三次数学危机的启示
数学危机及思考
收稿日期:2006—12—27作者简介:王春陵(1949-),男,辽宁瓦房店市人,副教授,主要从事高等数学和哲学方面研究.【学术研究】数学危机及思考王春陵(大连电大瓦房店分校,辽宁瓦房店116300) 摘 要:数学悖论的出现,开始引起一些人们的好奇与思考,以后逐步发展为对某些数学基础的动摇,由于萌发了其内部的矛盾,进而引起人们的争辩.历史上人们对于数学危机的一次又一次解决或克服,往往给数学带来了新的内容,甚至引起革命性的变革.其实,这些危机往往是某种哲学观念的危机或者某种理性偏好的崩溃,而与数学自身的发展无关.关键词:悖论;数学悖论;数学危机中图分类号:O11 文献标识码:A 文章编号:1008-5688(2007)01-0006-03辩证唯物主义认为,任何事物都包含着矛盾.同样,在数学中也存在着各种各样的矛盾,如正与负、加法与减法、有限与无限、微分与积分等等.整个数学发展史表明,若涉及数学理论的一些矛盾问题或整个数学基础时,就会产生数学危机.一般来讲,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾.数学史上曾经出现过三次大的危机.下面对这三次数学危机作以分析.1 无理数的产生而引起的危机与解决大大地推动了数的概念的发展在公元前6世纪,古希腊有一个著名学派叫毕达哥拉斯学派.他们认为“万物皆数”,所谓数就是指整数,他们确定数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理,信条是:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比,即世界上只存在着整数与分数,除此之外,他们不认识也不承认有别的数.在那个时期,上述思想是绝对权威、是“真理”.后来这个学派发现了一个毕达哥拉斯定理:a 2+b 2=c 2,他们认为这是一件了不起的事,并宰了一百头牛来庆祝.但是不久,其中一个学生希伯斯(Hippasus )约在公元前400年发现:边长为1的正方形(如图1),该正方形的对角线L 与边长1之比L ,不能用整数也不能用整数之比来表示,这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的,绝对权威受到严重的挑战:一方面证明单位正方形对角线的长不是整数与分数,按照他们的观点,这种长度不是数!另一方面,他们不承认自己的观念有问题,这就陷入了极大的矛盾之中,这就是第一次数学危机.后来他们把说出真情的希伯斯投入大海葬身鱼腹.这个“逻辑上的丑闻”既不容易解释,也不能很快地消除,在大约公元前370年,这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯等给出两个比相等的新定义作出处理.当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立.第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数.由于对这种“怪数”的接受很不情愿,于是就给它起了难听的名字———无理数.不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑,甚至直到十九世纪,无理数也没有一个名正言顺的地位.但随着分析学的飞速发展,它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台.到十九世纪下半叶,数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础,于是两种实数理论几乎在同一时期产生了.这两种实数理论分别是由戴德金与康托建立的,它有一个共同点,即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”.戴德金方法可以称为序完备化方法,康托方法可以称为度量完备化方法.这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法,被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具.第一次数学危机也随之化解.这一危机的化解,使“数”真正具有了表达一切量的可能,不仅是无理数,还使数的概念不断扩大和发展:复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了.2 “无穷小量”的产生促成数学分析建立庞大的体系由于科学技术和生产实践的需要,十七世纪产生微积分这门学科.在微积分的发展过程中,一方面是数学应用成果丰硕,另一方面是数学基础的不稳固,出现了悖论,即“无穷小”引起的逻辑混乱困惑了人们二百多年.而在这个期间由微积分基础的“无穷小”所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机.牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者,他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法,有计算微分的明确步骤,确立它是(不定)积分的逆运算,得到牛—莱公式,这一新生的有力的数学方法,受到数学家的欢迎,解决了大量过去无法解决的许多问题,同时,关于微积分基础的问题也越来越严重了.这就是如何解释“无穷小”问题.牛顿给出瞬时速度的定义,又给出有效的计算方法:第一步,他用无穷小作分母进行除法运算;第二步,他又把无穷小看作零,以去掉那些包含着它的项,而得到所要的公式.无穷小在逻辑推理上是零与非零的矛盾,牛顿却不能在逻辑上说清楚,他说:“量在其中消失的终极比,严格地说来,不是终极量的比,而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小,但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限.”无论牛顿用数学语言,还是利用物理意义,他都没有说清楚无穷小量是什么.科学家们相信它,因为它使用起来十分有效,得出的结果总是对的,但是由于逻辑上的漏洞,遭到一些人指责,甚至嘲讽与攻击.对新生的微积分攻击得最厉害的是英国的唯心主义经验哲学家贝克莱主教,他的观点是“存在即被感知”,认为一切事物不过是人的感知的综合,他的哲学目的是论证上帝的存在.贝克莱在1734年写了题为《分析学者》,副标题第9卷第1期2007年3月 辽宁师专学报Journal of Liaoning T eachers College V ol 19N o 11Mar 12007“致不信神的数学家”一书,该书批评:微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误.他问道:无穷小量究竟是不是0?这个忽儿不是0,忽儿又是0,这不是自相矛盾吗?应该说大主教贝克莱对牛顿的攻击,完全是为了维护教会的神权统治.但是,应当承认,贝克莱的攻击还是切中要害的.他给人们提出一个值得重视的问题:到底“无穷小量”是不是0?当然,贝克莱也不会放过对莱布尼茨的攻击.尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳,但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱.牛顿和其后100多年间的数学家们,都不能有力地回答贝克莱的疯狂攻击.十七八世纪,数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击,受微积分有大用的鼓舞,继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦.使微积分广泛地应用于物理学、力学、天文学中,许多新兴的数学分支随之涌现出来.十九世纪初,许多迫切的问题基本上得到解决,数学家们于是开始转向基础的重建和严格化.一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础.例如波尔查诺、柯西、阿贝尔、魏尔斯特拉斯等,由柯西和魏尔斯特拉斯完成了一套被认为是天衣无缝的ε-N (ε-δ)语言,严格刻划了极限的定义.人们放弃了无穷小,而以一个无限过程刻划的极限理论统一了导数和积分概念.