清北学堂物理竞赛模拟题及参考答案
清北学堂2018年全国中学生物理竞赛模拟题六试题答案
清北学堂2018年全国中学生物理竞赛模拟题六答案1. 设N 0=kmg ,先分析最底下一组两个劈状物,作为一个整体的受力如图所示。
由质心运动定律可得N+2mg −N 0=2ma cy =m a y (1) 上式中a y 是最底下一组中右上方劈状物的y 方向加速度。
现取此劈状物为参照系，在此非惯性参照系中，此物的上表面即为固定的桌面，其上方还有无限多组劈状物的受力中还应加上一个方向向上惯性力f i =ma y ,因此，各物所受的重力变为m g ′=mg −ma y ,即有:g ′=g −a y .所以有N =km g ′,将此代入（1）式，可得 km g ′+2mg −kmg =ma y →a y =2k +1g (2)再仔细分析一下最底下一组两个劈状物的情况，由左下物受力可得： N ′sinθ=ma x (3) N 0=mg +N ′cosθ (4)由左下和右上两物沿垂直于斜面方向加速度相同，可得 a x sin θ=a y cos θ−a x sin θ (5) 由（2），（3），（4），（5）式可解得： k =1sin θ即体系对桌面的压力为N 0=mgsin θ2. 对左室气体（1），有T 0V 0γ−1=T 1V 1γ−1→T 1=2γ−1T 0（1） 内能的增量 ∆U 1=m 1μC v T 1−T 0 =m 1μC v 2γ−1−1 T 0（2）对右室气体（2），有 T 0V 0γ−1=T 2V 2γ−1→ T 2= 23γ−1T 0（3）内能的增量 ∆U 2=m 2μC v T 2−T 0 =m 2μC v 23γ−1−1 T 0（4）由于m 1=m 2=m ,于是由（2），（4）式可得两部分气体总的内能增量为 ∆U=∆U 1+∆U 2=mμC v 2γ−1+ 23γ−1−2 T 0（5）在两部分气体混合过程中，与外界无功于热量的交换，因此总内能保持不变，即 U =U 0+ ∆U =2m μC v T 0+∆U =m μC v2γ−1+ 23 γ−1T 0（6）、设混合后气体达平衡态后温度为T ， U =2m μC v T （7）由（6），（7）式可得 T =122γ−1+ 23γ−1T 0（8）体系初，终态的状态方程为： P 0 2V 0 =2m μRT 0，P 2V 0 =2m μR T由此可得气体最终的压强为P =T T 0P 0=12 2γ−1+ 23γ−1P 0=1.18P 0 γ=533. 当线圈位于x 处时，线圈中的感应电动势为： ε动 = −dΦdt =−ddt −B x πR 2 =−k πR 2dxdtε动 = −k πR 2v (1) 另有，ε动 = −∮ v ×B ∙dl =−∮vB r dl 2πR0 = −v B r 2πR (2)由（1），（2）式可得：B r = 12 kR = C (3)(3)式也可以用高斯定理获得：如图取一段以x 轴为轴、以R 为半径的圆柱形高斯面，根据高斯定理，有：∮B ∙dS = −πR 2B x (0)+πR 2B x x 0 + 2πR ∙x 0∙B r= −πR 2C +πR 2 C −kx 0 + 2πR ∙x 0∙B r = 0∴B r = 12 kR因超导线圈电阻为零，因此有： ε总 = ε动 + ε自= IR = 0根据法拉第电磁感应定律可知，线圈中的磁通量保持不变。
清北学堂物理竞赛考前练习题第六套
(20)由 (11)、(12)、(20) 式得
5、分析： 由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又
成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重
合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。
解：设两平面镜 A 和 B 的夹角为 2θ ，物 P 处在他们的角等分线上，如图 1-2-9（a）所 示。以两镜交线经过的 O 点为圆心，OP 为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平
图 13
三、如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中 B、C 两点与其右方由 1.0Ω 的电阻和
2.0Ω 的电阻构成的无穷组合电路相接．求图中 10μ F 的电容器与 E 点相接的极板上的电荷
量．
10 B 1.0
1.0 1.0 1.0 „
20V
20F
A
D
2.0 2.0 2.0
30 20F 10F
E
根据(5)、(6)、(7)、(8)、(9) 式并代入 C1、C2 和 C3 之值后可得 Q3 1.3 10 4 C （10） 即电容器 C3 与 E 点相接的极板带负电，电荷量为1.3104 C ．
4、设从烧断线到砝码 1 与弹簧分离经历的时间为t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图 1 所示：图中，F 表示t 时间内任意时刻弹簧的弹力，T 表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg 为重力， T0 为悬挂托盘的绳的拉力．因 D 的质量忽略不计，有
2010 年北京清北学堂竞赛模拟题六
