高中数学-诱导公式练习题
专题49 高中数学诱导公式五和公式六(解析版)
专题49 诱导公式五和公式六1．公式五(1)角π2－α与角α的终边关于直线y ＝x 对称，如图所示．(2)公式：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 2．公式六(1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－⎝⎛⎭⎫π2－α. (2)公式：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 3．诱导公式一～六中的角可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． ②“奇”“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．4．利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α. 题型一 利用诱导公式化简与求值1．下列与sin θ的值相等的是( )A ．sin(π＋θ)B ．sin ⎝⎛⎭⎫π2－θC ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－θD ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ [解析]sin(π＋θ)＝－sin θ；sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝cos θ；cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ. 2．化简sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. [解析]sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos α. 3．下列各式中，不正确的是( ) A ．sin(180°－α)＝sin α B ．cos ⎝⎛⎭⎫180°＋α2＝sin α2 C ．cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α D ．tan(－α)＝－tan α[解析]由诱导公式知A 、D 正确．cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α，故C 正确． cos ⎝⎛⎭⎪⎫180°＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫90°＋α2＝－sin α2，故B 不正确． 4．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角D ．第四象限角[解析]由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 5．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos(π＋α)＝________. [解析]原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)＝－sin 2α－cos 2α＝－1. 6．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)－sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (π－α).[解析]原式＝cos α(－sin α)－cos α－sin (－α)sin αsin α＝sin α－(－sin α)＝2sin α.7．化简：sin (θ－5π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2－θcos (8π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2sin (－θ－4π)＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θ[解析]原式＝sin (θ－π)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos θcos θsin (－θ)＝(－sin θ)(－sin θ)cos θcos θ(－sin θ)＝－sin θ.8．化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫7π2－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝________.[解析]原式＝sin α·(－cos α)·sin α·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·[－sin (π－α)]sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α·(－sin α)－sin α·cos α＝tan α9．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α. [解析]原式＝cos[－(π－α)]sin α·sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α)＝cos (π－α)sin α·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α) ＝－cos αsin α·(－cos α)(－sin α)＝－cos 2α.10．sin (2π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αcos (π－α)tan (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫7π6－2α等于( )A ．－cos αB ．cos αC ．sin αD ．－sin α[解析]原式＝sin (－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α·(－cos α)tan α·cos α·sin ⎣⎡⎦⎤32π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝sin αcos α·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αtan αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos α.故选A.11．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （π＋α）.[解析]因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝ [解析]sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15. 13．已知cos θ＝－35，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝________. [解析]sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝cos θ＝－35. 14．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________. [解析]cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3. 15．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝ [解析]∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝1216．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2的结果是 [解析]∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－35,∴sin α＝35，且α是第二象限角, ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.而sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－(－cos α)＝cos α＝－4517．若cos(α＋π)＝－23，则sin(－α－3π2)＝[解析]因为cos(α＋π)＝－cos α＝－23，所以cos α＝23.所以sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2＝cos α＝23. 18．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________. [解析]因为cos α＝15，且α为第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝265. 19．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于 [解析]∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12. 20．已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． [解析]因为cos(π＋α)＝－cos α＝－12，所以cos α＝12，又α为第一象限角．则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫122＝－32. 21．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32，则tan(2018π－α)＝ [解析]由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－32， 又0<α<3π2，所以π<α<3π2，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－322＝－12，tan α＝ 3.因为tan(2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－ 322．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为 [解析]∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13. 23．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于 [解析]cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 24．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值为________． [解析]cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12. 25．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值为________．[解析]cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－35. 26．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. [解析]cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－13. 27．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45，则cos(α－85°)＝________.[解析]因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角，所以sin(5°＋α)＝－1－cos 2(5°＋α)＝－35，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°)＝sin(5°＋α)＝－35.28．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( )A ．kB ．－kC ．±kD ．不确定[解析]c os 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k . 29．已知cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α)＝________. [解析]sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝89. 30．已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( )A.1－m 2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2[解析]s in 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. 31．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是 [解析]由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .32．化简sin400°sin (－230°)cos850°tan (－50°)的结果为________．[解析]sin400°sin (－230°)cos850°tan (－50°)＝sin (360°＋40°)[－sin (180°＋50°)]cos (720°＋90°＋40°)(－tan50°)＝sin40°sin50°sin40°tan50°＝sin50°sin50°cos50°＝cos50°.33．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为 [解析]因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32.34．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为[解析] f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.35．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (cos x )＝f ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x ，故选C. 36．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝[解析]原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.37．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________.[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3cos A ＝3sin A ， ①cos A ＝3cos B ， ②由①得tan A ＝33，故A ＝π6.由②得cos B ＝cos π63＝12，故B ＝π3.故C ＝π2.题型二 利用诱导公式证明恒等式1．求证：tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.[解析]左边＝tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan αsin αcos αcos αsin α＝－tan α＝右边，所以原等式成立． 2．求证：cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝2sin 2θ.[解析]左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边．∴原式成立． 3．求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).[解析]右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边，所以原等式成立． 4．求证：cos (6π＋θ)sin (－2π－θ)tan (2π－θ)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋θsin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝－tan θ.[解析]左边＝cos θsin (－θ)tan (－θ)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θsin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θsin θtan θ－sin θcos θ＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．5．求证：cos ⎝⎛⎭⎫5π2＋x sin ⎝⎛⎭⎫x －5π2tan (6π－x )＝－1. [解析]因为cos ⎝⎛⎭⎫5π2＋x sin ⎝⎛⎭⎫x －5π2tan (6π－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋x sin ⎝⎛⎭⎫x －π2－2πtan (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x －sin ⎝⎛⎭⎫x －π2tan x＝－sin xcos x tan x ＝－1＝右边，所以原等式成立．6．求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.[解析]左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝－(sin θ＋cos θ)2(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan (8π＋π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1＝tan (π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，所以等式成立．题型三 诱导公式的综合应用1．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于________． [解析] cos α＝2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝sin 2，∴α＝2－π2.2．已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－253π的值为________． [解析] ∵f (α)＝(－sin α)(－cos α)(－cos α)(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos 253π＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值． [解析]cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－13×13＝－19. 4．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan (435°－α)＋sin (α－165°)cos (195°＋α)·sin (105°＋α)的值．[解析]原式＝tan (360°＋75°－α)－sin (α＋15°)cos (180°＋15°＋α)·sin[180°＋(α－75°)]＝tan (75°－α)－sin (α＋15°)－cos (15°＋α)·[－sin (α－75°)]＝－1cos (15°＋α)·sin (15°＋α)＋sin (α＋15°)cos (15°＋α)·cos (15°＋α).因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以15°<α＋15°<105°.又cos(15°＋α)＝35，所以sin(15°＋α)＝45，故原式＝－135×45＋4535×35＝536.5．已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)的值．[解析] (1)因为点P ⎝⎛⎭⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)＝cos αtan α－sin α(－cos α)＝1cos α， 由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.6．已知tan θ＝2，求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)的值．[解析] sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ－(－cos θ)cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.7．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.[解析]由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.8．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ＝________. [解析]∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝3.sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ＝sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 9．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)的值．[解析]因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－452＝－35. 所以f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝⎛⎭⎫－35＝－920. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin （π－α）＋cos （π＋α）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝________． [解析]因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以sin α＝2cos α.原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17. 11．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin （3π2－α）－sin （－α）的值．[解析]因为sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，所以－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，所以－sin(π－α)＝2cos(－α)，所以sin α＝－2cos α，且cos α≠0， 所以原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.12．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上， 则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________.[解析]设θ的终边上一点为P (x,3x )(x ≠0)，则tan θ＝y x ＝3xx＝3.因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝－31－3＝32.13．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是[解析] sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.14．已知α，β∈(0，π2)，且α，β的终边关于直线y ＝x 对称，若sin α＝35，则sin β＝[解析]由α，β∈(0，π2)，且α，β的终边关于直线y ＝x 对称知α＋β＝π2，因此β＝π2－α，所以sin β＝sin(π2－α)＝cos α＝1－sin 2α＝4515．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P (a ，35)，求sin （π2＋α）＋2sin （π2－α）2cos （3π2－α）的值．[解析]因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P (a ，35)，所以a 2＋925＝1(a ＜0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝⎝⎛⎭⎫－32×－4535＝2.16．已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. [解析](1)f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35， 又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.17．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解析] (1)f (α)＝sin αcos α(－sin α)sin α[－sin (π＋α)]＝cos α(－sin α)sin α＝－cos α (2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265. (3)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12. 18．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值． [解析]方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－35. 又α是第三象限角，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916. 19．若sin α＝55，求cos (3π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α－sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α的值． [解析] cos (3π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α－sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α ＝cos[2π＋(π－α)]cos α⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2＋α－1＋sin ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)sin ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin ⎣⎡⎦⎤3π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α， 因为sin α＝55，所以2sin 2α＝10，即原式＝10. 20．在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，试判断△ABC 的形状． 解析]∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即cos C ＝cos B . 又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．21．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4＜α＜π2，求sin α与cos α的值． [解析] sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α， ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α＞cos α＞0，即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ (③＋④)÷2得sin α＝1213，(③－④)÷2得cos α＝513. 22．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2<α<π)，求下列各式的值． (1)sin α－cos α；(2)cos 2(π2＋α)－cos 2(－α)． [解析]由sin (π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23.将两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝29， 所以2sin αcos α＝－79.又π2<α<π，所以sin α>0，cos α<0. (1)因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169， 又sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝43.(2)cos 2(π2＋α)－cos 2 (－α)＝sin 2 α－cos 2 α＝(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝23×43＝429. 23．已知函数f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）. (1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值；(3)若f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2f (α)，求f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值． [解析] (1)f (α)＝－cos αsin α（－tan α）tan α（－sin α）＝－cos α. (2)f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－18，所以cos α·sin α＝18， 可得(sin α－cos α)2＝34，由5π4≤α≤3π2，得cos α>sin α，所以f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32. (3)由(2)得f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2f (α)即为sin α＝－2cos α，联立sin 2 α＋cos 2 α＝1，解得cos 2 α＝15， 所以f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin αcos α＝2cos 2 α＝25. 24．是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解析]由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，所以sin 2α＝12. 又α∈(－π2，π2)，所以α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入②，得cos β＝32. 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②得cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件． 25．已知f (cos x )＝cos 17x .(1)求证：f (sin x )＝sin 17x ；(2)对于怎样的整数n ，能由f (sin x )＝sin nx 推出f (cos x )＝cos nx?[解析] (1)证明：f (sin x )＝f ⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎣⎡⎦⎤17⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π2－17x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－17x ＝sin 17x . (2)f (cos x )＝f ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤n ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫n π2－nx ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －sin nx ，n ＝4k ，cos nx ，n ＝4k ＋1，sin nx ，n ＝4k ＋2，－cos nx ，n ＝4k ＋3.k ∈Z,故所求的整数为n ＝4k ＋1，k ∈Z .。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