由于这个理论用不着“无穷小”,一切都按程序操作,“无穷小”引起的混乱被消除了.这样,微积分的理论基础———严格的极限理论建立起来了,微积分的发展从此进入了一个新的阶段.原有的悖论在新的体系下可以圆满地予以清除,第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在十九世纪消除.微积分理论基础的建立,在数学上有深远的意义.一方面它消除了微积分长期以来带有的“神秘性”,这个过程虽然是曲折的,但是人们的思想终于突破了形而上学的框框,掌握了无穷小的辩证本质.另一方面,它加速了微积分的发展,产生了复变函数、实变函数、微分方程、变分学、积分方程、泛函分析等学科,形成庞大的分析体系,成为数学重要的分支.3 数学本身的严格基础是什么?1874年,数学家康托尔创立了一门崭新的数学分支———集合论,到十九世纪末,康托尔的集合论已经得到数学家们的承认,并且集合论成功地应用到了其它的数学分支,集合论可以算最基本的学科.面大一点说,它不仅是一切数学基础,而且还是其他科学的基础,有了集合论,数学似乎已经达到了“绝对的严格”.在这里有两层意思,第一层意思,不论哪一门数学,开门宗义,必有自己的研究对象,而这些研究对象,就形成一个集合,或一些集合.几何要研究点、线、图形的集合,算术要研究整数与分数的集合,微积分要研究实数、函数的集合.总之,每门数学都用得上集合论.第二层意思,数学要研究数与形,有了解析几何形可以转化为数,因而归根结底要研究数.复数可以归结为实数解;实数可以归结为有理数的分割;有理数归结为整数之比;整数可以归结为自然数.全部数学归结为自然数了.自然数又归结为什么数?十九世纪数学家和逻辑家弗雷格,他在集合论的基础上写了一本研究算术基础的书,名字叫《算术基础》.主张把算术的基础归结为逻辑,连1、2、3…这样的正整数都必须重新定义.现在回到“数”的意义问题上来,如果将概念与其外延对应,也就是与其外延构成的集合对应,那么“3”作为一个数是表示所有三元集的共用性质.作为概念,“3”的外延就是所有三元集.通俗一点讲:他将“3”定义为:“所有三元集的类”.他的想法是纯逻辑地引入自然数,如果成功了,那么对数学,起码对自然数而言就有了一个坚实的基础.可是无论怎样,弗雷格最终在他的逻辑里或隐或显地注入了“集合”(或“类”)的概念.311 罗素悖论———数学基础的崩溃罗素(1872～1970)认真读了弗雷格专著,已有将数学化归逻辑的构思.1902年6月,他给正在致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一封信,叙述了发现的一条悖论:有些集合不以自己为元素,也有些集合以自己为元素,如“所有集合的集合”,自己是个集合,所以也是自己的元素.如果我们以M 表示是它的本身的成员的所有集合的集合,而以N 表示不是它的本身成员的所有集合的集合,现在要问:集合N 是否是它本身的成员?(1)如果N 是它本身的成员,则N 是M 的成员;(2)如果N 不是它本身的成员,则N 是N 的成员,而不是M 的成员,于是N 是它本身的成员.罗素悖论曾以多种形式通俗化出现,最著名的是在1919年给出的称为“理发师悖论”:塞维尔村有一位手艺高超的理发师宣称:他给塞维尔村子里所有不给自己刮胡子的人刮胡子.试问:这个理发师的胡子将由谁刮?(1)如果他不刮自己的胡子,他是个不给自己刮胡子的人,他应给自己刮胡子.(2)如果他给自己刮胡子,由于他只给不给自己刮胡子的人刮胡子,他就不应当给自己刮胡子.这两类人是不同的,按上面推理这个理发师又要给自己刮胡子,又不给自己刮胡子,左右为难.应当说在罗素悖论提出之前,集合论就已经出现过悖论.其中在1895年,康托尔即发现了所谓最大基数悖论.罗素的信中不仅对引用集合的逻辑提出了挑战,也对只含概念(谓词)而不引用集合的逻辑提出了挑战.罗素的悖论引发了数学界一场非常热闹的探索和争论,可以说它引起了数学王国的一场大地震,动摇了整个数学基础,使号称“天衣无缝”的数学陷入了自相矛盾的危机,这就是所谓的第三次数学危机.312 三个学派面对这样的数学危机,一些著名的数学家(也包括像罗素这样的哲学家)投入到重建数学基础的工作中,除了修补集合论本身外,除了在公理化方面寻找出路外,还要思考更根本的问题———数学基础是什么?围绕这个问题,由于哲学观点不同,三大派别之间产生了一场大辩论,并把数学基础的讨论推向了一个新阶段.31211 逻辑派逻辑派最基本的观点就是:数学是逻辑的一部分.数学可以作为逻辑的派生理论,而真正的、严格的逻辑是先验、可靠的真理.逻辑学派的代表人物是罗素和怀特海(1881～1947),他们两人合著《数学原理》三卷,在1910～1913年出版.逻辑主义学派的基本观点是:不需要数学所特有的概念和公理,而由逻辑学的概念导出数学的概念,数学的命题也由逻辑学的命题出发用纯逻辑的演绎推理出来,即整个数学由逻辑学派生出来,数学不过是逻辑学的一个分支.罗素说:“数学即逻辑”.并说,逻辑是数学的青年时代,数学是逻辑的壮年时代,只要不容许“集合的集合”语言出现,悖论就不会发生.逻辑主义流派的论点有3个方面:(1)每条数学定理都能够表示为完全由逻辑表达的语言,即每条数学定理都能表示为真正的逻辑命题;(2)每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译,那么它就是逻辑真理;(3)每条数学真理,一旦表示为一个逻辑命题,就可以由少数逻辑公理和逻辑规则推导出来.实际上,后来逻辑主义遇到了很大的困难.哥德尔证明了不完全性定理,逻辑主义流派的第3个论点就站不住脚了.另一方面,是否每个真的数学命题都是逻辑命题呢?是否数学中没有任何非逻辑的东西呢?从逻辑的基本概念和公设出发推导数学命题的过程使用了集合论的公理,特别是无穷公理和选择公理,如果没有无穷公理,那么连正整数系统也难王春陵数学危机及思考7 以完整构造出来,更谈不上全部数学了.那么无穷公理和选择公理是不是逻辑呢?按照人们对逻辑的理解,普遍认为纯粹逻辑只涉及形式而不涉及具体事实,不允许逻辑法则中作某些物是否存在的断言.但无穷公理恰恰是一条存在性公理,选择公理也是这种情况,所以逻辑主义的第1个论点也是站不住脚的,不可能把全部数学归纳为逻辑的.逻辑主义遭到了许多的批评,罗素没有完全坚持也没能真正自圆其说.31212 直觉派直觉派认为数学的真理不依靠逻辑而在于人的心智,数学中的真理是由我们直觉的明晰性保证的,从哲学角度来讲,直觉派的观点受康德的影响是很大的.直觉主义学派认为:数学理论的真假只能用人的直觉去判断.先驱是克罗内克和庞加来,但作为一个学派的代表人物是荷兰布劳威尔(1881～1966),其基本思想是:数学独立于逻辑,数学的基础是一种能使人认识“知觉单位”1以及自然数列的原始知觉,坚持数学对象的“构造性”定义,是直觉主义的精粹.按照这种观点,要证明任何数学对象的存在,必须同时证明它可以用有限的步骤构造出来,他们不承认反证法的有效性,只承认可构造的无穷集合,这样排除了“所有集合的集合”那样的矛盾集合的可能性.从而不会产生罗素悖论之类的危机,直觉的构造才能作为数学的基础,其纲领是:自明的原始概念———初始直觉———构造数学,决定概念是否正确和可接受性的是直觉,而不是逻辑.1919年,布劳威尔给出了测度的构造性理论,1923年他提出构造性函数论.直觉主义者就否认了逻辑上的“排中律”在数学中的应用,数学上的反证法应用排中律,而直觉主义就不同意使用反证法.他们主张,要证明一个命题,只能从正面证明,用反证法只证明了命题的否命题不成立,而没有证明命题的成立.直觉主义学派建立起的直觉数学与古典数学相比有很多地方显得非常繁琐,也并不直观,集合论、实数理论、微积分等各个数学分支大部分基本论证都成为不合法的了.因此多数数学家不接受直觉主义的观点,认为对数学的损失太大.31213 形式派真正的形式派认为数学的基础概念和公理都是没有意义的符号.数学的真理性等价于数学系统的无矛盾性(也称协调性或相容性).人们认为希尔伯特是这一派的代表,但他的想法其实就是要建立一门新的数学,称为元数学.元数学类似于军队中的宪兵,主要检查其它的数学理论是否协调,就象宪兵检查正规军是否遵纪守法一样.因此元数学与其它数学理论就不是同一层次的理论.其它数学理论被称为对象理论,都有其研究的内容和对象,而元数学理论则是研究这些对象理论的,只关心其它对象理论是否协调或完备.在严格的逻辑基础上,元数学的主要任务是:将每个古典数学的分支形式化和公理化.希尔伯特建立了元数学———形式主义的数学之后,提出了两大目标:就是证明数学系统的完全性和协调性.