人教a版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换(含答案)

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数学人教A版必修4： 3.2简单的三角恒等变换含解析精

备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一,近年来,高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识.在综合题中,也常常会涉及三角函数的基础知识的应用.因此,对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下,还应注意与其他部分知识的综合运用.三角函数同其他函数一样,具有奇偶性、单调性、最值等问题,我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化,有关三角函数的求值、化简、证明等问题.应熟知三角函数的基本性质,并能以此为依据,研究解析式为三角式的函数的性质,掌握判断周期性,确定单调区间的方法,能准确认识三角函数的图象,会做简图、对图象进行变化.二、备用习题 1.20cos 10cos 20sin 10sin ++的值是（） A.tan10°+tan20° B.33 C.tan5° D.2-3 2.若α-β=4π,则sinαsinβ的最大值是（） A.422- B.422+ C.43 D.1 3.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(β-γ)的值是（）A.1B.-1C.21 D.21- 4.若cosαsinx=21,则函数y=sinαcosx 的值域是（） A.［23-,21］ B.［21-,21］ C.［21-,23］ D.［-1,1］5.log 2(1+tan19°)+log 2(1+tan26°)=______________.6.已知函数f(x)=cos2xcos(3π-2x),求f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值. 7.已知sinA=53-,cosB=419-,A ∈(23π,2π),B ∈(π,23π),求sin(2A-2B )的值,并判定2A-2B 所在的象限.8.已知f(0)=a,f(2π)=b,解函数方程:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·cosy. 参考答案:1.D2.B3.D4.B5.16.f(x)=21［cos 3π+cos(4x-3π)］=21cos(4x-3π)+41,由2kπ≤4x -3π≤2kπ+π(k ∈Z ),得原函数的单调递减区间是［2πk +12π,2πk +3π］(k ∈Z ),T=2π,最大值是43.7.cosA=54,sin2A=2524-,cos2A=1-2sin 2A=257,∵B ∈(π,23π),∴2B ∈(2π,43π). ∴sin 2B =415,cos 2B =414-. ∴sin(2A-2B )=sin2 A cos 2B -cos2Asin 2B =10254161. 又cos(2A-2B )=cos2Acos 2B +sin2Asin 2B <0,∴2A-2B 是第二象限角. 8.分别取⎩⎨⎧==.,0t y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.2,2ππy t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==.2,2t y x ππ代入方程,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∙-=-++=++∙=-+)3(,sin )2(2)()()2(,0)()()1(,cos )0(2)()(t f t f t f t f t f t f t f t f πππ①+②-③,得2f(t)=2f(0)cost+2f(2π)sint.∵f(0)=a,f(2π)=b,∴f(x)=acosx+bsinx.(设计者：房增凤）。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4(2021年整理)

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3。

2简单的三角恒等变换课后篇巩固探究1。

cos2的值为（)A.B。

C.D。

解析cos2.答案B2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为（）A。

B.—C。

± D。

解析因为α为第一象限角，且tan α=，所以cos α=，而是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ；当是第三象限角时,sin =—=-,故sin =±.答案C3.若函数f(x）=(1+tan x）cos x，则f=（)A。

B.-C。

1 D.解析∵f(x）=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.答案D4。

设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有(）A.b〉a>c B。

a〉b>c C。

a〉c>b D.c>b>a解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°，b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°〉sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b〉a〉c.答案A5。