一、如图 12 是用高电阻放电法测电容的实验电路图，其原理是测出电容器在充电电压 为 U 时所带的电荷量 Q，从而求出其电容 C.该实验的操作步骤如下：①按电路图接好实验 电路;②接通开关 S，调节电阻箱 R 的阻值，使微安表的指针接近满刻度，记下这时的电压 表读数 U0＝6.2 V 和微安表读数 I0＝490 μ A;③断开电键 S 并同时开始计时，每隔 5 s 或 10 s 读一次微安表的读数 i,将读数记录在预先设计的表格中;④根据表格中的 12 组数据，以 t 为横坐标，i 为纵坐标，在坐标纸上描点(图中用“×”表示),则：
清北学堂物理竞赛考前练习题第一套(附答案详解)
北京清北学堂竞赛模拟一1、我国于2007年10月24日发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示。
卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测。
已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道与工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则（）A．卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度aB．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为bC．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为3baD．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的向心加速度之比为2b2、如图所示，一条足够长的水平张紧的弹性绳上，有两列小振幅的简谐横波a（实线）和b （虚线），分别沿相反方向传播，a波向右，b波向左，两列波的波长λa=1.5λb，振幅均为A。
图为在t0时刻两列波相遇的情况，在此时刻，绳上P点的合位移恰好为零。
为了在以后的t1时刻P点的合位移为2A，且位于平衡位置上方，这两列波在t0至t1时间内沿水平方向各自传播的距离可以是（）Ａ．1λa和1.5λb Ｂ．2λa和3λbＣ．2λa和4.5λb Ｄ．4λa和6λb3．已知如图，带电小球A、B的电荷分别为Q A、Q B，OA=OB，都用长L的丝线悬挂在O点，其中球A与左边绝缘墙紧靠但不粘连。
静止时A、B相距为d。
为使平衡时AB间距离减为d/2，可采用以下哪些方法A．将小球A、B的质量都增加到原来的2倍B．将小球B的质量增加到原来的8倍C．将小球A、B的电荷量都增加到原来的3倍D．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半4．在空中某处同时以大小相同的速度υ=20m／s抛出两个小球，其中一个小球水平抛出，另一个小球与水平面成60 斜向下抛出，两个小球的运动在同一竖直平面内，经过3s后两小球之间的距离为234A. 30mB. 45mC. 60mD. 10 m5. 一个灯泡的电阻R0=2Ω，正常工作电压U0=4.5V，由电动势U=6V、内阻可忽略的电池供电。
清北学堂第37届全国中学生物理竞赛理论考试模拟试题
三、（40 分） 两块相对介电常数分别为ϵ1 的半无限大电介质拼接在一起。有一个带电量为 q0
的电荷被放置在电介质 1 中，距离界面 a。 （1）利用电介质电相法说明在介质 1、2 中的电场等效于哪一个或多个点电荷产生的电场。 （2）利用电介质电相法算出两介质表面某一位置的总电荷面密度。 （3）不利用电介质电相法算出两介质表面某一位置的总电荷面密度。 （4）算出两介质表面的总电荷
二、（40 分） 当太阳系不再适合人类生存时，人类的其中一个选择便是给地球安装“行星发动
机”，带着地球离开太阳系，我们下面计算这个模型。 （1）行星发动机是通过常见元素的核聚变获得能量的。已知两个碳-12 通过核反应形
成镁元素。假设两个反应的碳-12 反应时几乎静止，发动机通过发射该反应产生的能量的 光子获得推力。已知碳-12 质量 12.00000u，镁-24 质量 23.98513u，试求一秒钟反应一千 克碳-12 产生的推力。(uc2=931.49MeV)
八、（40 分）
玻色子（boson）是遵循玻色-爱因斯坦统计，自旋量子数子可以同时处于同一个状态。它在低温时可以发生一种
清北学堂物理VIP班竞赛模拟题六
清北学堂物理VIP 班竞赛模拟题六命题人：郑永令教授1、如图所示，六面体框架由12个不同电阻组成，已知R 1=12Ω，其余未知，测得A 、B 间总阻为4Ω，若R 1变为6Ω，则A 、B 间电阻变为多大 .2、如图所示，在边长均为l 的三角形绝缘支架的三个点上各固定着质量均为m ，电量分别为-q ，+2q ，+2q 的A ，B ，C 小球，球A 用绝缘细线吊于天花板上，整个装置处于场强为E 的竖直向下的匀强电场中，支架重不计，则悬线的张力大小为_______.3、有两块无限大的均匀带电平面，一块带正电，一块带负电，单位面积所带电荷量的数值相等。
现把两带电平面正交放置如图所示。
图中直线A 1B 1和A 2B 2分别为带正电的平面和带负电的平面与纸面正交的交线，O 为两交线的交点。
(i)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场（场强和电势）具有对称性的特点，并取O 点作为电势的零点，在右面给的整个图上画出电场（正、负电荷产生的总电场）中电势分别为0、1V 、2V 、3V 、−1V 、−2V 和−3V 的等势面与纸面的交线的示意图，并标出每个等势面的电势。
