二次函数与幂函数知识梳理.docx
幂函数与二次函数基础梳理
幂函数与二次函数基础梳理1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．练习检测1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 解析 由⎩⎨⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎨⎧f (1)＝1，f (b )＝b ，b >1，即⎩⎨⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2. 答案 C5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎨⎧a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋46.函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1综上可知g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解． 7. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5. 8.已知幂函数)()(*322N m x x f m m ∈=--的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33)23()1(m m a a ---<+的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0 或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32. 故a的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．9.(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .(1分)①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2. 令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分) ②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a2时， f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；(7分)③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减， ∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2， 令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分) 综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5. ∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．10. 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1. 综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。
高三数学知识点总结9：二次函数和幂函数
（十一）二次函数一．二次函数解析式（1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f（3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二．二次函数的对称轴（1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =.三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值（1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n ab =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(22max m f y n m a b =+>-，. （2）0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-，；2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<，；3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-；2.)(22min m f y n m a b =+>-，. 四．三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布（1）数的角度：① 两实根异号等价于0<a c ；② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。
幂函数与二次函数讲义
幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。
第七讲 幂函数和二次函数(解析版)
第七讲幂函数和二次函数【基础知识】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质【考点剖析】考点一 幂函数的图象和性质【典例1-1】（2021·河南高三月考（文））已知， 3.83.9b =，， 3.83.8d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．d c b a <<< B ．d b c a <<< C ．b d c a >>> D ．【答案】B 【详解】 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当()e,x ∈+∞时，()0f x '<， 故()f x 在上单调递减， 所以， 所以，即，所以 3.8 3.9ln 3.9ln 3.8<， 所以 3.8 3.93.9 3.8<； 因为在上单调递增， 所以 3.8 3.83.8 3.9<， 同理 3.9 3.93.8 3.9<， 所以，即d b c a <<<.【典例1-2】（2020·全国高三专题练习）若为幂函数，则(3)f =（ ）A B ．C ．9D ．19【答案】C 【详解】由题意 ， 解得1m = ， 所以2()f x x = ， 所以(3)9f = 故选：C.【跟踪训练1】（2020·四川眉山市·仁寿一中高三月考（文））已知()11x xa f x a +=-(1a >)，函数()g x 为幂函数且过点，则函数的图象大致为 A ． B ． C ． D ．【答案】A 【详解】因为函数()g x 为幂函数，所以设()g x x α=，则112,122g αα⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()1g x x =.由已知()11x xa f x a +=-(1a >)，，故()f x 为奇函数，且函数()1g x x =为奇函数，则函数为偶函数，排除B ，D.又0x →时，()(),f x g x →+∞→+∞，()h x →+∞，故选A.【跟踪训练2】（2021·新疆阿勒泰地区·布尔津县高级中学高三三模（理））已知3,3,a b c ππππ===，下列说法正确的是（ ） A ．B ．C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【详解】 解：幂函数y x π=在上单调递增，又3π<，3πππ∴<，即b c <，构造ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<；()f x 在(),e +∞上单调递减，3π<，ln 3ln 3ππ∴>，即ln 33ln ππ>， 3ln 3ln ππ>， 33ππ∴>，即b a >，综上，c b a >>， 故选：D.【跟踪训练3】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．D ．【答案】D 【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：，又(,)a b 在20mx ny -+=上， ∴2m n +=，即，则且02m <<， ∴.考点二 二次函数的解析式【典例2-1】（2021·全国高三其他模拟（文））已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ） A ．221x x -+ B ．221x x ++ C ．2221x x -+ D ．2221x x +-【答案】B 【详解】设，则()2f x ax b '=+， 由()()21f x x f x '=+-可得，所以，，解得，因此，()221f x x x =++.故选：B.【典例2-2】（2020·麻城市第二中学高三月考（文））已知二次函数21y ax bx =++的图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)P -，则,a b 的值分别是（ ） A ．2,4 B ．2,4-C ．2,4-D ．2,4--【答案】C 【详解】∵21y ax bx =++图象的对称轴是1x =， ∴12ba-=①， 又图象过点(1,7)P -，∴，即6a b -=②， 联立①②解得2a =，4b =-， 故选：C.【跟踪训练1】（2017·铜梁一中高三月考（文））如果二次函数21y ax bx =++的图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)A -，则（ ） A ．a =2，b =4 B ．a =2，b =－4C ．a =－2，b =4D ．a =－2，b =－4【答案】B 【详解】由题得，解之得a =2，b =－4.【跟踪训练2】（2020·山东高三专题练习）已知二次函数的图象的顶点坐标为(11)，，且过点，则该二次函数的解析式为（ ） A ．21y x =+ B ．()211y x =--+ C ． D ．【答案】C 【详解】设二次函数的解析式为()211y a x =-+，将代入上式，()22211a =-+得1a =， 所以.【跟踪训练3】（2020·全国高三其他模拟（文））已知二次函数()2f x x bx c =++，且是偶函数，若满足，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．由b 的范围决定D ．由b ，c 的范围共同决定【答案】B 【详解】 是偶函数，，函数()f x 关于2x =对称，242bb -=⇒=-，， ()()()()2222442f a a f a c a c -->⇒+>⇒->-或2a <-，故选：B.考点三 二次函数的图象及应用【典例3-1】（2020·全国高三其他模拟）函数和函数（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ） A ．