渤海大学《629量子力学》考研真题详解
量子力学考研试题及答案
量子力学考研试题及答案一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 量子力学中,波函数的平方代表粒子的什么物理量?A. 动量B. 能量C. 位置D. 概率密度答案:D2. 以下哪项是海森堡不确定性原理的表述?A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案:B3. 薛定谔方程描述的是:A. 经典力学B. 电磁学C. 量子力学D. 热力学答案:C4. 泡利不相容原理适用于:A. 光子B. 电子C. 质子D. 中子答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 根据量子力学,一个粒子的波函数可以表示为 \(\psi(x, t)\),其中 \(x\) 代表粒子的________,\(t\) 代表时间。
答案:位置2. 量子力学中的波粒二象性表明,粒子既表现出________的性质,也表现出粒子的性质。
答案:波动3. 量子力学中,一个粒子的能量可以表示为 \(E =\frac{p^2}{2m}\),其中 \(p\) 代表粒子的________。
答案:动量4. 量子力学中的隧道效应是指粒子可以穿过________的势垒。
答案:经典物理认为不可能三、简答题(每题10分,共30分)1. 简述德布罗意波的概念及其在量子力学中的意义。
答案:德布罗意波是指物质粒子(如电子)具有波动性,其波长与粒子的动量成反比。
在量子力学中,这一概念是波函数理论的基础,它表明粒子的行为不能完全用经典力学来描述,而是需要用波动方程来描述。
2. 描述一下量子力学中的量子态叠加原理。
答案:量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加,直到进行测量时,系统才会坍缩到其中一个特定的状态。
这一原理是量子力学的核心特征之一,它导致了量子力学的非经典行为和概率解释。
3. 解释什么是量子纠缠,并给出一个实际应用的例子。
答案:量子纠缠是指两个或多个量子粒子之间存在的一种非经典的强关联,即使它们相隔很远,一个粒子的状态改变会即时影响到另一个粒子的状态。
量子力学考研试题及答案
量子力学考研试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 量子力学中,粒子的波函数ψ(x,t)描述了粒子的哪种物理量?A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子在空间的分布概率D. 粒子的能量答案:C2. 海森堡不确定性原理表明了哪两个物理量的不确定性之间存在关系?A. 位置和能量B. 动量和时间C. 动量和位置D. 时间和能量答案:C3. 在量子力学中,一个粒子的波函数在某个位置的概率密度是该波函数在该位置的什么?A. 绝对值的平方B. 对数C. 导数D. 积分答案:A4. 根据泡利不相容原理,一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数,这些量子数包括哪些?A. 主量子数和磁量子数B. 主量子数、磁量子数和自旋量子数C. 所有四个量子数D. 主量子数和自旋量子数答案:B5. 薛定谔方程是一个描述什么的波动方程?A. 粒子的波动性质B. 粒子的运动轨迹C. 粒子的能量分布D. 粒子的动量分布答案:A6. 在量子力学中,一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述?A. 矩阵B. 向量C. 张量D. 标量答案:B7. 量子力学中的隧穿效应是指什么?A. 粒子通过一个高于其能量的势垒B. 粒子在两个势垒之间振荡C. 粒子在势垒内部反射D. 粒子在势垒外部反射答案:A8. 在量子力学中,一个二能级系统在两个能级间跃迁时,必须吸收或发射一个具有特定能量的光子,这个能量差是由什么决定的?A. 两个能级的差B. 光子的频率C. 系统的总能量D. 系统的动量答案:A9. 量子纠缠是指两个或多个粒子之间的一种什么关系?A. 经典力学关系B. 量子力学关系C. 热力学关系D. 电磁相互作用答案:B10. 下列哪个原理说明了在量子力学中测量一个物理量会改变系统的状态?A. 海森堡不确定性原理B. 哥本哈根解释C. 德布罗意假说D. 薛定谔猫佯谬答案:B二、简答题(每题10分,共40分)11. 简述德布罗意假说的内容及其对量子力学发展的意义。
2021年量子力学考研真题精解精析50题(1-10)【圣才出品】
【解题思路】
①研究体系处在线性谐振子势场中,有关单个体系在谐振子势中的问题,一般可以通过
求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量,确定体系的波函数,研究对象的量子状
态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题,都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子,它们之间存在自旋-自旋相互作用,利用角动量的合成来
即 所以
Sˆ1
Sˆ2
1 (Sˆ 2 2
Sˆ12
Sˆ22 )
Hˆ
JSˆ1 Sˆ2
Hˆ
J 2
(Sˆ 2
Sˆ12
Sˆ22 )
因为
S1
S2
1 2
所以两粒子是费米子,满足费米狄拉克统计,体系的总波函数要求交换反对称,并且 S
=0 或者 S=1。
因为 Hˆ 0 Hˆ ,所以体系基态选择 n1 n2 0 ,因此体系坐标部分的波函数为
J
J
iJ
b.力学量 (Jˆ 2, Jˆz ) 的共同本征函数 jm ,满足
J2
jm Jz
jm
j( j 1)2 m jm
jm
其中
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m j, j 1,......., j 1, j
解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中,涉及到不同自旋的粒子,即玻色子和费米子,可以通过它们满足的统
计性质来决定在势场中的分布情况,从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】
