三次数学危机的启示

数学风暴

-----从三次数学危机看数学如何影响世界观

摘要

美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，这种关系在我们这个时代尤为明显。”数学用它的逻辑性影响着人们的思维，又以其简洁明了的公式对复杂世界进行了精辟而又深刻的描述。数学对人类的影响已经不仅仅是简单计数的应用，更是微积分在工程学的应用，拓扑学在航天领域的应用等。不仅如此，通过三次数学危机，还能让我们看到它对我们世界观的影响。

关键词：数学危机世界观辩证联系

正文：

古往今来，从毕达格拉斯直到伽利略、笛卡儿、开普勒等众多数学家一直认为世界是数学的体现，世界是按数学公式运行的，宇宙的书本是按数学写成的，数学与世界密不可分。20世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是惟一真正的客观现实……”

美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，这种关系在我们这个时代尤为明显。”数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，更是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。1

当今世界被人们称为数字世界，经历了第一次工业革命，第二次电力革命，第三次信息革命后，人类已经进入了数字时代。数学的应用深入人心，就连超市买菜的婆婆都知道如何计算价格。而数学对人类影响的巨大，已经不是简简单单

的生活上的影响了，更是深入人心，潜移默化地改变着人们的价值观、世界观。

当数学家第一次发现无理数时产生了毕达哥拉斯悖论，直接导致了第一次数学危机。在这之前人们普遍认为宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，可是当无理数发现时，人们产生了困惑，人们发现数学并不简单，而是充满了未知的事物。无理数的发现，对人们认识世界产生了深刻的影响，让人们认识到了直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此人们开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是人类思想上的一次巨大革命！

从这次危机中不难分析出——唯物论的观点在起初似乎被有意或无意地曲解了。其中的一个极端是认为认识必定来源于物质世界而且必定直接来自于物质世界；另一个极端是没有实践基础就要求人们解决思想问题，认为解决思想认识问题就解决了一切。前者过分强调物质的作用，后者则过度依赖意识。数学科学的事实与发展排除了这两种极端，这对如何认识世界的问题做出了解答。数学的这种纯理性思维还具有预见性，且这种预见性是有一定准确率的，很多经济学家用一些经济曲线分析市场动态以及经济走势，就是对此有力的证明。

无穷小是零吗？──第二次数学危机更加深刻的影响着人类的思维。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了贝克莱悖论。比如说他

指责牛顿求2x 的导数，先将x 取一个不为0的增量Δx，由()22x x x -∆+，得到

2xΔx + (Δx)2

，后再被Δx 除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x 有增量，又令增量为零，也即x 没有增量。他认为无穷小dx 既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，称“dx 为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，直到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了这个矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。2

基于这次危机，我们不得不说说“辩证与统一”的关系。辩证唯物主义是讲联系，讲统一的。但有些观点过分强调“本质联系”中的“本质”，犯了形而上学的错误。实际上，本质都是从联系中发现的，而不是事先就知道的，为本质而

追求本质本身就是违背客观规律的。

数学方法的内涵之一是建立对应关系，通过对应关系去发现本质。数学的研究对象是变量与常量，而在辨证唯物主义世界里，变与不变是辨证的关系，如数学中的“恒等变换”，恒等意味着不变，变换意味着变化。这就是辩证法！这是数学方法中对辨证唯物主义的体现及应用，其意义之重大已使数学与世界观的核心部分的关系越来越紧密，与对世界本身的看法紧密相连。

第三次数学危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论构成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。

对于这次关于集合的悖论中，最著名的是罗素于1919年给出的：理发师宣布了这样一条原则——他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答“理发师是否自己给自己刮脸？”的疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质，即如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”

这次危机中，我们体会到数学“逻辑”的神奇与魅力。逻辑是研究事物之间的联系的，那么事物与事物的联系多少靠什么来判断呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。表面的东西通常反映的是个性，它会掩盖共性。个性往往是分散的，而共性就是将这些分散个体的个性凝聚，掌握个性与共性的关系，能帮我们理解生活中很多看似矛盾的问题。如历史上赵国的公孙龙对白马非马的诡辩根本上说是割裂了一般和个别、共性和个性的关系，白色是属于马的一个外延，其本质内涵还是属于马的一类。

数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性，从事物的特殊性中发现普遍性。追求普遍性的意义在于，其能帮助我们更好的认识和理解世界，且普遍性对我们的生活有更大的指导作用。