①④ B ．②③C ．③④D ．①②③【答案】B 【详解】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得， 若0c <，则，此时，02ba->， 又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求； 若0c >，则，此时，02ba->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求； 由③④中函数()g x 的图象得， 若0c >，则，此时，02ba->， 又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求； 若0c <，则，此时，02ba->， 又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．【典例3-2】（2019·浙江高三专题练习）不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<， ∴，∴，2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C ．【跟踪训练1】（2020·六安市城南中学高三月考（文））如果函数()2f x x bx c =++对任意的实数x ，都有，那么（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【详解】2()f x x bx c =++对任意的实数x ，都有，函数2y x bx c =++的对称轴方程为12x =-.抛物线开口向上，称轴方程为12x =-，0x =距离12x =-最近，2x =距离12x =-最远，.【跟踪训练2】（2019·江西省信丰中学高三月考（文））已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【详解】由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()x g x a b =+为增函数，，()g x 过定点， 故选：C .【跟踪训练3】（2020·通辽第五中学高三月考（文））已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A ．1(0,)2eB ．C ．1(0,)eD ．【答案】A 【详解】因为函数，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，只需在上，的图象在两个不同的交点，0m <不合题意，当0m >时，20mx >，当， 即交点横坐标在上，假定两函数的图象在点处相切， 即两函数的图象在点处有相同的切线，则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m =，则有()()20000111,ln ln222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =，因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为，此时，的图象在四个不同的交点， 方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，所以a 的取值范围是， 故选：A.考点四 二次函数的性质【典例3-1】（2021·安徽高三其他模拟（理））定义在[0,2]x ∈的单调函数()f x 对任意[0,1]x ∈恒有，且[0,1]x ∈时，()221f x x mx m =-+-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．R【答案】B 【详解】由，可知函数()f x 关于点(1,0)中心对称.因为对任意的[0,2]x ∈，()f x 是单调函数，所以[0,1)x ∈时，()221f x x mx m =-+-是单调的，而二次函数开口向上，对称轴为2mx =， 故当12m≥时，即2m ≥，()f x 在[0,1]x ∈时是单调递减的，根据对称性可知，函数()f x 在上也是单调递减的，又由()120f m =≥>，知()f x 在[0,2]x ∈上是单调递减的；当02m≤，即0m ≤，()f x 在[0,1]x ∈时是单调递增的，根据对称性可知，函数()f x 在上也是单调递增的，又由，知()f x 在[0,2]x ∈上是单调递增的. 综上可得，实数m 的取值范围是．【典例3-2】（2021·全国高三月考（理））设，若不等式恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【详解】令，根据题意得()()()22ln 2222220+=--=+--=+-+->x a x y ea lne x a a x x a x a a 恒成立，即min 0y >成立，因为函数的对称轴为1x a a =->-，所以函数的最小值()()()2min 2122110-+--+-=-=>a a a a a a y ，解得1a >.故选：B .【跟踪训练1】（2021·全国高三专题练习（文））在同一直角坐标系中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，二次函数2y ax bx =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象位于x 轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数2()y ax bx ax b x =-=-，有零点,0b a ．A ，B 选项中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故，故A 错误、B 正确．C ，D 选项中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故01b a <<，故C ，D 错误．故选：B【跟踪训练2】（2021·山西运城市·高三其他模拟（理））函数2285(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在x ∈R 内单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】解：因为函数2285(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在x ∈R 内单调递减，所以，解得1728a ≤≤，所以a 的取值范围为， 故选：C【跟踪训练3】（2021·陕西安康市·高三月考（理））已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【详解】若()0f x <对[1,3]x ∈恒成立，则解得3m >，是的真子集，所以“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的必要不充分条件.【真题演练】1．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知函数，其中01a b <<<，则下列不等式不成立的是（ ） A．2a bf +< B．f C ． D ．【答案】B 【详解】()f a a =，()f b b =，且，函数()f x 是开口向上的抛物线，如图，01a b <<<，01a b ∴<<<<2a b+<是点C 对应的函数值，一定大于f ，即，故A 正确；设，01a b <<<，01a b ∴<<<<，即f <B 不正确.，对称轴是12a b x +-=， 与对称轴间的距离是12，a 与对称轴间的距离是，b 与对称轴间的距离是， 那么比较与()f a ，f b 的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，函数值越大，即， ，故CD 正确.2．（2021·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根1234x x x x <<<，且1234,,,x x x x 成等差数列，则-a b 不可能是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【详解】设的两个不同零点为m ，n ，且m>n ， 所以，240a b ∆=->，且， 又因为有四个不同的根1234x x x x <<<，所以221x x m +-=对应的根为14,x x ，221x x n +-=对应的根为23,x x ， 所以，，所以22224141414141()2()444(1)x x x x x x x x x x m -=+-=+-=++， 同理22223232323232()2()444(1)x x x x x x x x x x n -=+-=+-=++， 因为1234,,,x x x x 成等差数列，所以41323()x x x x -=-，则224132()9()x x x x -=-所以，解得169m n =+，因为m>n ，所以，解得2n >-，所以2()(1610)(169)92616a b m n mn n n n n n -=-+-=-+-+=---21325999n ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，所以当139n =-时，-a b 有最大值， 所以-a b 不可能为3. 故选：D3．（2021·河北衡水中学高三三模）己知1log 14a <，，141a <，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．1,D ．【答案】A 【详解】 由1log 14a<，得1a >或104a <<，由，得0a >，由141a <，得01a <<， ∴当1log 14a <，，141a <同时成立时，取交集得104a <<，故选：A.4．（2019·吉林高三其他模拟（理））设1515a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】D 【详解】因为1515a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则63015a ⎛⎫== ⎪⎝⎭103013b ⎛⎫== ⎪⎝⎭153012c ⎛⎫== ⎪⎝⎭由于在被开方数中，a 的被开方数大于c 的被开方数，c 的被开方数大于b 的被开方数， 故有a c b >>， 故选：D.5．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x ）＝x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____． 【答案】﹣1 【详解】因为幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上单调递减， 所以α为负数， 因为， 所以1α=-【过关检测】1．已知实数0,0x y ≥≥，且1x y +=，则x ）A ．85B ．2C ．