高中数学新教材必修第一册第五章 三角函数 5.3 诱导公式(南开题库含详解)
第五章三角函数 5.3 诱导公式一、选择题（共40小题；共200分）1. 已知sin(π+α)=45，且α是第四象限角，则cos(α−2π)的值是( )A. −35B. 35C. ±35D. 452. 已知sin(5π2+α)=15，那么cosα=( )A. −25B. −15C. 15D. 253. 设函数f(x)=sin(2x−π2),x∈R，则f(x)是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数4. 知f(sinx)=sin3x，则f(cos10∘)的值为( )A. −12B. 12C. −√32D. √325. 如图，△ABC中，已知点D在BC上，AD⊥AC，sin∠BAC=2√23，AB=3√2，AD=3，则BD 的长为( )A. 2B. √3C. 4D. 16. 为得到函数y=cos(2x+π3)的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )A. 向左平移5π12个长度单位 B. 向右平移5π12个长度单位C. 向左平移5π6个长度单位 D. 向右平移5π6个长度单位7. 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x−π3)的图象( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向左平移π6个单位8. 已知sin(π−α)=−2sin(π2+α)，则tanα的值为( )A. 12B. 2 C. −12D. −29. 已知sin(α−π8)=45，则cos(α+3π8)=( )A. −45B. 45C. −35D. 3510. ＂θ=2π3＂是＂tanθ=2cos(π2+θ)＂的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且在[−3,−2]上递减，α，β是锐角三角形的两个内角且α≠β，则下列不等式正确的是( )A. f(sinα)>f(cosβ)B. f(sinα)<f(cosβ)C. f(sinα)>f(sinβ)D. f(cosα)>f(cosβ)12. 已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y=f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度13. 已知cos(π12−θ)=13，则sin(5π12+θ)的值是( )A. 13B. 2√23C. −13D. −2√2314. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点(35,45)，则tan(π+θ)的值为( )A. 43B. 34C. −43D. −3415. 已知α∈(0,π6)，sin(α+π3)=1213，则cos(π6−α)=( )A. 512B. 1213C. −513D. −121316. 若A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式成立的是( )A. cos(B+C)=cosAB. tan(B+C)=tanAC. sin B+C2=sin A2D. cos B+C2=sin A217. 已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30∘)的值为( )A. 0B. 1C. −1D. √3218. 在△ABC中，若sin(A+B−C)=sin(A−B+C)，则△ABC必是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形19. 已知cos(5π12+α)=13，且−π<α<−π2，则cos(π12−α)等于( )A. 2√33B. 13C. −13D. −2√2320. 为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π3个单位长度21. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令a=f(sin2π7)，b=f(cos5π7)，c=f(tan5π7)，则( )A. b <a <cB. c <b <aC. b <c <aD. a <b <c22. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 sinB +sinA (sinC −cosC )=0，a =2，c =√2，则 C = ( )A. π12B. π6C. π4D. π323. 设 A 是三角形的一个内角且 cos (π+A )=√32，那么 cos (π2+A) 的值是 ( )A. 12B. √32C. −12D. −√3224. 已知 sin (π3−θ)=12，则 cos (π6+θ)= ( )A. −√32B. −12C. 12D. √3225. 已知：sin (π2+θ)+3cos (π−θ)=sin (−θ)，则 sinθcosθ+cos 2θ= ( )A. 15B. 25C. √55D. 3526. 已知 sin (x +π12)=13，则 cos (x +7π12) 的值为 ( )A. 13 B. −13C. −2√23D.2√2327. 设 a =sin5π7，b =cos2π7，c =tan 2π7，则 ( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c28. 有四个关于三角函数的命题： p 1：∃A ∈R ，使得 sin 2A2+cos 2A2=12；p 2：∃A ，B ∈R ，使得 sin (A −B )=sinA −sinB ； p 3：∀x ∈[0,π]，都有 √1−cos2x2=sinx 成立；p 4：sinx =cosy ⇒x +y =π2．其中假命题是 ( )A. P 1,P 4B. P 2,P 4C. P 1,P 3D. P 2,P 329. 若角 A ，B ，C 是 △ABC 的三个内角，则下列等式中，一定成立的是 ( )A. cos (A +B )=cosCB. sin (A +B )=−sinCC. cosA+C 2=sinBD. sinB+C 2=cos A230. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，则 f (2013) 的值为 ( )A. −1B. 1C. 3D. −331. 已知 f (α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (−π−α)tanα，则 f (−313π) 的值为 ( ) A. 12B. −13C. −12D. 1332. 已知 sin (π−θ)=−2sin (π2+θ), 则 sinθ⋅cosθ= ( )A. 25B. −25C. 25 或 −25D. −1533. 若 tan π12cos 5π12=sin 5π12−m ⋅sin π12，则实数 m 的值为 ( ) A. 2√3B. √3C. 2D. 334. 已知 sinα−cosα=13，则 cos (π2−2α)= ( ) A. −89B. 23C. 89D.√17935. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x −π)=f (x )+sinx ，当 0≤x ≤π，f (x )=1 时，则 f (−13π6)=( )A. 12B. −12C. 32D. −3236. 若 sin (π−α)=13，且 π2≤α≤π，则 cosα= ( )A.2√23B. −2√23 C. −4√29D.4√2937. 已知 tan (α+π4)=34，则 cos 2(π4−α)= ( )A. 725B. 925C. 1625D. 242538. 已知 θ 是第四象限角，且 sin (θ+π4)=35，则 tan (θ−π4)= ( )A. 34B. −34C. 43D. −4339. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x +π)=f (x )+sinx ．当 0≤x <π 时，f (x )=0，则 f (23π6)=( )A. 12B. √32C. 0D. −1240. 设 a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数 x 都有 sin (3x −π3)=sin (ax +b )，则满足条件的有序实数对 (a,b ) 的对数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共40小题；共200分） 41. 已知 sin (x −π3)=13，则 cos (x +π6)= .42. 化简：1+sin (α−360∘)cos (α−270∘)−2cos 2α= ． 43. cos17π6= ．44. 计算 cos7π6的值为 ．45. 若 sin (π4−α)=13，则 cos (π4+α)= ．46. 已知 sin (π−α)=log 814，且 α∈(−π2,0)，则 tan (2π−α) 的值为 ．47. cos (−585∘)tan495∘+sin (−690∘) 的值是 ． 48. tan (−556π) 的值是 ．49. sin1320∘ 的值是 ．50. 已知 sin40∘=a ，则 cos130∘= ． 51. 已知 tan (π6−α)=√33，则 tan (56π+α)= ．52. 已知 sinβ=13，sin (α+β)=1，则 sin (2α+β)= ． 53. 已知 sin (x +π6)=13，那么 sin (x −5π6)+sin 2(π3−x) 的值为 ． 54. 已知 α 是锐角，且 cos (α+π6)=13，则 cos (α−π3)= ．55. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，则 f (2017) 的值为 ．56. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x +π)=f (x )+sinx ，当 0≤x <π 时，f (x )=0，则f (23π6)= ．57. 已知 cos (π6−α)=23，则 sin (α−2π3)= ．58. 已知角 α 终边上一点 P (−4,3)，则 cos(π2+α)sin (−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)的值为 ．59. 已知 f (α)=sin (π+α)cos (2π−α)tan(−α+3π2)cos (−π−α)，则 f (−31π3) 的值为 ．60. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，求 f (2013) 的值． 61. 已知 sinα 是方程 5x 2−7x −6=0 的根，求sin(α+32π)sin(32π−α)tan 2(2π−α)tan (π−α)cos(π2−α)cos(π2+α)的值．62. 已知函数 f (x )=cos x2，给出下列等式：① f (2π−x )=f (x )；② f (2π+x )=f (x )；③f (−x )=−f (x )；④ f (−x )=f (x )．其中恒成立的有 ．（填序号） 63. √1−2cos (π+2)sin (π+2)= ．64. 化简：tan1∘⋅tan2∘⋅tan3∘⋅ ⋯ ⋅tan89∘= ． 65. 若 cos (π−α)=√53，且 α∈(π2,π)，则 sin (π+α)= ．66. 已知 α 为第二象限角，且 sinα=35，那么 tan(π＋α)= ． 67. 已知 cos (α−π6)=−13，那么 sin (2π3−α)= ．68. 已知 α 为锐角，且 2tan (π−α)−3cos (π2+β)+5=0，tan (π+α)+6sin (π+β)=1，那么sinα 的值是 ． 69. 计算：sin (−π3)+2sin4π3+3sin2π3= ．70. 已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y =x 对称，且 β=−π3，那么 sinα= ． 71. 若函数 f (x )=asin2x +btanx +1，且 f (−3)=5，则 f (π+3)= ． 72. 已知 f (α)=cos(π2+α)sin(3π2−α)cos (−π−α)tan (π−α)，则 f (−25π3) 的值为 ．73. 若sinθ+cosθsinθ−cosθ=2，则 sin (θ−5π)sin (3π2−θ)= ．74. cos 21∘+cos 22∘+⋯+cos 289∘= ．75. 设 a,b ∈R ，c ∈[0,2π]，若对任意实数 x 都有 2sin (3x −π3)=asin (bx +c )，则满足条件的有序实数组 (a,b,c ) 的组数为 ．76. 已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足cosAsinA1=cosBsinB1=cosCsinC1=1则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（i）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90∘,B=60∘,C=30∘；②A=75∘,B=60∘,C=45∘；③A=75∘,B=75∘,C=30∘．（ii）若△ABC存在“友好”三角形，且A=70∘，则另外两个角的度数分别为．77. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，(2−cosA)tan B2=sinA，则△ABC的面积的最大值为．78. 有下列命题：①y=cosx在第一象限是减函数；②若cos(α+β)=1，则sin(2α+β)+sinβ=0；③若定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，则y=f(x)是周期函数；④a⃗，b⃗⃗，c⃗是非零向量，若a⃗∥b⃗⃗，b⃗⃗∥c⃗，则a⃗∥c⃗；⑤若存在实数m，n，使得ma⃗=nb⃗⃗，则b⃗⃗与a⃗共线．其中正确命题的序号为．79. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC =−b2a+c，若b=√13，a+c=4，则a的值为．80. 由sin36∘=cos54∘，可求得cos2016∘的值为．三、解答题（共20小题；共260分）81. （1）求下列三角函数值：①cos225∘；②sin25π6；③sin(−17π3)；④tan(−32π3)．（2）将下列三角函数化为0∘到45∘之间角的三角函数：①sin85∘；②cos35π；③tanπ3；82. 已知tan(α+π4)=13．（1）求tanα的值；（2）求2sin2α−sin(π−α)sin(π2−α)+sin2(3π2+α)的值．83. 函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<π2)的部分图象如图所示．（1）求 φ 及图中 x 0 的值； （2）设 g (x )=f (x )+f (x +13)，求函数 g (x ) 在区间 [−12,13] 上的最大值和最小值．84. 已知函数 f (x )=sin (x −π6)+cosx ．（1）求函数 f (x ) 的最小正周期； （2）若 α 是第一象限角，且 f (α+π3)=45，求 tan (α−π4) 的值．85. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足2a−b cosB=c cosC．（1）求角 C 的值； （2）若 c =7，△ABC 的面积为 10√3，求 a +b 的值．86. 在 △ABC 中，∠A =60∘，c =37a ．（1）求 sinC 的值； （2）若 a =7，求 △ABC 的面积．87. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 2cos (B −C )+1=4cosBcosC ．（1）求 A ； （2）若 a =2√7，△ABC 的面积为 2√3，求 b +c ．88. 已知函数 f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx (ω>0) 的最小正周期为 π．（1）求 ω 的值；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求函数 g (x ) 在区间 [0,π16] 上的值域．89. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ．已知 asin2B =√3bsinA ．（1）求 B ； （2）若 cosA =13，求 sinC 的值．90. 已知向量 m ⃗⃗⃗=(sinx,−1)，n ⃗⃗=(√3cosx,−12)，函数 f (x )=m ⃗⃗⃗2+m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗−2．（1）求 f (x ) 的最大值，并求取最大值时 x 的取值集合；（2）已知 a 、 b 、 c 分别为 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边，且 a ，b ，c 成等比数列，角 B 为锐角，且 f (B )=1，求1tanA+1tanC的值．91. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 S 为 △ABC 的面积，满足 4S =√3(a 2+b 2−c 2)． （1）求角 C 的大小； （2）若 1+tanAtanB =2c b，且 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−8，求 c 的值．92. 设 x ∈R ，函数 f (x )=cos (ωx +φ)（ω>0，−π2<φ<0）的最小正周期为 π，且 f (π4)=√32．（1）求 ω 和 φ 的值；（2）在给定坐标系中作出函数 f (x ) 在 [0,π] 上的图象； （3）若 f (x )>√22，求 x 的取值范围．93. 已知 f (α)=sin (π−α)cos (2π−α)tan(−α+32π)1tan (−α−π)⋅sin (−π−α)，若 cos (α−32π)=15，且 α 是第三象限的角，求 f (α) 的值．94. 已知 cos (75∘+α)=13⋅α 是第三象限角，求 cos (15∘−α)+sin (α−15∘) 的值．95. △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 a =3，cosA =√63，B =A +π2．（1）求 b 的值； （2）求 △ABC 的面积．96. 角 α 的终边上的点 P 与 A (a,b ) 关于 x 轴对称（a ≠0，b ≠0），角 β 的终边上的点 Q 与 A 关于原点对称，求 sinαcosβ+tanαtanβ+cosαsinβ 的值．97. 已知 cos (75∘+α)=13，α 是第三象限角，求 cos (15∘−α)+sin (α−15∘) 的值．98. 每年的1月1日是元旦节，7月1日是建党节，而2013年的春节是2月10日，因为2sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin2013∘sin210∘ ，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日.99. 己知向量 m ⃗⃗⃗=(√3sin x4,1)，n ⃗⃗=(cos x4,cos 2x4)．记 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗．（1）若 cos (2π3−x)=−12，求 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ 的值；（2）在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且满足 (2a −c )cosB =bcosC ，求函数 f (A ) 的取值范围．100. （1）在 △ABC 中，已知边 BC =√3，AC =√2，已知角 B =45∘，求角 A ；若该题中的条件改为边 BC =√3，AC =√2，已知角 A =60∘，求角 B ；请根据该题的解答归纳判断解三角形的一个解、两个解的依据；（2）A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知 3acosA =ccosB +bcosC ，求 A 的值；（3）在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，求角 A ；（4）在锐角 △ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，ba +ab =6cosC ，求 tanCtanA +tanCtanB 的值．答案第一部分 1. B【解析】由 sin (π+α)=45，得 sinα=−45，而 cos (α−2π)=cosα，且 α 是第四象限角， 所以 cosα=√1−sin 2α=35． 2. C【解析】因为 sin (5π2+α)=sin (2π+π2+α)=sin (π2+α)=cosα=15，所以 cosα=15． 3. B 【解析】f (x )=−cos2x ．4. C 【解析】cos10∘=sin80∘，所以 f (sin80∘)=sin240∘=sin (180∘+60∘)=−sin60∘=−√32． 5. B6. A【解析】y =cos (2x +π3)=sin (2x +5π6)=sin2(x +5π12), 只需将函数 y =sin2x 的图象向左平移 5π12 个单位，可得到函数 y =cos (2x +π3) 的图象．7. A 8. D 9. A 10. A【解析】cos (π2+θ)=−sinθ，于是可得 tanθ=−2sinθ，即 cosθ=−12或 sinθ=0．显然 θ=2π3时，cosθ=−12，充分性成立；而 cos4π3=−12，必要性不成立．11. A 【解析】因为 f (x +1)=−f (x )， 所以 f (x +2)=−f (x +1)=f (x )， 所以 f (x ) 是周期为 2 的周期函数． 因为 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数， 所以 f (−x )=f (x )．因为 f (x ) 在 [−3,−2] 上是减函数，所以根据偶函数图象的对称性可知函数 f (x ) 在 [2,3] 上是增函数． 根据函数的周期可知，函数 f (x ) 在 [0,1] 上是增函数． 因为 α，β 是锐角三角形的两个内角， 所以 α+β>90∘，α>90∘−β，所以 1>sinα>sin (90∘−β)=cosβ>0， 所以 f (sinα)>f (cosβ)．12. A 【解析】函数 f (x )=sin (2x +π4)，则 g (x )=cos2x =sin (2x +π2)，为了得到函数 g (x ) 的图象，需要将 y =f (x ) 的图象向左平移 π8 个单位．13. A 【解析】sin (5π12+θ)=sin (π2−(π12−θ))=cos (π12−θ)=13． 14. A15. B 16. D 17. C 18. C19. D 【解析】cos (π12−α)=cos [π2−(5π12+α)]=sin (5π12+α)． 又 −π<α<−π2， 所以 −712π<5π12+α<−π12．所以 sin (512π+α)=−2√23． 所以 cos (π12−α)=−2√23．20. B21. A 【解析】由题可得 sin 2π7=sin5π7，且 ∣cos 5π7∣<∣sin 5π7∣<∣tan 5π7∣．因为 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 [0,+∞) 上是增函数，所以 b <a <c ． 22. B 【解析】由题意 sin (A +C )+sinA (sinC −cosC )=0 得 sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC −sinAcosC =0， 即 sinC (sinA +cosA )=√2sinCsin (A +π4)=0， 所以 A =3π4．由正弦定理 asinA =csinC 得 2sin3π4=√2sinC ，即 sinC =12，得 C =π6．23. C 24. C 25. D【解析】因为 sin (π2+θ)+3cos (π−θ)=cosθ−3cosθ=−2cosθ=sin (−θ)=−sinθ，所以 tanθ=2， 则 sinθcosθ+cos 2θ=sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tanθ+1tan 2θ+1=35．26. B 【解析】因为 sin (x +π12)=13，所以 cos (x +7π12)=cos [π2+(x +π12)]=−sin (x +π12)=−13． 27. D 【解析】a =sin5π7=sin2π7，且2π7>π4，c >1>a >√22>b ．28. A 【解析】p 1 为假命题；因为 sin 2A2+cos 2A2=1 恒成立，所以命题 p 1 为假命题； p 2 为真命题；因为当 A =0，B =0 时，sin (A −B )=sinA −sinB ，所以命题 p 2 为真命题； p 3 为真命题； 因为 √1−cos2x2=√sin 2x =∣sinx∣，而 x ∈[0,π]，所以 sinx ≥0，所以 √1−2cos2x2=sinx ，所以命题 p 3 为真命题； p 4 为假命题； 因为 sin5π2=cos0，而5π2+0≠π2，所以命题 p 4 为假命题．29. D 30. D【解析】因为 f (4)=asin (4π+α)+bcos (4π+β)=asinα+bcosβ=3， 所以f (2013)=asin (2013π+α)+bcos (2013π+β)=asin (π+α)+bcos (π+β)=−asinα−bcosβ=−(asinα+bcosβ)=−3. 31. C 【解析】因为 f (α)=sinαcosα−cosαtanα=−cosα，所以 f (−313π)=−cos (−313π)=−cos (10π+π3)=−cos π3=−12．32. B 【解析】由已知等式得 sinθ=−2cosθ， 所以 sin 2θ+cos 2θ=5cos 2θ=1，所以 cos 2θ=15，故 sinθcosθ=−2cos 2θ=−25． 33. A34. C 【解析】因为 sinα−cosα=13，所以两边平方，可得：1−2sinαcosα=19， 可得：1−sin2α=19，所以 cos (π2−2α)=sin2α=89．35. C36. B 【解析】因为 sin (π−α)=sinα=13，且 π2≤α≤π，则 cosα=−√1−sin 2α=−2√23． 37. B 【解析】因为 tan (α+π4)=34，所以cos 2(π4−α)=sin 2(α+π4)=sin 2(α+π4)sin 2(α+π4)+cos 2(α+π4)=11+cos 2(α+π4)sin 2(α+π4)=11+1tan 2(α+π4)=11+169=925.38. D 【解析】因为 θ 是第四象限角，所以 −π2+2kπ<θ<2kπ，则 −π4+2kπ<θ+π4<π4+2kπ,k ∈Z ，又 sin (θ+π4)=35， 所以 cos (θ+π4)=√1−sin 2(θ+π4)=45．所以 cos (π4−θ)=sin (θ+π4)=35，sin (π4−θ)=cos (θ+π4)=45．所以tan (θ−π4)=−tan (π4−θ)=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43.39. A 【解析】f (23π6)=f (17π6)+sin 17π6=f (11π6)+sin11π6+sin17π6=f (5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=0+12−12+12=12.40. B【解析】sin (3x −π3)=sin (3x −π3+2π)=sin (3x +5π3)，(a,b )=(3,5π3)，又 sin (3x −π3)=sin [π−(3x −π3)]=sin (−3x +4π3)，(a,b )=(−3,4π3)，注意到 b ∈[0,2π]，只有这两组． 第二部分 41. −13 42. 略 43. −√32【解析】cos 17π6=cos (3π−π6)=−cos π6=−√32． 44. −√32【解析】cos 7π6=cos (π+π6)=−cos π6=−√32． 45. 13【解析】因为 sin (π4−α)=13，所以 cos (π4+α)=sin (π2−(π4+α))=sin (π4−α)=13． 46.2√55【解析】sin (π−α)=sinα=log 814=−23，因为α∈(−π2,0)，所以cosα=√1−sin2α=√53，所以tan(2π−α)=tan(−α)=−tanα=−sinαcosα=2√55．