2014年江苏省南通市中考数学试卷(附答案与解析)

数学试卷 第1页（共28页）数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前江苏省南通市2014年初中毕业、升学考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.4-的相反数是( )A .4B .4-C .14D .14- 2.如图,140∠=︒,如果CD BE ∥,那么B ∠的度数为( )A .160︒B .140︒C .60︒D .50︒3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是 ( ) A .圆柱 B .圆锥 C .球 D .棱柱4.若121x -在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )A .12x ≥ B .12x ≥-C .12x ＞D .12x ≠5.点(2,5)P -关于x 轴对称的点的坐标为 ( ) A .(2,5)- B .(2,5) C .(2,5)-- D .(2,5)-6.化简211x x x x+--的结果是( )A .1x +B .1x -C .x -D .x7.已知一次函数1y kx =-,若y 随x 的增大而增大,则它的图象经过( )A .第一、二、三象限B .第一、二、四象限C .第一、三、四象限D .第二、三、四象限8.若关于x 的一元一次不等式组10,0x x a -⎧⎨-⎩＜＞无解,则a 的取值范围是( )A .a ≥1B .a ＞1C .a -≤1D .a -＜19.如图,ABC △中,18AB AC ==,12BC =,正方形DEFG 的顶点E ,F 在ABC △内,顶点D ,G 分别在AB ,AC 上,AD AG =,6DG =,则点F 到BC 的距离为( )A .1B .2C .1226-D .626-10.如图,一个半径为r 的圆形纸片在边长为(23)a a r ＞的等边三角形内任意运动,则在该等边三角形内,这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是( )A .2π3r B .233π3r - C .2(33π)r -D .2πr第Ⅱ卷(非选择题 共120分)二、填空题(本大题共8小题,每小3分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 11.我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨,这个数据用科学记数法可表示为 吨.12.因式分解3a b ab -= .13.若关于x 的方程260x x m -+=有两个相等的实数根,则实数m = . 14.已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的公共点是(4,0)-,(2,0),则这条抛物线的对称轴是直线 .15.如图,四边形ABCD 中,AB DC ∥,90B ∠=︒,连接AC ,DAC BAC ∠=∠，若4cm BC =,5cm AD =,则AB = cm .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共28页） 数学试卷 第4页（共28页）16.在如图所示(A ,B ,C 三个区域)的图形中随机地撒一把豆子,豆子落在 区域的可能性最大(填A 或B 或C ).17.如图,点A ,B ,C ,D 在O 上,点O 在D ∠的内部,四边形OABC 为平行四边形,则OAD OCD ∠+∠= 度.18.已知实数m ,n 满足21m n -=,则代数式22241m n m ++-的最小值等于 .三、解答题(本大题共10小题,共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分10分) (1)2011(2)()2--+；(2)22232[()()]x x y xy y x x y x y ---÷.20.(本小题满分8分)如图,正比例函数2y x =-与反比例函数ky x=的图象相交于(,2)A m ,B 两点. (1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)结合图象直接写出当2k x x-＞时,AB 的取值范围.21.(本小题满分8分)如图,海中有一灯塔P ,它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里/时的速度由西向东航行,在A 处测得灯塔P 在北偏东60︒方向上，航行40分钟到达B 处,测得灯塔P 在北偏东30︒方向上，如果海轮不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险？22.