全等三角形之倍长中线法教学文案
全等三角形辅助线秘籍-中线倍长发(优质讲义)可编辑打印
全等三角形的辅助线秘籍（一）—中线倍长学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容中线倍长的辅助线添加课型教学目标1.让学生理解中线倍长的思想方法，明确什么时候需要添加此种辅助线.2.让学生掌握中线倍长的特点，构造SAS型全等.重、难点中线倍长辅助线的添加知识导图知识梳理1.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．2.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线（或类中线）延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．3.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，用SAS证全等。
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
口诀：遇中线，先倍长；证全等，找关系。
4.利用中线倍长我们通常可以解决：线段的不等关系（结合三角形的三边关系），线段相等，线段倍分。
5.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（8字型）△ABC中，AD是BC边中线（1）方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE（2）延长MD到N，使DN=MD，连接CD导学一：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。
我爱展示1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC=DC．导学二：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 如图，在△ABC中，点0为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM交AC于N．求证：BM+CN＞MN．我爱展示1. 如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．导学三：利用中线倍长证明线段的倍分关系例 1. 如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM 。
全等三角形辅助线之倍长中线法
可证EFD EGC
F
(平行线夹中点)
D
E
C
G
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．若AB=5， AC=3，求AD的取值范围．
A
延长AD至E使DE=AD，连接BE
在ADC和EDB中
AD=DE，ADC=EDB，BD=CD
故ADC EDB(SAS)
B
D
C AB-BE AE AB+BE即２ AE ８
A F
E
A
1 2
F
3E
B
D
C
BDCM 全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作 EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG． 求证：EG=CG且EG⊥CG．
M
A
D
A
D
G G
F EB
F
1
4
2
3
C
EB
全等三角形辅助线之倍长中线法
倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．
AD为ABC的中线
A
B
D
C
延长AD至E使DE=AD，连接BE 在ADC和EDB中 AD=DE，ADC=EDB，BD=CD 故ADC EDB(SAS) 与此相关的重要结论AC PBE
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
AD为ABC的中线
１<AD<４
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
C
倍长中线法(经典例题)讲课讲稿
倍长中线法(经典例题)倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】△ABC中延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD 到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE过D作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEBABFDEC自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD为ABC∆的中线，DE平分BDA∠交AB于E，DF平分ADC∠交AC于F. 求证：EFCFBE>+EAB C4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图 DF CBEADABCMTE。
人教版初二数学上册全等三角形——中线倍长(说课稿)
《中线倍长》说课稿友谊路中学尹婷一、说教材的地位和作用全等三角形是八年级上册数学教材第十三章的教学内容。
本节课是“全等三角形”判定的综合练习，也是针对用“中线倍长法”构造全等三角形解决问题的专题学习。
通过本节的学习，可以丰富和加深学生对全等三角形的判定的解决二、说教学目标根据本教材的结构和内容分析，结合着八年级学生他们的认知结构及其心理特征，制定了以下的教学目标：1. 理解并掌握采用“中线倍长法”添加辅助线解决问题的方法。
2、灵活运用“中线倍长法”构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。
