2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)文科数学试题
2021年高三第三次高考模拟数学(文)试题 含答案
2021年高三第三次高考模拟数学（文）试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知两个集合，则A. B．C．D．2.设复数，则A . B．C．D．3. 对于实数是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.A.B．C．D．5.如图所示，程序框图的功能是A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和6. 设等比数列的前项和为，则为A. B.C. 或D.7. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为A.73m3 B.92m3 C.94m3 D. 72m38. 点在不等式组表示的平面区域内，则取值范围是A . B．C．D．9. 点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成的角是第5题图第7题图A．B．C．D．10.函数的图像大致是A B C D11.直线与圆的四个交点把圆分成的四条弧长相等，则A .或 B. 或C．D．12.已知函数，对，使得，则的最小值为A . B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题与选考题两部分，第13-21题为必答题，每个考题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(十三)文科数学
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1. 已知全集U Z =，集合，{}1,0,1,2A =-，{}220B x Z x x =∈--<，则()UAB =（ ） A. {}1,2 B. {}1,0- C. {}0,1 D. {}1,2-【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求得集合B 的补集，由集合的交集运算可得选项. 【详解】{}{}{}2201201B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，，所以{}0,1UB x Z x x =∈≠≠，又{}1,0,1,2A =-，所以()UA B ={}1,2-，故选：D.【点睛】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．2. 已知复数z 满足92i14iz +=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四三象限 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算化简得到z ，z ，可得到选项.【详解】()()()()92i 14i 92i 17341214i 14i 14i 17iz i +-+-====-++-，所以1+2z i =， 故在复平面内z 对应的点位于第一象限. 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数，以及复数对应象限，属于基础题.3. 已知双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. 3C. D.3【答案】B 【解析】 【分析】分别求出顶点到渐近线的距离、焦点到渐近线的距离，列出关于,,a b c 的方程，再结合222c a b =+ ，即可求得离心率的值.【详解】由题意知：取双曲线的顶点(0,)A a 、焦点坐标(0,)F c ，取渐近线方程为ay x b=，也即是0ax by -= ，顶点到渐近线的距离为1abd c==，焦点到渐近线的距离为1d b == ，1213ab d a c d b c ∴===， 3ce a∴== ， 故选：B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、离心率的求法、点到直线的距离公式，属于基础题. 4.为了得到函数21cos cos 2y x x x =-的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向右平移π6个单位长度D. 向左平移π3个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】结合二倍角公式和降幂公式化简得22c 1cos cos 2os 23y x x x x π⎛⎫- ⎪=⎝-⎭=，再结合平移法则即可求解. 【详解】211cos 211cos cos 22cos 22222x y x x x x x x +=+-=-+=-= 22sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2626333x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由函数平移法则可知，将函数cos 2y x =的图像向右平移3π个长度单位即可得到cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：B【点睛】本题考查二倍角公式与降幂公式及诱导公式的使用，由变换前后表达式求解平移量，解题关键是将不同名三角函数结合诱导公式转化成同名，属于中档题5. 记不等式组10,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的解集为D ，(),x y D ∃∈，使2x y a +≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],3-∞ B. (],5-∞-C. []5,3-D. [)3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】令2z x y =+，求出z 的最大值，max a z ≤ 即可. 【详解】可行域如图所示由1010x y y +-=⎧⎨+=⎩得 (2,1)A -，当2z x y =+过(2,1)A -时，max 2213z =⨯-=，3a ∴≤ .故选：A【点睛】本题考查了线性规划问题与函数有解问题，属于中档题. 6. 函数||2sin ()x xf x e =在[π-，]π的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，对称性，单调性和最值之间的关系进行判断即可． 【详解】解：||||2sin()2sin ()()x x x xf x f x e e---==-=-，则函数()f x 是奇函数， 则图象关于原点对称，故排除D ． 当(0,)x π∈时，2)4()xx f x e π+'=，则当(0,)4x π∈时，()0f x '>，函数()f x 为增函数，(4x π∈，)π时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当4x π=时，()f x 取得极大值同时也是最大值442222()14f e e ππ==<，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数与图象之间的关系，结合导数与单调性之间的关系以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键．7. 已知圆C ：221x y +=，点M 为直线260x y --=上一动点，过点M 向圆C 作切线MA ，MB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A. 11,36⎛⎫-⎪⎝⎭B. 11,36⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,63⎛⎫-⎪⎝⎭D. 11,63⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设M 的坐标为(26,)M m m +，由切线的性质得点A 、B 在以OM 为直径的圆C 上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB 所在的直线方程，再求出直线AB 过的定点坐标．【详解】解：因为M 是直线260x y --=的任一点，所以设(26,)M m m +， 因为圆221x y +=的两条切线MA 、MB ，切点分别为A 、B ， 所以OA MA ⊥，OB MB ⊥，则点A 、B 在以OM 为直径的圆C 上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦， 则圆心C 的坐标是(3m +，)2m ，且半径的平方是222(26)4m m r ++=， 所以圆C 的方程是2222(26)(3)()24m m m x m y ++--+-=，①又221x y +=，②，②-①得，(26)10m x my ++-=，即公共弦AB 所在的直线方程是：(26)10m x my ++-=， 即(2)(61)0m x y x ++-=， 由61020x x y -=⎧⎨+=⎩得16x =，13y =-，所以直线AB 恒过定点1(6，1)3-，故选：D ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．8. 函数()sin cos f x x x ωω=-()0ω>在区间()0,π内有三个零点，则ω的值可能为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】 【分析】由辅助角公式可得())4f x x πω=-.由0πx <<，可得444x πππωωπ-<-<-.根据()f x 在区间()0,π内有三个零点，可得234ππωππ<-≤，求出ω的取值范围，即得答案.【详解】()sin cos )4f x x x x πωωω=-=-.0,0,444x x πππωπωωπ><<∴-<-<-，函数()f x 在区间()0,π内有三个零点，91323,444ππωππω∴<-≤∴<≤. 故选：B .【点睛】本题考查辅助角公式和函数的零点，属于基础题.9. 中央电视台总台推出的《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛，现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9【答案】B 【解析】 【分析】先计算出甲、乙二人都没有被选上的概率，由对立事件的概率可得出答案【详解】总的基本事件个数为2510C =，甲、乙二人都没有被选上的基本事件有233C =，∴ 甲、乙二人都没有被选上的概率为232530.310C C ==，则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为10.30.7-=， 故选：B【点睛】本题考查了排列组合知识、概率的求法，考查运算能力，属于基础题.10. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3S ，9S ，6S 成等差数列，且252m a a a +=，则m =（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量，转化已知条件，利用整体代换，即可求得结果. 【详解】不妨设数列{}n a 的公比为q ， 因为3S ，9S ，6S 成等差数列， 故可得3692S S S +=，当1q =时，11918a a =，解得10a =（舍） 当1q ≠时，即()()()3691111112111a q a q a q qq q---+=---整理可得()363210qq q --=，也即()()332110q q +-=，解得31q =（舍），312q =-. 252m a a a +=等价于412m q q q -+=，也即32?1122m q q -+==， 解得214m q-=，又312q =-. 故可得26m -=，则8m = 故选：C【点睛】本题考查等比数列通项和前n 项和基本量的计算，属综合基础题.11. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为1CC 的中点，N 为线段1DD 上靠近1D 的一个三等分点，设过点B ，M ，N 的平面把正方体的棱1AA 所在直线交于点Q ，则线段AQ 的长为（ ）A.8a B.6a C.4a D.3a 【答案】B 【解析】 【分析】根据四点共面找出点Q 的位置，即可求出AQ 的长度. 【详解】如图所示，过A 作AE BM 交1DD 于点E ，则E 是1DD 的中点， 过N 作NTAE 交1AA 于点T ,则NT BM ，B ∴，M ，N ，T 四点共面，所以点Q 与点T 重合，11111236AQ AE D E D N a a a ∴==-=-=. 故选: B【点睛】本题主要考查了点、直线、平面的位置关系，属于基础题.12. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有（ ） A. 5项 B. 6项 C. 7项 D. 8项【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等差数列求和公式,写出首项的平方与其余各项之和的表达式,利用一个数的平方最小为0，解不等式即可.【详解】设等差数列为{}n a ，则21133n a S a +-≤，2111(1)2332n n a na a -∴++⨯-≤ ， 211(1)(1)33a n a n n ∴+-+-≤，211(1)(31)()3324n n n a --+∴++≤， 为了使n 尽量大，故211()02n a -+=， (1)(31)334n n -+∴≤，(1)(31)132n n ∴-+≤，当6n =时，519132⨯< ， 当7n =时，622132⨯= ，max 7n = ，故选：C【点睛】本题考查求数列的项数，考查计算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.二、填空题13. 把一个大金属球表面涂漆，共需1.5公斤油漆．若把这个大金属球熔化制成为64个大小都相同的小金属球，不记损耗，将这些小金属球表面都涂漆，则需要用油漆______公斤． 【答案】6 【解析】 【分析】设大金属球的半径为R ，小金属球的半径为r ，根据体积相等建立等量关系式，然后求出64个小球的表面积之和，从而得出答案.【详解】设大金属球的半径为R ，小金属球的半径为r ， 由33446433R r ππ=⨯ ，可得14r R =， 64个小球的表面积之和为2264444()r R ππ⨯=⨯由题意得：大金属球表面为24R π需要1.5公斤油漆，4 1.56∴⨯=（公斤）故答案为：6【点睛】本题考查球的体积和表面积的求法，考查计算能力，属于基础题.14. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，定点()1,1A ，则PAF △周长最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知||||PF PD =．因此问题转化为求||||PA PD +的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时||||PA PD +最小，从而可得结果 【详解】求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值， 设点P 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义，可知||||PF PD =因此，||||PA PF +的最小值，即||||PA PD +的最小值根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小， 因此的最小值为(1)112A x --=+=， ||1AF =，所以PAF ∆周长的最小值为213+=， 故答案为：3．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．15. 已知等腰直角三角形ABC 中，1AB AC ==，()1,2,3,,8i M i =⋅⋅⋅顺次为线段BC 的九等分点，则9i i AM AM -⋅的最大值为______． 【答案】4081【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，求出点的坐标，将9i i AM AM -⋅用坐标表示出来，再求出最大值. 【详解】如图建立平面直角坐标系等腰直角三角形ABC 中，1AB AC ==，2BC ∴=， 19222(9)22((,0),(,0),(99922i i i i M M M A --∴ ， 222(,922i AM =--， 92(9)22(922i i AM --=--， 9222(9)222(((()929222i i i i AM AM AM --⋅==-⋅-+-⨯- 22222(9)81981i i i i =-+=-- ， 4i ∴=或5i =时9i i AM AM -⋅最大，此时29240(494)8181i i AM AM -⋅=--⨯=故答案为：4081【点睛】本题主要考查了数量积的运算，只要想到方法便可迎刃而解，属于中档题.16. 平行于x 轴的直线与函数()ln ,0,e ,0,x x f x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为______． 【答案】2e 【解析】 【分析】画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可. 【详解】根据题意，画出()f x 的图象如下所示：令()f x t =，(0)t >，故可得lnx t =，解得t x e =；e t x -=，解得ex t=-. 故可得(),,,te A e t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0)t >， 故()teAB g t e t==+，(0)t >， 故可得()2te g t e t ='-，()30te g t e t '=+>'恒成立， 故()g t '是单调递增函数，且()10g '=，关于()0g t '<在()0,1成立，()0g t '>在()1,+∞成立，故()g t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 故()()12min g t g e e e ==+=. 即AB 的最小值为2e . 故答案为：2e .【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及数形结合以及构造函数法，属基础题.三、解答题 （一）必考题17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c 2sin 2cos 2B CC c +=. （1）求角A 的大小；（2）若7a =，ABC ∆，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）23π；（2）15 【解析】 【分析】（12sin 2sin sin2A A C C =，化简得到tan 2A=，得到答案. （2）根据面积得到15bc =，再根据余弦定理得到8+=b c ，计算得到周长. 【详解】（1）在ABC 中，A B C π++=，所以cos cos sin 222B C A Aπ+-==，2sin 2sin sin 2A A C C =，因为sin 0C ≠22sin2A A =，所以2cos 2sin 222A A A =，又sin 02A ≠sin 22A A =，所以tan 2A =0,022A A ππ<<<<，所以23A π=，故23A π=.（2）由题意得1sin 2bc A ==15bc =， 由余弦定理，得22222cos 49b c bc A b c bc +-=++=， 即()249b c bc +-=，所以()21549,8b c b c +-=+=， 故ABC 的周长为15a b c ++=.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生综合应用能力和计算能力.18. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD ，PA=2，AB=1．设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．（1）求证：平面CMN ∥平面PAB ； （2）求三棱锥P-ABM 的体积．【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥P ABM -的体积3V = 【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得MN ∥PA ⇒ MN ∥平面PAB . 再证得60ACN BAC CN ∠=∠=∥ABCN ∥平面PAB ⇒平面CMN ∥平面PAB ； （2）由（1）知，平面CMN ∥平面PAB ⇒点M 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离⇒3 M PAB C PAB P ABC V V V V ---====. 试题解析：（1）证明：∵,M N 分别为,PD AD 的中点， 则MN ∥PA . 又∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .在Rt ACD ∆中，60,CAD CN AN ∠==，∴60ACN ∠=. 又∵60BAC ∠=， ∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CN ∥平面PAB . 又∵CN MN N ⋂=， ∴平面CMN ∥平面PAB . （2）由（1）知，平面CMN ∥平面PAB ，∴点M 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离.由已知，1AB =，90ABC ∠=，60BAC ∠=，∴BC =，∴三棱锥P ABM -的体积111232M PAB C PAB P ABC V V V V ---====⨯⨯=19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个顶点为()0,1，离心率e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若椭圆上存在点P ，使得OP OM ON =+，其中O 是坐标原点，求OMN 的面积．【答案】（1）2214x y +=；（2）2【解析】 【分析】（1）根据已知条件，列出方程，即可求得,,a b c ，则问题得解；（2）设出直线方程y kx m =+，联立椭圆方程，利用韦达定理和已知条件，即可求得,k m 的关系，再求弦长以及三角形面积，则问题得解.【详解】（1）根据题意，显然1,2c b a ==， 结合222a b c =+， 解得2224,1,3a b c ===，故椭圆方程为：2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+， 联立椭圆方程可得()222148440kxkmx m +++-=，则()()2222Δ64414440k m k m=-+->，即2241k m +>设,M N 两点的坐标为()()1122,,,x y x y ，故可得()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++ 则()121222214my y k x x m k +=++=+因为OP OM ON =+， 故可得2282,1414P P km mx y k k-==++， 又点P 在椭圆上，故可得222282441414km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理可得：22414k m +=.故MN ===，又()0,0到直线y kx m =+的距离d =故三角形OMN 的面积12S MNd =⨯⨯12=21432m =⨯ 32=. 即三角形OMN 的面积为32. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的问题，属综合中档题. 20. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系： 周光照量X （单位：小时） 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照控制仪最多可运行台数 3 21若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑，0.55≈0.95≈．【答案】（1） 0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2） 4600元． 【解析】 【分析】（1）由折线图，可得,x y ，依次算得()521ii x x =-∑，()521ij y y =-∑，()()51iii x x y y =--∑，可求得r 0.950.75=≈>, 所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. （1）分别计算安装1台，2台，3台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择，即可求得答案.【详解】（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==， 因为()()()()5131000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====，所以相关系数nx x y y r--=0.95==≈，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元； ②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=元， 当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=元， 故Y 的分布列为：所以()20000.260000.85200E Y =⨯+⨯=元． ③安装3台光照控制仪的情形：当时70X >，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元13000210001000Y =⨯-⨯=， 当时5070X ≤≤，有2台光照控制仪运行，此时周总利润元23000110005000Y =⨯-⨯=, 当时3070X <≤，3台光照控制仪都运行，周总利润元330009000Y =⨯=， 故Y 的分布列为()10000.250000.790000.14600E Y =⨯+⨯+⨯=综上所述，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【点睛】本题考查了折线图识图，主要考查数据的运算能力和利用统计知识解决实际问题，体现了数学知识的应用性，需要注意的是可以选择安装一台，也可以安装两台，而两台时是一个期望值，属于基础题.21. 已知函数()22ln f x ax x =-，()()212g x a x =-+．（1）若R a ∈，讨论函数()f x 的单调性；（2）若N a ∈，对于任意的()0,x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求a 的最小值．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在0,a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，（2）2【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出2'222()2ax f x ax x x -=-=，再分0a ≤和0a >讨论导函数的正负，从而可求出函数的单调区间；（2）令2()()()2ln 2(1)2(0)F x f x g x ax x a x x =-=---->，则对于任意的()0,x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，等价于()0F x ≥，然后利用导数求()F x 的最小值即可【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，由()22ln f x ax x =-，得2'222()2ax f x ax x x -=-= ①当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时，令'()0f x =，则2220-=ax ，解得x =，或x =，当0x <<时，'()0f x <，当x >'()0f x >，所以()f x 在0,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，综上，当0a ≤时，()f x (0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在0,a ⎛ ⎝⎭上单调递减，在a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，（2）令2()()()2ln 2(1)2(0)F x f x g x ax x a x x =-=---->，则对于任意的()0,x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，等价于()0F x ≥， 2'22[(1)1]2(1)(1)()22(1)ax a x x ax F x ax a x x x ---+-=---==，当10x a <<时，'()0F x <，当1x a>时，'()0F x >， 所以()F x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以当1x a=时，()F x 取最小值， 即min 11()()2ln F x F a a a==-， 令1()2ln h a a a =-（0a >），则'221()0h a a a =+>， 所以()h a 在(0,)+∞上单调递增， 因为14ln 21(1)10,(2)2ln 2022h h -=-<=-=>， 所以存在0(1,2)a ∈，使0()0h a =，所以当0a a ≥时，()0h a ≥，因为N a ∈，所以a 的最小值为2【点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题.（二）选考题［选修4—4：坐标系与参数方程］22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1,22,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，若点A 的极坐标为15π,6ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点B 的极坐标为23π,4ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点1A C ∈，2B C ∈，求AOB 的面积．【答案】（1cos sin 10θρθ-+=，2220x y y +-=；（2【解析】【分析】曲线1C 的参数方程消去t ，得到普通方程，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，可以得曲线1C 的极坐标方程，将2sin ρθ=两边同时乘以ρ后，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩，可得曲线2C 的直角坐标方程. 将A 、B 两点的极角分别代入曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程可以得到A 、B 两点的极径，再由三角形面积公式，即可得出AOB 的面积.【详解】将1,22,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t10y -+= ， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩10y -+=cos sin 10θρθ-+=， ∴ 曲线1Ccos sin 10θρθ-+=，将2sin ρθ=两边同时乘以ρ得22sin ρρθ=，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩得2220x y y +-= ， 曲线2C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=，（2）将A 的极坐标15π,6ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入1Ccos sin 10θρθ-+=得11ρ= ， 将点B 的极坐标23π,4ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2C 的极坐标方程2sin ρθ=得2ρ=121731sin 12642AOB S ππρρ∆⎛⎫∴=-=⨯= ⎪⎝⎭ . 【点睛】本题主要考查了参数方程、普通方程、极坐标方程之间的相互转化以及三角形的面积公式，理解极径和极角的含义很关键，属于中档题.［选修4—5：不等式选讲］23. 已知()12f x x x a =++-，()123g x x x =+--．（1）若()12f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若存在实数1x ，2x ，使得()()12f xg x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()[],20,3-∞-⋃ ；（2）[]7,3-【解析】【分析】（1）转化为()min 12f x a ≥-，再解绝对值不等式得出a 的取值范围. （2）转化为()f x 值域与()g x 值域交集非空，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）（i ）当12a <-， 即2a <- 时， ()31,2121,1231,1a x a x a f x x x a x a x x a x ⎧-+-<⎪⎪⎪=++-=--≤≤-⎨⎪-+>-⎪⎪⎩， 此时()min 3111()122222a f x f a a a a ==--≥-=--=--，解得1a ≤-， 2∴<-a ，（ii ）当12a =-，即2a =- 时， ()12310f x x x a x =++-=+≥，此时1322a -=，()12f x a ≥-不恒成立. (iii) 当12a >-， 即2a >- 时， ()31,1121,1231,2x a x a f x x x a x a x a x a x ⎧⎪-+-<-⎪⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，此时()min 11()1222a f x f a a ==+≥-， 解得:03a ≤≤， ∴ 实数a 的取值范围是()[],20,3-∞-⋃.（2）由（1）知()122a a f x f ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭， ()f x 值域为1,2a ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭， ()4,1312332,1234,2x x g x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=--≤≤⎨⎪⎪-+≥⎪⎩， ()max 35()22g x g ==， ()g x 值域为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ ， 由题意知51,,22a ⎡⎫⎛⎤++∞⋂-∞≠ ⎪⎢⎥⎝⎦⎣⎭∅， 5122a ∴+≤， 解得：73a -≤≤.实数a 的取值范围[]7,3-【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题、含两个绝对值不等式值域的求法、双参数问题，属于中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十三)数学文科
