第三章 基于谓词逻辑的机器推理
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第3章 谓词逻辑
【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系，可以把谓词公式分为三种 类型：永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真，则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假，则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真，则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题： (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示： x 是人
E (x) 表示： x 吃饭 （1） x ( M ( x ) E ( x)) （2） x( M ( x) E ( x)) （3） (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词：表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 ， t1 , t2 ,, tn 是 项 ， 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式，称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下： (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式； (2) 若 A 是合式公式，则 ( A ) 也是合式公式； (3) 若 A， 是合式公式， ( A B ) ， A B ) ， A B ) ， B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式； (4) 若 A 是合式公式，则 ( xA ) ， ( xA ) 也是合式公式； (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。
人工智能第三章谓词逻辑与归结原理
• 如P(x) ∨ Q(y)与~P(a) ∨ R(z)
• 所以要考虑置换与合一。即对变量 作适当的替换。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
置换
• 置换：可以简单的理解为是在一个谓词公式中用 置换项去置换变量。
• 定义： 置换是形如{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}的有限集合。其 中，x1, x2, …, xn是互不相同的变量，t1, t2, …, tn是 不同于xi的项（常量、变量、函数）；ti/xi表示用ti 置换xi，并且要求ti与xi不能相同，而且xi不能循环 地出现在另一个ti中。
例如： {a/x，c/y，f(b)/z}是一个置换。 {g(y)/x，f(x)/y}不是一个置换。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
置换的合成
• 设＝{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}， ＝{u1/y1, u2/y2, …, un/yn}，是两个置换。 则与的合成也是一个置换，记作·。它是从集合
• 最一般合一求取方法
– 令W={F1,F2} – 令k=0,W0=W, σ0=ε – 如果Wk已合一，停止， σk=mgu,否则找Dk – 若Dk中存在元素vk和tk，其中，vk不出现在tk中，转下一
步，否则，不可合一。 – 令σk+1= σk.{tk/vk},Wk+1=Wk{tk/vk}=W σk+1 – K=k+1转第3步。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
谓词归结子句形
• 子句与子句集
– 文字：不含任何连接词的谓词公式。 – 子句：一些文字的析取（谓词的和）。 – 空子句：不含任何文字的子句。记作NIL或
□ – 子句集：所有子句的集合。 – 对于任何一个谓词公式G，都可以通过
• 所以要考虑置换与合一。即对变量 作适当的替换。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
置换
• 置换：可以简单的理解为是在一个谓词公式中用 置换项去置换变量。
• 定义： 置换是形如{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}的有限集合。其 中，x1, x2, …, xn是互不相同的变量，t1, t2, …, tn是 不同于xi的项（常量、变量、函数）；ti/xi表示用ti 置换xi，并且要求ti与xi不能相同，而且xi不能循环 地出现在另一个ti中。
例如： {a/x，c/y，f(b)/z}是一个置换。 {g(y)/x，f(x)/y}不是一个置换。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
置换的合成
• 设＝{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}， ＝{u1/y1, u2/y2, …, un/yn}，是两个置换。 则与的合成也是一个置换，记作·。它是从集合
• 最一般合一求取方法
– 令W={F1,F2} – 令k=0,W0=W, σ0=ε – 如果Wk已合一，停止， σk=mgu,否则找Dk – 若Dk中存在元素vk和tk，其中，vk不出现在tk中，转下一
步，否则，不可合一。 – 令σk+1= σk.{tk/vk},Wk+1=Wk{tk/vk}=W σk+1 – K=k+1转第3步。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
谓词归结子句形
• 子句与子句集
– 文字：不含任何连接词的谓词公式。 – 子句：一些文字的析取（谓词的和）。 – 空子句：不含任何文字的子句。记作NIL或
□ – 子句集：所有子句的集合。 – 对于任何一个谓词公式G，都可以通过
人工智能课后答案第三章
人工智能课后答案第三章本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1.基于谓词逻辑的机器推理方法：自然演绎推理，归结演绎推理，基于规则的演绎推理。
