江苏省2019年高考数学卷第17题【探源·解析·品赏】

江苏省2019年高考数学卷第17题【探源·解析·品赏】

【2019年全国高考数学 江苏卷。17】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm

（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2

）最大，试问x 应取何值？ （2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3

）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

【解析】：本小题主要考查函数的概念与性质、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。满分14分

设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得

.

300),30(22260,2<<-=-==x x x

h x a

（1）

,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值.

（2）)20(26),30(22232x x V x x h a V -='+-==

由00=='x V 得（舍）或x=20.

当)20,0(∈x 时，.0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当

所以当x=20时，V 取得极大值，也是最大值. 此时2

1=a h 即包装盒的高与底面边长的比值为1.2

【探源1】苏教版高中数学 必修一（2019年版）第93页复习题4

2)220(y x x -=)100(<

在长、宽分别为acm 、bcm 的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长为xcm 的小正方形，再把它折成一个无盖的小盒子，则这个盒子的容积用代数式表示是

【答案 】（a-2x ）（b-2x ）x

再做延伸：试问x 应取何值容积最大？请读者不妨一试. 这样一来，本题可以考查导数在实际问题中的应用，先建立函数解析式，确定定义域，然后利用导数求最值，和2019年高考数学江苏卷第17题 类似：

【探源3】

【2019年高考预测试卷----立体几何】如图，在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．

【解析】: 设容器的高为x ．则容器底面正三角形的边长为x a 32-,

)32)(32(3434143)320()32(43)(2x a x a x a x x a x x V --⋅⋅⋅=<<-⋅⋅=∴

54

)3323234(16133a x a x a x =-+-+≤ 当且仅当 .54

,183,32343max a V a x x a x ==-=时即 故当容器的高为 a 183 时，容器的容积最大，其最大容积为 .54

3a

由于目标函数是关于x 的三次函数的最值问题，因此用导数求解最方便（对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的），本题使用的方法是三元均值不等式。 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关

【探源4】

【题目】2002年全国高考数学文科第22题: (I)给出两块相同的正三角形纸片(如图1、图2),要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,井作简要说明;（II）

类似的问题是:

某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）。

【品赏】我们可以从三个方面品赏这道题目：

1.知识点的覆盖上：本应用题（第17题）以立体图形为模型，考查了函数的概念与性质、导数等基础知识，同时也考查了数学建模能力、空间想象能力，数学的阅读与应用能力。考查的知识点有：函数模型的建立，函数定义域的确定，简单几何体侧面积与体积公式及有关计算，导数在实际问题中的应用。本题覆盖了函数、立体几何、不等式、导数等四个章节的内容，综合性之强，覆盖面之大实属鲜见，从而看出，2019年全国高考数学江苏卷命题人匠心独具，用心良苦。

2.题目的取材上：今年试卷在解答题部分有一道是设计一个包装盒的实际问题的应用题.充分体现了试题来源于生活，服务于生活，源于教材，高于教材，有所创新，体现了数学学以致用的宗旨。本题入口宽，紧密联系生活实际，培养学生对数学的应用意识，让他们体会到数学的工具性作用，这样，学生在学习中建构的是可以应用的、灵活的、实用的知识，当学生理解了一个数学知识，又能自觉主动地从数学的角度探索这一知识在实际中的应用价值，可以形成良性循环，他们将受用终身。

3.试题的设计上：加强应用意识，体现现实联系。本题考查的是设计一个包装盒的实际问题，

重点考查考生对现实问题的数学理解。本题将基础知识、方法、能力和数学素养的考查融为一体。使每一位考生的能力尽显出来，使高考的选拔功能得以实现。在解题过程中，可将包装盒的高，底面边长分步求解，然后做到侧面积与容积的分步列式，争取分步得分。在细节处理上，自变量的取值范围有没有考虑，第二问求导后对函数单调性的描述是否到位，这些细节都可能成为阅卷过程中的重要失分点。还能考查考生的思维品质——思维的逻辑性和严密性。

看到本题，不难联想到2002年全国高考数学文科卷第22题及苏教版《高中数学必修一》（2019年版）第93页复习题4。高考试题中，好题不胜枚举，俯拾皆是，它们像一颗颗璀璨的珍珠在数学题海中闪闪发光。本题给我们的启示：（1）高考复习一定要狠抓基础知识、基本技能，紧扣教材并充分利用（2）在公式、法则的教学中一定要重视思维训练及能力培养，挖掘并利用公式、法则中的思维教育价值，弄清来龙去脉及表达与交流。（3）组织习题训练一定要讲究实效，不能贪多求快，注意练习进程，区分异同，认真对比小结，合理规范书写。

【作者姓名】李春龙

【作者单位】225001---江苏省扬州市第一中学