D 【答案】A 【详解】解法一：由1x y +=得到1y x =-，则[0,1]x ∈，所以x x令则0z >，所以两边平方得224(28)40x z x z +-+-=在[0,1]x ∈上有解， 所以解得：85z ≥或0z ≤（舍去）， 85z =时，函数22436()4525f x x x =-+， 其中()f x 的对称轴为35x =，3()05f =，满足在[0,1]上有零点，满足题意，所以x 85.解法二：设2y y '=，则12y x +'=， 如图，作O 关于直线12y x +'=的对称点, 设(),M x y ，因为，解得， 如图所以 故选：A.2．已知函数()21,12,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩.若，都有，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．C ．D ．【答案】B 【详解】依题意可知，函数()f x 在R 上是增函数，则，解得13a .3．设0a >，0b >，若，则（ ） A ．a b < B ． a b >C ．23a b =D ．34a b <【答案】B 【详解】因为0a >，所以，所以，因为函数，在上单调递增，且,0a b >，所以a b >. 故选:B4．已知，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程在上有解，则m 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．{}3D ．{}4【答案】D 【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程在上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.5．已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在上单调递增的概率为（ ）A ．18B ．38C ．58D ．78【答案】D 【详解】因为a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在上单调递增 所以242≤⇒≤bb a a如图所示阴影部分：则所要求的概率为14414147244168⨯-⨯⨯===⨯P 故选：D6．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ，则下列说法是正确的是（ ） A ． B ．sin sin x y >C ．2323x y y x<D ．1133x y <【答案】C 【详解】选项A ：当3x =，1y =-时，，所以选项A 错误； 选项B ：当x π=，2y π=时，sin sin 0x π==，sin sin12y π==，所以sin sin x y <，选项B 错误；选项C ：因为23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，又因为x y >，所以＜， 即2233x yx y <，所以2323x y y x <，所以选项C 正确； 选项D ：当8,1x y ==-时，132x =，131y =-，所以1133x y >，所以选项D 错误． 故选：C ．7．函数，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <， 当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以，所以，函数()f x 在上为增函数，排除D 选项.8．已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式的解集为（ ）． A ． B ． C ． D ．【答案】A 【详解】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ，根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数， 所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增； 又，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称； 又，即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到， 所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数， 且其图像关于点(1,2)对称，即有，即 (2)4()f x f x -=-． 由得 ， 即，即，所以 243x x -≤，解得 ．9．幂函数在为增函数，则m 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在上为增函数，符合题意；综上所述：3m =. 故选：B.10．已知幂函数()f x x α=满足，若，，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．D ．【答案】C 【详解】由可得4222αα⋅=，∴14αα+=， ∴13α=，即13f x x .由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴，于是， 又∵，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是.。
幂函数与二次函数教学讲义
幂函数与二次函数教学讲义‖知识梳理‖1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1. (2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减；在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性 函数的图象关于x ＝－b2a对称1．二次函数图象对称轴的判断方法(1)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称． (2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 2．幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征(1)α>1时，图象过(0,0)，(1,1)，下凸递增，例如y ＝x 3.(2)0<α<1时，图象过(0,0)，(1,1)，上凸递增，例如y ＝x 12.(3)α<0时，图象过(1,1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y ＝x －1. 3．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a <0，Δ<0.‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数．(×)(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．(√) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．(×) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.(×) ‖自主测评‖1．(教材改编题)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D.2解析：选C 设f (x )＝x α，∵图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，∴f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，∴f (2)＝2－12＝22.故选C.2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c解析：选B 根据幂函数的性质及图象知选B.3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.4．(教材改编题)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________．解析：由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]，得g (x )在[0,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数． 所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1,3]． 答案：[－1,3]5．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫m 8，＋∞，所以m8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]…………考点一 幂函数的图象与性质………………|自主练透型|……………|典题练全|1．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B 因为函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝1. 2．函数y ＝3x 2的图象大致是( )解析：选C y ＝3x 2＝x 23，其定义域为x ∈R ，排除A ，B ；又0<23<1，图象在第一象限为上凸的，排除D ，故选C.3．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等． (2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．…………考点二 求二次函数的解析式………………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 解法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 解法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|求二次函数解析式的方法|变式训练|1．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16，4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c ＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x22．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.答案：f(x)＝x2－4x＋3………………考点三二次函数的图象与性质…………|多维探究型|……………|多角探明|角度一二次函数的图象【例1】(1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③(2)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (0)<f (2)<f (－2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (－2)<f (0)<f (2)[解析] (1)因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确． 