47. √248. −√3349. −√3250. −a51. −√3352. 1353. 59【解析】因为sin(x−5π6)=sin(x+π6−π)=−sin(x+π6)=−13,sin2(π3−x)=sin2[π2−(x+π6)]=cos2(x+π6)=1−sin2(x+π6)=89,所以原式=−13+89=59.54. 2√2355. −3【解析】因为f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asinα+bcosβ=3,所以f(2017)=asin(2017π+α)+bcos(2017π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β)=−asinα−bcosβ=−3.56. 12【解析】由已知，得f (23π6)=f (17π6)+sin 17π6=f (11π6)+sin11π6+sin17π6=f (5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=0+12+(−12)+12=12.57. −23【解析】因为 (π6−α)+(α−2π3)=−π2， 所以 α−2π3=−π2−(π6−α)．所以sin (α−2π3)=sin [−π2−(π6−α)]=−sin [π2+(π6−α)]=−cos (π6−α)=−23.58. −34【解析】因为 tanα=y x =−34， 所以cos(π2+α)sin (−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)=−sinα⋅sinα−sinα⋅cosα=tanα=−34．59. 12【解析】原式=−sinαcosαcotα−cosα=cosα，则 f (α)=cosα，所以 f (−31π3)=cos (−31π3)=cos 31π3=cos π3=12．60. −3【解析】∵f (4)=asin (4π+α)+bcos (4π+β)=asinα+bcosβ=3.∴f (2013)=asin (2013π+α)+bcos (2013π+β)=asin (π+α)+bcos (π+β)=−asinα−bcosβ=−(asinα+bcosβ)=−3. 61. ±34 62. ④ 63. sin2−cos2 64. 1【解析】因为 tanα⋅tan (90∘−α)=1tanα⋅tanα=1， 所以tan1∘⋅tan2∘⋅ ⋯ ⋅tan89∘=(tan1∘⋅tan89∘)⋅(tan2∘⋅tan88∘)⋅ ⋯ ⋅(tan44∘⋅tan46∘)⋅tan45∘= 1. 65. −23【解析】因为 cos (π−α)=−cosα=√53， 所以 cosα=−√53． 又 α∈(π2,π)， 所以 sinα=√1−cos 2α=√1−(−√53)2=23，所以 sin (π+α)=−sinα=−23． 66. −34【解析】因为 α 为第二象限角，所以 cosα=−√1−(35)2=−45，所以tan (π+α)=tanα=sinαcosα=−34.67. −13【解析】由题知sin (2π3−α)=sin [π2+(π6−α)]=sin [π2−(α−π6)]=cos (α−π6)=−13.68.3√1010【解析】由题意可知 −2tanα+3sinβ+5=0，tanα−6sinβ=1，解得 tanα＝3，故 sinα=3√1010． 69. 0【解析】原式=−sin π3+2sin (π+π3)+3sin (π−π3)=−sin π3−2sin π3+3sin π3=0.70. 12【解析】因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y =x 对称， 所以 α+β=2kπ+π2(k ∈Z )，又 β=−π3， 所以 α=2kπ+5π6(k ∈Z )，所以 sinα=12．71. −3【解析】因为 f (−3)=−(asin6+btan3)+1=5， 所以 asin6+btan3=−4，所以 f (π+3)=asin6+btan3+1=−3． 72. 12 73. 310【解析】由 sinθ+cosθsinθ−cosθ=2， 得 sinθ+cosθ=2(sinθ−cosθ)，两边平方得 1+2sinθcosθ=4(1−2sinθcosθ)， 故 sinθcosθ=310， 所以sin (θ−5π)sin (3π2−θ)=sinθcosθ=310.74. 892 75. 4【解析】（i ）若 a =2， 若 b =3，则 c =5π3；若 b =−3，则 c =4π3．（ii ）若 a =−2，若 b =−3，则 c =π3；若 b =3，则 c =2π3．共 4 组． 76. ②，45∘,65∘ .【解析】由题意，三角形 ABC 为锐角三角形，A +A 1=90∘ 或 A +A 1=180∘，B +B 1=90∘ 或 B +B 1=180∘，C +C 1=90∘ 或 C +C 1=180∘ .所以经检验②存在“友好”三角形；当 A =70∘ 时，B +C =110∘ . B 1+C 1=160∘或20∘ .不防设另外两个角中的一个角 B 的度数为 x ，则另一个角的度数为 110∘−x .所以对应的 B 1 、 C 1 分别为：B 1=90∘−x ，C 1=90∘−(110∘−x ) （舍）；或 B 1=180∘−(90∘−x )，C 1=90∘−(110∘−x ) .所以 B =45∘,C =65∘ . 77. √3【解析】方法一：均值取等法，不难猜出当 a =c 时面积取最大值， 此时 A =C ⇒B =π−A −C ⇒B =π−2A ．(2−cosA )tan B2=sinA ⇒(2−cosA )tan (π2−A)=sinA ⇒(2−cosA )cosAsinA =sinA ⇒2cosA =cos 2A +sin 2A =1．所以 cosA =12⇒A =60∘， 所以 a =b =c =2⇒S =√3．方法二：(2−cosA )tan B2=sinA ⇒sinA2−cosA =tan B2=sinB2cosB2=2sinB2cosB22cos2B2=sinB1+cosB⇒sinA+sinAcosB=2sinB−sinBcosA⇒(sinAcosB+sinBcosA)+sinA=2sinB⇒sin(A+B)+sinA=2sinB⇒sinC+sinA=2sinB⇒a+c=2b=4⇒b=2,a+c=4.所以cosB=a 2+c2−b22ac=(a+c)2−2ac−222ac=12−2ac2ac=6−acac．又ac≤(a+c2)2=4（当且仅当a=c时取等号），所以S=12acsinB=12ac√1−cos2B=12ac√1−(6−acac)2=12√(ac)2−(6−ac)2=12√6(2ac−6)≤12√12=√3．78. ②③④【解析】①y=cosx在(0,π2)上是减函数，但在第一象限不是减函数，例如cosπ3=12，cos13π6=√32，显然π3<13π6时，12<√32，①不正确；②因为cos(α+β)=1，所以sin(α+β)=0，所以sin(2α+β)+sinβ=sin[(α+β)+α]+sinβ=sinα+sinβ，又α+β=2kπ，k∈Z，所以α=2kπ−β，k∈Z，所以sinα+sinβ=sin(2kπ−β)+sinβ=−sinβ+sinβ=0，所以②正确；③f(x+2)=f[(x+1)+1]=−f(x+1)=−(−f(x))=f(x)，所以2是f(x)的周期，③正确；④因为a⃗∥b⃗⃗，b⃗⃗∥c⃗，所以存在非零实数m，n有a⃗=mb⃗⃗，b⃗⃗=nc⃗，所以a⃗=(mn)c⃗，所以a⃗∥c⃗，④正确；⑤若m=n=0，则必有ma⃗=nb⃗⃗=0，而a⃗与b⃗⃗可以不共线，⑤不正确．79. 1或3【解析】cosBcosC =−b2a+c，即有−2acosB=bcosC+ccosB，即−2sinAcosB=sinBcosC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA，即有cosB=−12，由于B为三角形的内角，则B=2π3，又b2=a2+c2−2accosB，即有13=a2+c2+ac，又a+c=4，解得，a=1，c=3或a=3，c=1．80. −√5+14【解析】由sin36∘=cos54∘得2sin18∘cos18∘=cos(36∘+18∘)，化简整理得4sin218∘+2sin18∘−1=0，解得sin18∘=−2+√22+162×4=√5−14，所以cos2016∘=cos(6×360∘−144∘)=cos(144∘)=−cos36∘=2sin218∘−1=−√5+1.第三部分81. （1）①cos225∘=cos(180∘+45∘)=−cos45∘=−√22.②sin25π6=sin(π6+4π)=sinπ6=12.③sin(−17π3)=sin(π3−3×2π)=sinπ3=√32.④tan(−32π3)=tan(−11π+π3)=tanπ3=√3.（2）①sin85∘=sin(−5∘+90∘)=cos5∘.②cos35π=cos(π2+π10)=−sinπ10=−sin18∘.③tanπ3=tan(−π6+π2)=cotπ6=sin30∘.82. （1）因为tan(α+π4)=tanα+11−tanα=13，所以tanα=−12．（2）原式=2sin2α−sinαcosα+cos2α=2sin2α−sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tan2α−tanα+1tan2α+1=2×(−12)2−(−12)+1(−12)2+1=85.83. （1）由题图得f(0)=√32，所以cosφ=√32，因为0<φ<π2，故φ=π6．由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x0<2，故7π6<πx0+π6<13π6．由f(x0)=√32得cos(πx0+π6)=√32，所以πx0+π6=11π6，x0=53．（2）因为f(x+13)=cos[π(x+13)+π6]=cos(πx+π2)=−sinπx，所以g(x)=f(x)+f(x+13)=cos(πx+π6)−sinπx=cosπxcosπ6−sinπxsinπ6−sinπx=√32cosπx−32sinπx=√3sin(π6−πx).当x∈[−12,13]时，−π6≤π6−πx≤2π3．所以−12≤sin(π6−πx)≤1，故π6−πx=π2，即x=−13时，g(x)取得最大值√3；当π6−πx=−π6，即x=13时，g(x)取得最小值−√32．84. （1）f(x)=sin(x−π6)+cosx=sinxcosπ6−cosxsinπ6+cosx=√32sinx+12cosx=sinxcosπ6+cosxsinπ6=sin(x+π6).所以函数f(x)的最小正周期为2π．（2）因为f(α+π3)=45，所以sin(α+π3+π6)=45．所以sin(α+π2)=45．所以cosα=45．因为α是第一象限角，所以sinα=√1−cos2α=35．所以tanα=sinαcosα=34．所以tan (α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=34−11+34×1=−17.85. （1） 由题意得 (2a −b )cosC −ccosB =0． 即 (2sinA −sinB )cosC −sinCcosB =0，整理得 2sinAcosC =sinBcosC +sinCcosB =sin (B +C )=sinA ， 因为 0<A <π， 所以 sinA ≠0． 所以 cosC =12． 又因为 0<C <π， 所以 C =π3．（2） 由 S △ABC =12absinC =12absin π3=10√3 得 ab =40， 由（1）知 cosC =12，所以由余弦定理得 c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b )2−3ab =(a +b )2−3×40， 即 49=(a +b )2−3×40，(a +b )2=169． 故 a +b =13．86. （1） ∠A =60∘，c =37a ， 由正弦定理可得 sinC =37sin∠A =37×√32=3√314． （2） a =7，则 c =3，c <a ， 所以 C <∠A ，C 为锐角， 由（1）可得 cosC =1314， 所以sinB =sin (∠A +C )=sin∠AcosC +cos∠AsinC=√32×1314+12×3√314=4√37,所以 S △ABC =12acsinB =12×7×3×4√37=6√3．87. （1） 2cosBcosC +2sinBsinC +1=4cosBcosC ，cosBcosC −sinBsinC =12，cos (B +C )=12，cosA =−12， 所以 A =2π3．（2） S =12bcsinA 得 bc =8，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，28=(b +c )2−bc ，b +c =6． 88. （1） 由 f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx ， 得 f (x )=sinωxcosωx +cos 2ωx =12sin2ωx +1+cos2ωx2=√22sin (2ωx +π4)+12，所以 T =2π2ω=π，得 ω=1． （2） 由（1）知 f (x )=√22sin (2x +π4)+12， 所以 g (x )=√22sin (2×2x +π4)+12=√22sin (4x +π4)+12，因为 0≤x ≤π16，所以 π4≤4x +π4≤π2， 所以 √22≤sin (4x +π4)≤1， 所以 g (x )∈[1,√2+12]． 89. （1） 在 △ABC 中，由 a sinA=b sinB，可得 asinB =bsinA ，又由 asin2B =√3bsinA ，得 2asinBcosB =√3bsinA =√3asinB ． 又 sinB ≠0，得 cosB =√32，从而 B =π6． （2） 由 cosA =13，得 sinA =2√23，则 sinC=sin [π−(A +B )]=sin (A +B )=sin (A +π6)=√3sinA +1cosA =2√6+16.90. （1）f (x )=(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)⋅m ⃗⃗⃗−2=sin 2x +1+√3sinxcosx +12−2=1−cos2x2+√32sin2x −12=√32sin2x −12cos2x=sin (2x −π6)故 f (x )max =1，此时 2x −π6=2kπ+π2,k ∈Z ，得 x =kπ+π3,k ∈Z ， 取最大值时 x 的取值集合为 {x∣ x =kπ+π3,k ∈Z}． （2） f (B )=sin (2B −π6)=1，因为 0<B <π2， 所以 −π6<2B −π6<5π6，所以 2B −π6=π2，B =π3．由 b 2=ac 及正弦定理得 sin 2B =sinAsinC 于是1tanA +1tanC =cosAsinA+cosC sinC =sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin (A+C )sin 2B=1sinB =2√33．91. （1） 因为根据余弦定理得 a 2+b 2−c 2=2abcosC ，△ABC 的面积 S =12absinC ，所以由 4S =√3(a 2+b 2−c 2) 得 4×12absinC =2√3abcosC ， 化简得 sinC =√3cosC ，可得 tanC =sinCcosC =√3， 因为 0<C <π， 所以 C =π3．（2） 因为 1+tanAtanB =2cb，所以 1+sinAcosB sinBcosA =cosAsinB+sinAcosBcosAsinB =2c b，可得 sin (A+B )cosAsinB =2cb，即 sinCcosAsinB =2cb ．所以由正弦定理得 sinC cosAsinB=2sinC sinB，解得 cosA =12，结合 0<A <π，得 A =π3．因为 △ABC 中，C =π3，所以 B =π−(A +C )=π3，因此，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣⋅∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣cosB =−12c 2， 因为 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−8， 所以 −12c 2=−8，解之得 c =4（舍负）． 92. （1） ∵ 函数 f (x ) 的最小正周期 T =2πω=π，∴ω=2，∴f (π4)=cos (2×π4+φ)=cos (π2+φ)=−sinφ=√32． 又 −π2<φ<0， ∴φ=−π3．（2） 由（1）知 f (x )=cos (2x −π3)，列表如下：xπ65π122π311π12π2x −π3−π30π2π3π25π3f (x )1210−1012f (x ) 在 [0,π] 上的图象如图所示：（3） ∵f (x )>√22，即 cos (2x −π3)>√22， ∴2kπ−π4<2x −π3<2kπ+π4(k ∈Z )，则 2kπ+π12<2x <2kπ+7π12(k ∈Z )，即 kπ+π24<x <kπ+7π24(k ∈Z )．∴x 的取值范围是 {x∣ kπ+π24<x <kπ+7π24,k ∈Z}． 93. 略94. sin (15∘−α)=cos (75∘+α)=13 .于是 sin (α−15∘)=−sin (15∘−α)=−13.因为 α 是第三象限角，所以 15∘−α∈(15∘,105∘)，结合 sin (15∘−α)=13 可知，15∘−α 在第一象限，于是 cos15∘=√1−(13)2=2√23 .所以 cos (15∘−α)+sin (α−15∘)=2√2−13. 95. （1） 因为 cosA =√63， 所以 sinA =√1−69=√33， 因为 B =A +π2．所以 sinB =sin (A +π2)=cosA =√63， 由正弦定理知 a sinA=b sinB ， 所以 b =a sinA⋅sinB =√33√63=3√2． （2） 因为 sinB =√63，B =A +π2>π2所以 cosB =−√1−69=−√33，sinC =sin (π−A −B )=sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√33×(−√33)+√63×√63=13,所以 S =12a ⋅b ⋅sinC =12×3×3√2×13=3√22． 96. 略． 97. 略． 98. 101【解析】sin2013∘=sin (33∘+11×180∘)=−sin33∘，sin210∘=−sin30∘=12 .2sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin2013∘sin210∘ 可化为 4sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin33∘ ， 根据结论：4sinx ⋅sin (60∘−x )⋅sin (60∘+x )=sin3x ， 令 x =11∘ ，则有 4sin11∘sin71∘sin49∘=sin33∘ ， 因此 sin49∘=sin131∘=sin [( )∘+30∘] ， 故依题意得：101 .99. （1） 由 cos (2π3−x)=−12，得2π3−x =2kπ+2π3,k ∈Z ，即 x =−2kπ,k ∈Z ．f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=√3sin x 4cos x 4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin (x2+π6)+12.所以当 x =−2kπ,k ∈Z 时，f (x )=1 或 f (x )=0． （2） 因为 (2a −c )cosB =bcosC ，由正弦定理，得 (2sinA −sinC )cosB =sinBcosC ， 所以 2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ， 即 2sinAcosB =sin (B +C )． 因为 A +B +C =π，所以 sin (B +C )=sinA ，且 sinA ≠0， 从而 cosB =12，即 B =π3， 所以 A +C =2π3．因为 △ABC 锐角三角形，所以 0<A <π2，且 0<C <π2，即 0<2π3−A <π2，解得 π6<A <π2，则 π4<A 2+π6<5π12，所以 √22<sin (A2+π6)<√6+√24． 又因为 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=sin (x2+π6)+12， 所以 f (A )=sin (A2+π6)+12．故函数 f (A ) 的取值范围是 (√2+22,√6+√2+24)． 100. （1） ①由正弦定理可得：√3sinA =√2sin45∘，可得 sinA =√32，因为 a >b ，所以 A =60∘ 或 120∘．② BC =√3，AC =√2，A =60∘，由正弦定理可得：√3sin60∘=√2sinB，解得 sinB =√22，因为 a >b ，所以B =45∘．综上可得：已知 a >b ，A 为锐角，则 B 为锐角，B 有一解．已知 a >b ，B 为锐角，b <asinB 时，无解；b =asinB 时，A =90∘；asinB <b <a 时，A 有两解． （2） 由正弦定理可得：3sinAcosA =sinCcosB +sinBcosC =sin (B +C )=sinA ， 因为 sinA ≠0，所以 cosA =13，所以 A =arccos 13．（3） 因为 sinC =2√3sinB ，由正弦定理可得：c =2√3b ，又 a 2−b 2=√3bc ，所以 a 2=b 2+6b 2=7b 2，即 a =√7b ． 所以 cosA =b 2+c 2−a 22bc=2222b×23b=√32，又 A ∈(0,π)，所以 A =π6．。
高中数学运用诱导公式化简求值精选题
运用诱导公式化简求值精选题42道一．选择题（共16小题）1．记cos（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知cos（）＝，则sinθ＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．计算：cos210°＝（）A．B．C．D．4．cos300°＝（）A．B．﹣C．D．5．已知，则＝（）A．B．C．D．6．已知sin（α﹣）＝，则cos（）＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．sin225°＝（）A．B．C．﹣D．8．cos330°＝（）A．B．C．D．9．角α的终边在直线y＝2x上，则＝（）A．B．1C．3D．﹣1 10．已知cos（﹣θ）＝，则sin（）的值是（）A．﹣B．﹣C．D．11．已知，则的值等于（）A．B．C．D．12．已知，则＝（）A．B．C．D．13．若，则等于（）A．B．C．D．14．sin330°等于（）A．B．C．D．15．已知tanθ＝3，则等于（）A．B．C．0D．16．已知f（α）＝，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共18小题）17．已知tan（3π+α）＝2，则＝．18．已知，则＝．19．化简：＝．20．设tanα＝3，则＝．21．已知，且，则＝．22．已知，则＝．23．化简：的值为．24．化简：＝．25．若cos（﹣α）＝，则sin（+α）＝26．已知，则的值为．27．sin600°＝．28．已知，则sinα＝．29．已知角α终边上一点P（﹣4，3），则的值．30．化简：＝．31．若角θ的终边经过点（﹣3，4），则sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）＝．32．已知，则tan（π﹣α）的值是．33．若α∈（0，π），且，则＝．34．已知sin（π﹣α）+2cos（π+α）＝0，则＝．三．解答题（共8小题）35．已知α是第二象限角，且sinα＝．（1）求tanα的值；（2）求的值．36．已知α是第三象限角，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）＝，求f（α）的值；（3）若α＝﹣1860°，求f（α）的值．37．若α为第二象限角，sin（+α）＝﹣，（1）求sinα的值；（2）若f（α）＝，求f（α）的值．38．已知角α为第一象限角，且sinα＝．（1）求cosα，tanα的值；（2）求的值．39．已知f（α）＝．（1）若α＝﹣，求f（α）值；（2）若α为第三象限角，且，求f（α）的值．40．已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．（1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求的值．41．已知．（1）化简f（α）；（2）若，求的值．42．已知，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若＝﹣，求tanα．运用诱导公式化简求值精选题42道参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．记cos（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．【解答】解：法一：，所以tan100°＝﹣tan80°＝．法二：cos（﹣80°）＝k⇒cos（80°）＝k，＝．故选：B．【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．2．已知cos（）＝，则sinθ＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得sinθ的值．【解答】解：∵cos（）＝，∴cos（﹣θ）＝2﹣1＝﹣＝sinθ，即sinθ＝﹣，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．3．计算：cos210°＝（）A．B．C．D．【分析】把所求式子中的角210°变为180°+30°，利用诱导公式cos（180+α）＝﹣cosα及特殊角的三角函数值化简，即可求出原式的值．【解答】解：cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣．故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，其中灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．cos300°＝（）A．B．﹣C．D．【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：∵．故选：C．【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．5．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】由诱导公式，化简已知条件以及所求的表达式，然后求解即可．【解答】解：∵，∴sin[]＝sin（）＝，则＝sin（π﹣α+）＝﹣sin（α+）＝﹣，故选：C．【点评】本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式即可，属于基础题型．6．已知sin（α﹣）＝，则cos（）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】运用﹣α、﹣α的诱导公式，计算即可得到．【解答】解：sin（α﹣）＝，即为sin（﹣α）＝﹣，即有sin[﹣（+α）]＝﹣，即cos（）＝﹣．故选：A．【点评】本题考查三角函数的求值，考查三角函数的诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．7．sin225°＝（）A．B．C．﹣D．【分析】把225°写为180°+45°由诱导公式二得特殊角的正弦角，由特殊角正弦值得结果．【解答】解：sin225°＝sin（180°+45°）＝﹣sin45°＝﹣．故选：A．【点评】本题考查用诱导公式化简求值，诱导公式一到四可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数，是基础题．8．cos330°＝（）A．B．C．D．【分析】由cos（α+2kπ）＝cosα、cos（﹣α）＝cosα解之即可．【解答】解：cos330°＝cos（360°﹣30°）＝cos（﹣30°）＝cos30°＝，故选：C．【点评】本题考查余弦函数的诱导公式．9．角α的终边在直线y＝2x上，则＝（）A．B．1C．3D．﹣1【分析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：∵角α的终边在直线y＝2x上，∴tanα＝2．∴＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．10．已知cos（﹣θ）＝，则sin（）的值是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（﹣θ）＝sin[﹣（﹣θ）]＝sin（）＝，故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．11．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【分析】观察发现，那么＝cos（α+）利用诱导公式求解即可．【解答】解：由，则＝cos（α+）＝sin（α﹣）＝．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式的灵活应用和构造思想，属于基本知识的考查．12．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵，∴＝cos[﹣（）]＝，故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．13．若，则等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：，则＝sin（﹣）＝，故选：A．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值．14．sin330°等于（）A．B．C．D．【分析】根据330°＝360°﹣30°，由诱导公式可得答案．【解答】解：∵故选：B．【点评】本题主要考查根据三角函数的诱导公式进行化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．15．已知tanθ＝3，则等于（）A．B．C．0D．【分析】由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵tanθ＝3，则＝＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，同角三角函数的基本关系，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．16．已知f（α）＝，则的值为（）A．B．C．D．【分析】已知关系式右边利用诱导公式化简确定出f（α），即可求出所求式子的值．【解答】解：f（α）＝＝cosα，则f（﹣）＝cos（﹣）＝cos（8π+）＝cos＝．故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．二．填空题（共18小题）17．已知tan（3π+α）＝2，则＝2．【分析】利用诱导公式把tan（3π+α）＝2化简，得tanα＝2，再利用诱导公式化简所求表达式，令分式的分子分母同除cosα，得到只含有tanα的式子，把tanα＝2代入即可．