(本小题满分9分)九年级(1)班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动,并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现,老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间,并将统计的时间(单位：小时)分成5组.A .0.51x ≤＜,B .1 1.5x ≤＜,C .1.52x ≤＜ D .2 2.5x ≤＜,E .2.53x ≤＜,制作成两幅不完整的统计图(如图).请根据图中提供的信息,解答下列问题：(1)这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是 ； (2)补全频数分布直方图；(3)该班的小明同学这一周做家务2小时,他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多,你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由.数学试卷 第5页（共28页） 数学试卷 第6页（共28页）23.(本小题满分8分)盒中有x 个黑球和y 个白球,这些球除颜色外无其他差别.若从盒中随机取一个球,它是黑球的概率是25；若往盒中再放进1个黑球,这时取得黑球的概率变为12.(1)填空：x = ,y = ；(2)小王和小林利用x 个黑球和y 个白球进行摸球游戏.约定：从盒中随机摸取一个,接着从剩下的球中再随机摸取一个,若两球颜色相同则小王获胜,若颜色不同则小林胜,求两个人获胜的概率各是多少？24.(本小题满分8分)如图,AB 是O 的直径,弦CD AB ⊥于点E ,点M 在O 上,MD 恰好经过圆心O ,连接MB .(1)若16CD =,4BE =,求O 的直径； (2)若M D ∠=∠,求D ∠的度数.25.(本小题满分9分)如图1,底面积为230cm 的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”,现向容器内匀速注水,注满为止.在注水过程中,水面高度(cm)h 与注水时间(s)t 之间的关系如图2所示.请根据图中提供的信息,解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为 cm ,匀速注水的水流速度为 3cm /s ； (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为215cm ,求“几何体”上方圆柱的高和底面积.26.(本小题满分10分)如图,点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点,以线段AE 为边作一个菱形AEFG ,且AEFG ABCD 菱形菱形,连接EB ,GD .(1)求证：EB GD =；(2)若60DAB ∠=︒,2AB =,3AG =,求GD 的长.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共28页） 数学试卷 第8页（共28页）27.(本小题满分13分)如图,矩形ABCD 中,3AB =,4AD =,E 为AB 上一点,1AE =,M 为射线AD 上一动点,AM a =(a 为大于0的常数),直线EM 与直线CD 交于点F ,过点M 作MG EM ⊥,交直线BC 于点G .(1)若M 为边AD 中点,求证：EFG △是等腰三角形； (2)若点G 与点C 重合,求线段MG 的长；(3)请用含a 的代数式表示EFG △的面积S ,并指出S 的最小整数值.28.(本小题满分13分)如图,抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点,与y 轴交于C ,顶点为D ,抛物线的对称轴DF 与BC 相交于点E ,与x 轴相交于点F . (1)求线段DE 的长；(2)设过点E 的直线与抛物线相交于点11(,)M x y ,22(,)N x y ,试判断当12||x x -的值最小时,直线MN 与x 轴的位置关系,并说明理由；(3)设P 为x 轴上的一点,DAO DPO α∠+∠=∠,当tan 4α∠=时,求点P 的坐标.5 / 14江苏省南通市2014年初中毕业、升学考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】因为实数a 的相反数为a -，则4-的相反数为4，故选A. 【考点】相反数. 2.【答案】B 【解析】140∠=︒180118040140AFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒.CD BE ∥，140B AFD ∴∠=∠=︒，故选B.【考点】邻补角的性质，平行线的性质. 3.【答案】A【解析】根据三视图的画法，易知题中的三视图是圆柱的，故选A. 【考点】由简单几何体的三视图识别几何体. 4.