三、说教学的重、难点教学重点：进一步巩固判定三角形全等的条件SSS\SAS\AAS\ASA\HL教学难点：灵活运用“中线倍长法”构造出全等三角形难点的依据：在几何证明中，常常需要作辅助线，“中线倍长法”是辅助线中比较常见的一种，可以构造全等的三角形，也可以看作是图形的旋转变换。
让学生逐渐形成几何模型，为今后的学习做准备。
四、说教法我们都知道数学是一门培养人的思考能力的重要学科。
因此，在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。
我们在以师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取理论知识、解决实际问题方法的思维过程。
考虑到我校初2年级学生的现状，我主要采取学生活动的教学方法，让学生真正的参与活动，而且在活动中得到认识和体验，产生践行的愿望。
培养学生将课堂教学和自己的行动结合起来，充分引导学生全面的看待发生在身边的现象，发展思辩能力，注重学生的心理状况。
当然教师自身也是非常重要的教学资源。
教师本人应该通过课堂教学感染和激励学生，充分调动起学生参与活动的积极性，激发学生对解决实际问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效果。
同时也体现了课改的精神。
基于本节课内容的特点，我主要采用了以下的教学方法：1、温故知新法：从简单的全等证明入手，变换已知条件，学生发现原有的知识不能解决问题，带着问题，探究新的证明方法。
(完整版)三角形全等之倍长中线(讲义)
三角形全等之倍长中线（讲义）➢课前预习1.填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明．其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2.想一想，证一证已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．（1）当OC=OD时，求证：△AOC≌△BOD；（2）当AC∥BD时，求证：△AOC≌△BOD．O BC A➢ 知识点睛1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE②平行夹中点延长FE 交BC 的延长线于点GD CBAMAB CD F EDCBA➢精讲精练1.如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB+AC >2AD．（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．D C BADBA3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．DCB AFED CA5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AGFE DB AFE DCB A7.如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．GFE D CB A【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练1. （1）证明：如图，21BCDA延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ∴AE =2AD∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴BE =AC在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （2）解：由（1）可知 AE =2AD ，BE =AC 在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21EDCB A3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线321MABCD EF G 321MA BCDEF6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G ∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3GAFD GFC DF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG∵AD =2.7∴CG =2.7∵AE =BE∴∠1=∠B∵AB ⊥AF∴∠1+∠2=90°∠B +∠G =90°∴∠2=∠G∴EG =AE =5∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180°∴EF ∥CD∴∠FEG =∠M∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中 1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45°∴EG =CG。
人教版八年级上册第十二章全等三角形——倍长中线 专题教案
三角形全等辅助线之倍长中线【教学目标】熟悉并掌握三角形全等证明中遇见中线时辅助线的添加方法 【教学重难点】教学重点：倍长中线辅助线的添加方法教学难点：证明题中遇见中线时如何思考添加辅助线 课前回顾：1.将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P.（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________．【例1】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【基础练习1】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为∠CAB 的角平分线．