人教版高中数学高一A版必修4学案 3.2 简单的三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换问题导学一、求值问题活动与探究1已知sin α＝－817且π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tan α2的值．迁移与应用若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A ．35 B ．45 C ．74 D ．341．解给值求值问题，其关键是找岀已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式或变换所求式．2．给值求值的重要思想是建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．二、三角函数式的化简活动与探究2已知π＜α＜3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α．迁移与应用化简sin 4α4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α得( )A ．sin 2αB ．cos 2αC ．sin αD ．cos α(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求岀值的应求岀值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角； ②降幂或升幂．三、三角恒等变换的综合应用活动与探究3已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12．(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．迁移与应用已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1． (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解决关于三角函数的综合应用题，首先运用三角恒等变换将函数化成一个角的三角函数式，而后结合三角函数的图象与性质进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、对称性或图象的平移、伸缩变换等．解决此类问题的关键在于灵活地选取公式进行三角变换，化成一个角的三角函数．当堂检测1．已知cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sin θ2＝( )A ．105B ．－105C ．155D ．－1552．设f (tan x )＝tan 2x ，则f (2)＝( )A ．45B ．－43C ．－23D ．43．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－35，则tan α2等于( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－124．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．5．化简：sin 22x ＋2cos 2x cos 2x ＝________．答案：课前预习导学【预习导引】 1．1－cos α2±1－cos α2 1＋cos α2 ±1＋cos α2 1－cos α1＋cos α±1－cos α1＋cos α预习交流1 提示：符号由α2所在象限决定．2．a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α·a a 2＋b 2＋cos α·b a 2＋b 2 sin(α＋φ) a a 2＋b 2 b a 2＋b 2预习交流2 提示：可以由sin φ和cos φ的符号来确定φ所在象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：已知条件中的角α与所求结论中的角α2成二倍关系，解答本题可根据半角公式求值．解：∵sin α＝－817，π＜α＜32π，∴cos α＝－1517．又π2＜α2＜34π， ∴sin α2＝1－cos α2＝1＋15172＝41717，cos α2＝－1＋cos α2＝－1－15172＝－1717， tan α2＝sin α2cos α2＝－4．迁移与应用 D 解析：由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34．活动与探究2 思路分析：先用二倍角公式“升幂”，再根据α2的范围开方化简．解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0．∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2．迁移与应用 A 解析：4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝4cos 2⎝⎛⎭⎫π4－αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2α，原式＝sin 4α4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α．活动与探究3 思路分析：(1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式．再求解．(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．解：(1)由已知f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4．所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22． (2)由(1)知，f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35． ∴cos α－sin α＝325，平方得1－sin 2α＝1825．∴sin 2α＝725．迁移与应用解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π．(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3．于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1．【当堂检测】1．D 解析：∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2．∴sin θ2＜0．由cos θ＝1－2sin 2θ2，得sin θ2＝－1－cos θ2＝－⎝⎛⎭⎫1＋15×12＝－155． 2．B 解析：由f (tan x )＝tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ，知f (x )＝2x1－x 2，∴f (2)＝2×21－22＝－43．3．A 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝1＋cos α2＝55．∴tan α2＝sinα2cos α2＝2．4．－19 解析：在△ABC 中，B ＋C 2＝π2－A 2，sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－A 2＋cos 2A ＝cos 2A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝－19． 5．2cos 2x 解析：原式＝4sin 2x cos 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝2cos 2x (2sin 2x ＋cos 2x )＝2cos 2x (2sin 2x ＋1－2sin 2x )＝2cos 2x ．。

2020-2021学年人教A版数学必修4学案：3.2 简单的三角恒等变换含解析

内容标准学科素养1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.提升数学运算发展逻辑推理应用数学抽象[基础认识]知识点半角公式阅读教材P 139～140，思考并完成以下问题我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？(1)根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2. 提示：由sin α＝± 1－cos 2α2， cos α＝± 1＋cos 2α2中，将α换为α2得，sin α2＝±1－cos α2，cos α2＝± 1＋cos α2. (2)利用tan α＝sin αcos α和二倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？提示：tan α2＝±1－cos α1＋cos α.知识梳理半角公式：sin α2＝±__1－cos α2，cos α2＝±__1＋cos α2，tan α2＝±__1－cos α1＋cos α．[自我检测]1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为()A.63B ．－63C ．±63D ．±33答案：A2．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－35，cos θ<0，则tan θ2的值等于()A ．－3B ．3C ．－13 D.13 答案：A授课提示：对应学生用书第80页探究一三角函数式的求值[教材P 139例1]方法步骤：用“整角”的函数值求“半角”的函数值．[例1] 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2与tan α－β2的值．[解析] 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝－35，cos β＝513，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＋45×1213＝3365.因为π2<α<π，0<β<π2，所以0<α－β<π，所以0<α－β2<π2.所以cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋33652＝76565. 由0<α－β2<π2，得sin α－β2＝1－cos 2α－β2＝46565.所以tan α－β2＝sin α－β2cos α－β2＝47. 方法技巧利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算．(4)下结论：结合(2)求值．跟踪探究 1.已知cos α＝－35，且180°<α<270°，求tan α2的值．解析：法一：∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°， ∴tan α2<0， ∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<α<270°， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2. 或tan α2＝sin α1＋cos α＝－451－35＝－2.探究二三角恒等式的化简 [教材P 146A 组5(2)题]化简：sin 40°(tan 10°－3)．解析：原式＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝2sin 40°sin （10°－60°）cos 10°＝－2sin 40°cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1.[例2] 化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tan α2·（1＋cos α）1－cos α(0<α<π)．[解析] ∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2，∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－22sin α2cos α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵0<α<π，∴0<α2<π2.∴sin α2>0.∴原式＝－22cos α2.方法技巧三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中，“幂降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升幂．跟踪探究 2.化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解析：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.探究三三角恒等式的证明[教材P 140例2]方法步骤：从左→右(右→左)，由繁→简．[例3] 证明：2sin x cos x（sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos x sin x .[证明] 左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋1－2sin 2x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－1＋2sin 2x 2＋1＝2sin x cos x2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x 2·2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x2＋sin x 2 ＝2sin x cos x 4sin 2x 2cos x ＝2sin x 2cos x 22sin 2x 2＝cos x 2sin x 2.右边＝1＋2cos 2x2－12sin x 2cos x 2＝cos x2sin x 2，所以左边＝右边，即等式成立．方法技巧证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．跟踪探究 3.求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.证明：要证原式，可以证明 1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋（1－cos 4θ）sin 4θ＋（1＋cos 4θ）＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ＝2sin 2θ（cos 2θ＋sin 2θ）2cos 2θ（sin 2θ＋cos 2θ）＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证．探究四三角恒等变换在实际问题中的应用 [教材P 141例4]方法步骤：①设角度；②建关系；③化简求值．[例4] 如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S . (1)求S 关于θ的函数关系式． (2)求S 的最大值及相应的θ角．[解析] (1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E (图略)，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)S ＝12sin 2θ－33·1－cos 2θ2 ＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴当θ＝π6时，S max ＝36(m 2)．方法技巧此类题以角度为变量，利用几何性质、三角函数定义建立关系，然后化简，研究性质．跟踪探究 4.如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解析：设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α， OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋OB ＋AB ＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．授课提示：对应学生用书第82页[课后小结]1．三角函数求值问题的解题思路(1)“给角求值”问题一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如两角的和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”问题，即给出某些角的三角函数值，求另外一些三角函数的值，解决这类求值问题的关键是结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意相关各角的范围，或根据问题的具体特点，从变换已知条件和被求式的角度入手，进行双向变换，实现角度的统一，然后利用代入法将已知条件代入被求式，从而达到求值的目的． 2．化简三角函数式的基本思路三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面．其基本方法是统一角和统一三角函数的名称．常用方法有：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等．在具体实施的过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名称、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应为：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．3．证明三角恒等式的基本思路三角恒等式的证明与代数恒等式的证明一样，主要证明方法有：从左证到右，从右证到左，左右归一或变更命题．选择哪一种证法的依据是“化繁为简”．在确定了“化繁为简”的目标后，还应注意：强化化异为同的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异，寻找它们之间的联系，再利用三角公式进行恒等变换，使之相互转化，其常用方法用：直推法、代入法、换元法等．[素养培优]三角恒等变换“四种策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋ cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[典例] 化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. [解析] 法一：(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.法二：(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋12cos 2α＝1＋cos 2β2－cos 2β⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12（1－2sin 2α）＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β＋1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β ＝12＋12cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝12.法四：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2(α＋β)＋12sin 2α·sin 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2(α＋β)－12cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)－12[2cos 2(α＋β)－1]＝12.归纳总结三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换．。