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误．结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误．由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．(2)由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，而抛物线的开口向上，且⎪⎪⎪⎪0－12＝12，⎪⎪⎪⎪2－12＝32，⎪⎪⎪⎪－2－12＝52，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f (－2)>f (2)>f (0)．故选A.[答案] (1)B (2)A 角度二 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0]D ．[－3,0][解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎨⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． [答案] D[迁移探究] (变条件)若把本例中“在区间[－1，＋∞)上是递减的”改为“单调减区间是[－1，＋∞)”，则a ＝________.[解析] 由本例解析知，当a <0，f (x )的递减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3－a 2a ，＋∞，则3－a 2a ＝－1，则a ＝－3. [答案] －3角度三 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a <12，即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； (2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.[迁移探究] (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1,2]上有最大值4，则a 为何值？ [解] f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.角度四 二次函数的恒成立问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[ －1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立； 当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. [答案] (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息． 2．二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．|变式训练|1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C ；又f (0)＝c <0，所以排除B ，选D. 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，a ]上为减函数，所以f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)在[1，a ]上单调递减，即f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (a )＝1，所以a ＝2. (2)因为f (x )在(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2.所以f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，a ＋1]上单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max ＝max{f (1)，f (a ＋1)}，又f (1)－f (a ＋1)＝6－2a －(6－a 2)＝a (a －2)≥0， 所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a .因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，所以f (x )max －f (x )min ≤4，即－1≤a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3.所以实数a 的取值范围是[2,3]．核心素养系列 逻辑推理——分类讨论思想在二次函数问题中的应用【典例】 已知函数y ＝－x 2＋ax －a 4＋12在区间[0,1]上的最大值是2，实数a 的值为________．[解析] 令f (x )＝y ＝－x 2＋ax －a 4＋12＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为x ＝a 2.①当0≤a 2≤1即0≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)，由14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝3或a ＝－2，与0≤a ≤2矛盾，舍去；②当a 2<0即a <0时，y 在[0,1]上单调递减，有y max ＝f (0)，由f (0)＝2⇒－a 4＋12＝2解得a ＝－6；③当a 2>1即a >2时，y 在[0,1]上单调递增，有y max ＝f (1)，由f (1)＝2得－1＋a －a 4＋12＝2，解得a ＝103.综上，得a ＝－6或a ＝103. [答案] －6或103[点评] 二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b 2a为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数.。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数1．幂函数 (1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质定义域2.(1)二次函数的图象和性质(2)①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)(4)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(6)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(7)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．(√)(8)当n＞0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(9)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)(10)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)考点一 二次函数解析式[例1]解析：由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1， 所以必有⎩⎨⎧a ＞0，－a ＝－1.解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x(2)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)， ∴拋物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a 2)21(-x ＋8.∵f (2)＝－1，∴a 2)212(-＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－42)21(-x ＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[方法引航] 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________． 解析：设y ＝a (x －2)2－1，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，∴y ＝12(x －2)2－1. 答案：y ＝12(x －2)2－12．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2是偶函数， ∴ab ＋2a ＝0(a ≠0)，∴b ＝－2，当x ＝0时，2a 2＝4，∴a 2＝2，∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案：－2x 2＋4考点二 二次函数图象和性质[例2] 已知函数(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；(3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f (x )的最小值． 解：f (x )＝(x ＋a )2＋3－a 2，关于x ＝－a 对称， ∵x ∈[－4,6]．①当－a ≤－4，即a ≥4时，f (x )在[－4,6]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－4)＝16－8a ＋3＝19－8a②当－4＜－a ≤6，即－6≤a ＜4时，只有当x ＝－a 时，f (x )min ＝3－a 2， ③当－a ＞6时，即a ＜－6时，f (x )在[－4,6]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (6)＝36＋12a ＋3＝39＋12a . 综上，当a ≥4时，f (x )min ＝19－8a . 当－6≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2. 当a ＜－6时，f (x )min ＝39＋12a .2．若本例已知条件不变，f (x )＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a 的取值范围． 解：要使f (x )＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需⎩⎨⎧f (－a )＜0－4≤－a ≤6f (－4)≥0f (6)≥0即⎩⎨⎧3－a 2＜0，－6≤a ≤4，19－8a ≥0，36＋12a ≥0.