2. 求下列谓词公式的子句集(1) x y(P(x,y) Q(x,y))解：去掉存在量词变为：P(a,b)Q(a,b) 变成子句集{ P(a,b),Q(a,b )}(2) x y(P(x,y) Q(x,y)) 解：去掉蕴涵符号变为：x y(¬ P(x,y)Q(x,y)) 去掉全称量词变为：¬ P(x,y) Q(x,y) 变成子句集{ ¬ P(x,y) Q(x,y)}(3) {()[(,)(,,)]}x P x y zQ x z zR x y z ∀→∃∀∨∀()(,)(,(),)P x Q x z R x f x z ⌝∨∨(4)((,,,,,)(,,,,,)(,,,,,))x y z u v w P x y z y v w Q x y z y v w R x y z u v w ∃∀∃∃∀∃∨∧ {p(a,y,f(y),y,v,g(y,v)) Q(a,y,f(y),y,v,g(y,v)), p(a,x,f(x),x,z,g(x,z))R(a,x,f(x),h(x),z,g(x,z))} 3. 试判断下列子句集中哪些是不可满足的（1）使用删除策略（2）归结 4.用合一算法求下列公式集的最一般合一。
（1）W={Q(a,x),Q(y,b)} 最一般合一为:{a/y,b/y} （2）{()((,))}W Q x y z Q u h v v u =，，，，，最一般合一为：{z/u,h(v,v)/y,z/x}或{x/u,h(v,v)/y,x/z}5.用归结原理证明，G 是否可肯定是F 的逻辑结果。
(1) F 1 (x)(P(x)(Q(x)∧R(x)) F 2 (x) (P(x) ∧S(x) G (x)(S(x) ∧R(x)) 证明：利用归结反演法，先证明F 1 ∨ F 2 ∨¬G 是不可满足的。
第三章 谓词逻辑与归结原理
以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
2014-4-9
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
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华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
第3章 基于谓词逻辑的机器推理4
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
然后把上述各语句翻译为谓词公式： (1) x(R(x)→L(x)) (2) x(D(x)→乛L(x)) (3) x(D(x)∧I(x)) (4) x(I(x)∧乛R(x)) 已知条件
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
求题设与结论否定的标准型，得 (1)乛R(x)∨L(x) (2)乛D(y)∨乛L(y)
Kills ( Jack , Tuna ) False
Kills ( Jack , Tuna )
False
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
例 设已知： (1)能阅读者是识字的； (2)海豚不识字； (3)有些海豚是很聪明的。 试证明：有些聪明者并不能阅读。 首先，定义如下谓词： R(x)：x能阅读。I(x)：x是聪明的。 L(x)：x识字。D(x)：x是海豚。
B: Dog（y） Owns(x,y) Animallover(x)
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
x Animallover(x) y Animal (y) ¬ Kills(x,y) x, y {¬[Animallover(x) Animal (y) ]¬Kills(x,y)} ¬Animallover(x) ¬ Animal (y) ¬ Kills(x,y) }
C:Animallover(x) Animal (y) Kills(x,y) False D: Kills(Jack,Tuna) Kills(Tom,Tuna)
E: Cat(Tuna)
F: Cat(x) Animal (x)
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
第3章 基于谓词逻辑的机器推理
然语言中的陈述语句表示为一种形式化的符号表达式。
那么，利用谓词公式，我们同样可以将形式逻辑中抽 象出来的推理规则形式化为一些符号变换公式。表3.1
和表3.2就是形式逻辑中常用的一些逻辑等价式和逻辑
蕴含式，即推理规则的符号表示形式。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
表5.1 常用逻辑等价式
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
A(a1, a2, …, an)
在谓词逻辑中就表示一个(原子)命题。 例如,
(1) 素数(2), 就表示命题“2是个素数”。
(2) 好朋友(张三, 李四), 就表示命题“张三和李四是好朋 友”。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
一般地, 表达式
P(x1,x2,…,xn)
在谓词逻辑中称为 n元谓词。其中 P是谓词符号，也称谓词， 代表一个确定的特征或关系 (名)。x1,x2,…,xn称为谓词的参量或
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
把上面关于量化的概念也可以推广到谓词公式。于 是，我们便可以说，如果一个公式中的所有个体变元都 被量化，或者所有变元都是约束变元（或无自由变元）， 则这个公式就是一个命题。特别地，我们称 xA(x)为全 称命题， xA(x)为特称命题。对于这两种命题，当个体
域为有限集时（设有n个元素），有下面的等价式：
x (P(x)→…)。
(2) 对存在量词 , 把限定量词作为一个合取项加入 ,
x (P(x)∧…)。
这里的P(x)就是限定谓词。 我们再举几个例子。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
例 5.1
不存在最大的整数, 我们可以把它翻译为
x(G( x)y(G( y) D( x, y))
或
x(G( x) y(G( y) D( y, x))
人工智能答案终极版
人工智能复习参考（2015工程硕士）第1章绪论1-1.什么是人工智能？它的研究目标是什么？人工智能（Artificial Intelligence），简称AI，又称机器智能（Machine Intelligence，MI），主要研究用人工的方法和技术开发智能机器或智能系统，以模仿、延伸和扩展人的智能、生物智能、自然智能，实现机器的智能行为。
