九年级上学期-数学-知识点总结(华东师大版)

华师大版九年级上册数学知识点总结第 21 章 二次根式1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．2. 二次根式的性质：(a 0)(1) ( a ) 2 (a ≥0 )；( 2) a 0(a ≥0)；(3) a 2(a 0)(a 0)3. 二次根式的乘除：乘法运算： a b (a 0,b 0) 计算公式： 除法运算： 4. 概念：1.最简二次根式： (1) (2)2.同类二次根式：5. 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )(1) 将每个二次根式化为最简二次根式； (2) 找出其中的同类二次根式； (3) 合并同类二次根式．6. 二次根式化简求值步骤： (1) “一分”：分解因数(因式)、平方数(式)； (2)“二移”：根据算 术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； (3)“三化”：化去被开方数中的 分母． 7. 二次根式的混合运算：(1) 二次根式的混合运算顺序与实数运算类似， 先算乘方， 再算乘除，最后算加减，有括号先算 括号里面的． (2) 对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． (3) 在二次根式混合运算中， 如能结合题目特点， 灵活运用二次根式的性质， 选择恰当的解题途 径，往往能事半功倍．第 22 章 一元二次方程1. 一元二次方程：1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程．2) 一元二次方程的一般形式： ax 2bx c 0(a 0) ． 它的特征：等式左边 是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零．ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项．2. 一元二次方程的解法：1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如 (x a)2b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知， x a 是 b 的平方根，当 b 0时， x a b ， x a b ，当 b<0 时，方程没有实数根．2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2，把公式中的 a 看a (a 0,b 0)(3)做未知数x，并用x 代替，则有x2 2bx b2 (x b)2．配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：x b b 4ac (b 2 4ac 0)2a4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．3.一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 中，b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即b2 4ac ．1)当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；2)当△=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；3)当△<0 时，一元二次方程没有实数根．4.韦达定理：如果方程ax2 bx c 0(a 0) 的两个实数根是x 1，x2，那么x 1 x2b，x1 x 2c．也就是说，a a 对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．5.一元二次方程的二次函数的关系：其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y=0 的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点，也就是该方程的解了．第 23 章图形的相似1．比例线段的有关概念在比例式 a c ( a:b c:d )中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d 叫后项，d 叫第四比例 b d项，如果b= c，那么 b 叫做a、d 的比例中项．2．比例性质①基本性质： a c ad bcb d②更比性质(交换比例的内项或外项)：a b ( 交换内项)c dd c ( 交换外项)a cb ab d d b (同时交换内外项)c ab d (同时交换比的前项和后项)a c②合比性 a c a ±b c ±db d b d③等比性质：a c ⋯m (b d ⋯ a c ⋯n≠0)m a b d n b d ⋯n b3．黄金分割AC BC 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果AC BC，即AC2=AB×BC，AB AC 那么称线段AB 被点 C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AC 5 1AB ≈ 0.618AB ．24．平行线分线段成比例定理5．6．7．①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：ABDE AB DE BC EFl1∥ l2∥ l3．则，，，⋯1 2 3 BC EF AC DF AC DF ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似．相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．六种相似基本模型：对应CAC∥BD的对CX 型∠ B ∠CCAD 是Rt△ABC 斜边上8． 射影定理 由 ，得 ，即由 ，得 ，即 由 ，得 ，即 9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三 角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应 中线长的 2．32) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段． 梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10 ． 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个 图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．第 24 章 解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余． 可表示如下： ∠C= 90° ∠A+ ∠B= 90 °2. 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半． A 30 1BCD ABC 90 23. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．ACB 90 1CD AB BD ADD 为 AB 的中点 24. 勾股定理 直角三角形两直角边 a ，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2 3 b 2 c 2． 5. 摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是 它们在斜2 有一个角是直角的三角形是直角三角形．3 勾股定理的逆定理边上的摄影和斜边的比例中项．ACB 90 2CD AD ?BD2CD ABAC AD ?AB BC 2 BD ?AB6. 常用关系式由三角形面积公式可得：C考点二、直角三角形的锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 ∠ A 的锐角三角函数． 3. 各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系： sinA= cos （90 °—A ），cosA=sin（90 °—A ） tanA=cot （90 °—A ），cotA=tan（90 °—A ）（2）平方关系： sin 2 A cos 2A 1 （3）倒数关系： tanA ?cotA=1（4）弦切关系： tanA=sin A；cot A=cos Acos Asin A4. 锐角三角函数的增减性：当角度在 0°~ 90 °之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 5. 一些特殊角的三角函数值三角函数0° 30 45 60 90°sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 21 2 0tan α3 3 1 3 不存在cot α 不存在313 3考点四、解直角三角形 1. 解直角三角形的概念：如果三角形的三边长 a ，b ，c 有关系 a 2 b 2形． 考点三、锐角三角函数的概念 1. 如图，在 △ABC 中， ∠C= 90°①锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的对边 记为 sinA ，即 sin A 那么这个三角形是直角三角 斜边 ②锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的邻边 b斜边 ③锐角 A 的对边与邻边的比叫做 ④锐角 A 的邻边与对边的比叫做 2. 锐角三角函数的概念 c∠ A 的余∠ A 的正切，记为 ∠ A 的余切，记为记为 cosA ， 即 tanA ，即 tan AcotA ，即 cot A A 的对边 A 的邻边 A 的邻边 ab ba∠ A 的正弦， a在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外 的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2. 解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为 a ，b ，c 1）三边之间的关系： a 2 b 2 c 2 （勾股定理） 2）锐角之间的关系： ∠ A+ ∠B=90 ° 3）边角之间的关系：sin B b , cos B a , tanB b, cotB ac c a b第 25 章 随机事件的概率1. 概率 （1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率． P （所关注的事件 ）=所关注的结果 / 所有等可能的结果． 2. 概率的预测（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果． （2）要清楚所有机会的结果． （1）、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概 率． 方法：画树状图、列表法．事件的分类1、确定事件 必然发生的事件：当 A 是必然发生的事件时， P （ A ）=1 不可能发生的事件：当 A 是不可能发生的事件时， P （A ） =02、随机事件：当 A 是可能发生的事件时，０＜ P （ A ）＜１ 概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 n会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事m件 A 的概率。