(ii)若每个带电平面单独产生的电场的场强是E 0=1.0V/m ，则可求出（i ）中相邻两等势面间的距离d =________________________________。
14、一电流表，其内阻R g=10.0Ω，如果将它与一阻值R0=44990Ω的定值电阻串联，便可成为一量程U0=50V的电压表。
现把此电流表改装成一块双量程的电压表，两个量程分别为U01=5V 和U02=10V。
当用此电压表的5V挡去测量一直流电源两端的电压时，电压表的示数为4.50V；当用此电压表的10V挡去测量该电源两端的电压时，电压表的示数为4.80V。
问此电源的电动势为多少？5、如图所示，一矩形绝缘木板放在光滑水平面上，另一质量为m、带电量为q的小物块沿木板上表面以某一初速度从A端沿水平方向滑入，木板周围空间存在足够大、方向竖直向下的匀强电场．已知物块与木板间有摩擦，物块沿木板运动到B端恰好相对静止．若将匀强电场的方向改为竖直向上，大小不变，且物块仍以原初速度沿木板上表面从A端滑入，结果物块运动到木板中点时相对静止．求：⑴物块所带电荷的性质．⑵匀强电场场强的大小6、宇宙飞船是人类进行空间探索的重要设备，当飞船升空进入轨道后，由于各种原因经常会出现不同程度的偏离轨道现象。
清北学堂高中物理竞赛模拟题2
一类是磁化电流，它是由磁介质的分子决定的电流（安培曾提出过分子环流假说），没有热效应。
为便于理解，如下图所示， 0为线圈中的传导电流， 为磁介质中的磁化电流。现定义，在线性磁
介质中，
0 ， 称为磁介质的磁导率， 定义为磁场强度。在本题中我们认为
，
然而对于空气（或真空），
恒成立。可以证明
0
0
其中 0 为通过环路 L 的传导电流。 如图一，设环形细铁芯的磁导率为 ，由于 很大，磁场线几乎全部集中在铁芯环中，漏磁可以 忽略。在铁芯的一部分处缠绕线圈，匝数为 N，线圈电流为 I，铁芯的横截面积为 S，周长为 l， 试求出磁通量大小 。磁通量仍然定义为：
（3.2）在上一问的条件下，试讨论 e 0 R μ的取值，求发生第 n 次碰撞后的瞬间球体的速度 、转动 角速度 以及此时的时刻 。
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头方向的夹角 0 的可能取值（逆时针为正）。
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五、（40 分） 磁场的作用，从宏观到微观，从电流到粒子： 众所周知，磁场和电流满足安培环路定理
0
其中
为通过环路 L 的所有电流。，我们现将该定律扩展一下：
“所有电流”包含两个部分：一类是传导电流，这是由导线中的自由电子决定的电流，有热效应；
二、温室效应对地表温度的影响。（35 分） 假设把太阳和地球当做理想黑体，太阳的辐射场均匀，且不考虑太阳和地球相对运动带来的影响。已 知太阳的温度为 ,半径为 R;日地距离为 d，地球的半径为 r,地球表面由于冰川的存在对太阳辐射的 平均反射率为 Q。试利用此简化模型进行估算（ 6000K，R 7 × 0 ， ͳ × 0 ， 6㌳00 ，Q 0ͳ3） （1）假设地球上没有大气，试计算地球达到辐射平衡时的温度 。 （2）考虑大气的影响，把大气理想化为灰体，已知太阳的辐射主要为短波辐射，大气层对这部分热 辐射不吸收也不反射，而地球的热辐射主要为长波辐射，大气对其吸收率和热辐射的放射率均为P, 试 求辐射平衡时地球和大气的温度分别为多少？（P 0ͳ7 ） （3）如果温室气体增多，且与大气分布在不同的高度,在大气层之内，相当于又增加了一层温室气体 层，大气和温室气体的辐射也为长波辐射，温室气体对长波辐射吸收率和热辐射的放射率均为 W，试 求稳定时地球的温度和由于温室气体增多带来的升温为多少（与第 2 问相比）？（W 0ͳ7 ）
清北学堂第37 届全国中学生物理竞赛理论考试模拟试题
五、（40 分）
（1） t ±
㤶 逆时针取正
㤶
±∓
∴v
tt
㤶 逆时针取+，顺时针取-
（2）
×
t
∴
㈠㤶
×
× × ㈠㤶
×
×
×
t
××
ht
㤶
tt
, 正方向向内，β
××
㤶
t 㤶 （其中方向 2’）
另解
tβ
㈠㤶
t
t
㈠㤶
t
t
㤶
∴ ± t 㤶 （其中方向 2’）
（3）
ht
t
tt
ht
∴
t ㈠㤶
其中
t
≪
径向微分方程：
h
t m/s 㤶 t m/s
三、（40 分） （1）（16 分）设在计算介质 1 中的电场时，我 们将一个像电荷放置在介质 2 距离界面为 a 处， 电荷量 q2’；同样的，设在计算介质 2 中的电场 时，我们将一个像电荷放置在介质 1 距离界面为 a 处，电荷量 q1’。 注意 q0 的四周也会极化出一部分电荷，这部分极
,作辅助图： 㤶
t 。不难由几何关系
得到
临界
h t 㤶t
㤶
㈠䁂 t耀 㤶
临界 t耀 h
h 㤶t t 耀t
㤶 t耀 t
t m/s 㤶
至此，我们得到了（尚未考虑洛希极限的情况下）地球
末速度的方向范围，下面考虑洛希极限的影响：
t
木星系中地球能量和轨道半长轴：
;
t耀 㤶
木星与地球的最短间距：
h
t ht
h t䁂 耀 耀㈠
长。设在体积 V 一定的空间内有一定个数 N 的玻色子，试利用波的观点定性说明当温度不
清北学堂物理竞赛模拟题参考答案
