第5章排队系统讲解
排队系统
2. 排队系统的概念
在实际应用中，有一大类系统被称之为随机服务系统或排队系统。在这些系统中顾 客到来的时刻与服务时间的长短都是随机的，并且可能会随不同的条件而变化，因而 服务系统的状况也是随机的，会随各种条件而波动。在电信网络中，交换机就可以看 成是一种随机服务系统。对于不同的电信网络，可以使用不同的排队系统模拟不同的 电信业务交换机进行分析。模拟这些系统的排队系统的状态变化实际上是一个生灭过 程。
到来的顾客流
队列
离开的顾客流 服务员
服务机构
图1.排队系统模型
•
要仔细描述一个排队系统，主要需要描述三个方面的内容：输入过程、服务 时间、排队方式等。下面使用一个随机点移动模型来说明关于排队系统的模型 和假设。
t1 t2 服务员 队列
服务机构
τ1
τ2
图2 排队系统的点移动模型 如果只有一个服务员，在轴上有一些点从左向右做同 速率的匀速直线运动，图中的t1,t2….表示顾客到达排队系 统的到达间隔，它们均为随机变量；在系统忙时，τ1， τ2…表示不同顾客的服务时间，它们也是随机变量，关于 ti和τi满足下面3个假设： （1）ti独立同分布； （2）τi独立同分布； （3）ti和τi独立。
图4到达过程A(t)和离开过程B(t)
列德尔（Little）公式
•
如果N 表示系统中的平均顾客数，T 表示顾 客在系统中的平均时间（这个时间 有时也 被称为系统时间）,λ 表示单位时间到达系 统的顾客数，对于任意排队系统，有 N= T λ 上面结论可以证明对于 任意排队系统都是正确的，直观意义就是 一种平衡关系。
图3 排队系统模型
3. Little公式
Little 公式描述了任意排队系统满足的关系，下面通过简单描述来说明该公式。 下 面考虑一个任意的排队系统，为了说明 Little 公式，首先定义：A（t）为在（0,t ） 内到达的顾客数；B(t)为在（0，t）内离开的顾客数；那么t时刻系统内的顾客数为 N（t）=A(t)-B(t)
排队系统连接电视操作流程课件
排队系统的构成和原理
构成
排队系统通常由取号机、显示屏、打印机、服务器等组成。
原理
顾客通过取号机获取号码，系统根据一定的算法和规则对号码进行处理和排序 ，通过显示屏展示当前服务状态和等待信息，确保顾客按顺序接受服务。
排队系统的应用场景和优势
应用场景：银行、营业厅、医院、政务大厅、餐厅等需要 管理和控制人流的场所。
定期检查连接线
检查连接线是否老化或破损，及时更换以确 保正常传输。
定期备份数据
以防数据丢失，定期备份排队系统数据至安 全存储设备。
05
操作实例和案例分析
操作实例演示
步骤一
连接设备。首先，将排队系统与 电视通过HDMI线连接起来。确 保HDMI线牢固连接在电视和排
队系统的对开电视，进 入信号源设置界面，选择正确的
色彩和亮度调整
根据环境光线和观看需求，适当调 整电视的色彩和亮度设置。确保画 面清晰、色彩鲜艳。
04
系统测试与常见问题 处理
测试连接是否成功
01
02
03
检查设备兼容性
确保排队系统和电视设备 兼容，并符合连接要求。
连接测试
通过连接线将排队系统和 电视连接，确认连接是否 稳定。
信号测试
测试信号传输质量，确保 图像和声音传输正常。
连接操作
将选定的连接线一端插入电视的相应接口，另一端插入排队系统的输出接口。确 保连接稳固，避免信号中断。
电视信号源选择和调整
信号源选择
在电视遥控器上选择对应的信号 源输入，例如选择HDMI1、
HDMI2等。确保选择的信号源与 连接线对应。
分辨率调整
根据电视屏幕的分辨率，调整排队 系统的输出分辨率，以获得最佳的 显示效果。可以在排队系统的设置 菜单中进行分辨率调整。
排队系统_系统分析
自动排队系统设计需求分析由于银行业务往来繁多，顾客无法得到良好的服务，为了更好的解决银行办理业务排队难的问题软硬件功能划分➢软件方面实现系统与客户之间的交互，实现支配硬件➢硬件方面实现显示，语言提示，自动叫号，等功能；系统的体系结构➢软件体系结构整个系统将有三部分组成：人机交互界面以及按钮，内部即时消息处理，硬件支配➢硬件体系结构触摸显示屏，电子显示牌，小型打印机，语音设备（扩音器），数据线，数据存储器详细设计➢软件部分提供给用户交互的三个按钮：普通客户按钮，VIP客户按钮，公司客户按钮每个客户一次按钮系统将按照递增的顺序提供相应的标号比如PT001VIP客户或公司客户按下按钮时将产生标号如VIP0001和 QI0001VIP客户比普通客户的优先级高，比企业级客户优先级低保存正在处理的客户标号以及下一个客户的标号当长时间没有新的客户时，系统所有数据回归初始化状态，计数重新开始；➢硬件部分触摸显示屏接受客户消息将软件提供的标号打印出一张小票。
