湘教版数学七年级下册期末复习(三)因式分解
湘教版数学七年级下册第3章 因式分解 小结与复习 课件
x y x2 y 2
x y x y
2
2 2 4 a a b 2 ab a b b a b
a b a 2 2ab b 2
a b a b
2
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
典型题，分类剖析：
类型六：利用完全平方式证明和计算有关问题： 已知x= 3 1 ，求x2-2x+1的值
一级达标重点名校中学课件
典型例题，分类剖析：
类型七：转化思想的应用 已知y=2,请你说明无论x取何值时， 代数式（3x+5y）2-2(3x+5y)(3x-5y)+(3x-5y)2的值不变
1.提公因式法．
步骤： ① 找 ； ②拆 ； ③提．
找出公因式的步骤如下： （1）定符号：如果原来多项式的第1项的系数为负，则把负号 提出。【此时括号内的各项要变号．】 （2）定系数：取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的 系数。 （3）定字母：取各项中相同的字母。【字母的指数取各项中 次数最低的．】 （4）定式子：取各项中相同的式子。【式子的指数取各项 中次数最低的．】
两因数的和恰好等于一次项系数．
一级达标重点名校中学课件
例4 把多项式
2
x x2
2
因式分解
x x2
x 2 x 1
一级达标重点名校中学课件
典型例题，分类剖析：
类型一：用提公因式法分解因式 b2-2b
类型二：用公式法分解因式: a2-4= x2+4x+4=
一级达标重点名校中学课件
x 1 x 1
2
2
湘教版数学七年级下册第3章《因式分解》小结与复习(新课件)
结构图
7.把下列多项式因式分解：
（1）(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)； （2）x3z-4x2yz+4xy2z.
=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y) =(a-b)(x-y+x+y) =2x(a-b)
=xz(x2-4xy+4y2) =xz(x-2y) 2
结构图
8.一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体,它的内径d=68cm，外
解
(x-3)2-2(x-3)+1
=(x-3-1)2
=(x-4)2
因为2x-1=3，所以x=2.
原式=4.
结构图
11.把下列多项式因式分解：
（1）x2-4y2+x+2y； =(x+2y)(x-2y)+(x+2y) =(x+2y)(x-2y+1)
（2）(x+y)2-4(x+y-1)； =(x+y)2-4(x+y)+4 =(x+y-2)2
课堂中要使学生体验数学与现实生活与其他学科的联系，锻炼了表达 和解决问题的能力；培养了学生运用数学思维进行表达与交流的能力，发 展应用意识与实践能力。课堂教学要让学生有充分的独立思考的时间，有 丰富的动手操作活动，培养学生学会观察，学会表达。只有坚持学习，与 时俱进，真正做到以培养学生的核心素养为目标，我们才能提高教学质量 。
（2）m2n-mn2+mn； =mn(m-n+1)
（3）9x3y3-21x3y2+12x2y2； （4）x2(x-y)+y2(x-y).
=3x2y2(3xy-7x+4)
=(x2+y2)(x-y)
七年级数学下册3.1 因式分解因式分解概念及提取公因式(知识讲解)(湘教版)
专题3.1 因式分解-因式分解概念及提取公因式（知识讲解）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和m m为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、 （2012·浙江杭州市·七年级期中）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）221()()1x y x y x y -+=+-+；（2）2(2)(1)2x x x x -+=--；（3）232632x y xy xy =⋅；（4）22()()()(1)x y y x a x y a -+-=--；（5）29696x y xy y xy x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．【分析】（1）根据等式右边()()1x y x y +-+不符合因式分解的定义即可得；（2）根据等式右边22x x --不符合因式分解的定义即可得；（3）根据等式左边236x y 不符合因式分解的定义即可得；（4）根据因式分解的定义即可得；（5）根据等式右边96xy x x ⎛⎫++⎪⎝⎭不符合因式分解的定义即可得． 【详解】因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解（1）不是因式分解，因为()()1x y x y +-+是和的形式；（2）不是因式分解，因为22x x --是和的形式；（3）不是因式分解，因为236x y 是单项式；（4）是因式分解，因为多项式2()()x y y x a -+-分解成两个整式x y -与21a -的积的形式，符合因式分解的定义；（5）不是因式分解，因为96xy x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中的9x 不是整式． 【点拨】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．举一反三：【变式】 （2018·全国七年级课时练习）判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a2－9b2＝(a ＋3b)(a －3b)； (2)3y(x ＋2y)＝3xy ＋6y2；(3)(3a －1)2＝9a2－6a ＋1； (4)4y2＋12y ＋9＝(2y ＋3)2；(5)x2＋x ＝x2(1+1x )； (6)x2－y2＋4y －4＝(x －y)(x ＋y)＋4(y －1)．【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【解析】【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.【详解】(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋1x)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．