后来哥德尔发表的不完全定理使希尔伯特计划失败.313 哥德尔的不完全定理上述三大学派,在20世纪30年代间非常活跃,相互间争论也非常激烈,但都未能对数学基础问题作出令人满意的回答,希尔伯特方案提出才两年,1931年奥地利数学家哥德尔(1906～1978)证明一条定理,使希尔伯特计划完全落空.定理说:在包含了自然数理论的任一形式系统中,如果该系统是协调的,一定有这样的命题,它是真的,但不能被证明.这就告诉我们自然数的性质如此丰富,任何一个形式系统都休想将它全都包罗进去.希尔伯特的希望是不可能实现的.那么,算术系统的协调性又怎么样呢?哥德尔接着又证明了一个定理:任何包含了自然数的形式系统,如果它是协调的,那么它的协调性不可能在系统之内得到证明.定理出乎意料地揭示了形式主义方法的内在局限,明白无误地指出形式系统的相容性在本系统内不能证明,从而使希尔伯特的两个目标都落了空,其纲领受到沉重的打击.由于三个主要数学基础理论流派都不能使数学统一起来,也许有些人会很失望.但是,我们的世界本来就是丰富多彩的,而人们的思维又是多元的、开放的,它并没有统一的存在形式,又何必会有统一适用的万能数学形式呢?如果人们希望用有限主义为数学圈定一个封闭和安全的乐园,他肯定要失败的.314 数学悖论再认识及思考矛盾是事物发展的动力,问题就是数学的心脏.这个原理在数学发展过程中不断地得到证明,而数学史上的3次危机,使我们清晰看到矛盾运动促进了数学的发展第一、数学危机影响了数学观念的改变,例如第一次数学危机打破了“万物皆数”的观念,人类最早认识的自然数到无理数的发现而产生的无理数悖论.从有限出发的数学,不能避免无限性,而毕达哥拉斯学派妄用有限的整数之间的关系来囊括一切,这怎么能不碰壁呢?但是,这种无限是什么,当时数学上还解答不出,怎么能不发生危机呢?而危机解决的结果是严格的实数理论的建立,使人们在数学观念上得到了转变或创新,使数的概念进一步发展.第二、数学危机促进了数学理论的完善.十七世纪围绕微积分的创始问题,展开了相持一个多世纪的争论,就是“无穷小”问题.“无穷小”漏洞百出,“是0又不是0”无法自圆其说,这一危机解决的结果是微积分的严密基础的建立,尔后建立了庞大的数学分析的体系.同时,数学家掌握了描述运动与变化的有效方法.第三、数学危机导致新的数学方法产生.与十九世纪相比,二十世纪纯粹数学的发展呈现出抽象性更高、基础更深入、统一性更强的特征和趋势.同以前整个数学相比内容更丰富,认识更深刻.“罗素的集合论悖论”震动了整个数学界而造成的危机要获得解决,必然涉及到整个“数学本身的基础是什么?”这次“危机”大大深化了人们对数学的本质认识.经过几十年的争论之后,关于基础的讨论早已冷了下来,没有哪一流派成为主流.但是这场大争论却产生了丰硕成果,整个数理逻辑,包括逻辑演算、证明论(元数学)、公理集合论、递归函数论(即能行性理论)、模型论等都是在这个时期或产生或成长壮大起来.它们不仅自身有丰富内容,而且也为计算机科学提供了重要的基础理论和工具.学习和研究数学,最重要的是透过那些形式化体系外壳探索它的思想内容,只有充分地了解数学的思维,才可能提出有意义的问题并使之解决,因而使数学成为有生命力的学科.其实,以上这些危机往往是人们某种陈旧的、片面的、僵化的哲学观念的危机或者某种理性偏好的崩溃,而与数学自身的发展无关.事实上,数学到目前为止,一直是该发展则发展,该应用则应用,恰恰是每次危机的出现及化解都促进了数学的繁荣与发展,从这个意义上讲,“数学悖论”往往是某些数学理论创新之“母”.参考文献:[1]夏基松,郑毓信.西方数学哲学[M].北京:人民出版社,1986. 1.(下转76页)吸收竞技体育文化,才能使学校体育的内容充满时代感、生命力,同时能够满足学生的需要.4 竞技体育教材化的实现途径411 竞技体育在体育教育中的现状目前很多学校将竞技体育划出学校体育的范畴,忽视竞技体育对学校体育的活化作用.其实学校竞技体育活动的开展,不但可以使一部分人在竞技体育的舞台上展现自我,实现自我的人生价值,而且还可以提高学生参与体育的兴趣,营造一个充满活力、利于学生身心健康发展的环境.对10所中等学校进行调研,结果发现开展竞技体育较多的学校,学生的整体素质明显优于开展竞技体育活动较少的学校.现行体育教育中的竞技运动技术性过强.体育教学过程中过分强调技术规格,教学方法套用专业化模式,一招一式,从严要求,学生被动地应付,机械模仿,课堂秩序井然,教学气氛沉闷,许多步骤看似精细,颇费功夫,其教学效果并不如人意.对大多数学生而言,掌握相关的竞技运动技术固然重要,但多数学生(特别是女生)都希望学习一些技术性不太强又有趣的活动项目.难度大、要求高的专项教学,使相当一部分学生失去了对体育原有的兴趣.教学比赛中,由于规则严、标准高,很难形成配合的气氛,因此很难激发学生主动参与的兴趣.在学校体育教学实践中,既不能以运动技术教学为中心,也不能一概否定竞技运动的健身价值和社会价值,绝大多数竞技活动都可以作为增进学生身心健康的手段,但需要有个教材化的过程.412 竞技体育教材化的现实意义竞技体育教材化符合学生的实际,顺应学生身心发展的特点,有利于学生个性的发展和自我的实现,能够调动学生积极参与到竞技体育中来,并逐渐培养对体育的兴趣,为养成良好的体育意识、培养终身体育习惯提供了可能.教材化的竞技体育摒弃了竞技体育中的不利因素,将阶段效益与长远效益有机结合,坚持健康第一的原则,根据机体的生理结构特点更多地引进健康的锻炼方法.413 竞技体育教材化的途径体育的主体是人,体育离不开人的身体活动,体育必须关注和体现人的主体价值.然而,在我国体育发展的过程中,由于种种原因,体育主要表现为工具性价值,缺乏人文主义内涵.新世纪的体育应该回归人的主体性,展现“更健康、更人文、更欢乐、更人性”的人文主义价值,并从人文角度探索竞技体育教材化的途径.41311 对竞技项目的选择合理降低技术强度,选择学生有兴趣且适合终身体育锻炼的运动项目作为教材的首选项目.选材和教学应有主有次,有精有略.41312 对竞技项目的教材化改造对竞技项目的规则、器材、场地等进行教材化改造.80年代后,前苏联、美国等国家兴起的小排球、小篮球、小足球等,就是对竞技运动器材、场地进行革新的先例.软式排球、壁式网球都使更多的学生积极地参加到体育锻炼中来.又如篮球降低篮高,减少重量;排球降低网高,加大柔软度等等.在广大学生喜闻乐见的基础上,形成一套科学合理的运动体系,把竞技体育纳入到教材中,使其成为模式化、正规化、简单化的体育项目,并在实践中不断创新,探索出一条新路,以适应现代体育的宗旨和需求.41313 对比赛规则和要求的调整适当降低和放宽比赛的规则和要求,让学生学有所乐,练有所获.如对一些田径和体操项目,不必苛求其动作的细节,只要达到锻炼身体、培养良好心理品质的目的即可.41314 对教学过程的要求在教学中教师应根据学生掌握技术的情况分组、分层次组织教学,在课堂上给学生更多的自由选择和自主学练的空间,对于技术掌握好的学生,可安排多样化的练习方法供学生选择,注重发展学生个性,重视学生的情感体验和自我感受,培养自信心和创造力.总之,竞技体育教材化的途径要体现大众性、健康性、教育性原则,使竞技体育和学校体育优势互补,达到体育锻炼的根本目的.5 结语综上所述,竞技体育进入教材是非常必要的.然而竞技体育与体育教学的目的不同,作为体育教材的竞技体育内容,必须遵从学校体育教学的规律,符合学生的特点和需要,合理采用竞技运动,充分发挥出其自身的文化性,使竞技运动在学校体育中科学正确地发挥其作用.只有这样才能把一个充满活力、生机勃勃、兴趣盎然的体育课还给学生,促进学生积极参与,提高学生运动兴趣,增进学生身心健康,提高其社会适应能力,促进学校体育蓬勃发展,从而实现竞技体育在学校体育中的可持续发展.参考文献:[1]张忠.竞技运动在学校体育中存在的形式和价值[J].沈阳体育学院学报,2006,25(2):112-113.[2]阴乃应.对竞技体育教材化的思考[J].吕梁高等专科学校学报,2003,19(1):22-23.[3]颉梦宁,等.对竞技体育教材化的探析[J].安徽体育科技,2006,27(6):55-57.[4]卢元镇.论学校体育与竞技运动的关系[J].体育科研,2000,21(3):1-5.[5]甘健辉.论中国学校体育与竞技体育的关系[J].柳州师专学报,2006,21(1):104-107.(责任编辑 李铁成,朱成杰) (上接8页)[2]张顺燕.数学的源与流[M].北京:高等教育出版社,2003. 3.[3]胡作玄.第三次数学危机[M].成都:四川出版社,1985.9.(责任编辑 任 冬,于 海)。