解得，－134≤a ＜－3或3＜a ≤198.3．若本例中f (x )＞0在x ∈(0,6]上恒成立，求a 的取值范围． 解：x 2＋2ax ＋3＞0，在x ∈(0,6]上恒成立，即2a ＞－)3(x x +在x ∈(0,6]上恒成立，只需求u ＝－)3(xx +，x ∈(0,6]的最大值．∵x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时，取等号．∴u max ＝－23， ∴2a ＞－23，∴a ＞－ 3.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，∴f (x )＝.答案：C(2)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．3 解析：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·xm 2＋m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2. 又∵函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴m 2＋m －3＞0，∴m ＝2. 答案：B(3)已知f (x )＝21x ，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f )1(a ＜f )1(bB ．f )1(a ＜f )1(b＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(aD ．f )1(a ＜f (a )＜f )1(b＜f (b )解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜b ＜1b ＜1a ，又f (x )＝21x 为增函数， ∴f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(a.答案：C[方法引航] (1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图 象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B.幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a ＞b ＞c ＞d .故选B. 2．若3131)23()1(---<+a a ，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式3131)23()1(---<+a a 等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.答案：(－∞，－1)∪)23,32([规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决． [典例] (本题满分12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的范围； (3)若f (x )＝0的两根都在[0,1]内，求a 的范围．[规范解答] (1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .2分ⅰ.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在]1,0[a上递减，在]1,1[a上递增． ∴f (x )min ＝f )1(a＝1a －2a ＝－1a .4分ⅱ.当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.6分③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，∴a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1a ≥－1恒成立，∴a ≥1.10分(3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a (a ≠0)， 0∈[0,1]，∴0<2a ≤1，∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a >0和a <0.第三层：对称轴x ＝1a 与区间[0,1]的位置关系，左、内、右． (2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知342=a ，323=b ，3125=c 则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b解析：选A.，323442==a ，3231525==c 而函数32x y =在(0，＋∞)上单调递增，所以323232543<<，即b ＜a ＜c ，故选A.2．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a解析：选C.由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6＜1.50.6，所以b ＜a ＜c ，故选C.3．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：选C.A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝x e )1(是非奇非偶函数，B 不正确；C中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C.4．(2014·高考课标卷Ⅰ )设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )≤2⇒⎩⎨⎧ x ＜1，e x －1≤2或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥2131x x ⇒⎩⎨⎧ x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎨⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．答案：(－∞，8]5．(2015·高考天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．解析：由已知条件得b ＝8a ，令f (a )＝log 2a ·log 2(2b )，则f (a )＝log 2a ·log 216a ＝log 2a (log 216－log 2a )＝log 2a (4－log 2a )＝－(log 2a )2＋4log 2a ＝－(log 2a －2)2＋4， 当log 2a ＝2，即a ＝4时，f (a )取得最大值． 答案：4课时规范训练 A 组 基础演练1.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C.设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图象得：a ＜0，b ＜0，c ＞0.选C.2．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则)21(f 的值为( )A.13B.12C.23D.43 解析：选A.设f (x )＝x a, 又f (4)＝3f (2)，∴4a ＝3×2a ，解得a ＝log 23，∴)21(f ＝3log 2)21(3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b 2a ＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)＜f (2)＜f (－2)．5．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．－2＜a ＜2C ．a ＞2或a ＜－2D ．1＜a ＜3解析：选C.∵f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，∴Δ＝a 2－4＞0，则a ＞2或a ＜－2.6．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .结合图象有⎩⎨⎧ Δ≥0f (5)＞0，∴0＜a ≤14. 答案：0＜a ≤147．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎨⎧a ＞0，ac －4＝0. 答案：a ＞0，ac ＝48．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为),8[+∞m ，所以m 8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)．(3)当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝2)22(--k x ＋1－(k －2)24. 由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．B 组 能力突破1．若幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1解析：选B.由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c .若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( )A ．f (p ＋1)＞0B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－12，又∵f (0)＞0，f (p )＜0，∴－1＜p ＜0，p ＋1＞0，∴f (p ＋1)＞0.3．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.由函数图象知，a ＜0，与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac .对称轴x ＝－b 2a＝－1，∴2a －b ＝0. 当x ＝－1时，对应最大值，f (－1)＝a －b ＋c ＞0.∵b ＝2a ，a ＜0，∴5a ＜2a ，即5a ＜b .4．已知幂函数f (x )＝21-x ，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝21-x ＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )， ∴⎩⎨⎧ a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎨⎧ a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5.答案：(3,5) 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．。
第二章 第八节 幂函数与二次函数