类型二、提公因式法分解因式2、（2020·广西钦州市高新区实验学校八年级月考）把下列各式因式分解：（1）xy ay by +- （2）()()32x a b y b a ---【答案】（1）()y x a b +-；（2）()()32a b x y -+；【分析】（1） 提取公因式y ，即可得到答案；（2）先把原式化为：()()32x a b y a b -+-，再提取公因式-a b ，即可得到答案； 解：（1）xy ay by +-()y x a b =+-（2）()()32x a b y b a ---()()32x a b y a b =-+-()()32a b x y =-+举一反三：【变式】 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）()()242252y x x y -+-【答案】()()245025y x y x -+-【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．原式()()242252y x y x =-+- ()()24252y x y x =-+-⎡⎤⎣⎦()()245025y x y x =-+-【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键．类型三、提公因式法分解因式的应用5、 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）先分解因式，再求值：()()()()23271127x x x x --+--，其中1x =．【答案】()()()2735x x x --+，48【分析】先将原式变形，再提取公因式，整理即可．解：()()()()23271127x x x x --+--()()()()23271127x x x x =--+--()()()273211x x x =---+⎡⎤⎣⎦()()()2735x x x =--+；当1x =时，原式()()()121735=-⨯-⨯+()()168=-⨯-⨯48=．【点拨】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键． 举一反三：【变式】（2021·河南·八年级期末）已知2ab =，3a b -=-，则2332a b a b -的值为（ ）A ．12-B ．12C ．6-D ．6 【答案】B【分析】把2332a b a b -因式分解，再整体代入即可．解：233222()a b a b a b b a -=-，∵2ab =，3a b -=-，原式=223⨯=12，故选：B ．【点拨】本题考查了因式分解和代数式求值，先把多项式因式分解，再整体代入是解题关键．。
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式几个整式的积例：axbx13131x(ab) 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
2233例1：把12ab18ab24ab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233解：12ab18ab24ab6ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)᠆ 1;x(x2) （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
湘教版数学七年级下册第3章《因式分解》复习课件
例a2±如2：ab4+xb2-2叫12做xy完+9全y2 平方式.
=(2x)2-
2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
探究交流
下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
目前在有理数范围内不能再分解.
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
幂本的题形既式可.以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把
统 便 a=((例===，一xy((8--如aa(因成yxa--))：22-为(22+[bb2x(ba))b(-7(+()[xyayb8(()--(aa7-y,8yax--但 )b)--122=)3x6b8比+(()b)bcya+))较(--c=+yx2]8(而-)ba(x2)=a-言.)+(8-2(yb2把=a-)ba-x])((8)2xy.b2--()yxa())+a化2b-+y2b成-b(b)y(x-y+x-c)x)3).+比c
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
是整式乘法.
例1 用提公因式法将下列各式因式分 (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a) 解：(1)-x3z+x4y=x3(z+x(y2)).3x(a- x3
+ (b-a) b)+=23yx(ba-ab-)-(a-
2=(y(a(a--a-b)b()b3)x-
做一 做
把下列各式分解因式. (1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)
湘教版初中七年级数学下册第3章《因式分解》PPT课件
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
×
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
√
D. ax+by+c=x(a+b)+c
×
E. 2a3b=a2•2ab
×
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
整式乘法
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)2πR+ 2πr= 2π(R+r)
整式乘法 因式分解 因式分解
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值.
解：因为x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， 所以可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)， 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)9 m 2n-6mn (5)-6 x 2 y-8 xy 2
3 a a2
3mn -2xy
小亮的解法有误吗？ 把3x2 - 6xy+x分解因式. 解：原式 =x(3x-6y).