(1)对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量
由薛定谔方程
Hˆ 0
pˆ 2 2m
2021量子力学考研配套考研真题解析
2021量子力学考研配套考研真题解析一、真题精解精析1当前冷原子物理研究非常活跃,在实验中,粒子常常是被束缚在谐振子势中,因此其哈密顿量为。
假设粒子间有相互作用,其中分别代表粒子1和粒子2的自旋,参数J>0。
(1)如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中,试写出基态能量和基态波函数;(2)如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中,试写出基态能量和基态波函数。
(注意:参数在不同范围内,情况会不同)[浙江大学2014研] 【解题思路】①研究体系处在线性谐振子势场中,有关单个体系在谐振子势中的问题,一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量,确定体系的波函数,研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题,都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子,它们之间存在自旋-自旋相互作用,利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中,涉及到不同自旋的粒子,即玻色子和费米子,可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况,从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】(1)对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量由薛定谔方程得本征能量为本征波函数为两粒子间有相互作用设因此即所以因为所以两粒子是费米子,满足费米狄拉克统计,体系的总波函数要求交换反对称,并且S=0或者S=1。
因为,所以体系基态选择,因此体系坐标部分的波函数为满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换反对称,所以自旋部分的波函数满足交换反对称,即所以体系的基态波函数为基态能量为(2)当S1=S2=1时,体系中两个粒子为玻色子,满足玻色爱因斯坦统计,体系波函数要求交换对称。
因为,所以体系基态选择n1=n2=1。
因此体系坐标部分的波函数为满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换对称性,所以自旋部分的波函数满足交换对称,即所以体系的基态波函数为基态能量为【知识储备】①一维线性谐振子势能满足方程本征值本征函数其中②两个角动量的耦合a.体系的总角动量满足角动量的一般对易关系b.力学量的共同本征函数,满足其中③两个电子的自旋函数若不考虑两电子自旋相互作用,两电子对称自旋波函数和反对称自旋波函数分别写为其中表示第1(2)个电子处于自旋向上或向下的态。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
ˆ和J ˆ 间夹角的可能值,并画出 L ˆ和S ˆ, S ˆ 的矢量模型图。 (3) 确定(2)中 L 五、求在一维常虚势场 iV (V E ) 中运动粒子的波函数,计算几率流密度,并证明虚 势代表粒子的吸收,求吸收系数(用 V 表示) 。
试题名称:1990 量子力学(实验型) 第1页 共1页
试题名称:1992 量子力学(理论型)
第1页
共1页
6
中国科学院-中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称: 量子力学(实验型)
说明:共五道大题,无选择题,计分在题尾标出,满分 100 分。
一、简单回答下列问题: (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别? (3) 如图所示,一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器,试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号( l1 l2 ) 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量,相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素( e e 束缚态)类似于氢原子,只是用一个正电子代替质子作为核,在非 相对论极限下,其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里,存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论,计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差,决定哪一个能量更低。对普通的氢原子,基态波函数: 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
《量子力学》22套考研自测题+答案
(2)求自旋角动量的 z 分量 sz 的平均值;
(3)求总磁矩 M = − e L − e s
2μ μ
的 z 分量 M z 的平均值。
12. s 、L 分别为电子的自旋和轨道角动量,J = s + L 为电子的总角动 量。证明:[ J , s ⋅ L ]=0;[ J 2 , Jα ]=0,α = x, y, z。 13.质量为 μ 的粒子受微扰后,在一维势场中运动,
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量子力学自测题(5)
一、 填空题(本题 20 分)
1.Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性,Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