第三章 3.2简单的三角恒等变换(一)答案

2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.2 简单的三角恒等变换（一）班级_______姓名________座号________一、选择题1．已知tan θ－1tan θ＝m ，则tan2θ＝( ) A ．－1m B ．－2mC ．2m D.2m解析：tan θ－1tan θ＝m ＝tan 2θ－1tan θ又tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2tan θtan 2θ－1，∴tan θ＝－2m . 答案：B2．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 3．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( ) A ．tan α B ．tan 2α C ．1 D ．2考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 B解析原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 4．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( )A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的，∴a <c <b .6．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为()A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α，所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用弦化切对齐次分式化简求值答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45 ＝－12.故选A. 10．化简：sin50°(1＋3tan10°)．解：原式＝sin50°cos10°＋3sin10°cos10°＝2sin50°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解析 (1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．因为cos(α＋β) ＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255. 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan 2α＝－247，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan （α＋β）1＋tan2αtan （α＋β）＝－211.13．已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π4，π4]上的值域．解：(1)由已知有f (x )＝cos x (12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34＝14sin2x －34cos2x＝12sin(2x －π3)．∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈[－π4，π4]，∴2x －π3∈[－5π6，π6]．当2x －π3＝－π2，即sin(2x －π3)＝－1时，f (x )取最小值为－12.当2x －π3＝π6，即sin(2x －π3)＝12时，f (x )取最大值为14.∴f (x )在区间[－π4，π4]上的值域为[－12，14]14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于() A ．－13 B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213， tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 15．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)解析：∵sin2α＝2sin2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)， ∴3cos(α＋β)sin(α－β)＝sin(α＋β)cos(α－β)， ∴tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.答案：A。

高中数学人教A版必修四教学案3.2 简单的三角恒等变换 Word版含答案

[核心必知]
．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材～的内容，回答下列问题．
()α与是什么关系？
提示：倍角关系．
()如何用α表示，和？
提示：＝α)，＝α)，＝α＋α).
．归纳总结，核心必记
()半角公式
()三角恒等变换的特点
三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．
[问题思考]
()能用不含根号的形式用α，α表示吗？
提示：＝α＋α)＝α α).
()如何用表示α，α及α？
提示：α＝·＝(α)＋(α))＝(α))α＝－＝(α)－(α) (α)＋(α))＝(α)＋(α))α＝α α)＝(α)).
[课前反思]
()半角公式的有理形式：；
()半角公式的无理形式：
.
讲一讲
．已知α＝－，π<α<，求，，的值．
[尝试解答]∵π<α<，α＝－，
∴α＝－，且<<，
∴＝α))＝，
＝－α))＝－，
＝＝－.
解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
()先化简已知或所求式子；
()观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
()将已知条件代入所求式子，化简求值．
练一练
．已知－＝－，°<α<°，求的值．
解：由题意得＝，
即－α＝，得α＝.
∵°<α<°，
∴α＝－，
∴＝α α)
＝＝.
讲一讲
．化简：
错误!(°<α<°)．
[尝试解答]原式＝。

教学：高一数学人教A版必修四教案：3.2 简单的三角恒等变换(2) Word版含答案

3.2简单的三角恒等变换（2）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程（一）复习：二倍角公式。