[悟一法]
1．二次函数的解析式有三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2.已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定
系数法，根 据题设恰当选用二次函数解析式
对称轴 函数的图象关于直线 x＝－2ba 成轴对称
返回
1．下列函数：①y＝x13；②y＝3x－2；③y＝x4
＋x2；④y＝3 x2，其中幂函数的个数为( )
答案：B
A．1
B．2
C．3
D．4
返回
2 ． (2011·陕 西 高 考 ) 函 数
y
＝
1
x3
的
图
象
是
( ) 答案：B
返回
3.如图所示，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图
时，减
非奇非 偶
增
奇 x∈(0，＋∞)
时，减
x∈(－∞，0)
时，减返回
4．二次函数的图象与性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
[4ac4－a b2，＋∞)
(－∞，4ac4－a b2]
返回
函数
单 调 性
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
象，则|OA|·|OB|等于
答( 案：) B
c A.a
B．－ac
C．±ac D．无法确定
返回
4．(2011•济南模拟)幂函数 y＝f(x)的图象经 过点(4，12)，则 f(14)的值为________．
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．二次函数的图象和性质－∞，＋∞－∞，＋∞ac－b24a，＋∞－∞，4ac－4a－∞，－b2a上单调递－b2a，＋∞上单调递－∞，－b2a上单调递b2a，＋∞上单调递减当b＝0时为偶函数，时为非奇非偶函数3.幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便．2．幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图象和性质的代表．题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，c＝－1，＝－1，8，＝－4，＝4，＝7，∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋(－1)2＝12∴m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a21(2x-＋8.∵f(2)＝－1，∴a21()2x-＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－421()2x-＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知，f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0.即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )2＋2x ＋3，x ∈ 0，6]2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，a ＝2，＋b ＝0，＝1，＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例4已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a .解得a <－1或23<a <32.故a |a <－1或23<a 探究提高(1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α(α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0>02－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0<02－4ac <0.3．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数．失误与防范1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数一、二次函数1. 定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a eq0，a、b和c为常数，x为自变量。
2. 基本性质•二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项的系数a决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
•二次函数的对称轴是一个直线，其方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。
•二次函数的顶点是对称轴上的点，坐标为 $\\left(-\\frac{b}{2a}, f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$。
•当a>0时，二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$；当a<0时，二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
3. 图像变换对二次函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到不同形状的图像。
•平移：设二次函数为f(x)=x2，当向右平移ℎ个单位，得到f(x−ℎ)=(x−ℎ)2；当向上平移k个单位，得到f(x)+k=x2+k。
•伸缩：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标伸缩为原来的m倍，纵坐标伸缩为原来的n倍，得到 $f\\left(\\frac{x}{m}\\right) \\cdot n =\\left(\\frac{x}{m}\\right)^2 \\cdot n = \\frac{n}{m^2}x^2$。
•翻转：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标翻转，得到f(−x)= (−x)2=x2；当纵坐标翻转，得到−f(x)=−x2。
二、幂函数1. 定义幂函数是指形如f(x)=ax b的函数，其中a eq0，a和b为常数，x为自变量。
2. 基本性质•幂函数的图像形状取决于指数b的正负和大小。
当b>0且a>0时，幂函数图像在第一象限上递增；当b>0且a<0时，幂函数图像在第一象限上递减；当b<0时，幂函数图像在第一象限上有一个水平渐近线y=0。
幂函数与二次函数.doc
幂函数与二次函数基础梳理1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象分别如右图．3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a<0)图象上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增 奇偶性当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 对称性图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)(3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．练习检测1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.答案 A2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )．A ．3B ．2或3C ．2D ．1或2解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f (b )＝b ，b >1，即⎩⎨⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2. 答案 C5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋46.函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式；(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式．解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1.当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1综上可知g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．7. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.8.已知幂函数)()(*322N m x x f m m∈=--的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33)23()1(mma a ---<+的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．9.(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ， ∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .(1分) ①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a 2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；(7分)③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．10. 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧ a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。
§ 2.3 二次函数与幂函数
函数的是
ｙ
＝
ｘ，ｙ
＝
ｘ２ ，ｙ
＝
ｘ３ ，ｙ
＝
ｘ
１ ２
，是减函数的是ｙ
＝
ｘ－１ ．
２．幂函数的图象及性质 （１） 一般地，当 α＞０ 时，幂函数 ｙ ＝ ｘα 有下列性质：
ａ．图象都通过点（０，０） 、（１，１） ；
ｂ．在第一象限内，函数值随 ｘ 的增大而增大；
ｃ．在第一象限内，α＞１ 时，图象是向下凸的，０＜α＜ １ 时，图象
（１）
→
不等式 ｆ（ ｘ） ≤０ 解集的子集
ａ，ｂ 的不等式
→ 分离变量得结论
（ ２ ） 考虑命题的否定，把存在性转化为任意性 →
分区间讨论去掉绝对值，利用 → 求补集得结论
函数的最值解决恒成立问题