将正在办理和下一个办理的客户通过数据线发送到电子显示牌在柜台显示正在办理业务客户的标号以及显示下一位客户的标号。
发声器呼叫客户标号➢软硬件协调部分驱动硬件打印相应的标号，驱动数据线将正在办理业务以及下一个办理的客户及时发送电子显示牌。
有软件发出语音命令由扩音器发声。
数据存储器及时存储已将产生的队列信息；功能模块图电子显示牌发声器服务器触屏显示屏系统测试首先在模拟环境中重复做简单的功能测试，以及模块测试。
各个模块之间的耦合性分析本系统占用内存的情况，以及速度更新的速度。
图形用户交互界面响应时间比；存储器数据的压缩与恢复最后在开发板上做一次整体的模拟测试；系统集成与实现将硬件进行裁剪将软件烧至硬件中作出相应的测试整个系统开发完成。
第5章 排队系统和库存系统模型
5.1 排队系统模型 5.2 库存系统模型
1
工业工程系
苏平
5.1 排队系统模型
排队系统的基本概念
排队系统的一般模型
2
工业工程系
苏平
5.1 排队系统模型
排队系统的构成及特性
顾客 等待服务的对象。 到达模式 顾客进入系统的规律。 服务台 提供服务的机构、设备、人或程序 排队规则 顾客排队等待服务的次序。 服务规则 服务台为顾客提供服务的规则。 服务时间 顾客占用服务台的时间。
排队系统中的时间分布概述
确定性分布 也称定长分布，顾客到达间隔时间和接受 服务时间是一个确定的常数。 指数分布 顾客到达间隔时间或顾客接受服务的时间相 互独立，具有相同的指数分布：
e t t 0 b (t ) t0 0
21
工业工程系
苏平
5.1 排队系统模型
顾客到达时间间隔和服务时间分布
排队系统中的时间分布概述
k阶爱尔郎分布 顾客达到间隔时间或顾客接受服务的 时间服从k阶爱尔郎分布：
k (k t ) k 1 k t b (t ) e (k 1)!
k=1时——指数分布 k≥30时——近似于正态分布 k→∞时——方差趋近于0
22
工业工程系
苏平
5.1 排队系统模型
S
( y R )h( y )
y R
其中h(y)是提前期需求量y的概率密度函数。
40
工业工程系
苏平
5.2 库存系统模型 随机库存系统
每年所需费用为C，则
D D C C 0 C1 I C 2 S Q Q
将I ，S 表达式代入，可得
排队系统的特征及排队论
队长: 系统中的排队顾客数+正被服务顾客数, 期望值常为某 L; 排队长:系统中排队等服务的顾客数,期望值 Lq;
L=Lq+正被服务的顾客数 L 或 Lq 大, 服务率低 2. 等待时间和逗留时间 等待时间: 在系统中排队等待时间, 期望值为某 Wq; 逗留时间: 顾客在系统中停留时间, 期望值为某 W;
又称系统的状态量;
Nq (t) :在 t 时刻, 系统中的排队顾客数, 即排队长; T (t) : 时刻 t 到达系统的顾客在系统中逗留时间;
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Tq (t) :时刻 t 到达系统的顾客在系统中等待时间.
→随机变量, 难于进行绝对时刻分析.
事实上, 大多排队系统运行一段时间后, 会趋于平 稳. 而与时刻无关, 即统计平衡性质.
第 5 讲 排队论
§1 引言
一、排队系统的特征及排队论
现象: 许多现象(排队系统应作广泛理解)
到达的顾客
要求的服务
服务机构
机器坏 病人 打印文件 待降的飞机 路口的汽车
修理 就诊 打印 降落 通行
修理工人 医生 打印机 跑道指挥机构 红绿灯
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原因: 顾客数(暂时)>可服务数. 解决: 增服务, 但太多会浪费. 特点: 顾客达到间隔, 服务时间至少有一随机. 目标: 合理减少排队. 名称: Queueing theory=随机服务系统理论. 内容: (1) 性态(状态)方面: 统计规律性.