【解答】解：由tan（3π+α）＝2，可得tanα＝2，则＝＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查诱导公式和同角三角函数关系式在三角函数化简求值中的应用，应用诱导公式时，注意符号的正负．18．已知，则＝．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（+α）＝﹣sinα＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．19．化简：＝tanα．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解：＝＝＝tanα．故答案为：tanα．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．20．设tanα＝3，则＝2．【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵tanα＝3，则＝＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．21．已知，且，则＝．【分析】先利用同角三角函数基本关系求得sinα的值，在利用诱导公式对原式化简整理，把cosα和sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵∴sinα＝﹣＝﹣∴原式＝＝＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．解题时注意三角函数的正负．22．已知，则＝．【分析】利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查诱导公式．三角函数求值，是基本知识的考查．23．化简：的值为1．【分析】运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值．【解答】解：＝﹣sin（3π+）+cos2640°+tan1665°＝sin+cos（360°×7+120°）+tan（360°×4+225°）＝+cos（180°﹣60°）+tan（180°+45°）＝﹣cos60°+tan45°＝﹣+1＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．24．化简：＝﹣1．【分析】利用诱导公式化简即可求解．【解答】解：＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．25．若cos（﹣α）＝，则sin（+α）＝【分析】由题意利用诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解：cos（﹣α）＝，则sin（+α）＝cos[﹣（﹣α）]＝cos（﹣α）＝，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．26．已知，则的值为．【分析】由已知利用诱导公式可求tanα的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：因为，可得tanα＝，所以＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．27．sin600°＝．【分析】利用诱导公式直接化简sin600°为﹣sin60°，然后求出它的值即可．【解答】解：sin600°＝sin（360°+240°）＝sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°＝﹣．故答案为：．【点评】本题考查三角函数求值与化简，正确应用诱导公式是解决三角函数求值的重点，一般思路，负角化简正角，大角化小角（锐角）．28．已知，则sinα＝﹣．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：因为，所以﹣sinα＝，则sinα＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．29．已知角α终边上一点P（﹣4，3），则的值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得所给式子的值．【解答】解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝|OP|＝5，∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣，∴原式＝＝﹣＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．30．化简：＝1．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：＝••＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．31．若角θ的终边经过点（﹣3，4），则sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）＝．【分析】运用诱导公式化简所求，根据任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：由诱导公式可得，又角θ的终边经过点（﹣3，4），所以，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．32．已知，则tan（π﹣α）的值是﹣2．【分析】由已知利用诱导公式可得﹣2cosα＝﹣sinα，根据同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：∵，∴﹣2cosα＝﹣sinα，可得tanα＝2，∴tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．33．若α∈（0，π），且，则＝．【分析】由题意，利用诱导公式可得，从而根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可．【解答】解：∵α∈（0，π），且，∴，∴，故答案为．【点评】本题考查了诱导公式及同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．34．已知sin（π﹣α）+2cos（π+α）＝0，则＝．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα＝2，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．【解答】解：∵sin（π﹣α）+2cos（π+α）＝0，∴sinα﹣2cosα＝0，可得tanα＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．三．解答题（共8小题）35．已知α是第二象限角，且sinα＝．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．【解答】（本小题满分14分）解：（1）因为α是第二象限角，且sinα＝，所以cosα＝﹣＝﹣，所以tanα＝＝﹣2．（2）＝＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．36．已知α是第三象限角，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）＝，求f（α）的值；（3）若α＝﹣1860°，求f（α）的值．【分析】（1）f（α）利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果；（2）由已知等式求出sinα的值，代入计算即可求出f（α）的值；（3）把α度数代入计算即可求出f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）＝＝cosα；（2）∵cos（α﹣π）＝﹣sinα＝，即sinα＝﹣，且α为第三象限角，∴cosα＝﹣＝﹣，则f（α）＝cosα＝﹣；（3）把α＝﹣1860°代入得：f（﹣1860°）＝cos（﹣1860°）＝cosα1860°＝cos（5×360°+60°）＝cos60°＝．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．37．若α为第二象限角，sin（+α）＝﹣，（1）求sinα的值；（2）若f（α）＝，求f（α）的值．【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cosα的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinα的值．（2）利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：（1）∵α为第二象限角，sin（+α）＝cosα＝﹣，∴sinα＝＝；（2）∵f（α）＝＝＝sinα，∴f（α）＝．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．38．已知角α为第一象限角，且sinα＝．（1）求cosα，tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】解：（1）∵角α为第一象限角，且sinα＝，∴cos＝，tanα＝＝．（2）＝＝3+＝3+＝7．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．39．已知f（α）＝．（1）若α＝﹣，求f（α）值；（2）若α为第三象限角，且，求f（α）的值．【分析】（1）利用诱导公式化简函数解析式，进而根据特殊角的三角函数值即可计算得解．（2）利用诱导公式化简已知等式，结合α为第三象限角，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：（1）由于，又，所以f（α）＝＝＝﹣．（2）因为，又因为α为第三象限角，所以．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．40．已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．（1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）根据已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．结合三角函数的定义即可得到sinα、cosα、tanα的值；（2）依据三角函数的诱导公式化简即可：＝，最后利用第（1）小问的结论得出答案．【解答】解：（1）已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．∴x＝＝，r＝1，∴sinα＝；cosα＝；tanα＝；（6分）（2）＝＝．（14分）【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值．本题是基础题，解答关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识．41．已知．（1）化简f（α）；（2）若，求的值．【分析】（1）利用诱导公式化简f（α）的解析式，可得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinα+cosα和sinα•cosα的值，从而求得要求式子的值．【解答】解：（1）＝+cosα＝sinα+cosα．（2）若＝sinα+cosα，∴平方可得1+2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝﹣．∴＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，同角三角函数的基本关系，属于基础题．42．已知，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若＝﹣，求tanα．【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．（2）由（1）及已知利用诱导公式可得cosα＝﹣，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：（1）f（α）＝＝＝sinα．（2）∵＝﹣，∴sin（﹣α）＝﹣，可得cosα＝﹣，∴α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sinα＝＝，tan＝﹣，当α是第三象限角时，sinα＝﹣＝﹣，tan＝．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．。
高中数学复习：诱导公式练习及答案
高中数学复习：诱导公式练习及答案1.sin210°cos120°的值为( ) A ．14 B ．－√34C ．√32D ．122.已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－45 B ．45 C ．±45 D ．353.设cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于( ) A ．√1−k 2kB ．－√1−k 2kC ．√1−k 2D ．－√1−k 24.设sin20°＝k ，那么cos160°等于( ) A ．√1−k 2 B ．－√1−k 2 C ．k D ．－k5.若sin(π－α)＝log 814，且α∈（−π2,0），则cos(π＋α)的值为( )A ．√53B ．－√53C ．±√53D ．以上都不对6.已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值.7.计算cos300°－sin(－330°)＋tan675°·8.设tan(5π＋α)＝m，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(−α)−cos(π+α)的值为( )A．m－1m＋1B．－1C．m+1m−1D．19.α∈(－π2，0)，sinα＝－35，则cos(π－α)的值为( )A．－45B．45C．35D．－3510.已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m表示为( )A．m2−12B．m2+12C．1−m22D．－m2+1211.求下列各三角函数式的值： (1)sin1320°；(2)cos (−31π6)；(3)tan(－945°).12.已知cos(π6−α)＝√33，求cos(56π+α)－sin 2(α−π6)的值.13.若sin(3π＋α)＝－12，则cos (7π2−α)等于( )A ．－12 B ．12 C ．√32D ．－√3214.若sin(π＋α)＋cos (π2+a)＝－m ，则cos (32π−α)＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3B ．2m 3C ．－3m 2D ．3m 215.已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P (12，y )，则sin(π2＋2α)等于( ) A ．－12B ．12C ．－√32D ．116.已知sin(5π－θ)＋sin (52π−θ)＝√72，求sin 4(π2−θ)＋cos 4(32π+θ)的值.17.已知tan θ＝2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0D ．2318.已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π6)等于( ) A ．35 B ．45 C ．－35 D ．−45 19.已知cos(52π－θ)＝13，求sin?(π+θ)sinθ[sin (π−θ)−1]+sin?(θ−2π)cos?(θ+32π)sin?(θ−π)−cos?(θ−32π)的值.20.已知sin (α−π5)＝a (a ≠±1，a ≠0)，求cos (α+14π5)·tan (α−11π5)＋tan?(α+9π5)cos?(26π5−α)的值.21.设f (θ)＝2cos 3θ+sin 2(2π−θ)+sin?(π2+θ)−32+2cos 2(π+θ)+cos?(−θ)，求f (π3)的值.22.已知cos (π6−α)＝√33，求证：sin (4π3+α)＋cos 2(2π3−α)＝2−√33.23.若sin(π－α)＝log 814，且α∈(−π2,0)，则cos(π＋α)的值为( )A ．√53B ．－√53C ．±√53D ．以上都不对24.设cos(π＋α)＝√32(π＜α＜32π)，那么sin(2π－α)的值是( )A ．－12 B ．√32C ．－√32D ．1225.√1＋2sin(π－3)·cos(π＋3)的化简结果为( )A ．sin3－cos3B ．cos3－sin3C ．±(sin3－cos3)D ．以上都不对26.集合P ＝{α|α＝90°－k ·180°，k ∈Z }，Q ＝{β|β＝90°－k ·360°，k ∈Z }，则P 与Q 关系是( ) A ．PQ 且QP B ．PQ C ．P ＝Q D ．P Q 27.sin25π6＋cos10π3＋tan(－25π4)＋sin(－7π3)·cos(－13π6)＝________.28.化简：sin(θ－5π)cos(−π2−θ)cos(8π−θ)sin(θ−3π2)sin(－θ－4π).29.设tan (α+8π7)＝m .求证：sin(α+157π)+3cos(α−13π7)sin(−α+20π7)－cos(α+22π7)＝m+3m+1.30.已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 答案1.sin210°cos120°的值为( ) A ．14B ．－√34C ．√32D ．12 【答案】A【解析】sin210°cos120°＝－sin30°·(－sin30°)＝14.2.已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－45 B ．45 C ．±45 D ．35 【答案】B【解析】∵sin(π＋α)＝－sin α＝35，∴sin α＝－35， ∵α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cos α＝√1−sin 2α＝45. 3.设cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于( ) A ．√1−k 2kB ．－√1−k 2kC ．√1−k 2D ．－2 【答案】B【解析】∵cos80°＝cos(－80°)＝k ，∴sin80°＝√1−k 2，tan80°＝√1−k 2k，∴tan100°＝tan(180°－80°)＝－tan80°＝－√1−k 2k.4.设sin20°＝k ，那么cos160°等于( ) A ．√1−k 2 B ．－√1−k 2 C ．k D ．－k 【答案】B【解析】∵sin20°＝k ，∴cos20°＝√1－sin 220°＝√1−k 2， ∴cos160°＝－cos20°＝－√1−k 2. 5.若sin(π－α)＝log 814，且α∈（−π2,0），则cos(π＋α)的值为( )A ．√53B ．－√53C ．±√53D ．以上都不对 【答案】B【解析】∵sin(π－α)＝sin α＝log 232−2＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－√1－sin 2a ＝－√1−49＝－√53.6.已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值. 【答案】∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角.∴sin(α－75°)＝－√1－cos 2(α－75°)＝－√1−(−13)2＝－2√23， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝2√23. 7.计算cos300°－sin(－330°)＋tan675°·【答案】原式＝cos(360°－60°)＋sin(360°－30°)＋tan(720°－45°)＝cos60°－sin30°－tan45°＝12－12－1＝－1. 8.设tan(5π＋α)＝m ，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin (−α)−cos(π+α)的值为( )A ．m －1m ＋1 B ．－1 C ．m+1m−1 D ．1 【答案】C【解析】∵tan(5π＋α)＝m ， ∴tan α＝m ， ∴sin(α－3π)＋cos(π－α)sin (−α)−cos(π+α)＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝tanα＋1tanα－1＝m+1m−1. 9.α∈(－π2，0)，sin α＝－35，则cos(π－α)的值为( ) A ．－45 B ．45 C ．35 D ．－35【答案】A【解析】∵α∈(－π2，0)，sin α＝－35，∴cos(π－α)＝－cos α＝－√1－sin 2α＝－45. 10.已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( ) A ．m 2−12B ．m 2+12C ．1−m 22D ．－m 2+12【答案】C【解析】sin(α－180°)－sin(270°－α)＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)] ＝－sin α＋sin(90°－α)＝cos α－sin α＝m ， sin(180°＋α)sin(270°＋α)＝－sin α·(－cos α) ＝sin αcos α＝12[1－(cos α－sin α)2]＝1−m 22.11.求下列各三角函数式的值： (1)sin1320°；(2)cos (−31π6)；(3)tan(－945°).【答案】(1)方法一 sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－√32.方法二 sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－√32.(2)方法一 cos (−31π6)＝cos31π6＝cos (4π+7π6)＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－√32.方法二 cos (−31π6)＝cos (−6π+5π6)＝cos (π−π6)＝－cos π6＝－√32.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.12.已知cos(π6−α)＝√33，求cos(56π+α)－sin 2(α−π6)的值.【答案】cos (56π+α)－sin 2(α−π6)＝cos [π−cos(π6−α)]－sin 2(π6−α)＝－cos (π6−α)－[1−cos 2(π6−α)]＝cos 2(π6−α)－cos (π6−α)－1＝(√33)2－√33－1＝－2+√33.13.若sin(3π＋α)＝－12，则cos (7π2−α)等于( )A ．－12 B ．12 C ．√32D ．－√32【答案】A【解析】∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos (7π2−α)＝cos (3π2−α)＝－cos (π2−α)＝－sin α＝－12.14.若sin(π＋α)＋cos (π2+a)＝－m ，则cos (32π−α)＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3B ．2m 3C ．－3m 2D ．3m 2【答案】C【解析】∵sin(π＋α)＋cos (π2+α) ＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2，故cos (32π−α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m.15.已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P (12，y )，则sin(π2＋2α)等于( ) A ．－12 B ．12 C ．－√32D ．1 【答案】A【解析】由题意可得，cos α＝12，则sin (π2+2α)＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×14－1＝－12.16.已知sin(5π－θ)＋sin (52π−θ)＝√72，求sin 4(π2−θ)＋cos 4(32π+θ)的值.【答案】∵sin(5π－θ)＋sin (52π−θ)＝sin(π－θ)＋sin (π2−θ)＝sin θ＋cos θ＝√72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12[(√72)2−1]＝38，∴sin 4(π2−θ)＋cos 4(32π+θ)＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×(38)2＝2332.17.已知tan θ＝2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0D ．23 【答案】B【解析】由sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝21−tanθ＝21−2＝－2.18.已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π6)等于( ) A ．35 B ．45 C ．－35 D ．−45 【答案】A【解析】cos(x ＋π6)＝sin[π2－(x ＋π6)]＝sin(π3－x )，故cos(x ＋π6)＝35. 19.已知cos(52π－θ)＝13，求sin?(π+θ)sinθ[sin (π−θ)−1]+sin?(θ−2π)cos?(θ+32π)sin?(θ−π)−cos?(θ−32π)的值.【答案】∵cos(52π－θ)＝cos(2π＋π2－θ)＝sin θ＝13，∴sin θ＝13.∴原式＝−sinθsin?θ(sin?θ−1)＋sin?θcos?(θ+32π)sin?θ−cos?(θ−32π)=11−sin?θ−sin?θcos?(θ+π2+π)sin?θ+cos?(θ−π2−π)=11−sin?θ−sin?θ−sin 2?θ+sinθ=21−sin?θ=3.20.已知sin (α−π5)＝a (a ≠±1，a ≠0)，求cos (α+14π5)·tan (α−11π5)＋tan?(α+9π5)cos?(26π5−α)的值.【答案】cos (α+14π5)·tan (α−11π5)＋tan?(α+9π5)cos?(26π5−α)＝－cos (α−π5)·tan (α−π5)＋tan?(α−π5)−cos?(π5−α)＝－sin (α−π5)－sin?(α−π5)cos?2(α−π5)＝－a －a1−a 2＝a 3−2a 1−a 2.21.设f (θ)＝2cos 3θ+sin 2(2π−θ)+sin?(π2+θ)−32+2cos 2(π+θ)+cos?(−θ)，求f (π3)的值.【答案】∵f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2θ＋cosθ－32＋2cos 2θ＋cosθ＝2cos 3θ＋1－cos 2θ＋cosθ－32＋2cos 2θ＋cosθ＝2cos 3θ−2−(cos 2θ−cosθ)2＋2cos 2θ+cosθ＝2(cos 3θ−1)−cosθ(cosθ－1)2+2cos θ+cosθ＝2(cosθ－1)(cos 2θ+cosθ+1)−cosθ(cosθ－1)2+2cos 2θ+cosθ＝(cosθ－1)(2cos 2θ+cosθ+2)2+2cos 2θ+cosθ＝cos θ－1，∴f (π3)＝cos π3－1＝12－1＝－12. 22.已知cos (π6−α)＝√33，求证：sin (4π3+α)＋cos 2(2π3−α)＝2−√33.【答案】因为cos (π6−α)＝√33，所以sin (4π3+α)＋cos 2(2π3−α)＝sin [3π2−(π6−α)]＋cos 2[π2+(π6−α)]＝－cos (π6−α)＋[−sin?(π6−α)]2＝－√33＋[1−(1−√33)2]＝2−√33.23.若sin(π－α)＝log 814，且α∈(−π2,0)，则cos(π＋α)的值为( )A ．√53B ．－√53C ．±√53D ．以上都不对 【答案】B【解析】由sin(π－α)＝log 814＝＝－23，∴sin α＝－23，cos(π＋α)＝－cos α＝－√53.24.设cos(π＋α)＝√32(π＜α＜32π)，那么sin(2π－α)的值是( )A ．－12 B ．√32C ．－√32D ．12 【答案】D【解析】cos(π＋α)＝√32，cos α＝－√32，又π＜α＜32π，所以sin α＝－12，所以sin(2π－α)＝－sin α＝12. 25.√1＋2sin(π－3)·cos(π＋3)的化简结果为( ) A ．sin3－cos3B ．cos3－sin3C ．±(sin3－cos3)D ．以上都不对 【答案】A【解析】√1＋2sin(π－3)·cos(π＋3)＝√1−2sin3cos3＝sin3－cos3.26.集合P ＝{α|α＝90°－k ·180°，k ∈Z }，Q ＝{β|β＝90°－k ·360°，k ∈Z }，则P 与Q 关系是( ) A ．PQ 且QP B ．PQ C ．P ＝Q D ．P Q 【答案】C【解析】α＝90°(－2k ＋1)，β＝90°(－4k ＋1)，而－2k ＋1，－4k ＋1，k ∈Z ，都表示所有奇数，∴P ＝Q . 27.sin25π6＋cos10π3＋tan(－25π4)＋sin(－7π3)·cos(－13π6)＝________.【答案】－74 【解析】sin25π6＋cos10π3＋tan(－25π4)＋sin(－7π3)·cos(－13π6)＝sin π6＋cos4π3＋tan(－π4)＋sin(－π3)cos(－π6)＝sin π6－cos π3－tan π4－sin π3cos π6＝12－12－1－√32×√32＝－74.28.化简：sin(θ－5π)cos(−π2−θ)cos(8π−θ)sin(θ−3π2)sin(－θ－4π).【答案】原式＝−sin(－θ＋5π)cos(π2+θ)cosθ－sin(θ+3π2)[－sin(θ＋4π)]＝－sin(－θ＋π)(－sinθ)cosθcosθ(－sinθ)＝－sin θ.29.设tan (α+8π7)＝m .求证：sin(α+157π)+3cos(α−13π7)sin(−α+20π7)－cos(α+22π7)＝m+3m+1.【答案】左边＝sin[π+(α+8π7)]+3cos[(α+8π7)−3π]sin[4π−(α+8π7)]−cos[2π+(α+8π7)]＝−sin(α+8π7)－3cos(α+8π7)−sin(α+8π7)－cos(α+8π7)＝tan(α+87π)+3tan(α+87π)+1＝m+3m+1＝右边.所以原式成立.30.已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 【答案】∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴α＝2k π＋π2－β(k ∈Z ).∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan [2(2k π+π2−β)+β]＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0.∴tan(2α＋β)＋tan β＝0.所以原式成立.。
5.3诱导公式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习