解析 （１） 易知 Δ ＝ ａ２ －４ｂ＞０，由 ｘ２ ＋ａｘ＋ｂ≤０，
得－ａ－
ａ２ ２
－
４ｂ
≤ｘ≤
－
２ｂｘ
≤
３，
即
ｘ２ ２－ｘ
≤
２ｂ
≤
ｘ２２－＋ｘ３在 ｘ∈［ －１，１］ 上有解．令 ｔ ＝ ２－ｘ，则 ｔ∈［１，３］ ．
ｘ０
＝
－
ｂ ２ａ
｛ｘ ｜ ｘ≠ｘ０ ｝
⌀
ｋ＜ｘ１ ＜ｘ２
无解 Ｒ ⌀
ｘ１ ＜ｋ＜ｘ２
图象
充要条件 根的分布
ìîíïïïïｆΔ－（＞２ｋｂａ０）
＞０， ＜ｋ，
ｋ１ ＜ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｋ２
ìîíïïïïｆΔ－（＞２ｋｂａ０）
＞０， ＞ｋ，
ｋ１ ＜ｘ１ ＜ｋ２ ＜ｘ２ ＜ｋ３
ｆ（ｋ） ＜０ 在（ ｋ１ ，ｋ２ ） 内有且仅有一个根
无限地接近； ｄ．在第一象限内，过（１，１） 点后， ｜ α ｜ 越大，图象下降的速度
幂函数与二次函数
幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的图象和性质例1、已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则的值是（）A．﹣B．1C．D．﹣1例2、若函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m﹣1是幂函数，且y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（2）＝（）A．B．C．2D．4例3、已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）x a+1的图象过函数f（x）＝m x﹣b﹣（m＞0，且m≠1）的图象所经过的定点，则b的值等于（）A．±B．±C．2D．±2答案：A D B练习1、已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），则的值为（）A．﹣2B．C．D．﹣22、若函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m﹣1是幂函数，则m＝（）A．3B．﹣1C．3或﹣1D．3、函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的大致图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b4、已知幂函数f（x）＝（m2﹣3）x m在（0，+∞）上为减函数，则f（3）＝（）A．B．9C．D．35、已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列结论正确的是（）A．y＝f（x）的定义域为[0，+∞）B．y＝f（x）在其定义域上为减函数C．y＝f（x）是偶函数D．y＝f（x）是奇函数6、已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+5）•x m+1为奇函数，则m＝（）A．1B．4C．1或4D．27、已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，则a的值为（）A．3B．﹣1C．﹣3D．18、已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝（）A．﹣1B．2C．3D．2或﹣1要点二、幂函数的综合应用例4、已知函数f（x）＝（m2+m﹣1）x m是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求实数m的值；（2）请画出f（x）的草图．（3）若f（2a﹣1）＞f（a），a∈R成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）是幂函数，则m2+m﹣1＝1，解得m＝﹣2或m＝1，又因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以m＝﹣2；（2）由（1）知，f（x）＝x﹣2，则f（x）的大致图象如图所示：（3）由（2）知，f（x）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上递减，则由f（2a﹣1）＞f（a），得|2a﹣1|＜|a|，即（2a﹣1）2＜a2，可得（a﹣1）（3a﹣1）＜0，解得＜a＜1，又a≠，∴a的取值范围为（，）∪（，1）．练习9、已知幂函数（m∈N*）的图象经过点．（1）试求m的值并写出该函数的解析式；（2）试求满足f（1+a）＞f（4﹣2a）的实数a的取值范围．10、已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）•x﹣2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，又函数g（x）＝2x．（1）求实数m的值，并说明函数g（x）的单调性；（2）若不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0恒成立，求实数t的取值范围．要点三、二次函数的综合应用例5、函数f（x）＝x2﹣（4a﹣1）x+5，在[﹣1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（B）A．B．C．D．例6、对a，b∈R，记，则函数f（x）＝max{x+1，x2+2x+1}的最小值是（D）A．4B．2C．1D．0例7、已知函数（m∈Z）为偶函数．（1）若f（3）＜f（5），求f（x）；（2）在（1）的条件下，求g（x）＝f（x）﹣ax在[2，3]上的最小值h（a）【解答】解：（1）因为f（x）为偶函数，所以﹣2m2+m+3为偶数，又f（3）＜f（5），所以＜，即，所以﹣2m2+m+3＞0，解得，又m∈Z，所以m＝0或m＝1；当m＝0时，﹣2m2+m+3＝3，舍去；当m＝1时，﹣2m2+m+3＝2，成立；所以f（x）＝x2；（2）由（1）知，g（x）＝x2﹣ax，当a≤4时，g（x）在[2，3]上单调递增，函数g （x ）的最小值为h （a ）＝g （2）＝4﹣2a ；当4＜a ＜6时，g （x ）在[2，]上单调递减，（，3]上单调递增， 所以函数g （x ）的最小值为h （a ）＝g （）＝﹣；当a ≥6时，g （x ）在[2，3]上单调递减， 函数g （x ）的最小值为h （a ）＝g （3）＝9﹣3a ；综上，ha ）＝．练习11、已知函数f （x ）＝2x 2+kx ﹣1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，﹣8]∪[﹣4，+∞） B ．[﹣8，﹣4] C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．[﹣4，﹣2]12、函数f （x ）＝﹣x 2+2（a ﹣1）x +2在（﹣∞，﹣4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．[5，+∞）B ．[﹣3，+∞）C ．（﹣∞，﹣3]D ．（﹣∞，﹣5]13、给定函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝x +2，对于∀x ∈R ，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．414、已知函数2()21f x x ax =++， （1）求()f x 在区间[]1,2-的最小值()g a15、已知函数()y f x =是二次函数，且满足(0)3f =，(1)(3)0f f -== （1）求()y f x =的解析式；（2）若[,2]x t t ∈+，试将()y f x =的最大值表示成关于t 的函数()g t ．答案：1、B 2、C 3、A 4、A 5、B 6、B 7、A 8、A 9、f （x ）＝＝a 的取值范围为（1，2]．10、（1）m ＝﹣1 单调递减 （2）t ≤111、A 12、B 13、A14()222,11,1252,2a a g a a a a a -<-⎧⎪∴=-+-≤≤⎨⎪+>⎩15、（1）2()23f x x x =-++；（2）2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩。
二次函数与幂函数知识梳理
二次函数与幂函数【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。
2.幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数1(1,2,3,1,)2y x αα==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】【考点梳理】考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。
（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：2y ax bx c =++（0≠a ），顶点式：2()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的根 2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值：基 本 初 等 函 数图象与性质一次函数 二次函数幂函数常数函数二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+.（1） （2） （3） （4）（1）若2bp a-<，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f q M ==；（3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f p M ==；（4）若2bq a≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==.要点诠释：1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。
第二章二次函数与幂函数
题型一
二次函数的图象和性质
思维启迪
【例 1】 已知函数 f(x)＝x2＋2ax
解析 思维升华
＋3，x∈[－4,6]．
对于(1)和(2)可根据对称轴与
(1)当 a＝－2 时，求 f(x)的最值；
区间的关系直接求解，对于
(2)求实数 a 的取值范围，使
y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调 (3)，应先将函数化为分段函
解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，
解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 适合题意，故选 B.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
幂函数的图象和性质
(2)若(2m＋1)
1 2
1
>(m2＋m－1) 2
，则实数 m 的取值范围是
(
)
