矩阵及其运算习题课

定义2.10 形如下列形式的矩阵称为标准形矩阵：
Er 0
0
0
定理2.4 设 A 为 非零矩阵，那么 A 一定可以经过有限次初等行变换化为行
阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为标准形.
推论 可逆矩阵的标准形是单位矩阵，并且只需要进行初等行变换就 能将可逆矩阵化为单位矩阵.
定义2.11 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵：
C22
Cs2
C1t C2t Cst
t
其中 Cij Aik Bkj (i 1，2 ，s；j 1，2 ，r) . k 1
A11 A12
（4）转置
设
A
A21 As1
A22 As 2
A1t
A2t Ast
，则
A1T1 A1T2
AT
A2T1
A2T2
AsT1 AsT2
转置矩阵 AT (a ji )nm是矩阵A (aij )mn 的转置矩阵.
对称矩阵 称满足 AT A的方阵 A为对称矩阵，即对所有i, j 满足 aij a ji .
反对称矩阵 称满足 AT A 的方阵 A 为对称矩阵，即对所有i, j
满足 aij a ji .
3. 逆矩阵
A11 A21
Ast
Bst
A11
（2）数乘
设
A
A21 As1
A12 A22 As2
A1t
A2t Ast
，k
为数，则
kA11 kA12
kA
kA21
kAs1
kA22
kAs 2
kA1t
kA2t
kAst
.
（3）乘法 设 A 为 m l 矩阵，B 为 l n 矩阵，分块为
U
a22
a2n ann
（4）. 下三角矩阵（当 i j 时，aij 0 ）
a11
L
a21 an1
a22 an2
ann
上三角矩阵和下三角矩阵统称三角矩阵.
2. 矩阵的运算
设矩阵 A (aij ), B (bij )，则 矩阵相等 A B aij bi（j 对一切i, j ），A、B为同型矩阵. 矩阵的和 A B (aij bij ), A、B 为同型矩阵.
NEXT
1.矩阵的概念
定义2.1 由 m n个元素aij (i 1,2, , m; j 1,2, , n) 排成的 m 行 n
列的数表 ：
a11 a12 a1n
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，简记为 A (aij )mn ，其中
A11
A
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A21 As1
A12 A22 As2
A1t
B11 B12
AA2stt ，B
B21 Bt1
B22 Bt 2
B1r
B2r
Btr
其中 Ai1，Ai 2， ，Ait 的列数分别对应等于 A1 j，A2 j， ，Atj
的行数，则
C. 11 C12
AB
C21 C s1
行（列）对应元素上，记为 rj kri (c j kci ) .
定义2.8 满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵： （1）各非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增大； （2）如果矩阵有零行，那么零行在矩阵的最下方.
定义2.9 满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵： （1）各非零行的第一个非零元素都是1； （2）各非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都是零.
a11
Λ
a22
ann
简称对角阵，可记为 Λ diag(a11, a22, ann ) .
（2）. 单位矩阵（当 i j 时，aij 1 ；当i j 时，aij 0 ）
1
E
1
1
简称单位阵，可记为 En .
（3）.上三角矩阵（当 i j 时，aij 0 ）
a11 a12 a1n
A*
A12 A1n
A22 A2n
An1
An2
Ann
（7）若 A 可逆，则 ( A 1)* ( A*) 1 .
4. 分块矩阵
A11 B11 A12 B12
A B
A21 B21
As1
Bs1
A22 B22
As2 Bs2
A1t B1t
A2t B2t
aij 称为 A的元素.
Back
所有元素 aij 0的矩阵称为零矩阵，记为 O ； 当 m 1 时，称为行矩阵；
当 n 1 时，称为列矩阵；
当 m n 时，称为 n 阶方阵；
若两个矩阵的行数和列数对应相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
几种常用方阵：
（1）. 对角方阵（当 i j 时，aij 0）
线性代数习题讲解
第二章 矩阵及其运算
一、要点复习 二、作业讲解 三、典型例题介绍
一、要点复习
矩阵的概念 矩阵的运算
逆矩阵
定义 特殊矩阵
基本运算 性质
方阵的行列式及其性质 定义
性质
分块矩阵
定义与运算 分块对角矩阵
初等变换与初等矩阵
初等变换 初等矩阵 逆矩阵的求法
矩阵的秩
定义 秩的相关结论 秩的求法
A1Tt A2Tt
.
AsTt
定义2.6 设 A为 n阶方阵，称如下形式的分块矩阵为分块对角矩阵
A11
A
A22
Akk
其中 Aii (i 1，2 ，k) 皆为方阵.
A11
设方阵
A
A22
，则有
Akk
当
A
Ak
A2
A1
且
Ai
均可逆时，有
A1
A11
Ak1
A1 k 1
.
5. 初等变换与初等矩阵
定义2.7 矩阵的初等行（列）变换指如下三种变换：
（1）对换变换：对调矩阵的第 i 行（列）与第 j 行（列），记为
ri rj (ci c j ) ；
（2）数乘变换：以非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列）的所有元素，
记为 kri (kci )；
（3）倍加变换：将矩阵的 i 行（列）的所有元素的 k 倍加到第 j
1 (1). E(i，j)
0 1
1 0
ri
rj
1
1
(2).
E (i(k
))
k
ri
1
1 (3). E(i，j(k))
数乘矩阵 kA (kaij ), k为任意常数.
s
矩阵相乘 Ams Bsn (cij )mn ，其中cij aikbkj, 即要求 A k 1
的列数必须等于B 的行数.一般地矩阵的乘法不满足交换律，即
AB BA.
方阵的幂 A0 En, Ak A A A,（ k 1,2,3, )
k个