错误
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【湘教版】七年级数学下册：第3章《因式分解》复习教案
因式分解一.因式分解的概念例1下列各式从左边到右边的变形中,是因式分解的为( )A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）分析:要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部,没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等,不属于恒等变形,因而也不属于分解因式.解:选C.二.因式分解的方法例2 因式分解:2(a-3)2-a+3= .分析:注意到-a+3提出负号后可变成（a-3）,所以考虑将负号提出,添括号后提取公因式（a-3）.解:2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).注意:注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.例3 因式分解:4m2+9(m+n)2+12m(m+n).分析:可将(m+n)看做一个整体,利用完全平方公式分解.解:4m2+9(m+n)2+12m(m+n)= (2m)2+2×2m×3(m+n)+ [3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2=(5m+3n)2.注意:当所要分解的多项式符合公式的“项数”时,注意灵活进行整体运用.例4 因式分解:a 2(2x-3)+9(3-2x).分析:先提取(2x-3),然后用平方差公式分解,注意后一项的符号变化.解:a 2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a 2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).三.因式分解相关的计算例5 已知x=a+b,y=a-b,用简便方法计算代数式(x 2+y 2)2-(x 2-y 2)2的值.分析:将代数式(x 2+y 2)2-(x 2-y 2)2用平方差公式分解后,每个括号内合并,然后观察与x,y 的关系,再将x=a+b,y=a-b 代入求解.解:(x 2+y 2)2-(x 2-y 2)2=(x 2+y 2+x 2-y 2)(x 2+y 2-x 2+y 2)=2x 2·2y 2= 4x 2y 2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=4a 4-8a 2b 2+4b 4.例6 计算222100(991981)++. 分析:若直接计算,则分母中的计算量很大,考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.解:222100(991981)++=222100(9929911)+⨯⨯+=222241001001[(991)]1001000==+. 四.因式分解相关的说明例7 已知a 2+b 2=1,x 2+y 2=1.试说明: (ax+by)2+(bx-ay)2=1.分析:将所证式子的左边整理成用a 2+b 2和x 2+y 2表示,故考虑将左边因式分解.(ax+by)2+(bx-ay)2=a 2x 2+2abxy+b 2y 2+b 2x 2-2abxy+a 2y 2=a 2x 2+b 2y 2+b 2x 2+a 2y 2=(a 2+b 2)x 2+(a 2+b 2)y 2=(a 2+b 2)(x 2+y 2).因为a 2+b 2=1,x 2+y 2=1,所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.注意:此题采用“欲进先退”的策略,即要进行分解因式,先进行整式的乘法,待到式子化简后,再分解因式进行说明.五.因式分解的实际应用例8 已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88 cm,它们的面积相差836 cm 2,求这两个正方形的边长.分析:设大正方形的边长为x cm,小正方形的边长为y cm,则根据它们的周长相差88 cm,可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836 cm 2,所以x 2-y 2=836,根据这两个方程可求出x,y 的值,但是两个方程的数值较大,计算复杂,因此可以考虑将x 2-y 2=836用因式分解法变形,求解.解:设大正方形的边长为x cm,小正方形的边长为y cm,根据题意得224()88836x y x y -=⎧⎨-=⎩①②方程组等价于22()()836x y x y x y -=⎧⎨+-=⎩③④ 将③代入④,得x+y=38⑤.③和⑤组成方程组得2238x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得x=30,y=8.所以大正方形的边长是30 cm,小正方形的边长是8 cm.误区点拨误区一因式对分解的概念理解不透彻例1 下列从左到右的变形是分解因式的是( ) A.2211()42x x x ++=+ B.221()()1x y x y x y --=+--C.22()(2)2x y x y x xy y -+=+-D.1n n a a --=1(1)n a a --错解:选B.C.D.