3. 服务机制 (1) 服务人员(台): 可多可少; (2) 服务员(台)形式: 单列 串列, 并列, 混合等;
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1 单队单台
1
排队系统
排队系统的主要数量指标
队长——是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与
正在接受服务的顾客数之和)。
L或Ls—— 平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数 平均队长，
的期望值；
队列长——是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。 Lq—— 平均等待队长或队列长 ， 即稳态系统任一时刻的 平均等待队长或队列长，
排队模型
典型的排队例子
到达的顾客 在公路收费站排队的车辆 病人 到达机场上空的飞机 不能运转的机器 到达港口的货船 客户 进入我方阵地的敌机 汽车驾驶员 需加油车辆 服务内容 收费 看病 降落 修理 装货（卸货） 装货（卸货） 法律咨询 我方防空火力射 执照年码头或泊位 法律咨询人员 我方高炮或防空导弹 管理部门年审办事员 加油站的加油机
排队系统基本概念
“顾客”——要求服务的对象统称； 顾客” 服务台” 服务员” “服务台”或“服务员”——提供服务的人或机 构；
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。 不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统 。 顾客为了得到某种服务而到达系统， 顾客为了得到某种服务而到达系统 ， 若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍， 服务而又允许排队等待 ， 则加入等待队伍 ， 待获得服 务后离开系统，见图1至图5 务后离开系统，见图1至图5。
按以上数据可推算出每一顾客到达、服务开始、服务结束 的时刻以及顾客排队等待时间、在系统中停留时间和售票 员空闲的时间。将数据依次填入表中。 20次试验中顾客停留时间的平均值：72/20＝3.60分。 售票员空闲时间占总时间的百分数：34/103＝33%
三、排队论研究的基本问题 排队论研究的首要问题是排队系统主要数 量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然 后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相 关的还包括排队系统的统计推断问题。 (1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状 态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的 基本特征。 (2)统计推断问题，建立适当的排队模型是 排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰 到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验 顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务 时间的分布及有关参数等。
排队管理系统用户使用指南v2011
排队管理系统用户使用指南v2011排队管理系统用户使用指南与培训手册（Version. V2011）使用对象范围：排队系统管理员、窗口员工、管理人员目录§1 排队系统概述§2 启动与关闭排队机系统§3 排队号码的复位§4 应用软件的权限与登录系统§5 应用软件的操作日志§6 排队窗口(呼叫器)的添加、删除、修改§7 排队队列（取号按钮）的添加、删除、修改§8 取号按钮自定义设计§9 正确使用排队队列取号数量的限制功能§10 开启按钮的取号时间限制§11 开启窗口呼叫号码数量限制§12 自定义号票打印格式§13 自定义LED显示屏显示内容§14 自定义语音呼叫§15 即时消息的应用§16 排队窗口与队列人流量数据监控§17 短信人流量报警的应用§18 短信满意度报警的应用§19 让排队者决策是否去大厅排队§20 窗口服务人员如何使用求助功能§21 如何实现一票可以在多个不同业务窗口的办理§22 激活排队按钮上显示等候人数§23 激活缺纸提示语音§24 设臵自动关机功能§25 排队系统数据维护§26 17键物理呼叫器使用规范§27 19键无线呼叫器使用规范§28 虚拟呼叫器使用规范§29 报表系统使用说明§1 排队系统概述排队系统V2011是基于windows XP\2000、2003 操作系统的C/S架构的应用软件。
数据采用MICROSOFT SQL SERVER 2000系列管理并进行存储。
排队系统管理系统包含排队后台管理系统、报表统计系统、控制系统、呼叫系统、数据库生成工具、触摸取号系统6个常用子系统；以及短信预约与监控预警系统、电话预约、网络预约、数据集中等扩展子系统；排队后台管理系统为管理人员管理系统的参数、功能的配臵、数据监控、权限管理、日志管理等功能的应用程序；报表统计系统为排队数据决策人员提供数据查询、统计、分析等功能的应用程序；控制系统是排队系统的数据交换中枢，实现与排队系统中各硬件的通信、排队逻辑算法的实现、与呼叫系统的网络通信、并实现排队语音播放功能；呼叫系统有分硬件呼叫小键盘的呼叫系统与PC上软件终端的呼叫系统，排队窗口工作人员操控呼叫设备或者软件完成呼叫排队号码功能；数据库生成工具是排队系统安装时生成排队系统数据库的专用工具软件；触摸取号系统是为排队者提供获取号票凭证并运行于触摸一体机上的应用程序，它与呼叫系统、控制系统为日常运行的常规应用程序。
