多元线性回归ppt课件
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多元线性回归模型的矩阵表示课件
根据上述公式计算决定系数，需要先根据回归
直线计算 Yi的理论值，然后计算回归残差序列，
再结合样本数据进行计算。
25
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化 二、统计推断和检验 三、预测
26
一、参数估计量的标准化
在满足模型假设的情况下，多元线性回归模型 参数的最小二乘估计量是线性无偏估计。
Y1 0 1 X 11 K X K1 1
Yn 0 1 X 1n K X K n
Y1
Y
Yn
X i1
X i
X i n
1
l
1
0
K
1
n
1 X11 X K1
X l, X1,, X K
1 X1n X Kn
Y 0 1 X 1 2 X 2 K X K X
S.E. of regression 0.007246 Akaike info criterion -6.849241
Sum squared resid 0.000683 Schwarz criterion -6.704381
Log likelihood 57.79393 F-statistic
(1)、变量Y和X1,X K 之间存在多元线性随
机函数关系 Y 0 1X1 K X K ；
(2)、Ei 0 对任意 i 都成立；
(3)、Vari 2 ,与 i 无关；
(4)、误差项不相关，当 i j 时，E i j 0
(5)、解释变量都是确定性的而非随机变量， 且解释变量之间不存在线性关系；
bk k
seˆ(bk )
= bk
seˆ(bk )
t / 2(n-K-1)
如果t 统计量数值不满足上述不等式，意味着 可以拒绝原假设，不能认为第k个解释变量是 不重要的，称模型的第k个解释变量通过了显
直线计算 Yi的理论值，然后计算回归残差序列，
再结合样本数据进行计算。
25
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化 二、统计推断和检验 三、预测
26
一、参数估计量的标准化
在满足模型假设的情况下，多元线性回归模型 参数的最小二乘估计量是线性无偏估计。
Y1 0 1 X 11 K X K1 1
Yn 0 1 X 1n K X K n
Y1
Y
Yn
X i1
X i
X i n
1
l
1
0
K
1
n
1 X11 X K1
X l, X1,, X K
1 X1n X Kn
Y 0 1 X 1 2 X 2 K X K X
S.E. of regression 0.007246 Akaike info criterion -6.849241
Sum squared resid 0.000683 Schwarz criterion -6.704381
Log likelihood 57.79393 F-statistic
(1)、变量Y和X1,X K 之间存在多元线性随
机函数关系 Y 0 1X1 K X K ；
(2)、Ei 0 对任意 i 都成立；
(3)、Vari 2 ,与 i 无关；
(4)、误差项不相关，当 i j 时，E i j 0
(5)、解释变量都是确定性的而非随机变量， 且解释变量之间不存在线性关系；
bk k
seˆ(bk )
= bk
seˆ(bk )
t / 2(n-K-1)
如果t 统计量数值不满足上述不等式，意味着 可以拒绝原假设，不能认为第k个解释变量是 不重要的，称模型的第k个解释变量通过了显
第3章 多元线性回归模型 《计量经济学》PPT课件
于是：
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
0.0003 1.35E 07
15674 39648400
01.0737.71072
⃟ 正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组 XY XXβˆ
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或
ei 0
(**)
X jiei 0
i
(*) 或（ ** ）是多元线性回归模型正规方程 组的另一种写法。
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式
§ 3. 1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型 : 表现在线性回归模型 中的解释变量有多个。
的秩 =k+1 ，即 X 满秩。
假设 2. 随机误差项零均值，同方差。
0
0
0
E
(μ
μ
)
E
1
n
1
n
E
12
n 1
1 n
2 n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
0
2
i E(i )
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟ 随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏 估计量为：