诱导公式同步练习一、选择题已知角a 是第四象限角，且满足sin 弓+a ） -3cos （。
一兀）=1,则tan （"a ）是若cos - 6)= -a 则tan (6 + §的值为(着sin (2n - a) = cos (TT + a)=；，则a 所在象限为C--T8 .已知△力BC, WO a sinA =cosB”是“△力8c 是直角三角形”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1. 2.A. V3B. -V3CTD-F 列式子化简结果和sim ,不同的是（A. sin(7r — %)B. sin(7T + %)C. cos(^-x)D.3.4.tan 号的值是（6 B. -7C 一二j 3D.B. V3C. -V35. 若600。
的角的终边上有一点（-4,a ）, 则，，的值是（B. ±4\/3C. —4^3D. V36. A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. cos(—2040°)=()第8贞，共9页9 .若sin(x + $ + cos(x 贝ljsin(2x +3=()12 .在锐角三角形ABC 中，下列不等式一定成立的是（）A. sin A > sinBB. cos A > cosBC. si nA < sinBD. sinA > cosB二、填空题13 . sin 2l° + sin 220 + sin 2880 + sin 289° =. 14 .已知sin （? + a ） = £ 则cosa =. 15 .已知cos — X ） = s, 则sin2x =16 .若5也（九+二）=一：，其中。
是第二象限角，则cos （2rr-a ）=.三、解答题17 . 448c 中，。
，〃，c 分别为内角A, B, C 所对的边.已知a = 3,cosA =匹,8 =力+二.（ 32/）求人的值： （〃）求/力8c 的面积.10.sin （一器的值是（）O11.若sing — a) = £ 则cos(1+ 2a)=D.*D-TD418.在平面四边形ABC。
高中数学专题6.5三角函数的诱导公式(2个考点六大题型) 试卷及答案
专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-sin1080=)2820 1．（2023春·北京东城·高一北京市第一六六中学校考阶段练习）sin210=（ ）1210cos120tan 45+= 根据诱导公式，填适当的式子，使为第二象限角，且sin θcos165=（-24sin(α-是ABC的高一校考开学考试）已知ABC为锐角三角形，则下列不等关系中cos cosA>sin cosA>高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）（多选）已知cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 秋·高一课时练习）求证：当2=或3时，tan(cos(2k 2π1203=πsin(2α-秋·高一课时练习）)tan2022,sin2022位于(2)若()0,πθ∈,且()25fθ=-,求cos sinθθ-的值．专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-()3cos390cos36030cos302=+==.辽宁葫芦岛·高一统考期末）17sin4π的值为（sin1080=.()sin1080sin33600sin00=⨯+==；cos高一课时练习）已知12cot5θ=-，且θ为第二象限角，．)2820)()32820sin 836060sin 602=-⨯+==.ππtan 144⎫==⎪⎭. ππ2⎫()1sin210sin 18030sin 302=+=-=-.高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若角【详解】(sin πθ+的终边可能在第三或第四象限CD.2023春·吉林长春列结论正确的是（210cos120tan 45+= 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值. ()()11sin 18030cos 18060210cos120sin 30cos 60221tan 45tan 45tan 451--++-+--====-. 故答案为：-12023春·福建福州·高二校考期末）根据诱导公式，填适当的式子，使 cosα=-cos165=（ 24- ()cos165cos 9075sin 75=+=-，则()75sin 3045sin30cos 45cos30sin 45=+=+1222=⨯+26cos165sin 754+︒=-︒=-． 故选：A ．是ABC的高一校考开学考试）已知ABC 为锐角三角形，则下列不等关系中cos cos A >sin cos A >【分析】因为ABC 为锐角三角形，所以π【详解】因为ABC 为锐角三角形，,,3πcos A >,4πcos A <π因为ABC 为锐角三角形，,2B π+>∴,02A π<<sin(2A π>cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． ()()()cos 90cos 2sin 45sin 135αααα-+=+-，证明见详解.【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可)()()cos 90cos 245sin 135αααα-+=+- 证明：由诱导公式可得()()()cos 90sin ,sin 135sin 45αααα-=-=+，)()()()90cos sin cos cos 2sin cos 45cos sin 4545sin 135sin 45ααααααααααα-+++===++-+ 秋·高一课时练习）求证：当2k =或3时，tan(π)tan(π)cos(2π)sin[(21)π]k k k k αααα-+=-++【答案】证明见解析【详解】(tan 3π+C.2023·全国·高三专题练习）已知 【答案】B2π1203=πsin(2α-ABD2π1203=πtan 4=cos α，所以【详解】(cos πα-)πsin α-=-AB.2023秋·广东河源3π⎫⎛）π6θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，5π6fθ⎛+⎝故答案为：（1）1．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P 位于第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出P 点坐标的符号就可判断出P 点所在的象限.【详解】()tan 2022tan 5360222tan 2220︒︒︒︒=⨯+=> ，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒︒︒︒=⨯+=< ， ()tan 2022,sin 2022P ︒︒∴ 在第四象限；故选：D.2．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）已知偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，若tan114a =︒，tan172b =︒，tan 287c =︒，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．()()()f c f b f a >> B ．()()()f c f a f b >> C ．()()()f b f c f a >> D ．()()()f b f a f c >>【答案】D【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得tan114tan 66a =︒=-︒，tan172tan8b =︒=-︒，tan 287tan107tan 73c =︒=︒=-︒，由正切函数的性质结合函数的奇偶性和单调性分析可得答案．，04π<-，而060<正确；23,cos π⎛⎫= ⎪3013π<<故选：ACD.4．（2023【答案】－【分析】利用诱导公式化简计算即可π25π5ππππcos tan sin πcos 32πtan π346346⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ πππ3232cos tan 3462234⎛⎫⎛⎫-=-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：24. 2021秋·北京通州·高一校考阶段练习）已知cos α是方程2320x x --=三象限角，求3sin α⎛-+ ⎝，2sin cos α+3cos 2sin 2ππα⎫⎛+⎪ ⎭⎝⎫⎛+⎪ ⎭⎝全国·高一专题练习）已知）()f θ=-cos θθ=-sin 0θθ-<sin θθ-=。
(完整版)高中数学-三角函数诱导公式练习题与答案
三角函数定义及诱导公式练习题代数式sin 120o cos21C °的值为（A.6 .已知 tan( ) 4 A 、4B5A. B. C. D.2. tan120 A.、.3.■■ 3贝U sin a+ cos a 等于()7 5a 的终边经过点 B.753. A.154. 已知扇形的面积为2cm,扇形圆心角B 的弧度数是4,则扇形的周长为（ 已知角 (3a ,— 4a)(a <0), C . -15D .(A)2cm(B)4cm (C)6cm (D)8cm5 .已知f ()cos(— 2 cos(3 )si n()2，则 f( )tan()25§ ）的值为（3“)，则sin( ?)10. (14分)已知tan a =—，求证: /八 sin a cosa ⑴ 二_ _ ；sin a cosa(2)sin 2 a+ sin a COS a = - .11 .已知 tan 2.(1)求 3sin 一2CO 二的值; sin coscos( )cos( )sin()⑵求品盘窗勺的值;(3)若 是第三象限角，求cos 的值. 312.已知 sin ( a — 3n ) = 2cos( a — 4n )，求 si (2si n— — si n(—二)+ 5cos (2 —3-的值. )f(25 )=cos 325 325 =cos- 3 = cos 8 1 —=cos —= 3 3 2参考答案1. B【解析】 试题分析：180°，故1200 -.3考点：弧度制与角度的相互转化•2. A.【解析】试题分析：由诱导公式以可得，sin 120 ° cos210° =sin60 ° x (-cos30 ° )=- ^ x2十3,选A.考点：诱导公式的应用. 3. C【解析】试题分析：本题主要考查三角诱导公式及特殊角的三角函数值.由tan120 tan(18060 ) tan 603，选 C.考点：诱导公式• 4. A【解析】 试题分析：r 55 , sin —-, cos -, sin cos r 55考点：三角函数的定义 5. C【解析】设扇形的半径为R,则错误！未找到引用源。
专题08 诱导公式的化简求值(解析版)-高考数学计算题型精练(新高考通用版)
诱导公式的化简求值1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则9πsin sin(8π)25πsin sin(7π)2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭______．【答案】7【详解】因为3sin 5α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==．所以9πsin sin(8π)25πsin sin(7π)2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭31cos sin 1tan 473cos sin 1tan 14αααααα+++====---．故答案为：7.2．若π2cos 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】19-【详解】2ππππsin 2sin 2cos 2312212ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π212cos 1211239α⎛⎫⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：19-.3．计算7π5πcos sin 644πtan 3的结果为__________．【答案】4【详解】因为7πππcoscos πcos 666⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭5πππsin sin πsin 444⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭4πππtan tan πtan 333⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以7π5πcos sin 22644πtan 3⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪=故答案为：4.4．点()3,4A 在角θ的终边上，则sin(π)2cos πcos()cos 2θθθθ++=--__________．【答案】2【详解】因为点()3,4A 在角θ的终边上，则4tan 3θ=，所以42sin(π)2cos sin 2cos tan 232π4sin cos tan 1cos()cos 123θθθθθθθθθθ-+++-+-+===-----.故答案为：25．若1sin 3α=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】13-【详解】π1cos sin 23αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：13-6．已知角α终边上一点()2,3P -，则()()πcos sin π23πcos πcot 2αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭________．【答案】【详解】由诱导公式知，()()πcos sin πsin sin 2sin 3πcos (tan )cos πcot 2ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭===--⋅-⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为角α终边上一点()2,3P -，所以sin α所以原式sin 13α=-=-.故答案为：7．23πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭____.【详解】23π23π2π2ππtan(tan tan(7π)tan tan 33333-=-=-+=-=8．cos660︒=________.【答案】12/0.5【详解】()()1cos660cos 236060cos 60cos602︒=⨯︒-︒=-︒=︒=故答案为：129．化简:()()()()sin 2πcos 6πcos πsin 5πθθθθ---=-+_____.【答案】1-【详解】原式=()()()()()()()sin cos sin cos 1cos πsin πcos sin θθθθθθθθ-⋅--⋅==-+⋅+-⋅-.故答案为：1-.10．若()sin π3α-=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】【详解】因为()sin sin παα-=所以πcos sin 2αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：11．()()cos πππsin cos sin π22αααα-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=____________【答案】2cos α-【详解】原式()()()2cos cos sin cos sin ααααα-=⋅⋅-=--故答案为：2cos α-.12．已知()1cos π2α+=-，3π2π2α<<，则()sin 3πα+=_________．【答案】2【详解】()1cos π2α+=- ，1cos 2α∴-=-，即1cos 2α=，3π2π2α<<，sin 2α∴==()sin 3πsin αα∴+=-=13．()()()()tan 2πsin 2πcos 6πcos π3ππsin cos 22x x x x x x -----=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________【答案】sin x【详解】()()()tan 2πtan ,sin 2πsin sin x x x x x -=---=-=-，()()()cos 6πcos cos ,cos πcos x x x x x -=-=-=-，3ππsin cos ,cos sin 22x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原式()()()()tan sin cos cos tan cos sin cos sin x x x x x x x x x-⨯-⨯⨯-==⨯=-⨯，故答案为：sin x .14．若α的终边过点()1,2-，则()()sin ππsin cos π2ααα-=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭______.【答案】1-【详解】因为α的终边过点(1,2)-，由三角函数的定义可得2tan 21α==--，所以()()sin πsin 11tan (2)1πcos cos 22sin cos π2ααααααα-===⨯-=-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1-15．已知()1sin π3α+=，则πcos()2α+=_________________.【答案】13【详解】由已知1sin(π)sin 3αα+=-=，1sin 3α=-，所以π1cos()sin 23αα+=-=．故答案为：13．16．若角α的终边过点()1,2-，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】【详解】角α的终边过点(1,2)-，由三角函数的定义得cos α=由诱导公式得ππsin sin cos 225ααα⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：17．1717cos πsin π44⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【详解】17π17π17π17πππcos sin cos sin cos 4πsin 4π444444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcos sin 4422=+=；.18．7πsin 3的值为__________【答案】2【详解】7πππsinsin 2πsin 3332⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.19．已知5sin 13α=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】513-【详解】由π5cos sin 213αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：513-20．已知tan 3α=，求sin(4)3cos()92sin()sin(7)2παπαπαπα-+--=-+-+_________【答案】-6【详解】原式=sin 3cos tan 33362cos sin 2tan 23αααααα------===--+-+-+.故答案为：-6.21．已知角x 在第二象限，且π4cos ,25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则tan 2x =______．【答案】247/337【详解】π4cos 25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即4sin 5x -=-，则4sin 5x =， 角x在第二象限，则3cos 5x ==-，则4tan 3x =-，22tan 24tan 21tan 7x x x ∴==-.故答案为：247.22．若()1sin π2A +=-，则3πcos 2A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．【答案】12-/-0.5【详解】因为()2π3π5π2A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭+-，所以3πcos 2A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()()()5πππ1cos πcos πcos πsin π2222A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-+=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故答案为：12-23．化简：()()tan cos 3ππ2co i πt 2πs n 2αααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭_________．【答案】1【详解】()()tan cos 3πcos cot 21cot 2πcos cot πi 2πs n αααααααα⎛⎫- ⎪---⎝⎭⋅=⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：124．已知α是第二象限角，1sin 3α=，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】3-/【详解】因为α是第二象限角，1sin 3α=，所以πsin cos 2αα⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭故答案为：25．已知1tan 2α=，则()cos ππcos 2αα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭__________．【答案】2【详解】因为1tan 2α=，所以()cos πcos 12πsin tan cos 2ααααα--===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：2.26．已知1cos 2α=，3π2π2α<<，则()sin 2πα-=______.【答案】2【详解】因为13πcos ,2π22αα=<<，所以sin2α==-，所以sin(2)sinπαα-=-=.故答案为：2.27．化简：()()()π11πcosπcos cos229πcosπsinπsin2αααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+⎪⎝⎭______．【答案】tanα【详解】()()()π11πcosπcos cos229πcosπsinπsin2αααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+⎪⎝⎭()()cos sin sin tancos sin cosααααααα-⋅--==-.故答案为：tanα.28．化简πsin(5π)cos()cos(8π)23πsin()sin(4π)2θθθθθ---=---__．【答案】sinθ【详解】πsin(5π)cos()cos(8π)(sin)sin cos2sin3πcos(sin)sin()sin(4π)2θθθθθθθθθθθ----==----．故答案为：sinθ.29．化简222sin(π)cos(π)cos(2π)3π3π1cos cos sin222παααααα+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为______.【答案】1tanα【详解】222sin(π)cos(π)cos(2π)3π3π1cos cos sin222παααααα+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222(sin)(cos)cosππ1cos cos cosπ22παααααα--+=⎛⎫⎛⎫+-++-⎪⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎦⎣⎦22222sin cos cos 2sin cos cos 1sin sin cos ππ1cos cos cos 22αααααααααααα++==++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22sin cos cos (2sin 1)cos cos 12sin sin (2sin 1)sin sin tan αααααααααααα++====++.故答案为：1tan α.30．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()()8,60P m m m -->．(1)求sin θ，cos θ的值；(2)求()()()()()()3πsin sin 3πcos πcos 25πsin 2πcos 3πsin sin π2θθθθθθθθ⎛⎫-⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)3sin 5θ=-，4cos 5θ=-；(2)34-【详解】（1）由题意知，10r m ==，∴63sin 105y m r m θ-===-，84cos 105x m r m θ-===-；（2）原式()()()()()()()322sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅-⋅-⋅-⋅==--⋅-⋅⋅-⋅tan θ=-，由（1）知，sin 3tan cos 4θθθ==，∴()()()()()()3πsin sin 3πcos πcos 325π4sin 2πcos 3πsin sin π2θθθθθθθθ⎛⎫-⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭=-⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪⎝⎭．31．已知角θ的始边为x 轴非负半轴,终边过点(A -.(1)3ππcos sin 22θθ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪.(2)已知角α的始边为x 轴非负半轴,角θ和α的终边关于y 轴对称,求πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)2-(2)6【详解】（1）由题可知OA =则sin ,cos ,tan 33θθθ===3ππcos 222θθ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪=-.（2）因为角θ和α的终边关于y 轴对称,所以sin αcos α所以π1sin sin cos 6226ααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.32．已知()()ππsin cos 223πcos πsin 2f ααααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(1)若角α的终边经过点(),2m m ，0m ≠，求()f α的值；(2)若()2f α=，求sin cos sin cos αααα+-的值.【答案】(1)2(2)3【详解】（1）()()()()ππsin cos cos sin 22tan 3πcos cos cos πsin 2f αααααααααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⋅-⎝⎭⎝⎭===-⋅-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为角α的终边经过点(),2m m ，0m ≠，所以()2tan 2m f mαα===.（2）由（1）知()tan 2f αα==，所以sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.33．已知()()()()()πsin sin tan π2tan 2πsin π+f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-(1)化简()f α．(2)若α为第三象限角，且3π1cos 25⎛⎫-= ⎪⎝⎭α，求()f α的值．【答案】(1)()f αcos α=(2)()f α=【详解】（1）()()()()()πsin sin tan π2tan sin πf αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-+()()()cos sin tan tan sin ααααα⋅-⋅-=-⋅-cos α=．（2）∵α为第三象限角，且3π1cos sin 25⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭αα，∴1sin 5α=-，()cos f αα===．34．已知()()()3πsin 2πsin 2πsin cos π2f ααααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭．(1)化简()f α；(2)若()2f α=，求2222sin 1sin 2cos ααα-+的值【答案】(1)()tan f αα=-(2)12【详解】（1）()()()()()3πsin 2πsin sin cos 2tan cos cos sin cos π2πf αααααααααα⎛⎫-⋅- ⎪-⋅-⎝⎭===-⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得tan 2α-=，tan 2α∴=-，()2222222222222sin sin cos 2sin 1sin cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos αααααααααααα-+--∴==+++221tan ta 1412422n αα--===++.35．（1）化简：3πtan(π)cos(2π)sin()2cos(π)sin(π)ααααα---+----；（2）已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x xx --的值．【答案】（1）1-；（2）725【详解】（1）3πtan(π)cos(2π)sin()2cos(π)sin(π)ααααα---+----＝sin cos (tan )cos (cos )cos 1(cos )sin sin ααααααααα⋅-⋅⋅-=-=--⋅；（2）2sin 22sin 2sin (cos sin )2sin cos sin 1tan 1cos x x x x x x xx x x--==--，()2π331818cos cos sin cos sin 12sin cos 4552525x x x x x x x ⎛⎫+==⇒-=⇒-=⎪⎝⎭72sin cos 25x x ⇒=，因此2sin 22sin 71tan 25x x x -=-.36．