近期目标：人工智能的近期目标是实现机器智能。
即先部分地或某种程度地实现机器智能，从而使现有的计算机更灵活好用和更聪明有用。
远期目标：人工智能的远期目标是要制造智能机器。
具体讲就是使计算机具有看、听、说、写等感知和交互能力，具有联想、学习、推理、理解、学习等高级思维能力，还要有分析问题解决问题和发明创造的能力。
1-2.人工智能有哪些研究方法和途径？简单描述它们的特点。
一、传统划分法1.符号主义：以人脑的心理模型为依据，将问题或知识表示成某种符号，采用符号推演的方法，宏观上模拟人脑的推理、联想、学习、计算等功能，实现人工智能。
2.连接主义：不仅要求机器产生的智能和人相同，产生的过程和机理也应该相同。
人或某些动物所具有的智能皆源自于大脑，通过对大脑微观结构的模拟达到对智能的模拟，这是一条很自然的研究人工智能的途径。
3.行为主义：模拟人在控制过程中的智能活动和行为特性，如自适应，自寻优、自学习、自组织等，以此来研究和实现人工智能。
二、现代划分法1.符号智能：是对智能和人工智能持狭义的观点，侧重于研究任何利用计算机软件来模拟人的抽象思维过程，并把思维过程看成是一个抽象的符号处理过程。
2.计算智能：计算机智能又重新回到依靠数值计算解决问题的轨道上来，它是对符号智能中符号推演的再次否定。
3.群体智能：它认同智能同样可以表现在群体的整体特性上，群体中每个个体的智能虽然很有限，但通过个体之间的分工协作和相互竞争，可以表现出很高的智能。
1-3.为什么能够用机器（计算机）模仿人的智能？假设：任何一个系统，如果它能够表现出智能，那么它就必定能够执行上述6种功能：输入符号；输出符号；存储符号；复制符号；建立符号结构；条件性迁移：反之，任何系统如果具有这6种功能，那么它就能够表现出智能，这种智能指的是人类所具有的那种智能。
人工智能教程习题及答案第3章习题参考解答
第三章确定性推理方法习题参考解答3.1 练习题3.1 什么是命题？请写出3个真值为T 及真值为F 的命题。
3.2 什么是谓词？什么是谓词个体及个体域？函数与谓词的区别是什么？3.3 谓词逻辑和命题逻辑的关系如何？有何异同？3.4 什么是谓词的项？什么是谓词的阶？请写出谓词的一般形式。
3.5 什么是谓词公式？什么是谓词公式的解释？设D= {1,2} ，试给出谓词公式（ x）（ y）（P（x,y） Q（x,y））的所有解释，并且对每一种解释指出该谓词公式的真值。
3.6对下列谓词公式分别指出哪些是约束变元？哪些是自由变元？并指出各量词的辖域。
（1）( x)(P(x, y) ( y)(Q(x, y) R(x, y)))（2）( z)( y)(P(z, y) Q(z, x)) R(u, v)（3）( x)(~ P( x, f (x )) ( z)(Q(x,z) ~ R(x,z)))（4）( z)(( y)(( t)(P(z, t) Q(y, t)) R(z, y))（5）( z)( y)(P(z, y) ( z)(( y)(P(z, y) Q(z, y) ( z)Q(z, y))))什么是谓词公式的永真性、永假性、可满足性、等价性及永真蕴含？3.7什么是置换？什么是合一？什么是最一般的合一？3.8判断以下公式对是否可合一；若可合一，则求出最一般的合一：3.9（1）P(a,b) ，P(x, y)（2）P(f(z),b) ，P(y, x)（3）P(f(x), y) ，P(y, f(a))（4）P(f(y), y,x) ，P(x, f(a), f(b))（5）P(x, y) ，P(y, x)什么是范式？请写出前束型范式与SKOLEM 范式的形式。
3.10什么是子句？什么是子句集？请写出求谓词公式子句集的步骤。
3.113.12谓词公式与它的子句集等值吗？在什么情况下它们才会等价？3.13 把下列谓词公式分别化为相应的子句集：(1)( z)( y)(P(z, y) Q(z, y))(2)( x)( y)(P(x, y) Q(x, y))(3)( x)( y)(P(x, y) (Q(x, y) R(x, y)))(4)( x)( y)( z)(P(x, y) Q(x, y) R(x, z))(5)( x)( y)( z)( u)( v)( w)(P(x, y,z,u,v,w) (Q(x, y, z,u, v, w) ~R(x, z, w)))3.14 判断下列子句集中哪些是不可满足的：(1)S {~ P Q,~ Q,P,~ P}(2)S {P Q,~ P Q,P ~ Q,~ P ~ Q}(3)S {P(y) Q(y), ~ P(f(x)) R(a)}(4)S {~ P(x) Q(x), ~ P(y) R(y), P(a),S(a),~ S(z) ~ R(z)}(5)S {~ P(x) ~ Q(y) ~ L(x, y), P(a), ~ R(z) L(a, z), R(b), Q(b)}(6)S {~ P(x) Q(f(x), a), ~ P(h(y)) Q(f(h(y)), a) ~ P(z)}(7)S {P(x) Q(x) R(x),~ P(y) R(y),~Q(a),~ R(b)}(8)S {P(x) Q(x),~ Q(y) R(y), ~ P(z) Q(z),~ R(u)}3.15 为什么要引入Herbrand 理论？什么是H 域？如何求子句集的H 域？3.16 什么是原子集？如何求子句集的原子集？3.17 什么是H 域解释？如何用域D 上的一个解释I 构造H 域上的解释I *呢？3.18 假设子句集S＝{P(z) ∨Q(z),R(f(t))} ，S 中不出现个体常量符号。
人工智能导论 第3章 确定性推理方法(导论) [兼容模式]
![人工智能导论 第3章 确定性推理方法(导论) [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/459b6ef6336c1eb91b375d99.png)
①足球运动员的身体都是强壮的;
（大前提）
②高波是一名足球运动员；
（小前提）
③所以，高波的身体是强壮的。 （结 论）
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3.1.2推理方式及其分类
1.演绎推理、归纳推理、默认推理 (2)归纳推理(inductive reasoning):个别一一般
完全归纳推理(必然性推理) 不完全归纳推理(非必然性推理)
■逆向推理需要解决的问题： ♦如何判断一个假设是否是证据？
___ ♦当导出假设的知识有多条时，如何确定先选哪一条？ ♦ 一条知识的运用条件一般都有多个，当其中的一个经 验证成立后，如何自动地换为对另一个的验证？
♦ ......
选择初 -_逆向推理：目的性强，利于向用户提供解释，但 始目标时具有盲目性，比正向推理复杂。