ˆ 2
ei2 n k 1
ee n k 1
第9章多元线性回归-PPT精品文档
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 多元线性回归模型 拟合优度和显著性检验 多重共线性及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的回 归方程 回归方程的拟合优度与显著性检验 多重共线性问题及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归 用Excel和SPSS进行回归分析
统 计 学
(第三版)
2019
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第三版)
统计名言
上好的模型选择可遵循一个称为奥 克姆剃刀(Occam’s Razor)的基本原 理：最好的科学模型往往最简单， 且能解释所观察到的事实。
——William Navidi
9-2 2019年8月
第 9 章 多元线性回归
b1，b假定其他变量不变，当 xi 每变 动一个单位时，y 的平均变动值
9 - 10
2019年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
估计的多元线性回归的方程
(estimated multiple linear regression equation)
9 - 11 2019年8月
9.1 多元线性回归模型 9.1.2 参数的最小二乘估计
统计学
STATISTICS (第三版)
参数的最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ 。即 达到最小来求得 b 0 1 2 k
2 2 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ ) (y y ˆ Q( b ) e i i i 最小 0 1 2 k i 1 i 1 n n
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的回 归方程 回归方程的拟合优度与显著性检验 多重共线性问题及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归 用Excel和SPSS进行回归分析
统 计 学
(第三版)
2019
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第三版)
统计名言
上好的模型选择可遵循一个称为奥 克姆剃刀(Occam’s Razor)的基本原 理：最好的科学模型往往最简单， 且能解释所观察到的事实。
——William Navidi
9-2 2019年8月
第 9 章 多元线性回归
b1，b假定其他变量不变，当 xi 每变 动一个单位时，y 的平均变动值
9 - 10
2019年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
估计的多元线性回归的方程
(estimated multiple linear regression equation)
9 - 11 2019年8月
9.1 多元线性回归模型 9.1.2 参数的最小二乘估计
统计学
STATISTICS (第三版)
参数的最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ 。即 达到最小来求得 b 0 1 2 k
2 2 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ ) (y y ˆ Q( b ) e i i i 最小 0 1 2 k i 1 i 1 n n
多因变量的多元线性回归课件
多因变量的多元线性回归课件
contents
目录
• 引言 • 多因变量的多元线性回归模型 • 多因变量的多元线性回归的评估指标 • 多因变量的多元线性回归的实例分析 • 多因变量的多元线性回归的优缺点与改
进方向 • 多因变量的多元线性回归在实际应用中
的注意事项
01
引言
多元线性回归的定义与背景
多元线性回归的定义
模型选择
根据实际问题和数据特点，选择合适的多元线性回归模型，如普通多元线性回 归、岭回归、Lasso回归等。
评估指标选择
选择合适的评估指标对模型进行评估，如均方误差（MSE）、均方根误差（ RMSE）、决定系数（R^2）等。
模型解释与应用场景
模型解释
对选定的多元线性回归模型进行详细解释，包括模型的假设条件、参数意义、适 用范围等方面。
改进方向
验证假设
在应用多元线性回归之前，需要对假设条件 进行验证，确保满足条件。
引入其他模型
如果多元线性回归不适用，可以考虑引入其 他模型，如支持向量机、神经网络等。
降维处理
如果自变量数量过多，可以考虑进行降维处 理，减少计算复杂度。
数据预处理
对数据进行预处理，如缺失值填充、异常值 处理等，以提高回归结果的准确性。
岭回归
当自变量之间存在多重共 线性时，可以使用岭回归 来估计模型的参数。
模型的假设检验
01
02