(1.2)由抛物线的光学性质可知，以F F 为两焦点的双曲线，取其 中任一点 P，过 P 作双曲线的法线 MPN，则由F 到 P 的入射光线必 经过F 点，作过 P 点的切线 SPT，则∠F PF 的角平分线．若F F 均匀 带电，则 P 点场强 方向必沿 SPT 方向，即为该双曲线．据上述讨论 可知，Oxy 坐标面上的电场线即为以F F 为两焦点的双曲线（簇）， 其方程为
(1.3)由椭圆光学性质可知，同(1.2)理，椭圆即为等势线，其方程为
(2)由(1.3)可得到下述结论 以 A 为长半轴，B 为短半轴，绕长轴旋转而成的椭圆球面内，若
令两焦点连线段上均匀带电，则此椭球面必为该线电荷电场的一个等 势面．
设要讨论的椭球导体，由题解图 4 所示 Oxy 平面上长半轴为 A， 短半轴为 B 焦点为F F 的椭圆绕 x 轴旋转成．为计算电容 ，设椭球 导体带电量为 未知，但静电平衡后椭球面电视 为已知量．采用 静电镜像法，设镜像电荷总量为 均匀分布在点F F 连线上．根据前 面给出的“推论”可知，旋转椭球面确定为此镜像电荷电场的等势面．
Δt =5.6(K)
题五、题目较长，但有效信息并不多，算出溢出气体物质的量，再由 气体分压原理和理想气体状态方程即可求解，较为简单，设被释放气 体总分子数为ΔN，由此而引起真空管中气体分子数密度的变化为Δn， 所引起气体压强的变化为Δp.由于Δp=ΔnkTΔp=ΔnkT，Δn=ΔNV， ΔN=2πrLS0，故Δp=0.59Pa
Δp<0 可见水中压强减小，减小量为
Δp= (1- )
T=2πm/qB =1/f R=mv/qB
联立解得粒子输出时的速率 v= 2πfR
设粒子输出时，单位时间飞出回旋加速器的粒子数为 N，则电流强度 I=Nq
清北学堂物理竞赛考前练习题第九套
F K1x K2 x (K1 K2 )x
（2）根据牛顿第二定律得
(K1
K2
)x
m
d2x dt 2
即 m d 2 x K1 K2 x 0
dt 2
m
这表明系统作为简谐振动，其角频率和周期为 K1 K 2 ，T 2
m
m
K1 K2
通常称 K K1 K2 为并联弹簧的有效倔强系数。
S vt l vt l
A 如图（a）所示 小孩在此刻的加速度（即法向加速度）大小为
a an
v2
v2 l
2、分析：将篮球视为质点，出手后篮球在空中的运动轨迹是抛物线 。要使球能够投入篮筐， 则篮筐的坐标（ x，y ）应处于抛物线的下降段。根据运动的叠加原理，写出篮球的轨迹即
抛物线方程，已知 x、y 和 v0 即可求得 tan 。
五、(1)如图 4-35（1）所示，一频率为 2040Hz 的波源以速速 vs 向一个反射面（如墙壁等）
接近，一观察者在 A 点听到拍频率为 3.0Hz ，若波速为 u 340ms 1 ，求波源的移动
速度 vs ； (2)若 波 源不 动， 反射 面以 v 20ms 1 向 A 点 （ 观 察者 ）运 动 ，这 时听 到的 拍频 为
在考察各小孩追逐目标时，容易发现，在依次追逐过 程中，追逐速度在指向正方形中心的 分速度保持不变，为
v cos45 2 v 2
因此，自那一时刻起（即正方形边长为 l 时刻），直至追到 目标，需时间 t 为
t
Ao v cos45
2l 2 l 2v 2 v
2）因此，每个小孩跑的路程为 S vt l
v V
)
1 v fV
1 v
f V v V v
清北学堂物理竞赛考前练习题第三套
A
B
图 2-4-15
4、有一空气平行板电容器，极板面积为 S，与电池连接，极板上充有电荷 Q0 和 Q0 ，
断开电源后，保持两板间距离不变，在极板中部占极板间的一半
体积的空间填满（相对）介电常数为 的电介质，如图 1-3-4 所
2、质量为 m 的小球随着质量也为 m 的甲车一起以速度 v0 做匀速运动。而后与质量同为 m 的乙车发生完全非弹性碰撞。不计车内轨道及水平地面的摩擦，试求：（1）求小球能上升 的最大高度；（2）小球再回到轨道最低点时对轨道的压力（已知轨道为圆弧，且半径为 r）。
3、如图 2-4-15 所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为 ，一连串内接
总质量为
m
4 3
R 3
4 3
R 3 0
水
4 3
水 (3R2h
3Rh2
h3 )
①
由于 R h ，故①式可略去其中 h 的高次项面是近似写为
m 4 水 R 2 h
②
根据均匀球体表面处重力加速度的公式，可得此星球表层海洋的底面和表面处的重力加
速度分别为
g表
GM R2
g底
G(M R02
m)
依题述有 g 表 g 底 ,即
Q0
示。求：
（1）图中极板间 a 点的电场强度 Ea ？ （2）图中极板间 b 点的电场强度 Eb ？
b a
Q0
图 1-3-4
（3）图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷 Q1 ？ （4）图中与空气接触的那部分正极板上的电荷 Q2 ？ （5）图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷 Q1 ？
清北学堂物理竞赛考前练习题第七套
环相对于柱是一个加速度a 为常值得匀变速运动。如果环对柱停滑前未滑脱，就可以
在柱参考系中（尽管它是一个加速参考系，但运动学关系仍成立）计算环滑行的距离 S1
S1
v2
2a
2
2 2gh
22kg
1 k
2h g
滑行所需时间 t1 为
v 2 2gh 1 2h
t1 a
2kg
k
g
这个时间可以与碰地后柱达最高点所需时间 t2 相比
七、
有 mol 的理想气体经过1 2 3 1如图习 7-2 所示的循环过程，过程1 2 和 2 3