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|10}A x x =->，{|0}B x x =>，则A B =（ ）A. (1,)+∞B. (0,1)C. (0,)+∞D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式10x ->即可.【详解】因为10x ->，所以1x <，所以(,1)A =-∞，因为(0,)B =+∞，所以(0,1)A B =．故选：B【点睛】本题考查集合的运算，较简单.2.复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果. 【详解】因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限 故选A【点睛】本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题. 3.已知3log 0.3a =， 4.13b -=，32c =，则（ ） A. c b a << B. c a b <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指对数函数的知识得出,a b 的范围即可. 【详解】因为3log 0.30a =<， 4.13(0,1)b -=∈，312c =>，所以a b c <<． 故选：C【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，较简单.4.已知双曲线22:144y x C -=，P 是双曲线渐近线上第一象限的一点，O 为坐标原点，且||OP =点P 的坐标是（ ）A. B. (3,3)C.D. (2,2)【答案】D 【解析】 【分析】双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，然后由||OP =.【详解】等轴双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，因为||OP =P 的坐标为(2,2)． 故选：D【点睛】本题主要考查的是由双曲线的标准方程得渐近线方程，较简单. 5.已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A. 83- B. 43-C. 83D.43【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.6.已知||||2a b ==，21a a b +⋅=，则向量a ，b 的夹角θ=（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】首先算出1a b ⋅=-，然后求出cos θ即可.【详解】因为21a a b +⋅=，所以1a b ⋅=-，所以1cos 2||||a b a b θ=⋅=-，所以23θπ=故选：C【点睛】本题考查的是向量的数量积的有关计算，较简单.7.函数()3ln ||x f x x =的大致图象为（ ）A .B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 为非奇非偶函数可排除选项C ，D ，当x →+∞时，函数值()f x →+∞，可排除选项B ． 【详解】因为函数()f x 为非奇非偶函数，所以函数图象不关于y 轴对称，排除选项C ，D ， 当x →+∞时，函数值()f x →+∞，故排除选项B ． 故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.8.中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从打击乐器、弹拨乐器中任取不同的‘两音’，含有弹拨乐器的概率为（ ） A.310B.25C.12D.14【答案】B 【解析】 【分析】列出总的情况和满足所求事件的情况即可【详解】设事件A =“从打击乐器和弹拨乐器中任取两音，含有弹拨乐器”，从打击乐器和弹拨乐器中任取两音的基本事件有：（金、石），（金，木），（金，革）， （金，丝），（石，木），（石，革），（石，丝），（木，革），（木，丝），（革，丝），共10种情况 含有弹拨乐器的基本事件有：（金，丝），（石，丝），（木，丝），（革，丝），共4种情况 所以42()105P A ==． 故选：B【点睛】本题考查中国传统文化与古典概型，较简单.9.已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A. 若//αβ，则l//m B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若l β⊥，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.10.在一次某校举行的演讲比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学表现都很优秀，甲说：“乙这次应该是第一名”；乙说：“丁这次应该是第一名”；丙说：“第一名应该不是我”；丁说：“我不赞同乙的判断”．若这四位同学中只有一人判断正确，则获得这次演讲比赛第一名的人是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C 【解析】 【分析】由题意乙说：“丁应该是第一名”，丁说：“我不赞同乙的判断”，说明这两位同学有一个判断正确，另一个判断不正确，所以甲、丙的判断不正确，即可推断出答案.【详解】由题意乙说：“丁应该是第一名”，丁说：“我不赞同乙的判断”， 说明这两位同学有一个判断正确，另一个判断不正确，所以甲、丙的判断不正确，所以获得这次演讲比赛第一名的人就是丙． 故选：C【点睛】本题考查逻辑推理，较简单.11.已知函数()3sin()f x x ωϕ=+（其中0ω<，0ϕπ<<），其图象向右平移6π个单位长度得()y g x =的图象，若函数()g x 的最小正周期是π，且3122g π⎛⎫=⎪⎝⎭，则（ ） A. 12ω=-，23ϕπ=B. 12ω=-，3πϕ=C. 2ω=-，23ϕπ=D. 2ω=-，3πϕ=【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，首先利用函数()g x 的最小正周期是π可求出ω，然后利用3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ 【详解】由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 的最小正周期是π，所以2||ππω=，所以2ω=±，因为0ω<，所以2ω=-， 所以()3sin 23g x x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 因为3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1sin 62πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2k ϕ=π或22()3k k Z ππ+∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：C【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题.12.已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为2的等差数列，1a 是正整数，若1126a b +=，则1210a a a b b b +++=（ ） A. 220 B. 180C. 100D. 80【答案】A 【解析】 【分析】因为14(2)n n a a b b n --=≥，所以数列{}n a b 为等差数列；再根据1126a b +=，求出首项1a b 的值，最后利用等差数列的前n 项和公式即可算出结果．【详解】因为()()()11111212124(2)n n a a n n n n b b b a b a a a n ----+--+-=-==≥⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n a b 是以11224b a +-=为首项，4为公差的等差数列， 所以1210110410942202a a ab b b ++⋅⋅⋅+=⨯+⨯⨯⨯=． 故选：A【点睛】本题考查等差数列的综合应用，利用定义判断出{}n a b 是等差数列是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．【答案】32【解析】 【分析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14.已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，若374S =，314a =，则公比q =________． 【答案】12【解析】 【分析】由条件列出方程组求解即可.【详解】因为374S =，314a =，所以()212171414a q q a q ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12q =或13q =-（不合题意，舍去）．故答案为：12【点睛】本题考查的是等比数列的基本量的计算，较简单.15.在三棱锥P ABC -中，AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB ⊥，2AB BC ==，点P 到底面ABC 的距离为1．则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________． 【答案】9π 【解析】 【分析】首先由条件可得1AP =，然后证明BC ⊥平面PAB ，从而得出球的直径为CP ，然后即可算出答案.【详解】因为AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB B ⋂=，所以PA ⊥底面ABC ． 因为点P 到底面ABC 距离为1．所以1AP =．因为CB AP ⊥，CB AB ⊥，AB PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ， 故BC PB ⊥，90PBC PAC ∠=∠=︒，即该球的直径为CP ，2222222213CP AB CB AP =++=++=．所以球的半径为32R =，所以249S R ππ==． 故答案为：9π【点睛】本题考查多面体与球，找出球的直径是解题的关键.16.已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则AF =_______（用含p 的式子表示），||||FB TS =________． 【答案】 (1). 43p (2). 2 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 辅交于点N ，由||2||FA AS =和抛物线的定义可求得AF 和||TS ，利用抛物线的性质112||||2AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 辅交于点N ，因为||2||FA AS =，所以||1||3SA SF =，所以1||33pAN OF ==，所以4||3AM p =， 根据抛物线的定义知43AF AM p ==． 因为12||||23AS AF p ==，所以||2SF p =，所以||2TS p =． 根据抛物线的性质：112||||2AF BF p +=，所以3114||p BF p+=，解得4BF p =，所以||42||2FB pTS p==． 故答案为：43p ，2 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在如图所示的平面四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，5AD =，7AB =，30BDC ∠=︒．（1）求sin DBA ∠的值； （2）求BD 的长． 【答案】（1）3sin 14DBA ∠=；（2）8BD = 【解析】 【分析】（1）在ABD △中利用正弦定理即可求出答案 （2）在ABD △中利用余弦定理即可求出答案【详解】（1）因为30BDC ∠=︒，AD CD ⊥，所以60ADB ∠=︒．ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABDBA ADB=∠∠，即57sin sin 60DBA =∠︒，解得53sin DBA ∠=．（2）在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⨯⨯∠， 即25240BD BD --=，解得8BD =或3-（不合题意，舍去）． 所以8BD =【点睛】本题考查的是利用正余弦定理解三角形，属于基础题.18.金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生，新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）通过估算，试判断男、女哪种性别的学生愿意投入到新生接待工作的概率更大．（2）能否有99%的把握认为，愿意参加新生接待工作与性别有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．3.841【答案】（1）男生愿意投入到新生接待工作的概率更大；（2）有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．【解析】【分析】（1）由调查数据，分别算出男、女学生愿意投入到新生接待工作的比率即可（2）算出2K的观测值k即可【详解】（1）由调查数据，男学生愿意投入到新生接待工作的比率为600.75 80=，所以男学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是0.75；女学生愿意投入到新生接待工作的比率为40=0.5 80，所以女学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是0.5．所以男生愿意投入到新生接待工作的概率更大．（2）因为2K 的观测值2160(60404020)32==10.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．【点睛】本题考查用频率估计概率、独立性检验，属于基础题19.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =，1A O ⊥平面ABCD ．（1）证明：1//A O 平面11B CD ．（2）若12AB AA ==，求点C 到平面11ABB A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）263． 【解析】 【详解】（1）连接11A C ，设1111B D A C M =，连接MC ，因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，O ，M 分别为AC ，11A C 的中点所以1OC //A M ，1OC A M =，所以四边形1AOCM 为平行四边形，所以1//AO MC ，因为1AO ⊄平面11B CD ，MC ⊂平面11B CD ，所以1//A O 平面11B CB ． （2）以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴，以1OA 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系因为12AB AA ==，所以22112OA A A OA =-= 所以()()()()10,2,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2A BC A - 所以()()12,2,0,0,2,2AB AA == 设平面11ABB A 的一个法向量为(),,a x y z =因为1220220AB a x y AA a y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，所以不妨取()1,1,1a =-因为()0,22,0AC =所以点C 到平面11ABB A 的距离为22263AC aa ⋅== 【点睛】1.通常是构造平行四边形或三角形的中位线来找线线平行，进而证明线面平行；2.向量法可以用来求点到平面的距离，计算是解题的关键.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若21||5MN =MN 的方程． 【答案】（1）2213x y +=；（2）3(1)y x =- 【解析】【分析】（1）由1()0,1B 得1b =，由112A B B 为等边三角形得3a b（2）分直线MN 的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y k x =-，然后联立直线方程与椭圆方程消元，用弦长公式建立方程求解即可.【详解】（1）因为1()0,1B ，所以1b =，因为112A B B 为等边三角形，所以3a b，所以a =所以椭圆的标准方程为2213x y +=． （2）当直线MN的斜率不存在时，可得1,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以||35MN =≠， 所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ．联立2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得()2222316330k x k x k +-+-=，所以2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，12|||MN x x =-=== 因为1>0x ，20x >，所以||1k >，所以解得23k =或2613k =-（舍去）， 所以直线MN的方程1)y x =-．【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21.已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-． （1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值；（2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析.【解析】【分析】首先确定函数的定义域和()f x '；（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.【详解】由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x-+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭， （1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x--'=， ∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减，()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-. （2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即证：()()()1212122x x f x f x f x x '+⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 即证：()()2211222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝⎭， 化简可得：()1212122ln a x x x a x x x ->+． 0a >，()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()22101t h t t t -'=>+，()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l经过点(1,M --且倾斜角为α. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2【解析】【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t t αα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.【详解】（1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数， 可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=，cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α， ∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）. （2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t .将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t t αα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=. 又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，0απ≤≤， ∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23.设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【解析】【分析】 （1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-． 综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十三)数学(文科)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十三）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】A【解析】【分析】进行交集的运算即可求出P＝{2}，然后即可得出P的子集的个数.【详解】∵A＝{1,2},B＝{2,3}，∴P＝A∩B＝{2}，∴P的子集共有21＝2个.故选：A【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.2.i是虚数单位，复平面内表示i（1+2i）的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】直接由已知求得对应复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案.【详解】因为i（1+2i）=-2+i其在复平面内对应的点为（-2,1）故在第二象限；故选：B【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3.学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（）A. 12B.13C.14D.16【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3，由此能求出这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率.【详解】学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率p3193 mn===.故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4.数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，∀n∈N+，a n+2＝a n+1﹣a n，则a2020＝（）A. 1B. 5C. ﹣2D. ﹣3【答案】C【解析】【分析】根据递推关系求出其是以6为周期交替出现的数列，进而表示结论，并求得答案.【详解】因为数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，∀n∈N+，a n+2＝a n+1-a n，∴a3＝a2-a1＝1；a4＝a3-a2＝-2；a5＝a4-a3＝-3；a6＝a5-a4＝-1；a7＝a6-a5＝2＝a1；a8＝a7-a6＝3＝a2；∴数列{a n}是周期为6的数列；∵2020＝6×336+4；∴a2020＝a4＝-2；故选：C【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，解决本题的关键在于求出周期为6，属于简单题.5.执行如图的程序框图，如果输出的y的值是1，则输入的x的值是（）A. 23B. 2C.23或2 D. 以上都不是【答案】C【解析】【分析】根据结果，倒着推，进行判断.【详解】若x＜1，则3x-1＝1，解之得x23 ；若x≥1，则x2-4x+5＝1，解之得x＝2；故选：C【点睛】本题考查程序框图、分段函数的性质，属于基础题.6.若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =-上，则cos(2)2πα+的值等于（ ） A. 45- B. 45 C. 35 D. 35【答案】B 【解析】点()cos ,P sin αα在直线2y x =-上，2cos ,tan 2sin ααα∴=-∴=-，22tan 4cos 2221tan 5sin παααα⎛⎫∴+=-=-= ⎪+⎝⎭，故选B. 7.已知a ＝ln 3，b ＝sin 3，13c e -=，则（ ） A. a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜c ＜a 【答案】D【解析】【分析】 利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出.【详解】∵a ＝ln 3＞lne =1，b ＝sin 3＜sin 2132π=，11312c e -==＞， ∴b ＜c ＜a .故选：D .【点睛】本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8.ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，若AB ＝1，AB 1⊥BC 1，则AA 1＝（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，再由110AB BC ⋅=列式求解a 值，则答案可求.【详解】如图，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，则A（12-,0,0）,B1（12,0,a）,B（12,0,0）,C1（0,32,a）,则()11131,0,,,,2AB a BC a⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭.由AB1⊥BC1，得21112AB BC a⋅=-+=，即a22=.∴AA12=.故选：B【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离的求法，训练了向量垂直与数量积关系的应用，属于中档题.9.经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A、B两点，若|AB|＝1，则p＝（）A. 1B.12C.13D.14【答案】D【解析】【分析】由题意可得直线AB的方程为：y＝x2p-，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得4p＝1，从而求出p的值.【详解】由题意可知，抛物线焦点坐标为（2p,0），∴直线AB的方程为：y＝x2p-，联立方程222py xy px⎧=-⎪⎨⎪=⎩.消去y得：22304px px-+=，∴x A +x B ＝3p ，由抛物线的定义可知：|AB |＝x A +x B +p ，∴4p ＝1，∴p 14=， 故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.10.给出下列结论：（1）某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲．（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1．（4）对A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】C【解析】【分析】运用抽样、方差、线性相关等知识来判定结论是否正确【详解】（1）中相邻的两个编号为053，098，则样本组距985345-=∴样本容量为9002045= 则对应号码数为()53452n +-当20n =时，最大编号为534518863+⨯=，不是862，故（1）错误（2）甲组数据方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5， 则56910575x ++++==乙 乙组数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.455⎡⎤-+-+-+-+-=<⎣⎦ 那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误（4）按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为31530312÷=++，故正确 综上，故正确的个数为1故选C【点睛】本题主要考查了系统抽样、分层抽样、线性相关、方差相关知识，熟练运用各知识来进行判定，较为基础11.直角坐标系xOy 中，双曲线221412x y -=的左焦点为F ，A （1，4），P 是右支上的动点，则|PF |+|P A |的最小值是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 12 【答案】B【解析】【分析】设双曲线的右焦点为G ，由双曲线方程求得F 与G 的坐标，再由双曲线的定义可得|PF |+|P A |＝2a +|PG |+|P A |，利用|PG |+|P A |≥|AG |求出最小值.【详解】由题意得a ＝2，b =，c ＝4，则F （-4,0），设右焦点G （4,0）.由双曲线的定义可知位于右支的点P 有|PF |﹣|PG |＝4，∴|PF |+|P A |＝4+|PG |+|P A |≥4+|AG |＝4=4+5＝9.故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF |+|P A |化为2a +|PG |+|P A |是解题的关键，属于中档题.12.已知函数()|ln |f x x =，若0a b <<.且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A. )+∞B. )⎡+∞⎣C. (3,)+∞D. [)3,+∞ 【答案】B【解析】【分析】画出()|ln |f x x =的图象，数形结合可得01,1a b <<>，1ab =，然后利用基本不等式即可求出答案【详解】()|ln |f x x =的图象如下：因为0a b <<.且()()f a f b = 所以ln ln a b =且01,1a b <<>所以ln ln a b -=，所以1ab = 所以22222a b ab +≥=当且仅当2a b =，即222a b ==时等号成立 故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.{a n }是等比数列，若a 1＝2，a 2＝1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝_____.【答案】242n --【解析】【分析】由等比数列定义可求得公比，再由等比数列求和公式计算得答案.【详解】由等比数列的前两项可求得公比，再代入前n 项和公式可求出结果.∵{a n }是等比数列，若a 1＝2，a 2＝1，∴公比q 2112a a ==. 又n S =()1212[1)12421112n n n a qq -⎛⎤- ⎥-⎝⎦==---. 故答案为：242n --【点睛】本题考查等比数列的基本量的求法与前n 项和公式，属于基础题.14.ABCD 是边长为1的正方形，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=_____.【答案】1【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再求AE•AF的值. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0,0）,B（1,0）,C（1,1）,D（0,1）；因为E、F分别是BC、CD的中点，则E（1,12）,F（12,1）；所以AE=（1,12）,AF=（12,1）；故AE AF⋅=11122⨯+⨯1＝1.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及数量积计算问题，属于基础题.15.设x，y满足22510.x yxy⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩，，则z＝2x+y的取值范围是_____.（用区间表示）【答案】[]2,5【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，z最小，从而得出目标函数z＝2x+y的取值范围.【详解】画x，y满足22510.x yxy⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩，，表示的平面区域，如图：将目标函数变形为2y x z=-+，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大作出目标函数对应的直线L ：y ＝﹣2x由10x y =⎧⎨=⎩可得A （1，0） 直线z ＝2x +y 过A 时，直线的纵截距最小，z 最小，z 的最小值为：2.直线﹣2x +z ＝y 与圆相切于B 时，z 取得最大值： 55z-=，解得z ＝±5， 则目标函数z ＝2x +y 的取值范围是[]2,5.故答案为：[]2,5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，属于中档题.16.函数()()2221x sinx cosx f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝_____. 【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出f （-x ）的表达式，分析可得f （x ）+f （-x ）＝2，即可得函数f （x ）的图象关于点（0,1）对称，据此分析可得答案.【详解】根据题意，()()222221211x sinx cosx x sinxcosx f x x x ++++===++1221sinxcosx x ++， 则f （-x ）＝1221sinxcosx x -+， 则有f （x ）+f （-x ）＝2，即函数f （x ）的图象关于点（0,1）对称，若函数f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，必有M +m ＝2； 故答案为：2【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）.（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3].如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？超过2万元 不超过2万元 总计 平原地区 山区 5 总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ P （K 2≥k 0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 0 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）45户（2）0.45（3）填表见解析；有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”. 【解析】【分析】（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，然后求解应收集户山区家庭的户数.（2）由直方图直接求解该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率.（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为（0.300+0.100）×0.5×150＝30户.而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，完成列联表，求出k2，即可判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.【详解】（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机450×0.1＝45户山区家庭的样本数据. （2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为（0.500+0.300+0.100）×0.5＝0.45. （3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为（0.300+0.100）×0.5×150＝30户.而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以()2215025405802003.175 2.706301201054563K⨯-⨯==≈⨯⨯⨯＞，∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，属于简单题.18.△ABC的角A、B、C的对边为a、b、c，已知a、b、c成等差数列，78 cosA=.（1）若a＝1，求c；（2）若△ABC的周长为18，求△ABC的面积S.【答案】（1）c＝2（2）【解析】（1）由已知结合余弦定理可求；（2）结合已知a，b，c的关系及余弦定理可求c，然后结合同角平方关系及三角形的面积公式可求；【详解】（1）依题意，12cb+ =，由余弦定理得，()()2222214472418c cb c acosAbc c c++-+-===+，即c2-c-2＝0，解得c＝2或c＝-1，舍去负值得，c＝2，（2）依题意，a+c＝2b，a+b+c＝18，所以b＝6，a＝12-c，由余弦定理得，()22222261272128c cb c acosAbc c+--+-===，解得c＝8，由78cosA=且0＜A＜π得，158sinA=，△ABC的面积13152S bcsinA==，【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角基本关系及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.19.如图，四棱锥O﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，OA＝2，∠ABC＝60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点.（1）求证：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）57 19【分析】（1）取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN ∥PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN ∥平面OCD ；（2）连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离.