（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-．解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπααααΘ 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1）求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。

高一数学人教A版必修四教案：3.2 简单的三角恒等变换(1) Word版含答案

数学 3.2简单的三角恒等变换(1)教案第1课时（一）导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.（二）推进新课、新知探究、提出问题 ①α与2a有什么关系? ②如何建立cos α与sin22a之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?⑤证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin22a ,将公式中的α用2a代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=2cos 22a -1, 所以cos 22a =2cos 1a +. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得tan22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a=±a a cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2a所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β后，解相应的以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入 (1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, 即sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.① 设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-.把α,β的值代入①, 即得sin θ+sin φ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-.教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(见活动）.（三）应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin50°(1+3tan10°).解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+∙=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx ·cosx 与sinx ±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x ±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41,即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83. ∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________. 答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BAB A , ∴cos 4A ·sin 2B+sin 4A ·cos 2B=sin 2B ·cos+B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A ·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴=+A BA B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 证明二:令BAa B A sin sin ,cos cos cos 22==sin α,则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B-α=2k π(k ∈Z ),即B=2k π+α(k ∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1. 证明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA ·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(4π+2x )=2sin2cos 2sin2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x,得x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++ 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,①3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,② ①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sin αcos α,∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β,两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π-2β)>0.又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π.结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立.证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -==βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+=βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立.点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证.2.已知sin β=m ·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tan α. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sin β=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]⇒(1-m)·sin(α+β)cos α=(1+m)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm-+11tan α.（四）知能训练1.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2a的值为( )A.5B.-5C.51D.51-2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a-- 3.已知sin θ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________.解答:1.A2.D3.-3（五）课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.（六）作业。

2020-2021学年数学人教A版必修4学案：3.2 简单的三角恒等变换

3．2 简单的三角恒等变换[目标] 1.记住三角恒等变换常用公式． 2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．[重点] 三角恒等变换常用公式． [难点] 三角恒等变换的化简与求值．知识点一降幂公式与半角公式[填一填][答一答]1．半角公式中“±”号如何选取？提示：符号由α2所在象限决定．2．已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝－255，cos θ2＝－55，tan θ2＝2.解析：∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35， ∵5π4<θ2<3π2， ∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55.tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2(或tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝451－35＝2)．知识点二常见的三角恒等变换[填一填]1．a sin α＋b cos α ＝a 2＋b 2(sin α·a a 2＋b 2＋cos α·ba 2＋b2) ＝a 2＋b 2sin(α＋φ)．(其中令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2)2．sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2，sin αcos α＝12sin2α.[答一答]3．如何确定上述辅助角公式中的φ值？提示：可以由sin φ和cos φ的符号来确定φ所在的象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小．4．填空：(1)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. (2)3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π6. (3)sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3.类型一半角公式的应用[例1] (1)设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( ) A.1＋a 2 B ．1－a 2 C ．－1＋a 2D ．－1－a 2(2)若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________.[解析] (1)由题知，5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则54π<θ4<32π，则sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2.故选D.(2)∵sin(π－α)＝－53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴sin α＝－53，cos α＝－23，又∵α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.[★★答案★★](1)D(2)－66已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可.[变式训练1]已知α∈(－π2，0)，cosα＝45，则tanα2＝(D) A．3B．－3C.13D．－13解析：因为α∈(－π2，0)，且cosα＝45，所以α2∈(－π4，0)，tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－451＋45＝－13，故选D.类型二三角恒等式的化简与证明[例2]已知π<α<3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.[解]原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sinα2＋cosα222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2＋⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：(1)发现差异——观察角、名、形三方面的差异；(2)寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； (3)合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化. [变式训练2] 化简sin4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得( A )A ．sin2αB ．cos2αC ．sin αD ．cos α解析：∵4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos2α，∴原式＝sin4α4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin4α2cos2α＝2sin2αcos2α2cos2α＝sin2α. 类型三三角恒等变换的应用命题视角1：三角恒等变换与三角函数性质的结合[例3] 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[解析] 由题意知，f (x )＝12sin2x ＋12(1－cos2x )＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．[★★答案★★] π [3π8＋k π，7π8＋k π](k ∈Z )讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)，y ＝A cos (ωx ＋φ)，y ＝A tan (ωx ＋φ)的形式才能进行讨论.[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则函数的值域为[－1,1]，对称轴方程为x ＝56π＋k π(k ∈Z )．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x －32cos x －12sin x＝12sin x －32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3则函数f (x )的值域是[－1,1]．令x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝56π＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝56π＋k π(k ∈Z)．命题视角2：三角恒等变换与平面向量的结合[例4] 在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R .(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标； (2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求|AB →|的最大值．[解] (1)由题意得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－62. (2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin2θ＋2sin 2θ＝1－sin2θ＋1－cos2θ ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4.因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4. 所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值， |AB →|2＝2－2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值 3.三角恒等变换与平面向量的坐标运算相结合是常见的题型，这种题型往往体现了三角恒等变换的工具性．[变式训练4] 已知A ，B ，C 是△ABC 三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m·n ＝1，则角A ＝( D )A.π2B.π6C.π4D.π3 解析：∵m·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即3sin A －cos A ＝1，∴2⎝⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6， ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.命题视角3：三角恒等变换的实际应用[例5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[分析] 在△AOB 中利用∠AOB 表示OA ，AB 的长→ 表示矩形面积：2OA ·AB →得到面积与角间的函数关系→ 通过求函数的最值得到面积的最值 [解]画图如图所示，设∠AOB ＝θ(θ∈(0，π2))，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，即S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.∵θ∈(0，π2)，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时，A ，D 距离O 点都为22a .解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.[变式训练5] 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解：如图，连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12.当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( D ) A ．－105 B.105 C ．－155 D ．155 解析：∵π2<α<π，∴π4<α2<π2， ∵cos α＝－15，∴sin α2＝1－cos α2＝155.2．下列各式中，值为12的是( B ) A ．sin15°cos15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan30°1－tan 230° D ．1＋cos60°2解析：A 中，原式＝12sin30°＝14； B 中，原式＝cos π3＝12；C 中，原式＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32； D 中，原式＝cos30°＝32，故选B.3．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.故函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12. 4．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α＝179.解析：∵(cos α＋sin α)2＝19，∴sin αcos α＝－49，而sin α>0，∴cos α<0.∴cos α－sin α＝－(cos α＋sin α)2－4sin αcos α＝－173. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－13×⎝⎛⎭⎪⎫－173＝179. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明：∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tanα21＋tan2α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tanα2＋11＋tan2α2＋2tanα2＋1－tan2α2＝⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋122tanα2＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋1＝12tanα2＋12＝右边．∴等式成立．——本课须掌握的三大问题1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝ba(或sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．3．研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换(教学案)