数学三次危机的认识论意义
数学三次危机的认识论意义
数学三次危机是指在20世纪初期，数学界出现了三次被称为危机的事件，分别是：1902年的费马大定理的证明、1906年的卡尔·费马的无穷小问题和1908年的第一次国际数学会议。
这些事件对数学认识论的发展产生了重大影响。
费马大定理的证明：费马大定理是指所有自然数都是费马素数或者可以写成两个费马素数之积的形式。
这个定理的证明对于当时数学界来说是一个极其棘手的问题，直到20世纪初期才被证明。
费马大定理的证明对数学认识论产生了巨大影响，它揭示了数学知识的基本特征，即数学是建立在一些基本的公理和定理之上的。
卡尔·费马的无穷小问题：无穷小问题是指在数学中，一个数是否可以无限接近于0却永远不等于0。
卡尔·费马提出了无穷小问题，并建立了费马小数的概念，即一个数可以无限接近于0却永远不等于0。
这个问题对于当时数学界来说是一个棘手的问题，最终得到了解决。
无穷小问题的解决对数
学认识论产生了重大影响，它改变了人们对无限的理解，揭示了数学知识的基本特征，即数学是建立在一些基本的公理和定理之上的。
第一次国际数学会议：1908年，第一次国际数学会议在巴黎举行。
这次会议上，众多数学家聚集在一起，就数学的发展方向展开了讨论。
这次会议对数学认识论产生了重大影响，它揭示了数学知识的基本特征，即数学是一门跨越不同领域的学科，并且数学知识是由不同领域的数学家共同创造的。
总的来说，数学三次危机对数学认识论的发展产生了重大影响，它们揭示了数学知识的基本特征，即数学是建立在一些基本的公理和定理之上的，是一门跨越不同领域的学科，并且数学知识是由不同领域的数学家共同创造的。
数学史上的三次危机促进了数学的理性进步
数学史上的三次危机促进了数学的理性进步无理数的发现──第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？──第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
数学的三次危机研究体会600字
数学的三次危机研究体会600字数学的三次危机是指公元十九世纪末和二十世纪初，数学领域内的一系列重要问题的解决所带来的一次变革。
这三次危机分别是实数概念的建立、集合论的发展以及公理化方法的推广。
经历这三次危机，数学发生了深刻的变革，推动了数学的进一步发展，同时也带来了一些新的问题和挑战。
实数概念的建立是数学的第一次危机。
在十九世纪初，数学家们对实数的概念模糊不清，无法准确地描述实数的性质和运算规则。
这一问题在十九世纪末得到了解决，数学家们通过引入实数的完备性概念，建立了实数的严格定义和运算规则。
这一解决方案为数学的进一步发展奠定了基础，使得数学能够更加准确地描述和分析现实世界中的问题。
集合论的发展是数学的第二次危机。
在十九世纪末，数学家们开始研究集合论，试图将数学建立在更为严谨的基础之上。
然而，集合论的发展引发了一系列的悖论和矛盾，使得数学陷入了困境。
数学家们通过对集合论的重新定义和公理化，解决了这一危机，并建立了现代数学的基础。
集合论的发展为数学提供了一种统一的框架，使得不同领域的数学可以通过集合论的语言和方法进行描述和推理。
公理化方法的推广是数学的第三次危机。
在公元二十世纪初，数学家们开始关注数学的基础理论和逻辑基础，试图通过公理化方法来建立数学的一致性和完备性。
然而，数学的公理化过程却引发了一系列的矛盾和困难，使得数学的基础受到了挑战。
数学家们通过对公理化方法的改进和扩展，解决了这一危机，并为数学的发展开辟了新的道路。
公理化方法的推广使得数学的推理和证明更加严谨和准确，推动了数学的进一步发展。
通过对数学的三次危机的研究，我深刻认识到数学的发展是一个不断变革和进步的过程。
数学家们在解决问题的过程中，不断地发现新的问题和困难，并通过创新和改进来解决这些问题。
数学的发展离不开数学家们的智慧和努力，同时也需要数学家们对数学的思考和反思。
只有不断地改进和完善，数学才能够更好地为人类社会的发展和进步做出贡献。
三次数学危机的感想
三次数学危机的感想——数学文化与思维作业学号：20115261 姓名：刘奇学院：计算机年级：2011 无理数的确认──第一次数学危机第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。
第一次数学危机同时反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。
这是数学思想上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。
什么是无穷──第二次数学危机伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机。
以求速度为例，瞬时速度是当趋近于零时的值。
是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。
“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。
牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。
数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。
特别是像海王星的发现，那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。
所以，人们不大相信贝克莱的指责。
这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。
”19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理。
“ε-σ”语言给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语。
虽然所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。
这样就使数学分析建立在了实数理论的严格基础之上。
罗素悖论的责难──第三次数学危机这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。
数学家们发现，从自然数与集合论出发似乎可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。
而罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。
三次数学危机3篇
三次数学危机第一次数学危机在数学的发展历程中，曾有一次重大的危机，即第一次数学危机。
这次危机发生在20世纪初期，当时的数学家们正在努力寻找一种新的数学方法，以便更好地描述和理解现实世界中的复杂问题。
然而，这条道路并不平坦。
新的数学方法需要更加先进的数学理论支持，但当时的数学还无法满足这一需求。
同时，现实世界中的问题也变得越来越复杂，使得数学家们遇到了难以逾越的困难。
在这种情况下，数学家们开始怀疑数学的基础是否可靠。
他们发现，在数学的基础中存在着一些悖论和不完备性，这让他们陷入了困惑和迷茫。
为了解决这个问题，一些数学家开始重新审视数学的公理和证明，试图找到一种更加严格和完备的数学基础。
他们成立了一些小组，进行了长期而艰苦的研究和讨论。
这些研究最终导致了数理逻辑和公理化方法的发展，这些方法为将来的数学研究奠定了坚实的基础。
第一次数学危机虽然让数学家们苦苦思索和探讨，但也给了他们寻求新的数学方法的动力和启示。
第二次数学危机20世纪初期，数学家们在前往更为复杂的数学领域的过程中遭遇了另一次危机，即第二次数学危机。
这次危机源自对几何学和拓扑学的深入研究，数学家们发现其中存在许多令人困惑和无法解决的问题。
在几何学中，数学家们发现了一些反直觉的结果，这些结果对数学的基础产生了挑战。
例如，他们发现两个形状看似相同的物体却可能有不同的特征，这种现象被称为拓扑上的不可区分性。
在证明这些结果时，数学家不得不使用一些超出传统几何学范围的新工具，如集合论、拓扑学和代数学。
这些新工具的使用使得数学变得更加抽象和复杂，进一步挑战着数学基础的可靠性。
数学家们为了解决这些问题，开始研究数学的逻辑结构，并且发展出了公理集合论来奠定数学基础的更加牢固。