GFEDCBA【基础练习2】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFED CB AFA CD E B【例2】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FEMCBA【基础练习3】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证：2CD CE =DCB A综合训练：1.如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图22.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCA3.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．FEDC BA4.如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．GF EDCB A难度提升：已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。
倍长中线法(初二)电子教案
倍长中线法(初二)全等三角形的构造方法---常用辅助线搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．(一)倍长中线法:题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ，∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
中线一倍辅助线作法 △ABC 中延长AD 到E ，AD 是BC 边中线DE=AD ，E A BCDFH连接BE方式2：间接倍长⊥AD 于F ，延长MD作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ，连接BE 连接CD例2、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例3、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业：第 1 题图ABFDEC1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
倍长中线构造三角形全等
【教学目标】1.理解并记忆全等三角形的判定及性质。
2. 能利用倍长中线法证明三角形全等。
【教学重点】1.记忆全等三角形的判定及性质。
2. 利用倍长中线法证明三角形全等。
【教学难点】1.记忆全等三角形的判定及性质。
2. 利用倍长中线法证明三角形全等。
【教学内容】一、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上例题讲解：倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过手练习：1．已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF2．已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂检测：1．已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEB第 1 题图ABFDEC2、如图，△ ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.课后作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
数学人教版八年级上册全等三角形——中线倍长(教案)
旋转后的图形多了两条辅助线，如何叙述，才能提供条件使得 与 全等？
作对应角相等：
（直接作角等比较困难，可以作平行转换成角等）
过点 作 交 的延长线于点
可用ASA或AAS证明 ≌
作对应边相等：
延长 到 ,使得 ,连接
可用SAS证明，中线 将三角形分成了两个部分 和 ，我们构造了 与 全等,也可以构造 与 全等。
课题：中线倍长法
教学目标
1.理解并掌握采用“中线倍长法”添加辅助线解决问题的方法。
2．灵活运用“中线倍长法”构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。
教学难点
灵活运用“中线倍长法”构造出全等三角形
知识重点
采用“中线倍长法”添加辅助线
教学过程（师生活动）
设计理念
温故知新
引入课题
1、图形的全等变换有________、________、________。
举一反三
巩固知识
例2、如图，点 、 、 分别是 三边上的点，其中 , 。求证：
分析：要将线段 和 转换到同一个三角形中，用三角形三边关系解决问题。图中没有明显的中线，线段 和 过中点 ，可把这两条线段看作是中线。
将 看作是中线,倍长后构造三角形与 全等
将 看作是中线，倍长后构造三角形与 全等
本题难度加大，要求将三条线段都转换到同一个三角形中，用三角形三边关系解决问题。作了一次中线倍长后，可以将线段 和 转换到一起。第三条线段 则需要再通过一次全等才能转换到一个三角形中。
2、两个三角形全等的判定方法有______、______、______、______、______
倍长中线法的应用教案