在图中是直线段而过程 3 1可表达为 T 0.5T1(3 BV )BV ，式中 B 是未知的常数，图
中的 T 是绝对温标的温标，求气体在一个循环中所做的功。
答案解析 1、 分析与解
若喷头球面上小孔喷水的速度 v0 保持不变（由控制水压办到），则每一个孔喷出的水注将按
接入电源 E 后，设电容器 A1B1 和 B2 A2 上的电压分别为U 1 和U 2 ，则
U1 150 50 100 （V）
U2 50 (150) 200 （V）
B1 ， B2 板上的电量分别为 q1 C1U1 300C0
q2 C2U 2 600C0 因金属板 B 原不带电，所以接入电源 E 后电源 E 输给金属板 B 的电量为 Q q1 q2 300C0 9 108 （C）
取一后金属板 B ，其面积与 A1 及 A2 相同，厚度为电容器极
板间距离的三分之一，插入电容器两极板 A1 ， A2 的正中央，
如图 1-练 20 所示。 （1）取一电动势 50V 为的电源 E ，正极连金属板 B ，负极 接地。问此时由电源 E 输送到金属板 B 的总电量是多少？ （2）在上述情况下，左右平移金属板 B ，改变它在电容器两 级板间的位置，使 B 板上的电量向电源 E 回输，直到电源 E 原来输给金属板 B 的电量全部送回电源时，固定 B 的位置， 然后切断三个电源，并将 B 板从电容器中抽出。求此时电容
清北学堂物理竞赛模拟题及参考答案
像电荷大小为：qk=（-1）k+1q0/n ，k=2、3、4、、、 ②
设电势为 u，则：q0=4πε0Ru ③
∴总电量
x∈（0,1】
④
k 1
为了求级数和，引入：G（x）=
（-1）k+1xk/k，
⑤
k 1
求导得：G(x)= 1
(2) 试求半长轴为 ，半短轴为 ，绕长轴旋转而成的椭球导体电容 提示：依据椭圆常用性质（几何）答题
第八题（40 分） 盖上盖的容器里装满水，水中有两个小气泡，如果这两个气泡合并，那么水中压 强变化多少Δp（取绝对数值）？水中初压强为 p0，水的表面张力系数为σ，每个 小气泡半径为 r0，合并过程是等温的.
第四题 (40分) 回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度B=1T，高频电源的频率f=7.5MHz，D形电 极的半径R=1m，带电粒子束输出时的平均电流强度I=1mA．如果粒子束进入缓 慢流动的冷却水并停止相对运动，试问可使水温升高多少度？设流动水的流量 μ=1kg⋅s−1，水的比热c=4200J⋅kg−1⋅K−1．（保留两位有效数字）
第六题（40 分） 两个半径为 R，质量为 M 的金属球通过一线度可略的轴承焊接在一起.求这一系 统作为孤立导体对无穷远处的电容.
第七题（40 分） 绕长轴旋转而成的椭球导体电容．
(1) 平面上有一段长为 2 的均匀带电直线段F1F2，取其长度方向为 x 轴方向， 取其中 O 点为零点，设置 Oxy 坐标面 (1.1) 试证明 Oxy 面上任意一点 P 的电场强度方向均为∠F1PF2的角平分 线方向 (1.2) 导出 Oxy 坐标面上的电场线方程 (1.3) 导出 Oxy 坐标面上的等势线方程
清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟试题及答案【完整版】
清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟试题一、如1图所示，一斜面与水平面夹角为α，其上放置以横截面为正六边形的铅笔，边长为a ，质量为M ，其长度a l >>。
铅笔棱边与水平面方向夹角为ϕ，铅笔与桌面摩擦系数足够大。
一根细绳穿过斜面与桌面上的狭缝系在铅笔的一角，如图2，另一端悬挂一质量为m 的小球。
为使铅笔既不向前滚，也不向后滚，试分析m 取值范围。
图一 图二二、一根光滑的细杆被弯成如图所示的形状，并被固定在竖直平面内，形状曲线方程为221x a y =（a 为正常数）。
杆上套有一质量为m 的小环。
（1）若小环从杆上a x 2=处静止释放，求运动到a x =处时对杆的作用力大小； （2）若杆绕y 轴以固定角速度0w 转动，问0w 为多大事，小环可在杆任意处平衡；（3）若杆绕 轴转动角速度去（2）问中的22，即022w w =，则小环从杆上的a x 2=处 由相对静止释放，求小环运动到a x =处时对杆的作用力大小。
三、如图，光滑水平面上放有一质量为M 的直角细构件ABD ，L BD BE AE 2121===，初始静止。
质量为m 的质点P 以平行于BD 方向的速度与构件的E 点相碰，碰撞时恢复系数为4.0=e ，之后质点P 又能与构件的D 点相碰，求mM 。
四、几何图形化的R 、L 网络如图所示，其中每一根直线段都代表一条相同的R 、L 串联电路，对于所取的交流角频率w ，有R wL 3= 。
（1）计算A 、B 之间的等效电抗（答案仅用R 表示）；（2）以A 为输入段，B 为输出端，为使A 、D 之间网络总功率的功率因数成为22cos =ϕ，可在每一支路上串联一个相同的电容1C 。
求最小的1C 值（答案仅用w 和R 表示）；（3）每一支路都不串联电容，但在D 点之外串联一个电容2C ，使网络AD 与2C 构成的串联组总功率的功率因数成为22cos =ϕ，求最小的2C 值（答案仅用w 和R 表示）。
2022年清北学堂第39届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题