03
04
线性性检验
检验自变量和因变量之间是否 存在线性关系。
共线性检验
检验自变量之间是否存在多重 共线性。
异方差性检验
正态性检验
检验误差项是否具有相同的方 差。
检验误差项是否服从正态分布。
contents
目录
• 引言 • 多因变量的多元线性回归模型 • 多因变量的多元线性回归的评估指标 • 多因变量的多元线性回归的实例分析 • 多因变量的多元线性回归的优缺点与改
进方向 • 多因变量的多元线性回归在实际应用中
的注意事项
01
引言
多元线性回归的定义与背景
多元线性回归的定义
模型选择
根据实际问题和数据特点，选择合适的多元线性回归模型，如普通多元线性回 归、岭回归、Lasso回归等。
评估指标选择
选择合适的评估指标对模型进行评估，如均方误差（MSE）、均方根误差（ RMSE）、决定系数（R^2）等。
模型解释与应用场景
模型解释
对选定的多元线性回归模型进行详细解释，包括模型的假设条件、参数意义、适 用范围等方面。
改进方向
验证假设
在应用多元线性回归之前，需要对假设条件 进行验证，确保满足条件。
引入其他模型
如果多元线性回归不适用，可以考虑引入其 他模型，如支持向量机、神经网络等。
降维处理
如果自变量数量过多，可以考虑进行降维处 理，减少计算复杂度。
数据预处理
对数据进行预处理，如缺失值填充、异常值 处理等，以提高回归结果的准确性。
岭回归
当自变量之间存在多重共 线性时，可以使用岭回归 来估计模型的参数。
模型的假设检验
01
02
03
04
线性性检验
检验自变量和因变量之间是否 存在线性关系。
共线性检验
检验自变量之间是否存在多重 共线性。
异方差性检验
正态性检验
检验误差项是否具有相同的方 差。
检验误差项是否服从正态分布。
多元线性回归分析ppt课件
DF 自由度
22 22 22 22 22
Parameter Standard
Estimate Error
t Value
偏回归系数 标准误 t值
5.94327 2.82859 2.10
0.14245 0.36565 0.39
0.35147 0.20420 1.72
-0.27059 0.12139 -2.23
ppt课件完整
31很多自变量时，即使其中一些自变量在解释
因变量 Y 的变异时贡献很小，但随着回归方程中自变量的
增加。决定系数仍然会表现为只增不减，故计算校正决定
系数（adjusted coefficient of determination）以消除自变量
个数的影响。公式为：
ppt课件完整
2
Multivariate linear regression
概念： 多元线性回归分析也称复线性回归分析（multiple linear regression analysis）,它研究一组自变量如何直接影响一个 因变量。
自变量（independent variable）是指独立自由变量的变量，用向量X 表示；因变量（dependent variable)是指非独立的、受其它变量影响 的变量，用向量Y表示；由于模型仅涉及一个因变量，所以多元线性回 归分析也称单变量线性回归分析（univariate linear regression analysis）
方程组中： lij l ji (Xi Xi )(X j X j ) Xi X j [(Xi )(X j )]/ n liy (Xi Xi )(Y Y ) XiY [(Xi )(Y)]/ n
常数项 b0 Y b1X1 b2 X2 ... bm Xm
多元线性回归分析课件
注意：似然函数取对数是一个单调变换，不会影响参 数估计值的最优解。
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
43
二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
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二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。
多元线性回归中自变量的确定课件
感谢观看
如果选择的自变量过多，会导致模型复杂化，难以解释各变量对因变量的影响程度 。
在选择自变量时，需要权衡模型的复杂度和解释性，选择对因变量有显著影响的自 变量，并尽量减少不必要的自变量。
03
自变量选择的方法
基于理论的方法
01 专业知识
根据领域知识和理论，选择与因变量有直接关系 的自变量。
02 科学依据
02
自变量选择的重要性
避免多重共线性
01 共线性是指自变量之间存在高度相关性的现象， 会导致模型估计的参数不稳定，影响预测精度。
02 在多元线性回归中，如果自变量之间存在共线性 ，会导致模型无法准确估计各自变量的系数，甚 至出现系数估计不准确或系数为零的情况。
02 因此，在选择自变量时，需要避免选择高度相关 的变量，或者在必要时采用主成分分析等方法消 除共线性影响。
提高模型的预测精度
选择与因变量相关的自变量可以提高模型的预测 01 精度。
如果选择的自变量与因变量无关，会导致模型无 02 法准确预测因变量的变化趋势，降低预测精度。