1 / 382 / 383 / 38 教学过程一、复习引入1.如图1，已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．2.如图2，AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF ．求证：AM 是△ABC 的中线．3.如图3，AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF=CF4.如图4：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：AF=DE ．5. 已知：如图5所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF ．M FE C BAFD C B A FE D C BA DBC A F E图1 图2 图3 图4 图54 / 38二、知识讲解考点1证明三角形全等的方法：SAS5 / 38证明线段中的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.6 / 38平行线的性质：①两直线平行,同位角相等.②两直线平行,内错角相等.③两直线平行,同旁内角互补.7 / 388 / 38 三、例题精析考点一证明线段中的不等关系例1 已知：ABC ∆中，5,9AB AC ==,AM 是中线．（1） 求证：1()2AM AB AC <+．（2）BC 边上的中线AM 的长的取值范围是什么？9 / 38【规范解答】如图所示，延长AM 到D ，使DM AM =，连结BD ，∵AM 为BC 中线，∴BM ＝MC在△ACM 和△DBM 中∴ACM ∆≌DBM ∆（SAS ），∴BD AC =在ABD ∆中，AD AB BD <+，∴2AM AB AC <+∴1()2AM AB AC <+【总结与反思】①将AM边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围；②中线倍长法的具体应用：延长AM至D，使DM=AM，连接BD；利用SAS证明三角形全等；③将线段AC转换成BD，在△ABD中利用三边关系求出2AM取值范围.10 / 3811 / 38 考点二证明两个角相等例2如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ， 若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．FG E D CB A12 / 38 【规范解答】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中CE BECEF BEHFE HE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB∠=∠，CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠,∴AFG AGF ∠=∠又∵EF AD ∥,∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠∴CAD BAD ∠=∠,∴AD 为ABC ∆的角平分线．13 / 38 H A FGB E D C【总结与反思】题中E 为BC 中点，考虑用中线倍长法得到CEF BEH ∆∆≌，把CF 线段转移到BEH ∆中，然后根据等腰三角形的性质及平行线的性质转化角得到结论。
全等三角形倍长中线法的经典例题
全等三角形倍长中线法的经典例题示例文章篇一：嘿，同学们！今天我要跟你们讲讲全等三角形倍长中线法，这可太有趣啦！先来说说啥是倍长中线法。
就好像我们搭积木，找到了关键的那块积木，整个造型就稳啦！倍长中线法就像是那个关键的“积木”，能帮我们解决好多全等三角形的难题呢。
比如说有这样一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。
那我们就延长AD 到点E，让AD = DE 。
这时候，连接BE ，哇塞，神奇的事情发生啦！“小明，你说说这时候能发现啥？”我问同桌小明。
小明挠挠头说：“好像能得到一些相等的边和角。
”“对呀！”我兴奋地说，“你看，因为AD 是中线，BD = DC ，又因为我们延长AD ，让AD = DE ，再加上对顶角相等，这不就可以证明三角形ADC 和三角形EDB 全等嘛！”再看这道题，三角形ABC 中，AD 是中线，AB = 5 ，AC = 3 ，求中线AD 的取值范围。
这可难倒了不少同学，可咱们用倍长中线法，不就轻松多啦？我跟后桌的小红一起讨论，我说：“小红，你想想，倍长中线之后，是不是能把条件都联系起来啦？”小红眼睛一亮：“对呀，这样就能构造出全等三角形，然后就能找到边的关系啦！”哎呀，这不就像我们找宝藏，倍长中线法就是那把能打开宝藏大门的钥匙嘛！通过这些例题，咱们是不是发现，倍长中线法简直就是解决全等三角形问题的神器呀！只要我们灵活运用，那些难题就都不在话下啦！我觉得呀，数学就像一个大宝藏，而这些解题方法就是我们挖掘宝藏的工具，只要我们用心去寻找，就能发现无数的惊喜！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，今天咱们来聊聊全等三角形里倍长中线法的那些经典例题！先来说说啥是倍长中线法吧。
就好像我们走路遇到一条河，直接过去太困难，但是如果修一座桥，是不是就轻松多啦？倍长中线法就像是那座桥，能让我们在解全等三角形的难题时，一下子找到出路！比如说有这么一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。
延长AD 到E，使DE = AD。
倍长中线法教学设计
倍长中线法教学设计稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们要来聊聊超级有趣的倍长中线法教学哟！咱先来讲讲为啥要学这个倍长中线法。
其实呀，就像我们在数学的大迷宫里探险，有时候会遇到一些难题，好像前面没路了。
但是别怕，倍长中线法就是我们的秘密武器，能帮我们找到新的通道，解决那些让人头疼的几何问题。
那怎么教大家这个厉害的方法呢？我会先给大家出一道有点小挑战的题目，让大家感受一下被难题困住的感觉。
比如说，给一个三角形，已知中线的长度，还有一些其他的条件，然后让大家去求某个角的度数或者某条边的长度。
这时候，大家可能会抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
然后呢，我会带着大家一起多做几道题目，让大家熟练掌握这个方法。
每做一道题，我都会鼓励大家大胆尝试，不要怕出错。
做错了也没关系，咱们一起找找问题出在哪儿，下次就能做得更好啦！咱们来个小比赛，看看谁用倍长中线法解题又快又准。