2022年清北学堂第39届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．本题忽略重力，当0=t 时，桌面上有一质量为M ，初始高度为H ，半径恒定为R ，电荷量密度ρ，质量和密度均匀分布，杨氏模量为A 的绝缘弹性体，圆柱体底面时刻与地面相连，可绕中心无摩擦转动；全空间电磁场只考虑在z 方向上的()01cos ωE t E t =-（）， 0 )sin ωz B z t B e t γ-=（，，（1z γ<<）， 以及该磁场附加的涡旋电场；随着时间变化，圆柱体在z 方向电场力作用下，上下周期性运动，质量、电荷密度变得不均匀，并且由于电场较大可认为各处在z 方向上时时受力平衡，即拉力与电场力平衡，同时在涡旋电场力矩下开始转动，本题探究仅在该两项电场力作用足够长时间后：（1）圆柱体高度H H t =（）；（2）圆柱体绕z 轴转角可近似为()2t Ct φφ==的形式，求C 。
2．想必大家都转过硬币吧，如果没有转过也可以拿手边一元硬币试试。
我们在硬币旋转过程中可以观察到如下现象：（a ）你会发现从上面看来硬币旋转速度在变慢（b ）硬币发出响声的频率在加快这两者似乎是矛盾的，因为前面告诉我们硬币越转越慢，后者告诉我们它越转越快。
本题尝试建立模型解释这种奇妙的现象。
首先我们假定我们给硬币一个初始角动量，使硬币转起来获得较大的z 轴角动量，然后硬币掉落在摩擦系数极小的光滑桌面上，因此能量损失会较为缓慢，能作为准静态考虑。
硬币边缘对于桌面是纯滚的，旋转过程可以看作是旋转对称的。
设硬币（抽象成一个均质圆柱体）厚度为h ，半径为R ，质量为m ，请回答下列问题：（1）图中x y z ，，轴为硬币的主轴（原点在质心），求转动惯量xx yy zz I I I 、、；（2）我们考虑硬币对于桌面倾斜角为θ时的旋转。
清北学堂物理竞赛考前练习题第二套
的夹角为 ，则 a qE ①
m
t1
2 y0 a
②
v0
x0 t1
③
其中 x0 2
3l,
y0
l 。又有 tan
at1 v0
④
联立②③④式，得 30
因为 M、O、Q 点在圆周上， MOQ=90 ，所以 MQ 为直径。从图中的几何关系可
知。
R 2 3l ⑥
MO 6l ⑦
(8 分)（2）设粒子在磁场中运动的速度为v ,从 Q 到 M 点运动的时间为t2 ,
（4）若金属框运动时受到恒定的阻力 f ＝ 0.1 N 作用时，金属框的最大速度；
（5）在（4）的情况下，当金属框达到最大速度时，为维持它的运动，磁场必须提供的功率。
M
N
v
××
××
××
B1 ×B2× B1 B×2 × B1 ×B×2
××
A ××
××
P
B1 Q
参考答案： 1．12 BR2
3.2040W
为 m=20kg 的小货箱从 A 端由静止开始运送到高度为 H=10m 的 D 处。已知相邻两个小货箱的
间隔均为 0.5m，小货箱在到达 B 点之前就已经和传送带保持相对
D
静止（在 BD 部分也不打滑），现已测出每小时内共运送小货箱 7200
只。假定不计轮轴之间的摩擦，传送带始终匀速运动。电动机带
动传送带的输出功率为
（3）金属框最大运动速度为 vm= 4m/s
（2 分）
当磁场向左运动时，金属框和磁场发生相对运动，切割磁感线，产生感应电流，感应
电流受到的安培力水平向左，金属框在安培力作用下开始向左做加速运动。这样，感应电流、安培力跟着减小。当两者速度相等时，
清北学堂全国中学生物理竞赛模拟卷参考答案
⑥
故至多可布置7 长。
8
化学反应速率的统计估算 设想存在两种单原子分子气体A与B，两种分子的质量分别为m1与m2，直径分别为 d1与d2。现将其混合在一个温度为T0的恒温容器中，在均匀混合的瞬间， 、 数密度分 别为n1与n2，此时，它们开始反应生成气体 。 ( + → ) 现假设化学反应无明显的热效应，为估算化学反应的速率，取如下简化模型：假设 两分子完成有效碰撞至少需要消耗ε0的能量（仅是活化能），且有效碰撞中发生反应的概 率为p（p<1）。试估算此瞬间气体C的化学反应速率。
解答：
线框棱边电阻 = 0，底边电阻 = 2 0 ( )。采用
回路电流法解本题。 对第n条棱，其上的复电动势为
ℰ = ℰ0
ℰ0 =
= 2= 0 ①
设上下底面的复回路电流为 ，对侧面n，设其复回路电流为 = 0
2 + − −1 − +1 = ℰ − ℰ +1
②
从而，消去时间因子 ，得
，则该侧面回路内有
若①收到③的反射信号后，便立即再次向②发信号，试求③第n次 收到信号时，在①看来自发第一次信号过去了多久（∆ ），在③看来自离 开①过去了多久（∆ '）？
3）在太空中有六个人，分别记为①～⑥。设某时刻②～⑥以图 2 所 示方式于同一平面内同时离开①，若每个人看另外五个人都看到一样的 景象。试问，若已知β3，则β1,β2,θ1,θ2 为何？
13 =
1+ 1− 12
⑧
21 = 1 +
13
=
(
1+ 1−
3
)2∙
11
⑨
递推之，可得
1
=
(
1+ 1−
清北学堂物理竞赛考前练习题第十套
为此把轨道方程改写成 tg 为未知量的一元二次方程，即
tg 2 2v02 tg 2v02 h 1 0
gs
gs 2
解得
tg v02 gs
v02 gs
2
2v02 gs 2
h
1
一般情况下，小石块以初速 v0 弹射击中物 P ，将有两个不同的抛射角。我们可以与 h 0 的
情况作为对照，与同一射程有两个抛射角类似。当逐渐减小弹射初速度并击中 P 点，两个 弹射角将逐渐接近，当 v0 达某一最小值是，两个弹射角相等，若 v0 小于这一临界的值，小