错因分析:B 中只是将部分写成积的形式,不符合因式分解的概念,C 中是整式的乘法,和因式分解正好互为逆运算；D 中的a -1实质上是1a,不是整式,而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式,所以不正确.正解:选A.误区二 多项式分解不彻底例2 因式分解a 4-2a 2+1.错解: a 4-2a 2+1=(a 2) 2-2a 2+1=(a 2-1)2.错因分析:括号内的a 2-1还可以利用平方差分解,然后利用积的平方写成(a+1)2 (a-1)2.正解 :a 4-2a 2+1=(a 2) 2-2a 2+1=(a 2-1)2=(a+1)2 (a-1)2. 误区三 利用公式出现偏差例3 因式分解 (x+y)2-4xy.错解 :(x+y)2-4xy=（x+y+2xy ）(x+y-2xy).错因分析: 4xy 不是一个整式的平方的形式,不能直接利用平方差公式分解.正解: (x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.误区四提公因式漏项例4 分解因式 3a2bc3-12abc2+3abc.错解:3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).错因分析:最后一项提取公因式3abc后,还剩余1单独成一项.正解:3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).教学反思:。
湘教版数学七年级下册期末复习(三)因式分解
期末复习(三) 因式分解各个击破命题点1 因式分解的概念【例1】(海南中考)下列式子从左到右的变形是因式分解的是(B)A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25【方法归纳】解答此类题目要充分理解因式分解的定义和具体要求．因式分解指的是把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式．不仅要全面把握其定义还应注意：①结果必须是几个整式的积的形式；②必须是恒等变形；③必须分解到每个因式不能再分解为止．因式分解和整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是(C)A．x2＋5x－1＝x(x＋5)－1B．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3xC．x2－9＝(x＋3)(x－3)D．(x＋2)(x－2)＝x2－42．若多项式x2－x＋a可分解为(x＋1)(x－2)，则a的值为－2．命题点2 因式分解【例2】因式分解：12a2－3(a2＋1)2.【思路点拨】先提取公因式3，再用平方差公式，然后用完全平方公式因式分解．【解答】原式＝3[4a2－(a2＋1)2]＝3[(2a)2－(a2＋1)2]＝3[2a＋(a2＋1)][2a－(a2＋1)]＝－3(a＋1)2(a－1)2.【方法归纳】因式分解的一般步骤：(1)不管是几项式，都先看它有没有公因式．如果有公因式，就先提取公因式．(2)看项数．如果是二项式，考虑能否用平方差公式；如果是三项式，考虑能否用完全平方公式．(3)检查结果．看分解后的每一个因式能不能继续分解，直到每一个因式不能再分解为止．3．因式分解：(1)(岳阳中考)6x2－3x＝3x(2x－1)；(2)(邵阳中考)m3－mn2＝m(m＋n)(m－n)．4．因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；解：原式＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.(2)a3(x＋y)－ab2(x＋y)；解：原式＝a(x＋y)(a2－b2)＝a(x＋y)(a＋b)(a－b)．(3)9(a－b)2－(a＋b)2.解：原式＝(3a－3b＋a＋b)(3a－3b－a－b)＝(4a－2b)(2a－4b)＝4(2a－b)(a－2b)．命题点3 因式分解的运用【例3】 先因式分解，再求值：(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2－x(2x ＋1)(2－3x)，其中x ＝32. 【思路点拨】 首先把(2－3x)变为－(3x －2)，然后提取公因式即可将多项式因式分解，再代入数值计算即可求出结果．【解答】 原式＝(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2＋x(2x ＋1)(3x －2)＝(2x ＋1)(3x －2)(2x ＋1－3x ＋2＋x)＝3(2x ＋1)(3x －2)，当x ＝32时，原式＝3×(3＋1)×(92－2)＝30. 【方法归纳】 此题考查的是整式的化简求值，化简是利用了因式分解，这样计算比较简便，遇到这类题目时主要利用因式分解简化计算．5．已知a 2＋a ＋1＝0，求1＋a ＋a 2＋…＋a 8的值．解：原式＝(1＋a ＋a 2)＋a 3(1＋a ＋a 2)＋a 6(1＋a ＋a 2)＝(1＋a ＋a 2)(1＋a 3＋a 6)，因为a 2＋a ＋1＝0，所以原式＝0×(1＋a 3＋a 6)＝0.6．用简便方法计算：(1)123 456 7892－123 456 788×123 456 790；解：原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－12)＝123 456 7892－123 456 7892＋12＝1.(2)102－92＋82－72＋…＋42－32＋22－12.