【详解】（1）证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ， ∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM ∥AD ，且12PM AD =，NC ∥AD ，且12NC AD =， ∴PM ∥NC ，且PM ＝NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN ∥PC ， ∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN ∥平面OCD ；（2）解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由（1）得，点N 到平面OCD 的距离为d ， 设三棱锥O ﹣CDN 的体积为V ，则1133CDNOCDV S OA S d =⨯⨯=⨯⨯，依题意，132CDNSCD CN sin BCD ∠=⨯⨯⨯=， ∵AC ＝AD ＝CD ＝1，∴5OC OD ==，则11195244OCDSCD =⨯⨯-=. 由1311923834d ⨯⨯=⨯⨯，得点M 到平面OCD 的距离5719d =.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题.20.直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的短轴长为2，离心率为63.（1）求椭圆的方程；（2）斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P 1、P 2两点，P 是椭圆上任意一点，若12OP OP OP λμ=+（λ，μ∈R ），证明：λ2+μ2为定值.【答案】（1）22162x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用已知条件解得b =a =.（2）直线P 1P 2的方程为y ＝x ﹣2，由221622x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2x 2﹣6x +3＝0， 设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、P （x 0，y 0），结合韦达定理，以及向量关系，通过P 、P 1、P 2都在椭圆上，转化求解即可.【详解】（1）依题意，2b =c e a===解得b =a =22162x y +=，（2）证明：2c =，直线P 1P 2的方程为y ＝x ﹣2，由221622x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2x 2﹣6x +3＝0， 设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、P （x 0，y 0），则x 1+x 2＝3，1232x x =， 由12OP OP OP λμ=+得x 0＝λx 1+μx 2，y 0＝λy 1+μy 2， 因为P 、P 1、P 2都在椭圆上，所以22360i i x y +-=，i ＝0，1，2，()()()()()2222222222001212112212126333323x y x x y y x y x y x x y y λμλμλμλμ=+=+++=+++++＝6λ2+6μ2+3λμ（1+2y 1y 2），()()()121212123122246422y y x x x x x x =--=-++=-+=-， 所以，6λ2+6μ2＝6，λ2+μ2＝1是定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力，属于较难题. 21.已知函数f （x ）＝lnx ﹣e x ﹣2，x ＞0.（1）求函数y ＝f （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程； （2）求证：f （x ）＜0. 【答案】（1）122y x ln =-+（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求出()21'x f x e x-=-，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程. （2）（方法一）作函数()1g x lnx x e =-，求出()11'g x x e =-，判断函数的单调性，构造函数()21x e h x x e e=-，()21'x e h x e e=-，求出函数的最小值，然后推出结果.（方法二）()21'x f x e x-=-在定义域区间（0，+∞）单调递减，求解函数的极大值，导函数的零点，然后转化求解即可.【详解】（1）()2xe f x lnx e =-，()21'x f x e x -=-，f （2）＝ln 2﹣1，1'22f =-（）， 所求切线方程为()()12122y ln x --=--，即122y x ln =-+，（2）（方法一）作函数()1g x lnx x e=-，（其他适宜函数如()6758g x lnx x ln e⎛⎫=-+⎪⎝⎭、()26758x e h x x ln e e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭也可）()11'g x x e =-， g ′（e ）＝0；当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0；当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 所以g （x ）≤g （e ）＝0，即1lnx x e≤，等号当且仅当x ＝e 时成立. 作函数()21x e h x x e e =-，()21'x e h x e e=-，h ′（1）＝0；当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，所以h （x ）≥h （1）＝0，即21x e x e e≥，等号当且仅当x ＝1时成立.因为e ≠1，综上所述，∀x ＞0，lnx ＜e x ﹣2，即f （x ）＜0.（方法二）()21'x f x e x-=-在定义域区间（0，+∞）单调递减， 11'1'2102f f e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（）（）＜，所以，f ′（x ）有唯一零点x 0，且x 0是极大值点， ()0200x f x lnx e-=-，由02010x e x --=得，0201x e x -=，lnx 0＝2﹣x 0， 代入得，()00012f x x x =--， 因为1＜x 0＜2，所以0012x x +＞，f （x ）≤f （x 0）＜0. 【点睛】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，构造法的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 1的参数方程为112.x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝16cosθ. （1）把曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求C 1与C 2交点的直角坐标.【答案】（1）x 2+y 2＝16x （2）(4±，【解析】 【分析】（1）首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用曲线间的位置关系式的应用求出交点的坐标. 【详解】（1）由ρ＝16cosθ得，ρ2＝16ρcosθ. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝16x .（2）由112.x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即111.2t x tt y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得，1122t x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11122x y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.相乘得，曲线C 1的直角坐标方程为4x 2﹣y 2＝16.由222216416.x y x x y ⎧+=⎨-=⎩，得，5x 2﹣16x ﹣16＝0. 解得x ＝4或45x =-. x ＝4时，y 2＝48，y =±；45x =-时，233625y =-无实数解. 所以，C 1与C 2交点的直角坐标为(4,±.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，曲线间的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题. 23.已知函数()2f x x x a a=++-，a 是非零常数. （1）若a ＝1，求不等式f （x ）≤5的解集； （2）若a ＜0，求证：()f x ≥【答案】（1）[﹣3，2]（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）a ＝1时，f （x ）＝|x +2|+|x ﹣1|，通过x ＜﹣2时，﹣2≤x ≤1时，x ＞1时，化简函数的解析式取得绝对值符号，求解不等式即可. （2）()()22f x x x a a a a⎛⎫≥+--=+ ⎪⎝⎭，通过基本不等式求解表达式的最小值即可. 【详解】（1）a ＝1时，f （x ）＝|x +2|+|x ﹣1|，x ＜-2时，f （x ）＝-1-2x ，解2125x x -⎧⎨--≤⎩＜得-3≤x ＜-2，-2≤x ≤1时，f （x ）＝3＜5， x ＞1时，f （x ）＝2x +1，解1215x x ⎧⎨+≤⎩＞得1＜x ≤2，不等式f （x ）≤5的解集为[-3,-2）∪[-2,1]∪（1,2]＝[-3,2]. （2）()()22f x x x a a a a⎛⎫≥+--=+ ⎪⎝⎭，因为a ＜0，-a ＞0，20a-＞，()2a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭所以，()()22f x a a a a ⎛⎫≥+=-+-≥ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的最值的求法，绝对值不等式的解法,考查计算能力，属于中档题.。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，若12z zz =，则z 的共复数z =（ ）A.1322i + B.1322i - C. 1322i -+ D. 1322i -- 【答案】A 【解析】 【分析】如图，先判断出12,z z 对应的复数，然后根据复数除法计算出z 的值，即可求解出z 的值.【详解】由图可知：1212,1z i z i =+=-+，所以()()()()1212112131112i i z i i z z i i i +--+-====-+-+--， 所以1322z i =+. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义、复数除法运算、共轭复数的求解，难度较易.注意互为共轭复数的两个复数的实部相同虚部互为相反数. 2.已知{}210A x x =-≥，{}xB y y e ==，则AB =（ ）A. ()0,∞+B. (],1-∞C. [)1,+∞D. (][),11,-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法以及指数函数的值域求解出,A B ，再根据交集概念即可计算出A B 的结果.【详解】因为210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，所以(][),11,A =-∞-+∞，又因为0xy e =>，所以()0,B =+∞，所以[)1,A B ⋂=+∞， 故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交集运算，属于综合问题，难度一般. 3.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==>13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等．4.2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的特点进行判断即可.【详解】A ．去掉最高分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位置（从小到大排列）的那个数，不发生改变； B ．去掉最高分、最低分后，平均数是否发生改变与去掉的分数有关，不能确定是否变化； C ．去掉最高分、最低分后，方差的确定和平均数、数据个数有关，因此方差也不确定； D ．去掉最高分、最低分后，极差可能发生改变，亦可能不改变. 故选：A.【点睛】本题考查对样本数字特征的理解，难度较易.注意：一组数据（数据个数大于等于3）的中位数不会随着这组数据去掉最大、最小值发生改变. 5.函数()1ln 1y x x =-+的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断(),ln 1x x +大小关系，可得结果. 【详解】由题可知：函数定义为()()1,00,x ∈-+∞()()()'221011ln 11ln 1x x y x x x x x ⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭==-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦当()1,0x ∈-时，'0y > 当()0,x ∈+∞时，'0y <所以可知：原函数在()1,0-递增，在()0,∞+递减 令()()ln 1g x x x =-+，则()'1111xg x x x =-=++ 当()1,0x ∈-时，()'0g x <当()0,x ∈+∞时，()'0g x >则()g x 在()1,0-递减，且()()00g x g >=()g x 在()0,∞+递增，()()00g x g >=所以函数()1ln 1y x x =-+在定义域中，函数值均大于0故选：A【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题. 6.已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ） 31- B. 31+C. 2D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量a 、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===， 则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=， 由2430b e b -⋅+=得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离211.选A. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.7.已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A.23B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8.已知()|sin |f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=，则15n n ++的值为（ ）A.1532B. 45C.452D.1534【答案】C 【解析】 【分析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴ 260A O C ︒∠=，32//A D A C ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥．则2222()cos6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅，153453352n n ++==答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA ，OD 是关键二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A. 12a =- B. 12a =C. 4d =D. 4d =-【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，构造关于1,a d 的方程组，即可求解出1,a d 的值并完成选项的判断.【详解】因为45161272461548a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以124a d =-⎧⎨=⎩，故选：AC .【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及等差数列求和公式中的基本量的计算，难度较易.已知两个关于等差数列的等式，求解等差数列首项和公差的常见方法：（1）化简为关于首项1a 、公差d 的方程组求解；（2）借助等差数列的性质进行求解. 10.已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A. 函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B. 函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D. 函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对称轴可得4πϕ=-,即()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,将12x π+代入判断函数奇偶性进而判断选项A ；先求出()f x 的单调增区间,再判断,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是否为其子集来判断B ；将问题转化为符合条件的区间至少包含一个最大值,一个最小值,即需包含半个周期,即可判断C ；根据图像变换规则判断D 即可 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC【点睛】本题考查正弦型函数的对称性,周期性,单调性的应用,考查转化思想,熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）A. 沙漏中的细沙体积为3102481cm πB. 沙漏的体积是3128cm πC. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD. 该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈） 【答案】ACD 【解析】 【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】A ．根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比， 所以细沙的底面半径28433r cm =⨯=，所以体积23121641610243339381h V r cm πππ=⋅⋅=⋅⋅=； B ．沙漏的体积2231125622483233h V h cm πππ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； C ．设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：21102418132h h ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1102416813h ππ=，所以1 2.4h cm ≈； D ．因为细沙的体积为3102481cm π，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙， 所以一个沙时为：10241024 3.14815019850.0281π⨯=⨯≈秒. 故选：ACD.【点睛】本题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.12.在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ） A. 在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B. 存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC. 若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||104A B '= D. 在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论.对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确.对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010()1()21cos12022224A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确； 对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE fS λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得33λ=时，函数()f λ取得最大值()31231339f λ⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确.综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC.【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在)5111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于___【答案】9 【解析】 【分析】 先求出二项式)51x 展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．【详解】二项式)51x 的展开式的通项为552155)(0,1,2,,5)r r rrr T C x C xr --+===，∴)5111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为3555(1)1019C C +-⨯=-=．故答案为9．【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况． 14.对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30；③实轴长为4，且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.【答案】①②()2203x y λλ-=>或()2203x y λλ-=>；①③221412x y -=；②③223144x y -= 【解析】 【分析】选①②：根据,,a b c 之间的比值关系确定出双曲线方程； 选①③：根据离心率以及a 的值确定出双曲线的方程； 选②③：根据a 以及ba的值确定出双曲线的方程. 【详解】若选①②：若双曲线的焦点在x 轴上，则设双曲线方程为22221x ya b-=，所以2tan 30c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以2c a a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>，若双曲线的焦点在y 轴上，则设双曲线方程为22221y xa b-=，所以2tan 30ca a b⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以2c a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>；若选①③：因为224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以42c a =⎧⎨=⎩，所以2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩221412x y -=；若选②③：因为tan 302b a a ⎧=︒⎪⎨⎪=⎩，所以32b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以双曲线方程为：223144x y -=.故答案为：()2203x y λλ-=>(或()2203x y λλ-=>或221412x y -=或223144x y -=). 【点睛】本题考查根据已知条件求解双曲线的方程，着重考查双曲线几何性质中的离心率、渐近线知识，难度一般.一般求解双曲线的标准方程时，注意观察双曲线的焦点位置并假设方程.15.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}n a 满足11a =，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次. 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知的数列递推公式，得到5a 与1a 的等量关系，即可计算出解下5个圆环需最少移动的次数. 【详解】因为()54332222124a a a a =+=-+=，所以()()53221144228882181616a a a a a a ==+=+=-+==， 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16. 故答案为：16.【点睛】本题考查递推数列的简单应用，难度较易.解答问题的关键是能根据n 的奇偶选择合适的递推公式进行计算.16.已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ϕ”(I)具有性质“ϕ”的一个一次函数的解析式可以是 _____； (Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22y x π=+，其中具有性质“ϕ”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）【答案】 (1). 1y x =+（答案不唯一） (2). ①② 【解析】 【分析】(I)根据题意，只需找到满足题中条件的函数即可，如1y x =+； (Ⅱ)根据题中条件，逐个判断所给函数即可得出结果.【详解】(I)对于解析式：1y x =+，因为{}001A x x =<<，{}112A x x =<<，{}223A x x =<<…符合1n n A A φ-⋂=．(Ⅱ) 对于①{}001A x x =<<，{}11A x x =＞，{}201A x x =<<…，循环下去，符合1n n A A φ-⋂=； 对于②{}001A x x =<<，{}112A x x =＜＜，{}225A x x =<<，{}3526A x x =<<…，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合1n n A A φ-⋂=，对于③，{}001A x x =<<，{}123A x x =＜＜，{}212A x x =<<，{}312A x x =<<不符合1n n A A φ-⋂=，所以，选①②【点睛】本题主要考查集合的交集以及函数值域问题，熟记交集的概念，掌握求函数值域的方法即可，属于常考题型.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，364,27a S ==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .【答案】（1）1n a n =+；（2）5m =； 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式以及数列的求和公式，求出数列的首项以及公差，然后求解通项公式. （2）说明数列是等比数列，然后求解数列和，求解m 即可. 【详解】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由已知得112461527a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩. 所以()111n a a n d n =+-=+.（2）因为2n an b =，由（1）可得12n n b +=，∴{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则()()41242112n n nT -==--.由124m T =，得()421124m-=，解得5m =.【点睛】本题考查数列的通项公式以及数列求和以及应用，考查计算能力，属于基础题.18.在平面四边形ABCD 中，ABD △中边BD 所对的角为A ，BCD 中边BD 所对的角为C ，已知2AB BC CD ===，23AD =.（13cos A C -是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记ABD △与BCD 的面积分别为1S 和2S ，求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos A C -为定值1.（2）14 【解析】 【分析】（1）由已知结合余弦定理，分别表示BD ，从而建立关于A 的三角关系，化简可求； （2）结合三角形的面积及（1）的结论进行化简可求.【详解】（1）在ABD △中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-， 在BCD 中，由余弦定理得2448cos BD C =+-， 所以168388cos A C -=-， 则()83cos 8A C -=，3cos 1A C -=； 3cos A C -为定值1. （2）11223sin 232S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由（1）可知3cos 1cos A C =+， 代入上式得()22222121612cos 43cos 124cos 83cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得22212324cos 146S S A ⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴当3cos A =时，2212S S +取到最大14. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系在求解三角形中的应用，属于中档题.19.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G ,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD 的法向量，从而得到平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA 上存在满足题意的点M ，直线GM 与平面EFG 法向量的夹角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M . 【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,3),(3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1z =，则 (3,01)m =，， 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以()221cos 2311m n m nθ⋅===+⨯.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ， 使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 即直线GM 与平面EFG 法向量m 所成的角为3π， 设PM PA λ=，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以)()2,1GM λλ=--所以coscos ,3GM m π==，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.20.已知抛物线()2:20C y px p =>，直线:1l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）24y x =（2）()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线，再根据弦长公式以及8AB =即可计算出p 的值，从而C 的方程可求； （2）根据过弦的中点垂直于弦的直线过圆心、圆心到弦的距离的平方加上半弦长的平方等于半径的平方，得到关于圆心坐标的方程组，求解出圆心即可求解出圆的方程.【详解】解：（1）由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得()22110x p x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1221x x p +=+，121=x x8AB ====，8=，解得2p =，所以抛物线C 的方程24y x =； （2）由（1）得()12132x x p +=+=，312y =-=，即AB 的中点坐标为()3,2， 则AB 的中垂线方程为()23y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，则()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【点睛】本题考查直线与圆、抛物线的综合应用，难度一般.（1）根据条件求解圆的方程时，注意借助圆的几何性质完成解答：圆心与弦中点连线垂直且平分弦、半径平方等于圆心到直线距离的平方加上半弦长的平方；（2）常见的弦长公式：12AB x =-=12AB y =-=.21.已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin xg x x =，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->． 【答案】（Ⅰ）)1,+∞；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析：第一问根据题意将问题转化为()f x 在区间[,0]2π-上的最大值小于等于()m g x +在区间[0,]2π上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果． 试题解析：（Ⅰ） 由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立， 等价于[]1max 2max ()()f x mg x ≤+．1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin x x x f x e x x x x x e x x e x =----+'+=，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增， 所以0x =时，()f x 取得最大值1．即max ()1f x =又当π[0,]2x ∈时，()cos xg x x ='，()sin 0xg x x ''=-<所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ≤='<'，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)2g x g ==-． 所以12m ≤-，则21m ≥+．实数m 的取值范围是)21,⎡++∞⎣． （Ⅱ）当1x >-时，要证，只要证e cos sin sin 2e 0x x x x x x --+>，即证()()ecos 21sin xx x x +>+，由于cos 20,10x x +>+>，只要证e 1cos 2x x x >++． 下面证明1x >-时，不等式e 1sin 2x x x >++成立． 令()()e11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x xxx x h x x x =+'+-=+，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1．法一：cos 2k x =+，则cos 2sin k x k x +=，即sin cos 2x k x k -=，即22sin()1k x kϕ-=+，由三角函数的有界性，2211k k≤+，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，max min e 1cos 2x x x ⎛⎫> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即e 1cos 2x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立．法二：令()cos 2x x ϕ=+，其可看作点()cos ,sin A x x 与点()2,0B 连线的斜率k ，所以直线AB 的方程为：(2y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=； 0x ≠时，()1h x k >≥．