2
(M M m)2
利用新系统为约束系统的条件为 E p Ek 0
整理后得到： M 1 (M m) 2
运算中利用了
Gm d
r1d
2
，
r1 r2
m M
，以及式 r1 和 r2 的表达式。
5、分析与解
（1） 设均匀带电球体的球心为坐标原点 o ，沿通道方向为 x 轴方向，如图 1-练 11（a）
环 的 转 动 动能 因 感应 电 流的 热 损 耗而 逐 渐减 小 。
I2
2b 2a
在环中产生感应电流的地磁场，只有水平分量有贡献。水
平分离磁场为 B 44.5106 cos60 ()
当环面与地磁场水平分量成 t 角时，通过换的磁感
应通量为 Ba2 s i nt
其中 a 为环半径。瞬时感应电动势为 Ba2 cost t
该铅块运动到倒数第 n 块木块上，下面木块开始运动，则1Mg 2 M nmg
带入相关数据，化简得 2 0.4n 1
满足此式的最大整数 n 为 2，即倒数第二块。
铅块有没有足够能量到达倒数第二块呢？假定铅块能量足够大，滑经前面 8 快后，速度
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(1.2)由抛物线的光学性质可知，以F F 为两焦点的双曲线，取其 中任一点 P，过 P 作双曲线的法线 MPN，则由F 到 P 的入射光线必 经过F 点，作过 P 点的切线 SPT，则∠F PF 的角平分线．若F F 均匀 带电，则 P 点场强 方向必沿 SPT 方向，即为该双曲线．据上述讨论 可知，Oxy 坐标面上的电场线即为以F F 为两焦点的双曲线（mv/qB
联立解得粒子输出时的速率 v= 2πfR
设粒子输出时，单位时间飞出回旋加速器的粒子数为 N，则电流强度 I=Nq
则粒子束的输出功率为 P =πIBR2f
因水流速度很小，这部分功率被单位时间流过的水所吸收，得热平衡 方程
P=πIBR2f=cμΔt 由此解得水温升高
题六、第 k 级像电荷距离轴承的距离为：xk=R/k ①
像电荷大小为：qk=（-1）k+1q0/n ，k=2、3、4、、、 ②
设电势为 u，则：q0=4πε0Ru ③
∴总电量
Q=2q0
（-1）k+1xk/k,x∈（0,1】
④
k 1
为了求级数和，引入：G（x）=
（-1）k+1xk/k，
⑤
k 1
求导得：G(x)= 1
第二题（40 分) 种可能的质子蜕变方式为:
P→π0+e+ 中性介子π0 立即蜕变为两个光子:
π0→γ+γ 已知质子、π0 介子、正电子的静质量分别为 m1、m2、m3，求能够获得的光子能 量最值.
第三题 (40 分) 重力场中固定一根长直椭圆柱，一根轻细绳垂直于椭圆柱轴向搭在椭圆柱侧面上， 用外力拉住绳子的一端在椭圆柱横截面椭圆的上顶点，另一端经过椭圆右顶点下 垂并系一质量为 m 的重物。绳子与椭圆柱侧面间的摩擦系数为μ，椭圆柱横截面 椭圆的离心率ε远小于 1。已知重力加速度 g,求外力的大小(略去二阶及以上小 量)。
清北学堂物理竞赛模拟题参考答案
题一、由玻尔兹曼分布得： P(H)=n(H)kT=Mg/A 由此得： H= u ln(1+ ) 写出内能表达式： U= NkT- u ln(1+ ) 微分分析并由热力学第一定律可得： dQ=dU+dW= NkdT 由定义得： Cp=dQ/dT= Nk
题二、由狭义相对论能动量关系可得： Eπ=（m12+m22-m32）c2/2m1 在π0 介子静止的参考系中，两光子能动量大小为： E= m2c2 p= m2c 在实验室参考系中，当两光子和π0 介子的速度方向共线时，速度与π0 介子同向的光子能量最大，速度与π0 介子反向的光子能量最小，由洛 伦兹变换得光子能量最值: Emax= γm2c2(1+β) Emin= γm2c2(1-β)
第四题 (40分) 回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度B=1T，高频电源的频率f=7.5MHz，D形电 极的半径R=1m，带电粒子束输出时的平均电流强度I=1mA．如果粒子束进入缓 慢流动的冷却水并停止相对运动，试问可使水温升高多少度？设流动水的流量 μ=1kg⋅s−1，水的比热c=4200J⋅kg−1⋅K−1．（保留两位有效数字）
(1.3)由椭圆光学性质可知，同(1.2)理，椭圆即为等势线，其方程为
(2)由(1.3)可得到下述结论 以 A 为长半轴，B 为短半轴，绕长轴旋转而成的椭圆球面内，若
令两焦点连线段上均匀带电，则此椭球面必为该线电荷电场的一个等 势面．
设要讨论的椭球导体，由题解图 4 所示 Oxy 平面上长半轴为 A， 短半轴为 B 焦点为F F 的椭圆绕 x 轴旋转成．为计算电容 ，设椭球 导体带电量为 未知，但静电平衡后椭球面电视 为已知量．采用 静电镜像法，设镜像电荷总量为 均匀分布在点F F 连线上．根据前 面给出的“推论”可知，旋转椭球面确定为此镜像电荷电场的等势面．
Δt =5.6(K)
题五、题目较长，但有效信息并不多，算出溢出气体物质的量，再由 气体分压原理和理想气体状态方程即可求解，较为简单，设被释放气 体总分子数为ΔN，由此而引起真空管中气体分子数密度的变化为Δn， 所引起气体压强的变化为Δp.由于Δp=ΔnkTΔp=ΔnkT，Δn=ΔNV， ΔN=2πrLS0，故Δp=0.59Pa
第六题（40 分） 两个半径为 R，质量为 M 的金属球通过一线度可略的轴承焊接在一起.求这一系 统作为孤立导体对无穷远处的电容.