已知()()()()π3πcos tan πsin 22cos πtan 3πf αααααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++.(1)若()0,2πα∈，且()12f α=-，求α的值；(2)若()3π125f f αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，求tan α的值.【答案】(1)7π6α=或11π6α=(2)4tan 3α=-【详解】（1）()()()()()()π3πcos tan πsin sin tan cos 22sin cos πtan 3πcos tan f αααααααααααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭===++-，()0,2πα∈，且()1sin 2f αα==-，则7π6α=或11π6α=.（2）()3π3π1sin sin sin cos 225f f αααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1sin cos 5αα=-，所以22221cos sin cos cos 15αααα⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，解得4cos 5α=或3cos 5α=-，由π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则3cos 5α=-，得4sin 5α=，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--37．已知tan 3α=，求()()πsin 3sin π23πcos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值．【答案】4【详解】因为()πsin cos ,sin πsin 2αααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，()()3πcos sin ,cos 5πcos πcos 2ααααα⎛⎫-=-+=+=- ⎪⎝⎭，所以()()πsin 3sin πcos 3sin 13tan 23πsin cos tan 1cos cos 5π2αααααααααα⎛⎫+++ ⎪--⎝⎭==-+-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，又tan 3α=，所以()()πsin 3sin π133243π31cos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪-⨯⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.故答案为：4.38．已知()()5πsin πsin 23π2sin sin π2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求24sin cos 2cos ααα+的值.【答案】(1)7tan 4α=-(2)1613-【详解】（1）依题意得，()()5πsin πsin sin cos 2π2cos sin 2sin sin π2αααααααα⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭=--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭tan 132tan αα+==--，解得7tan 4α=-（2）22224sin cos 2cos 4sin cos 2cos sin cos αααααααα++=+24tan 2tan 1αα+=+1613=-.39．已知角α终边上一点(4,3),P -求()πcos()sin π211π9πcos()sin()22a a a α+----++的值．【答案】67【详解】角α终边上一点(4,3),P -3tan ,4y x α∴==-则原式32()sin sin 2tan 64.3sin cos tan 1714αααααα-⨯----====-+-++故答案为：6740．设()322π2cos sin 2cos π222cos 7πcos f θθθθθθ⎛⎫++--- ⎪⎝⎭=+++-（）（）（），求2023π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】12.【详解】因为()322π2cos sin 2cos π222cos 7πcos f θθθθθθ⎛⎫++--- ⎪⎝⎭=+++-（）（）（）=322222cos cos 2cos cos 2cos cos 2cos 22cos cos 22cos cos θθθθθθθθθθθ++++==++++（），所以2023π2023πππ1cos cos 3372πcos 33332f ⎛⎫⎛⎫==⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭41．已知1tan 2θ=-，求下列各式的值：(1)22cos 12sin cos θθθ-；(2)tan(π)sin(π)3πππsin cos cos 222θθθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)34-(2)54【详解】（1）原式()222222cos sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos θθθθθθθθθ-+-==22111tan 3212tan 422θθ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．（2）原式tan sin (cos )sin (sin )θθθθθ=--22221sin cos cos cos θθθθ+==22151tan 124θ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭．42．已知()()()()()3sin 3πcos 2πsin π2cos πsin πf αααααα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭=--⋅-+．(1)化简()f α；(2)若31π3α=-，()f α．【答案】(1)cos α(2)12【详解】（1）由题意可得：()()()()()()()()()3sin 3πcos 2πsin πsin πcos cos 2cos cos πsin πcos sin πf αααααααααααα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪-+⋅⋅-⎝⎭===--⋅-+-⋅-+，故()cos f αα=.（2）∵31π3α=-，则()3131πππ1πcos πcos 10πcos cos 333332f f α⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()12f α=.43．已知3πsin(3π)cos(2π)sin()2()cos(π)sin(π)f αααααα---+=----.(1)化简()f a ；(2)若α是第三象限角，且3π1co (s 52α-=，求π(6f α+的值；【答案】(1)()f α=cos α-；(2)110【详解】（1）3πsin(3π)cos(2π)sin()2()cos(π)sin(π)f αααααα---+=----(sin )cos (cos )cos (cos )sin αααααα-⋅⋅-==--.（2）因为3π1co (s 52α-=，又3ππcos(cos()sin 22ααα-=+=-，所以1sin 5α=-，又α是第三象限的角，所以cos α=-所以ππππ(cos()cos cos sin sin6666f αααα+=-+=-+111(()5210-=-⨯-⨯=.44．sin(2π)sin(π)cos(π)sin(3π)cos(π)ααααα-+----.【答案】sin α【详解】因为sin(2π)sin()sin ,sin(π)sin ,ααααα-=-=-+=-cos(π)cos(π)cos ααα--=+=-，sin(3π)sin(π)sin ,cos(π)cos ,ααααα-=-=-=-所以原式sin (sin )(cos )sin sin (cos )αααααα-⋅-⋅-==⋅-.45．（1）化简：()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭（2）求值：cos21cos24sin159sin 204︒⋅︒+︒⋅︒．【答案】（1）tan α-；（2）2．【详解】（1）()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭()()()()()()πsin cos sin cos 6π2πcos sin πsin πsin 4π2αααααααα⎡⎤⎛⎫----+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()πsin cos sin cos 2πcos sin sin sin 2αααααααα⎡⎤⎛⎫----+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()()()2222sin cos cos sin cos sin sin 2tan cos sin cos cos sin cos cos πααααααααααααααα⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭===-=---（2）cos 21cos 24sin159sin 204cos 21cos 24sin 21sin 24︒⋅︒+︒⋅︒=︒⋅︒-︒︒()cos 2124cos 452=︒+︒=︒46．.化简下列各式：(1)π2912sin cos 6ππtan 54⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭；(2)3tan(π)cos(2π)sin(π)2cos(3π)sin(π)ααααα+⋅+⋅---⋅--.【答案】(1)12-(2)1-【详解】（1）原式52sin cos 0π6π5=-+⨯2π1sin6=-=-（2）原式tan cos cos 1cos sin ααααα⋅⋅==--⋅47．已知()()()()()5πsin 2πcos πcos 29πcos πsin πsin 2x x x f x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭．(1)化简()f x ；(2)已知()2f α=，求sin2α的值．【答案】(1)tan x -(2)45-【详解】（1）由题意得()()()()()5πsin 2πcos πcos 29πcos πsin πsin 2x x x f x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭(sin )(cos )sin sin tan (cos )sin cos cos x x x xx x x x x--==-=--.（2）由()2f α=，可得tan 2,tan 2αα-=∴=-，则2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++.48．（1）已知()2tan π3α-=-，求cos 3sin cos 9sin α-αα+α的值；（2）化简()()()()3πsin πsin tan 2π2πsin tan πcos 2θθθθθθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭.【答案】（1）17-；（2）tan θ.【详解】（1）因为()2tan πtan 3αα-=-=-，可得2tan 3α=，所以213cos 3sin 13tan 132cos 9sin 19tan 7193αααααα-⨯--===-+++⨯；（2）()()()()()()23πsin πsin tan 2πsin cos tan 2tan πcos tan sin tan πcos 2θθθθθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==⎛⎫-+- ⎪⎝⎭.49．已知sin 2cos αα=，求：(1)化简()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值.【答案】(1)45(2)1【详解】（1）因为sin 2cos αα=，22sin cos 1αα+=，所以22sin sin 12αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即24sin 5α=，()()2πcos sin 42sin 2πcos 2πsin cos sin 5πcos 5sin 2ααααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--===⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）sin tan 2cos ααα== ，2sin2sin sin cos cos21ααααα∴+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-222tan tan tan 2221222ααα=+-⨯==+-.50．化简以下式子：()()()()()7πsin cos πtan 3π2sin 2πtan πcos 9παααααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭--+-【答案】1tan α-【详解】()()()()()7πsin cos πtan 3π2sin 2πtan πcos 9παααααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭--+-()()()()3πsin cos tan 2sin tan cos παααααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=--()()()()()cos cos tan sin tan cos αααααα---=--cos 1sin tan ααα=-=-.。
高中数学训练题及解析三角恒等式及诱导公式
高中数学训练题及解析——三角恒等式及诱导公式一、选择题1．sin930°的值是()A.32B．－32C.12D．－12答案 D解析sin930°＝sin210°＝－sin30°＝－1 2.2．已知α是第二象限角，且cosα＝－45，得tanα＝()A.43B．－43C．－34 D.34答案 C解析∵α为第二象限角且cosα＝－45，∴sinα＝35，∴tanα＝sinαcosα＝－34.3．化简cosα1－sinα1＋sinα＋sinα1－cosα1＋cosα(π<α<3π2)得()A．sinα＋cosα－2 B．2－sinα－cosαC．sinα－cosαD．cosα－sinα答案 A解析原式＝cosα(1－sinα)2cos2α＋sinα(1－cosα)2sin2α，∵π<α<32π，∴cosα<0，sinα<0，∴原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2.4．A为△ABC的内角，且sin2A＝－35，则cos(A＋π4)等于()A.255B．－255C.55D．－55答案 B解析cos2( A＋π4)＝[22(cos A－sin A)]2＝12(1－sin2A)＝4 5.又cos A<0，sin A>0∴cos A－sin A<0∴cos(A＋π4)＝－25 55．若cos(π6－α)＝m(|m|≤1)，则sin(23π－α)的值为()A．－m B．－m 2C.m2D．m答案 D解析sin(2π3－α)＝sin(π2＋π6－α)＝cos(π6－m)＝m，选D.6.1＋2sin(π－3)cos(π＋3)化简的结果是() A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对答案 A解析sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3∴1－2sin3·cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0.∴原式＝sin3－cos3，选A.7．tan(5π＋α)＝m，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋a)的值为()A.m＋1m－1B.m－1m＋1C．－1 D．1答案 A解析由tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝m＋1m－1，∴选A.8．已知A为锐角，lg(1＋cos A)＝m，lg11－cos A＝n，则1g sin A的值为()A．m＋1n B.12(m－n)C.12(m＋1n) D.12(m－1n)答案 B解析lg(1＋cos A)＝m，lg(1－cos A)＝－n ∴lg(1－cos2A)＝m－n∴lgsin2A＝m－n∴lgsin A ＝12(m －n )，选B. 二、填空题9．(2010·山东师大附中期中)若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________.答案 13；7解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1tan α＝9－2＝7.10．(2011·武汉市调研)已知tan α＝－12，π2<α<π，则sin α＝________.答案 55解析 法一：∵α为第二象限角，设α终边上一点P (x ，y )，且设x ＝－2，y ＝1，则r ＝5，∴sin α＝55.法二：依题意得sin α＝sin αsin 2α＋cos 2α＝11＋1tan 2α＝11＋(－2)2＝55.11．(2011·重庆第一次诊断)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos(α－π6)的值是________．答案 0解析 依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2<α<0，因此α＝－π3，故cos(α－π6)＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0.12．记a ＝sin(cos210°)，b ＝sin(sin210°)，c ＝cos(sin210°)，d ＝cos(cos210°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是________．答案 c解析 注意到210°＝180°＋30°，因此sin210°＝－sin30°＝－12，cos210°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin 32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝sin(－12)＝cos 12>d ＝cos(－32)＝cos 32>0.13．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________． 答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1.三、解答题14．(2011·青岛模拟)若cos2θ＋cos θ＝0，求sin2θ＋sin θ的值． 答案 0或±3 解析 ∵cos2θ＋cos θ＝0 ∴2cos 2θ＋cos θ－1＝0 ∴(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0∴cos θ＝－1或cos θ＝12当cos θ＝－1时，sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0当cos θ＝12时，sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝±315．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos(α－3π2)；(2)sin(π2＋α)；(3)tan(5π－α)．分析 先利用诱导公式将条件和所求式子化简，然后再求值．解析 sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝－13.(2)sin(π2＋α)＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24.∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24.②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.16．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．分析 (1)由sin α＋cos α＝15及sin 2α＋cos 2α＝1，可求sin α，cos α的值； (2)1＝sin 2α＋cos 2α，分子、分母同除以cos 2α即可． 解析 (1)方法一联立方程⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15 ①sin 2α＋cos 2α＝1 ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0，∵α是三角形内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝(15)2，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α，∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝(－43)2＋11－(－43)2＝－257.。
高中数学三角函数诱导_推理公式_习题大全
公式一：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα（以上k∈Z）※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k 〒α（k∈Z）的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k〃360°+α（k∈Z），-α、180°〒α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。
高中数学 三角函数诱导公式(带答案)
习题精炼一、选择题1、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32 m3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ C ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－66、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．437．设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 （ ）A ．211aa ++ B ．－211aa ++ C ．211aa +-D ．211aa +-8．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα二、填空题1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ．2、若sin （125°－α）=1213,则sin （α＋55°）=．3、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．4、已知,1)sin(=+βα则=+++)32sin()2sin(βαβα .三、解答题1、已知 3)tan(=+απ, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．2、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．3、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求)43()65()31()41(f g f g +++的值.4．设)(x f 满足)2|(|cos sin 4)(sin 3)sin (π≤⋅=+-x xx x f x f ,（１） 求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的最大值．《诱导公式》参考答案一、选择题ABAC BABC二、填空题1、1．2、1312．3、0．4、0三、解答题1、7．2、25．3、22)41(=g ， 5312()1,()s i n ()1,6233g f π=+=-+ 1)4sin()43(+-=πf ， 故原式=3．4、解析：（１）由已知等式(sin )3(sin )4sin cos f x f x x x -+=⋅ ①得x x x f x f cos sin 4)sin (3)(sin -=-+ ② 由３⨯①－②，得8x x x f cos sin 16)(sin ⋅=，故212)(x x x f -=．（２）对01x ≤≤，将函数212)(x x x f -=的解析式变形，得2242()2(1)2f x x x x x =-=-+＝22112()24x --+，当22x =时，max 1.f =。
高中数学诱导公式大全
【解答】解：（Ⅰ）
sin(2
− ) cos(3
+ ) cos(3 2
+)
=
(−sin )(− cos )sin
=1；
sin(− + )sin(3 − ) cos(− − ) (−sin )sin (− cos )
（Ⅱ） tan 315 + tan 570 = tan(360 − 45) + tan(3180 + 30) = − tan 45 + tan 30 = 3 ．
sin(− + ) tan(3 − )
−sin (− tan )
sin
（4 分） )
（2） f ( ) = 1 ，可得 sin cos 8
=1， 8
(sin + cos )2 = 1 + 1 = 5 ，且 3 ，
44
2
sin 0 ， cos 0 ，
所以 sin + cos 0 ，
5
2
5
【解答】解：因为 sin = 3 ， 5
则 cos(
−
3
)
=
cos(3
−)
=
−
cos(
− ) = −sin
=−3．
2
2
2
5
故答案为： − 3 ． 5
变式 1．已知 sin( + ) = 1 ，则 sin(5 − ) 的值为 1 ．
63
6
3
【解答】解：因为 sin( + ) = 1 ， 63
= sin + cos sin cos
=5 −2
=−
5 2．Biblioteka 5变式 1．已知 f ( ) = sin2 ( − ) cos(2 − ) tan(− + ) sin(− + ) tan(3 − )
专题48 高中数学诱导公式二、三、四(解析版)