所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e sin 1cos 2x x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立． 法三：令()cos 2x x ϕ=+，则212cos ()(cos 2)x x x ϕ'+=+， 当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min 01h x h ==， 但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，min max ()()h x x ϕ>，即e 1cos 2x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立． 考点：等价转化的思想，恒成立问题的解决方法．22.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）17.40千元；（2）（i ）14.77千元.（ii ）978人.【解析】【分析】（1）求解每一组数据的组中值与频率的乘积，将结果相加即可得到对应的x ；（2）（i ）根据()P x μσ>-的数值判断出年收入的取值范围，从而可计算出最低年收入；（ii ）根据()2P x μσ≥-的数值判断出每个农民年收入不少于12.14千元的概率，然后根据二项分布的概率计算公式计算出“恰有k 个农民年收入不少于12.14”中k 的最大值即可.【详解】解：（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元故估计50位农民的年平均收入x 为17.40千元；（2）由题意知()17.40,6.92X N ~（i ）()10.68270.841422P x μσ>-=+≈， 所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元.（ii ）由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈， 每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ，其中0.9773P =，于是恰好有k 个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为()()3310101k kk C p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯- 得1001k p <，而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.【点睛】本题考查频率分布直方图、正态分布、二项分布概率计算，属于综合题型，对于分析和数字计算的能力要求较高，难度较难.判断独立重复试验中概率的最值，可通过作商的方法进行判断.。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学(文)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）数学(文科)试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合2|1,A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭{3,2,1,1,2,3}B =---，则AB =（ ）A. {2,1,1,2,3}--B. {2,1}--C. {1,1,2,3}-D. {3,2}--【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式21x≤-，从而可得{}|20A x x =-≤<，进而可求出A B . 详解】解：()2022100x x xx x x ⎧+≤+≤-⇒≤⇒⎨≠⎩ ，解得20x -≤<，则{}2|1|20A x x x x ⎧⎫=≤-=-≤<⎨⎬⎩⎭，所以{}2,1AB =--.故选:B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了分式不等式的求解.本题的易错点是，在解分式不等式时，忽略了分母不为零这一条件. 2.已知i 为虚数单位，复数12,2()iz z a i a R i-==+∈.若12z z >，则a 的取值范围是（ ） A. (2,2)- B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,2)-∞【答案】A 【解析】 【分析】对1z 进行整理得112z i =--，进而可求出12,z z ，结合12z z >>，进而可求出a 的取值范围.【详解】解：()122212i i i z i i i--===--，则1z ==，2z =，因为12z z >>22a -<<. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模，考查了一元二次不等式.将1z 进行整理是本题的关键. 3.函数()2x af x +=在区间()1,+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A. 2a ≥-B. 2a >-C. 1a ≥-D. 1a >-【答案】D 【解析】 【分析】首先求满足条件的充要条件，再求其真子集，就是满足条件的一个充分不必要条件. 【详解】函数()2x af x +=的单调递增区间是[),a -+∞，若函数()2x af x +=在区间()1,+∞单调递增，1a ∴-≤，即1a ≥-那么满足条件的一个充分不必要条件需是[)1,-+∞的真子集， 只有1a >-满足条件，故选D.【点睛】本题考查复合函数给定区间的单调性，求参数取值范围，以及充分必要条件，复合函数单调性的判断方法，将函数分解为内层函数和外层函数，内层函数与外层函数的单调性一致，函数是单调递增，若相反，函数是单调递减.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13134S π=，则222579cos cos cos a a a ++=（ ） A. 1 B.32C.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】 由13134S π=可得722a π=，根据余弦的二倍角公式，可得原式579cos2cos2cos2322a a a ++=+， 由5972222a a a +=⨯，根据余弦函数的性质，可知579cos2cos2cos202a a a ++=，从而可求出222579cos cos cos a a a ++的值.【详解】解：()11313713131324a a S a π+===，则722a π=.设()cos f x x = 2225795795791cos21cos21cos2cos2cos2cos23cos cos cos 22222a a a a a a a a a +++++++=++=+ 因为()cos f x x =对称中心为,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且722a π=，5972222a a a +=⨯所以579cos2cos2cos202a a a ++=，即原式32=.故选:B.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的求和公式，考查了余弦函数的性质，考查了二倍角公式.本题的难点是将所求式子进行变形.5.函数1()(3sin 2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除C ，当0x > 时，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由122f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可排除A,B ，从而可选出正确答案.【详解】解：由()1()(3sin2||cos2||)2f x x x f x -=---=，可得()f x 图像关于y 轴对称，排除C ，当0x > 时，()1()3sin 2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，排除A ，由122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 排除B ，故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了三角恒等变换.选择函数图像时，一般根据函数的奇偶性、单调性、周期性等对选项进行排除，然后可代入特殊值进行排除.6.已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形A B C D ''''为平行四边形，B C x '''轴，O '为边A B ''的中点，则平行四边形A B C D ''''的面积为（ ）A. 8B. 16C. 2D. 82【答案】C 【解析】 分析】由几何体的三视图可得4B C ''=， 2A B ''=，再由斜二测画法求面积即可得解.【详解】解：由正视图与题意知4B C ''=，由侧视图与题意知2A B ''=，所以平行四边形A B C D ''''的面积为2sin 454222B C A B ''''⨯︒=⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查了三视图及斜二测画法，属基础题.7.已知函数())lnf x x =，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出函数()f x 的定义域，结合函数的解析式可得()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，设())lng x x =，利用复合函数单调性的判断方法分析可得()g x 在[)0,+∞上为减函数，又由()0g 的值，可得在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，由此可得()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数())ln f x x =，其定义域为R ，则())lnlnf x x -==)()lnlnx x f x =-=+=，即函数()f x 为偶函数，设())ln g x x ==，有()0ln10g ==，设t =，则ln y t =，当0x ≥时，t 为减函数且0t >，而ln y t =在()0,∞+增函数，则())lng x x ==在[)0,+∞上为减函数，又由()00g =，则在区间[)0,+∞上，()0g x ≤， 又由()()f x g x =，则()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，()199log 4log 4a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()525log 2log 4b f f ==，又由0.2259log 4log 41 1.8<<<，则有b a c <<； 故选：D ．【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．8.如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由相切可求出2p =，设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，将直线与抛物线联立后由韦达定理可求出21242x x m +=+，121=x x ，124y y m +=，124y y =-，结合||||AB BD =，可得到中点B 的坐标，代入圆的方程中去，可求出2212m =，从而可求出投影12DA OF x x OF ⋅=-的大小. 【详解】解：由圆2C 与y 轴相切可知，12p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+=， 由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --=，由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-， 则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==.因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得212m -=， 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为122DA OF x x OF⋅=-===，故选:A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了向量的投影问题.本题的关键是由中点求出直线的方程.注意运用韦达定理简化运算.9.已知实数,x y 满足约束条件20y x mx y m ⎧≥-⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（ ）A.2B.2C.12D.13【答案】C 【解析】 【分析】画出满足约束条件的可行域，由图分析可知，可行域内A 到()0,1-距离最大，即23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解，从而可得关于m 的方程.【详解】解：可行域如图，设()2222211z x y y x y =++=++-， 由图可知，A 到()0,1-最远，则23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解， 即22233240111m m m m m m +⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭且01m <<，解得12m =或2（舍去） .故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题.本题的关键是对目标式子进行分析，找出最优解.目标函数常见的形式有z ax by =+型、y b z x a-=-型、()()22z x a y b =-+-型，借助直线的截距、直线的斜率、两点间的距离等可分析出最优解.10.毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A.116B.164C.2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，设第n 个图中正方形的个数为n a ，则112,n n n a a n N +*+=+∈，结合累加法可求出121,n n a n N +*=-∈，令1218191n n a +=-=，可确定第12个图形中得到8191个正方形；结合边长规律，即第n 个图中最小正方形边长为cos 45n ︒，从而可求出答案.【详解】解：设第n 个图中正方形的个数为n a ，则由图可知112,n n n a a n N +*+=+∈则221332122 (2)n n n a a a a a a -⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ ，将n 个式子相加可得23122...2,2,n n a a n n N *-=+++≥∈ ， 所以()11412321,2,12n n na n n N -+*-=+=-≥∈-，当1n =时，2213-=，所以121,n n a n N +*=-∈.令1218191n n a +=-=，解得12n =.由题意知，第一个图中最小正方形边长为cos45︒ ，第二个图中最小正方形边长为2cos 45︒，则第n 个图中最小正方形边长为cos 45n︒，则1261211cos 452264⎛⎛⎫︒=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，考查了指数值的运算，考查了推理.本题的关键是找出正方形个数及边长的规律.求数列的通项公式时，常见的思路有累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.本题的易错点是，在进行累加法时，未能正确求出等号右侧等比数列的和.11.“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 120,42⎧⎫⎪⎪⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,42⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 是“互倒函数”，得到()f x 解析式，从而画出()f x 的图像，将问题等价于等价于()()21f f x a =+有两个不等的实根，分为23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，217116a +=，21731162a <+<，2312a +=，2312a +>几种情况讨论，设()t f x =，先研究()21f t a =+的解，再研究()t f x =的解，从而得到a 的范围.【详解】函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(]11,2x∈， 因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+， 所以()2112f x f x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 所以()2211,12211,122x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，函数()()21y f f x a=--都恰有两个不同的零点，等价于()()21ff x a=+有两个不等的实根，作出()f x 的大致图像，如图所示， 可得()max 32f x =，()min 34f x =，317218f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，317416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()t f x =，则 ①当23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ，其中11324t ≤<，2312t ≤<， ()1f x t =无解，()2f x t =有两个解，符合题意；②当217116a +=时，由()21f t a =+得134t =，243t =， 由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意；③当21731162a <+<时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ， 其中1314t <<，2413t <<，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意； ④当2312a +=时，由()32f t =，得121t t ==， 由图可知()1f x =有两个解，符合题意；⑤当2312a +>时，由()21f t a =+，得t 无解，不符合题意. 综上所述，2312a +=或23171416a ≤+<符合题意，而0a >，所以解得22a =或10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 即实数a 的取值范围为120,42a ⎧⎫⎪⎪⎡⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭. 故选：A.【点睛】本题考查符合函数的值域，函数与方程，根据函数的零点求参数的范围，考查了逻辑思维能力和运算能力，分类讨论的思想，属于难题.12.数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（ ）A. 40213-B. 4122-C.()404213- D.()402213-【答案】D 【解析】【分析】由题意知2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列{}n a 的前40项和.【详解】解：当n 取奇数时，cos 1n π=-，则2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，将式子相加得 ()()2040353912340214221...222 (214)3a a a a ⨯--++++=++++==- .故选:D.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等比数列的前n 项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能正确确定项数.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某班,,,,A B C D E 五人中随机选取两人参加学校的问卷调查，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为________. 【答案】710【解析】 【分析】求出总的组合数和,A B 两人中无一人被选中的组合数，结合对立事件的概率和为1，可求出,A B 两人中至少有一人被选中的概率.【详解】解：五人中随机选两人组合数有2510C =种，,A B 两人中无一人被选中的组合数有233C =种，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为3711010-=. 故答案为:710. 【点睛】本题考查了组合的应用，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是结合对立事件概率的关系简化运算.14.甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下：第一步：先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子（如图所示），甲从中记下某个棋子的坐标；第二步：甲分别告诉其他三人：告诉乙棋子的横坐标.告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等；第三步：由乙、丙、丁依次回答.对话如下：“乙先说我无法确定.丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道”.则甲记下的棋子的坐标为_____.【答案】(5,5) 【解析】 【分析】根据题意，得出乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，再根据横纵坐标相等，即可求解，得到答案．【详解】由题意，乙只知道棋子的横坐标，又无法确定，所以棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，接下来丙知道棋子的纵坐标，又无法确定，所以棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，这些横纵坐标相等的点只有(5,5)，所以丁说棋子的坐标为(5,5).【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理确定乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，M 在第一象限，线段MF 交双曲线于点N ，如果12MN NF =，则双曲线的离心率等于________.5【解析】 【分析】由MF 与渐近线b y x a = 垂直，可得直线MF 方程为()ay x c b =--，从而可求出2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合12MN NF =可求出222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由N 在双曲线上，代入方程即可得到关于,,a b c 的方程，进而可求出离心率.【详解】解：由题意知，MF 与渐近线b y x a =垂直，则MF 斜率为ab-，因为(),0F c ， 则直线MF 方程为()a y x c b =--，与b y x a =联立得()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，解得2a x c ab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12MN NF =，可得222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为N 在双曲线上，则 22222223331a c a ab c c b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+，整理得，225c a =，即c e a==. 故答案为:【点睛】本题考查了两直线垂直的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了向量的运算，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由已知求出N 的坐标.本题由于计算量略大，应注意计算的准确性.求圆锥曲线的离心率时，关键是列出关于,,a b c 的方程.16.已知H 为ABC 的垂心，且CH xCB yCA =+，AH mAB nAC =+，31x y +=，41m n +=，则B =________.【答案】45︒ 【解析】 【分析】由已知可得CA xCB yCA mAB n AC =+--,从而()()1y n m CA x m CB ---=-,进而可知100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩,结合已知条件,可求出,,,x y m n 的值;由00AH BC CH AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得cos cos cos cos mc B nb Cxa B yb A =⎧⎨=⎩,结合余弦定理及,,,x y m n 的值,可推出22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由余弦定理可求B 的大小.【详解】解：()CA xCB yCA mAB nAC xCB yCA m CB CA nAC =+--=+---， 整理得，()()1y n m CA x m CB ---=-，因为,CA CB 不共线，因此100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩ ，又因为31x y +=，41m n +=，解得16121613x y m n ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 因为H 为ABC 的垂心，所以()()0AH BC mAB nAC BC CH AB xCB yCA AB ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩，整理得，cos cos cos cos mc B nb C xa B yb A =⎧⎨=⎩ ，结合222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩可得222222330220a b c a b c ⎧--+=⎨--=⎩ ， 解得22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则222222298255cos 2298255b b b a c b B ac b+-+-===⨯，即45B =︒.故答案:45︒.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了余弦定理.本题的难点是垂心这一条件的应用.本题关键是求出参数的值.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE 区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC 的外接圆直径为20057m .（1）求道路AC 的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值. 【答案】（1）500m ；（2）600m . 【解析】【分析】（1）由正弦定理可求出AB =，由余弦定理可知2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，从而可求AC .（2）结合正弦定理可求三角形的周长为l EA ED AD =++)sin sin 200EAD EDA =∠+∠+，结合辅助角公式可化简为()400sin 60200l EAD =∠+︒+，进而可求周长的最大值. 【详解】（1）解：设三角形的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin ABR ACB=∠，即sin 60AB ︒==，由余弦定理知，2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，则22001500000AC AC --=，解得，500AC m =.（2）解：由题意知，200AD BC m ==，在AED 中，设周长为l ，其外接圆半径为R '，则2002sin sin 603AD R E '===︒，则2sin 3ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin 3EA R EDA EDA '=∠=∠，则l EA ED AD =++)()sin sin 200sin sin 120200EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎤⎦()3sin 200400sin 302002EAD EAD EAD ⎫=∠+∠+=∠+︒+⎪⎝⎭，则当30EAD =∠°时，周长最大，为600m .【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了余弦定理的应用.本题的关键是用一个变量来表示三角形的周长.本题的难点为周长最值的求解.一般地，当已知三角形的两角及一角的对边时，常用正弦定理解三角形，若已知两边及其夹角或三边时，常用余弦定理解三角形.但是若已知两边及一边的对角时，也可用余弦定理解三角形.18.已知鲜切花A 的质量等级按照花枝长度L 进行划分，划分标准如下表所示.某鲜切花加工企业分别从甲､乙两个种植基地购进鲜切花A，现从两个种植基地购进的鲜切花A中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示.（1）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；（2）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（3）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件成本为10元，销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.三级花加工产品二级花加工产品一级花加工产品销售率252389单价/(元/件) 12 16 20由于鲜切花A加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A？【答案】（1）乙种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A的花枝长度相对于乙种植基地更为集中.（2）310.（3）该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A.【解析】【分析】（1）结合茎叶图即可看出平均值的大小关系以及数据集中程度；（2）从茎叶图中求出三级的样品共5个，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则可求出基本事件总个数以及2个都来自乙基地基本事件个数，即可求出概率；（3）分别求出三种花的销售额，减去总的成本，结果除以个数即可得乙种植基地单件平均利润，与4进行比较，即可得出结论.【详解】（1）由茎叶图可以看出，乙种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A 的花枝长度相对于乙种植基地来说更为集中.（2）由题意知，三级的样品共5个，其中，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则从5个样品中随机取2个共有2510C = 种可能，2个都来自乙基地共233C =种可能，则选取的2个全部来自乙种植基地的概率为310. （3）根据茎叶图可知，乙基地中，三级花共3个，二级花共16个，一级花共11个，则三级花的销售额为231263123120.5555⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)； 二级花的销售额为21640161616160.5333⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；一级花的销售额为811870112011200.5999⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；则乙种植基地单件平均利润为126640187030030 4.88539⎛⎫++-÷≈⎪⎝⎭(元).因为4.884>，所以该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A .【点睛】本题考查了茎叶图，考查了古典概型概率，考查了数据分析.本题的计算稍麻烦，应多加注意.求古典概型概率时，可用列举法写出所有的基本事件，再进行求解；但这样速度较慢，有时合理地结合排列组合的思想会使得做题速度加快，准确度提高. 19.如图1，在长方形ABCD 中，122AB BC ==，E ，F 分别为AD ､BC 的中点，G 为ED 的中点，点H 在线段AF 上，且满足AH AF λ=.将正方形ABFE 沿EF 折起，使得直线EF 与平面ABCD 间的距离为1，得到如图2所示的三棱柱AED BFC -.（1）求证：AF ⊥平面BED ： （2）若三棱锥G HFC -的体积为26，求λ的值.【答案】（1）证明见解析（2）12λ=.【解析】 【分析】（1）过点E 作EM AD ⊥于点M ，由勾股定理可知AE ED ⊥，从而可证ED ⊥ 平面AEFB ，推出ED AF ⊥，结合AF EB ⊥，可推出线面垂直.（2）过点H 作HI EF ⊥于点I ，则()21HI λ=-，由1236G HFC H GFC GFC V V S HI --==⨯=可求出λ 的值.【详解】（1）证明：在AED 中，过点E 作EM AD ⊥于点M ，如图所示， 因为//CD EF ,CD ⊂面ABCD ,则EM 为EF 与平面ABCD 间的距离，由题意知， 则1,2EM AE ED ===，易知1AM MD ==，则2AD =，所以AE ED ⊥，又ED EF ⊥，EFAE E =，所以ED ⊥ 平面AEFB ，又AF ⊂平面AEFB ，所以ED AF ⊥，由题意知，AF EB ⊥，ED EB E ⋂=，则AF ⊥平面BED .（2）解：由AE ED ⊥，AE EF ⊥，EF ED E ⋂=，可知AE ⊥面EFD ，即AE ⊥面GFC ， 过点H 作HI EF ⊥于点I ，则//HI AE ，所以HI ⊥平面GFC . 因为1HI FHAE AFλ==-，所以()()121HI AE λλ=-=-， 则()11122221332G HFC H GFC GFCV V S HI λ--==⨯=⨯⨯⨯⨯-=，解得12λ=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了椎体体积的求解.将三棱锥G HFC -的体积转化为三棱锥H GFC -的体积，是本题第二问的关键.证明线线垂直时，常用的思路有：等腰三角形三线合一、勾股定理、菱形的对角线、线面垂直的性质等.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 2的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的常数k，2k =±.【解析】 【分析】（1）由点(0,1)M 在椭圆E 上，可求出21b =，联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆只有一个交点可得()4224216828160a a a a a ∆=-+=-=，从而可求出2a 的值，进而可求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，写出过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程联立，可得2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ，当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，223PA PB +=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()24222442210m k m k m ++-+=，从而可求出k 的值.【详解】（1）解：因为点(0,1)M 在椭圆E 上，所以211b =，解得21b =，椭圆方程为2221x y a+=，过点(2,0)N)2y x =-，与椭圆方程进行联立，即)222221y x x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，整理得，()22222420a x a x a +-+=，因为直线和椭圆有一个交点， 此时()4224216828160a aa a a ∆=-+=-= ，解得22a =，所以E 的方程为2212x y +=.