因此，在选择自变量时，需要基于理论和实际背 03 景，选择与因变量有相关性的自变量。
简化模型，提高可解释性
选择较少的自变量可以简化模型，提高模型的解释性。
案例三：用户购买行为预测
总结词
用户购买行为预测是一个分类问题，通过多元线性回归分析，可以预测用户是 否会购买某个商品。
详细描述
在这个案例中，自变量可能包括用户历史购买记录、商品类别、商品价格等， 因变量是用户是否会购买该商品。通过多元线性回归分析，可以建立预测模型 ，对新的商品进行购买行为预测。
THANKS
确保选择的自变量在科学上具有合理性，能够解 释因变量的变化。
如果选择的自变量过多，会导致模型复杂化，难以解释各变量对因变量的影响程度 。
在选择自变量时，需要权衡模型的复杂度和解释性，选择对因变量有显著影响的自 变量，并尽量减少不必要的自变量。
03
自变量选择的方法
基于理论的方法
01 专业知识
根据领域知识和理论，选择与因变量有直接关系 的自变量。
02 科学依据
02
自变量选择的重要性
避免多重共线性
01 共线性是指自变量之间存在高度相关性的现象， 会导致模型估计的参数不稳定，影响预测精度。
02 在多元线性回归中，如果自变量之间存在共线性 ，会导致模型无法准确估计各自变量的系数，甚 至出现系数估计不准确或系数为零的情况。
02 因此，在选择自变量时，需要避免选择高度相关 的变量，或者在必要时采用主成分分析等方法消 除共线性影响。
提高模型的预测精度
选择与因变量相关的自变量可以提高模型的预测 01 精度。
如果选择的自变量与因变量无关，会导致模型无 02 法准确预测因变量的变化趋势，降低预测精度。
因此，在选择自变量时，需要基于理论和实际背 03 景，选择与因变量有相关性的自变量。
简化模型，提高可解释性
选择较少的自变量可以简化模型，提高模型的解释性。
案例三：用户购买行为预测
总结词
用户购买行为预测是一个分类问题，通过多元线性回归分析，可以预测用户是 否会购买某个商品。
详细描述
在这个案例中，自变量可能包括用户历史购买记录、商品类别、商品价格等， 因变量是用户是否会购买该商品。通过多元线性回归分析，可以建立预测模型 ，对新的商品进行购买行为预测。
THANKS
确保选择的自变量在科学上具有合理性，能够解 释因变量的变化。
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y b0 b1x1 b2x2 bk xk
其中，b0 ，b1，b2 ，，bk是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xk 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解
释的变异性
12.1.1 多元回归模型与回归方程
(1). 误 差 项 ε 是 一 个 期 望 值 为 0 的 随 机 变 量 ， 即
12.1.1 多元回归模型与回归方程
根据回归模型的假定有E(y)=b0+b1x1+b2x2+…+ bk xk，
上 式 称 为 多 元 回 归 方 程 (multiple regression equation)，它描述了因变量y的期望值与自变量x1， x2，...，xk之间的关系。
yi b0 b1x1i b2x2i bk xki i E( y) b0 b1x1 b2x2 bk xk
多元线性回归
第12章 多元线性回归
§12.1 §12.2 §12.3 §12.4 §12.5 §12.6 §12.7
多元线性回归模型 回归方程的拟合优度 显著性检验 多重共线性 利用回归方程进行估计和预测(删去) 变量选择与逐步回归(删去) 虚拟自变量的回归
§12.1 多元线性回归模型
12.1.1 多元回归模型与回归方程 12.1.2 估计的多元回归方程 12.1.3 参数的最小二乘估计
12.2.2 估计标准误差
多元回归分析中的估计标准误差也是对误差项的标 准差的一个估计值，它是衡量多元回归方程的 拟合优度方面也起着重要作用。
计算公式为
多元回归中对se的解释： 由于se所估计的是预测误差的标准差，其含义是根据
自变量x1，x2，…，xk来预测因变量y时的平均预 测误差。
§12.) b0 b1x1 b2x2 bk xk
(2).对于自变量x1，x2，…，xk的所有值，的方差
2都相同 (3). 误 差 项 ε 是 一 个 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 ， 即
ε~N(0,2)，且相互独立。独立性意味着对于自 变量x1，x2，…，xk的一组特定值所对应的ε与x1， x2，…，xk任意一组其他值所对应的ε不相关。 正态性意味着对于给定的x1，x2，…，xk的值， 因变量y也是一个服从正态分布的随机变量。
计算公式为
12.2 多重判定系数
注：由于自变量个数的增加，将影响到因变量中被估 计回归方程中所解释的变差数量。当增加自变量时， 会使预测误差变得比较小，从而减少残差平方和 SSE，由于回归平方和SSR=SST-SSE，当SSE变小 时，SSR会变大，从而R2也会变大。如果模型中增 加一个自变量，即使这个自变量在统计上并不显著， R2也会变大，为避免这种情况，提出调整的多重判 定 系 数 (adjusted multiple coefficient of determination)