数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换（教学案）数学必修4教学案：3.2简单的三角恒等变换（教、学案）3.2简单三角恒等式变换【教学目标】能够用所学公式简化、评估和证明三角函数公式，引导学生推导半角公式、和差公式和和差积公式（公式不需要记忆），使学生进一步提高运用变换、变换、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】教学重点：引导学生学习三角变换的内容、思想和方法，了解三角变换的特点，在现有公式的基础上提高其推理和计算能力，并以半角公式、和差公式和和差积公式的推导为基础训练。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【教学过程】回顾介绍：回顾角度倍增公式s2?、c2、t2?首先，让学生写下三倍角度的公式，注意等号两侧角度之间的关系，并特别注意C2？。

既然我们可以用单角度来表示双角度，我们可以用双角度来表示单角度吗？半角公式的推导和理解：例1、试以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．分析：我们可以通过双角度cos？？2cos角度公式？第二代？，21和cos??1?2sin2?2来做此题．（二倍（一代人？）22解决方案：cos？？1.因为什么？？2cos2？2.你能得到sin2吗？2.1.余弦？；2.2.1.你能得到Cos2吗？2.1.因为？。

2.你能用两个公式除以Tan 2吗？2.2.1.因为？。

？1.余弦？cos22sin2？Sin评论：⑴ 上述结果也可以表示为：21cos21cos2cos2tan21cos1cos并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定。

