下学期八年级数学竞赛试题及答案

2016年下学期八年级数学竞赛试题
时量：120分钟 满分：120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．在式子1a ，2xy π，2334a b c ，56x ，78x y +，210xy -，2x x 中，分式的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3
D ．2 2．已知()2111x x --=，则x 的值为（ ）
A ．±1
B ．﹣1和2
C ．1和2
D ．0和﹣1
3．如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ，则∠C 的度数是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．55°
D ．60°
第3题图 第4题图
4．如图，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC =110°，则∠EAF 为（ ）
A ．35°
B ．40°
C ．45°
D ．50°
5．正数x 的两个平方根分别为3﹣a 和2a +7，则44﹣x 的立方根为（ ）
A ．﹣5
B ．5
C ．13
D ．10
6x =，则x 的值有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是14x <
，则关于x 的不等式（n ﹣m ）x ＞（m +n ）的解集是（ ）
A ．53x <-
B ．53x >-
C ．53x <
D ．53
x > 8．某品牌电脑的成本为2400元，标价为2980元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可打（ ）折出售．
A ．7折
B ．7.5折
C ．8折
D ．8.5折
9．7- ）
A ．2+
B ．2-
C 2
D 2+
10．已知3a =+，3b =-的值是（ ）
A ．24
B ．±
C ．
D ．二．填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．若25223
56x A B x x x x +=+---+，则A =___________，B =___________．
12．已知1ab =，则20061111a b ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=___________．
13．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB =AC ﹣BD ，则∠B ∶∠C 的值是
___________．
第13题图 第14题图 第18题图
14．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分∠DAC ，给出下列结论：①∠BAD =∠C ；②∠AEF =∠AFE ；③∠EBC =∠C ；④AG ⊥EF ，⑤AN=NG ，⑥AE =FG ．其中错误的结论是_____________．
15．已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩
，且﹣1＜x ﹣y ＜0，则k 的取值范围为___________． 16．若不等式组0122x a x x +≥⎧⎨
->-⎩有解，则a 的取值范围是___________．
17．若2y =，则y x =___________．
18．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是_______________________．（结果保留根号）
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．（9分）先化简再求值：232121x x x x x x -⎛⎫-
÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2+x ﹣2=0．
20．（9分）已知5+5-a 和b ，求（a +b ）（a ﹣b ）的值．
21．（10分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．
22、（10分）某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．
（1）A 、B 两种商品的单价分别是多少元？
（2）已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？
23．（10分）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商家共盈利多少元？
24．（10分）已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB 、AC 为边，向三角形外作等边△ABD 和等边△ACE ．
（1）如图1，连接线段BE 、CD ．求证：BE=CD ；
（2）如图2，连接DE 交AB 于点F ．求证：F 为DE 中点．
2016年下学期八年级数学竞赛试题参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B A C B D B C 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
题号11 12 13 14 15 16 17 18 答案﹣12；17 1 2 ③a＞﹣1 9 2﹣2 三．解答题（共6小题，满分58分）
19．（9分）解：原式=?=?=x（x+1）=x2+x，
∵x2+x﹣2=0，∴x2+x=2，则原式=2．
20．（9分）解：∵2＜＜3，∴7＜5+＜8，2＜5﹣＜3，
∴a=5+﹣7=﹣2，b=5﹣﹣2=3﹣
∴原式=（﹣2+3﹣）（﹣2﹣3+）=1×（2﹣5）=2﹣5．
21．（10分）证明：在AB上截取AF=AD，
∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∵，
∴△DAE≌△FAE（SAS），∴∠AFE=∠ADE，
∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，
在△BEF和△BEC中，∵，∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．
22.（10分）解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：
解得
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，由题意得：
解得：12≤m≤13，∵m是整数，∴m=12或13，
故有如下两种方案：
方案（1）：m=12，2m-4=20?即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22?即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．23．（10分）解：设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为（x+8）元，
由题意得，×2=，
解得：x=80，
经检验；x=80是原分式方程的解，且符合题意，
则第一次进货100件，
第二次进货的单价为88元，第二次进货200件，
总盈利为：（100﹣80）×100+（100﹣88）×（200﹣10）+10×（100×0.8﹣88）=4200（元）．答：在这两笔生意中，商家共盈利4200元．
24．（10分）证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，
∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；
（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，，∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F为DE中点．。