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3.1.3推理的方向
3.混合推理
.正向推理：盲目、效率低。
■逆向推理：若提出的假设目标不符合实际，会降低效
率C
■正反向混合推理：
1 （ ） 先正向后逆向：先进行正向推理，帮助选择某个目标，
即从已知事实演绎出部分结果，然后再用逆向推理证实该目标
2 或提高其可信度；
（ ） 先逆向后正向：先假设一个目标进行逆向推理，然后
■实现正向推理需要解决的问题： .确定索知识库。 .冲突消解策略。
■正向推理简单，易实现，但目的性不强，效率低。
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3.1.3推理的方向
2.逆向推理
.逆向推理（目标驱动推理）：以某个假设目标作为出 发点。 -基本思想：
选定一个假设目标。 寻找支持该假设的证据，若所需的证据都能找到，则 原假设成立；若无论如何都找不到所需要的证据，说明 原假设不成立的；为此需要另作新的假设。 ■主要优点：不必使用与目标无关的知识，目的性强， 同时它还有利于向用户提供解释。
人工智能 第3章 谓词逻辑与归结原理
将陈述句转化成命题公式
如：设“下雨”为p，“骑车上班”为q，， 1．“只要不下雨，我骑自行车上班”。～p 是 q 的充分条件， 因而，可得命题公式： ～p → q 2．“只有不下雨，我才骑自行车上班”。～p 是 q的必要条件， 因而，可得命题公式：q → ～p
1、认真分析蕴含式的前件和后件的关系 2、注意同一命题的各种等价说法
其中： “小王”、“工程师”、“我”、“花”、“8”、
“小丽”、“小华”都是个体词，而“是个工程师”、“是 个自然数”、“去买”、“是朋友”都是谓词。 显然前两个谓词表示的是事物的性质，第三个谓词“去买” 表示的一个动作也表示了主、宾两个个体词的关系，最后一 个谓词“是朋友”表示两个个体词之间的关系。
1、建立待归结命题公式，根据反证法将所求证的问 题转化为命题公式，求证其是矛盾式 2、求取合取范式 3、建立子句集 4、对子句集中的子句使用归结推理规则 归结式作为新子句参加归结 归结式为空子句□ ，停止 S是不可满足的（矛盾），原命题成立。 • （证明完毕）
命题逻辑归结例题
• 例题3.7：证明公式：(P → Q) → (～Q → ～P) • 证明： （1）根据归结原理，将待证明公式转化成待归结命题 公式：
• 给计算机、智能体建模的过程就是对知识进行描 述，应用知识进行推理得到结论，并将结论用人 能够接受理解的形式显示的过程。 • 知识可以用公式表示为对特征值的约定。 • 知识用特征描述后可以用于推理。 • 命题逻辑有数理逻辑作为坚实的理论支柱，同时 又是谓词逻辑的基础，对于人工智能知识表示与 推理研究有着重要的意义。
给出事件的命题公式的基本步骤： 符号化、适当联结词 • 1． “如果我进城我就去看你，除非我很累。” 设：p，我进城，q，去看你，r，我很累。 则有命题公式：～r → (p → q)。
谓词逻辑的推理-智能科学
2019/5/26
史忠植 人工智能：知识表示
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什么是知识
数据一般指单独的事实，是信息的载体，数据项本身没有 什么意义，除非在一定的上下文中，否则没有什么用处。
信息由符号组成，如文字和数字，但是对符号赋予了一定 的意义，因此有一定的用途或价值。
知识也是由符号组成，但是还包括了符号之间的关系以及 处理这些符号的规则或过程。
2019/5/26
史忠植 人工智能：知识表示
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谓词逻辑的推理
将推理规则应用于一定的合式公式（集），以产生新的合式公
式。
• 置换(Substitution) ：
– 在表达式中用置换项置换变量，例如用项（A）替换函数表达式
中的变量（x）。一个表达式E（Expression）用一个置换S
（Substitution）而得到的表达式的置换，记为ES。
2019/5/26
史忠植 人工智能：知识表示
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谓词演算
量词 全称量词（Universal Quantifier）
若一个原子公式P（x），对于所有可能变量 x都具有 T值，则用
（ x）P（x）表示 例如: 所有的机器人都是灰色的
（ x ）[ ROBOT(x) => COLOR(x,GRAY) ] 存在量词（Existential Quantifier）
例题：表达式E：P[x,f(y),B]；置换：s1={z/x,w/y},s2={A/y},
s3={q(z)/x,A/y},s4={c/x,A/y}
Solution:
ES1 = P[z,f(w),B];
ES2 = P[x,f(A),B];
ES3 = P[q(z),f(A),B];
谓词逻辑(第一部分)(Chapter 3 Predicate Logic)....ppt
注：上述连字符，只是为了便于阅读，可有可无。
由上述可知，表示知识的陈述性 形式称为命题。
2019-12-2
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5
带有参数的命题叫谓词，比起命 题来，谓词有更强的表达能力。谓词 逻辑可以表达那些无法用命题逻辑表 达的事实。因为：
（1）命题没有概括能力。
为了表达：“XX是一个城市”，则有多少个城市 就要用多少个命题来表示：
步1. For (x) SET(x), then (y) SET(y), |y| > |x|
存在量词 x：表示“存在一个x，至少有 一个x”
(x)[ROBOT(x) COLOR(x, GRAY)]
(x) INROOM(x, R1)
2019-12-2
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(8) 约束变量：经过量化的变量
自由变量：未经量化的变量
我们一般关心的是受约束变量，由它构成的 合适公式叫“句子”。
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(1) 原子公式：由若干谓词符号和项组成。
(2) 常量符号（项）：表示论域内的物体或实
体，可以是物、人、概念或事情。
(3) 变量符号（项） ：允许不必明确涉及是哪
一个实体，如INROOM(X, Y), X, Y即为变量。
(4) 函数符号：表示论域内的函数。例如函数
符号MOTHER可表示某人与他或她母亲的映射。
P（加上划线）
Conjunction(and) P Q
P&Q P·Q PQ P,Q