⑵ 在三角函数公式的简化、求值和证明中，广泛使用了降幂和增幂公式以及降幂和增幂公式。

⑶ 代数变换通常侧重于公式的子结构形式的变换。

三角恒等式变换通常首先寻找公式中包含的角度之间的联系，并在此基础上选择合适的公式来联系它们，这是三角恒等式变换的一个重要特征。

2017-2018学年高中数学人教A版必修四教学案：3-2 简单

[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α2是什么关系？提示：倍角关系．(2)如何用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2和tan 2 α2？提示：sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考](1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α2吗？提示：tan_α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(2)如何用tan α2表示sin α，cos α及tan α？提示：sin_α＝2sin α2·cos α2＝2sin α2·cosα2sin 2α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan 2α2._cos_α＝cos 2_α2－sin 2_α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2 α2＋sin 2 α2＝1－tan 2α21＋tan 2 α2.tan_α＝sin αcos α＝2tanα21－tan 2α2.[课前反思](1)半角公式的有理形式：；(2)半角公式的无理形式： .讲一讲1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cosα2＝－2.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．练一练1．已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.讲一讲2．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[尝试解答] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2 α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵180°<α<360°， ∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·（－cos α）－cosα2＝cos α.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．练一练 2．化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎫3π2<θ<2π；(2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝⎪⎪⎪⎪sinθ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2， ∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0.∴原式＝－⎝⎛⎭⎫sinθ2＋cos θ2－⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝－2sin θ2.(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，∴原式＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.讲一讲3．(1)若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；(2)已知sin α＝A sin(α＋β)，|A |>1，求证：tan(α＋β)＝sin βcos β－A .[尝试解答] (1)左边＝sin 2α2＋cos 2α2＋2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1－1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＋sin 2α2＋cos 2α2－2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1＋1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪cos α2＋⎪⎪⎪⎪sin α2因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以sin α2>0>cos α2.所以左边＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎫－cos α2－sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2＝右边．所以原等式成立．(2)因为sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，所以sin α＝A sin(α＋β)化为sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝A sin(α＋β)，所以sin(α＋β)(cos β－A )＝cos(α＋β)sin β，所以tan(α＋β)＝sin βcos β－A.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．练一练3．求证：2sin x cos x（sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos x sin x .证明：左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2 x 2＝2sin x cos x4sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2 x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边． ∴原等式成立．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见讲1； (2)化简问题，见讲2； (3)三角恒等式的证明，见讲3. 3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2 α2＝1－cos α2，cos 2 α2＝1＋cos α2求解．课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 求值问题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A. 1＋a2B. 1－a2 C ．－1＋a2D ．－ 1－a2解析：选D ∵θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，6π4，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( )A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－sin 2 x 2－cos 2x 212sin x＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1tan x )．又tan π12＝sinπ61＋cosπ6＝13＋2，∴原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫13＋2＋3＋2＝8.3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45，∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.题组2 三角函数式的化简4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3（1－sin 21）＝3cos 21＝3cos 1.5．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos[2(π4－α2)]＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sinα－sin α＝2.题组3 三角恒等式的证明6．求证：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x . 证明：∵左边＝2sin x ·cos x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x ＝sin x ·⎝⎛⎭⎫1＋1－cos x cos x ＝sin x cos x ＝tan x ＝右边，∴原式成立．7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．证明：左边＝2⎝⎛⎭⎫1－cos 2x 22＋34sin 22x ＋ 5⎝⎛⎭⎫1＋cos 2x 22－12(cos 4x ＋cos 2x )＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x 4＋34sin 22x ＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos 2x )＝(2×14＋54＋12)＋[2×(－2cos 2x 4)＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ]＋(2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－12×2cos 22x )＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋34sin 22x＝94＋cos 2x ＋34＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1) ＝2(1＋cos 2x )＝右边． ∴原式成立．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2(x ＋π4)＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝12＋12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12－sin 2x 2，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数． 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2 C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B ＝12⎝⎛⎭⎫－2sin 2 C 2，即cos A cos B ＝sin 2 C2＝sin 2π－（A ＋B ）2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.∴A ＝B .4．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________．解析：由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：0或±35．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－346．化简：(1)2sin 8＋1＋2cos 8＋2；(2) 12＋12 12＋12cos 2α⎝⎛⎭⎫3π2<α<2π. 解：(1)原式＝2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2（2cos 24－1）＋2＝2（sin 4＋cos 4）2＋4cos 24＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，由于π<4<3π2， ∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0， ∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.(2)∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π. 原式＝ 12＋12 1＋cos 2α2＝ 12＋12|cos α|＝ 12＋12cos α ＝ 1＋cos α2＝ cos 2 α2＝－cos α2. 7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ . 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。

人教版高中数学必修四3.2 简单的三角恒等变换(三) 【导学案】(有答案)