这种方法成为当代数学的基础之一，为数学家们寻找解决方案提供了关键性的工具。
第三次数学危机第三次数学危机发生在上世纪50年代和60年代，当时人们开始在计算机上使用数学模型来解决实际问题。
三次数学危机
三次数学危机近年来，全球数学教育领域出现了三次重大危机。
这些危机对数学教育和数学领域造成了巨大的影响，同时也引发了人们对数学教育的深思和反思。
第一次数学危机：学生数学素养缺失随着科技的发展和全球化的进程，数学应用范围扩大，人们对数学素养的要求也越来越高。
然而，随着教育体系的快速扩张，学生数量的大幅增加，数学教育也面临着新的挑战。
特别是在发展中国家，大量学生因为教育资源的不足，缺乏基础数学知识和实际应用能力，这就导致了数学教育与社会需求之间的差距越来越大。
首先是基本知识不够扎实。
现在，很多学生在做数学题时，经常出现漏洞百出的情况。
其中，最常见的问题是基本数学公式掌握不牢固，导致出现一些低级错误。
其次，很多学生缺乏灵活性和创造性。
很多数学问题需要学生通过思考和运用数学知识来解决，但是现在的很多学生习惯于机械式的计算，不愿意用思考去解决问题。
这也是学生数学素养缺失的一个重要原因。
为了解决这个问题，不仅需要加强数学教育的质量，还需要对数学教学方法进行改进。
一方面，教师需要注重培养学生的数学素养和思维能力，让他们能够理解数学知识的本质。
另一方面，学生也需要学习如何运用已有知识解决实际的数学问题，并且要在实践中不断探索和学习。
第二次数学危机：教师缺乏数学教育知识和技能数学教学是一个非常复杂和技术性强的工作。
对于指导学生学习数学的教师来说，他们需要掌握数学教育知识和教学技能，如何组织教育资源，如何指导学生学习，如何评估学生知识水平等等。
然而，在现实中，很多教师的数学教育知识和技能都不够充分，这就导致了数学教育的质量难以保证。
一方面，现在的数学教师很多是简单“过场”。
由于教师职业相对较为稳定，很多人并不具备数学专业背景，但仍从事数学教育工作。
因此，这些教师的数学知识水平和教育能力都比较有限，无法让学生充分理解数学的本质，更难以激发学生的兴趣和学习热情。
针对这一问题，需要提高教育工作者的素质。
对于那些无法接受正统数学教育的教师来说，应该通过系统培训来提高他们的专业素养和教育技能。
三次数学危机论文
三次数学危机论⽂ 数学史上出现的三次数学危机,与其说是“数学的危机”,不如说是“数学哲学的危机”.下⾯店铺给你分享三次数学危机论⽂，欢迎阅读。
三次数学危机论⽂篇⼀ 摘要：本⽂主要通过数学史上的三次危机的产⽣与消除，针对它们的本质浅谈⾃⼰的认识，实际导致这三次危机原因在与⼈的认识。
第⼀次数学危机是⼈们对万物皆数的误解，随着⽆理数的发现，把第⼀次数学危机度过了。
第⼆次数学危机是⼈们对⽆穷⼩的误解，微积分的出现产⽣了⼀种新的⽅法，即分析⽅法，分析⽅法是算和证的结合。
是通过⽆穷趋近⽽确定某⼀结果。
罗素悖论的发现，给数学界以极⼤的震动，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进⾏了不懈的探讨，提出了⼀系列解决⽅案，并在不知不觉中⼤⼤推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机;万物皆数;⽆穷⼩;分析⽅法;集合 ⼀、前 ⾔ 数学常常被⼈们认为是⾃然科学中发展得最完善的⼀门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，⼈们为了使数学向前发展，从⽽引⼊⼀些新的东西使问题化解，在第⼀次危机中导致⽆理数的产⽣;第⼆次危机发⽣在⼗七世纪微积分诞⽣后，⽆穷⼩量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发⽣在19世纪末，罗素悖论的产⽣引起数学界的轩然⼤波，最后是将集合论建⽴在⼀组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
本⽂回顾了数学上三次危机的产⽣与发展，并给出了⾃⼰对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
⼆、数学史上的第⼀次“危机” 第⼀次数学危机是发⽣在公元前580-568年之间的古希腊。
那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕⽒学派对数的认识进⾏了研究，他们认为“万物旨数”。
所谓数就是指整数，他们确定数的⽬的是企图通过揭⽰数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的⼀切现象都能归结为整数或整数之⽐，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。
在那个时期。
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
数学的几次危机
数学的几次危机数学作为一门精确的科学，曾经历过几次危机，这些危机不仅考验了数学家们的智慧和勇气，也推动了数学的发展和进步。
本文将从数学的几个关键时刻出发，探讨数学的危机和其对数学发展的影响。
一、无理数的发现与数学的危机在古希腊时期，数学家们研究了直角三角形的斜边与两个直角边的关系，发现了无理数的存在。
无理数是不能表示为两个整数之比的实数，比如π和√2。
这个发现对于当时的数学家们来说是一个巨大的冲击，因为他们相信一切数都可以表示为有理数的比值。
这个危机促使数学家们重新思考数的概念，最终推动了实数系统的建立。
二、非欧几里德几何的出现与数学的危机欧几里德几何是古希腊时期最为流行的几何学体系，但19世纪，非欧几里德几何的出现对数学界造成了巨大的冲击。
非欧几里德几何否定了欧几里德几何中的第五公设，即平行公设。
这个危机使得数学家们开始重新审视几何学的基础，并最终导致了拓扑学、微分几何等新的几何学分支的发展。
三、哥德尔不完备定理的提出与数学的危机哥德尔不完备定理是由数学家哥德尔在20世纪提出的，它揭示了数学系统的局限性。
该定理表明，在一个自洽的数学系统中，总存在一些命题无法被证明或否定。
这个定理的出现给数学家们带来了巨大的冲击，因为他们一直相信数学是完备的。
这个危机促使数学家们重新思考数学的基础，推动了数理逻辑和数学基础理论的发展。
四、四色猜想的证明与数学的危机四色猜想是一个关于地图着色的问题，即任何一个平面地图只需要四种颜色就能保证相邻区域不会有相同的颜色。
这个猜想在19世纪被提出，但直到1976年才被证明。
这个危机使得数学家们对于证明的可靠性和方法进行了反思，并推动了证明论和计算机证明的发展。
以上是数学的几个关键时刻，这些危机不仅考验了数学家们的智慧和勇气，也推动了数学的发展和进步。
通过数学的危机，我们看到了数学领域不断突破自身的努力和勇气，也让我们更加深入地理解了数学的本质和价值。
三次数学危机及其影响
整理课件
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❖ 最后，这些既属于自己而又不属于自己 的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾，引 发起第三次数学危机。
整理课件
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危机的消除
❖ 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
整理课件
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罗素悖论
❖ 但罗素在1903年出版了《数学的原理》，书 中提到著名的罗素悖论，使数学基础产生了 裂纹，因而震动了整个数学界，这就是所说 的第三次数学危机。
整理课件
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理发师悖论
罗素悖论的通俗化——“理 发师悖论”：某村的一个理 发师宣称，他给且只给村里 自己不给自己刮脸的人刮脸。 问：理发师是否给自己刮脸？
整理课件
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三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光——集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