专题48 诱导公式二、三、四1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα；cos(－α)＝cosα；tan(－α)＝－tanα.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα.4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．5．四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.6．四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.题型一 给角求值问题1．求下列各三角函数值：(1)sin 1320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(3)tan(－945°)；(4) tan ⎝⎛⎭⎫－4π3 ；(5) (5)sin 2π3 ；(6) cos ⎝⎛⎭⎫－7π6 [解析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. (4)tan ⎝⎛⎭⎫－4π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋2π3＝tan 2π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－tan π3＝－ 3. (5)sin2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32. (6)cos ⎝⎛⎭⎫－7π6＝cos 7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 2．求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[解析] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 3．计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)． (3)tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5；(4)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.(5)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．[解析](1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0.(3)原式＝tan π5＋tan 2π5＋tan ⎝⎛⎭⎫π－2π5＋tan ⎝⎛⎭⎫π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0. (4)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－32－cos45°－tan45° ＝－32－22－1＝－2＋3＋22.(5)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝32×32＋12×12＝1. 4．利用公式求下列三角函数值： (1)cos476π；(2)tan(－855°)；(3)sin(－945°)＋cos(－296π)；(4)tan 34π＋sin 116π. [解析] (1)cos476π＝cos(116π＋6π)＝cos 116π＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°) ＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π－5π6＝sin(－225°)＋cos ⎝⎛⎭⎫－5π6 ＝－sin(180°＋45°)＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin 45°－cos π6＝22－32＝2－32. (4)原式＝tan(π－π4)＋sin(2π－π6)＝－tan π4－sin π6＝－1－12＝－32.5．求下列各三角函数值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(2)tan(－765°)；(3)sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4. [解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan 45°＝－1. (3)sin4π3·cos 25π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－sin π3cos π6tan π4＝－32×32×1＝－34. 6．求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin8π3cos 31π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin 2π3cos 7π6＋tan π4 ＝sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6＋tan π4＝32×⎝⎛⎭⎫－32＋1＝14. 7．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°.[解析]原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°) ＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°＝32×32＋12×12－1＝0. 8．cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于________． [解析]原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°－(－sin 30°)＝－2222＋12＝2－2. 9．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是[解析]因为sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝22，sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12，cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22，所以原式＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＋2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－222＝14＋12－1＋12＝14.10．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为 [解析]由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.11．设sin 160°＝a ，则cos 340°的值是( )A ．1－a 2 B.1－a 2 C ．－1－a 2D ．±1－a 2[解析]因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2. 12．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b[解析]a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .13．已知f (x )＝⎩⎨⎧sin πx (x ＜0)，f (x －1)－1(x ＞0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [解析] f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12， f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫116－1－1＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫56－1－2＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝12－52＝－2. 14．若f (n )＝sinn π3(n ∈Z)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝________． [解析]f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin7π3＝sin π3＝f (1)，f (8)＝f (2)，…， 因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋336×0＝32. 题型二 给值(式)求值问题1．若cos(π＋α)＝－13，则cos α的值为[解析] cos(π＋α)＝－cos α，所以cos α＝13.2．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32D ．－32[解析]由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)． 3．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )A ．－1213 B.1213 C ．±1213D.512[解析]由cos(α－π)＝－513，得cos α＝513.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.4．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35[解析]因为cos(π－α)＝－cos α，所以cos α＝35.因为α是第一象限角，所以sin α>0.所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45. 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α等于 [解析]因为tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α，所以tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝________． 【解析】)cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝________. [解析]cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝________. [解析])因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.9．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是[解析] 因为sin α＝35且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(π＋α)＝tan α＝－34.10．已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；[解析]∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 11．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是[解析]因为sin(π＋α)＝－sin α＝35，所以sin α＝－35.又α是第四象限角，所以cos α＝45，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45.12．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是[解析]∵sin(π＋α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝35.又∵cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cos α＝3513．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin(π－α)＝ [解析]因为cos(2π－α)＝cos α＝53，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－23， 所以sin(π－α)＝sin α＝－23.14．若sin(π＋α)＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(π－α)等于 [解析]因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos α>0， 所以cos α＝1－sin 2α2＝32.所以tan α＝sin αcos α＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tan α＝33.15．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于 [解析] 因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin α＝－m ，所以sin α＝m 2，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .16．已知sin 5π7＝m ，则cos 2π7＝________.[解析] 因为sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7＝sin 2π7＝m ，且2π7∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2π7＝1－m 2.17．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于 [解析]sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m ，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12＝m 2－12.18．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[解析] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223. 19．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为 [解析]sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32. 20．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.[解析]由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 21．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为 [解析]∵tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝－tan(6π＋π－α)＝－tan(π－α)＝tan α＝－34，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，且tan α＜0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＞0，cos α＜0. 又∵tan α＝sin αcos α＝－34， ①而sin 2α＋cos 2α＝1, ②由①②，解得⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝－45.∴sin α＋cos α＝35－45＝－15.22．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 018)＝8，则f (2 019)的值为________． [解析]因为f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋7＝a sin α＋b cos β＋7， 所以a sin α＋b cos β＋7＝8，所以a sin α＋b cos β＝1，又f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019 π＋β)＋7＝－a sin α－b cos β＋7＝－1＋7＝6. 所以f (2 019)＝6.题型三 化简求值问题1．以下四种化简过程，其中正确的有( )①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°； ③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析]由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．[答案] B2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是[解析]原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2. 3．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为 [解析]∵原式＝sin 2α－(－cos α·cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝24．设f (α)＝2sin （2π－α）cos （2π＋α）－cos （－α）1＋sin 2α＋sin （2π＋α）－cos 2（4π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－236π的值为 [解析]f (α)＝2sin （－α）cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝－cos α（2sin α＋1）sin α（2sin α＋1）＝－1tan α.所以f ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3. 5．化简(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α.[解析] (1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)＝sin (180°＋α)·cos αtan α＝－sin α·cos αtan α＝－cos 2α.(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α＝sin α(－cos α)cos αtan α＝－cos α.6．化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(3)sin (1 440°＋α)·cos (1 080°－α)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). [解析] (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝(－tan α)sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝tan α·sin α·cos α－cos α·sin α＝－tan α.(3)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.7．化简下列各式． (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). (3)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).[解析] (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin30°－tan45°＝12.(3)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ＝－cos θ.8．已知tan(π＋α)＝－12，则2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)＝________.[解析]tan(π＋α)＝－12，则tan α＝－12，原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.9．已知tan(π＋α)＝3，求2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α）的值．[解析]因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α）＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.10．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值：(1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)；(2)sin(α－7π)cos(α＋5π)． [解析]由tan(π＋α)＝－12，得tan α＝－12.(1)原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.(2)原式＝sin(－6π＋α－π)cos(4π＋α＋π)＝sin(α－π)cos(α＋π)＝－sin α(－cos α) ＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 11．2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________． [解析]2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ)＝sin 2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.12．2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________．[解析]原式＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ)＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.13．化简：1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝________.[解析]1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|，因2弧度在第二象限，故sin2>0>cos2，所以原式＝sin2－cos2.14．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝________. [解析]因为sin(α＋π)＝－sin α＝45，且sin αcos α＜0， 所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43， 所以2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73. 15．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为 [解析]由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ，∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 16．已知tan(7π＋α)＝2，求2cos (π－α)－3sin (3π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值． [解析]∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，∴2cos (π－α)－3sin (3π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×24－2＝2. 17．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin （π－α）＋5cos （2π＋α）3cos （π－α）－sin （－α）＝－35. [解析]因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sin α＝2cos α，所以sin α＝－2cos α.所以左边＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝3cos α－5cos α＝－35＝右边，所以原式得证． 18．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解析] (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12. 19．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．sin(α－2π)＝sin βC ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β[解析]由α和β的终边关于x 轴对称，故β＝－α＋2k π(k ∈Z)，故cos α＝cos β.[答案] C20．在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[解析]①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin [2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin [2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos [2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos [2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .故选B.21．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[解析]由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π. 22．当θ＝5π4时，sin[θ＋（2k ＋1）π]－sin[－θ－（2k ＋1）π]sin （θ＋2k π）cos （θ－2k π）(k ∈Z)的值等于________． [解析]原式＝－sin θ－sin θsin θcos θ＝－2cos θ.当θ＝5π4时，原式＝－2cos 5π4＝2 2. 23．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( ) A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤ [解析]①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3； ②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3； ③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3； ⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 24．设k 为整数，化简：(1)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α); (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°；(3)sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫k π＋4π3(k ∈Z)． [解析]法一：(分类讨论)当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z)，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1； 当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，故cos [(k －1)π－α]＝cos [(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)，sin [(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)， sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．所以原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1. (2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70° ＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70° cos 70°－sin 70°＝－1. (3)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3cos π3＝－34. 当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3cos π3＝34. 25．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z)． [解析]当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α. 所以原式＝⎩⎨⎧ 2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).26．已知函数f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )，且f (m )＝2，试求f (－m )的值． [解析]因为f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ， 又因为f (－x )＝－6cos (－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ＝f (x )， 所以f (－m )＝f (m )＝2.27．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22， 求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． [解析]由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22. 故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.。
高中数学：三角函数的诱导公式 (95)
课时分层作业(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题 1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值一定相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值一定不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2.其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [根据任意角的三角函数定义知①正确；对于②，我们可举出反例sin π3＝sin 2π3；对于③，可举出sin π2>0，但π2不是第一、二象限角；对于④，应是cos α＝x x 2＋y 2(因为α是第二象限角，已有x <0)，故选B.]2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．－32D ．－33C [因为sin 30°＝12，cos 30°＝32.所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋(－3)2＝2， 所以sin α＝y r ＝－32，故选C.]3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能B [因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)， 所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．]4．若角α的终边上有一点P (0,3)，则下列式子无意义的是( ) A.sin αcos α B ．sin α C ．cos αD ．都有意义A [由三角函数的定义sin α＝y r ，cos α＝x r ，sin αcos α＝y x ，可知sin αcos α无意义．] 5．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．25 B ．25或－25 C ．－25D ．与a 有关C [∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |＝－5a ， ∴cos α＝x r ＝45，sin α＝y r ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.] 二、填空题6．已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限． 三 [因为点P (sin α，cos α)在第三象限，则sin α<0且cos α<0，故角α的终边在第三象限．]7．求值：cos 13π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝________.3 [原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－5π3＝cos π6＋sin π3＝32＋32＝ 3.]8．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. －2 [∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，3就是它的一个周期，且f (－x )＝－f (x )．∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.]三、解答题9．判断下列各式的符号． (1)sin 105°·cos 230°； (2)cos 16π3·sin π； (3)cos 4·cos 5.[解] (1)∵105°是第二象限角．∴sin 105°>0. 又∵230°是第三象限角．∴cos 230°<0. ∴sin 105°·cos 230°<0. (2)∵sin π＝0，∴cos163π·sin π＝0. (3)∵4为第三象限角，∴cos 4<0.又∵5是第四象限角， ∴cos 5>0，∴cos 4·cos 5<0.10．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围．[解] 因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上． 又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上． 所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限． 所以⎩⎨⎧3m －9＜0，m ＋2＞0，解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2,3).[等级过关练]1．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( ) A ．－114 B ．114 C ．－4 D ．4C [cos α＝m m 2＋9＝－45，解得m ＝－4(m ＝4不合题意，舍去)．]2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [由sin α·cos α<0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α<0，得cos α<sin α，所以α是第二象限角．]3．若α＝π6＋2k π(k ∈Z )，则cos 3α＝________. 0 [cos 3α＝cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6k π＝cos π2＝0.]4．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.2 [∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图像上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.] 5．已知cos α<0，sin α>0. (1)求角α的集合；(2)求角α2的终边所在的象限； (3)试判断sin α2，cos α2的符号．[解] (1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x 轴的非正半轴上．∵sin α>0，∴角α的终边可能位于第一或第二象限或y 轴非负半轴上，∴角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .(2)∵π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (k ∈Z )时，π4＋2n π<α2<π2＋2n π(n ∈Z )，∴α2是第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，5π4＋2nπ<α2<3π2＋2nπ(n∈Z)，∴α2是第三象限角．即α2的终边落在第一象限或第三象限．(3)由(2)可知，当α2是第一象限角时，sinα2>0，cosα2>0；当α2是第三象限角时，sinα2<0，cosα2<0.。