赢的小伙伴有小奖励哟！怎么样，是不是很期待？稿子二亲爱的朋友们，今天咱们来好好唠唠倍长中线法的教学设计！一开始呢，咱们先玩个小游戏。
我给出几个简单的几何图形，让大家观察观察，找找它们的特点。
这就像是热身运动，为后面的学习做好准备。
然后呀，我会抛出一个有点难搞的几何问题，就像一个小怪兽挡在咱们面前。
大家可能会觉得有点难，不知道咋打败它。
这时候，我就会神秘兮兮地拿出倍长中线法这个法宝，给大家演示一番。
比如说，在黑板上画出图形，一步一步地操作，让大家眼睛瞪得大大的，充满好奇。
接着，我会让大家自己动手试试，用倍长中线法来解决问题。
我就在旁边看着，给大家加油打气。
要是有人遇到困难了，别着急，我会耐心地引导，一起找出解决办法。
等大家都有点感觉了，咱们再来几个难度升级的题目，看看能不能把这个方法运用得更加熟练。
这就像是升级打怪，越来越厉害！在这个过程中，我还会让大家互相交流，分享自己的思路和方法。
说不定别人的想法会给你带来新的启发呢！。
初二《全等三角形——倍长中线法》讲课初稿
教学设计目的啊，就是构造一对对顶的全等三角形。
具体操作如下：，△ABC中，延长中线AD到E，使得AD=DE，连接BE，则得到一个新的△BED，那这个△BED与哪个三角形全等呢？为什么呢？同学们都答出来了，△BED与△CAD全等。
如何证明呢？那也很简单的。
因为AD=ED，D为BC中点，BD=CD，而∠ADC=∠EDB，根据SAS（边角边）就可以得出，△BED≌△CAD。
而△BED与△CAD全等了，又可以得出∠DAC=∠DEB，所以AC∥EB。
那么，老师再请同学们思考一下，在上图中，AB，AC与中线AD线段长度又有什么关系呢？我看有同学思考出来了，它们的关系是AB＋AC＞2AD。
如何证明呢？这个也很简单。
刚刚已经得出△BED≌△CAD，可以得出BE=CA。
在△ABE中，根据任意两边之和大于第三边，AB+BE＞AE。
又因为AE=2AD，BE=CA所以可以得出AB＋AC＞2AD。
因此，关于倍长中线法我们能总结以下3点：第一、看到中点，要想到用倍长中线法。
第二、倍长中线法可以构造出一对对顶的全等三角形。
第三、倍长中线法可以得出一对平行线。
三、倍长线法的一些基础应用。
接下来，我们就做一些比较基础，比较简单的倍长中线法的应用。
例1:已知△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=DC，求证：AB=AC分析：1.看到BD=DC（D 为BC中点）就要想到用倍长中线法2.倍长中线法，可得△BED≌△CAD可得AC=BE且∠2=∠13.要求证AB=AC则只需求AB=BE即∠3=∠2证明：延长AD至E, 令AD=DE，连接BE。
∵BD=DC，AD=DE，且∠ADC=∠EDB ∴△BED≌△CAD（SAS）∴BE=CA，∠2=∠1∵AD平分∠BAC∴∠3=∠1∴∠3=∠2∴BA=BE∵BE=CA∴AB=AC上面这道题是开胃菜，下面老师就稍微增加点难度。
例2:已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F. 求证：AF=EF.这道题老师请同学们先自己思考一下，咱们依旧用用倍长中线法，那么倍长哪条中线呢？然后再四人一组再讨论一下各自的证明过程。
全等三角形倍长中线法
全等三角形倍长中线法全等三角形倍长中线法，听起来是不是有点高深？但其实它就像一杯清茶，细细品味其实很有趣。
先给大家讲讲这个中线。
中线是什么呢？想象一下，一个三角形就像你吃的披萨，三角形的中线就像是从一个顶点划到对边中点的那条线。
这条线把三角形一分为二，真是妙不可言！而且，这条线可不是简单的线哦，它有它的奥秘和美丽。
接下来，我们来聊聊全等三角形。
说白了，全等三角形就像是两个完全一样的双胞胎，不论怎么旋转、翻转，尺寸和形状都一模一样。
就像两个小朋友，一个穿蓝色衣服，一个穿红色衣服，他们的脸型、身高、手长全都一样，简直是个绝配！在几何学里，利用全等三角形的特性，我们能找到一些有趣的解决方案。
说到倍长中线法，这个方法其实就是在利用这些全等三角形的关系，来帮助我们找到中线的长度。
想象一下，我们有个三角形，三个顶点分别是A、B、C。
我们从顶点A 出发，划一条线到对边BC的中点D，这条线就是中线AD。
接下来，如果我们把中线的长度乘以2，那可不是说它就长了一倍哦，而是我们能找到一个新的点，让它们形成一个新的三角形。
而这个三角形，也是全等的，真的是太酷了吧！不过，这个倍长中线法可不止这么简单。
其实，运用这个方法时，我们还可以用到一些数学定理，像平行线、相似三角形等等。
就像在厨房里做菜，我们不仅需要主料，还需要辅料，才能做出一道美味的菜肴。
再说了，做数学题也是需要多动脑筋的，有时候光靠一个公式可不够哦！让我们更深入地了解一下。
我们用倍长中线法，实际上就是借助全等三角形的关系来做一些巧妙的推理。
比如，我们可以知道，中线的长度与三角形的面积、周长之间有着密切的关系。
当你掌握了这个技巧，就像是打开了新世界的大门，里面有数不尽的宝藏等着你去发掘。
想想看，数学就像是探险游戏，每解决一个难题，就像找到了一个隐藏的宝藏，兴奋得不行！不过，很多同学可能在学习这个法则时，觉得有点无从下手，或者是觉得这个知识点特别抽象。
其实呀，只要把它和生活中的例子结合起来，就会变得简单多了。
倍长中线与截长补短法教学文案
• 延长中线，使所延长部分与中线相等，然 后往往要连接相应的顶点。
• 中线倍长法多用于构造全等三角形和证明 边之间的关系。
例1：如图，在△ABC中，AD 为BC上的中线，
求证:AB+AC＞2AD
练习：如图，在△ABC中， AB=3，AC=5，求中线A
E
解
∴ ∠1＝∠2,
在△ABD和 △AED中
4
B
D
C
﹛A B=AE ∠1＝∠2 A D=AD
∵ ∠3= ∠4+ ∠C ∴ 2∠C = ∠4+ ∠C ∴ ∠ C ＝∠4
∴ △ABD≌ △AED
∴DE=CE
∴BD=DE, ∠B＝∠3 截长法
∵ ∠B＝2∠C
∴BD=CE ∵AE+EC=AC
∴ ∠3=2∠C
练 如图，AD∥BC，AE, BE分别平分 习 ∠DAB,∠CBA， CD经过点E，
求证：AB＝AD+BC
A
D
E
B
C