排队论之简单排队系统
5.2.4 无限源的简单排队系统所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过程是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。
本节我们讨论一些典型的简单排队系统。
1.//1/M M ∞排队系统//1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。
相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。
两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。
为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n •••=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,•••，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图5.8所示。
图5.8 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图由此，我们有状态 离开速率＝进入速率0 01p p λμ=,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+解方程组，容易得到00,1,2,ii p p i λμ•••⎛⎫== ⎪⎝⎭，再根据0011()1n n n n p p p λμλμ∞∞=====-∑∑得到：01p λμ=-，()(1),1nn p n λλμμ=-≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。
值得注意的是这里要求1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。
于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为,1,1j j L jp λρρμλρ∞====<--∑（5-52）由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间为：1,1LW ρλμλ==<- （5-53） 平均等待时间为：1[],1()(1)Q W W E S W λρρμμμλμρ=-=-==<-- （5-54）平均等待队长为：22,1()1Q Q L W λρλρμμλρ===<-- （5-55）另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。
银行排队系统课程设计
银行排队系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解银行排队系统的基本原理和运作流程；2. 掌握利用数学模型分析排队系统效率的方法；3. 学会运用概率论和统计学知识预测排队系统中的顾客等待时间。
技能目标：1. 能够运用所学知识设计简单的银行排队系统优化方案；2. 培养运用信息技术工具（如电子表格软件）对排队系统数据进行处理和分析的能力；3. 提高逻辑思维和问题解决能力，通过团队合作解决银行排队系统中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣和认识，激发他们探究现实问题的热情；2. 增强学生的社会责任感，使他们意识到优化银行排队系统对提高社会服务效率的重要性；3. 培养学生的合作意识和团队精神，让他们在团队协作中体验共同解决问题的成就感。
课程性质：本课程为数学学科的应用课程，结合实际生活中的银行排队现象，培养学生的数学应用能力和问题解决能力。
学生特点：考虑到学生所在年级，已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对现实生活中的问题充满好奇心。
教学要求：注重理论与实践相结合，以学生为主体，教师引导学生主动探究、合作学习，提高学生的数学素养和实际操作能力。
通过课程学习，使学生将所学知识应用于解决实际问题，实现知识、技能和情感态度价值观的全面提升。
二、教学内容1. 银行排队系统基本概念：介绍排队论的基本原理，包括顾客到达率、服务率、排队规则等；相关教材章节：第三章“排队论基本概念”。
2. 排队系统数学模型：讲解M/M/1、M/M/C等常见排队模型的构建与求解方法；相关教材章节：第四章“排队系统数学模型”。
3. 排队系统性能指标：分析排队系统的各项性能指标，如平均等待时间、平均队列长度等；相关教材章节：第五章“排队系统性能指标”。
4. 银行排队系统优化：探讨如何运用排队论优化银行排队系统，提高服务效率；相关教材章节：第六章“排队系统优化”。
5. 案例分析与团队合作：通过实际案例分析，让学生运用所学知识设计优化方案，并进行团队协作；相关教材章节：第七章“排队论在实际中的应用”。
排队系统的基本构成
排队论排队论（queuing theory）是一门应用十分广泛的运筹学分支，它在各种存在等待情形的环境中都有非常成功的应用。
