，而且两个向量正交的充分必要条件是
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6 内积空间的完备化 定义5 (内积空间的同构) 设X,Y是同一数域K上的内积空间，若存
在映射T: XY,保持线性运算和内积不变,即x,yX, , K,有 (1) T(x+y)=Tx+Ty, (2) <Tx,Ty>=<x,y>
则称内积空间X与Y同构,而称T为内积空间X到Y的同构映射。
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例如 (1) i, j, k 是R3中的标准正交系。 (2)
是L2[-, ] 中的标准正交系。
(3) e1=(1,0,…,0,0,0,…), e2=(0,1,…,0,0,0,…),…,en=(0,0,…,0,1,0,…) 是l 2 中的标准正交系。
2 正交的性质 定理4 (勾股定理的推广)设H是内积空间，若{x1,x2,..,xn}H是正 交系，则
R3中的向量正交概念 一般内积空间中的向量正交概念
1 正交系的概念
定义7 (正交集与标准正交系) 设H是内积空间,MH,(1)如果对
x,yM, xy, 都有<x,y>=0，则称M是H中的正交系。
(2) 设{en}H, 若
0, m n; em , en 1, m n.
则称{en}是H中的标准正交系。