解：原式＝(10－9)(10＋9)＋(8－7)(8＋7)＋…＋(4－3)(4＋3)＋(2－1)(2＋1)＝10＋9＋8＋7＋…＋2＋1＝55.整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．(济宁中考)下列式子变形是因式分解的是(B)A ．x 2－5x ＋6＝x(x －5)＋6B ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)2．(临沂中考)多项式mx 2－m 和多项式x 2－2x ＋1的公因式是(A)A ．x －1B ．x ＋1C ．x 2－1D ．(x －1)23．(北海中考)下列因式分解正确的是(D)A ．x 2－4＝(x ＋4)(x －4)B ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．3mx －6my ＝3m(x －6y)D ．2x ＋4＝2(x ＋2)4．把－8(x －y)2－4y(y －x)2因式分解，结果是(A)A ．－4(x －y)2(2＋y)B ．－(x －y)2(8－4y)C ．4(x －y)2(y ＋2)D ．4(x －y)2(y －2)5．计算(－2)2 017＋22 016等于(C)A ．22 017B ．－22 017C ．－22 016D ．22 0166．若多项式x 2＋mx ＋4能用完全平方公式因式分解，则m 的值可以是(D)A ．4B ．－4C ．±2D ．±47．当a ，b 互为相反数，代数式a 2＋ab －2的值为(C)A ．2B ．0C ．－2D ．－18．已知(19x －31)(13x －17)－(13x －17)(11x －23)可因式分解成8(ax ＋b)(x ＋c)，其中a ，b ，c 均为整数，则a ＋b ＋c 的值为(A)A ．－5B ．－12C ．38D ．72二、填空题(每小题4分，共16分)9．多项式2(a ＋b)2－4a(a ＋b)中的公因式是2(a ＋b)．10．(珠海中考)填空：x 2＋10x ＋25＝(x ＋5)2.11．(枣庄中考)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为12． 12．(北京中考)因式分解：5x 3－10x 2＋5x ＝5x(x －1)2．三、解答题(共60分)13．(16分)因式分解：(1)12a 2b －18ab 2－24a 3b 3；解：原式＝6ab(2a －3b －4a 2b 2)．(2)a 3－9a ；解：原式＝a(a 2－9)＝a(a ＋3)(a －3)．(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy ；解：原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)．(4)16(a －b)2＋24(b 2－a 2)＋9(a ＋b)2.解：原式＝16(a －b)2－24(a －b)(a ＋b)＋9(a ＋b)2＝[4(a －b)－3(a ＋b)]2＝(a －7b)2.14．(6分)利用因式分解说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．解：原式＝3198×32－4×3×3198＋10×3198＝3198×(9－12＋10)＝3198×7.所以3200－4×3199＋10×3198能被7整除．15．(8分)先因式分解，再求值：已知a ＋b ＝2，ab ＝2，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab(a ＋b)2. 当a ＋b ＝2，ab ＝2时，原式＝12×2×4＝4.16．(10分)利用因式分解计算：(1)9992＋999；解：原式＝999×(999＋1)＝999×1 000＝999 000.(2)6852－3152.解：原式＝(685－315)×(685＋315)＝370×1 000＝370 000.17．(10分)已知多项式a2＋ka＋25－b2，在给定k值的条件下可以因式分解．(1)写出常数k可能给定的值；(2)针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．解：(1)由已知得(a2＋ka＋25)为一个平方项，则k可能取的值有±10.(2)令k＝10，则原式＝a2＋10a＋25－b2＝(a＋5)2－b2＝(a＋5＋b)(a＋5－b)．18．(10分)试说明：不论a，b，c取什么有理数，a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．解：a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝12[(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(a2－2ac＋c2)]＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0.所以a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．。
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式几个整式的积例：axbx៕13131x3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3᠄8a3b236a4b22的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3,a3b23,a4b22都含有因式ab，故多项式的公因式是2ab②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