数学历史之： 三次数学危机及其影响
一. 第一次数学危机
❖ 一. 第一次数学危机
❖ 1.危机的起因：
第一次数学危机是由 不 能写2 成两个整数 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
整理课件
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例：如边长为1的正方形，对角线的 长度就不能以整数之比表示。
三次数学危机的感想精编版
三次数学危机的感想——数学文化与思维作业学号：20115261 姓名：刘奇学院：计算机年级：2011 无理数的确认──第一次数学危机第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。
第一次数学危机同时反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。
这是数学思想上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。
什么是无穷──第二次数学危机伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机。
以求速度为例，瞬时速度是当趋近于零时的值。
是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。
“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。
牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。
数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。
特别是像海王星的发现，那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。
所以，人们不大相信贝克莱的指责。
这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。
”19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理。
“ε-σ”语言给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语。
虽然所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。
这样就使数学分析建立在了实数理论的严格基础之上。
罗素悖论的责难──第三次数学危机这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。
数学家们发现，从自然数与集合论出发似乎可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。
而罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。
三次数学危机和数学悖论读书笔记
三次数学危机和数学悖论读书笔记一、第一次数学危机。
1. 危机的起源。
- 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是整数或整数之比（即有理数）。
当他们研究等腰直角三角形的斜边与直角边的关系时，发现了一个不可公度的量。
例如，对于边长为1的等腰直角三角形，其斜边长度为√(2)，√(2)不能表示为两个整数之比，这与他们的信条产生了冲突。
2. 对数学的影响。
二、第二次数学危机。
1. 危机的起源。
- 17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分。
在微积分的早期发展中，存在着一些概念上的模糊性。
例如，牛顿的流数法中，对于无穷小量的定义和处理不够严谨。
在求导过程中，先把一个量看作无穷小量进行运算，最后又把它当作零舍去，这就引发了逻辑上的矛盾。
例如，对于函数y = x^2，求导时(Δ y)/(Δ x)=frac{(x + Δ x)^2-x^2}{Δ x}=2x+Δ x，当Δ x趋近于0时，牛顿把Δ x既当作非零的量进行运算，最后又当作零舍去得到y' = 2x。
2. 对数学的影响。
- 这次危机促使数学家们对微积分的基础进行深入的思考和研究。
柯西、魏尔斯特拉斯等数学家通过极限理论等方式来完善微积分的基础。
柯西提出了极限的ε - δ定义，使得微积分中的概念如导数、积分等有了严格的定义基础。
魏尔斯特拉斯进一步完善了极限理论，消除了无穷小量概念的模糊性，从而使微积分建立在严格的逻辑基础之上，推动了分析学的蓬勃发展，也为现代数学分析等学科的发展奠定了坚实的基础。
三、第三次数学危机。
1. 危机的起源。
- 19世纪末，集合论成为了数学的基础。
康托尔创立的集合论在处理无穷集合等问题上取得了巨大的成功。
罗素提出了著名的罗素悖论。
考虑集合S={xx∉ x}，如果S∈ S，根据S的定义，S∉ S；如果S∉ S，同样根据定义S∈ S，这就产生了矛盾。
这个悖论表明集合论本身存在着逻辑漏洞。
2. 对数学的影响。
- 第三次数学危机引发了数学界的巨大震动。
三次数学危机
三次数学危机的学习心得初二杨人睿无理数的确认──第一次数学危机第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。
第一次数学危机同时反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。
这是数学思想上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。
什么是无穷──第二次数学危机伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机。
以求速度为例，瞬时速度是当趋近于零时的值。
是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。
“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。
牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。
数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。
特别是像海王星的发现，那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。
所以，人们不大相信贝克莱的指责。
这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。
”19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理。
语言给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语。
虽然所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。
这样就使数学分析建立在了实数理论的严格基础之上。
罗素悖论的责难──第三次数学危机这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。
数学家们发现，从自然数与集合论出发似乎可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。
而罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。
但是，由于这那些悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。
数学三次危机的启示和感悟
数学三次危机的启示和感悟聊起数学三次危机，感觉就像翻开了一本充满波折与智慧的探险日记。
咱们都知道，数学这东西，平时看起来挺高冷，但其实它也有热血沸腾、让人揪心的时候。
今天，咱们就来聊聊数学历史上那三次让人目瞪口呆的“大事件”，看看它们能给我们带来啥启示和感悟。
话说第一次数学危机，发生在古希腊那会儿。