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，则过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程进行联立得()2212y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得，()22222214220k x k mx k m +-+-=，由韦达定理知，2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ， 当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，22213PA PB a +=+=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()()222121212121222223x x m x x x x m y y y y +-+-+++-=，则222222222222222442222222232121211221k m k m k m km m k k m m k k k k k ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫--⨯++--⨯= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得，()()24222442210m k m k m ++-+=，解得212k =或222122m m +-+（舍去）所以当2k =±时，2221||,,||2a PA PB +成等差数列.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了两点间的距离，考查了等差中项，考查了圆锥曲线中的定值问题.本题的难点在于第二问的计算. 21.己知函数2()22(1)x x f x ae a e =++. （1）当12a =-时，求()f x 的极值； （2）当(0,)a ∈+∞时，函数()f x 的图象与函数4x y e x =+的图象有唯一的交点，求a 的取值集合. 【答案】（1）函数()f x 的极大值是14，无极小值；（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】 （1）当12a =-时，2()x xf x e e =-+，由导数为零，解得ln2x =-，从而可知()(),f x f x ' 随x 的变化，进而可求极值；（2）设设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，即22ln 2t ta t t+=+只有一个根，设()22ln t tg t t t+=+，结合导数可知，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，画出()g t 草图，可求出a 的取值集合.【详解】（1）解：当12a =-时，2()x x f x e e =-+，则2()02x x f x e e '-+==，解得ln2x =-， 则()(),f x f x ' 随x 的变化如表所示所以函数()f x 的极大值是2(ln 2)ln 2111(ln 2)424f ee ---=-+=-+=，无极小值； （2）解：设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，其中0t >，则()22214ln at a t t t ++=+只有一个根，即22ln 2t ta t t+=+ 只有一个根，设()22ln t tg t t t +=+ ，则()()22222ln 1ln t t t t t g t t t -+-+-'=+，()10g '= 令()222ln 1ln h t t t t t t =-+-+-，则()142ln 1h t t t t '=----，设12ln y t t=+， 则令2212210t y t t t -'=-+==，解得12t =，则,y y ' 随t 的变化如下表则当12t =时，12ln y t t =+取最小值为()22ln221ln20-=⨯->，所以12ln 0t t--<，即()142ln 10h t t t t'=----<.所以()h t 在()0,t ∈+∞ 上单调递减，因此()0g t '=只有一个根，即1t = ，当()0,1t ∈ 时，()0g t '>，()g t 递增；当()1,t ∈+∞ 时，()0g t '<，()g t 递减， 所以，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，则()22ln t tg t t t+=+简图如图所示， 由题意知，2y a = 与()g t 图像只有一个交点，而(0,)a ∈+∞，所以21a =，即12a =， 所以a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了函数的极值，考查了函数的零点与方程的根，考查了数形结合.本题的第二问的关键在于通过换元、参变分离，得到2y a = 与()22ln t tg t t t+=+图像只有一个交点.本题的难点是通过二次求导探究()22ln t tg t t t+=+图像的变化趋势. 22.在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为()24cos sin ρρθθ=+，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求圆1C 的直角坐标方程；（2）已知曲线2C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线2C 与圆1C 交于,A B 两点，求圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长.【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=.（22π. 【解析】 【分析】（1）24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，代入222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，即可得到圆1C 的直角坐标方程；（2）通过消参可得曲线2C 的普通方程为22y x =-，则联立12,C C 方程，可求出()0,4A ，()4,4B ，由110C A C B ⋅=，可求出劣弧AB 的圆心角为12AC B π∠=，进而可求弧长.【详解】（1）解：因为24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，则2244x y x y +=+， 整理得，22(2)(2)8x y -+-=，所以圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=. （2）解：曲线2C 的普通方程为22y x =-，由题意知，当2x ≤时，12,C C 的交点为A ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩ ，解得，04x y =⎧⎨=⎩，即()0,4A ，当2x >时，12,C C 的交点为B ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩，解得，44x y =⎧⎨=⎩，即()4,4B ，由（1）知，圆心()12,2C ，半径22r =.()()112,2,2,2C A C B =-=，则110C A C B ⋅=， 则12AC B π∠=，所以劣弧AB 的长为2222ππ⨯=.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程转化为普通方程，考查了弧长的求解，考查了直线与圆的位置关系.本题的关键是求出劣弧的圆心角. 23.已知函数()|21||5|f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32m，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立.【答案】（1）{|1x x <-或1}x >：（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)对x 的取值范围进行分情况讨论,再求解不等式即可;(2)根据解析式求出()f x 的最小值,从而得到m ,再利用分析法证明不等式即可.【详解】(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=, 因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q+≥+恒成立, 即证4p q pq p q+≥+恒成立, 即证()24p q pq +≥恒成立, 即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立,因此,原不等式得证.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式,考查不等式的证明,难度不大.。
2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)
2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十一)数学(理)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十一）数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}2B x x =|-2≤≤，则A B ⋂=（ ） A. [2,1]-- B. [1,2)-C. [1,1]-D. [1,2)【答案】A 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】解：由A 中不等式变形得：(3)(1)0x x -+， 解得：1x -或3x ，即(][),13,A =-∞-+∞，[]2,2B =-，[2,1]A B -=-∴，故选：A ．【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ）C. 5D. 3【答案】C 【解析】 【分析】 先化简20172i3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，再求其共轭复数求解. 【详解】因为20172i3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-， 所以12z i =+， 所以5z z ⋅=. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题.3.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4.已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】找到两个不等式之间的关系，理解充分，必要条件的概念可得结果.【详解】由22a a >，所以202a a a ≥⎧⎨>⎩或202a a a <⎧⎨>-⎩，即2a >或2a <-，所以可知“2a >”是“22a a >”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分，必要条件的概念，可以等价于集合之间的包含关系，属基本题型. 5.若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=26k ππ-（k ∈Z ） B. x=26k ππ+（k ∈Z ）C. x=212k ππ-（k ∈Z ）D. x=212k ππ+（k ∈Z ） 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若m α⊂，则m β⊥B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C. 若m α⊄，m β⊥，则//m αD. 若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥【答案】C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.7. 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A.964B.12C.164D.18【答案】D 【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．考点：几何概型．8.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x x e f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞+∞，11()sin()sin 11x x x x e e f x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101xx e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01x x e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数的奇偶性判断函数的对称性； 4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象9.ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ）A. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式，即可求解，得到答案. 【详解】由()226c a b =-+，整理得22226c a ab b =-++， 即22226a b c ab +-=-，又因为3C π=，由余弦定理可得222261cos 3222a b c ab ab ab π+--===，解得6ab =，所以三角形的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得6ab =是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A.6 B.26C.15 D.10 【答案】D 【解析】试题分析：以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴110cos ,58BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为10考点：直线与平面所成的角11.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点.若△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.13 B.7C.5D.2【答案】B【分析】设1ABF 的边长为m ，则由双曲线的定义，1ABF 为等边三角形，可求m 的值，在12BF F △中，由余弦定理，可得结论．【详解】解：设1ABF 的边长为m ，则由双曲线的定义，可得2||2BF m a =+ 又22AB m AF a =∴= 又1||AF m = 12||||2AF AF a -=22m a a ∴-= 4m a ∴=在12BF F △中，2||6BF a =，1||4BF a =，12||2F F c =，1260F BF ∠=︒∴由余弦定理可得22214(6)(4)2642c a a a a=+-c ∴=∴ce a==故选：B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题． 12.已知函数321,0()3+1,0x x f x x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+≤-⎩，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 3(ln2,)2B. (ln2,4)C. (ln 3,2)D. (ln 31,1)-【答案】D 【解析】 【分析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，求导2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-，当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减，然后在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象求解.【详解】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+， 则2'()33f x x =-+，由'()0f x =，可得1x =-.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象 如图所示.若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln 3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解得ln31<<1m -. 故选：D【点睛】本题主要考查函数与方程问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.第II 卷(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 【答案】3【解析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=. ∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为3点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．14.在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】60 【解析】 【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数. 【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60．【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3. 16.已知()sin cos fx a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b+++的最小值为_______________.【答案】17【解析】 【分析】先将()sin cos f x a x b x =+，转化为()f x )x ϕ+，再根据最大值为ab ，建立等式ab ，整理得22111a b+=，然后将4422191a b a b +++转化为222211(9)a b a b +++，再利用基本不等式中的“1”的代换求解.【详解】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+(tan )ba ϕ=ab ， 整理得22111a b +=，则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=++=≥，当且仅当22229b a a b=且22111a b +=，即2,a b ==时，取等号 所以4422191a b a b+++的最小值为17故答案为：17【点睛】本题主要考查三角函数的性质和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3+. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+.试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得33b c +=. 故ABC 的周长为333+.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评 100 30 130对车辆状况不满意 40 30合计 14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的 三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：2()P K k ≥ 0.150 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0723.841 5.0246.6357.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. (2)分布列见解析；EX =1.8（元）. 【解析】试题分析：（1）由题意求得2K 的值，然后即可确定结论； （2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可． 试题解析（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++ ()2200300012001406070130-=⨯⨯⨯220018146713⨯=⨯⨯⨯ 54008.4810.828637=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4. ∵()239010100P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121P X C == 13321010⨯=， ()122P X C ==2131375102100⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，()123P X C == 111255⨯=， ()2114525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：X1234P91003103710015125X 的数学期望为3371210100EX =⨯+⨯ 1134 1.8525+⨯+⨯=（元）.19.如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面ABC ； （2）求二面角B AE C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）13． 【解析】 【分析】（1）只需证明BC AD ⊥及AD AB ⊥，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解；【详解】解：（1）∵顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，即AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD ， ∵90CBD ∠=︒，∴BC BD ⊥，∵平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面ABD ，AD ⊂面ABD ，∴BC AD ⊥， 由2AB AD ==2BD =，得222BD AB AD =+，∴AD AB ⊥，∵AB BC B ⋂=，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面ABC ．（2）连结OE ，分别以OE 、OD 、OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0O ，()0,0,1A ，()0,1,0B -，()2,1,0C -，()0,1,0D ，()1,0,0E ，()2,1,1AC →=--，()0,1,1AB →=--，()1,0,1AE →=-，.设(),,n x y z →=为平面ABE 的一个法向量，则0n AB y z n AE x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得()1,1,1n →=-，..()2,1,1AC →=--，()1,0,1AE →=-，设平面ACE 的法向量(),,m x y z →=，则020m AE x z m AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取1z =，则()1,1,1m →=，设二面角B AE C --的平面角为θ，则1cos 333m n m n θ⋅===⋅⨯．. ∴二面角B AE C --的余弦值为13． 【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点(2,1)，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值. 【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b +=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k --=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k-++, ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k kk , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题. 21.(1)讨论函数()22xx f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，()220;x x e x -++> (2)证明：当[)0,1a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当(0,)x ∈+∞时，()(0)f x f >证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数()g x 的最值，再构造新函数00e ()2x h a x =+，用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++' 且仅当0x =时，()0f x '=，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>（Ⅱ）33(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+'由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0()0g x '=， 当00x x <<时，()0,()0,()f x a g x g x <'+<单调递减； 当0x x >时，()0,()0,()f x a g x g x >'+>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00e ()2x h a x =+，由2(1)()0,2(2)2x x xe x e e y x x x +=>='+++知单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e y x =+单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =-∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是21(,].24e【考点】函数的单调性、极值与最值 【名师点睛】求函数单调区间的步骤： （1）确定函数f （x ）的定义域； （2）求导数f ′（x ）；（3）由f ′（x ）＞0（f ′（x ）＜0）解出相应的x 的范围．当f ′（x ）＞0时，f （x ）在相应的区间上是增函数；当f ′（x ）＜0时，f （x ）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ． （1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值． 【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】 【分析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可. (2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=, 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=sin(2)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2．【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型. 23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a+≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥-∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=．当且仅当21a a=,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
2021年高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =（ ）A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ）A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+5.函数π()sin cos 6f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为（ ）A.[2,2]-B.[C.[1,1]-D.,22⎡-⎢⎣⎦6.函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望E X =()（ ）A.32B.2C.52D.38.已知实数x ，y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据i i (,)x y (i 1,2,3,,)n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，则下列结论中正确的是（ ） A.y 与x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点(,)x yC.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中正确的是（ ）A.MC AN ⊥B.GB AMN 平面C.CMN AMN ⊥平面平面D.DCM ABN 平面平面11.能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数()f x 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数中，是圆O 的“亲和函数”的为（ ）A.32()4f x x x =+B.5()ln5xf x x -=+ C.e e ()2x xf x -+=D.()tan5x f x =12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面由半椭圆1C ：22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c b+=<（其中222a b c =+，0a b c >>>）组成．设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是32π3，1F ，2F 在宝珠珠面上，012F F F 是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A.椭圆1C 的离心率为217B.椭圆2C 的离心率大于椭圆1C 的离心率C.椭圆2C 的焦点在y 轴上D.椭圆2C 的长、短轴之比大于椭圆1C 的长、短轴之比第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(十三)文科数学
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题；本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.集合01{|}M x x ＝＜＜，1222x N x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂等于（ ） A. )[11﹣， B. )[01，C. [11]﹣， D. 01（，）【答案】D 【解析】 【分析】首先求集合N ，然后再求M N ⋂.【详解】1222x ≤≤ 解得：11x -≤≤ ，{}11N x x ∴=-≤≤，{}()010,1M N x x ∴⋂=<<=.故选：D【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2.已知复数z 满足3)3i z i =，则z 为（ ）A. 34B. 34C. 32D. 32【答案】A 【解析】由题设可得34z ===+，应选答案A 。
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(十二)文科数学