回归方程，一般形式为：
yˆ bˆ0 bˆ1x1 bˆ2x2 bˆk xk 其中bˆ0，bˆ1，，bˆk 称为偏回归系数。
12.1.3 参数的最小二乘估计
1.使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 bˆ0 , bˆ1 , bˆ2 ,, bˆ p 。即
2.求解各回归参数的标准方程如下
12.3.1 线性关系检验 12.3.2 回归系数检验和推断
12.3.1 线性关系检验
1.检验因变量与所有自变量之间的关系是否显著， 也被称为总体显著性检验。
计算公式为
12.2 多重判定系数
调整的多重判定系数 的解释与R2类似，不同的是： (1). 同时考虑了样本量和模型中的自变量的个数
的影响，这就使得 的值永远小于R2，而且 的 值不会由于模型中自变量个数的增加而越来越接 近1。因此，在多元回归分析中，通常用调整的 多重判定系数。 (2).R2的平方根称为多重相关系数，也称为复相关 系数，它度量了因变量同k个自变量的相关程度。
12.1.1 多元回归模型与回归方程
二元线性回归模型
回归面
y
y b0 b1x1 b2x2
(观察到的y)
} b0
i
x2
(x1,x2)
x1
E( y) b0 b1x1 b2x2
12.1.2 估计的多元回归方程
回归方程中的参数b0，b1，，b
是未知的，需要
k
利用样本数据去估计它们。
当用样本统计量bˆ0，bˆ1，，bˆk去估计回归方程中的 未知参数b0，b1，，bk时，就得到了估计的多元
Q
b
0
b0 bˆ0
0
Q
bi
bi bˆi
0
(i 1,2,, k)
12.1.3 参数的最小二乘估计
【例12.1】继续沿用第11章中例11.6。一家大型商业 银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基 础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资 等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增 长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银 行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款 形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002 年的有关业务数据。试建立不良贷款(y)与贷款余 额(x1)、累计应收贷款(x2)、贷款项目个数(x3)和 固定资产投资额(x4)的线性回归方程，并解释各回 归系数的含义
用Excel进行回归
12.1.3 参数的最小二乘估计
§12.2 回归方程的拟合优度
12.2.1 多重判定系数 12.2.2 估计标准误差
12.2 多重判定系数
多元回归中因变量离差平方和的分解： SST=SSR+SSE
多重判定系数(multiple coefficient of determination) 是多元回归中的回归平方和占总平方和的比例， 它是度量多元回归方程拟合程度的一个统计量， 反映了在因变量y的变差中被估计的回归方程所解 释的比例。
12.1 多元线性回归模型
一个因变量与两个及两个以上自变量的回归问题就是 多元回归。
12.1.1 多元回归模型与回归方程
设因因变的变量方量y程，y如，k个何称自依为变赖多量自元分变回别量归为x模1，x型1，x(2m，xu2，…ltip…，le，xkr和xegk，误res描差sio项述n
model)。多元回归模型一般形式为：
其中，b0 ，b1，b2 ，，bk是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xk 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解
释的变异性
12.1.1 多元回归模型与回归方程
(1). 误 差 项 ε 是 一 个 期 望 值 为 0 的 随 机 变 量 ， 即
12.1.1 多元回归模型与回归方程
根据回归模型的假定有E(y)=b0+b1x1+b2x2+…+ bk xk，
上 式 称 为 多 元 回 归 方 程 (multiple regression equation)，它描述了因变量y的期望值与自变量x1， x2，...，xk之间的关系。
yi b0 b1x1i b2x2i bk xki i E( y) b0 b1x1 b2x2 bk xk
多元线性回归
第12章 多元线性回归
§12.1 §12.2 §12.3 §12.4 §12.5 §12.6 §12.7
多元线性回归模型 回归方程的拟合优度 显著性检验 多重共线性 利用回归方程进行估计和预测(删去) 变量选择与逐步回归(删去) 虚拟自变量的回归
§12.1 多元线性回归模型
12.1.1 多元回归模型与回归方程 12.1.2 估计的多元回归方程 12.1.3 参数的最小二乘估计
