2019年高考数学真题考点22 等差数列及其前n项和

考点22 等差数列及其前n 项和

一、选择题

1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则 ( )

A.a n =2n -5

B.a n =3n -10

C.S n =2n 2-8n

D.S n = n 2-2n

【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想,以及数学运算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再通过计算即可作出判断.

【解析】选A .由题知, , ,

解得 - , ,

所以a n =2n -5,故选A . 【光速解题】本题还可用排除法,对于B ,a 5=5,S 4= (- ) =-10≠0,排除B ,

对于C ,S 4=0,a 5=S 5-S 4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C .

对于D ,S 4=0,a 5=S 5-S 4= ×52-2×5-0=2.5≠5,排除D ,故选A .

二、填空题

2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 1≠0,a 2=3a 1,则

= . 【解析】设该等差数列的公差为d ,因为a 2=3a 1,

所以a 1+d =3a 1,故d =2a 1(a 1≠0,d ≠0),

所以 = ( ) ( ) = ( ) =

=4. 答案:4

3.(2019·北京高考理科·T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .

【命题意图】本小题主要考查等差数列,属容易题,意在考查等差数列通项公式与基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.

【解析】a 2=a 1+d =-3,S 5=5a 1+

d =-10,即a 1+2d =-2,解得a 1=-4,d =1,所以a 5=a 1+4d =0,S n =na 1+ ( - ) d = - ,当n =4

或5时,S n 最小,为-10.

答案:0 -10

【方法技巧】求等差数列前n 项和的最值方法

1.求前n 项和S n = n 2+ - n =An 2+Bn ,其结构是以n 为自变量的二次函数,从而数列的最值问题可转化为二次函数的最值问题.

2.利用通项公式,令a n =0,解得n 0,当n 取最接近n 0的整数时,前n 项和有最值.

4.(2019·江苏高考·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .

【命题意图】主要考查数列的基本量,运用基本量法求解.

【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d ,由a 2a 5+a 8=0,S 9=27,

得 ( )( ) , ,

解得a 1=-5,d =2,所以S 8= ( ) =4(2a 1+7d )=16. 答案:16

【题后反思】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建a 1,d 的方程组.

三、解答题

5.(2019·全国卷Ⅱ理科·T19)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.

(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列.

(2)求{a n}和{b n}的通项公式.

【命题意图】考查等差数列、等比数列的概念以及判定方法,数列通项公式的求解方法.

【解析】(1)由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n),即a n+1+b n+1=(a n+b n).

又因为a1+b1=1,所以是首项为1,公比为的等比数列.

由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n-b n)+8,即a n+1-b n+1=a n-b n+2.

又因为a1-b1=1,所以-是首项为1,公差为2的等差数列.

,a n-b n=2n-1.

(2)由(1)知,a n+b n=

-

所以a n=[(a n+b n)+(a n-b n)]=+n-,

b n=[(a n+b n)-(a n-b n)]=-n+.