【答案】C【解析】根据分式有意义的条件：分母不为0，二次根式在实数范围内有意义的条件：被开方数大于或等于0，则210x -＞，解得12x ＞，故选C.【考点】二次根式在实数范围内有意义的条件，分式有意义的条件，解一元二次不等式. 5.【答案】B【解析】在直角坐标系中，关于x 轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，易知(2,5)P -关于x 轴的对称点为(2,5)，故选B.【考点】平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的特点. 6.【答案】D 【解析】22(1)11111x x x x x xx x x x x x -+=-==-----，∴选D. 【考点】分式的运算.数学试卷 第11页（共28页）数学试卷 第12页（共28页）7.【答案】C【解析】由y 随着x 的增大而增大，得0k ＞，则可画出符合题意的如下图像，易知图像过一、三、四象限，故选C.【考点】一次函数的图像与性质. 8.【答案】A【解析】这两个不等式的解集分别为：0x ＜，x a ＞，根据“大大小小，无解”，易得a 必须大于1；再考虑a 能不能取1，若1a =，则不等式组为1,1,x x ⎧⎨⎩＜＞这个不等式组也无解，综上1a ≥，故选A.【考点】解不等式组. 9.【答案】D【解析】过点A 作AN BC ⊥于点N ，分别交DG 、EF 于点H 、M .则6BN =，易求AN =，易证ADG ABC △△，则AH DGAN BC=，可求AH =易求6MN =，由于EF BC ∥，根据“平行线间的距离处处相等”，可知选D.【考点】正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线间的距离处处相等. 10.【答案】C【解析】如图，O 分别切AB 、BC 于点D 、E ，连接OD 、OE 、OB.易知图中阴影部分为B ∠区域“接触7 / 14不到的部分”，可得，30OBE ∠=︒，易求得BE =，则22211120ππ223603OBE OBD ODEr r S S S S r r =+-=⨯+⨯--△△阴影部分扇形，易知A ∠、C ∠区域“接触不到的部分”的面积和上面的阴影部分面积相等，则这个圆形纸片“接触不到的部分”为：222π)π)3r r -=，故选C.【考点】等边三角形的性质，切线性质，切线长定理，求扇形面积.第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】46.7510⨯【解析】对于绝对是大于或等于10的数可以写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 是正整数，这里的n 等于原数的整数位减1.所以467500 6.7510=⨯，故填46.7510⨯. 【考点】科学记数法. 12.【答案】(1)(1)ab a a -+ 【解析】32(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a -=-=-+，∴填(1)(1)ab a a -+.【考点】提公因式法分解因式，用公式法分解因式.13.【答案】9【解析】可求得此一元二次方程跟的判别式等于364m -，由于此方程有两个相等实根，则3640m -=，解得9m =，故填9.【考点】一元二次方程跟的判别式的应用. 14.【答案】1x =-【解析】二次函数图像与x 轴的公共点(4,0)-、(2,0)关于对称轴对称，∴这条抛物线的对称轴是直线1x =-，故填1x =-.数学试卷 第15页（共28页）数学试卷 第16页（共28页）【考点】二次函数图像的对称性. 15.【答案】8【解析】易证DAC BAC ACD ∠=∠=∠，得5cm CD AD ==，过点D 作DE AB ⊥于点E ，可证四边形ABCD为矩形，5cm BE CD ==，4cm DE BC ==，在Rt ADE △中，用勾股定理可求得3cm AE =，则358cm AB =+=，故填8.【考点】等腰三角形的判定，矩形的性质和判定，勾股定理. 16.【答案】A 【解析】C 区域的面积为4π，B 区域的面积为22π4π212π⨯-⨯=，∴豆子落在A 区域的可能性最大，故选A .【考点】简单的几何概率型等可能事件概率. 17.【答案】60【解析】连接OB 、OD.易证AOB △为等边三角形，则60OAB ∠=︒，易得120AOC ∠=︒，则60D ∠=︒，OD OA =，OD OC =，OAD ODA ∴∠=∠，OCD ODC ∠=∠，60OAD OCD ODA ODC D ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，故填60.【考点】菱形的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定和性质. 18.