尽管人们有时可能并不太在意等待时间的长短，但在许多商务活动中我们必须给顾客的等待时间以充分的重视。
绝大多数大型零售店的设计其实就是平衡顾客方便度和企业运营效率的产物，这很好地解释了为什么一个超级市场可能会有十几个收银通道，尽管在大多数时间里可能只有两三个在运作。
零售商不敢让顾客在队伍中等待太长的时间，因为时间对顾客来说可能是十分宝贵的，如果等待时间过长，他们完全有可能转向自己的竞争者。
在管理科学或运筹学中，等待的队伍被称为队列（queue），排队论作为运筹学的一个重要分支在过去的几十年里得到了长足的发展，代表特定环境的模型的数量稳步增加。
作为最早的定量优化方法之一，排队论的起源可以追溯到1909年爱尔朗（A. K. Erlang, a Danish telephone engineer）发表的一篇论文，从那时起爱尔朗的名字就与概率排队模型紧密联系了在一起，该论文的发表为后来排队论的发展奠定了坚实的基础。
排队模型的目的就是要规划一种为顾客提供服务的方式以实现一定的运营效率，它并不象前面已经遇到的一些模型（如线性规划模型、存贮模型）那样追逐一个最小成本或最大收益目标。
具体来讲，排队模型的目的就是要确定排队系统的各项特征，如平均等待时间、平均队长等；或者是构建一个服务系统以满足特定的顾客服务水平。
这些平均值是系统对顾客服务水平的标志，在后续的成本分析中将发挥重要的作用。
§1排队系统综述在日常生活和生产中，人们会经常碰到各种各样的排队系统，如道路红绿灯系统、超市的收银系统、电话通讯系统等。
一些排队系统的构成十分明显，而另一些排队系统的构成可能很模糊。
如从广州往北京打电话，由于受广州与北京之间信道通过能力的限制，同一时间通话的人数是有限的；因此，当要求通话人数超过这一限制时，就不得不等待，虽然打电话的人分散在全市的各个角落，彼此互不见面，但他们与长话台一起构成一个服务系统，他们在长话台前形成一个无形的队伍，其实这种无形的队伍与超市收银系统中的有形队伍都可以构成排队系统中的队列。
排队系统概述
顾客到达
……
服务台
服务完成后离开
图二 单服务台服务过程
服务台1
顾客到达
……
服务台2
………
服务台S
服务完成后离开
图三 多服务台并联单个队列服务过程
……
服务台1
服务完成后离开
顾客到达
…… 服务台2
服务完成后离开
……
………
服务台S
服务完成后离开
图四 多服务台并联多个队列服务过程
顾客到达
…… 服务台1
…… 服务台S
（4）顾客的到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后顾客的到来没 有影响。在港口，前面船舶的到达时间对后面船舶的到达时间没有影响。
（二）排队规则。排队规则主要描述服务机构是否允许顾客排队、顾客 对排队长度、时间的容忍程度以及在排队队列中等待服务的顺序。常见 的排队规则有如下几种情况：
（1）损失制排队系统。这种排队系统的排队空间为零，即不允许排队，顾客到 达系统时，若所有服务台均被占用，则自动离去，并假定不再回来。 （2）等待制排队系统。当顾客到达时，如所有服务台均被占用且允许排队，则 该顾客将进入队列等待。对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用以下规 则： ① 先到先服务（FCFS）。按照到达先后次序排成队依次接受服务，是最常见的 服务规则； ② 后到先服务（LCFS）。后到达的顾客先先接受服务。如仓库中后到的零件、 材料由于堆放在最上面而先被领走就属于这种情况； ③ 优先权服务（PR）。按照重要性对到达的顾客进行分类，服务设施优先对重 要性级别高的顾客服务，级别相同的顾客则按照先到先服务原则。如银行服务 系统对VIP客户实施优先服务，普通顾客则按照先到先服务原则进行服务； ④ 随机服务（SIRO）。到达服务系统的顾客不成队伍，当服务设施有空时，随 机选取一名顾客进行服务，对每名等待的顾客来说，被选取的概率相等。如， 仓库中并排放置的零件，当有领单下达时，库管员是随机选取的。
排队系统分析
排队系统分析
（Queueing Systems Analysis）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/1排队模型 M/M/C排队模型 M/M/C排队模型 M/G/1排队模型 M/G/1排队模ing Systems Analysis）
排队论（ 也称随机服务系统理论， 排队论（queuing),也称随机服务系统理论， 也称随机服务系统理论 是运筹学的一个主要分支。 是运筹学的一个主要分支。 1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师 年 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯 的开创性论文“ 的开创性论文 理论”标志此理论的诞生。 理论”标志此理论的诞生。排队论的发展最早是 与电话，通信中的问题相联系的，并到现在是排 与电话， 通信中的问题相联系的， 队论的传统的应用领域。 队论的传统的应用领域。近年来在计算机通讯网 络系统、交通运输、医疗卫生系统、库存管理、 络系统、交通运输、医疗卫生系统、库存管理、 作战指挥等各领域中均得到应用。 作战指挥等各领域中均得到应用。
排队系统分析(全)
服从负指数分布的情形：
高度耐磨损的电子元器件
假若 T 表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了t0 时