Disjunction(or) P Q
P|Q P;Q P+Q
Implication(if) PQ PQ P Q
Equivalence(iff) PQ PQ PQ
由上述可知，表示知识的陈述性 形式称为命题。
2019-12-2
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5
带有参数的命题叫谓词，比起命 题来，谓词有更强的表达能力。谓词 逻辑可以表达那些无法用命题逻辑表 达的事实。因为：
（1）命题没有概括能力。
为了表达：“XX是一个城市”，则有多少个城市 就要用多少个命题来表示：
步1. For (x) SET(x), then (y) SET(y), |y| > |x|
存在量词 x：表示“存在一个x，至少有 一个x”
(x)[ROBOT(x) COLOR(x, GRAY)]
(x) INROOM(x, R1)
2019-12-2
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(8) 约束变量：经过量化的变量
自由变量：未经量化的变量
我们一般关心的是受约束变量，由它构成的 合适公式叫“句子”。
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(1) 原子公式：由若干谓词符号和项组成。
(2) 常量符号（项）：表示论域内的物体或实
体，可以是物、人、概念或事情。
(3) 变量符号（项） ：允许不必明确涉及是哪
一个实体，如INROOM(X, Y), X, Y即为变量。
(4) 函数符号：表示论域内的函数。例如函数
符号MOTHER可表示某人与他或她母亲的映射。
P（加上划线）
Conjunction(and) P Q
P&Q P·Q PQ P,Q
Disjunction(or) P Q
P|Q P;Q P+Q
Implication(if) PQ PQ P Q
Equivalence(iff) PQ PQ PQ
第3章 基于谓词逻辑的机器推理
x G(x) P（x） x G(x) P（y）
2020/8/25
17
3.2.2 谓词逻辑（9）
谓词公式与命题的区别与联系
谓词公式是命题函数。 一个谓词公式中所有个体变元被量化，谓词
公式就变成了一个命题。 从谓词公式得到命题的两种方法：给谓词中
的个体变元代入个体常元；把谓词中的个体 变元全部量化。
符号也被量化。 P x P（x）
2020/8/25
19
3.2.2 谓词逻辑（11）
定义3.5：合取范式（Conjunctive Normal Form） 设A为如下形式的谓词公式：
B1 B2 … Bn 其中Bi（i=1,2,…，n）形如L1 L2 … Lm，Lj（j=1， 2,…，m）为原子公式或其否定，则A称为合取范式。
存在量词 表示“在个体域中存在个体”。记为x
如：“存在不是偶数的整数” 用G（x）表示“x是整数”，E（x）表示“x是偶数”
x（G（x） ¬E（x））
2020/8/25
29
3.2.3 基于谓词逻辑的知识表示（2）
例 3.2 设有如下命题： （1）小明比他的哥哥学习努力。
定义谓词：
StudyHarder(x, y)：x比y学习努力
例：P（x）表示“x是素数”
x P（x）， x P（x）， P（a）都是命题
2020/8/25
18
3.2.2 谓词逻辑（10）
全称命题： x P(x)等价于P (a1)P(a2) … P(an)
特称命题 x P(x)等价于P (a1)P(a2) … P (an)
一阶谓词：仅个体变元被量化的谓词。 二阶谓词：个体变元被量化，函数符号和谓词
A←→B， xA， xA也是谓词公式。
2020/8/25
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3.2.2 谓词逻辑（9）
谓词公式与命题的区别与联系
谓词公式是命题函数。 一个谓词公式中所有个体变元被量化，谓词
公式就变成了一个命题。 从谓词公式得到命题的两种方法：给谓词中
的个体变元代入个体常元；把谓词中的个体 变元全部量化。
符号也被量化。 P x P（x）
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3.2.2 谓词逻辑（11）
定义3.5：合取范式（Conjunctive Normal Form） 设A为如下形式的谓词公式：
B1 B2 … Bn 其中Bi（i=1,2,…，n）形如L1 L2 … Lm，Lj（j=1， 2,…，m）为原子公式或其否定，则A称为合取范式。
存在量词 表示“在个体域中存在个体”。记为x
如：“存在不是偶数的整数” 用G（x）表示“x是整数”，E（x）表示“x是偶数”
x（G（x） ¬E（x））
2020/8/25
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3.2.3 基于谓词逻辑的知识表示（2）
例 3.2 设有如下命题： （1）小明比他的哥哥学习努力。
定义谓词：
StudyHarder(x, y)：x比y学习努力
例：P（x）表示“x是素数”
x P（x）， x P（x）， P（a）都是命题
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3.2.2 谓词逻辑（10）
全称命题： x P(x)等价于P (a1)P(a2) … P(an)
特称命题 x P(x)等价于P (a1)P(a2) … P (an)
一阶谓词：仅个体变元被量化的谓词。 二阶谓词：个体变元被量化，函数符号和谓词
A←→B， xA， xA也是谓词公式。
人工智能[第三章确定性推理方法]山东大学期末考试知识点复习
![人工智能[第三章确定性推理方法]山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/38bf7ccd89eb172ded63b7a5.png)
山东大学 期末考试知识点复习