【答案】4 【解析】21m n -=，210n m ∴=-≥，则1m ≥，把21n m =-代入22241m n m ++-，得222(1)41(3)12m m m m +-+-=+-，1m ≥，2(3)124m ∴+-≥，即题中代数式有最小值，且最小值为4，故填4.【考点】整式加减，配方法，解不等式，消元思想，转化思想. 三、解答题 19.【答案】（1）1 （2）22xy -9 / 14【解析】解：（1）原式41221=+--=.（2）原式22[(1)(1)]x xy xy y x xy x y =---÷222[(1)(1)]x y xy x y xy x y =---÷ 22(11)x y xy xy x y =--+÷22xy =-.【考点】因式分解，整式加减，多项式除以单项式运算. 20.【答案】（1）(1,2)-（2）1x -＜和01x ＜＜【解析】解：（1）点(,2)A m 在正比例函数图像上，22m ∴=-，解得1m =-，即点A 的坐标为(1,2)-.把点A 的坐标代入反比例函数，得21k =-，解得2k =-，∴反比例函数关系式为2y x =-，2,2y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩的解为111,2,x y =-⎧⎨=⎩221,2,x y =⎧⎨=-⎩ ∴点B 为(1,2)-.（2）当2kx x-＞时，正比例函数的值大于反比例函数值，由图可知，正比例函数图像在反比例函数图像上方的x 的取值范围为：1x -＜和01x ＜＜.【考点】函数图像上点的性质，用待定系数发求函数关系式，数形结合. 21.【答案】继续航行不改变方向，无触礁危险.【解析】解：过点P 作PC AB ⊥于点C ，设PC x =，PC BD ∥，30BPC PBD ∴∠=∠=︒.在Rt PAC △中，90PCA ∠=︒.906030PAC ∠=︒-︒=︒，PC x =，则tan PC PCA AC ∠=，xAC=，解得AC =.同理可求，BC =.又40181260AB =⨯=（海里），12=，解得8x =，即直线AB 与点P 为圆心8海里为半径的圆相离，∴继续航行不改变方向，无触礁危险.数学试卷 第19页（共28页）数学试卷 第20页（共28页）【考点】解直角三角形的应用，一元一次方程的应用，直线与圆的关系. 22.【答案】（1）C （2）见解析（3）小明的说法符合实际 【解析】解：（1）C（2）补全频数直方图如下图：（3）由条形统计图的数据可知，小明做家务的时间比3152038++=（人）多，而3825＞，所以小明的说法符合实际.【考点】频数分布直方图，扇形统计图，中位数. 23.【答案】（1）2；3 （2）见解析.【解析】解：（1）2，3；（2）结合（1）可列表表示该时间的所有可能性：由表格可知总可能性有20种，颜色相同的可能性为8种，颜色不相同的可能性为12种，82205P ∴==（小王获胜），23155P =-=（小林获胜）. 【考点】简单的等可能事件的概率求法，二元一次方程组的应用，树状图或列表法. 24.【答案】（1）20 （2）30︒【解析】解：（1）弦CD AB ⊥，182DE CD ∴==，BC BD =，90OED ∠=︒.设O 的半径为x ，在Rt EDO △中，90OED ∠=︒，222OE ED OD +=，222(4)8x x ∴-+=，解之得10x =，O ∴的直径为20.（2）连接BD .BC BD =，M EDB ∴∠=∠ .MD 为O 直径，90MBD ∴∠=︒，90MDE EDB M ∴∠+∠+∠=︒.MDE M ∠=∠，90MDE MDE MDE ∴∠+∠+∠=︒，则30MDE ∠=︒.答：D ∠的度数为30︒.【考点】垂径定理，勾股定理，一元一次方程的应用，直径所对圆周角，圆周角的性质. 25.【答案】（1）14；5（2）5 cm ；324cm【解析】解：（1）14，5（2）由线段AB 的图像，结合（1），可得3015518a a-=，解得6a =；结合线段AB 图像，可知“几何体”上方的高为1165-=（cm ）；设“几何体”上方的底面积为2cm x ，可得305552418x ⨯-=-，解得24x =.答：“几何体”上的圆柱的高为5 cm ，底面积为324cm .【考点】一次函数的图像和性质，一次函数的应用，一元一次方程的应用. 26.【答案】（1）见解析（2 【解析】解：（1）菱形AEFG菱形ABCD ，GAE DAB ∴∠=∠，GAE GAB DAB GAB ∴∠+∠=∠+∠，即EAB GAD ∠=∠.又菱形ABCD 、AEFG ，AE AG ∴=，AB AD =，ABE ADG ∴≅△△，EB GD ∴=. （2）连接BD 交AC 于点O ，四边形ABCD 是菱形，2AB AD ∴==，BO AC ⊥，1302OAB DAB ∠=∠=︒.在Rt AOB △中，112BO AB ==，AO ∴==，EO AE AO AG AO ∴=+=+=在Rt BOE △中，BE ==DG BE ∴==数学试卷 第23页（共28页）【考点】菱形的性质，相似多边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理. 27.