那时候的人们特别爱思考，他们想啊，这世界上的一切是不是都能用数学来解释呢？于是，毕达哥拉斯学派的大佬们就提出了一个牛气冲天的观点：万物皆数。
但好景不长，有个叫希帕索斯的家伙，不小心踢到了数学的“铁板”——他居然发现了个不能表示为两个整数比的数，也就是咱们现在说的无理数。
这事儿一出，整个学派都炸了锅，毕竟他们的信仰受到了严重挑战。
这场危机告诉我们，世界远比我们想象的要复杂得多。
有时候，你以为已经掌握了真理，结果却发现只是冰山一角。
所以，咱们得保持谦逊，别轻易说“我懂了”。
生活中也一样，别总觉得自己啥都知道，多听听别人的意见，说不定会有新发现呢。
第二次数学危机，发生在17世纪。
那时候，微积分这个超级工具刚刚问世，牛顿和莱布尼茨两位大佬争得不可开交，都说是自己发明的。
但微积分这东西，虽然好用，却有点“模糊”，比如无穷小量这个概念，就让人头疼不已。
数学家们开始质疑：这玩意儿到底靠不靠谱啊？于是，数学界又陷入了一片混乱。
这场危机教会我们，创新总是伴随着风险和挑战。
微积分虽然厉害，但一开始也遇到了不少麻烦。
就像咱们创业或者尝试新事物一样，刚开始可能会遇到很多困难和质疑，但只要坚持下去，不断完善，总会找到属于自己的路。
所以，别怕困难，别怕质疑，相信自己，勇往直前就对了。
第三次数学危机，发生在20世纪初。
这次的主角是罗素和他的“理发师悖论”。
简单来说，就是有个理发师只给那些不给自己剪头发的人剪头发。
那么问题来了：理发师到底应不应该给自己剪头发呢？如果他给自己剪头发，那他就违反了只给不给自己剪头发的人剪头发的规则；如果他不给自己剪头发，那他又符合给自己剪头发的条件。
数学历史上三大危机
数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。
其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。
这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。
一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。
自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。
然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。
这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。
无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。
为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。
无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。
二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。
在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。
然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。
例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。
为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。
19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。
极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。
三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。
19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。
然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
数学史上的三次危机及对数学发展的影响《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲XXX一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。
今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。
讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。
国学大师XXX在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
入乎其内，故能写之。
出乎其外，故能观之。
入乎其内，故有生气。
出乎其外，故有高致。
”同学们平时听课、读书、做题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个推向另一个。
我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1)以锄头为代表的农耕文明；(2)以大机器流水线作业为代表的工业文明;(3)以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我本日演讲的问题是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。
本日，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的紧张影响，让同学们不仅从数学自身的头脑办法和使用的角度，而且从文化和历史的高度审阅数学的全貌和艳丽。
赞美数学头脑的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的发达发展。
二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1XXX与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容XXX是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：XXX学派。
由XXX提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
浅谈三次数学危机的启示
浅谈三次数学危机的启示“经济危机”，我在生活中听得多，“数学危机”却是第一次听说。
和经济危机发生的原因相似，数学危机发生也是由于数学基础和构架上存在本来就有的矛盾，在数学发展的过程中一点一点地显露出来。
在这三次数学危机中，我看到数学与哲学——无论是个人的哲学还是时代的哲学之间存在着千丝万缕的联系。
正如哲学上说的：“世界观决定方法论。
”——一个人对一件事的看法决定他处理这件事的方法。
如希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用当时的任何一个数表示出来，希伯索斯勇于提出问题并认定这个问题是当时数学上的一个缺漏，希望能在众人的讨论中得到解决，但他的观点被认为是“荒谬”和违反常识的事，他遭到别人的打压，甚至最终被投入海中淹死。
这个悲剧很大一个程度取决于当时人们的数的认识还不够全面和深入，于是去处决那些“离经叛道”的“异类”。
同时，也可以看到每一次数学危机都是一次传统和新锐的斗争。
先觉者不断挑战这旧日的权威，顽固派不断想要扼杀新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之势，烧尽腐朽落后的东西，随大江的海浪一波一波滚滚向前。
所以，我们应该培养开拓创新、钻研探究、不畏权威、追求真理的精神，在自己从事的领域上开创一片新的天地。
三次数学危机也是三次数学革命，发现问题，提出问题之后就需要解决问题。
人们经过多年不懈的讨论和研究，攻克了一个又一个的难关，数学危机给数学发展带来的动力，不断促进着数学理论基础的完善和成熟。
新的时代应该是开放、包容的时代，我们应该有一种允许不同的观点存在的心态：“虽然我不赞同你的说法，但我誓死捍卫你说话的权利。