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷（十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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第I 卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =（ ）A. {}2345，，，B. {}234，，C. {}1234，，， D.{}01234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解.【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B .【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题. 2. 设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A. 1B. -1C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 3. 等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A. ±6 B. 6 C. -6 D.132【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ==±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，故选：B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 4. 若2()(1)()f x x ax a R =+∈，则“23a =”是“()327f =”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要性的判定，依次判断是否具有充分性和必要性即可. 【详解】函数2()(1)()f x x ax a R =+∈，当23a =时，22()13f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则22(3)313273f ⎛⎫=⨯+⨯⎪⎭= ⎝，所以“23a =”是“()327f =”的充分条件；当()327f =时，代入可得23(13)27a ⨯+=，解得23a =或43a =-，因而“23a =”不是“()327f =”的必要条件， 综上可知“23a =”是“()327f =”充分不必要条件， 故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念及简单判断，属于基础题. 5. 曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ）A. 1y x =-B. 23y x =-C. 3y x =-+D.25y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线24x y =，即214y x =， 当2x =时，代入可得21124t =⨯=，所以切点坐标为()2,1， 求得导函数可得12y x '=， 由导数几何意义可知1212k y ='=⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 6. 阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A. 5i >B. 8i >C. 10i >D. 12i >【答案】C【解析】 【分析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知，0,1S i == 则1,3S i ==，4,5S i ==， 9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C.【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.7. 若双曲线22214x y b -=的离心率e =）A. B. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线22214x y b -=的离心率e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y =±20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.8. 将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B. 函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D. 最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误；对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确； 对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；综上可知，正确的为C ， 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.9. 若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()x e xf x x +=B. 21()x f x x-=C. 2()x e x f x x-=D. 21()x f x x +=【答案】C 【解析】【分析】根据函数解析式，结合特殊值与极限值法，即可判断解析式.【详解】根据函数图像可知，当1x =时，()0f x >，对于B 选项21()x f x x-=，其211(1)01f -==，所以排除B ；当x →+∞时，由图像可知()f x →+∞，对于D 选项21()x f x x+=，当x →+∞时()0f x →，所以排除D ；对于A ，()=1x x e x e f x x x +=+，当x →-∞时，由指数函数性质可知0xey x=→，即x →-∞时()1f x →，所以排除A ； 所以C正确选项，故选：C.【点睛】本题考查了由函数图像判断解析式，注意特殊值与极限值等方法的使用，属于基础题.10. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅.【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，112A P PB = 则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠22⎛⎫=⨯=- ⎝， 故选：D.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 11. 已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. b c a >>D.a cb >>【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg lg130lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.12. 一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合n 的正整数性质即可确定解的个数. 【详解】由题意可知首项为2，设第二项为t ，则第三项为2t +，第四项为()22t +，第五项为()222t +⋅⋅⋅第n 项为()322,*,n t n t N -+∈、且3n ≥，则()3222020n t -+=， 因为2202025101=⨯⨯， 当3n -的值可以为0,1,2； 即有3个这种超级斐波那契数列， 故选：A.【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二，填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是 ． 【答案】【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）六种取法，其中甲被选中有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）三种，所以甲被选中的概率为考点：本小题主要考查古典概型概率的求解.点评：求古典概型概率时，要保证每一个基本事件都是等可能的.14. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21xf x =-，则()123f =___ 【答案】1- 【解析】 【分析】根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的值.【详解】()f x 满足()()11f x f x +=-， 由函数对称性可知()f x 关于1112x xx ++-==对称，且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=- 令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 则()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-当01x ≤≤时()21xf x =-， 所以()11211f =-=，所以()()12311f f =-=-，故答案为：1-.【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题. 15. 已知平面向量a ，b 的夹角为3π,(3,1)a =，且||3a b -=，则||b =____ 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量模的定义先由坐标求得a ，再根据平面向量数量积定义求得a b ⋅；将a b -化简并代入即可求得||b . 【详解】(3,1)a =，则()32a ==，平面向量a ，b 的夹角为3π，则由平面向量数量积定义可得1cos 232a b a b b b π⋅=⋅=⨯⨯=，根据平面向量模的求法可知2223a b a a b b -=-⋅+=，2423b b -+=，解得1b =， 故答案为：1.【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.16. 数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，称为狄里克雷函数.则关于()D x 有以下结论:①()D x 的值域为[]01，;②()(),x R D x D x ∀∈-=; ③()(),T R D x T D x ∀∈+=;④(1)(2020)45;D D D D ++++=其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 【答案】② 【解析】 【分析】确定④.【详解】对于①，由定义可知，当x 为有理数时()1D x =；当x 为无理数时()0D x =，则值域为{}0,1，所以①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足()(),x R D x D x ∀∈-=，所以②正确；对于③，因为T R ∈，当x 为无理数时，x T +可以是有理数，也可以是无理数，所以③()(),T R D x T Dx ∀∈+=错误； 对于④，由定义可知(1)(2020)D DD D ++++2(1)(44)(2)(3)(2020)D D D D D D D D D =+++++++++44=，所以④错误；综上可知，正确的为②. 故答案为：②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.三，解答题(解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分)17. 传染病的流行必须具备的三个基本环节是:传染源，传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表:（1）用样本估计总体，分别估计青年人、中老年人出行戴口罩的概率.（2）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？【答案】（1）青年人出行戴口罩概率56；老年人出行戴口罩概率12.（2）有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关.【解析】【分析】（1）根据列联表，即可求得青年人、中老年人出行戴口罩的概率；（2）跟列联表及公式，代入即可求得观测值2K.结合临界值表即可作出判断.【详解】（1）根据列联表可知，抽取青年人共501060+=人，其中带口罩的有50人，所以青年人戴口罩的概率为505 606=；抽取老年人共202040+=人，戴口罩的有20人，所以老年人戴口罩的概率为201 402=.（2）假设是否会佩戴口罩出行的行为与年龄无关，由列联表及公式可得()2 21005020102012.69810.828 60407030K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因而有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关. 【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，()2,0AB PD t t ==>.(1)若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； (2)若三棱锥C DBM -的体积为43求三棱锥B PAC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）83.【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的特征，可证明BC ⊥平面PDC ，从而BC DM ⊥；而由等腰三角形性质DM PC ⊥可知，所以DM ⊥平面PBC ，进而由面面垂直的判定定理证明平面DMA ⊥平面PBC ；（2）过M 作MN DC ⊥，连接,DB BM .由43C DBM M DBC V V --==可求得t .即可由棱锥的体积公式求得B PAC P ABC V V --=.【详解】（1）证明：由题意PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 则PD BC ⊥四边形ABCD 为正方形，则BC CD ⊥， 且PD CD D ⋂=，则BC ⊥平面PDC ，又DM ⊂平面PDC ， 所以BC DM ⊥，由2AB PD ==且点M 是棱PC 的中点， 所以DM PC ⊥, 而BC PC C ⋂=， 所以DM ⊥平面PBC ， 而DM ⊂平面DMA ，所以由面面垂直的判定定理可得平面DMA ⊥平面PBC ； （2）过M 作MN DC ⊥，连接,DB BM .则1114223223C DBM M DBC V V t --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 解得4t =，所以118224323B PAC P ABC V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定定理，三棱锥体积的求法，属于基础题. 19. 如图，平面四边形ABCD 中，23D π∠=，5sin cos 13BAC B ∠=∠=，13AB =.（1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）12；（2）30S = 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数式可求得cos sin BAC B ∠=∠，结合正弦和角公式求得()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠，即可求得2BCA π∠=，进而由三角函数（2）设,,AD x DC y ==根据余弦定理及基本不等式，可求得xy 的最大值，结合三角形面积公式可求得ADC S ∆的最大值，即可求得四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）5sin cos 13BAC B ∠=∠=，则由同角三角函数关系式可得12cos sin 13BAC B ∠=∠==，则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+， 则2BCA π∠=，所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得22144x y xy =++，由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥，即48xy ≤，当且仅当x y == 由三角形面积公式可得1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠1482≤⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=，所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =.【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题. 20. 设33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；（2）当1≥x 时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈）【答案】（1）证明见解析；（2）5a =. 【解析】 【分析】（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当()()413ln a a a--≤时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当()()413ln a a a-->时不满足题意，因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论.【详解】（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+， 令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞， 则()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '=解得1x =，当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增， 当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110gx g ==-+=，则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立. （2）函数33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 则()()()41343ln (),1ln 11ln a a xa af x x x a a x a a----'=-=≥--，若1a >时，当()()413ln a a a--≤时，()0f x '<，则()f x 在[)1,+∞时单调递减，所以()()10f x f ≤=，即当1≥x 时()0f x ≤成立； 所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪--⎨≤⎪⎩的整数解即可，将不等式化简可得2543ln a a a -+≤， 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减， 当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增， 所以当3a =时()g a 取得最小值，则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<，()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =； 当()()413ln a a a-->时，在()()411,2ln a a x a⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论， 综上所述，当1≥x 时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =.【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.21. 已知12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点，椭圆C的离心率为,5AB 、是椭圆C 上两点，点M 满足12BM BA =. (1)求C 的方程；(2)若点M 在圆221x y +=上，点O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）22154x y +=；（2）1111,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中,,a b c 的关系，即可求得,,a b c 的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线AB 的方程为y kx m =+，由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +，由判别式>0∆可得2254k m +>；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简OA OB ⋅可得2114OA OB AB ⋅=-，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M 的坐标，代入圆的方程221x y +=，化简可得()2222542516k mk +=+，代入数量积公式并化简，由换元法令21t k =+，代入可得()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，再令1s t =及52s ω=-，结合函数单调性即可确定1625950ωω++的取值范围，即确定()()()20851259t t t t ---的取值范围，因而可得OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点， 则1c =，椭圆C的离心率为5则1c e a a ===解得a = 所以222514b a c =-=-=，所以C 的方程为22154x y +=.（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点M 满足12BM BA =，则M 为AB 中点，点M 在圆221x y +=上，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆方程22154y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()22254105200k x kmx m +++-=，所以212122210520,,5454km m x x x x k k --+==++则()()()222104545200km k m ∆=-⨯+⨯->，化简可得2254k m +>， 而()()OA OB OM MA OM MB ⋅=+⋅+2OM OM MB MA OM MA MB =+⋅+⋅+⋅22OM MB =-2114AB =-由弦长公式代入可得22111144OA OB AB⋅=-=-22211454kk⎛⎫+ ⎪=-⨯⎪+⎝⎭M为AB中点，则()121222254,,225454M Mk x x bx x km mx yk k+++-====++点M在圆221x y+=上，代入化简可得()2222542516kmk+=+，所以()22222154180454k k mOA OBk++-⋅=-⨯⨯+()()()()222212012120542516k kk k++=-⨯++令21t k=+，则()()()20812051259t tOA OBt t-⋅=-⨯--，1t≥，令1,01s st=<≤，则()()()()()82020820819512595259525t t stt t s st t---==----⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()4525259ss s-=--令[)52,3,5sωω=-∈，则52sω-=，所以()()()()()4521616255259559950ss sωωωωω-==--++++，因为()25950fωωω=++在[)3,5ω∈内单调递增，所以1643,252516950ωω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，即()()()20843,512592516t t t t -⎛⎤∈ ⎥--⎝⎦所以()()()2081111120,5125945t t OA OB t t -⎡⎫⋅=-⨯∈--⎪⎢--⎣⎭【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.请考生在第22，23两题中选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.【答案】（1 ;（2. 【解析】 【分析】（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB 的长；（2）将P 的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M 的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM .【详解】（1）直线l 的参数方程为x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，化为直角坐标方程为y x =，即0x y -= 直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.则圆心坐标为()1,0，半径为1，则由点到直线距离公式可知d=所以2AB==（2）点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标可得()2,2-，直线l的方程与曲线C的方程联立()2211y xx y=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，化简可得20x x-=，解得0,1x x==，所以A B、两点坐标为()()001,1，、，所以11,22M⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式可得2PM==.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.23. 设()()2,0f x x x a a=-->.(1)当1a=时，求不等式()1f x≥-的解集；(2)若()1f x≤，求a的取值范围.【答案】（1）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）将1a=代入函数解析式，并代入不等式，分类讨论解绝对值不等式即可得解.（2）将解析式代入不等式，讨论0x≤、0x a<≤和x a>三种情况，结合不等式解集性质即可求得a的取值范围.【详解】（1）将1a=代入可得()21f x x x=--，代入不等式可得不等式211x x --≥-当0x <时，不等式可化为()211x x --⨯-≥-，解得1≥x ，与0x <矛盾，所以无解；当01x ≤≤时，不等式可化为()211x x -⨯-≥-，解得13x ≥，所以解集为113x ≤≤； 当1x >时，不等式可化为()211x x -⨯-≥-，解得3x ≤，所以解集为13x <≤；综上所述，不等式()1f x ≥-的解集为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()1f x ≤代入解析式可得21x x a --≤，()0a >，当0x ≤时，去绝对值化简可得()21x a x --⨯-≤，解得21x a ≤+，对于任意0a >恒成立； 当0x a <≤时，去绝对值化简可得()21x a x -⨯-≤，解得213a x +≤，则需满足213a a +≤，解得1a ≥；当x a >时，去绝对值化简可得()21x x a -⨯-≤，解得21a x -≤，则需满足21a a -≥，解得1a ≥，综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值不等式求参数的取值范围问题，属于中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十三)文科数学试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十三）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数52z i=-，其中i 为虚数单位，则复数z =（ ） A.10533i + B. 2i +C.10533i - D. 2i -【答案】B 【解析】 分析】直接利用复数的除法法则计算得解. 【详解】由题得55(2)5(2)22(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2.设集合{}3A x x =≤，{}2log 1B x x =≥，则A B =（ ）A. []0,2B. []1,2C. []2,3D. [)3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}2log 12B x x x x =≥=≥，{}3A x x =≤，因此，[]2,3A B =.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.3.要得到函数y x =的图象，只需将函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向上平移4π个单位 D. 向下平移4π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：只需将函数)4y x π=+的图象向右平移4π个单位，即可得到函数y x =的图象，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 4.已知直线230mx y ++=与直线3(1)0x m y m +-+=平行，则实数m =（ ） A. 2- B. 3C. 5D. 2-或3【答案】A 【解析】 【分析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果. 【详解】当1m =时，显然不符合题意，所以1m ≠， 由230mx y ++=得322m y x =--，由3(1)0x m y m +-+=得311my x m m =----，所以321321mm m m ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-≠-⎪-⎩，解得2m =-.故选：A.【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.5.将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A. 283 B. 286 C. 287 D. 288【答案】D 【解析】 【分析】先求样本间隔，然后计算抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可. 【详解】样本间隔为18315-=，即抽取样本数为3001520÷=， 则最大的样本编号为31519288+⨯=， 故选：D.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔和样本容量是解决本题的关键，属于基础题. 6.设0.4.440log ,log 232,a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b c a <<B. c b a <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】可以得出0.440.4031,20,21log log <<<>，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：4440log 1log 3log 41=<<=，0.40.4log 2log 10<=，0.40221>=，b ac ∴<<．故选：D ．【点睛】本题考查了对数的运算，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P ，则cos2=α（ ）A.3B.13C.13-D.3-【答案】B 【解析】【分析】先由角α的终边过点1)P，求出cosα，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】解：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点1)P，所以cos3α==，因此21cos22cos13=-=αα.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于基础题.8.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足222a b c+=-，则△ABC的最大内角为（）A. 60︒ B. 90︒ C. 120︒ D. 150︒【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理求出角C即可得到答案.【详解】由222a b c+=得222cos22a b cCab+-==-，因为0Cπ<<，所以150C=，所以C为最大角.故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理，属于基础题.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的体积是（）A. 43πB. 53πC. 63πD. 73π【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原几何体如下，其外接球的体积即为棱长为2的正方体的外接球的体积，公式求解即可. 【详解】根据三视图可知该几何体为棱长为2的正方体的一个角（如图），所以该几何体的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，所以半径22222232R++==343=433ππ=V.故选：A【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及外接球体积的计算.10.已知正方形ABCD的边长为1，点M满足12DM MC=，设AM与BD交于点G，则AG AC⋅=（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】【分析】以A为原点，AB和AD分别为x和y轴建立平面直角坐标系，因12DM MC=，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，即1 (,1)3M，由(1,0)B、(0,1)D可知，直线BD的方程为：1y x=-+；由(0,0)A、1(,1)3M可知直线AM的方程为：3y x=，联立两条直线的方程，求得点G点坐标即可得解.【详解】解：以A为原点，AB和AD分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A，(1,0)B，(1,1)C，(0,1)D，12DM MC=，M∴为线段CD的靠近点D的三等分点，1(,1)3M∴，∴直线BD的方程为：1y x=-+；直线AM的方程为：3y x=，联立13y xy x=-+⎧⎨=⎩，解得1434xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点13(,)44G．∴1313(,)(1,1)1114444AG AC==⨯+⨯=．故选：A．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可以达到事半功倍的效果，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．11.在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚.现有直径为2m的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚.设正东方向射出的太阳光线与地面成30︒角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为（）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒【答案】C【解析】【分析】根据题意分析出阴影面是椭圆面，根据椭圆的面积公式，将面积最大转化为椭圆的长轴长最大，在三角形中利用正弦定理可求得结果.【详解】依题意分析可知，阴影面是椭圆面，椭圆的短轴长22b =m ，如图：圆的直径AB 在地面的投影为AC ，则AC 为椭圆的长轴，BAC ∠为圆面与阴影面所成二面角的平面角，30BCA ∠=，根据椭圆的面积公式可得||2S ab AC ππ==⋅，所以要使椭圆的面积最大，只要||AC 最大即可，在△ABC 中，由正弦定理可得||||sin sin AC AB ABC BCA=∠∠，所以||4sin AC ABC =∠，当90ABC ∠=时，||AC 取得最大值4，此时，60BAC ∠=， 所以圆面与阴影面所成角的大小为60. 故选：C.【点睛】本题考查了平行投影，考查了二面角的平面角，考查了椭圆的面积公式，考查了正弦定理，考查了分析问题的能力，属于中档题.12.已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点A 为双曲线右支上的点.若12AF F △的内切圆与x 轴切于点M ，且13F M b =，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.3 C. 2D.5【答案】C 【解析】 【分析】设内切圆与1AF 、2AF 分别相切于点P 、Q ，则||||AP AQ =，根据切线长定理易知2121||||||23F M F F F M c b =-=-，由双曲线的定义可得12||||2F M F M a -=，可得3b a c =+，再结合222b c a =-，可求得2c a =，由离心率ce a=得解． 【详解】解：如图所示，设内切圆与1AF 、2AF 分别相切于点P 、Q ，则||||AP AQ =，1||3F M b =，12||2F F c =，2||23F M c b ∴=-，由双曲线的定义可知，12||||2AF AF a -=，12(||||)(||||)2AP PF AQ QF a ∴+-+=，即12||||2F M F M a -=，∴3(23)2b c b a -=3b a c =+，又222b c a =-，2223()()c a a c ∴-=+，解得2c a =或c a =-（舍)，∴离心率2ce a==． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设曲线x y e x =+在0x =处的切线方程为1y ax =+，则实数a 的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，则答案可求．【详解】解：由xy e x =+，得1x y e '=+，∴00|12x y e ='=+=．又曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为1y ax =+， 2a ∴=．故答案为：2．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数，属于基础题． 14.已知0x >，0y >，21x y +=，则12(2)x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为________. 【答案】8. 【解析】 【分析】利用21,x y +=由()12424y x x y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭，利用基本不等式可得结果.【详解】解：因为0,0,21,x y x y >>+=所以()12424y x x y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭4448≥+=+=, 当且仅当12x y =时，即11,42x y ==等号成立， 所以12x y+的最小值是为8，故答案为：8.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15.已知α、β锐角，cos α=，cos β=αβ+=________． 【答案】34π【解析】【详解】由已知有sin 510αβ==，得()cos cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==-．因为α、β为锐角，从而，34παβ+=．16.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，函数()()()lo ||1g a g x f x x =-+.现给出以下命题：①()f x 是周期函数；②()y f x =的图象关于直线1x =对称；③当1a >时，()g x 在(0,)+∞内有一个零点；④当30a <<时，()g x 在R 上至少有六个零.其中正确命题的序号为________.【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，利用周期函数的定义判断；②根据()f x 是定义域为R 的偶函数，有()()f x f x -=，再结合(2)()f x f x +=判断；③令()()()lo ||10g a g x x x f -+==，即()()log ||1a f x x =+，在同一坐标系中作出()(),log ||1a y f x y x ==+，用数形结合法判断；④在同一坐标系中作出()(),log ||1a y f x y x ==+，用数形结合法判断.