12.2.2 估计标准误差
多元回归分析中的估计标准误差也是对误差项的标 准差的一个估计值，它是衡量多元回归方程的 拟合优度方面也起着重要作用。
计算公式为
多元回归中对se的解释： 由于se所估计的是预测误差的标准差，其含义是根据
自变量x1，x2，…，xk来预测因变量y时的平均预 测误差。
§12.) b0 b1x1 b2x2 bk xk
(2).对于自变量x1，x2，…，xk的所有值，的方差
2都相同 (3). 误 差 项 ε 是 一 个 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 ， 即
ε~N(0,2)，且相互独立。独立性意味着对于自 变量x1，x2，…，xk的一组特定值所对应的ε与x1， x2，…，xk任意一组其他值所对应的ε不相关。 正态性意味着对于给定的x1，x2，…，xk的值， 因变量y也是一个服从正态分布的随机变量。
计算公式为
12.2 多重判定系数
注：由于自变量个数的增加，将影响到因变量中被估 计回归方程中所解释的变差数量。当增加自变量时， 会使预测误差变得比较小，从而减少残差平方和 SSE，由于回归平方和SSR=SST-SSE，当SSE变小 时，SSR会变大，从而R2也会变大。如果模型中增 加一个自变量，即使这个自变量在统计上并不显著， R2也会变大，为避免这种情况，提出调整的多重判 定 系 数 (adjusted multiple coefficient of determination)
回归方程，一般形式为：
yˆ bˆ0 bˆ1x1 bˆ2x2 bˆk xk 其中bˆ0，bˆ1，，bˆk 称为偏回归系数。
12.1.3 参数的最小二乘估计
1.使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 bˆ0 , bˆ1 , bˆ2 ,, bˆ p 。即
2.求解各回归参数的标准方程如下
12.3.1 线性关系检验 12.3.2 回归系数检验和推断
12.3.1 线性关系检验
1.检验因变量与所有自变量之间的关系是否显著， 也被称为总体显著性检验。
计算公式为
12.2 多重判定系数
调整的多重判定系数 的解释与R2类似，不同的是： (1). 同时考虑了样本量和模型中的自变量的个数
的影响，这就使得 的值永远小于R2，而且 的 值不会由于模型中自变量个数的增加而越来越接 近1。因此，在多元回归分析中，通常用调整的 多重判定系数。 (2).R2的平方根称为多重相关系数，也称为复相关 系数，它度量了因变量同k个自变量的相关程度。
12.1.1 多元回归模型与回归方程
二元线性回归模型
回归面
y
y b0 b1x1 b2x2
(观察到的y)
} b0
i
x2
(x1,x2)
x1
E( y) b0 b1x1 b2x2
12.1.2 估计的多元回归方程
回归方程中的参数b0，b1，，b
是未知的，需要
k
利用样本数据去估计它们。
当用样本统计量bˆ0，bˆ1，，bˆk去估计回归方程中的 未知参数b0，b1，，bk时，就得到了估计的多元
Q
b
0
b0 bˆ0
0
Q
bi
bi bˆi
0
(i 1,2,, k)
12.1.3 参数的最小二乘估计
【例12.1】继续沿用第11章中例11.6。一家大型商业 银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基 础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资 等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增 长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银 行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款 形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002 年的有关业务数据。试建立不良贷款(y)与贷款余 额(x1)、累计应收贷款(x2)、贷款项目个数(x3)和 固定资产投资额(x4)的线性回归方程，并解释各回 归系数的含义
用Excel进行回归
12.1.3 参数的最小二乘估计
§12.2 回归方程的拟合优度
12.2.1 多重判定系数 12.2.2 估计标准误差
12.2 多重判定系数
多元回归中因变量离差平方和的分解： SST=SSR+SSE
多重判定系数(multiple coefficient of determination) 是多元回归中的回归平方和占总平方和的比例， 它是度量多元回归方程拟合程度的一个统计量， 反映了在因变量y的变差中被估计的回归方程所解 释的比例。
12.1 多元线性回归模型
一个因变量与两个及两个以上自变量的回归问题就是 多元回归。
12.1.1 多元回归模型与回归方程
设因因变的变量方量y程，y如，k个何称自依为变赖多量自元分变回别量归为x模1，x型1，x(2m，xu2，…ltip…，le，xkr和xegk，误res描差sio项述n
model)。多元回归模型一般形式为：