2233例1：把12ab᠄18ab᠄24ab分解因式解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233解：12ab᠄18ab᠄24ab៕6ab例2：把多项式3x分解因式解析：由于4᠄x៕᠄，多项式3x可以变形为3᠄x,我们可以发现多项式各项都含有公因式（x᠄4）,所以我们可以提取公因式（x᠄4）后,再将多项式写成积的形式解：3x=3᠄x=例3：把多项式᠄x22x分解因式解：᠄x22x=᠄៕᠄x（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
定远县五中七年级数学下册 第3章 因式分解章末复习教案湘教版
章末复习【知识与技能】掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的运用，及在实数范围内分解因式的方法,培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力。
【过程与方法】通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义.【情感态度】通过因式分解的学习,体会整体数学思想和转化的数学思想。
【教学重点】熟练运用各种方法来进行因式分解.【教学难点】因式分解各种方法的综合运用,利用因式分解解决数学问题。
一、知识结构分解因式分解因式的概念提取公因式法分解因式的方法平方差公式应用公式法完全平方公式⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩【教学说明】引导学生回忆本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系。
二、释疑解惑，加深理解1。
因式分解的定义把一个多项式表示成假设干个多项式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.2。
提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面,这种分解因式的方法叫做提公因式法.3。
公式法〔1)平方差公式：a2-b2=〔a+b〕〔a-b)。
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积。
〔2〕完全平方公式：a2±2ab+b2=〔a±b)2。
其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式。
【教学说明】〔1〕因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算。
〔2〕因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验。
三、典例精析，复习新知例1以下变形是否是因式分解?为什么？〔1〕3x2y—xy+y=y(3x2—x)；〔2〕x2-2x+3=〔x—1)2+2;〔3〕x2y2+2xy-1=〔xy+1)〔xy—1〕;〔4〕x n〔x2—x+1〕=x n+2—x n+1+x n。
解：(1〕不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而此题不恒等;〔2)不是因式分解，不满足因式分解的含义；〔3〕不是因式分解,因为因式分解是恒等变形而此题不恒等；〔4)不是因式分解,是整式乘法.例2以下变形是否正确?为什么?〔1)x2—3y2=(x+3y)(x—3y〕;〔2〕4x2—6xy+9y2=〔2x—3y)2；(3〕x2—2x—1=〔x—1〕2。
第3章因式分解常考题型讲解-湘教版七年级数学下册期末复习课件(共25张PPT)
考点三 利用提公因式法求值 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
2
3
3
-1
2×(-1)+3=7(一次项系数)
解：原式=(2x+3)(3x-1)
考点十 看错系数型
例10．两位同学将一个二次三项式因式分解，一位 同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)， 另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)， 试求原多项式．
解：设原多项式为ax2＋bx＋c(其中a，b，c均为常数，且 abc≠0)． 因为2(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)＝2x2－20x＋18， 所以a＝2，c＝18. 又因为2(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)＝2x2－12x＋16， 所以b＝－12. 所以原多项式为2x2－12x＋18.
针对训练
9．如果x2－ax＋5有一个因式是x＋5，求a的值， 并求另一个因式．
解：因为5＝1×5，5＝(－1)×(－5)， 又x2－ax＋5有一个因式是x＋5， 因此5只能分解为1×5， 所以x2－ax＋5可以分解为(x＋5)(x＋1)， 即x2－ax＋5＝(x＋5)(x＋1)． 而(x＋5)(x＋1)＝x2＋6x＋5， 所以a＝－6，且另一个因式为x＋1.