”只有大家都有机会发表看法，才能在碰撞中擦出火花，激发出新的灵感，才能推动时代的发展。
百家争鸣，求同存异，共同进步才是文化领域上应有的风气。
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数学风暴
-----从三次数学危机看数学如何影响世界观
摘要
美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，这种关系在我们这个时代尤为明显。
”数学用它的逻辑性影响着人们的思维，又以其简洁明了的公式对复杂世界进行了精辟而又深刻的描述。
数学对人类的影响已经不仅仅是简单计数的应用，更是微积分在工程学的应用，拓扑学在航天领域的应用等。
不仅如此，通过三次数学危机，还能让我们看到它对我们世界观的影响。
关键词：数学危机世界观辩证联系
正文：
古往今来，从毕达格拉斯直到伽利略、笛卡儿、开普勒等众多数学家一直认为世界是数学的体现，世界是按数学公式运行的，宇宙的书本是按数学写成的，数学与世界密不可分。
20世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是惟一真正的客观现实……”
美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，这种关系在我们这个时代尤为明显。
”数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，更是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说。
数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。
因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。
1
当今世界被人们称为数字世界，经历了第一次工业革命，第二次电力革命，第三次信息革命后，人类已经进入了数字时代。
数学的应用深入人心，就连超市买菜的婆婆都知道如何计算价格。
而数学对人类影响的巨大，已经不是简简单单
的生活上的影响了，更是深入人心，潜移默化地改变着人们的价值观、世界观。
当数学家第一次发现无理数时产生了毕达哥拉斯悖论，直接导致了第一次数学危机。
在这之前人们普遍认为宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，可是当无理数发现时，人们产生了困惑，人们发现数学并不简单，而是充满了未知的事物。
无理数的发现，对人们认识世界产生了深刻的影响，让人们认识到了直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此人们开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是人类思想上的一次巨大革命！
从这次危机中不难分析出——唯物论的观点在起初似乎被有意或无意地曲解了。
其中的一个极端是认为认识必定来源于物质世界而且必定直接来自于物质世界；另一个极端是没有实践基础就要求人们解决思想问题，认为解决思想认识问题就解决了一切。
前者过分强调物质的作用，后者则过度依赖意识。
数学科学的事实与发展排除了这两种极端，这对如何认识世界的问题做出了解答。
数学的这种纯理性思维还具有预见性，且这种预见性是有一定准确率的，很多经济学家用一些经济曲线分析市场动态以及经济走势，就是对此有力的证明。
无穷小是零吗？──第二次数学危机更加深刻的影响着人类的思维。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了贝克莱悖论。
比如说他
指责牛顿求2x 的导数，先将x 取一个不为0的增量Δx，由()22x x x -∆+，得到
2xΔx + (Δx)2
，后再被Δx 除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。
这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x 有增量，又令增量为零，也即x 没有增量。
他认为无穷小dx 既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，称“dx 为逝去量的灵魂”。
无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。
从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，直到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了这个矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
2
基于这次危机，我们不得不说说“辩证与统一”的关系。
辩证唯物主义是讲联系，讲统一的。
但有些观点过分强调“本质联系”中的“本质”，犯了形而上学的错误。
实际上，本质都是从联系中发现的，而不是事先就知道的，为本质而
追求本质本身就是违背客观规律的。
数学方法的内涵之一是建立对应关系，通过对应关系去发现本质。
数学的研究对象是变量与常量，而在辨证唯物主义世界里，变与不变是辨证的关系，如数学中的“恒等变换”，恒等意味着不变，变换意味着变化。
这就是辩证法！这是数学方法中对辨证唯物主义的体现及应用，其意义之重大已使数学与世界观的核心部分的关系越来越紧密，与对世界本身的看法紧密相连。
第三次数学危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论构成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。
对于这次关于集合的悖论中，最著名的是罗素于1919年给出的：理发师宣布了这样一条原则——他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里这样的人刮脸。
当人们试图回答“理发师是否自己给自己刮脸？”的疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质，即如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。
”
这次危机中，我们体会到数学“逻辑”的神奇与魅力。
逻辑是研究事物之间的联系的，那么事物与事物的联系多少靠什么来判断呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。
表面的东西通常反映的是个性，它会掩盖共性。
个性往往是分散的，而共性就是将这些分散个体的个性凝聚，掌握个性与共性的关系，能帮我们理解生活中很多看似矛盾的问题。
如历史上赵国的公孙龙对白马非马的诡辩根本上说是割裂了一般和个别、共性和个性的关系，白色是属于马的一个外延，其本质内涵还是属于马的一类。
数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性，从事物的特殊性中发现普遍性。
追求普遍性的意义在于，其能帮助我们更好的认识和理解世界，且普遍性对我们的生活有更大的指导作用。
总而言之，数学是所有科学的奠基者，而哲学是建立在数学基础上对于世界的认识，世界观是哲学的朴素形态。
没有简洁明了的数字组成的公式，人们无法深刻地认识世界，无法从纷繁复杂的宇宙中找出事物运行发展的规律。
当我们从一个个公式出发，不断向着更加深奥的宇宙迈进时，我们会发现，我们不过是一个复杂数学世界的很小的构成体，我们无法全面的看到世界运行的大道。
根据人择理论的阐述，世界之所以是我们看到的这样是因为如果世界不是这样的，那么就不会有我们这样站在这里观察这个世界。
所以，当我们在数学的道路上越走越远的时候，我们应该不断地用数学那样准确、严谨、注重逻辑推理、注重每个推理的坚实基础的眼光来审视这个世界。
当我们的头脑被数学武装起来的时候，我们的理性思维就将引导我们走向正确的道路，我们的创造性思维就会在数学的坚实基础上开花结果，从而构建出更加丰富更加美好更加正确的世界观！
参考文献
1尼古拉斯·雷舍尔，《复杂性–––––一种哲学概观》，上海科技教育出版社，2007-8
2韩雪涛《数学悖论与三次数学危机》湖南科学技术出版社，2006-5。