②一阶谓词逻辑中的归结原理。 在一阶谓词逻辑中，由于子句中含有变元，所以不能像命题逻辑中那样直接 消去互补文字进行子句归结。而是要对子句中的某些变元做合一置换后，再对新 子句使用归结规则。例如，假设有如下两个子句：C1=P(x)∨Q(x)，C2=～P(a)∨ T(z)，由于 P(x)与 P(a)不同，从而 P(x)与～P(a)不是互补文字，不能对 C1 与 C2 直接进行归结。做合一置换σ={a／x)，得到： C1σ=P(a)∨Q(a)， C2σ=～P(a)∨T(z) 再对它们进行归结，消去 P(a)与～P(a)，得到如下归结式： Q(a)∨T(z) 定义 3．5 设 C1 和 C2 是两个没有相同变元的子句，L1 和 L2 分别是 C1 和 C2 的 文字，如果 L1 与～L2 有 mguσ，则把 C12=(C1σ-{L1σ})U(C2σ-{L2σ})称作子句 C1 和 C2 的一个二元归结式，而 L1 和 L2 是被归结的文字。 这里使用了集合的符号和运算是为了说明的方便。要将子句 C1σ和 L1σ先写成 集合形式，如 P(x)∨～Q(y)改写为{P(x)，～Q(y))。在集合的表示下做减法或 做并运算，然后再写成子句形，如集合运算结果为{P(x)，～Q(y))，可改写为 P(x)∨～Q(y)。 1．4 利用归结原理进行定理证明 归结原理指出了证明子句集不可满足性的方法。对于定理证明，我们经常见 到的形式是： A1∧A2∧…∧An→B 这里，A1∧A2∧…∧An 是前提条件，而 B 则是逻辑结论。应用归结原理进 行定理证明的步骤如下： ①否定结论 B，并将否定后的公式～B 与前提公式集组成如下形式的谓词公 式：
4设c1与c2是子句集中的任意两个子句如果c1中的文字l1与c2中的文字l2互补则从c1和c2中可以分别消去l1和l2并将二子句中余下的部分做析取构成一个新的子句c12称这一过程为归结所得到的子句c12称为c1和c2的归结式而称c1和c2为c12的亲本子句
基于谓词逻辑的机器推理
盾的方法，反证出结论成立。在归结法中首先对结论求反， 然后将已知条件和结论的否定合在一起用子句集表达。如果 该子句集存在矛盾，则证明了结论的正确性。
。
• 1.命题逻辑中的归结原理
设C1,C2是命题逻辑中的两个子句，C1中有文字L1，C2中有文字L2， 且L1与L2互补，从C1,C2中分别删除L1,L2，再将剩余部分析取起来，
用反证法，证明A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧乛G不可满足。首先求得子句集S：
求题设与结论否定的子句集，得
(1)乛R(x)∨L(x)
(2)乛D(y)∨乛L(y) (3)D(a) (4)I(a) (5)乛I(z)∨R(z)
归结得 (6) R(a) (7) L (a) (8) 乛D(a) (9)NULL
(5)，(4)，{a/z} (6)，(1)，{a/x} (7), (2), {a/y} (8), (3)
这样一个共同的特性，所以可以用谓词逻辑来揭示他们的关系。
• 2. 谓词逻辑的一般形式
• A(a1, a2, …, an)
•
在谓词逻辑中，一般将原子命题分解为个体词和谓
词两个部分。谓词是A，表示它们的属性、状态或关系。
a1, a2, …, an表示个体对象，可以使任何人或者物。个体
词就表示各种事物，相当于汉语中的名词。具体的、确 定的个体词称为个体常项，一般用 a、b、c 表示；抽象 的、不确定的个体词称为个体变项，一般用 x、y、z 表 示。
的词。分为全程量词和存在量词。
“∀”称做全称量词 ，读作“所有的 x”， (∀x)P(x)意指 对论域 D 中的所有个体都具有性质 P 。
“∃”称做存在量词，读作“存在 x” ， (∃x)P(x)意指
对论域 D 中至少有一个个体具有性质 P
。
• 1.命题逻辑中的归结原理
设C1,C2是命题逻辑中的两个子句，C1中有文字L1，C2中有文字L2， 且L1与L2互补，从C1,C2中分别删除L1,L2，再将剩余部分析取起来，
用反证法，证明A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧乛G不可满足。首先求得子句集S：
求题设与结论否定的子句集，得
(1)乛R(x)∨L(x)
(2)乛D(y)∨乛L(y) (3)D(a) (4)I(a) (5)乛I(z)∨R(z)
归结得 (6) R(a) (7) L (a) (8) 乛D(a) (9)NULL
(5)，(4)，{a/z} (6)，(1)，{a/x} (7), (2), {a/y} (8), (3)
这样一个共同的特性，所以可以用谓词逻辑来揭示他们的关系。
• 2. 谓词逻辑的一般形式
• A(a1, a2, …, an)
•
在谓词逻辑中，一般将原子命题分解为个体词和谓
词两个部分。谓词是A，表示它们的属性、状态或关系。
a1, a2, …, an表示个体对象，可以使任何人或者物。个体
词就表示各种事物，相当于汉语中的名词。具体的、确 定的个体词称为个体常项，一般用 a、b、c 表示；抽象 的、不确定的个体词称为个体变项，一般用 x、y、z 表 示。
的词。分为全程量词和存在量词。
“∀”称做全称量词 ，读作“所有的 x”， (∀x)P(x)意指 对论域 D 中的所有个体都具有性质 P 。
“∃”称做存在量词，读作“存在 x” ， (∃x)P(x)意指
对论域 D 中至少有一个个体具有性质 P
920090-人工智能导论(第4版)-第3章 确定性推理方法(导论)
6
3.1.1 推理的定义
已知事实
推理： （ 证 据 ） 某 种 策 略
知识
结论
数据库 知识库
专家
推理机
病人
医疗专家系统
知识 专家的经验、医学常识
初始 证据
病人的症状、化验结果
证据
中间结论
7
3.1 推理的基本概念
3.1.1 推理的定义 3.1.2 推理方式及其分类 3.1.3 推理的方向 3.1.4 冲突消解策略
2
第3章 确确定定性性推推理理方方法法
知识 知识 推理
智 能 ?!
自然演绎 推理
经典逻辑推理 （确定性推理）
推
理
不确定性推理
归结演绎 推理
与 /或 形 演绎推理
3
第3章 确定性推理方法
3.1 推理的基本概念 3.2 自然演绎推理 3.3 谓词公式化为子句集的方法 3.4 鲁宾逊归结原理 3.5 归结反演 3.6 应用归结反演求解问题
22
3.1.3 推理的方向
3. 混合推理
正向推理: 盲目、效率低。 ▪ 逆向推理: 若提出的假设目标不符合实际，会降低效率。 ▪ 正反向混合推理： （1）先正向后逆向：先进行正向推理，帮助选择某个目标，
即从已知事实演绎出部分结果，然后再用逆向推理证实该目标 或提高其可信度；
（2）先逆向后正向：先假设一个目标进行逆向推理，然后再
36
第3章 确定性推理方法
3.1 推理的基本概念 3.2 自然演绎推理 3.3 谓词公式化为子句集的方法 3.4 鲁宾逊归结原理 3.5 归结反演 3.6 应用归结反演求解问题
归 结 演 绎 推 理
37
归结演绎推理
反证法： P Q ，当且仅当 P Q F ， 即 Q为 P 的逻辑结论，当且仅当 P Q 是不可
3.1.1 推理的定义
已知事实
推理： （ 证 据 ） 某 种 策 略
知识
结论
数据库 知识库
专家
推理机
病人
医疗专家系统
知识 专家的经验、医学常识
初始 证据
病人的症状、化验结果
证据
中间结论
7
3.1 推理的基本概念
3.1.1 推理的定义 3.1.2 推理方式及其分类 3.1.3 推理的方向 3.1.4 冲突消解策略
2
第3章 确确定定性性推推理理方方法法
知识 知识 推理
智 能 ?!