间后估计它还能再使用时间的概率，与它全新时估计用 时间的概率一样，即它对已使用了的 t0 时间无记忆。说 明这种元件是高度耐磨损的。
二. 服务的规律
主要是采用系统对顾客服务时间v的分步。主要
讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，即
>
t0
)
=
P (T > t0 + t ) P (T > t0 )
=
e−λ(t0 +t) e−λt0
=
e−λt
=
P (T
> t)
¾进一步：负指数分布的密度函数为:
fT
(t
)
=
⎧λe −λt
⎨ ⎩0,
,t t
≥ <
0 0
1
参数 λ 即其均值的倒数。因此，λ 的含义是平均间隔时间，
这与 λ 为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
fv (t)
=
⎧μe −μt , t ≥
⎨ ⎩ 0,
t<
0 0
平均对每位顾客的服务时间为 1 μ
参数 μ 的含义——服务率
注：负指数分布的一般化——爱尔朗分布，可用于描
述由道程序组成的 k 个服务台的服务时间的分布。
第五章 排队系统分析
（Queuing Systems Analysis）
第一节 第二节 第三节 第四节
献血排队
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程
λ
λ
λ
λ
0
1
二. 排队模型的表示 火车站排队.flv
排队论简要知识
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无 限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等 待制系统。
二，排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数 量指标有：
1．队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的 顾客数与正在接受服务的顾客数之和)； 排队长是指系统中正在排队等待服务的 顾客数。队长和排队长一般都是随机变 量。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
2．服务规则
(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一
种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许 队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 1)队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过 规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服 务，即系统的等待空间是有限的。 2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间 不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时， 顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务 设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出 就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太 少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客 会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质 量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解 决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 的问题。
排队系统仿真(PPT)
e t /
(t 0)
其中 1 / 为到达时间间隔均值。
实体到达模式－－例子
设系统中的临时实体是顾客，实体到达模式就是顾客到达模 式，设到达时间间隔 Ai 服从均值 A 5 min 的指数分布，即
f ( A) 1
A
eA/ A
( A 0)
令u是取值为[0,1]范围内服从均匀分布的随机变量，即
0 u F ( x) x 1 x0 0 x 1 x 1
反变换法要求用u对F(A) 进行取样，即令 u1 F ( A) 1 e A / ，则 A A ln( 1 u1 ) 。 由于 u1为[0,1]之间均匀分布的随机变量，则 1 u1 也是[0,1]间 均匀分布的随机变量，则 A A ln u1 。
5.4 排队模型的分类
单队多服务台按FIFO规则服务的情形表示为 X/Y/Z 式中，X——相继到达时间间隔的分布； Y——服务时间的分布； Z——服务台数目。 表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号： E k ——k阶爱尔朗分布 M——负指数分布 D——确定性时间间隔 GI——一般相互独立的随机分布 G——一般随机分布 例，M/M/1
仿真输出结果