A.－∞，－
函数；
时，要依据对称轴与区间的关系
(3)当 a＝1 时，求 f(|x|)的单调
ห้องสมุดไป่ตู้
进行分类讨论； (2) 二 次 函 数 的 单 调 性 问 题 则 主
区间．
要依据二次函数图象的对称轴进
基础知识
题型分类
行分析讨论求解．
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1) 二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x＝2，最 小值为－1，则它的解析式是_y_＝__12_(_x_－__2_)_2－__1_． (2)若函数 f(x)＝2x2＋mx－1 在区间[－1，＋∞)上递增，则 f(－1) 的取值范围是_(_－__∞_，__－__3_]__．
试求 k 的范围．
基础知识
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二次函数与幕函数【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。
2.幕函数(1)了解幕函数的概念.(2)结合函数y = x“(d=l,2,3,-1,丄)的图象，了解它们的图象的变化情况. 【知识网络】基本初等函数图象与性质【考点梳理】考点一、初中学过的函数(一)函数的图象与性质要点诠释：1.过原点的直线的方程，图象，性质;2.函数的最高次项的系数能否为零。
(二)二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：y = cix2 +bx-\-c (GH O),顶点式：y = a(x-h)2 +k (GH O),其中顶点为(h, k),对称轴为直线x = h,零点式：y = a{x - x {\x - x 2)(。
工0),其中 x {,x 2 是方程 ax 2 ^-bx + c = 0 的根2.二次函数y = ax 2+Z?x + c (d>0)在区间［〃,g ］上的最值：二次函数y = ax 2 +bx + c ( a>0 )在区间［p,q ］ ±的最大值为M,最小值为m,令要点诠释：1. 二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值;2. 求二次函数的最值一般要数形结合。
考点二、幕的运算⑴奸二"矿"=丄° Q °)5是正偶数)。
-a (a < 0)1•幕函数y = x a(xe /?)在第一象限的图象特征(1) (2) (4) (1)芈 b 若----- < p ， 2ab b 若则 /W min =/(-—) = m,2a2ab b若 *_〒<q ，则 fM min =/(-—) = m,2a 2a若 q —?'则 /(Qnin =/S )=加，/(^)max 2amax =f(P)= M ;f(p) = M.-巴 1 1 a n-——二］—(m 、ne > 1): —n 小2血(丽)=a(nw N,n> V)= a(n > 1,n 为奇数)考点三、 幕函数的图象与性质b2•幕函数y = x a(xe /?)性质:（1） a>\,图象过（0, 0）、（b 1）,下凸递增，如y = F ； （2） 0 < 6T < 1 ,图彖过（0, 0）、（1, 1）,上凸递增，如y 二兀空；2 （3） a<0,图象过（1, 1）,单调递减，且以两坐标轴为渐近线，^y = x'\y = x^要点诠释：幕函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。
【典型例题】类型一：基本函数的解析式例1・已知二次函数/（兀）满足/U-2） = /（-x-2）,且图像在y 轴上截距为1,在兀轴截 得的线段长为2^2 ,求/(x)的解析式.【解析】【方法一】设/(x) = ax 2 +hx-^-c (QH O),则c = l,且对称轴x = —Z = —2,即b = 4a, 2a/• /(x) = ax 1+ 4ax +1,【方法二】・・•/（无一2） = /（—兀一2）,・••二次函数的图象的对称轴为兀=一2,可设所求函数为/(X ) = ^Z (X + 2)2+/2 (GH O),・・・/(x)截x 轴上的弦长为2近,:./(%)的图像过点(-72-2,0)和(72-2,0),A 4(V2-2) + 2]2+/? = 0,即2d + /? = 0(1) 又・・・/(%)的图像过点(0,1),・・・4a + h = \(2)(1) (2)联立,解得丄，h = -l,姮旦=2血…••吨SI•: f (兀)=非+2无+1 ▲ y1 9 1 9f (x)= — (x+ 2)~ — 1'即 f (x)= — x + 2x +1.【方法三】・・・y = /(x)的图象对称轴x = -2,又|^-%2|= 2A /2,A f(x)与兀轴的交点为(-V2 - 2,0)和(血-2,0),故可设/(兀)=a (兀+血+2)(兀一血+ 2)(4工0), 由 f(0) = 1 可得 a = ~.:./(x) = -(x + V2 + 2)(兀-V2 + 2),即 f(x)=-兀2 + 2兀 +1.2 2【总结升华】二次函数的形式有以下三种：(1) —般形式：f(x) = cix 1 +Z?x + c (GH O), (2) 顶点式(或称配方式)f(x) = a(x-k)2+h (GH O),(3)零点式(或称双根式).广(兀)=。
(兀一兀[)0-兀2)(GH O),(前提：有根)对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题吋，要充分挖掘 题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。
举一反三：【变式】己知二次函数j = /(x)的对称轴为x = -y[2，截兀轴上的弦长为4 ,且过点(0,-1), 求函数的解析式.【答案】・••二次函数的对称轴为x =-迥,可设所求函数为/(X ) = 6/(X + V2)2+/7, 又I /(x)截兀轴上的弦长为4 ,・•・/(兀)过点(-V2 + 2,0)和(-V2-2,0), /(x)又过点(0,-1),心 F d =— 解得|2 ， b = -2・・./(兀)=*(兀 + ")2 _2 ,即 /(X ) = |x 2 + V2x-1. 类型二：函数的图象和性质例2.下图是指数函数(1) y = a x , (2) y = b x , (3) y = c x , (4) y = d'的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是()4。
+ 方=02a + b = -1A. a<h<\<c<dB. h<a<\<d<cC. \ <a<b<c<dD. a < b < \ < d < c【解析】可先分两类，即(3) (4)的底数一定大于1, (1) (2)的底数小于1,然后再从(3) (4)中比较c 、d 的大小，从(1) (2)中比较d 、b 的大小.【答案】B【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答，但作为选择题更多地利用特殊点解决. 举一反三： 【变式】(1)下图的曲线是对数函数y = lo g<, x 图象，已知d 的取值为10, 2, 0.6, 0.25,则曲线 C|, c 2, c 3, C4对应的G 的值依次为 _____________________________⑵ 如图是幕函数y 二屮在第一彖限内的图象，已知0取2,3,*,-1,则曲线C,,C 2,C 3,C 4 对应的a 的值依次为 ____________________________________________ ；沪CT 1【答案】(1)依据对数函数y = \og ax 的图象中的特殊点如图，令y =C由图知点（cj）、（cj）、（cj）、（c2,i）的左右位置关系，有c3<c4<o<c,<c2,・・・相对应的曲线C（,C2,C3,C4的值依次为2、10、0.25、0. 6.（2）依据幕函数y = 在笫一象限内的图象特征，如图，令x = 2,由图知点（2,CJ、（2,C3）. （Ze?）、（2，G）的上下位置关系，有C,<0<C2<l<C3<C4,・・・相对于曲线C,,C2,C3,C4的G依次为一1、丄、2、3.类型三：比较大小1 2 i 2 1 丄例3.比较（一）3 , （—）3 , （一）3这三个数的大小关系.5 2 2【解析】比较式子的结构，依据其异同点选用不同的函数，结合函数的单调性或数形结合比较大小。
1 12 1 1【方法一】考察函数y二（一）*,由于该函数是单调递减函数，故（-）3<（-）3 .2 2 22 1 2 <2 考察函数y二兀3,由于该函数在第一象限是单调递增函数，故（丄）3 >（丄）32 51 2 1 2 1 1 il 1 2 ! 2・・・（一尸,（―，,（―尹这三个数的大小关系是：（一）3> （_）3>（_）35 2 2 2 2 51 1 ± 11【方法-】考察函数尸(尹,由于该函数是单调减函数，^<-)3 <(-)3考察函数尸(”与函数尸(”根据指数函数图彖的分布规律知, 在第-象限时尸(尹的图象位于尸(厂的图象的上方,2 \ - 1 -从而当自变量都取§时,(尹护1 1 11 1 £ 1 £(丄)3这三个数的大小关系是：(-)3> (-)3>(-)32 2 2 5【总结升华】大小比较是此处常见的一类考题。
通常都是构想函数运用函数性质来解决，通常两个同指的幕式比较就构想幕函数，同底的就构想指数函数，若混合比较即插入对数式或底指皆不同的幕式就用搭桥的办法，常用搭桥的思路有选0或选1或根据具体情况构作。
举一反三：【变式】(1)设兀>0,且a x <b x <\ (G>0, b>0),则。
与b的大小关系是()A. b<a<\B. a<b<lC. \<b<aD. \<a<bc b(2)若cT >b>a>l,则log”一，log/’d, log,从小到大依次为__________________ ；【答案】(1)取x = l,知选B。
⑵ log/?- < log：a <\< log6/b；3 b【方法二】令& = 2, b = 3可得log3— < log3 2< 1 < log2 3,故log方一v log/ < 1 < log fl b.2 ~ a类型四：最值问题例4.求函数y 二(-)v一 (丄)"+ 1 (XG [-3,2])的最值.4 21 1 Q【解析】令心尹则"宀“5巧)七,开口向上，对称轴rU-—时，y = 1 ；u = 8时,y = 57 ；比=8时，^=57.【总结升华】1.基本函数的最值问题一般都利用函数的单调性，并数形结合解决之;2.形如y = Aa2x-}-Ba x + C（ «> 0,且a^l）的函数，可以转化为二次函数y = At2 + Bt+C f但应注意/ = /的取值范围.举一反三：【变式】已知兀,yw/?, F + 2y2=2兀+ 8,求x2 + y2的最值。
【答案】由已知得y~ —— x~ 4- x + 4 >T y ~ » 0, — f + x + 4 » 0 即一2 5x54,2于是F +）/ =兀？+（一丄兀？ +兀+ 4）=丄（兀+1）2 +2.2 2 2'•*对称轴x =[—2,4|,7・••当兀=一1 时，X2 y2 = 2；当兀=一2 时，兀2 + y2 = 3 ；当兀=4 时，x2 + ^2=16；7 二当兀=一1时，x2 + y2取得最小值一；2当兀二4吋，F+y2取得最大值16.。