自然演绎 推理
经典逻辑推理 （确定性推理）
推
理
不确定性推理
归结演绎 推理
与 /或 形 演绎推理
3
第3章 确定性推理方法
3.1 推理的基本概念 3.2 自然演绎推理 3.3 谓词公式化为子句集的方法 3.4 鲁宾逊归结原理 3.5 归结反演 3.6 应用归结反演求解问题
22
3.1.3 推理的方向
3. 混合推理
正向推理: 盲目、效率低。 ▪ 逆向推理: 若提出的假设目标不符合实际，会降低效率。 ▪ 正反向混合推理： （1）先正向后逆向：先进行正向推理，帮助选择某个目标，
即从已知事实演绎出部分结果，然后再用逆向推理证实该目标 或提高其可信度；
（2）先逆向后正向：先假设一个目标进行逆向推理，然后再
36
第3章 确定性推理方法
3.1 推理的基本概念 3.2 自然演绎推理 3.3 谓词公式化为子句集的方法 3.4 鲁宾逊归结原理 3.5 归结反演 3.6 应用归结反演求解问题
归 结 演 绎 推 理
37
归结演绎推理
反证法： P Q ，当且仅当 P Q F ， 即 Q为 P 的逻辑结论，当且仅当 P Q 是不可
人工智能课件3 高级知识推理
模糊推理方法
可表示并处理由模糊性引起的不确定性 已广泛应用于不确定性推理
粗糙集理论方法
1981年Z. Pawlak首次提出 一种新的可表示并处理“含糊”等不确定性的数学方 法 可用于不确定性推理、数据挖掘等领域
概率推理
概率论是研究随机现象中数量规律的科学。
所谓随机现象是指在相同的条件下重复进行某 种实验时，所得实验结果不一定完全相同且不 可预知的现象 掷硬币实验
经典逻辑
确定性推理 单调性推理 归约推理 肖解演绎推理 规则演绎推理
非经典逻辑
不确定性推理 非单调性推理 时序推理 概率推理
经典逻辑与非经典逻辑的不同
推理方法 辖域取值 运算法则 逻辑算符 单调性 经典 演绎逻辑 二值 非经典 归纳逻辑 多值 模糊 有些不成立 逻辑算符 引入模态算符 单调 非单调
单调推理和非单调推理
单调推理
基于谓词逻辑的推理系统是单调的 系统中已知为真的命题随着推理的进行而增加,结论 越来越多
非单调推理
推理系统的定理集合不随推理过程的进行而单调增 大 新推理出的定理可能修正以至否定原有的一些定理, 使得原来能够解释的一些现象变得不可解释.
非单调推理
非单调推理用来处理那些不适合用谓词逻辑表 示的知识。 它能够较好地处理不完全信息、不断变化的情 况以及求解复杂问题过程中生成的假设，具有 较为有效的求解效率。
2. 意义 使计算机对人类思维的模拟更接近于人类的 真实思维过程
不确定性推理中的基本问题
不确定性的表示与度量 不确定性匹配 不确定性的传递算法 不确定性的合成
不确定性的表示与度量
1. 不确定性的表示 选择不确定性表示方法时应考虑的因素 充分考虑领域问题的特征 恰当地描述具体问题的不确定性 满足问题求解的实际需求 便于推理过程中对不确定性的推算
可表示并处理由模糊性引起的不确定性 已广泛应用于不确定性推理
粗糙集理论方法
1981年Z. Pawlak首次提出 一种新的可表示并处理“含糊”等不确定性的数学方 法 可用于不确定性推理、数据挖掘等领域
概率推理
概率论是研究随机现象中数量规律的科学。
所谓随机现象是指在相同的条件下重复进行某 种实验时，所得实验结果不一定完全相同且不 可预知的现象 掷硬币实验
经典逻辑
确定性推理 单调性推理 归约推理 肖解演绎推理 规则演绎推理
非经典逻辑
不确定性推理 非单调性推理 时序推理 概率推理
经典逻辑与非经典逻辑的不同
推理方法 辖域取值 运算法则 逻辑算符 单调性 经典 演绎逻辑 二值 非经典 归纳逻辑 多值 模糊 有些不成立 逻辑算符 引入模态算符 单调 非单调
单调推理和非单调推理
单调推理
基于谓词逻辑的推理系统是单调的 系统中已知为真的命题随着推理的进行而增加,结论 越来越多
非单调推理
推理系统的定理集合不随推理过程的进行而单调增 大 新推理出的定理可能修正以至否定原有的一些定理, 使得原来能够解释的一些现象变得不可解释.
非单调推理
非单调推理用来处理那些不适合用谓词逻辑表 示的知识。 它能够较好地处理不完全信息、不断变化的情 况以及求解复杂问题过程中生成的假设，具有 较为有效的求解效率。
2. 意义 使计算机对人类思维的模拟更接近于人类的 真实思维过程
不确定性推理中的基本问题
不确定性的表示与度量 不确定性匹配 不确定性的传递算法 不确定性的合成
不确定性的表示与度量
1. 不确定性的表示 选择不确定性表示方法时应考虑的因素 充分考虑领域问题的特征 恰当地描述具体问题的不确定性 满足问题求解的实际需求 便于推理过程中对不确定性的推算
人工智能导论 第3章 确定性推理方法(导论) [兼容模式]
①足球运动员的身体都是强壮的;
（大前提）
②高波是一名足球运动员；
（小前提）
③所以，高波的身体是强壮的。 （结 论）
9
3.1.2推理方式及其分类
1.演绎推理、归纳推理、默认推理 (2)归纳推理(inductive reasoning):个别一一般
完全归纳推理(必然性推理) 不完全归纳推理(非必然性推理)
14
3.1推理的基本概念
H3.1.1推理的定义 -3.1.2推理方式及其分类 , 3.1.3推理的方向 .3.1.4冲突消解策略
15
3.1.3推理的方向
正向推理
逆向推理
推
（反向推理）
理
方
向
混合推理
双向推理
16
3.1.3推理的方向
1.正向推理
.正向推理（事实驱动推理）：已知事实一 结论
-基本思想
27
3.1.4冲突消解策略
■已知事实与知识的三种匹配情况:
(1) 恰好匹配成功(一对一)； (2) 不能匹配成功；
28
3.1.4冲突消解策略
-多种冲突消解策略：
(1) 按针对性排序
(2) 按已知事实的新鲜性排序
/ r1: IF A1 AND A2
THEN H1
(3) 按匹配度排序& |F A1 AND A2 AND A3 AND A4 THEN H2
1 （ ） 从初始已知事实出发，在知识库幽屮找出当前可
适 用的知识，构成可适用知识集KS。
2 （ ） 按某种冲突消解策略从KS屮选出一条知识进行推
理, 并将推出的新事实加入到数据库DB屮作为下一步推理 的 已知事实，再在KB屮选取可适用知识构成KS。
3 2 （ ） 重复（ ），直到求得问题的解或KB屮再无可适
