第9章压杆稳定(12)

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材料力学第9章压杆稳定

第9章压杆稳定图9－6
第9章压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章压杆稳定
图9－7
第9章压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章压杆稳定
图9－8
第9章压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆，在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为

材料力学_压杆稳定

π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或压杆的柔度或长细比欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆中柔度压杆中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2

材料力学第九章压杆稳定

cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1

l
i
大柔度杆—发生弹性失稳中柔度杆—发生非弹性失稳小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定稳定强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s

l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件讨论：

π 2 EI Fcr ( l )2

材料力学第九章压杆稳定

02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时，压杆保持稳定平衡状态；当压力大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章压杆稳定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望

压杆稳定

一、稳定平衡与不稳定平衡：
1. 不稳定平衡
4
2. 稳定平衡
5
3. 稳定平衡和不稳定平衡
6
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。 P
xL
P P
xM
y
① 弯矩： M(x,y)Py
② 挠曲线近似微分方程：
yMP y EI EI
31
当压杆在各个弯曲平面内的约束情况都相同时，应尽量使其截面对任一形心主轴的惯性矩都相等，这样可使压杆在各个弯曲平面内都具有相同的稳定性( 称为等稳定性设计)。
保国寺大殿的拼柱形式
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面为八角形。经历了1305年的八级地震。32
[例7 ] 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，材料为A3
b
Pcry

2E L22
I
y
=0.7，
bh3 I z 12 ,
Pcrz(0.27EL1I)z 2
③压杆的临界力 P crmP icn r,y(P cr)z
17
[例4] 求下列细长压杆的临界力。已知：L=0.5m , E=200GPa。
解：图(a)
P
P
Im in51 1 02 30 1 1 0 24.1 1 70 9m 4
令:k 2 P
x
Px
EI
M0
yk2yk2 M
yccoksx dsPiknx M
P
ydco k x scsiknx
M0 P
M0 边界条件为:
P
x 0 ,y y 0 ;x L ,y y 0

第九章压杆稳定

外，最小根是
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同，图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同，排序出在纸平面内失稳的先后顺序。排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力确定压杆的临界力 Fcr
临界状态稳定平衡对应的
过度
不稳定平衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和将以上边界条件代入式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出满足以上两式的根，满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全工程中有些构件具有足够的强度、刚度，可靠地工作. 可靠地工作.

材料力学：第九章压杆稳定问题

绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力，得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D

09 第9章压杆稳定

P
An
4 稳定性校核步骤：
•计算柔度 •判断压杆类型并计算临界应力或临界压力 •稳定性校核
【例9.3】千斤顶如图9.6所示，丝杠长度，螺纹内径，材料为
45钢，最大起重重量为F=80kN，规定的稳定安全因数[nst]=4，
试校核丝杠的稳定性。解：(1) 计算柔度。
丝杠可以简化为下端固定，上端自由的压杆，因此长度因数取μ=2。
稳定失效：压杆丧失稳定性而破坏，具有突发性
逐渐成为构件或结构安全工作的控制条件
称为临界压力
稳定平衡
Pcr
不稳定平衡
§9.2 细长压杆的临界载荷的计算及欧拉公式
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界载荷的计算
Pcr
y
Pcr
x
M (x) Pcr w M M (x) EIw''
EIw'' Pcr w 0
解： (1) 计算截面的极惯性矩
I min

0.05 0.033 12
m4
11.25 108 m 4
(2) 两端为铰支约束，则代入欧拉公式得
Pcr

2EI l2

2
9 109
11.25 108 1
N
10kN
所以，当杆的轴向压力达到10kN时，此杆就会丧失稳定。
9.3 欧拉公式的适用范围·经验公式
记：2

a
s
b
a s
b
2 1 ——直线公式的适用范围
——这种压杆称为中柔度杆或中长杆
2 的压杆 ——小柔度杆或短粗杆
不存在失稳问题，应考虑强度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为

《材料力学》第9章压杆稳定习题解[整理]

第九章压杆稳定习题解[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式。

试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲22l EIP cr π=线形状时，压杆在作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得公cr F cr F 式又是否相同。

解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。

因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是。

（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw -=，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。

)("x M EIw =临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。

因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：。

22l EIP cr π=[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为：。

由这公式可知，对于材料和截面相同的压22).(l EI P cr μπ=杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度的平方成反比，其中，为与约束情况有l μμ关的长度系数。

（a ）ml 551=⨯=μ（b ）ml 9.477.0=⨯=μ（c ）ml 5.495.0=⨯=μ（d ）ml 422=⨯=μ（e ）ml 881=⨯=μ（f ）（下段）；（上段）m l 5.357.0=⨯=μm l 5.255.0=⨯=μ故图e 所示杆最小，图f 所示杆最大。

cr F cr F[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。

试问两杆的临界力是否均为2min2).2(l EI P cr π=为什么并由此判断压杆长因数是否可能大于2。

第九章_压杆稳定

第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆，临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压）柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。

9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==，最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。

材料力学第9章压杆稳定

材料力学
第9章压杆稳定
第9章压杆稳定
材料力学
第9章压杆稳定
第9章压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态，临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章压杆稳定
材料力学
第9章压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程及荷载值。用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑：（1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑；（2）假设压杆处在线弹性状态；（3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是，梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。（4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。

压杆稳定

p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然发生显著弯曲变形而失去承载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr

材料力学-第9章压杆的稳定问题

0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
第9章压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B 不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：
FP F FP P
FP>FPcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。
第9章压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下，压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆，由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲（bifurcation buckling）。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load），用FP表示。
第9章压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此工程设计中需要认真加以考虑。

第九章压杆稳定

E1 E2
λ
1
2l1 d
λ
2
2
3l2 d
cr1
2 E1 12
2 E1 d 4l12
2
2 E2d212l Nhomakorabea2 2
cr 2
2 E2
2 2
2 E2d2
12l
2 2
Cr1
Fcr1 Fcr 2
A1 CR1 A2 CR2
A1 A2
d 2
4 d2
4
58
例题：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量
E 2.03105 MPa ,σ P 300MPa ，杆的直径d=100mm
sin
kx
2
x
F cr
l
l 2
y
A
δ
B
25
0
δ sin kl
sin
kl
2δ
cos
kl 2
2
要想压杆在微弯状态下平衡只有
cos kl 0 2
kl n (n 1,3,5 )
22
x
F cr
l
l 2
y
A
δ
B
26
kl n (n 1,3,5 )
22
其最小解为 n = 1 的解
k
l
F cr k2 EI
6 12
z
24
6 y 22
42
解：
在 xy 平面内失稳时，z 为中性轴
I
z
1 12
12243
2( 1 2263 226152) 12
F cr1
2E Iz ( z l1)2
2E Iz
(1l1)2
6 12
z

《材料力学》第九章压杆稳定

第九章压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度）细长压杆——需考虑稳定性。

一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。

二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。

（它是稳定与不稳定的转折点）。

压杆的临界压力:Fcr （稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。

①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。

2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度）公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。

解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。