著名的数学家，莫斯科大学教授雅 洁卡提出：“解题就是把要解的题 转化为已经解过的题”。许多题目 我们都解过，怎样转化呢？加油吧！
∴ AB+BD=AC
例 １．在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分BAC.
题 求证：AB+BD=AC
A
讲 证明：在AB的延长线截取B E=BD， 连结D E.
解
B
D
C
E
在射线 AB截取B E=BD， 连结D E.
补短法
截长法与补短法，具体做法是在某条 线段上截取一条线段与特定线段相等，或 是将某条线段延长使之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明． 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目．
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全等三角形之倍长中
线法
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全等三角形之倍长中线
1. 如图，AD 为△ABC 的中线． （1）求证：AB +AC >2AD ．
（2）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．
求证：AB =AC ．
3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且
AB =AC ．
D C
B A
E D C
B D
B A
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求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．
4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，
BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．
5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点
F ，交AB 于点
G ，BG =CF ．
求证：AD 为△ABC 的角平分线．
6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD
的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．
F E
D
C
A
G
F
E D
B A
F
E D
C
B A
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7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠
FEB =90°，连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．
求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．
1. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD +BC ，E 是CD 的中点．
求证：AE ⊥BE ．
2. 已知：如图，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，垂足分别为A ，
D ，连接EC ，F 为EC 中点，连接AF ，DF ，猜测AF ，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由．
3. 已知：如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C （不与点
A ，
B ，D 重合），分别以A
C ，BC 为斜边在AB 同侧作等腰Rt △ACE 与等腰Rt △BCF ，∠AEC =∠CFB =90°，连接DE ，DF ，EF ．
求证：△DEF 为等腰直角三角形．
G
F
E D
C B A
E
D C B A
F
E D A
F
E
B
A
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4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中
点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．
1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________．
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且
DE =EC ，过D 作DF ∥AB 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．
3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，
且AD 是整数，则AD =________．
4.已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．
5.已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF =2AD ．
E
D
C
B
A
F
E D A D C
B
A
F E D
C
B
A
F
E
D C
B A
6.如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为
∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．
G
F
E D C
A
F
E
D B C
A
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