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谓词公式
一阶谓词 若限定不允许对谓词、连词、量词和函数名进行量化处理， 且参数项不能是谓词公式，则这样的谓词演算是一阶的。例如: （ P）P(A)、 （ P） （ x）P(x) 、 Married(y(L1), Mary，y)（y是变量）都不是一阶谓词公式。 本书中所用到的谓词演算均是一阶的。
谓词逻辑中的形式演绎推理（谓词公式的性质） 尽管谓词公式具有强大的形式化表示功能，但由于包括了 多种连词和量词以及它们的嵌套应用，会使表示形式过于复杂， 不利于演绎推理系统的设计和高效运作。为此，化简谓词公式 到某些约定的标准形式是很有意义的，谓词公式的性质则为化 简工作提供了依据。下面给出关于谓词公式的常用性质： 1） 双重否定 ¬ (¬ P) P 2） 蕴涵式转化 P Q ¬ P∨Q 3） 狄· 摩根定律 ¬ (P∨Q) ¬ P∧¬ Q ¬ (P∧Q) ¬ P∨¬ Q 4) 分配律 P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R） P∨(Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R) 5）交换律 P∨Q Q∨P ,P∧Q Q∧P
举例：P（x），Q（x，y）
谓词、函数、量词
函数：表达式 f(x1, x2, …, xn)ห้องสมุดไป่ตู้
说明： （1）其中，f是函数符号（简称函 数）约定用小写英文字母打头作为函数符 号。 （2）xi(i=1,2,…n)是个体变元 （3）由于有n个变元，f(x1, x2, …, xn) 成为n元个体函数
举例：father（li），sum（x，y） 约定：如果为单个项，用小写字母x， y，z等作为变元的符号，小写字母a， b，c等作为个体常元符号
谓词、函数、量词
量词：
全称量词--以符号（ x）P(x)来表示对 于某个论域中的所有个体x,都有P(x）真值为T。 （一切，任一，全体，凡是等） 存在量词--以符号（ $ x）P(x)来表示某 个论域中至少存在一个个体x，使P(x) 真值为T。 （存在，有些，至少有一个，有的） 这里，P(x)是任意逻辑语句，也称作量词的 管辖范围（简称辖域）。
第一节
一阶谓词逻辑
本节主要内容： 谓词、函数、量词 谓词公式 谓词逻辑中的形式演绎推理
谓词、函数、量词
谓词：表达式 P(x1, x2, …, xn)
说明： （1）其中，P是谓词符号（简称谓 词）约定用大写英文字母打头作为谓词符 号(Prolog?)。 （2）xi(i=1,2,…n)是参数项（简 称项） （3）由于有n个参数项，P(x1, x2, …, xn)表示了一个n元谓词公式。
谓词公式：连词和量词（见上）
谓词公式是谓词演算的基本单元，也称为原子公式。通过 引入连词和量词，可以把原子公式组合为复合谓词公式。 1） 连词 谓词演算中使用的连词主要有:¬ （非）、∧（与）、∨（或）、 =>（蕴涵，也表示为 ->）和（等价，也表示为 ↔）。 看几个例子： ¬ Inroom(Robot,R2) Isa(Liming, Student)∧Lives(Liming,House1)∧Color(House-1, White) Isa(Wang, Teacher)∨Isa(Wang, Officer) At(Liming,School)=>At(Wang, School) At(Liming,School)At(Wang, School)
谓词、函数、量词
量词举例： (x)[Robot(x)=>Color(x, Gray)],所有机器人 都是灰色的； (x)[Road(x) Lead(x, Roma)],条条大路通罗 马； （$x)[Isa(x,Robot)∧Inroom(x,R1)],至少有一 个机器人在房间R1 中； （x)($y)[Person(x)∧Book(y)∧Give(Mary,x, y)]，Mary给每个人一本书。 （x)[Person(x)∧Give（Mary,x,y）], Mary给 每人某个同样的东西。
谓词公式
谓词公式的一般形式是： P(x1, x2, …, xn) 其中，P是谓词符号（简称谓词），xi(i=1,2,…n)是参数项 （简称项）；由于有n个参数项，P(x1, x2, …, xn)表示了 一个n元谓词公式。项可以是常量、变量或函数。 例如，谓词公式Inroom(Robot, L1)包括2个常量项， Married(father(L1), x)包括函数项father(L1)和变量项x, father(L1)映射L1到他的父亲。为避免混淆和增加表示的 清晰性，谓词和常量项通常以首字母大写的形式来表示， 而函数和变量则以小写字母的形式表示。 当一谓词公式中不含变量，或变量值均取定时，谓词 公式所表示的事物间的关系也就唯一确定。若这种关系在 应用域确实存在，则谓词公式取值为真（记为T），否则为 假（记为F）。在这个意义上，每个谓词公式均有一个确定 的真值：T或F。
谓词公式
谓词公式的永真性和可满足性 1） 谓词公式的永真性 若某谓词公式P对于某论域D上的所有可能的解释都有真值 T，则称P在D上是永真的；若P在每个可能的非空论域上均永真， 则称P是永真的。 2） 谓词公式的可满足性 对于谓词公式P，若在论域D上至少可以建立一个解释，使 P有真值T，则称P在D上是可满足的；若至少有一个论域使P可 满足，则称P是可满足的。 3） 谓词公式的永假性 若某谓词公式P对于论域D上的所有可能的解释都有真值F， 则称P在D上是永假的(即不可满足的)；若P在每个可能的非空 论域上均永假，则称P是永假的。
6）结合律 (P∧Q)∧R P∧(Q∧R） (P∨Q)∨R P∨（Q∨R） 7）逆否律 P Q Q P 8）量词否定 ¬ ($x)P(x) (x)(¬ P(x)) ¬ (x)P(x) （$x)(¬ P(x)) 9) 量词分配 (x)[P(x)∧Q(x)] (x)P(x)∧(x)Q(x) ($x)[P(x)∨Q(x)] （$x）P(x)∨($x)Q(x) 10) 约束变量的虚元性（约束变量名的变换不影响合适 公式的真值） (x)P(x) (y)P(y) ($x)P(x) ($y)P(y)