【详解】①因为对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，故正确；②因为()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，又因为对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，所以(2)()()f x f x f x +==-，即(2)()f x f x -=，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，故正确；③当1a >时，令()()()lo ||10g a g x x x f -+==， 即()()log ||1a f x x =+，在同一坐标系中作出()y f x =()|1log |a x y =+的图象如图所示：所以()g x 在(0,)+∞内无零点，故错误；④当30a <<时，令()1()log ||a h x x =+， 在同一坐标系中作出()y f x =，()1log ()||a y h x x ==+ 的图象如下图所示：(0)(2)2,(0)0(0)f f h f ==-=>，而30,(2)log 32(2)a a h f <<=>-=， 当(0,)x ∈+∞时，()y f x =与()y h x =至少有三个交点，()y f x =与()y h x =为偶函数，()y f x ∴=与()y h x =至少有六个交点，所以()g x 在R 上至少有六个零点，故正确. 所以正确命题的序号为①②④ 故答案为：①②④【点睛】本题主要考查函数奇偶性、周期性的应用，函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =，且1S 、2S 、4S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21n a n n N =-∈（2）16(23)2n nTn +=+-⋅【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由2214S S S =及11a =解得2d =，从而可得结果；（2）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为1S ，2S ，4S 成等比数列， 所以2214S S S =，所以()()21211234a a a a a a a +=+++， 那么()()2111246a d a a d +=+， 所以2d =或0d =（舍去） 又因为11a =， 则()*21n a n n N=-∈（2）由（1）得2(21)2n nn n b a n =⋅=-⋅，所以数列{}n b 的前n 项和23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅①，所以23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅②，由①②相减得2312222222(21)2nn n T n +-=+⨯+⨯+⋯+⨯--⋅()231222222(21)2n n n +=-++++⋯+--⋅ ()212122(21)212n n n +-=-+--⋅-21162(21)26(23)2n n n n n +++=-+--⋅=---⋅.所以16(23)2n n T n +=+-⋅.【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式，考查了错位相减法，属于中档题. 18.在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，12AB BC AD ===3EC =，5ED =，点P ，Q 分别为线段AB ，CE 的中点.（1）证明：//PQ 平面ADE ； （2）求点P 到平面ADE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）33417【解析】 【分析】（1）取BE 中点F ，连接PF ，QF ，先证平面//PQF 平面ADE ，再根据平面与平面平行的性质可得//PQ 平面ADE ；（2）根据P ADE E APD V V --=以及三棱锥的体积公式可求得结果. 【详解】（1）取BE 中点F ，连接PF ，QF ，因为//QF BC ，//AD BC ，所以//QF AD ， 因为QF平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//QF 平面ADE ，又//PF AE ，同理可得//PF 平面ADE ， 又QF PF F ⋂=，QF ，PF ⊂平面PQF ， 所以平面//PQF 平面ADE ，又PQ ⊂平面PQF ，所以//PQ 平面ADE .（2）设点P 到平面ADE 的距离d ，连接AC 、PD ，因为AD =AP =，AD AB ⊥，所以142APD S ∆==， 又EC ⊥面ABCD ，则EC 为三棱锥E APD -的高， 所以1143433E APD APD V S EC -∆=⨯=⨯⨯=， 因为在ABC中，AB BC ==AB BC ⊥， 所以4AC =，所以在直角ACE △中，5AE =，因为在等腰三角形ADE 中，5DE AE ==，AD =所以12ADE S ∆=⨯=， 因为P ADE E APD V V --=，所以143d ⨯=，所以d =. 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定定理，考查了平面与平面平行的性质，考查了利用等体积法求点面距，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题. 19.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线4340x y -+=的距离为85.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线2y mx =+与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设直线OA 的斜率为1k ，直线OB 的斜率为2k ，求12k k +的值.【答案】（1）24y x =（2）2【解析】 【分析】（185=，解方程即得抛物线C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组24,2,y x y mx ⎧=⎨=+⎩得到韦达定理，再计算121212y y k k x x +=+121222mx mx x x ++=+()12121222mx x x x x x ++=，再把韦达定理代入化简即得解.【详解】解：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线4340x y -+=的距离为85，85=， 解得2p =或6p =-（舍去）. 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，依题意0m ≠，联立方程组24,2,y x y mx ⎧=⎨=+⎩消去y 得22(44)40m x m x +-+=，所以>0∆，由韦达定理可得12244m x x m -+=，1224x x m =， 又因为112y mx =+，222y mx =+， 所以121212y y k k x x +=+ 121222mx mx x x ++=+ ()221212122444222224m m mx x x x m m x x m -⋅+⋅++===故122k k +=.【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.近几年，电商行业的蓬勃发展带动了快递业的迅速增长，快递公司揽收价格一般是采用“首重+续重”的计价方式.首重是指最低的计费重量，续重是指超过首重部分的计费重量，不满一公斤按一公斤计费.某快递网点将快件的揽收价格定为首重（不超过一公斤）8元，续重2元/公斤（例如，若一个快件的重量是0.6公斤，按8元计费；若一个快件的重量是1.4公斤，按8元2+元110⨯=元计费）.根据历史数据，得到该网点揽收快件重量的频率分布直方图如下图所示（1）根据样本估计总体的思想，将频率视作概率，求该网点揽收快件的平均价格；（2）为了获得更大的利润，该网点对“一天中收发一件快递的平均成本i y （单位：元）与当天揽收的快递件数i x （单位：百件）()1,2,3,4,5i =之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表： 每天揽收快递件数i x （百件） 23458每件快递的平均成本i y （元） 5.6 4.8 4.4 4.3 4.1根据以上数据，技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲：(1)ˆ0.2 5.6yx =-+，方程乙：(2)4ˆ 3.5yx=+. ①为了评价两种模型的拟合效果，根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数），分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q ，2Q ，并依此判断哪个模型的拟合效果更好（备注：ˆˆi i i ey y =-称为相应于点(),i i x y 的残差，残差平方和21ˆni i Q e ==∑； 每天揽收快递件数i x /百件2 3 4 5 8②预计该网点今年6月25日（端午节）一天可以揽收1000件快递，试根据①中确定的拟合效果较好的回归模型估计该网点当天的总利润（总利润=（平均价格-平均成本）×总件数）.【答案】（1）10.1元（2）①填表见解析；10.46Q =；20.03Q =；模型乙的拟合效果较好②6200元 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图得出快件价格的频率分布表，再计算平均价格； （2）①分别把i x 代入两模型方程，计算预报值和残差平方和； ②把10x=代入回归方程，得出平均成本，再计算利润．【详解】解：（1）根据揽收快件重量的频率分布直方图，得到其价格的频率分布表如下：所以平均价格为80.45100.25120.15140.1160.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10.1元.（2）①表中数据填写如下：计算可得：222221(0.4)0.20.40.3(0.1)0.46Q =-++++-=；2222(0.1)0.1(0.1)0.03Q =-++-=.因为21Q Q <，所以模型乙的拟合效果较好.②模型乙的回归方程为(2)4ˆ 3.5yx=+， 当一天揽收件数为1000时，则收发一件快递的平均成本为43.5 3.910+=， 可以估计该网点当天的总利润为(10.1 3.9)10006200-⨯=元.【点睛】本题考查了频率分布直方图，回归分析，属于中档题． 21.已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；（2）证明：当1a =时，34()5f x x x <-. 【答案】（1）当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据()ln (0)f x x ax x =->，求导得到11()'-=-=ax f x a x x，结合函数的定义域，分0a 和0a >两种情况讨论求解.（2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->，将证明34()5f x x x <-，转化为证明31ln 0(*)5x x x +->成立，令31()ln (0)5h x x x x x =+->，用导数法结合零点存在定理证明()0h x >即可. 【详解】解法一：（1）因为()ln (0)f x x ax x =->， 所以11()'-=-=axf x a x x， 当0a 时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增； 当0a >时，令()0f x '>，即10ax ->，解得10x a<<； 令()0f x '<，即10ax -<，解得1x a>， 综上所述：当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->， 欲证34()5f x x x <-，只需证34ln 5x x x x -<-，即证明31ln 0(*)5x x x +->， 令31()ln (0)5h x x x x x =+->， 所以3211155()355x x h x x x x'+-=+-=，令3()155(0)x x x x ϕ=+-，已知函数()x ϕ在[0,)+∞单调递增.又(0)5ϕ=-，(1)11ϕ=，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得()00x ϕ=， 所以当()00,x x ∈时，()0x ϕ<，即()0h x '<； 当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>；所以函数()h x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.当0x x =时，()min 030001()ln 5h x h x x x x ==+-， 因为0(0,1)x ∈，所以0ln 0x <，所以()00h x >，即()0()0h x h x >， 所以不等式(*)成立，即当1a =时，34()5f x x x <-. 解法二：（1）同解法一（2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->，由（1）知： ()f x 在(0,1)为增函数，在(1,)+∞为减函数，所以max ()(1)1f x f ==-，所以()1f x -，即ln 1x x ≤-.欲证34()5f x x x <-，只需证34()5f x x x <-，即证31ln 5x x x <+， 即证3115x x x -<+，即只需证3410(*)5x x -+>，令34()1(0)5h x x x x =-+>，则24()35h x x '=-，令()0h x '>得x >；令()0h x '<得0x <<，所以函数()h x 在0,15⎛ ⎝⎭为减函数，在15⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数，所以min()10h x h ==->⎝⎭，所以不等式(*)成立， 即当1a =时，34()5f x x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式的证明以及零点存在定理，还考查了分类讨论、转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.（二）选考题：本题满分10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin x m y αα=+=⎧⎨⎩（α为参数，0m >），曲线2C 的极坐标方程为()=2sin 0n n ρθ>，点P 是1C 与2C 的一个交点，其极坐标为4π⎫⎪⎭，.设射线00:0,02l πθθρθ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭＜＜与曲线1C 相交于O ，A 两点，与曲线2C 相交于O ，B 两点. （1）求m ，n 的值；（2）求2||||OA OB +的最大值.【答案】（1）1m =；1n =（2）（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点的坐标求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）将曲线1C 的参数方程化成普通方程：22()1x m y -+=，P 的直角坐标为(1,1).因为P 在1C 上，所以2(1)11m -+=，解得1m =.因为P 在2C=，解得1n =.（2）曲线1C 化为极坐标方程：2cos ρθ=.设A 的极坐标为()11,ρθ，B 的极坐标为()22,ρθ，则112cos ρθ=，222sin ρθ=.因为A ，B 分别是0θθ=与1C ，2C 的交点，所以120θθθ==.所以10202cos ,2sin .ρθρθ=⎧⎨=⎩故()120002||||24cos 2sin OA OB ρρθθθϕ+=+=+=+，其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=.因为()0sin 1θϕ+，当02πθϕ=-时等号成立.所以2||||OA OB +的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()|2|f x x x =-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集.（1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n +>+.【答案】（1）{|x x <x >（2）证明见解析；（1）对x 分三类讨论去掉绝对值，解得结果再相并可得结果；（2）两边平方再作差比较可证不等式成立.【详解】（1）当x <((20x x -++++，解得x <当32x <-时，原不等式化为((20x x ++++，解得x <当32x -时，原不等式化为((20x x +-++<，解得x >所以{|M x x =<x >.（2）欲证|3||mn m n +>+成立，只需证22(3)|)mn m n +>+成立.因为222222(3)|)339mn m n m n m n +-+=--+.()()2233m n =--.又由m ，n M ∈，得23m >，23n >.所以22(3)|)0mn m n +-+>，即22(3)|)mn m n +>+成立.所以|3||mn m n +>+成立.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了比较法证明不等式，平方后再作差是解题关键，属于中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十三)数学(文科)
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十三）文 科 数 学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A.(){}1,1B.(){}2,4-C.()(){}1,1,2,4-D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩，从而集合{(1,1),(2,4)}AB =-，【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求zi得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.双曲线2213x y -=的焦点到渐近线的距离是( )A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式进行解即可．【详解】双曲线2213x y -=的渐近线为y x =，23a =，21b =，222314c a b =+=+=，即2c =，设一个焦点(2,0)F0x y +=， 则焦点F到其渐近线的距离1d ===，【点睛】本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键． 4.已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ） A.2425 B. 2425-C.725D. 725-【答案】D 【解析】 【分析】对3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭按照两角差的余弦公式进行展开，再平方结合二倍角公式即可得结果.【详解】由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭35x x =， ∴()2219sin sin 2cos 225x x x ++=，即181sin 225x +=， ∴7sin 225x =-，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数间的关系式与二倍角公式、两角和与差的余弦公式的应用，属于中档题. 5.把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A. (,0)3πB. (,0)4πC. (,0)12πD. (0,0)【答案】D 【解析】【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.6.已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是A. [-1，0)B. [0，1]C. [-1,1]D. [-2,2]【答案】C 【解析】若0x <，则0x ->，2()2()f x x x f x -=-=，若0x >，则0x -<，2()2()f x x x f x -=+=，故函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增.∴不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤ ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故选C.点睛：本题考查与分段函数有关的不等式问题.解决与分段函数有关的不等式时，要注意观察分段函数的表达式，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，从而将不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤.7.在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A. 13- B.13C. 12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+，故可得1133AP AB AC =+，利用BP AP AB =-可得23BP AB AC =-+，故可计算λμ+的值． 【详解】因为,2,BD DC AP PD ==所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+, 所以1133AP AB AC =+,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+，因为BP AB AC λμ=+，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+，那么G 为ABC ∆的重心． 8.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A. 16216πB. 1628πC. 8216πD. 828π 【答案】D 【解析】【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为2111442226828222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ． 9.设a ，b ，c 为锐角ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos 23sin A B Ca b +=若2b =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） 3 B. 23 C.233D.12【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，化简得3sin sin C B C =，进而得到sin 2B =，1cos 2B =，再由余弦定理和基本不等式，求得4ac ≤，利用三角形的的面积公式，即可求解.【详解】因为cos cos A B a b +=3cos 3cos sin b A a B C +=，由正弦定理，可得3sin cos 3sin cos sin B A A B B C +=，又由3sin cos 3sin cos 3sin()3sin B A A B A B C +=+=，即3sin sin C B C =，又由(0,)2C π∈，则sin 0C >，所以sin 2B =， 又由(0,)2B π∈，所以1cos 2B =， 由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=， 又由2242a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且a c =时等号成立，所以4ac ≤，所以ABC ∆的面积的最大值为11sin 422S ac B ==⨯=故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10.圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A.mm n+ B.nm n+ C.4mm n+ D.4nm n+ 【答案】C 【解析】 【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求． 【详解】总人数为+m n ，写出的+m n 组数可以看作是+m n 个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆221x y +=内，则211411+m m nπ⨯=⨯，即4+m m n π=，故选C ． 【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目．11.设抛物线22(0)2x pt p y pt⎧=>⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ．若2CF AF =，且ACE ∆的面积为则p 的值为（ ）B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，可得),Ap ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为，得ACF S ∆=，然后通过求132ACF S p ∆=⨯=.【详解】根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-， 由||2||CF AF =，得3||2AF p =， 不妨设点(,)A x y 在第一象限， 则322p y p +=，即y p =，所以x =， 易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =， 所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即ACF S ∆=，所以132ACF S p ∆=⨯=p =. 故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力，属于中档题目.12.已知函数()1ln b a f x x x =--（0a >，0b e ≤≤）在区间[]1e ，内有唯一零点，则21b a ++的最大为（ ）A.21e + B. 221e e e +++ C. 1e + D. 22e +【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知ln a bx x x =+在区间[]1e ，内有唯一实数根，令()[]ln ,1,g x bx x x x e =+∈，利用导数判断函数的单调性，进而求出()g x 的最值，根据0b e ≤≤，可得21a e e ≤≤+，再根据不等式的性质即可求解.【详解】由题意函数()1ln b af x x x =--（0a >，0b e ≤≤） 在区间[]1e ，内有唯一零点，即1ln 0b ax x--=在区间[]1e ，内有唯一实数根， 即ln a bx x x =+在区间[]1e ，内有唯一实数根， 令()[]ln ,1,g x bx x x x e =+∈，()ln 10g x b x b '=++=，解得1ln 1b x b +=-<-，1x e<， ∴函数()g x 在区间[]1e ，上单调递增，()11g =，()g e be e =+， 0b e ≤≤，21a e e ∴≤≤+，则222b e ≤+≤+，2211a e e ≤+≤++， 则21b a ++的取值范围为22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦. 故选：D【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆C ：2268210x y x y +--+=，直线l 1斜率存在过定点1,0A ．若1l 与圆相切，则1l 的方程_________．【答案】3430x y --= 【解析】 【分析】设直线1l 的斜率为k ，则直线1l 的方程为(1)y k x =-根据圆心到直线1l 的距离等于圆的半径，求得34k =，即可求得直线1l 的方程.【详解】设直线1l 的斜率为k ，则直线1l 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=， 由圆C ：2268210x y x y +--+=，可得圆心(3,4)C ，半径为2R =， 因为直线1l 与圆相切，则圆心到直线1l的距离等于圆的半径，即2d ==，解得34k =，所以直线1l 的方程为3(1)4y x =-即3430x y --=.故答案为：3430x y --=【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的切线方程的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】 【分析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查计算求解能力，属于基础题.15.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数； ②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数；④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意条件，利用函数的奇偶性、周期性等性质对每一项进行逐项分析. 【详解】解：命题①：由()()2f x f x +=- 得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确； 命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确； 命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--， 又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=， 所以函数()f x 是偶函数，故③正确； 命题④：()()()2220f f f -=--+=-， 无法判断其值，故④错误. 综上，正确论断的序号是：①②③. 故答案为：3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，解题的关键是能将抽象函数利用相关条件进行转化，还考查了数形结合的思想方法.16.金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的8个顶点，6个面的中心，此外在立方体的对角线的14处也有4个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有4个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为a ，则正四面体SPQR 的棱长为__________；正四面体SPQR 的外接球的体积是__________．【答案】 (1). 22a (2). 3316a π 【解析】 【分析】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，3OR SO a ==，设SR x =利用勾股定理222OM MR OR +=即可解得x ，从而可得正四面体SPQR 的外接球的半径，进而可求出体积. 【详解】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，如图：连接SO ，延长交平面PQR 于点M ，则M 为△PQR 的中心， 所以设SR x =，2333MR x x ==， 因为11344OR SO ST a ===3=，所以22223()3SM SR MR x x =-=-6x =， 由222OM MR OR +=，得222()SM SO MR OR -+=，得222()()()3434x a x a -+=，解得2x a =， 所以正四面体SPQR的棱长为2a . 依题意可知，正四面体SPQR 的外接球的圆心为O， 所以正四面体SPQR的外接球的体积是34)3π⨯3a =.3a . 【点睛】本题考查了正四面体与球，考查了球的体积公式，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：352a a +=，125a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 取得最大值时n 的值． 【答案】（Ⅰ）17355n a n =-（n *∈N ）；（Ⅱ）10． 【解析】 【分析】（1）由已知条件根据等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而得出通项公式；（2）根据等差数列前n 项和公式，求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再由1001nn S n S n +⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪+⎩，即可解出n 的值．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，依题意1125262a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得114535a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则()14317315555n a n n ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．故数列{}n a 的通项公式为17355n a n =-（n *∈N ）； （Ⅱ）由()12n n n a a S +=得3311010n S n n =-+． 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为145公差为310-的等差数列，令()33101010331101010n n ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-++≤⎪⎩，解得283133≤≤n ， 由于n *∈N ，所以10n ≤，故n T 取得最大值时n 的值为10．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和的求法，解题的关键是熟练掌握并运用等差数列的性质．18.如图，正方形ABCD 的边长为22，以AC 为折痕把ACD 折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA λλ=<<，且三棱锥A BMN -的体积为89，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AC 中点O ，连结PO BO ，，由条件证明,PO AC PO OB ⊥⊥；（2）利用等体积转化1839A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅=，解得43AMNS =，由面积公式解得λ的值. 【详解】解：（1）取AC 中点O ，连结POBO ，. 因为PC PA =，所以PO AC ⊥.POB 中，122PO OB AC ===，PB PA == 则222PB PO OB =+， 所以PO OB ⊥， 又ACOB O =，且AC OB ⊂、面ABC ，所以PO ⊥面ABC ，又PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC . （2）因为面PAC ⊥面ABC ， 又面PAC面ABC AC =，且BO AC ⊥，所以OB ⊥面PAC ， 所以13A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅.又因为2OB =，89A BMN V -=， 所以43AMNS=. 因为PN PA λ=，所以()112AMNAPMPACS SS λλ-=-=.又142PACSPA PC =⋅=， 所以14423λ-⨯=，得13λ=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化A BMN B AMN V V --=，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.19.已知在()2222:10x y C a b a b +=>>上任意一点00(,)M x y 处的切线l 为00221xx yy a b +=，若过右焦点F 的直线l 交椭圆C :22143x y +=于P 、Q 两点，在点,P Q 处切线相交于G ．（1）求G 点的轨迹方程；（2）若过点F 且与直线l 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C 于,E H 两点，证明：11PQ EH+为定值．【答案】（1）4x =；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意按照直线PQ 斜率是否为0分类，当直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程求出点G 横坐标，化简即可得解；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得2212(1)34t PQ t +=+，同理可得2212(1)34t EH t+=+，即可得解. 