【答案】（1）见解析 （2）（3）7【解析】证明：（1）M 为AD 的中点.AM DM ∴=.四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴∥，AEM DFM ∴∠=∠，A FDM ∠=∠，AEM DFM ∴≅△△，EM FM ∴=.又MG ME ⊥，EG FG ∴=，即EFG △为等腰三角形. （2）如图①，矩形ABCD ，90A MDG ∴∠=∠=︒，90DCM GMD ∴∠=︒-∠ .又MG ME ⊥，90AME GMD DCM ∴∠=︒-∠=∠，AEM DCM ∴△△，AM AE CD DM ∴=，则134a a=-，解得1a =或3.当1a =时，则3DM =，在Rt DMG △中，MG ==当3a =时，则1DM =，在Rt DMG △中，10MG ==.综上MG =（3）本小题分三种情况，设EFG △的面积为S .①当01a ＜≤时，如图②，过点G 作GM AD ⊥于点N ，在Rt AEM △中，EM ==AB CD ∥，AEMDFM ∴△△ .AM ME MD FM ∴=，则4a a FM=-，解得FM =，EF ∴= .类似（2）可证AEMNMG △△，AM GNEM GM∴=，则3GM=，解得GM =2116622S EF GM a ∴==⨯+.当1a =时，EFG △的面积最小，这个最小12S =.②当13a ＜≤时，如图③类似①，可得266S a =+，26123S ∴≤＜，最小整数7S =. ③当34a ＜≤时，如图④类似①，可得266S a=+，326683S ∴≤＜，S 无最小整数值.④当4a ＞时，如图⑤，类似①，可得GM =，EF ，2116622S EF GM a ∴==⨯=+.综上所述，当0a ＞时，266S a=+，当a =时，S 有最小整数值7.【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，解一元二次方程，勾股定理. 28.【答案】（1）2 （2）直线MN 与x 轴平行 （3）(17,0)-，(19,0)【解析】解：（1）令0x =，则3y =，则点(0,3)C .令0y =，则2230x x -++=解得11x =-，23x =，则点(1,0)A -，点(3,0)B .2(1)4y x =--+，∴顶点D 为(1,4)，点F 为(1,0).设直线BC 为y kx b =+，则3,30,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,3,k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 为3y x =-+，在这个关系式中令1x =，则2y =.∴点E 坐标为(1,2)，422DE ∴=-=.（2）设过点(1,2)E 的直线为y mx n =+，则2m n =+解得2n m =-，∴过点E 的直线为2y mx m =+-.过点E 的直线与抛物线的交点M 、N 的坐标为方程组223,2y x x y mx m⎧=-++⎪⎨=+-⎪⎩①②的解，把②代入①并整理，得2(2)10x m x m +---=，1212(2),1.x x mx x m +=--⎧∴⎨=--⎩12x x ∴-=∴当0m =时，12x x -的值最小，此时直线为2y =，即直线MN 与x 轴平行.数学试卷 第27页（共28页）（3）分四种情况：①点P 在点A 、O 之间时，如图①，连接OD 、延长BD 交y 轴于点M .在Rt DOF △中，90DFO ∠=︒，tan 4DFDOF OF∠==，11MDO DPO DBO DPO DAO α∠=∠+∠=∠+∠=∠，显然DOF α∠∠＞，23BD OB =≠=，ODB DOB ∴∠≠∠，显然tan 4α∠≠，故此种情况不可能；②在OA 的延长线上，如图②，延长BD ，过点2P 作2P N BD ⊥于点N ，可设DN m =，2DAO DPO P DN α∠+∠=∠=∠，tan 4α∠≠，24P NDN∴=，设DN m =，则24P N m =，290P NB BFD ∠=∠=︒，2P BN DBF ∠=∠，2P BN DBF ∴△△，42∴=，解得m =，BN ∴=，2P N =在2Rt BNP △中，220P B =，217OP ∴=则点2(17,0)P -. ③在O 、F 之间，如图③根据对称性，结合①可知这种情况也不可能，3P 也不存在；④在OF 的延长线上，如图4，根据对称性，结合②，可得420P A =，419OP ∴=则点4(19,0)P .综上符合条件的点P 为(17,0)-，(19,0).【考点】用待定系数求函数关系式，解一元二次方程，一元二次方程系数的关系，锐角三角形函数的概念，相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质.。