第9章压杆稳定(12)

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目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
由 kl = nπ 可得， k n
l
k2
Fcr EI
n2 2
l2
所以
Fcr
n2 2 EI
l2
（n=0，1，2，…）
当 n =1时，得临界载荷
2EI
Fcr l 2
—— 欧拉公式
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目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
第九章 压杆稳定
1
目录
第九章 压杆稳定
§9.1 压杆稳定性的概念 §9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9.3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧
拉公式，压杆的长度因数 §9.4 欧拉公式的应用范围，临界应力总图 §9.5 实际压杆的稳定因数 §9.6 压杆的稳定计算，压杆的合理截面
目录
2
目录
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§9.4 欧拉公式的应用范围，临界应力总图
一、欧拉公式的应用范围 临界应力 柔度
π 2 EI
σcr
Fcr A
(l ) 2
A
π 2 EI
l 2 A
I i2A
i I A —截面的惯性半径
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引入符号
λ μl i
—柔度（长细比）
σcr
Fcr A
π 2 EI
l 2 A
2E 2
柔 度—影响压杆承载能力的综合指标。
67.14kN
FP
50
图(b)
L L
图(a)
Imin Iz 3.89108 m4
Fcr
2 Imin E (2l)2
2
0.389 200 (2 0.5)2
76.8kN
z
y
(4545 6) 等边角钢
图(b)23
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材料和直 径均相同
？问题的提出
❖ 能不能应 用欧拉公式计 算四根压杆的 临界载荷？
此外，欧拉公式是从符合胡克定律的挠曲 线近似微分方程导出的，所以,上述临界载荷 公式，只有在微弯状态下压杆仍处于弹性状态 时才是成立的。
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例题 9-2
求：下列细长压杆的临界力。
FP
图(a)
I min
50 103 12
1012
4.17 109m4
10
Fcr
2 Imin E (1l ) 2
2 4.17 200 (0.7 0.5)2
注意： 柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳。
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欧拉公式的适用范围
cr
2E 2
p
p—比例极限
或 2E p
如令 p
2E p
欧拉公式的适用范围可表示为
λ λP
(细长杆 大柔度杆)
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问题的回答
λ μl i
设 材料Q235钢，d=50mm. l=0.5m p 100
d 4
i
欧拉公式
Fcr
2EI
l2
由公式可知：压杆越细、越长，临界力越低，压
杆越容易失稳。
在工程实际中，我们希望提高压杆的临界力，从 而提高压杆的承载能力。
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目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
欧拉公式
Fcr
2EI
l2
的适用条件：
（1）理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，
材料均匀）；
Fcr l 2
1.52
269103 N 269kN
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§9.3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式， 压杆的长度因数
一端固定 一端自由
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2 EI
Fcr (0.5l)2
两端铰支
两端固定
(其中一端 轴向可动）
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2 EI
Fcr (2l )2
2 EI
Fcr (0.7l)2
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
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各种支承压杆临界压力的通用公式
2EI Fcr (l)2
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数） l 相当长度
1.0
0.5
2.0
0.7
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应当指出: 上边所列的杆端约束情况，是典型的理想
约束，实际上，工程实际中的杆端约束情况是 复杂的，应该根据实际情况作具体分析，看其 与哪种理想情况接近，从而定出近乎实际的长 度系数，也可按设计手册或规范的规定选取。
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压杆的平衡
增大杆上压力Fp
如果扰动除去后不能恢复 到直线平衡形态，则称原 来的直线平衡形态是不稳 定的。
此时，压杆上对应的压力Fp称
为压杆的临界载荷，或临界力。
用Fcr 表示
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压杆的平衡
压杆当压力超过一定限度时就会 发生弯曲现象。由直线状态的平衡， 过渡到曲线状态的平衡。 ——称为丧失稳定，简称为失稳。
由于构件失稳后將丧失继续承 受原设计载荷的能力，其后果往往 是很严重的。因此在设计受压构件 时，必须保证其有足够的稳定性。
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目录
其它失稳现象
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结论:
对压杆，压力小于临界力, 压杆稳定； 压力大于临界力, 压杆失稳。
因此，确定压杆失稳与否关键 是临界载荷的确定。
确定临界载荷的平衡方法
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§9.2 细长中心受压直杆临界ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的欧拉公式
（2）线弹性，小变形；
（3）两端为铰支座。
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例题 9-1
已知：两端铰支细长压杆，横截面直径 d=50mm，材料为Q235钢，弹性模量 E=200GPa，σs=235MPa。试确定其临界 力。
解： 截面惯性矩
I π d 4 π 0.05 30710-9m4 64 64
临界力
2 EI π2 200109 307109
§9.1 压杆稳定性的概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置.
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置.
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工程实例
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压杆的稳定性试验
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压杆的平衡
※ 稳定性是指构件保持其原有平 衡状态的能力。
如果扰动除去后，能 够恢复到直线平衡形态， 则原来的直线平衡形态 是稳定的。
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§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
w Asin kx Bcoskx
wy
Fcr
边界条件
（1） x = 0，w = 0 ， （2） x = l， w =0 ，
得 B =0 Asinkl =0
若 A = 0，则 w ≡ 0，压杆恒为直杆，与原题意不符。
所以， sinkl = 0， kl = nπ （ n = 0，1，2，…）
直线平衡 微弯状态下的
曲线平衡 压杆保持微小弯曲 平衡的最小压力即 为临界力。
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§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
弯矩 M = -Fcry 挠曲线近似微分方程
d 2w dx2
M ( x) EI
Fcrw EI
令 k 2 Fcr EI
w k 2w 0
通解：
w Asin kx Bcoskx
I A
64
d 2
d 4
4
1 0.7 0.5 2.0
(a) 200 p (b) 196 p (c) 180 p (d) 160 p