第七题（40 分） 绕长轴旋转而成的椭球导体电容．
(1) 平面上有一段长为 2 的均匀带电直线段F1F2，取其长度方向为 x 轴方向， 取其中 O 点为零点，设置 Oxy 坐标面 (1.1) 试证明 Oxy 面上任意一点 P 的电场强度方向均为∠F1PF2的角平分 线方向 (1.2) 导出 Oxy 坐标面上的电场线方程 (1.3) 导出 Oxy 坐标面上的等势线方程
，
故 产生的 为 故
ln
ln ln ，
题八、 由于盖上盖的容器里装满水，水的体积不变，故水中的两个小气泡合 并成一个大气泡时，气体的体积也不变.设小气泡的半径为 RR，则大 气泡的半径
r= R 初态时小气泡内气体的压强
p1=2σ/R−p0 由于合并过程是等温的，有
故有
2⋅p1V0=p2⋅2V0
p1=p2 因此两个小气泡合并，水中压强变化
Δp<0 可见水中压强减小，减小量为
Δp= (1- )
清北学堂全国中学生物理竞赛模拟试题 180 分钟 320 分
第一题 (40 分) 一长直气缸竖直放置于重力场中。气缸内装有单原子分子理想气体，总分子数为 N，每个分子的质量为 m。平衡态时系统温度均匀分布。考虑玻尔茲曼分布，玻 尔曼常数为 k，重力加速度为 g。活塞可无摩擦地上下滑动，活塞质量引起的附 加压强远大于外界大气压。求系统的定压热容量与温度的关系。
1 x
=0
∴C=0
⑥，故 G（x）=ln（1+x）+C ⑦，而 G（0） ⑧
∴G（x）=ln（1+x） ⑨
即
（-1）k+1/k=ln2
k 1
⑩，故 Q=4πε0Ruln2 ⑪
∴C= Q =8πε0Rln2
⑫
U
题七、(1.1)用于小量分析方法可以证明（此处从略），F F 处电荷对 P 点的场强与一段半径等于 P 到F F 的距离以 P 为圆心，张角相同电荷 线密度与F F 中电荷线密度相同的带电圆弧 P 点处的场强．后者由对 称性可知，场强方向必沿角平分线方向，故本小题获证，图中设F F 带正电画出 方向
第五题 (40 分) 无线电真空管抽气抽到最后阶段时，还应将真空管内的金属加热再继续抽空，原 因是金属表面上吸附有单原子层的气体分子。当金属受热时，被吸附分子获得足 够动能后能挣脱固体表面分子束缚而被释放出来。设真空管的灯丝是用半径 r=0.2mm、长度 L=6×102mm 的铂丝绕制的，而每个气体分子所占面积 S0=9×10 −20m2，真空管的容积 V=2.5×10−5m3 当灯丝加热至 1000∘C 时，所有被吸附的分子都从铂丝上跑出来散布到整个泡内。 如果此气体不抽出，试问由它所引起的压强是多大（帕斯卡）？
(2) 试求半长轴为 ，半短轴为 ，绕长轴旋转而成的椭球导体电容 提示：依据椭圆常用性质（几何）答题
第八题（40 分） 盖上盖的容器里装满水，水中有两个小气泡，如果这两个气泡合并，那么水中压 强变化多少Δp（取绝对数值）？水中初压强为 p0，水的表面张力系数为σ，每个 小气泡半径为 r0，合并过程是等温的.
题三、对绳子上一小段微元作受力分析，得
dT=μdN dN=Tdα
设椭圆上一点对两焦点的张角为 2β，将曲率半径取一阶近似得ρ≈p
将几何关系取一阶近似得：dl≈
dθ
联立微分方程并取一阶近似得： u≈μ（1-εcosθ）dθ
u
积分得：F≈mgeμπ/2
题四、带电粒子的质量为 m，带电量为 q．则粒子在输出前瞬时的周 期 T 和圆轨道半径 R 分别为