【详解】（1）由题意点()1,0F ，当直线PQ 斜率为0时，在点,P Q 处的切线不相交，不合题意；当直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ， 易得在P 点处切线为11143x x y y +=，在Q 点处切线为22143x x y y+=， 由1122143143x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1122124()y y x x y x y -=-，又11221,1x ty x ty =+=+， 所以()()12211221212121214()4()4()141y y y y y y x y x y ty x y ty y y y --====----++，所以G 点的轨迹方程为4x =；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =+．则221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，>0∆，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+．所以PQ ==2212(1)34t t +=+；将t 换为1t -可得2222112(1)12(1)13434t t EH t t++==+⋅+， 所以()()2222113443712121121t t PQ EH t t +++=+=++． 【点睛】本题考查了新概念在椭圆中的应用及轨迹方程的求解，考查了直线与椭圆的综合应用和运算求解能力，属于中档题.20.BIM 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BIM 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BIM 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 我们说身高较高，身高小于170cm 我们说身高较矮．（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号12345678身高(cm)x 166 167 160 173 178 169 158 173根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为0.8 75.9=-y x ．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求2R （解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58(kg)．小明重新根据最小二乘法的思想与公式，已算出0.675y x a ∧∧=+，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考数据：2222222(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)8.95+++-+-+-+-=，168=x ，()821226i i y y=-=∑，0.675168113.4⨯=，参考公式：()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x x yy x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-，i i i e y bx a =--，22(),()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．【答案】（Ⅰ）列联表详见解析，没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响；（Ⅱ）①残差表详见解析，2R 约为0.91；②ˆ0.67555.9yx =-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图完善列联表，求出2K 与表中对应临界值比较即可判断；（Ⅱ）①求出编号为8的数据的残差，相应值代入公式()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑计算即可；②求出,x y ，代入a y bx =-中即可求得a ，从而求得回归方程. 【详解】（Ⅰ）由于2232(65615)1603 3.8411220211177⨯-⨯==<<⨯⨯⨯K ，因此没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．（Ⅱ）①对编号为8的数据8660.817375.9 3.5e =-⨯+=，完成残差表如下所示：()22228222221(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)(3.5)21.2i ii y y =-=+++-+-+-+-+=∑()()221218821.2110.91226iii ii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑． 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91． ②由①可知，第八组数据的体重应为58．此时，易知，168=x ，57.5=y ，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为ˆ0.67555.9yx =-． 【点睛】本题考查线性回归方程及独立性检验的应用，考查考生的运算求解能力、数据处理能力及实际应用意识，属于中档题. 21.已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，b R ∈）． （1）若0b =，试讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）存在a 满足题意，其值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负分布求解函数单调性； （2）若()f x 有三个不同零点，且成等差数列，可设()()()()13f x x m d x m x m d =----+利用待定系数法求解参数的取值.【详解】（1）若0b =，则()32113f x x ax =++，()22f x x ax '=+． 若0a ≥，则函数()f x 在()0∞，+上单调递增，若0a <，令()220f x x ax =+='，得10x =，22x a =-．在()02a -，上，()'0f x <，()f x 单调递减，在()2a -+∞，上，()'0f x >，()f x 单调递增．（2）因为20a b +=，则()322113f x x ax a x =+-+，若()f x 有三个不同零点，且成等差数列， 可设()()()()13f x x m d x m x m d =----+ ()3222321333x mx m d x m md ⎡⎤=-+--+⎣⎦， 故m a -=，则()0f a -=，故3331103a a a -+++=，3513a =-，335a =-．此时，335m =，d =，故存在三个不同的零点，故符合题意的a 的值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查求利用导数求函数的单调性，根据函数零点特征求解参数的取值，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑．22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos 221sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+． （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q 两点，且2OQ OP =，点M 的坐标为()2,0，求OMP ∆的面积．【答案】（1）曲线1C ：cos ρθ=；2:C 2214x y += （2）3． 【解析】 【分析】（1）先把曲线1C 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得极坐标方程.将2224cos 4sin ρθθ=+，化为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得曲线2C 的普通方程.（2）设直线极坐标方程为0θθ=，代入1C ，2C ，表示出,P Q ρρ，再由||2||OP OQ =从而求得P ρ及0cos θ，0sin θ，再利用01sin 2OMP P SOM ρθ∆=⋅⋅⋅求解. 【详解】解：（1）依题意，曲线1C ：221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即220x y x +-=，故cos ρθ=． 由2224cos 4sin ρθθ=+得2222cos 4sin 4ρθρθ+=，即2244x y +=，即2214x y += （2）作示意图如图所示，设直线l 的极坐标方程为0θθ=，分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程得0cos P ρθ=，222200044cos 4sin 13sin Q ρθθθ==++． 由2OQ OP =得()202cos θ20413sin θ=+，解得202sin 3θ=，则201cos 3θ= 又002πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以03cos P ρθ==，06sin θ=． 故012sin 23OMP P S OM ρθ∆=⋅⋅⋅= 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.23.已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭. 【答案】（1）(][),53,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集； （2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-，只需证明2210ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-；当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥.综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(][),53,-∞-+∞； （2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫ ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-， 因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，()()222222222212121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<. 所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.。
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2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数y =定义域为A ，函数ln(3)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A. (,3)-∞B. (8,3)--C. {3}D. [3,3)-【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两个函数的定义域,A B ，进而求出AB 即可.详解】由题意，对于函数y =290x -≥，解得33x -≤≤，即[]3,3A =-； 对于函数ln(3)y x =-，30x ->，解得3x <，即(),3B =-∞， 所以AB =[3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题. 2.已知复数i()z a a =-∈R ，若8z z +=，则复数z =（ ） A. 4i + B. 4i -C.4i -+D.4i --【答案】B 【解析】 【分析】求出z 的表达式，再结合8z z +=，可求出a 的值，即可求出答案.【详解】由题意，i()z a a =-∈R ，i z a =+，所以i i 8a a -++=，解得4a =，故z =4i -. 故选：B.【点睛】本题考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3.已知命题p ：0x ∀>，则31x >；命题q ：若a b <，则22a b <，下列命题为真命题的是( ) A. p q ∧ B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知命题p 为真命题，则￢p 为假命题，命题q 是假命题， 则￢q 是真命题．因此p ∧￢q 为真命题．【详解】命题p ：0x ∀>，则31x >，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题．4.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）． A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B. ,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥C. 若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥D. ,,m n m αγβγ⋂=⋂=∥n ，则α∥β 【答案】C 【解析】试题分析：A ．错，因为没说明垂直于两平面的交线，B ．错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，C ．正确，因为平面存在垂直于的线，D ．错，因为与有可能相交．故选C ．考点：线线，线面，面面位置关系5.郑州市2019年各月的平均气温()℃数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）A. 20B. 21C. 20.5D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．【详解】解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34， 故中位数是：202120.52+=， 故选：C ．【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题． 6.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：设输入x a =，第一次执行循环体后，32x a =-，1i =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，98x a =-，2i =，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，2726x a =-，3i =，满足退出循环的条件； 故9882a -，且272682a ->， 解得：(4,10]a ∈， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．7.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A. 58- B.18C.14D.118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 10C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】由题可知直线350x y -+=与渐近线b y x a =-垂直，可求出b a 的值，进而由c e a ==心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 又因为直线350x y -+=的斜率为30>，所以与该直线垂直的渐近线方程为by x a=-，则31b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即13b a =，故双曲线的离心率c e a ====故选：D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查垂直直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9.函数2||()24x x f x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、B 选项，再根据()0,2x ∈时，()0f x <，()2,x ∈+∞时，()0f x >，可选出答案.【详解】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项； 当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积．将aGini S=，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为1[0,1])y x =∈，则π12Gini =-； 其中正确的是：（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 【分析】结合基尼系数曲线的特点，可判断出①正确；由劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误；再结合1[0,1])y x =∈对应的图形特征，可求出对应的,a S ，进而可求出Gini ，即可判断③是否正确.【详解】对于①，根据基尼系数公式aGini S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x ≤，可得()1f x x≤，所以②错误；对于③，易知1[0,1])y x =∈表示圆心为()0,1，半径为1的14圆弧，则21111π111π4242a =⋅-⨯⨯=-，12S =，故11ππ421122a Gini S -===-，所以③正确. 故选：B.【点睛】本题考查新定义，考查不等式证明，考查几何图形面积的计算，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球表面积为4π，则正方体外接球的体积为( )A. B. 36πC. 3D. 6【答案】B 【解析】 【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果. 【详解】设正方体的棱长为a ，则BD =，因为三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4π， 所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1， 设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，11114133BC D BC D S h S ∆∆⨯=⨯⨯⨯，4h ∴=， 又(23h ==，4,3a ∴== 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，∴3=，其体积为343363ππ⨯=，故选B. 【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径. 12.已知函数π()2f x x=-，()cos sin g x x x x =-，当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个数可得出答案. 【详解】由题意，函数π()2f x x=-，在[)(]4π,00,4π-上是奇函数，且是反比例函数，又()()()()cos sin cos sin g x x x x x x x g x -=----=-+=-，所以()g x 在[)(]4π,00,4π-上是奇函数.又()sin g x x x '=-，所以()0,πx ∈时，()0g x '<；()π,2πx ∈时，()0g x '>；()2π,3πx ∈时，()0g x '<；()3π,4πx ∈时，()0g x '>.所以()g x 在()0,π上单调递减；在()π,2π上单调递增；在()2π,3π单调递减；在()3π,4π上单调递增. 作出(),()f x g x 的图象，如下图所示，()00g =，()ππg =-，()1π2f =-，()()ππf g >，则()f x 与()g x 的图象在()0,πx ∈上有1个交点；()2π2πg =，()12π4f =-，()()2π2πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()π,2πx ∈上有1个交点；()3π3πg =-，()13π6f =-，()()3π3πf g >，则()f x 与()g x 的图象在()2π,3πx ∈上有1个交点；()4π4πg =，()14π8f =-，()()4π4πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()3π,4πx ∈上有1个交点.故()f x 与()g x 的图象在(]0,4π上有4个交点，根据对称性可知，二者图象在[)4π,0-上4个交点，故当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是8.故选：D.【点睛】本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到m 的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值. 【详解】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，2331,m m ∴-+= 解得：1m =或2m =，当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数2y x 的图象关于y 轴对称，∴实数2m =．【点睛】幂函数y x α=，若α为偶数，则图象关于y 轴对称.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________. 【答案】712【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b 可得6636n =⨯=种结果，由直线与圆()2222x y -+=有公共点a b ≤≤，故满足a b ≤的结果有65432121m =+++++=种，由古典概型的计算公式可得：直线0ax by +=与圆()2222x y -+=有公共点的概率为2173612m P n ===，应填答案712．15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且b =(sin )A A b =，则ABC的面积的最大值为_______．【解析】 【分析】由正弦定理边角转化，并结合()sin sin C A B =+，可得到cos sin sin A B A B =，从而可得tan 3B =，即可求出角B ，再结合余弦定理，可得到223a c ac =+-，利用基本不等式可求得3ac ≤，进而由1sin 2ABC S ac B =△，可求出答案. 【详解】由正弦定理可得，3sin (sin 3cos )sin C A A B =+， 又()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，所以()3sin cos sin cos (sin 3cos )sin A B B A A A B +=+，则3sin cos sin sin A B A B =， 因为sin 0A ≠，所以3cos sin B B =，即tan 3B =，故π3B =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得223a c ac =+-， 又222232a c ac a c ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立， 所以3ac ≤，且11333sin 32224ABCSac B =≤⨯⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有______．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 ②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为0.18% 【答案】①②③【解析】 【分析】结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案.【详解】对于①，CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大，故①正确；对于②，CPI 一篮子商品中吃穿住所占19.9%8%23%50.9%++=，权重超过50%，故②正确； 对于③，由第二个图可知，猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%，故③正确；对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为2.5% 2.1% 4.6%+=，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()*11n n n b n a a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨+≥⎩；（2）412030n n T n +=+【解析】 【分析】（1）由1n =时，11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，可求出{}n a 的通项公式； （2）由1n =时，1121b a a =，2n ≥时，11122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，进而结合裂项相消求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==．当2n ≥时，()22121(1)2(1)121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦． 而12211a =≠⨯+，所以数列{}n a 的通项公式为2,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩.（2）当1n =时，1121112510b a a ===⨯， 当2n ≥时，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1,110111.,222123n n b n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪++⎝⎭⎩，当1n =时，11110T b ==， 当2n ≥时，1231111111110257792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111411025232030n n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭． 又114111020130T ⨯+==⨯+，符合412030n n T n +=+， 所以412030n n T n +=+()*N n ∈． 【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列的前n 项和n T ，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.在改革开放40年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （2）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．（参考数据：()()612.8iii x x y y =--=∑，计算结果保留到小数点后两位）【答案】（1）0.16 6.44y x =+；（2）7.56万吨 【解析】 【分析】（1）先求出x 和y 的值，然后求出()621ii x x =-∑，进而由()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-，可求出ˆ,ba ，从而可求出y 关于x 的线性回归方程；（2）当年份为2020年时，年份代码为7x =，由（1）求得的回归方程，求出ˆy的值即可． 【详解】（1）由题意可知：1234563.56x +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，所以()()()1212.8ˆ0.1617.5niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑， 又70.16 3.5 6.44a y bx =-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为0.16 6.44y x =+．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码为7x =，此时0.167 6.447.56y =⨯+=． 所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，1BC =，求三棱锥1C AA B -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）34【解析】 【分析】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，可知1//OD B C ，进而由线面平行的判定定理可证明1//B C 平面1A BD ；（2）在ABC 中，利用余弦定理可求得3AB =222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，再结合平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知BC ⊥平面11AA B B ，进而求出1A AB S △，从而由1113C A AB AA BV S BC -=⋅可求出答案.【详解】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ， 又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ． （2）2AC =，1BC ∴=，60ACB ∠=︒，22212cos 4122132AB AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，3AB ∴=，222AC AB BC ∴=+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =，BC ⊂平面11AA B B ，BC ∴⊥平面11AA B B ．160A AB =︒∠，1AB BB =，∴四边形11AA B B 为菱形，1ABA △为正三角形，13AA AB ∴==.11111333sin 332224A AB S AB AA A AB ∴=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 1111333133C A AB AA BV SBC -∴=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线l 平行于直线by x a=，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）(2,0)(0,22)-⋃ 【解析】 【分析】（1）由短轴长为23,a b 的值，进而可求出椭圆的标准方程； （2）由直线l 平行于直线b y x a=，可设直线l 的方程为1(0)2y x n n =+≠，与椭圆方程联立，可得到关于x 的一元二次方程，由>0∆，可求得22n -<<，再结合AOB ∠为钝角，可得0OA OB ⋅<，且0n ≠，将该式展开，并结合韦达定理，可求出22n <，进而可求出n 的取值范围，再结合直线l 在x 轴上的截距2m n =-，可求出m 的取值范围．【详解】（1）由题意可得2b =b =c e a ===a = 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）由于直线l 平行于直线by x a =，即12y x =，设直线l 在y 轴上的截距为n ， 所以l 的方程为1(0)2y x n n =+≠． 联立221,2182y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x nx n ++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点， 所以()22(2)4240n n ∆=-->，解得22n -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x n +=-，21224x x n =-．因为AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0n ≠， 所以121212121122OA OB x x y y x x x n x n ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212125524(2)04242n nx x x x n n n n =+++=-+-+<，即22n <，且0n ≠， 所以直线l 在y 轴上的截距n的取值范围：(⋃． 因为直线l 在x 轴上的截距2m n =-，所以m的取值范围是：(-⋃．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数ln ()()xf x a x a =∈+R ，曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =． （1）求实数a 的值，并求()f x 的单调区间 （2）求证：当0x >时，()1f x x ≤-．【答案】（1）单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，由(e)0f '=，可求出a 的值，进而可得()f x 解析式，求出单调性即可；（2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤，进而构造函数2()ln (0)g x x x x x =-+>，求导并判断单调性可知()(1)0g x g ≤=，从而可证明结论.【详解】（1）ln ()xf x x a =+，2ln ()()x axxf x x a +-'∴=+， 2e (e)(e )af a '∴=+， 又曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =，则(e)0f '=，即0a =， 21ln ()xf x x -'∴=， 令()0f x '>，得1ln 0x ->，即0e x <<； 令()0f x '<，得1ln 0x -<，即e x >，所以()f x 的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞． （2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤， 令2()ln (0)g x x x x x =-+>，则2112(1)(21)()21x x x x g x x x x x+--+'=-+==-， 当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，即当0x >时，()1f x x ≤-．【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程， （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且||AB ≥．求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）222:()C x y a a +-=，:4350l x y -+=；（Ⅱ）101011a ≤≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程； （Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【详解】解：（Ⅰ）因为圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>，所以圆C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去t 得到4350x y -+=（Ⅱ）由圆的方程可得圆心(0,)C a ，半径R a =，则圆心到直线的距离|53|5a d -==，||3AB a ．3a ∴，即22234a da -， 则224a d ，即2a d ，则|53|52a a -， 则35252a a a --， 由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩解得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩，解得101011a ．即实数a 的取值范围是101011a ． 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题． 23.已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值． 【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。