考点八 十字相乘法（二次项系数 是1时）
1、
不能用乘法公式，用十字相乘法进行分因式分解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学试卷期末复习(三) 因式分解01各个击破命题点1 因式分解的概念【例1】(济宁中考)下列式子变形是因式分解的是( )A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)【方法归纳】因式分解是把一个多项式由和差形式化为乘积形式的恒等变形，因式分解的结果应与原多项式相等．1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是( )A．x2＋5x－1＝x(x＋5)－1B．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3xC．x2－9＝(x＋3)(x－3)D．(x＋2)(x－2)＝x2－42．若多项式x2－x＋a可分解为(x＋1)(x－2)，则a的值为________．命题点2 直接用提公因式法因式分解【例2】因式分解：(7a－8b)(a－2b)－(a－8b)·(2b－a)．【思路点拨】注意到(a－2b)与(2b－a)互为相反数，可把(2b－a)化为－(a－2b)，再提取公因式(a－2b)．【解答】【方法归纳】提公因式时，不能只看形式，而要看实质．对于互为相反数的项可通过提取一个“－”号后再提取公因式．3．因式分解：(1)2x2y2－4y3z；(2)3(x＋y)(x－y)－(x－y)2；(3)x(x－y)3＋2x2(y－x)2－2xy(x－y)2.命题点3 直接用公式法因式分解【例3】因式分解：－(x＋2y)2＋(2x＋3y)2.【思路点拨】把原式中的两项交换位置，把两个多项式看作一个整体，用平方差公式因式分解．【解答】【方法归纳】用平方差公式因式分解时，如果其中的一项或两项是多项式，可把这个多项式看作一个整体用括号括起来，这样能减少符号出错．4．因式分解：(1)x2－25；(2)(x＋y)2－6(x＋y)＋9.命题点4 综合运用提公因式法与公式法因式分解【例4】因式分解：12a2－3(a2＋1)2.【思路点拨】先提取公因式3，再用平方差公式，然后用完全平方公式因式分解．【解答】【方法归纳】因式分解的一般步骤：(1)不管是几项式，都先看它有没有公因式．如果有公因式，就先提取公因式．(2)看项数．如果是二项式，考虑能否用平方差公式；如果是三项式，考虑能否用完全平方公式．(3)检查结果．看分解后的每一个因式能不能继续分解，直到每一个因式不能再分解为止．5．因式分解：(1)3ax 2＋6axy ＋3ay 2；(2)a 3(x ＋y)－ab 2(x ＋y)；(3)9(a －b)2－(a ＋b)2.命题点5 因式分解的运用【例5】 先因式分解，再求值：(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2－x(2x ＋1)(2－3x)，其中x ＝32. 【思路点拨】 首先把(2－3x)变为－(3x －2)，然后提取公因式即可将多项式因式分解，再代入数值计算即可求出结果．【解答】【方法归纳】 此题考查的是整式的化简求值，化简是利用了因式分解，这样计算比较简便，遇到这类题目时主要利用因式分解简化计算．6．已知a2＋a＋1＝0，求1＋a＋a2＋…＋a8的值．7．用简便方法计算：(1)123 456 7892－123 456 788×123 456 790；(2)102－92＋82－72＋…＋42－32＋22－12.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．从左到右的变形，是因式分解的为( )A．(3－x)(3＋x)＝9－x2B．(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3C．a2－4ab＋4b2－1＝a(a－4b)＋(2b＋1)(2b－1)D．4x2－25y2＝(2x＋5y)(2x－5y)2．(临沂中考)多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是( ) A．x－1 B．x＋1C．x2－1 D．(x－1)23．下列四个多项式，能因式分解的是( )A．a－1 B．a2＋1C ．x 2－4yD ．x 2－6x ＋94．(北海中考)下列因式分解正确的是( )A ．x 2－4＝(x ＋4)(x －4)B ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．3mx －6my ＝3m(x －6y)D ．2x ＋4＝2(x ＋2)5．把－8(x －y)2－4y(y －x)2因式分解，结果是( )A ．－4(x －y)2(2＋y)B ．－(x －y)2(8－4y)C ．4(x －y)2(y ＋2)D ．4(x －y)2(y －2)6．若多项式x 2＋mx ＋4能用完全平方公式因式分解，则m 的值可以是( )A ．4B ．－4C ．±2D ．±47．已知a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2b ＋ab 2等于( )A ．5B ．6C ．9D ．18．已知(19x －31)(13x －17)－(13x －17)(11x －23)可因式分解成8(ax ＋b)(x ＋c)，其中a ，b ，c 均为整数，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－5B ．－12C ．38D ．72二、填空题(每小题4分，共16分)9．多项式2(a ＋b)2－4a(a ＋b)中的公因式是________．10．(珠海中考)填空：x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2.11．