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电磁场理论和原子的
之间的矛盾,解决了原子的
的起源问题。
2.力学量算符必须是
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量子力学自测题(3)
一、 简答题(每小题 5 分,共 40 分)
1.一粒子的波函数为ψ (r ) = ψ (x, y, z) ,写出粒子位于 x ~ x + dx 间的几
率。
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2.粒子在一维δ 势阱V (x) = −γ δ (x), (γ > 0),中运动,波函数为ψ (x) ,
ψ (1,2,),试证明交换算符 Pˆ12 是一个守恒量。 2.设Uˆ 是一个幺正算符,求证 Hˆ = i dUˆ ⋅Uˆ + 是厄米算符。
dt
3.设σ y 为 Pauli 矩阵, (1)求证: eiθσ y = cosθ + iσ y sinθ (2)试求:Treiθσ y
量子力学考研2021配套考研真题集
量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析设氢原子处在R21Y1—1态,(1)求势能的平均值;(2)求轨道角动量的平均值。
[复旦大学2004研]【解题思路】①氢原子电子所受到的是中心力场,能量只和主量子数n有关,这和氢原子势场的对称性相关;②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂,可以运用维里定理;③轨道角动量力学量的本征方程。
【解析】(1)对于中心力场,由维里定理可得因为所以(2)令所以因此所以【知识储备】①氢原子本征方程本征能量为其中本征波函数为ψnlm(r,θ,φ)=R nl(r)Y lm(θ,φ)②维里定理如果势场是r的n次函数,则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为③(L2,L z)有共同的本征函数——球谐函数Y lm(θ,φ)角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为相应的本征方程分别为【拓展发散】假定氢原子的波函数为,可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。
7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动(转子)。
已知开始时系统处于状态,A为常数。
(1)写出t时刻系统的波函数;(2)求出t时刻系统的平均能量。
[中国科学技术大学2012研] 【解题思路】根据含时薛定谔方程,从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态,对于哈密顿量的平均值,可以直接使用力学量的平均值求解。
【解析】(1)以所在平面为XOY平面,则系统的哈密顿量可以写为:其中,为转子的转动惯量。
从而定态薛定谔方程为:容易解得相应的能量本征值为:可见,对于,能级是二重简并的;当时,能级非简并。
对于态,先归一化。
利用,可得,从而我们已经将按哈密顿量的本征矢展开,则t时刻系统的波函数可以直接写出:(2)t时刻系统的平均能量为:其中。
【知识储备】 ①薛定谔方程波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U (r →,t )与t 无关时,可以利用分离变量法,将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑,y (r →)满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
量子力学考试题讲解及答案
量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 量子力学中,波函数的平方代表的是:A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子出现的概率密度D. 粒子的能量答案:C2. 根据海森堡不确定性原理,下列说法正确的是:A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案:B3. 薛定谔方程是用来描述:A. 经典力学系统B. 热力学系统C. 量子力学系统D. 电磁学系统答案:C4. 量子力学中的波粒二象性是指:A. 粒子有时表现为波动性,有时表现为粒子性B. 粒子总是同时具有波动性和粒子性C. 粒子只具有波动性D. 粒子只具有粒子性答案:B5. 量子力学中,哪个假设是关于测量的?A. 叠加原理B. 波函数坍缩C. 泡利不相容原理D. 量子纠缠答案:B二、填空题(每题2分,共10分)1. 量子力学中的波函数通常用希腊字母________表示。
答案:Ψ2. 量子力学中的德布罗意波长公式为λ = ________。
答案:h/p3. 在量子力学中,一个粒子的总能量可以表示为E = ________ + V。
答案:K.E.4. 费米子遵循的统计规律是________统计。
答案:费米-狄拉克5. 量子力学中的测不准原理是由海森堡提出的,其数学表述为ΔxΔp ≥ ________。
答案:h/4π三、简答题(每题5分,共20分)1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。
答案:波函数坍缩是指在量子力学中,当一个量子系统的状态被测量时,系统的波函数会从多个可能的状态中“选择”一个确定的状态,这个过程称为波函数坍缩。
2. 解释量子力学中的叠加原理。
答案:叠加原理是指在量子力学中,一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加,即系统的波函数可以是多个不同状态波函数的线性组合。
3. 描述量子力学中的泡利不相容原理。
答案:泡利不相容原理指出,两个相同的费米子(如电子)不能处于同一个量子态,即它们不能具有相同的一组量子数。