高中数学诱导公式精选题2
诱导公式精选题一．选择题（共16小题）1．已知sin（+α）＝，cosα＝（）A．B．C．D．2．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．3．的值是（）A．B．C．D．4．已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A．B．C．D．﹣5．sin585°的值为（）A．B．C．D．6．设tan（π+α）＝2，则＝（）A．3B．C．1D．﹣17．＝（）A．B．C．﹣1D．18．sin405°的值为（）A．1B．﹣C．D．﹣9．若，那么的值为（）A．B．C．D．10．定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sin x）⊗（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）A．B．C．2D．111．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A＞sin B，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形12．tan300°+的值是（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+ 13．tan300°+sin450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+ 14．已知cos20°＝m，则sin190°的值是（）A．B．C．D．15．若，且π＜x＜2π，则x等于（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin（x+）是（）A．奇函数B．非奇非偶函数C．常数函数D．偶函数二．填空题（共7小题）17．计算：＝．18．如果sinθ＝，且θ是第二象限角，那么sin（θ+）＝．19．sin（﹣300°）＝．20．已知tanα＝2，则的值为．21．已知，则＝．22．求值sin（﹣）+cos＝．23．sin（﹣π）的值为．三．解答题（共1小题）24．已知．（1）化简f（α）；（2）已知tanα＝3，求f（α）的值．诱导公式精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．已知sin（+α）＝，cosα＝（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）＝sin（2π++α）＝sin（+α）＝cosα＝．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为第二象限角，sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣，则tan（π+α）＝tanα＝﹣．故选：D．【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．的值是（）A．B．C．D．【分析】原式三个因式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝sin（π+）•cos（π﹣）•tan（﹣π﹣）＝﹣sin•（﹣cos）•（﹣tan）＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用诱导公式把要求的式子化为sin（30°+α），利用条件求得结果．【解答】解：cos（60°﹣α）＝sin[90°﹣（60°﹣α）]＝sin（30°+α）＝，故选：C．【点评】本题主要考查利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．5．sin585°的值为（）A．B．C．D．【分析】由sin（α+2kπ）＝sinα、sin（α+π）＝﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°＝sin（585°﹣360°）＝sin225°＝sin（45°+180°）＝﹣sin45°＝﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．6．设tan（π+α）＝2，则＝（）A．3B．C．1D．﹣1【分析】由tan（π+α）＝tanα及正余弦诱导公式把要求代数式转化为tanα的代数式即可．【解答】解：由tan（π+α）＝2，得tanα＝2，则．故选：A．【点评】本题考查诱导公式及化归思想．7．＝（）A．B．C．﹣1D．1【分析】由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：＝tan（π+）＝tan＝1．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．8．sin405°的值为（）A．1B．﹣C．D．﹣【分析】直接按照三角函数诱导公式计算即可．【解答】解：sin405°＝sin（360°+45°）＝sin45°＝故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用：求值．属于基础题．9．若，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：若，那么＝sin[﹣（α+）]＝sin （﹣α）＝﹣sin（α﹣）＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．10．定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sin x）⊗（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）A．B．C．2D．1【分析】根据题意利用新定义及三角函数恒等变换的应用可求sin（2x﹣）＝，求出y＝sin（2x﹣）的函数图象关于直线x＝对称，得出x1，x2的关系，利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵（sin x）⊗（cos x）＝2，∴由题意可得：2sin x（sin x+cos x）﹣3＝2，可得：sin2x﹣3cos2x＝2，∴2sin（2x﹣）＝2，即：sin（2x﹣）＝，由于y＝sin（2x﹣）的函数图象关于直线x＝对称，且f（）＝1，∴可得x1+x2＝，即x1＝﹣x2，∴cos（x1﹣x2）＝cos（﹣2x2）＝cos（﹣2x2）＝sin（2x2﹣）＝f（x2）＝．故选：B．【点评】本题主要考查了新定义及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．11．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A＞sin B，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】利用cos（﹣α）＝sinα及正弦函数的单调性解之．【解答】解：因为cos A＞sin B，所以sin（﹣A）＞sin B，又角A，B均为锐角，则0＜B＜﹣A＜，所以0＜A+B＜，且△ABC中，A+B+C＝π，所以＜C＜π．故选：C．【点评】本题考查诱导公式及正弦函数的单调性．12．tan300°+的值是（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+【分析】直接利用诱导公式求解即可．【解答】解：tan300°+＝﹣tan60°+＝1﹣．故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，注意正确利用诱导公式的化简求值，考查计算能力．13．tan300°+sin450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°＝tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）＝﹣tan60°+sin90°＝﹣+1＝1﹣，故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，熟记公式是解决问题的关键，属基础题．14．已知cos20°＝m，则sin190°的值是（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角公式得到1﹣2sin210°＝m，求出，利用三角函数的诱导公式得到sin190°＝sin（180°+10°）＝﹣sin10°进一步求出其值．【解答】解：因为cos20°＝m，所以1﹣2sin210°＝m，所以，因为sin190°＝sin（180°+10°）＝﹣sin10°＝﹣，故选：B．【点评】本题考查三角函数的诱导公式及三角函数的二倍角公式的应用，解决给值求值题时，应该先将已知与待求的式子先化简，再找它们间的联系．15．若，且π＜x＜2π，则x等于（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式化简三角函数式，通过角的范围求出三角函数对应的角的值．【解答】解：，，．故选：B．【点评】本题是基础题，考查诱导公式的应用，已知三角函数值求角，送分题目．16．函数f（x）＝sin（x+）是（）A．奇函数B．非奇非偶函数C．常数函数D．偶函数【分析】由题意，利用诱导公式可求函数解析式为f（x）＝cos x，由余弦函数的性质可得函数f（x）是偶函数，由此得解．【解答】解：f（x）＝sin（x+）＝cos x，由余弦函数的性质可得函数f（x）是偶函数．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，余弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．二．填空题（共7小题）17．计算：＝．【分析】直接利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：由＝cos（4π﹣）＝cos＝．故答案为：．【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力．18．如果sinθ＝，且θ是第二象限角，那么sin（θ+）＝﹣．【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式，直接求出所求表达式的值．【解答】解：因为sinθ＝，且θ是第二象限角，所以sin（θ+）＝cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．19．sin（﹣300°）＝．【分析】由sin（α+2π）＝sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin（﹣300°）＝sin（360°﹣300°）＝sin60°＝，故答案为．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．20．已知tanα＝2，则的值为﹣3．【分析】利用诱导公式将原式化简为：＝，再将tanα＝2代入计算即可．【解答】解：∵tanα＝2，∴＝＝＝﹣3．∴的值是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查诱导公式的作用及三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是关键，属于基础题．21．已知，则＝．【分析】设α+＝β，则α＝β﹣，将所求式子转化为关于β的三角函数式，运用诱导公式和同角的商数关系式，计算可得所求值．【解答】解：可令α+＝β，则α＝β﹣，则tanβ＝2，＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简和求值，考查诱导公式的运用和同角的三角函数的基本关系式的运用，考查运算能力，属于基础题．22．求值sin（﹣）+cos＝0．【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝sin（﹣4π+）+cos（2π﹣）tan4π﹣cos（4π+）＝sin+0﹣cos＝+0﹣＝0．故答案为：0【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．23．sin（﹣π）的值为．【分析】利用诱导公式，故问题得解．【解答】解：sin（﹣π）＝，故答案为【点评】本题主要考查诱导公式的运用，属于基础题．三．解答题（共1小题）24．已知．（1）化简f（α）；（2）已知tanα＝3，求f（α）的值．【分析】（1）利用诱导公式可得＝cosα，sin（﹣π﹣α）＝sinα，＝﹣sinα，cos（5π﹣α）＝﹣cosα，进而化简化简f（α）；（2）由tanα＝3，将（1）中化简所得式子，分子分母同除以cosα（弦化切）后，代入可得答案．【解答】解：（1）＝（2）∵tanα＝3∴f（α）＝＝＝＝﹣2【点评】本题考查的知识点是诱导公式，同角三角函数间的基本关系，（1）的关键是理解“奇变偶不变，符号看象限“的原则，（2）的关键是掌握“弦化切“的技巧．。
高中数学人教版三角函数之诱导公式一到六知识讲解专项练习
诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos αtan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α (其中k ∈Z)公式二：设为任意角，π＋α的三角函数的值与的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos αtan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos αtan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α公式五：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝cos α cos （）＝sin α tan （）＝cot α cot （）＝tan α 公式六：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝cos α cos （）＝－sin α tan （）＝－cot α cot （）＝－tan α 公式七：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝－cos α cos （）＝－sin α tan （）＝cot α cot （）＝tan α ααααπ-2απ-2απ-2απ-2απ-2απ+2απ+2απ+2απ+2απ+2απ-23απ-23απ-23απ-23απ-23公式八：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝－cos α cos （）＝sin α tan （）＝－cot α cot （）＝－tan α 公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos αtan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α小结：1.诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为锐角的三角函数值2.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. απ±2，απ±23的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.（主要依据是奇、偶指的是2π的奇数倍、偶数倍）练习题1.若cos65°=a ，则sin25°的值是( )2.下列各式正确的是( ))β-αcos(-)βα-cos(.=+B 3.sin(−600°)的值是( )A. −√32 B. −12 C. 12D. √32 απ+23απ+23απ+23απ+23απ+23a A -.a B .2-1.a C 2-1-.a D αcos α-π29sin(.=）A 为第二象限角α ，则0>)α-2π cos(且0,<)α 2π sin(若.+C )α2πcos()2π-αsin(.+=D4.已知31)12sin(=+πα，则7cos()12πα+= ．31- 5.已知)2,0(πα∈，54cos =α，则)sin(απ-＝ ．53 6.1717cos()sin()44ππ---=的值为． 7.求值：0750sin ＝ ．12 8.已知函数3sin )(xx f π=，则)2014()2()1(f f f +++ ＝．93记k =-)70cos(0，那么0110tan 等于． 10.求值：)210sin()330(cos 45tan 180cos 120sin 22︒-+︒--︒+︒+︒＝ ．12 11.化简：)2sin()2cos()2cos()cos(απαπαπαπ+--+＝ ．tan α- 12.已知点))6sin(,45(tan ππ-是角θ终边上一点，则)25cos(θπ+＝．13.若x x f 3sin )(sin =，则)75(cos 0f．2 14.化简：3sin(3)cos()tan()2cos sin()cos()32ππαπααππαα+⋅-⋅+⋅-⋅- ．2- 15.若23)2sin(-=-x π，且ππ2<<x ，则x 等于 ．π67 16.在ABC ∆中，已知542sin=A ，则2cos C B +＝ ．45 17.求值：ππππ313cos 4tan 713cos )623sin(-+-＝ ．０18.在ABC ∆中，若sin cos 22A B C +=，则形状是 ．直角三角形 19.已知1cos()33πα+=-，则sin()6πα-＝ ．13 20.设))(42cos()(Z n n x f ∈+=ππ，则(1)(2)(2010)f f f +++．21.已知3tan =α，sin()cos()()sin()sin()n n n Z n n απαπαπαπ+⋅-∈++-的值 ．14± 22.求值：251025713sin()cos tan()sin()cos()63436πππππ++-+-- ．74- 23.已知⎩⎨⎧≤<-≤=)0(sin 2)0()(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则0x ＝ ．233or ππ 24.已知{cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤=-+>，则)34(f 的值为 ．32 25.化简：23sin ()cos()cos(2)tan()sin ()sin(2)2απαπαπππαααπ+⋅+⋅--+⋅+⋅--＝ ．１ 26.若32cos -=α，则cos(4)sin()sin()tan()2πααπαπα-⋅-+⋅-的值为 ．23- 27.化简28.化简29.已知sinθ,cosθ是关于x 的方程x 2−ax +a =0(a ∈R)的两个根（1）求cos 3(π2−θ)+sin 3(π2−θ)的值 )α2π9sin()α-π3sin()α-πcos()α-2π11cos()α2πcos()απcos()α-π2sin(+++).2cos()sin()25sin()2cos(αππααππα--+-（2）求tan(π−θ)−1的值tanθ。
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高中数学-诱导公式练习题5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.sin （3π-）+2sin 34π+3sin 32π等于（ ） A.1 B.21 C.0 D.-1 解析：原式=-sin 3π+2sin （π+3π）+3sin （2π+6π） =-23-2×23+3×cos 6π=233-+3×23=0. 答案：C2.化简︒-460sin 12为（ ）A.-cos80°B.-sin80°C.cos80°D.sin80°解析：原式=︒460cos 2=｜cos460°｜=｜cos （360°+100°）｜=｜cos100°｜=-cos （90°+10°）=sin10°=cos80°.答案：C3.sin （π-2）-cos （2π-2）化简的结果为（ ） A.0 B.-1 C.2sin2D.-2sin2解析：原式=-sin （-2）-sin2=sin2-sin2=0.答案：A4.已知a=tan （67π-），b=cos 423π，c=sin （433π-），则a 、b 、c 的大小关系是_____________. 解析：a=-tan （π+6π）=-tan 6π=33-，b=cos （6π-4π）=cos 4π=22，c=-sin （8π+3π）=23-，而22＞33-＞23-，∴b＞a ＞c. 答案：b ＞a ＞c10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.cos225°+tan240°+sin（-60°）+tan （-60°）的值是（ ） A.2322-- B.2322+- C.6322-- D.6322+-解析：原式=cos （180°+45°）+tan （180°+60°）-sin60°-tan60°=-cos45°+tan60°-sin60°-tan60°=-cos45°-sin60°=2322--. 答案：A2.在△ABC 中，下列等式一定成立的是（ ） A.sin 2B A +=-cos 2C B.sin （2A+2B ）=-cos2C C.sin （A+B ）=-sinC D.sin （A+B ）=sinC解析：在△ABC 中,A+B+C=π，所以sin （A+B ）=sin （π-C ）=sinC.2222π=++C B A ,所以sin 2B A +=sin(22C -π)=cos 2C .2A+2B+2C=2π,所以sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=2sin2C. 答案：D3.已知sin （π-α）=log 841，且α∈（2π-，0），则tan （2π-α）的值为（ ） A.552- B.552 C.±552 D.25 解析：因为sin （π-α）=log 841=32-，所以sin α=32-.而α∈（2π-，0），所以cos α=α2sin 1-=35，tan α=ααcos sin =552-.所以tan （2π-α）=-tan α=552. 答案：B 4.化简：)4sin()8cos()23tan()2cot()3tan()5sin(πθθππθθπθππθ---•--•--+sin （-θ）的结果为（ ） A.0 B.1 C.2 D.23 解析：原式=θθπθθπθθπθπsin )4sin(cos )23tan(tan )3tan()5sin(-+-•--•--- θθθθθθsin cos cot tan tan sin -•-•--=-sinθ=sinθ-sinθ=0. 答案：A 5.已知tan （4π-2α）=m （m≠0），则cot （2α+43π）的值为_______________. 解析：cot （2α+43π）=cot ［π-（4π-2α）］=-cot （4π-2α）=m 1)24tan(1-=--απ.答案：m1- 6.设f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<=⎩⎨⎧≥+-<,21,1)1(,21),cos()(,0,1)1(,0,sin x x g x x x g x x f x x ππ 求g(41)+f(31)+g(65)+f(43)的值. 解：原式=cos4π+f （32-）+1+g （61-）+1+f （41-）+1=22+sin （32π-）+cos （6π-）+sin （4π-）+3=22-23+2322-+3=3. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(北京西城5月抽样,1)sin600°+tan240°的值是（ ） A.23- B.23 C.21-+3 D.21+3 解析：sin600°+tan240=-sin120°+tan60°=23-+3=23. 答案：B2.已知sin （π+α）=21-，则cos （2π-α）的值等于（ ） A.23或23- B.23- C.23 D.21 解析：由sin （π+α）=21-，即sinα=21,又cos （2π-α）=cosα，故当α属于第一象限时，cosα=α2sin 1-=23；当α属于第二象限时，cosα=α2sin 1--=-23. 答案：A3.如果角α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ）A.sin （α+π）=sinβB.sin （α-π）=sinβC.sin （2π-α）=-sinβD.sin （-α）=sinβ解析：由对称性可知存在k∈Z ，使得α=2kπ+π-β.故sin （α+π）=sin （2kπ+2π-β）=-sinβ，sin （α-π）=sin （2kπ-β）=-sinβ，sin （2π-α）=sin （2π-2kπ-π+β）=-sinβ，sin （-α）=sin （-2kπ-π+β）=-sinβ.答案：C 4.sin43πsin 47πsin 411πsin 415π…sin 4799π的值等于（ ） A.10021- B.20021- C.10021 D.20021 解析：原式=sin （π-4π）sin （2π-4π）…sin （200π-4π）=（22）（-22）（22）（-22）…（22）（-22）=（-1）100（22）200=10021. 答案：C5.化简tan （27°-α）·tan （49°-β）·tan （63°+α）·tan （139°-β）的结果为（ ）A.1B.-1C.2D.-2解析：原式=tan （27°-α）·tan （49°-β）·tan ［90°-（27°-α）］·tan ［90°+（49°-β）］=tan （27°-α）·cot（27°-α）·tan（49°-β）·［-cot （49°-β）］=-1. 答案：B6.已知函数f （x ）=cos 2x ，则下列等式成立的是（ ） A.f （2π-x ）=f （x ） B.f （2π+x）=f （x ）C.f （-x ）=f （x ）D.f （-x ）=-f （x ）解析：f （-x ）=cos （2x -）=cos 2x =f （x ）. 答案：C7.(高考上海卷,理6)如果cosα=51，且α是第四象限的角，那么cos(α+2π)=___________. 解析：∵cosα=51，且α是第四象限的角， ∴sinα=562-. ∴cos(α+2π)=-sinα=562. 答案：5628.已知f （x ）=x x +-11，若α∈（2π，π），则f （c osα）+f （-cosα）可化简为______________. 解析：f （cosα）+f （-cosα）=|sin |2|sin |cos 1|sin |cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1ααααααααα=++-=-+++-. 而α∈（2π，π），所以f （cosα）+f （-cosα）=αsin 2. 答案：αsin 2 9.sin 52π,cos 65π,tan 57π从小到大的顺序是_____________________. 解析：因为2π＜65π＜π，所以cos 65π＜0.而tan 57π=tan （π+52π）=tan 52π，0＜52π＜2π，所以sin 52π＜tan 52π.故cos 65π＜sin 52π＜tan 57π. 答案：cos 65π＜sin 52π＜tan 57π 10.已知sin （π-α）-cos （π+α）=32，α∈（2π，π），试求： （1）sinα-cosα；（2）sin 3（2π+α）+cos 3（2π+α）. 解：（1）由sin （π-α）-cos （π+α）=sinα+cosα，故sinα+cosα=32.两边平方并整理得sinαcosα=187-.又由α∈（2π，π），∵α∈(2π,π),sinα＞cosα,∴sinα-cosα= ααααααcos sin 2cos sin )cos (sin 222-+=-34)187(21=--=. （2）sin 3（2π+α）+cos 3（2π+α）=cos 3α-sin 3α=（cosα-sinα）（cos 2α+ sinαcosα+sin 2α）=（34-）×（1871-）=2722-. 11.函数y=（a-b ）sin 2x+2b a +cos 2x 的值恒等于2，求a 、b 的值. 解：由（a-b ）sin 2x+2b a +cos 2x=2， 两边同除以cos 2x ，得（a-b ）tan 2x+2b a +=2（1+tan 2x ），（a-b-2）tan 2x=21（4-a-b ）. 因上式为恒等式，即对任意x 上式都成立，故需⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=--.1,3.04,02b a b a b a 解之得。