由QL(I)(I=1,2,3, …,M)可以计算平均队长和最大队长； 由IDT(I)(I= 1,2,3, …,N)可以得到等待第i个实体进入服 务台的空闲时间。由此计算平均空闲时间和最大空闲 时间; 第i个实体等待时间 ，由此可以计 WTi CDTi STi CAT 算总等待时间、最大和平均等待时间; i 由 可以计算每一个实体在系统中花费的时间。
排队系统使用手册
目录第一章概述－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 11.1 功能特点－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－11.2 系统结构图1.3软件运行环境－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1 第二章系统组成－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 12.1 硬件组成2.2 软件组成第三章系统安装3.1 硬件安装－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3.2 软件安装－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第四章排队系统使用详解4.1 服务器操作4.2 客户端操作4.3 键盘操作第五章常见问题第一章概述1.1 功能特点东诚智能排队管理系统是由苏州新区东诚显示技术研究所自行研制开发的新一代智能型排队管理系统。
系统的设计理念是以高科技的计算机技术手段来代替顾客排队，保证顾客按先来先办的公平原则进行，解决了顾客长时间站立排队带来的烦恼和不安，为顾客提供一个舒适、文明的等候服务环境，让大家都感受到科技进步所带来的满意服务。
系统功能及特点：◆管理多种服务种类排队，灵活设置服务种类与窗口。
◆停电后恢复供电，系统即可正常工作，排队序号保持连续，已发号票继续有效。
◆VIP贵宾刷卡优先办理权限，刷卡显示贵宾星级，更显贵宾客户之尊贵服务◆系统自带多级用户管理，统计日、月服务量，统计查看当前排队状态等功能◆汉字显示呼叫号码、服务状态。
◆号票可编辑，打印内容包括：标题、服务种类、排队序号、当前等候人数、日期、时间。
◆一张号票可办理多种业务。
◆转移服务类别，自动返回主办服务类别。
◆重呼未服务顾客。
◆辅助管理PC管理软件，具有强大的统计管理功能及实时监控各窗口工作状态功能。
◆原装进口轻触式按键。
应用领域：可广泛应用于银行、电信、邮政、工商、税务、保险、交通、供电、海关、医院、公安等办事大厅…… 等需要排队的地方。
1.2 系统结构图1.3 软件运行环境◆操作系统中英文Windoes2000/XP◆取号服务器硬件配置CPU：酷睿双核1.6G以上内存：1G以上硬盘：160G以上◆相关软件及系统设置纯净Windows 2000/XP系统及驱动（除正常驱动外，触摸屏驱动、打印机驱动必须安装）关闭自动更新、关闭系统还原功能、开启禁用错误报告、设置视觉性能为最佳设置IE主页为“127.0.0.1/queue”关闭屏幕保护程序、关闭电源管理的时间，设置为“从不”第二章系统组成2.1 硬件组成◆取号机我司取号机可选带刷卡用不带刷卡，有线和无线等方式，且取号机款式多样，外观新颖取号机是放置大厅面向顾客取号的机器，我司采用取号机和服务器共用的特点，便于维护，使系统运行更稳定快速。
8.1.1排队系统的特征及其组成
1.1 排队系统形成的原因
有顾客——请求服务的人、物、信息
有服务机构/服务台——提供服务的人或物
§1 排队系统的特征及其组成
1.2 排队系统的组成
排队系统一般有三个基本组成部分：
①输入过程；②排队规则；③服务机构。
图1.排队系统示意图
1. 输入过程：描述顾客到达排队系统的规律
顾客源(总体)：有限/无限；
顾客到达方式：逐个/成批；(仅研究逐个情形)
顾客到达时间间隔：随机型/确定型；
顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联；
输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性) 1.3 排队系统各组成要素的主要特征
损失制(即时制)：若所有的服务台均被占用，顾客离开系统，另求服务；
等待制：若所有的服务台均被占用，顾客就加入排队行列等待服务。
混合制：损失制和等待制的结合，若主要有以下两种情况：
2.排队规则：分为损失制、等待制、混合制三类
队长有限制
排队等待时间有限制
是否允许中途退出：允许/禁止是否允许列间转移：允许/禁止(仅研究禁止退出和禁止转移的情形)
服务台(员)数目：单个/多个；
服务台(员)排列形式：并列/串列/混合；
3.服务机构的主要特征
图2.服务台排列方式示意图
服务方式:逐个/成批；(研究逐个情形)
服务时间分布：随机型/确定型；
服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳；(仅研究平稳情形)
服务规则：
先到先服务(FCFS )
后到先服务(LCFS )
随机服务(SIRO)
有优先权的服务(PR) 3.服务机构的主要特征。
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Y表示服务时间的分布； Z表示并列的服务设备的数目。 表示相继到达间隔时间和服务时间分布的典型符号有：
M——负指数分布（M是Markov的字头） D——确定性（Deterministic） Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布 GI——一般相互独立（General Independent）的随
