连续型随机变量及其分布

到x的一块面积；
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概率密度的几何意义
b
P{a X b} f (x)dx
xx
a
f (x)dx f (x)x.
概率论与数理统计 x
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注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即 P{X a} 0.
证明
0 F(0) F(0 ) lim (A Bex ) A B
x0
1 F() lim (A Bex ) A
x
则
A=1, B=-1.
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(2).因为 1 ex ,
F(x) 0,
x 0; x 0.
( 0)
所以求导得:
ex ,
f (x) 0,
1
x
0dt
2
1
1
1
0dt
2
1
0,
1 t2 dt,
1 x 1,
x
1 t2 dt 0dt, x 1
1
x 1,
x
1,
1 x2 1 arcsinx 1 ,
2
1 x 1, x 1.
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上例中用到积分公式：
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C.
1,
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得
3
kx d x
4
(2
x)d
x
1,
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
解之得
k 1. 6
x 6
,
p( x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其 它.
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由
F(
x)
x
p(
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均匀分布的分布函数
x
0dt,
x
F(x) f (t)dt
a
x
0dt
a
1 dt, ba
a
0dt
b a
b
1
a
dt
x b
0dt,
x a, a x b, xb
0,
x 1b,
a a
,
x a, a x b, x b.
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(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
41 . 48
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例2 设有连续型随机变量X的分布函数为
A Bex , x 0;
F(x)
0,
x 0.
(1).确定常数A,B的值;
( wenku.baidu.com)
(2).求密度函数f(x);
(3).计算P{X>0.1}.
解：(1).由分布函数性质得:
续
型
若 P{ X a} 0,
则不能确定 {X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离
散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
型
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题型1.分布函数和概率密度的判定或确定待定参数 题型2.分布函数与概率密度的求法 I.求分布函数
(1).已知密度函数,用积分求分布函数; (2).未知密度函数,用定义求分布函数. II.求概率密度 一般,已知连续型随机变量X的分布函数F(x),则其 概率密度为
二、概率密度的性质
由定义知,概率密度 f(x)具有以下性质:
f (x) 0( x );
f (x)dx 1; [确定待定参数]
b
P{a X b} f (x)dx F(b) F(a); [求概率]
x
a
F(x) f (t)dt( x );[由概率密度求分布函数]
F(x) f (x)( x为f (x)的连续点).[由分布函数求概率密度]
P{ X
a}
a x
lim
x0 a
p( x)d
x
0.
由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
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注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
连
P{ X a} 0.
x)d
x
得
0, x 0,
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
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0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
2
2
a
大家应复习有关积分的方法与公式。
请看P.40-41:例9；例10.
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三、几种重要的连续型随机变量 1、均匀分布
定义2 设连续型随机变量X具有概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其它,
则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为
X ~ U (a,b).
x0 x0
(3).P{X>0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1)
=1-(1-e-0.1λ)= e-0.1λ;
或P{X>0.1}=
f (x)dx
ex dx
e x
|
0.1
e 0.1
0.1
0.1
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练习 设随机变量X的概率密度为
f
(x)
2
0,
求X的分布函数。
f (x) F(x)
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例1 设随机变量X 具有概率密度
kx,
p( x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其 它.
(1) 确 定 常 数k; (2) 求 X 的 分 布 函 数;
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解
(1)由
p(
x)d
x
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均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长 度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度 成正比，而与子区间的起点无关。
1 x2 ,
1 x 1, 其它,
【解】概率密度f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,
其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数
为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).
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例9-续1
x
0dt,
x 1,
F(x)
x
f (t)dt
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性质（1）的几何意义是分布密度曲线总是位于x轴
上方；
性质（2）的几何意义是分布密度曲线与x轴之间的
面积为1；
性质（3）的几何意义是X取值于任一区间的概率等
于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲
边梯形的面积；
性质（4）中X的分布函数F(X)的几何意义是分布密
度函数 y以下f ，(x)x轴上方，从