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渤海大学《629量子力学》考研真题详解
2021年渤海大学物理科学与技术学院《629量子力学》考研全套
目录
•全国名校量子力学考研真题汇编
说明:本科目考研真题不对外公布(暂时难以获得),通过分析参考教材知识点,精选了有类似考点的其他院校相关考研真题,以供参考。
2.教材教辅
•周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解•周世勋《量子力学教程》(第2版)配套题库【考研真题精选+章节题库】说明:以上为本科目参考教材配套的辅导资料。
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试看部分内容
绪论
1.1 复习笔记
在十九世纪末、二十世纪初,经典物理取得了巨大的成功,牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程,但在物理大厦落成的同时,物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。
之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望,它们也为量子力学的发展奠定了基础。
现代物理学中的两大支柱(量子力学、相对论)逐步验证并解释物理实验中的现象的同时,量子力学自身也在不断完善,并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论,以及当下试图对引力场解释的超弦理论。
所以,不论是为了备考还是为了将来的物理学科研,学习好量子力学是十分重要的。
量子力学是现代物理学的基石,也是物理科研必备的工具。
【本章重难点】
1.了解经典物理的成功和所面临的危机,以及量子力学的发展历史;
2.掌握德布罗意波粒二象性关系;
3.熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。
一、波粒二象性(见表1-1-1)
表1-1-1 波粒二象性相关概念
图1-1-1 康普顿散射
二、原子结构的玻尔理论
1经典理论在解释原子结构上的困难
(1)经典理论不能建立一个稳定的原子模型(运动的带电粒子发射电磁场);
(2)经典理论得出的频率是连续分布的,而实验中的原子光谱是分立的。
2玻尔假设
表1-1-2 玻尔假设
3索末菲量子化条件的推广
式中,q是电子的一个广义坐标;p是对应的广义动量,回路积分是沿运动轨道积一圈;n是0和正整数,称为量子数。
该推广后的量子化条件可应用于多自由度的情况。
4玻尔理论缺陷
(1)当理论应用到结构稍复杂于氢原子的其他原子比如氦原子时,结果与实验不符;
(2)只能求出谱线的频率,而不能求出谱线的强度。
三、德布罗意波粒二象性假说
1德布罗意公式
德布罗意受光的波粒二象性启发,提出微粒具有波粒二象性的假
设,即微粒的粒子性(E ,p →)与波动性(υ,λ或ω,k )的关系满
足:
2戴维孙-革末的电子衍射实验
图1-1-2
戴维孙和革末把电子束正入射到镍单晶上(如图1-1-2所示),观察散射电子束的强度和散射角之间的关系,证实了德布罗意假说的正确性,即电子具有波动性。
考研真题精选
一、填空题
11924年,德布罗意提出物质波概念,认为任何实物粒子,如电子,质子,也具有波性,对于具有一定动量p的自由粒子,满足德布罗意关系:______;假设电子由静止被150伏电压加速,加速后电子的物质波波长为:______。
[北京大学2005研]
【答案】,;8.9×10-41m
2对宏观物体而言,其对应的物质波长极短,所以宏观物体波动性很难被我们观察到,但最近发现介观系统(纳米尺度下的大分子)在低温下会显示出波动性。
计算1K时,C60团簇(由60个C 原子构成足球状分子)热运动对应的物质波波长为:______。
[北京大学2005研]
【答案】2.9×10-10m
二、判断题
1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。
[北京大学2 006研]
【答案】对查看答案
【解析】在量子力学中,表示力学量的算符都是厄米算符。
2设体系处于定态,则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。
[北京大学2006研]
【答案】错查看答案
【解析】力学量F ∧的平均值随时间的变化满足:
若(即力学量F ∧的平均值不随时间变化),则称F ∧为守恒量。
力学量F ∧为守恒量的条件为:∂F/∂t =0且[F ,H]=0。
不含时力学量F ∧的测量值随时间改变可以表示为:
因此,力学量F ∧的平均值是否变化不能确定,对于定态而言,任何
一个波函数都可以用力学量F ∧的本征函数表示,在各个本征函数
中,力学量F ∧所取值的大小是确定的。
因此可以推断,力学量F ∧的测量值的概率分布也不能确定。
3一维粒子的本征态是不简并的。
[北京大学2006研]
【答案】错查看答案
【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定,可以举例说明。
比如,一维无限深方势阱,若势能满足:
在阱内(),体系所满足的定态薛定谔方程为:
在阱外(),定态薛定谔方程为:
体系的能量本征值为:
本征函数为:
所以,显而易见,一维无限深方势阱的本征态是简并的。
4二电子的体系的自旋波函数,对于自旋交换必须反对称。
[北京大学2006研]
【答案】错查看答案
【解析】对于二电子的体系而言,由于电子是费米子,所以满足费米狄拉克统计,也就是体系的总波函数满足交换反对称,体系的总波函数为ψ(r1r2;s1s2)=ϕ(r1r2)χ(s1s2)。
对于自旋部分,若不考虑两电子自旋相互作用,两电子对称自旋波函数χs和反对称自旋波函数χA分别写为:
①
②
③
④
其中表示第1(2)个电子处于自旋向上或向下的态。
对于电子的坐标部分,可以取与自旋部分相反的交换对称性,也就是,对于交换对称的①②③三种情况的自旋波函数,坐标部分可以取交换反对称,对于交换反对称的④情况的自旋波函数,坐标部分可以取交换对称的波函数。
5,式中。
[南京大学1998研]
【答案】错查看答案
【解析】利用对易关系式可得。