第5章 排队系统的建模与仿真
本章重点和难点
排队论概念 排队论仿真
排队是我们日常生活中常见的现象。 如：顾客到商店买东西、病人到医院看病
提高质量——减少被服务对象等待时间 平衡
降低成本——保证设备利用率前提下减少设备的投 入。
5.1 排队论的基本概念
5.1.1排队系统的组成 一般的排队系统都有三个基本组成部分：
(1)到达模式 指动态实体(顾客)按怎样的规律到达 常假定顾客总体是无限的。
(2)服务机构 指同一时刻有多少服务设备可以接纳动态 实体，它们的服务需要多少时间。它也具有一定的分 布特性。通常，假定系统的容量(包括正在服务的人数 加上在等待线等待的人数)是无限的。
(3)排队规则 指对下一个实体服务的选择原则。通用的 排队规则包括先进先出(FIFO)，后进先出(LIFO)，随 机服务(SIRO)等。
记此概率为Vk (t)；
(2)无后效性 不相交区间内到达的顾客数是相互 独立的；
(3)普通性 令Ψ(t)为时间t内至少有两个顾客到达 的概率，则
(4)有限性 任意有限区间内到达有限个顾客的概 率之和为l，即
对于这种到达分布，在时间t内到达k个顾客的概率 Vk(t)遵从泊松分布，即
函数相为继负顾指客数到分达布间隔ti是相互独立相同分布的，其分布
其一，优先权仅仅决定一个动态实体排队的先后，优先 权高的排在队列的前面，而不影响正在接受服务的实体。
其二，立即停止当前的服务，为新到的具有更高优先权 的实体服务，这种情形称为抢占服务，这时被抢占的实体 等待新实体离开后再重新接受服务。
最短处理时间先服务(SPT) 例如设备选择工件时，首先 选择所需加工时间最少的工件进行加工。
5.1.4排队规则
顾客依一定的次序和规则接受服务。
(1)损失制 指顾客到达时，如所有服务台都正被占用，随即离去。 (2)等待制 指顾客到达时，如所有服务台都正被占用，就排成队伍，
等待服务。服务次序可以采用下列各种规则：
先到先服务(FIFO) 即按到达次序接受服务，这是最通常的情形。 后到先服务(LIFO) 如乘用电梯的顾客常是后入先出的，仓库中存放
5.1.4排队规则
(3)混合制
例如，当排队过长时，后到的顾客会自动离去， 此时可定义队长q＜N时就排入队列；若q＝N，则 到达的顾客将自动离去。另一种是当等待时间或 逗留时间(等待时间与服务时间之和)小于某一时 间T时，顾客将等待；大于T时，顾客将自动离去。
5.1.5 队列的度量
（1）业务量强度u为：u=λ /µ 在某些场合下，到达的动态实体并不全都能够得到服务， 因此有必要区分实际到达速率以及得到服务的到达速率， 分别用λ ’和λ 来表示。此时的业务量强度为u=λ ’/µ
机 分布
G——一般（General）随机分布
5.2 到达间隔和服务时间的分布
5.2.1定长分布 这是最简单的情形，每个动态实体在相同的时间间隔 到达，或每个动态实体的服务时间是常数，其分布函 数为
5.2泊.2松泊到松达分分布布必须满足下列四个条件：
(1)平稳性 在区间[a,t+a]内有k个顾客到来的概率 与a关，而只与t，k有关
式中λ＝1／Ta。T的数学期望和方差为
在泊松到达分布中，顾客到达的时刻完全是随机的， 仅仅受到给定的平均到达速率λ的限制。泊松分布是一 种很重要的概率分布，许多排队系统中的到达模式都居 于这种分布。
当服务时间完全是随机的时候，也可用上述指数分 布来表示它，其分布函数为 式中μ＝1／Ts
如果服务时间完全是随机的，通常在建模过程中 用指数分布描述。
的钢板也是如此。在情报系统中，最后到达的信息往往是最有价值 的，因而常采用后到先服务的规则。
随机服务(SIRO) 当服务台空时，从等待的顾客中随机地选取管到达 的先后，如电话交换台接通呼唤的电话便是如此。
优先权服务(PR) 如医院中急诊病入优先得到治疗。
3.1.4排队规则
在使用优先权时，必须考虑当一个比现在正在接受服 务的买体具有更高优先权级别的实体到达后，系统将作何 处理。通常可有两种选择：
(4)到达时间变化系数ηa :指到达间隔时间的标准差Sa与平均 到达间隔时间Ta：的比值Sa／Ta：。
变化系数是个无量纲的值，它描述了数据围绕平均值的分散程
度。
5.同1.到3服达务间机隔时构间一样，首先定义Ts：为平均服务时
间，µ 为平均服务速率，So(t)为服务时间分布函数， 即服务时间大于t的概率。
在很多实际问题中，动态实体的到达时间是随 机的，服务机构的服务时间也是随机的，这样动 态实体排队的长度也会是随机的，最后反映在服 务机构处于“忙”或“闲”的时间也是随机的。
如何通过已知的到达模式和服务时间的概率 分布，来研究排队系统的队列长度和服务机构 “忙”或“闲”的程度即服务效率，这就是离散 事件仿真所需解决的问题。
(到1)3达平.1了均.2n到到个达顾达间客模隔的时式情间况T下a：的比指值在T／考n虑。模型的总时间T中，共
(2)平均到达速率λ: 指单位时间内到达的顾客数
λ＝1/Ta
(3．1)
(3)到达间隔分布函数Ao (t): 指到达间隔时间大于t的概率。
Ao(t)＝1一F(t)
(3．2)
根据定义，函数Ao(t=0)=1。当t增加时，Ao(t)逐渐减小。
服务时间也可能是在某个常数附近波动，例如同 样产品的加工时间应当总是相同的，但是由于产品 自身或加工工具的原因可能引起加工时间稍有不同。 在这种情况下，服务时间可以用正态分布描述。
T分布和威布尔分布也可以被用于模仿到达时间 间隔和服务时间。实际上，指数分布可以看成是T分 布和威布尔分布的特殊情况。