三角恒等变换（三）一、两角和与差的正弦、余弦与正切公式1．两角和的余弦公式（简记C （α+β））：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-． 2．两角差的余弦公式（简记C （α－β））：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．3．两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号；②同名函数之积的和与差；③α、β叫单角，α±β叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值；④“正用”、“逆用”、“变用”． 4．两角和的正弦公式（简记S （α+β））：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+． 5．两角差的正弦公式（简记S （α－β））：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．6．两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同；②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值在前，余弦值在后．用途：可以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值． 7．两角和的正切公式（简记T （α+β））：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-．8．两角差的正切公式（简记T （α－β））：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+．9．两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形：①左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母运算符号相反； ②,,()222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠++≠+∈Z ．公式变形：①tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+； ②tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-．）．A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：C解析：∵sin47°＝sin （30°＋17°）＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12．例2已知sin α＝1517，cos β＝－513，α∈（π2，π），β∈（π2，π），求sin （α＋β），sin （α－β）的值．解：∵sin α＝1517，α∈（π2，π），∴cos α＝－1－(1517)2＝－817．∵cos β＝－513，β∈（π2，π），∴sin β＝1－(－513)2＝1213，∴sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝1517×（－513）＋（－817）×1213＝－75＋96221＝－171221，sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝1517×（－513）－（－817）×1213＝21221．例3求值：（1）（tan10°－3）•cos10°sin50°；（2）[2sin50°＋sin10°（1＋3tan10°）]•2sin 280°．解：（1）（tan10°－3）•cos10°sin50°＝（tan10°－tan60°）•cos10°sin50°＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°•cos10°sin50° ＝sin10°·cos60°－cos10°·sin60°cos10°·cos60°•cos10°sin50°＝sin (－50°)cos60°•1sin50°＝－2．（2）[2sin50°＋sin10°（1＋3tan10°）]•2sin 280°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin50°＋sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°•2cos 210° ＝⎝⎛⎭⎫2sin50°＋2sin10°·cos50°cos10°•2cos10° ＝22（sin50°cos10°＋sin10°•cos50°）＝22sin60°＝6．例4 已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ＜π2）的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和φ的值；（2）若f （α2）＝34（π6＜α＜2π3），求cos （α＋3π2）的值．解：（1）因为f （x ）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f （x ）的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2，又因为f （x ）的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6．（2）由（1）得f （α2）＝3sin （2•α2－π6）＝34．所以sin （α－π6）＝14．由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2．所以cos （α－π6）＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154．因此cos （α＋3π2）＝sin α＝sin[（α－π6）＋π6]＝sin （α－π6）cos π6＋cos （α－π6）sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158．二、二倍角公式二倍角的正弦（简记S 2α）、余弦（简记C 2α）、正切（简记T 2α）公式（升幂公式）： •cos 2αcos2α＝（）．A ．tan αB ．tan2αC ．1D ．12答案：B解析：原式＝2sin2α2cos 2α•cos 2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α．例2若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ＝________．答案：65解析：cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝43×910＝65．例3已知cos α＝－1213，α∈（π，3π2），求sin2α，cos2α，tan2α的值．解：∵cos α＝－1213，α∈（π，3π2），∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－1213)2＝－513，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×（－513）×（－1213）＝120169，cos2α＝2cos 2α－1＝2×（－1213）2－1＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝120119．例4 已知函数f （x ）＝cos x •sin （x ＋π3）－3cos 2x ＋34，x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有f （x ）＝cos x •（12sin x ＋32cos x ）－3cos 2x ＋34＝12sin x •cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34（1＋cos2x ）＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin （2x －π3）．所以f （x ）的最小正周期T ＝2π2＝π．（2）因为f （x ）在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f （－π4）＝－14，f （－π12）＝－12，f （π4）＝14，所以，函数f （x ）在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12．三、半角公式（这类公式不要求记忆）半角的正弦（简记2S α）、余弦（简记2C α）、正切（简记2T α）公式：2221cos cos 221cos sin 221cos tan 21cos ααααααα+=-=-=+，，，cos 2sin 2tan 2ααα===sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+．例1 cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，则sin θ2＝（）．A ．105B ．－105C ．155D ．－155答案：D解析：∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2，∴θ2是第三象限角，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155．例2 化简：(1＋sin α＋cos α)(sin α2－cos α2)2＋2cos α（0＜α＜π）．解：∵0＜α＜π，∴0＜α2＜π2，∴原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)(sin α2－cos α2)2·2cos 2α2＝2cos α2(cos α2＋sin α2)(sin α2－cos α2)2cosα2＝sin 2α2－cos 2α2＝－cos α．四、公式的变形与应用1．合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 sin()y A x B ωφ=++形式．辅助角公式：cos sin )a x b x x x +=+令22sin a a bθ=+，22cos b a bθ=+，∴22cos sin sin()a x b x a b x θ+=++，其中θ为辅助角，tan a bθ=． 2．三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解．对角进行变形，如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②o ooooo3015453060452=-=-=，问：=12sin π，=12cos π；③ββαα-+=)(，④)4(24αππαπ--=+， ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=等等．（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数．如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名．（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：22o o 1sin cos tan cot sin90tan 45αααα=+===．（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法．常用降幂公式有：2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，1cos 22x x +=±1cos 22x x -=±．（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用．请尝试完成下列变形，如：221sin 2(sin cos )1sin 2(sin cos )θθθθθθ+=+-=-_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2；=-α2tan 1；o o o o tan 20tan 403tan 20tan 40++=；=+ααcos sin =； =+αcos 1；=-αcos 1；若4A B π+=或54π，则(1tan )(1tan )2A B +⋅+=．（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化．如：o osin 50(13tan10)+=；=-ααcot tan ．本章整合：。

高中数学人教A版必修四课时训练：3.2 简单的三角恒等变换 3.2 Word版含答案.docx

§3.2 简单的三角恒等变换课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________；(3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 33．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B.12C ．2D ．－2题号 1 2 3 4 5 6 答案7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.32B ．－32C.13D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等． §3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 点(a ，b )作业设计 1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x .]5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.]7．π解析 f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x )＝22sin2x ＋22cos2x － 2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π.8.459解析设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α.∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75.∴cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625. ∵π<θ<2π， ∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值．∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z )∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313.∴tan x ＝－32.]14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos60°＋5cos(x ＋20°)sin60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换3.2.1倍角公式导学案新人教A版必修4【精选】.doc

13.2.1二倍角公式教学目标： 12能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：二倍角公式的推导教学过程sin15cos15×o o 的求值问题？一、复习引入复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S=+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C =+)cos(αα ),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα二、讲解新课(一) 二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= 简记为_____________.cos 2________________α=简记为_____________又可写成________________.________________.=⎧⎨=⎩tan 2________________α= 简记为_____________.（二）公式的变形应用21sin 2_______________(_________).α±==1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα⇒==（三）相对2倍角(倍角的相对性)sin 2________________α=cos 2________________α=sin α= cos α= （利用2α表示） cos4α= __________________ cos3_________.α=（利用32α表示）. sin2α=__________________ （22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用）例1不查表．求下列各式的值(公式的逆用) （１） 15cos 15sin ；（２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-；（４）75sin 212-．（5）22cos 112π-= （6）求cos 20cos 40cos60cos80o o o o 的值例2求值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+（２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例3若tan θ = 3，求sin2θ- cos2θ的值三、课后提升1、已知12cos13α=，)2,0(πα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值 ?2、已知5tan12α=，3(,)2παπ∈，求tan2α的值。