(枣庄中考)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为________． 12．(北京中考)因式分解：5x 3－10x 2＋5x ＝________．三、解答题(共60分)13．(16分)因式分解：(1)12a 2b －18ab 2－24a 3b 3；(2)a 3－9a ；(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy ；(4)16(a －b)2＋24(b 2－a 2)＋9(a ＋b)2.14．(6分)利用因式分解说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．15．(8分)先因式分解，再求值：已知a ＋b ＝2，ab ＝2，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．16．(10分)利用因式分解计算：(1)9992＋999；(2)6852－3152.17．(10分)已知多项式a 2＋ka ＋25－b 2，在给定k 的值的条件下可以因式分解．(1)写出常数k 可能给定的值；(2)针对其中一个给定的k 值，写出因式分解的过程．18．(10分)试说明：不论a ，b ，c 取什么有理数，a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．参考答案各个击破【例1】 B【例2】 原式＝(7a －8b)(a －2b)＋(a －8b)(a －2b)＝(a －2b)(7a －8b ＋a －8b)＝(a －2b)(8a －16b)＝8(a －2b)2.【例3】 原式＝(2x ＋3y)2－(x ＋2y)2＝[(2x ＋3y)＋(x ＋2y)][(2x ＋3y)－(x ＋2y)]＝(3x ＋5y)(x ＋y)．【例4】 原式＝3[4a 2－(a 2＋1)2]＝3[(2a)2－(a 2＋1)2]＝3[2a ＋(a 2＋1)][2a －(a 2＋1)]＝－3(a ＋1)2(a －1)2.【例5】 原式＝(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2＋x(2x ＋1)(3x －2)＝(2x ＋1)(3x －2)(2x ＋1－3x ＋2＋x)＝3(2x ＋1)(3x －2)，当x ＝32时，原式＝3×(3＋1)×(92－2)＝30. 题组训练1．C 2.－23.(1)原式＝2y 2(x 2－2yz)．(2)原式＝(x －y)[3(x ＋y)－(x －y)]＝(x －y)(2x ＋4y)＝2(x －y)(x ＋2y)．(3)原式＝x(x －y)2[(x －y)＋2x －2y]＝3x(x －y)3.4.(1)原式＝(x －5)(x ＋5)．(2)原式＝(x ＋y －3)2.5.(1)原式＝3a(x 2＋2xy ＋y 2)＝3a(x ＋y)2.(2)原式＝a(x ＋y)(a 2－b 2)＝a(x ＋y)(a ＋b)(a －b)．(3)原式＝(3a －3b ＋a ＋b)(3a －3b －a －b)＝(4a －2b)(2a －4b)＝4(2a －b)(a －2b)．6.原式＝(1＋a ＋a 2)＋a 3(1＋a ＋a 2)＋a 6(1＋a ＋a 2)＝(1＋a ＋a 2)(1＋a 3＋a 6)，因为a 2＋a ＋1＝0，所以原式＝0×(1＋a 3＋a 6)＝0.7.(1)原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－12)＝123 4567892－123 456 7892＋12＝1.(2)原式＝(10－9)(10＋9)＋(8－7)(8＋7)＋…＋(4－3)(4＋3)＋(2－1)(2＋1)＝10＋9＋8＋7＋…＋2＋1＝55. 整合集训1．D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.D 7.B 8.A 9.2(a ＋b) 10.25 5 11.1212.5x(x －1)2 13.(1)原式＝6ab(2a －3b －4a 2b 2)．(2)原式＝a(a 2－9)＝a(a ＋3)(a －3)．(3)原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)．(4)原式＝16(a －b)2－24(a －b)(a ＋b)＋9(a ＋b)2＝[4(a －b)－3(a ＋b)]2＝(a －7b)2.14.原式＝3198×32－4×3×3198＋10×3198＝3198×(9－12＋10)＝3198×7.所以3200－4×3199＋10×3198能被7整除．15．原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab(a ＋b)2.当a ＋b ＝2，ab ＝2时，原式＝12×2×4＝4. 16.(1)原式＝999×(999＋1)＝999×1 000＝999 000.(2)原式＝(685－315)×(685＋315)＝370×1 000＝370 000.17.(1)由已知得(a 2＋ka ＋25)为一个平方项，则k 可能取的值有±10.(2)令k ＝10，则原多项式可化为(a ＋5)2－b 2，则因式分解得(a ＋5＋b)(a ＋5－b)．18.a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2ac －2bc)＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋(a 2－2ac ＋c 2)]＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]≥0. 所以a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．。