必修四简单的三角恒等变换(附答案)

简单的三角恒等变换[学习目标] 1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一半角公式及其推导 (1)2S α：sin α2＝±1－cos α2； (2)2C α：cos α2＝±1＋cos α2； (3)2T α：tan α2＝±1－cos α1＋cos α(无理形式)＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式)．思考1 试用cos α表示sin α2、cos α2、tan α2.答案 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2，∴2sin 2α2＝1－cos α，∴sin 2α2＝1－cos α2，∴sin α2＝±1－cos α2； ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝±1＋cos α2； ∵tan 2α2＝sin 2α2cos2α2＝1－cos α21＋cos α2＝1－cos α1＋cos α，∴tan α2＝±1－cos α1＋cos α.思考2 证明tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cosα22cos 2α2＝tan α2，∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证tan α2＝1－cos αsin α.∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ) 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．思考1 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； (2)sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4； (3)3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (4)3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6； (5)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (6)sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 思考2 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．答案 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)．题型一半角公式的应用例1 已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2.解 sin α2＝±1－cos α2＝± 1－132＝±33， cos α2＝±1＋cos α2＝± 1＋132＝±63， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22. ∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22；当α2为第四象限角时， sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22.跟踪训练1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sinθ2cos θ2＝2cos θ2sin θ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.题型二三角恒等式的证明例2 (1)求证：1＋2cos 2θ－cos 2θ＝2.(2)求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 (1)左边＝1＋2cos 2θ－cos 2θ ＝1＋2×1＋cos 2θ2－cos 2θ＝2＝右边．所以原等式成立． (2)原式＝2sin x cos x(2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2)(2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2)＝2sin x cos x 4sin 2x 2(cos 2x 2－sin 2x 2)＝sin x2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．跟踪训练2 证明：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x2.证明左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝tan x2＝右边．所以原等式成立．题型三与三角函数性质有关的综合问题例3 已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)f (x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8 ＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的取值集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin(α＋π4)＋R .∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．构建三角函数模型，解决实际问题例4 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．分析解答本题可设∠P AB ＝θ并用θ表示PR 、PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．解如图连接AP ，设∠P AB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ. 所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)，则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950.故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002)m 2.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±332．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α3．函数f (x )＝2sin x2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的最大值等于( ) A.12 B.32 C ．1 D ．2 4．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.5．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－ 1－cos α2 B. 1－cos α2 C ．－1＋cos α2D. 1＋cos α22．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 3．已知cos α＝45，α∈(32π，2π)，则sin α2等于( )A ．－1010 B.1010 C.310 3 D ．－354．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2二、填空题7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10．sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为________．三、解答题11．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值．13．已知函数f (x )＝(1＋1tan x)sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．当堂检测答案1．答案 A解析由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.3．答案 A解析 ∵f (x )＝2sin x2⎝⎛⎭⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2 ＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2＝32sin x ＋12cos x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－12. ∴f (x )max ＝12.4．解原式＝(sin α2＋cos α2)22|cos α2|－2|sin α2|＋(sin α2－cos α2)22|cos α2|＋2|sin α2|，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝(sin α2＋cos α2)2－2(sin α2＋cos α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 5．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ) ＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314. 所以f (x )max ＝7.课时精练答案一、选择题1．答案 C 2．答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x . 3．答案 B解析由题意知α2∈(34π，π)， ∴sin α2>0，sin α2＝ 1－cos α2＝1010. 4．答案 B解析 ∵f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78， ∴T ＝2π4＝π2. 5．答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a <c <b .6．答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2 ＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12. 二、填空题7．答案 π解析 ∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 8．答案 4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780. 9．答案 3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)． ∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝1－cos (180°－α)sin (180°－α)＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10．答案 34解析原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°) ＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220°＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220° ＝34sin 220°＋34cos 220°＝34. 三、解答题11．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时， f (x )取得最小值－1.12．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝－453. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝35×32＋⎝⎛⎭⎫－45×12＝33－410. 13．解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12，由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04

，π＜2α＜，求 tanα.
13
2
3
3
解： ∵π＜2α＜，∴ ＜α＜ .
2
2
4
由 cos 2
1 sin 2
5
1 ( 12 ) 2
5 ，得 tan
1 cos2
1 13
3
13
13
sin 2
12 2
13
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
或 tan 或 tan
或 tan
2 1 cos
2 sin
可避开符号的讨论 .
③若角α的倍角 2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把
的函数值连在一起 .
知识点二积化和差公式的应用
例 4 求下列各式的值：
5 (1) cos sin ； (2)2cos50° cos70° -cos20° .
12 12
5
15
1
3
.
2
24
(2)原式 =cos(50° +70° )+cos(50°-70° )-cos20°
1
=cos120°+cos20° -cos20° =cos120°=-cos60° = .
2
31
例 5 求证： (1)sin80°cos40° =
sin 40 ；
42
11
(2)sin37.5° sin22.5° = + cos15° .
( 2 3) .
例 2 求 cos , tan 的值 . 8 12
2
解：由于 cos2
1 cos 1
4
2
1